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SÉRIES DE FOURIER

par J. Monnier, professeur INSA Toulouse.

[email protected]

Janvier 2019

Résumé. Introduction aux séries de Fourier, un outil mathématique de base pour l’ingénieur.Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’ingénieurINSA.

Table des matières

1. Introduction 1 12. Les séries et premier exemple de série de Fourier 32.1. Les séries : (très) bref rappel 2 32.2. Les séries trigonométriques 42.3. Un exemple bien choisi de développement en série de Fourier 53. Expression des coefficients des séries de Fourier 73.1. Expression des coefficients forme réelle 73.2. Expression des coefficients forme complexe 93.3. Remarques 103.4. Théorème de Jordan-Dirichlet : conditions suffisantes de convergence 13Et dans le cas d’une fonction non périodique ? 144. Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier 154.1. Fonction chapeau, continue 154.2. Fonction linéaire par morceaux, discontinue 154.3. Fonction créneau (discontinue) 16

1. Introduction 3

Les séries de Fourier constituent un outil fondamental pour étudier les phénomènes, fonctions pério-diques. En ingénierie elles sont utiles dans la décomposition de signaux périodiques tels que des courantsélectriques, des ondes cérébrales, des ondes sonores, des images etc.

1. Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d’un exemple présenté dans le cours de N. Pottier del’université Paris 7.

2. Elements de base disponibles dans tout bon cours ou encore sur la page ad-hoc de Wikipedia.3. Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d’un exemple présenté dans le cours de N. Pottier de

l’université Paris 7.1

SÉRIES DE FOURIER 2

Figure 1.1. J.-B. Joseph Fourier (1768- 1830), mathématicien et physicien français. J. Fourierest connu pour avoir déterminé, par le calcul, la diffusion de la chaleur en utilisant la décomposi-tion d’une fonction quelconque en une série trigonométrique convergente i.e. les séries de Fourier.La méthode de calcul permettant de passer, de façon réversible, d’une fonction à la série tri-gonométrique correspondante est la transformation de Fourier. Cette méthode très féconde estdevenue incontournable en théorie du signal, imagerie numérique, compression de données, dansl’exploitation des systèmes 3G, 4G. Extrait de Wikipedia.

Considérons un signal basique : la vibration d’un diapason. Quand le diapason vibre, il fait vibrer lesmolécules d’air. En un point x et au temps t, la variation pression de l’air p produite par le diapason(p caractérise l’onde sonore) est une onde sinusoidale pure de pulsation ! = 2⇡v/� et de vecteur d’ondek = 2⇡/� ; v la célérité de l’onde et � sa longueur d’onde. On a alors : p(x, t) = Acos(kx� !t).

Si l’on émet simultanément plusieurs sons de fréquences différentes, la pression résultante n’est pasune simple fonction sinusoïdale mais une somme de plusieurs fonctions sinusoïdales. De même, si l’onjoue une note de piano, on n’obtient pas une onde sonore de fréquence unique mais un son fondamentalaccompagné d’autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à n fois celle du son fondamental, nnombre entier. Si sin(!t) et cos(!t) correspondent à la fréquence fondamentale, sin(n!t) et cos(n!t)correspondent aux harmoniques.

La combinaison du fondamental et des harmoniques est alors une fonction potentiellement compliquéemais périodique de période celle du fondamental.

En fait un signal de “forme” quelconque mais périodique de fréquence f peut être obtenu en ajoutant :une sinusoïde de fréquence f (appelée fondamentale) et des sinusoïdes dont les fréquences sont desmultiples entiers de f (ces sinusoides ayant des amplitudes et des phases appropriées). En général, il estnécessaire pour cela d’écrire toutes les harmoniques c’est-à-dire une somme infinie de termes i.e. unesérie. Cette série est appelée série de Fourier.

Etudier une fonction périodique F à l’aide des séries de Fourier consiste généralement à : a) la décom-poser en ses différents harmoniques i.e. déterminer les coefficients de sa série de Fourier ; b) retrouver Fà partir de ses coefficients de Fourier.

Cette “analyse de Fourier” peut être considérée comme une façon de décrire les fonctions périodiques.Des opérations telles que la dérivation s’écrivent simplement à partir des coefficients de Fourier.

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822. Ces séries ont ensuite constituéune des bases de plusieurs branches fondamentales des mathématiques : analyse harmonique, théorie dusignal, ondelettes.


Figure 1.2. (G) Exemple de fonction continue, périodique, décomposable en série deFourier.(D) Fonction créneau (constante par morceaux avec discontinuités) ; décomposition par-tielle (4 premiers modes) du signal périodique.En bleu la fonction ; en rouge sa décomposition avec 1, 2, 3 et 4 modes (uniquement).Images extraites du web.

2. Les séries et premier exemple de série de Fourier

2.1. Les séries : (très) bref rappel4.

2.1.1. Définition. En mathématiques, la notion de série généralise la notion de somme finie. Étantdonnée une suite de terme général un, étudier la série de terme général un consiste à étudier la suiteobtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (un)n2N . Autrement dit, on étudie lecomportement de la suite de terme général SN défini par :

(2.1) SN = u0 + u1 + ...+ un =NX

k=0

uk

L’étude d’une série commence par étudier si sa limite (en N) existe ou non. Si sa limite existe,la série est dite convergente, sinon elle est dite divergente. Si SN est convergente, on note : S =limN!1

PNk=0 uk ⌘

P+1k=0 uk.

Plusieurs techniques permettent de déterminer la nature convergence ou non d’une série sans effectuerson calcul explicite.

Pour les séries à termes positifs, il existe des techniques d’analyse basées sur un principe de compa-raison ; comparaison notamment aux séries de références de Riemann.

4. Elements de base disponibles dans tout bon cours ou encore sur la page ad-hoc de Wikipedia.


2.1.2. Un exemple de calcul explicite. Il est rare de pouvoir calculer explicitement l’expression dessommes partielles qui plus est des sommes infinies. Les séries géométriques font partie des exceptions àsavoir les quelques séries usuelles que nous savons calculer explicitement.

Une série est dite géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par unnombre constant appelé la raison. La série de terme général zk s’écrit : SN =

PNk=0 z

k .On montre facilement que : SN = 1�zN+1

1�z si z 6= 1 (et SN = (N + 1) sinon).SN est donc convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : |z| < 1. Auquel cas

on a : S = 11�z (en effet on a dans ce cas : |zk| !+1 0).

Exemples de séries géométriques :P

n�0

�13

�n ou encoreP

n�01

(1+i)n .Toutes deux sont des séries convergentes.

2.1.3. Les séries de Riemann. Les séries dites de Riemann sont de la forme :

(2.2)X

n�1

1

n↵

où ↵ est un nombre réel quelconque. La série ci-dessus est convergente si et seulement si : ↵ > 1.

Le cas limite ↵ = 1 définit la série dite harmonique :

(2.3) 1 +1

2+ ...+

1

N

La série harmonique diverge. (En fait on peut montrer que :PN

k=11k = lnN + � + o(1) où � est la

constante d’Euler).

Rappelons que si une série est convergente alors nécessairement son terme général un converge vers0 : un !1 0. La réciproque est fausse ! Cf par exemple la série harmonique ci-dessus.

Ces séries de Riemann peuvent également être définies pour ↵ complexe ; elles sont alors convergentessi et seulement si : <e(↵) > 1.

Notons que les outils d’analyse de la convergence ou non des sommes, séries « discrètes » (i.e. lesséries considérées ici) sont semblables à ceux employés dans le cas des « sommes continues » i.e. lesintégrales généralisées. Cf par exemple les intégrales de Riemann et le théorème de comparaison pourles intégrandes positives.

Enfin notons aussi que la notion de série peut être étendue à des sommes infinies dont les termes un

ne sont pas nécessairement des nombres mais des vecteurs, fonctions ou encore des matrices.

2.2. Les séries trigonométriques. Une série trigonométrique est une série particulière de polynômestrigonométriques. La série trigonométrique possède une fréquence fondamentale f et une somme defonctions trigonométriques de fréquence pf , p nombre entier. Une série trigonométrique peut être deforme réelle ou complexe.

La somme partielle d’ordre N d’une série trigonométrique complexe s’écrit :


(2.4) SN(x) =NX

k=�N

ck exp

✓ik2⇡

Tx

◆

Rappelons l’expression de l’exponentielle complexe : exp(iz) = cos(z) + i sin z; i2 = �1.

La somme partielle d’ordre N d’une série trigonométrique réelle s’écrit :

(2.5) SN(x) =1

2a0 +

NX

k=1

ak cos

✓k2⇡

Tx

◆+

NX

k=1

bk sin

✓k2⇡

Tx

◆

Les constantes ck (k = ...� 1, 0,+1, . . . ) ou encore a0, ak et bk (k = +1,+2 . . . ) sont les coefficientsde la série trigonométrique.

Notons que les fonctions sinusoïdales sin�2k⇡T x

�et sin

�2k⇡T x

�sont périodiques de période T/k donc

a-fortiori T-périodiques.

Si ces séries convergent, leurs sommes respectives sont des fonctions périodiques F (x) de période T(f(x) = f(x+ T ) 8x).

Polynômes trigonométriques. Une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales élémentaires sinusoï-dales cos

�2k⇡T x

�et sin

�2k⇡T x

�porte le nom de polynôme trigonométrique et constitue aussi une fonction

T-périodique. Toute combinaison linéaire de ce type peut se ré-écrire comme combinaison linéaire d’ex-ponentielles complexes exp

�ik 2⇡

T x�.

2.3. Un exemple bien choisi de développement en série de Fourier. On considère l’exempleparticulier de série complexe suivant :

(2.6) S(x) =X

n2Z

1

2|n|exp(inx)

Avec les notations précédentes on a : cn = 12|n| et ! = 2⇡

T = 1.On pose : q+ = 1

2 exp(ix) et q� = 12 exp(�ix). On a alors : S(x) = q0 +

Pn�1 q

n� +

Pn�1 q

n+ .

Il s’agit là de séries géométrique de raisons q+ et q� qui vérifient : |q+| = |q�| = 12 < 1.

Ces séries sont donc convergentes avec :

(2.7) S(x) = 1 +1

1� 12 exp(�ix)

+1

1� 12 exp(ix)

Un petit calcul montre que :

S(x) =4(2� cos x)

5� 4 cosx

On note F cette fonction obtenue : F (x) = 4(2�cosx)5�4 cosx .

On a donc montré que : 8x,


(2.8) S(x) =X

n2Z

1

2|n|exp(inx) = F (x)

C’est à dire que la série S(x) définie par (2.6) est convergente, et converge vers F (x) pour tout x.Autrement perçu, la fonction F (x) peut s’écrire sous la forme d’une série trigonométrique (complexe)

avec : cn = 12|n| et ! = 1.

Bien entendu, tout comme S(x), F (x) est 2⇡-périodique.

Une question que l’on se posera par la suite est la suivante. Etant donnée une fonction F (x), T -périodique, sous quelles conditions peut-on la développer en série trigonométrique (complexe ou réelle) ?Le théorème de Parseval-Dirichlet (voir prochain paragraphe) fournit des conditions suffisantes pourcela.


3. Expression des coefficients des séries de Fourier

3.1. Expression des coefficients forme réelle. Si la fonction F (x) est à valeurs dans R, il est naturelde vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cfprochaine section). Ceci est d’autant plus vrai si F possède une propriété de parité (cf en fin de section).Notons cependant que le développement d’une fonction F à valeurs dans C est tout a fait possible dansla forme dite réelle ci-dessous.Soit une fonction F (x) est à valeurs dans R (ou dans C). On suppose que F (x) satisfasse les conditionsrequises pour qu’elle puisse s’écrire sous la forme d’une série trigonométrique (convergente). On a alorsl’égalité :

(3.1) F (x) =a02

+X

n�1

an cos (!nx) +X

n�1

bn sin (!nx)

avec ! est la pulsation si x désigne un temps, et ! est le nombre d’onde si x désigne une longueur ;! = 2⇡

T .On cherche alors à exprimer les coefficients de Fourier (a0, {an, bn}n�1) en fonction de F (x).

Pour alléger les calculs et sans perte de généralité, on considère une fonction F (x) périodique, depériode 2⇡ (et non de période T quelconque).

Dans un premier temps on calcule :R +⇡

�⇡ F (x)dx (i.e. la moyenne de F sur sa période à un facteur 2⇡près) .

On a :

(3.2)Z +⇡

�⇡

cos(nx)dx = 0 etZ +⇡

�⇡

sin(nx)dx = 0 8n � 1

On obtient donc :R +⇡

�⇡ F (x)dx = a0⇡. Soit :

(3.3) a0 =1

⇡

Z +⇡

�⇡

F (x)dx

Le coefficient a0 est donc égal a la moyenne de F fois 2.Pour obtenir l’expression des coefficients {an, bn}n�1 , on calcule tout d’abord les intégrales qui suivent.

(3.4)Z +⇡

�⇡

cos(nx) cos(kx) dx = �nk =

(0 pour n 6= k

⇡ pour n = k

NB. �nk est le symbole dit de Kronecker (à ne pas confondre dans le prochain chapitre avec le Diracnoté �(x) ! ).On montre également que :

(3.5)Z +⇡

�⇡

cos(nx) sin(kx) dx = 0

(3.6)Z +⇡

�⇡

sin(nx) sin(kx) dx =

(0 pour n 6= k

⇡ pour n = k


Ces résultats sont relativement simples à obtenir par intégration par parties (exercice).

On suppose que F (x) puisse s’écrire sous la forme (3.1) et on calcule :R +⇡

�⇡ F (x) cos(kx) dx.On obtient :

(3.7)Z +⇡

�⇡

F (x) cos(kx) dx =a02

Z +⇡

�⇡

cos(kx)dx+X

n�1

an

Z +⇡

�⇡

cos(kx) cos (nx) dx+X

n�1

bn

Z +⇡

�⇡

cos(kx) sin (nx) dx

Soit :

(3.8)Z +⇡

�⇡

F (x) cos(kx) dx =�a02k

[sin(kx)]+⇡�⇡ + ⇡[ak.1 + bk.0] = ⇡ak

D’où :

an =1

⇡

Z +⇡

�⇡

F (x) cos(nx)dx 8n � 1

On montre de même que :

bn =1

⇡

Z +⇡

�⇡

F (x) sin(nx)dx 8n � 1

On a obtenu ci-dessus l’expression des coefficients de la série de Fourier d’une fonction F (x), 2⇡-périodique, sous l’hypothèse que la série est convergente. (Des conditions suffisantes que que la sériesoit effectivement convergente sont présentées dans une prochaine section au travers du théorème deJordan-Dirichlet).

Dans le cas d’une fonction T -périodique (T de valeur quelconque) , on obtient :

(3.9) a0 =2

T

Z T

0

F (x)dx

(3.10) an =2

T

Z T

0

F (x) cos(!nx)dx 8n � 1

(3.11) bn =2

T

Z T

0

F (x) sin(!nx)dx 8n � 1

Rappelons qu’une fonction T -périodique vérifie :R T

0 F (x)dx =R T+t

t F (x)dx pour toute « translation »t. Les coefficients de Fourier peuvent alors être calculés sur l’intervalle centré [�T/2,+T/2], ce qui estjudicieux si F (x) présente une propriété de parité.


Cas d’une fonction paire ou impaire. Dans le cas où la fonction F (x) est réelle paire, on a :

(3.12) bn = 0 pour tout n � 1

On obtient alors un développement en cosinus uniquement.Dans le cas où la fonction F (x) est réelle impaire, on a :

(3.13) an = 0 pour tout n � 1.

On obtient alors un développement en sinus uniquement.

Ces propriétés liées à la parité sont immédiates à vérifier à partir des définitions (exercice).

Exercice. Calculer le Développement en Série de Fourier (DSF) de la fonction T�périodique qui vé-rifie : f(x) = |x| pour x 2 [�T/2,+T/2].

Corrigé disponible en fin de chapitre.

3.2. Expression des coefficients forme complexe. Si la fonction F (x) est à valeurs dans C, il est àpriori plus naturel et aussi plus facile, synthétique de manipuler la forme complexe de sa série de Fourier.Que la fonction F (x) soit à valeurs dans R ou dans C, l’expression d’une série de Fourier réelle (3.1)peut toujours s’écrire sous sa forme complexe. Pour cela il suffit d’utiliser les expressions suivantes :

(3.14) cos(nx) =1

2(exp(inx) + exp(�inx)) et sin(nx) =

1

2i(exp(inx)� exp(�inx))

où exp(iz) désigne l’exponentielle complexe.

L’expression de la série de Fourier (3.1) s’écrit alors sous sa forme dite complexe :

(3.15) F (x) =X

n2Z

cn exp (i!nx)

Avec :

(3.16) cn =1

T

Z T

0

F (x) exp(�i!nx) dx 8n 2 Z

Notons que les coefficients {cn}n2Z⇤ sont a-priori dans C même pour une fonction F réelle.

Exercice. Montrer cette équivalence entre les deux expressions de séries de Fourier.

Cas d’une fonction avec propriété de parité, ou étant réelle, imaginaire pure. Dans le cas où la fonctionF (x) est paire, on a :

(3.17) cn = c�n.

Dans le cas où la fonction F (x) est impaire, on a :

(3.18) cn = �c�n.


Aussi dans le cas où :— F est réelle (i.e. à valeurs dans R), cn = c�n.— F est imaginaire pure, cn = �c�n.

3.3. Remarques.

3.3.1. Passage de la forme complexe à la forme réelle et vice-versa. On a les relations suivantes : c0 =12a0 ;

(3.19) cn =1

2(an � ibn) pour n � 1

(3.20) c�n =1

2(an + ibn) pour n � 1

On obtient ensuite directement les « expressions inverses » suivantes :

(3.21) an = (cn + c�n) pour n � 0

(3.22) bn = i(cn � c�n) pour n � 1

Les expressions de {cn}n2Z (resp. {an, bn}n�1) ci-dessus sont utiles pour passer de la forme complexeà la forme réelle d’une série de Fourier et vice-versa.

3.3.2. Interprétation en terme de base. L’expression de la série de Fourier forme complexe (3.15) peuts’interpréter comme étant le développement de F (x) dans la base des harmoniques {exp (i!nx)}n2Z.

Soit < ., . > le produit scalaire hermitien de l’espace des fonctions périodiques de carré intégrable(espace noté L2

#(C)) : < f, g >= 1T

R T

0 f(x) g(x) dx.On a alors :

(3.23) cn =< f(x), exp (i!nx) >

Et donc :

(3.24) SN(x) =n=+NX

n=�N

< f(x), exp (i!nx) > exp(i!nx)

SN(x) est donc le projeté orthogonal de F (x) dans la base des harmoniques {exp (i!nx)}n.Les coefficients de Fourier {cn}n2Z représentent la fonction dans cette base ; ces coefficients sont

potentiellement en nombre infini mais dénombrables.


Figure 3.1. (Haut) Un signal régulier T-périodique réel F (t), F : R ! R.(Bas) Module de ses coefficients |cn| vs n = Représentation fréquentielle de F .Notons la symétrie de |cn| et aussi la décroissance de |cn| lorsque n croît.

3.3.3. Régularité et décroissance des coefficients. Notons que puisque la série de FourierP

n2Z cn exp (i!nx)est convergente (par hypothèse jusqu’à présent) alors nécessairement :

(3.25) |cn exp (i!nx) | = |cn| !n!1 0

Ce résultat est illustré graphiquement sur la figure qui suit.Aussi on peut montrer (exercice : intégration par parties...) que :

(3.26) cn(F0) = i!n cn(F )

C’est à dire que les coefficients (complexes) de Fourier de la fonction dérivée F 0(x) se déduisentsimplement de ceux de la fonction originale F (x).

Par récurrence, pour F de classe Ck+1 au moins, on obtient que :

(3.27) cn(F(k+1)) = (i!n)k+1 cn(F )

Sachant que nécessairement |cn(F (p))| !n!1 0 pour tout p, 0 p (k + 1), on a alors :

(3.28) |cn(F )| ⇠n!11

nk+1

��cn(F (k+1))��

Autrement dit le module des coefficients de Fourier (complexes) de F (x) décroissent d’autant plusvite que F est régulière.

Notons que nous retrouverons un résultat tout à fait similaire dans le cadre de la transformée (continue)de Fourier (prochain chapitre).

3.3.4. Egalité de Parseval et conservation d’énergie. Pour un signal physique F (x), F à valeurs réellesou complexes, l’énergie Ede ce signal F est définie par la quantité :

(3.29) E =1

T

Z T

0

|F (x)|2 dx


Figure 3.2. La fonction créneau T-périodique F (x) ; ses 5 premières harmoniques et lemodule des coefficients |cn| correspondants (n = 1, .., 5). Image extraite de Wikipédia.

L’égalité de Parseval stipule alors que :

(3.30)1

T

Z T

0

|F (x)|2 dx =X

n2Z

|cn|2 =1

4|a0|2 +

1

2

X

n�1

(|an|2 + |bn|2)

Autrement dit l’énergie du signal est conservée dans l’espace des harmoniques (l’« espace de Fourier »).

Par ailleurs, étant donné que les (modules des) coefficients sont décroissants en n (d’autant plus ra-pidement que le signal est régulier), les modes sont de moins en moins énergétiques lorsque n croît. Cephénomène se remarque graphiquement sur la figure ci-dessus.

Enfin on peut montrer que à N modes fixé, la somme partielle de Fourier SN minimise l’écart qua-dratique à F i.e. la différence �N suivante est minimale :

(3.31) �N =1

T

Z T

0

|F (x)� SN(x)|2 dx

En d’autres termes, la décomposition d’un signal en série de de Fourier est optimale en terme demoyenne quadratique.

3.3.5. Discontinuité et phénomène de Gibbs. Le phénomène de Gibbs désigne les oscillations que l’onobserve en approximation aux voisinages des points de discontinuité de la fonction approchée. Dans leprésent contexte, F (x) est approchée par SN(x).

Pour illustrer ce phénomène de Gibbs, cf les figures ci-dessous.Le k-ième polynôme trigonométrique de la somme partielle de Fourier SN(x) est de classe C1 donc

a-fortiori continue ( !). Il ne peut alors approcher uniformément F (x) en ses points de discontinuités...En dehors des voisinages de points de discontinuités, la série de Fourier converge uniformément vers

F (x) : sur la figure SN(x) est graphiquement indiscernable pour N = 250.Par contre, aux voisinages des points de discontinuité, SN(x) présente une oscillation (un « sursaut »)

qui reste à variation bornée non nulle. En effet si l’on considère N de plus en plus grand, ces sursauts(non souhaités) convergent vers une valeur finie non nulle...


Figure 3.3. Approximation de fonctions F (x) réelles, discontinues, par SN(x) et phéno-mène de Gibbs.(G) Fonction linéaire par morceaux, discontinue. N=5 i.e. les 5 premiers modes considérés.(D) Fonction créneau (constant par morceaux avec discontinuités). N=10, 50 et 250 : lesoscillations aux discontinuités ne s’estompent pas pleinement.Sources images : Wikipédia.

3.4. Théorème de Jordan-Dirichlet : conditions suffisantes de convergence. Jusqu’a présentnous avons effectué des calculs « formels » en supposant que les séries considérées étaient convergentes ;hypothèse absolument indispensable pour pouvoir mener les calculs présentés. A présent posons laquestion de savoir sous quelles conditions une fonction F peut être développée en série de Fourier.

Le théorème dit de Jordan-Dirichlet (fréquemment appelé théorème de Dirichlet) ci-dessous fournitdes conditions suffisantes pour qu’une fonction T -périodique soit représentable par une série de Fourier,et que la série de Fourier correspondante soit convergente.

Théorème 1. Soit une fonction F (x) définie de R à valeurs dans C ou R; F de classe C1 par morceauxet périodique de période T .La série de Fourier associée (3.1) ou (3.15) converge en tout point x vers :F (x) aux points x où F est continue,12(F (x+) + F (x�)) aux points x où F est discontinue (discontinuité de 1ère espèce).

En résumé, toute fonction F suffisamment régulière (de classe C1 par morceaux), présentant « au pire »des points de discontinuité de 1ère espèce (F reste à variations bornées), F T- périodique, peut êtredéveloppée en série de Fourier (réelle ou complexe).

Lorsqu’elle existe, cette décomposition est unique.

La principale limitation de la décomposition d’une fonction F en somme d’harmoniques est donc l’as-pect périodique de la fonction considérée. Une série de Fourier permet de développer un phénomènepériodique en une série de sinus et cosinus (ou exponentielles complexes). En pratique une onde so-nore par exemple peut être représentée comme une sommes d’harmoniques dont les fréquences sont ennombre (potentiellement) infini mais discret et dénombrable. Une tension électrique périodique peut êtrereprésentée par une série de Fourier ; là aussi comme une superposition d’un ensemble potentiellementinfini mais dénombrable de tensions alternatives de fréquences bien définies. En optique, une lumièreconstituée d’un ensemble discret de longueurs d’onde peut-être également être représentée par une série


de Fourier.

Et dans le cas d’une fonction non périodique ? Si la fonction considérée F (x) est C1 par mor-ceaux dans un intervalle I = [�T/2, T/2] donné, il est alors envisageable de prolonger F par périodicité.Ensuite sa série de Fourier S(x) sera convergente vers F (x), ou bien 1

2(F (x+) + F (x�)) selon, maisseulement aux points x appartenant à I bien entendu.

Notons qu’il peut être judicieux de considérer un intervalle I = [0, T/2] puis de prolonger par symétrie(ex. en fonction paire) puis par périodicité ; le développement en série de Fourier n’en sera alors que plussimple.


4. Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier

Calculons les séries de Fourier de quelques fonctions simples mais usuelles.

4.1. Fonction chapeau, continue. Soit la fonction T�périodique qui vérifie : F (x) = |x| pour x 2[�T/2,+T/2].

Cette fonction est C1 par morceaux et bornée. D’après le théorème de Jordan-Dirichlet, elle admetun développement en série de Fourier.

Calculons son Développement en Série de Fourier (DSF).Tracer le graphe de F . Cette fonction étant réelle paire, il est judicieux de son DSF S(x) sous forme

réelle qui pour une fonction paire s’écrit :

(4.1) S(x) =a02

+X

n�1

an cos (!nx)

Le coefficient a0 est :

(4.2) a0 =2

T

Z +T/2

�T/2

|x| dx =4

T

Z +T/2

0

|x| dx =T

2

Les coefficients an, n � 1, s’écrivent comme suit du fait de la parité de l’intégrande (F (x) cos(!nx)) :

an =4

T

Z T/2

0

x cos(!nx)dx

Après intégration par parties, on obtient :

an =4

T

1

n![x sin(!nx)]T/20 � 4

T

1

n!

Z T/2

0

sin(!nx)dx = ... =T

⇡2n2(cos(n⇡)� 1)

Soit :

(4.3) an =T

(n⇡)2((�1)n � 1) =

(0 pour n pair, n � 2�2T(n⇡)2 pour n impair, n � 1

D’où le DSF S(x) de F (x) :

(4.4) S(x) =T

4+

(�2T )

⇡2cos(

2⇡

Tx) +

(�2T )

9⇡2cos(

2⇡

T3x) + etc

Et en vertu des propriétés de F et du théorème, cette série S(x) converge vers F (x) en tout point xde R.

4.2. Fonction linéaire par morceaux, discontinue. On considère la fonction F, 2⇡ périodique, telleque : F (x) = x pour x 2]� ⇡,+⇡].Tracer le graphe de F .

Cette fonction est C1 par morceaux et bornée donc d’après le théorème de Jordan-Dirichlet elle admetun Développement en Série de Fourier (DSF).

Calculons son DSF.Cette fonction étant réelle impaire, son DSF S(x) sous forme réelle s’écrit :


(4.5) S(x) =X

n�1

bn sin (!nx)

Avec les coefficients bn, n � 1, qui s’écrivent comme suit du fait de la parité de l’intégrande (F (x) sin(!nx)) :

bn =4

T

Z T/2

0

x sin(!nx)dx

Après intégration par parties, on obtient :

(4.6) bn = ...

A ecrire en exercice.

D’où le DSF S(x) de F (x) :

(4.7) S(x) = ...+ etcEt en vertu des propriétés de F et du théorème, cette série S(x) converge vers F (x) en tout point x

de R.L’égalité F (x) = S(x) est vérifiée en tout point x où F est continue.A contrario en ses points de discontinuité, S(x) est égale à la moyenne arithmétique des limites de F

à gauche et à droite, c’est-à-dire à zéro.

4.3. Fonction créneau (discontinue). On considère la fonction F, 2⇡ périodique, telle que : F (x) =�1 pour x 2]� ⇡, 0] et F (x) = 1 pour x 2]0,+⇡].

Cette fonction est C1 par morceaux et bornée. D’après le théorème de Jordan-Dirichlet, elle admetun DSF.

Les coefficients de sa série de Fourier, forme réelle, sont :

A ecrire en exercice.

L’égalité F (x) = S(x) est vérifiée en tout point x où F est continue.En ses points de discontinuité, S(x) est égale à la moyenne arithmétique des limites de F à gauche et

à droite, c’est-à-dire à zéro.

La distribution (mesure) de Dirac


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Janvier 2019

Résumé

Introduction à l’objet mathématique « Dirac ».Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’in-génieur INSA.

Table des matières1 Caractéristiques & concepts préliminaires 2

1.1 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Définition de �(x) par passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Introduction (très brève) aux distributions et leurs dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Fonctions C1 à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Notion de dérivée au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Définition et propriétés fondamentales de � 52.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Fonction échelon (Heaviside) et Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Elément neutre de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Transformée de Fourier F(�) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Transformée de Laplace L(�) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Le peigne de Dirac 73.1 Dirac translaté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

Figure 0.1 – Représentation graphique de la distribution de Dirac �(x).

Paul Dirac (1902-1984) est un mathématicien et physicien britannique. Il est l’un des pères de lamécanique quantique ; il a prévu l’existence de l’antimatière. Il est co-lauréat avec E. Schrödinger du prixNobel de physique de 1933 « pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique».Il a introduit la distribution � désormais dite distribution de Dirac.

1 Caractéristiques & concepts préliminaires

1.1 Caractéristiques

Le Dirac noté �(x) est une « pseudo-fonction » qui possède les caractéristiques suivantes :

�(x) =

(+1 si x = 0

0 sinon(1.1)

Z

R�(x)dx = 1 (1.2)

Le graphe de �(x) peut être donc être représenté par l’axe des abscisses en entier et le demi-axe desordonnées positives.

Avec « le Dirac » �(x) on souhaite représenter une impulsion, un évènement ponctuel (infinimentcourte), « d’énergie » non nulle mais finie.

Illustrons cela avec l’exemple suivant. Pour représenter, modéliser la trajectoire et la vitesse d’uneballe de tennis au service, nous pouvons représenter l’impulsion donnée en t = 0 par la raquette par �.(Ce terme représentant la condition initiale dans l’équation classique de mécanique newtonienne, uneéquation différentielle ordinaire d’ordre 2).

On remarque que les caractéristiques de �(x) ne sont pas celles d’une fonction mathématique tellesque définies usuellement. Il s’agit en fait d’un objet mathématique plus général que l’on appelle « distri-bution » (il s’agit plus même précisément d’une « mesure »). On parle de la mesure ou de la distributionde Dirac.

1.2 Définition de �(x) par passage à la limite

Formellement le Dirac peut être défini à partir d’outils classiques d’analyse mathématique par pas-sage à la limite.

2

Figure 1.1 – �(x) fonction infiniment régulière (gaussienne « normalisée ») à support compact : � 2D(R).

Soit fn(x) la suite de fonctions définie comme suit :

fn(x) =

(n pour x 2 [� 1

2n ,+12n ]

0 sinon(1.3)

On a bien : fn(x) !n!1 �(x) pour tout x etRR fn(x)dx = 1 pour tout n.

Formellement à nouveau, le Dirac peut être perçu comme étant la limite lorsque a tend vers 0 dela gaussienne centrée suivante : 1

ae�(x/a)2 .

1.3 Introduction (très brève) aux distributions et leurs dérivées

On introduit ici extrêmement brièvement le concept mathématique de « distribution » et de leurdérivée ; concepts dont on a besoin par la suite.

Une distribution est un objet mathématique qui généralise la notion de fonction. La théorie desdistributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et pas nécessairementdérivables au sens usuel (...).

Les distributions sont utiles en physique (au sens large) et en ingénierie où beaucoup de phénomènessont en fait discontinus. Leur représentation mathématique (modélisation) conduit alors à des équationsdifférentielles (Equations aux Dérivées Partielles notamment) dont les solutions sont des distributionset non des fonctions usuelles.

1.3.1 Fonctions C1 à support compact

Pour évaluer « l’action » d’une distribution nous nous appuyons suffisamment régulières et à supportcompact.

On note l’espace des fonctions �(x) indéfiniment dérivables, � 2 C1(R), qui s’annulent, ainsi que

toutes leurs dérivées, en dehors d’un fermé borné par C1c (R) ou encore D(R).

De telles fonctions suffisamment régulières (disons C1 pour être tranquilles) et à support compact

sont au cœur de la théorie des distributions.

Un exemple type de fonction de D(R) est une gaussienne prolongée par 0. Par exemple la fonctionsuivante :

�(x) =

(exp

� �11�x2

�pour |x| < 1

0 sinon.(1.4)

3

1.3.2 Notion de dérivée au sens des distributions

Si une distribution T (x) est régulière i.e. une fonction au sens usuel alors on a :

< T (x),�(x) >=

Z

RT (x)�(x) dx 8� 2 C0

c (R) (1.5)

où < ., . > désigne le crochet de dualité pour les distributions, une sorte de produit scalaire.C’est donc au travers des valeurs de ce crochet de dualité, une intégration du produit par la « fonctiontest » �, que nous mesurons l’ »action » d’une distribution T .

Définissons la dérivée au sens des distributions dans le cas d’une fonction usuelle.Soit f(x) de classe C

1(R). Par intégration par parties, on a :Z

Rf0(x)�(x) dx = �

Z

Rf(x)�0(x) dx 8� 2 C1

c (R) (1.6)

En effet, la fonction test � est par construction nulle aux bords (ainsi que toutes ses dérivées) car àsupport compact (les termes de bords s’annulent donc toujours dans les intégrales considérées).

A noter que pour définir la dérivée au sens des distributions (dérivée également dite au sens faible),� appartenant à C1

c (R) suffit, pas besoin de C1c (R).

Pour f(x) fonction usuelle de classe C1(R) (qui définit donc une distribution régulière), la dérivée

de f au sens des distributions est égale à sa dérivée au sens usuel. Sa dérivée f0(x) peut par ailleurs être

caractérisée par l’égalité (1.6).

Pour une distribution non régulière T (x) ou encore une fonction non dérivable au sens usuel, onétend la propriété caractérisant la dérivée comme suit :

< T0(x),�(x) >= � < T (x),�0(x) > 8� 2 C1

c (R) (1.7)

« T0 » est défini comme étant l’objet mathématique (une distribution, non nécessairement une fonc-

tion) vérifiant (1.7).

L’étude des distributions est une thématique des mathématiques en soi, non triviale, et qui ne fait pasl’objet du présent cours. Nous avons besoin ici de concepts introductifs uniquement et ce pour pouvoirmanipuler la distribution de Dirac �(x) et la dérivée d’un saut.

4

2 Définition et propriétés fondamentales de �

2.1 Définition

La distribution de Dirac � est caractérisée par la propriété suivante :Z

R�(x) �(x) dx = �(0) 8� 2 C

0c (R) (2.1)

2.2 Fonction échelon (Heaviside) et Dirac

Soit la fonction échelon (aussi appelée fonction de Heaviside) définie par :

H(x) =

(0 pour x < 0

1 sinon(2.2)

Cette fonction élémentaire est omniprésente en ingénierie, notamment en signal (au sens large). Aussielle représente la discontinuité de 1ère espèce (saut d’amplitude borné) le plus simple qui soit.

H(x) est C1 par morceaux (c’est une constante sur chaque morceau) mais non continue sur R toutentier car discontinue en x = 0.

H(x) n’est donc bien sûr pas dérivable en x = 0, au sens usuel de la dérivée...

Cependant on a le résultat fondamental suivant : la distribution de Dirac � est égale à la dérivée au sensdes distributions de la fonction échelon H(x). Soit :

H0(x) = �(x) 8x (2.3)

C’est à dire que la dérivée d’un saut (au sens des distributions) est tout simplement le Dirac.

Montrons ce résultat. Au sens des distributions, on a :

< H0(x),�(x) >= � < H(x),�0(x) >= �

Z

RH(x)�0(x) dx 8� 2 C1

c (R) (2.4)

d’après (1.7) et (1.5) (H(x) est une fonction donc une distribution régulière).Soit : 8� 2 C1

c (R) ,

< H0(x),�(x) >= �

Z +1

0

�0(x) dx = �[�(x)]+1

0 = +�(0) =

Z

R�(x)�(x) dx (2.5)

D’où le résultat H 0 = �.

2.3 Elément neutre de la convolution

Rappelons la définition du produit de convolution. Soient (f, g) fonctions définies dans R (ou C), fet g fonctions intégrales sur R, on a :

(f ⇤ g)(x) =Z

Rf(x� y)g(y) dx (2.6)

5

On montre que le Dirac �(x) est l’élément neutre de la convolution :

� ⇤ � = � (2.7)Cette propriété est centrale en traitement du signal.Exercice : montrer cette propriété. (Immédiat).

2.4 Transformée de Fourier F(�)

La transformée de Fourier de � est la fonction constante 1 :

�(⇠) ⌘ F(�)(⇠) = 1 8⇠ (2.8)En effet, formellement par définition on a (cf cours « Transformée de Fourier) :

8⇠ 2 R, �(⇠)=Z

Re�ix·⇠

�(x) dx = e�i0·⇠ = 1 (2.9)

2.5 Transformée de Laplace L(�)La transformée de Laplace (cf cours « Transformée de Laplace ») de � est la fonction constante 1 :

L(�(x))(p) = 1 8p (2.10)

Démonstration. Soit gn(x) une suite de fonctions semblable à celle définie par (1.3) mais « causale »(cf cours « Transformées de Laplace ») :

gn(x) =

(n pour x 2 [0,+ 1

n ]

0 sinon(2.11)

On a (à nouveau) bien : gn(x) !n!1 �(x) pour tout x etRR gn(x)dx = 1 pour tout n.

Sa transformée de Laplace s’écrit :

L(gn(x))(p) =Z +1

0

gn(x) e�px

dx = n

Z 1/n

0

e�pxdx =

n

p(1� exp(� p

n)) (2.12)

Un passage à la limite en n conduit à une indétermination. On effectue alors le changement devariable y = p

n . On obtient :

limn!+1

L(gn(x))(p) = limy!0

✓1� exp(�y)

y

◆

Or :⇣

1�exp(�y)y

⌘⇠0 (1� y). D’où : limn!+1 L(gn(x))(p) = 1.

On en déduit alors le résultat L(�)(p) = 1 (en supposant que : limn L(gn(x))(p) = L(limn gn(x))(p) =L(�(x))(p)).

A noter que formellement on a bien : limn L(gn(x))(p) = L(limn gn(x))(p) = L(�(x))(p).Par contre montrer rigoureusement ces deux égalités n’est pas trivial et requiert des outils mathé-

matiques hors du champ de ce cours.

6

2.6 Dérivée

NB. Propriété a-priori non nécéssaire dans notre contexte.Le calcul de la dérivée du Dirac (au sens des distributions bien sûr) donne :

8� 2 C1c (R), h�0,�i= ��

0(0) (2.13)

Tous ces résultats restent valables dans Rn.

3 Le peigne de Dirac

3.1 Dirac translaté

L’impulsion « d’énergie » finie à représenter mathématiquement n’est pas nécessairement en x = 0.On définit alors simplement par translation le Dirac translaté de a, a 2 R, noté �a par :

�a(x) = �(x� a) (3.1)

On a alors :Z

R�(x) �a(x) dx = �(a) 8� 2 C

0c (R) (3.2)

3.2 Peigne de Dirac

3.2.1 Définition

Le point de départ de la numérisation, échantillonnage, est la discrétisation d’un signal continue F (x).Mathématiquement cette étape est effectuée à l’aide du peigne de Dirac. Il s’agit de la distribution notée

�x(x) et définie par :

�x(x) =k=+1X

k=�1

�k,�x(x) =k=+1X

k=�1

�(x� k�x) (3.3)

La caractérisation fondamentale du peigne de Dirac s’écrit :

Z

R�(x) ⌧ (x) dx =

k=+1X

k=�1

�(k⌧) (3.4)

On remarque que le calcul approché d’une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent aucalcul de l’intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.

7

Figure 3.1 – Représentation graphique du peigne de Dirac ⌧ (t) =P

k2Z �k,⌧ (t).

3.2.2 Propriétés

Pour aller plus loin.On note ⌧ = �x la période du peigne (qui est une distribution et non une fonction...) et ! = 2⇡

⌧ .Le peigne peut être développé en série de Fourier (après extension du concept aux distributions et

plus aux seules fonctions C1 par morceaux) ; o on obtient :

⌧ (x) =1

⌧

k=+1X

k=�1

exp(i!kx) (3.5)

Transformée de Fourier du peigne de Dirac. Par linéarité de la transformée de Fourier on a :

[�x(⇠) = F

k=+1X

k=�1

�k,�x(x)

!=

k=+1X

k=�1

F (�k,�x(x)) (3.6)

Soit :

[�x(⇠) =k=+1X

k=�1

Z

R�k,�x(x) exp (�ix⇠) dx =

k=+1X

k=�1

exp (+i k �x ⇠) (3.7)

On obtient finalement :

d⌧ (⇠) =

1

⌧1/⌧ (x) (3.8)

La transformée de Fourier du peigne de Dirac est un (autre) peigne de Dirac.

8

Transformée de Fourier


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Résumé

Introduction aux transformées - intégrales de Fourier, un outil mathématique essentiel pour l’in-génieur.Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’in-génieur INSA.

Table des matières1 Introduction 3

2 Définitions & fondamentaux 42.1 Définition de la transformée de Fourier F(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Remarques & premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Exemple usuel : fonction porte et sinus cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 La transformée inverse F�1(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Expression de F�1(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2 Interprétation de la transformée en terme de projection orthogonale . . . . . . . . 62.4.3 Quelques relations liant F et F�1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Propriétés élémentaires de F(·) 83.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Changement d’échelle - dilatation dans le « domaine temporel » . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Translation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Dérivation dans le domaine temporel & conséquence en terme de spectre . . . . . . . . . 93.5 Dérivation dans le domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 Symétrie du graphe de |F (⇠)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

4 Le produit de convolution ⇤ 114.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Propriétés plus avancées de F(.) 135.1 Transformée de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Egalité de Plancherel-Parseval : conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Transformée de Fourier et gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3.1 Les fonctions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.2 Transformée d’une gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Pour aller plus loin 166.1 Principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Lien entre la transformée de Fourier et une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 Vers la transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

Figure 1.1 – J.-B. Joseph Fourier (1768- 1830), mathématicien et physicien français, est connu pour avoirdéterminé par le calcul la diffusion de la chaleur en utilisant la décomposition d’une fonction quelconque en unesérie trigonométrique convergente i.e. les séries de Fourier.La méthode de calcul permettant de passer, de façon réversible, d’une fonction à la série trigonométrique cor-respondante est la transformée de Fourier. Cette méthode est incontournable en théorie du signal, imagerienumérique, compression de données, dans l’exploitation des systèmes 3G, 4G. Source. e.g. Wikipedia.

1 IntroductionLa transformée de Fourier est une extension pour les fonctions non périodiques du développement

en série de Fourier des fonctions périodiques.La transformée (continue) de Fourier (également appelée intégrale de Fourier) associe à une fonction

F (x) (à valeurs dans R ou C) est une autre fonction notée F(F (x))(⇠) ou plus simplement F (⇠) ; ⇠ estune variable indépendante de x, appelée variable duale.

Lorsque la fonction F (x) représente un signal physique au sens large e.g. une image, une onde sonore,électromagnétique (x désignant la variable de temps ou d’espace), sa transformée de Fourier F (⇠) estson spectre avec ⇠ qui représente la fréquence ou la pulsation.

Notons que la variable duale est ici continue et non discrète comme c’était le cas avec les séries deFourier (l’indice n) ; aussi une intégrale n’est rien d’autre qu’une « somme continue »...

Les transformées - intégrales de Fourier constituent un pilier de “l’analyse de Fourier” qui ont parla suite constitué une base majeure de diverses branches mathématiques (e.g. l’analyse harmonique 1 etses liens forts avec des outils mathématiques modernes) et de l’analyse du signal (jusqu’aux ondelettes).Aussi cette transformation mathématique peut être très utile pour résoudre certaines équations diffé-rentielles car bien plus simple à résoudre dans l’espace de Fourier (l’espace fréquentiel).

1. L’analyse harmonique consiste à étudier la représentation de fonctions, signaux comme superposition d’ondes debase ; les ondes de base s’appellent les harmoniques,

3

Figure 1.2 – (G) Exemple de fonction-signal (réel) F (x) oscillant à 3 Hertz et exponentiellement amorti.(D) Module de sa transformée de Fourier |F (⇠)| représentant le « volume » d’information fréquentiellecontenue dans le signal F ; noter les pics en ±3 Hz. (Généralement F (⇠) est une fonction complexe etnon réelle). Images extraites de Wikipédia.

2 Définitions & fondamentaux

2.1 Définition de la transformée de Fourier F(·)Définition 1. Soit une fonction F (x) à valeurs dans C (ou R), F intégrable sur R au sens F 2 L1(R) :l’intégrale généralisée

R +1�1 |F (x)| dx est finie i.e. convergente.

La transformée de Fourier de F est la fonction F(F ) = F définie par :

F(F ) : ⇠ 7! F (⇠) =

Z +1

�1F (x) e�i⇠x dx (2.1)

où eiz désigne l’exponentielle complexe.Notons que même pour F à valeurs dans R, F est (a-priori) à valeurs dans C.

La transformation de Fourier F est un opérateur qui transforme une fonction F (x) sur R, intégrable,en une autre fonction F (⇠) ; ⇠ est appelée variable duale.

2.2 Remarques & premières propriétés1. Il est possible de choisir une définition légèrement différente pour la transformation de Fourier ;

cela n’est qu’une question de convention dont les conséquences ne se sont que des facteurs mul-tiplicatifs dans les formules à venir (notamment dans l’expression de la transformée de Fourierinverse). Typiquement selon les communautés scientifiques, e.g. mécaniciens, électroniciens, phy-siciens quantiques etc, on considèrera les définitions suivantes : F (⇠) =

R +1�1 F (x) e�i2⇡⇠x dx ou

encore F (⇠) = 1p2⇡

R +1�1 F (x) e�i⇠x dx.

2. On peut définir la transformée de Fourier pour une fonction F à plusieurs variables : F (x1, ˙. . . , xn).Si on note (·, ·) le produit scalaire de Rn , (x, ⇠) =

Pnj=1 xj⇠j, alors on a :

4

F (⇠) =

Z

Rn

F (x) e�i (⇠,x) dx (2.2)

Typiquement en traitement d’images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimen-sions.

Par ailleurs la transformée de Fourier d’une fonction radiale est radiale.

Pour des raisons de clarté et sans perte importante de généralité, ce cours se limite aux fonctionsà une seule variable.

3. Les situations types sont les suivantes :(a) la variable primale x est le temps (s) ; dans ce cas, la variable duale ⇠ a la dimension d’une

fréquence (Hz). F (⇠) représente alors le spectre fréquentiel du signal F (x).(b) la variable primale x est une position (m) ; dans ce cas, la variable duale ⇠ a la dimension de

l’inverse d’une longueur. ⇠ désigne ce que l’on appelle le vecteur d’onde.

Un exemple physique remarquable sont les phénomènes de diffraction qui donnent uneimage de l’espace dual du réseau ; ils sont en quelque sorte une « machine naturelle à trans-formation de Fourier ».

Le théorème de Riemann-Lebesgue (également appelé lemme intégral de Riemann-Lebesgue) stipuleles points suivants.

— La transformée de Fourier F (⇠) est une fonction continue (alors que F (x) ne l’est pas forcément !).— A l’infini, la transformée de Fourier F tend vers 0 :

lim⇠!±1

F (⇠) = 0 (2.3)

— On a l’estimation : kFk1 kfk1 .

2.3 Exemple usuel : fonction porte et sinus cardinalConsidérons la fonction porte (ou fonction créneau) de largeur L définie par : P (x) = 1 pour x 2

[�L/2,+L/2] et 0 sinon. On calcule sa transformée de Fourier.On remarque : 8a,

R +a

�a eixdx =R +a

�a cos x dx+ iR +a

�a sin x dx = 2R +a

0 cos x dx.D’où : P (⇠) = 2

R L/2

0 cos(2⇡⇠x) dx. Et donc :

P (⇠) =

(sin(L⇡⇠)

⇡⇠ si ⇠ 6= 0

L si ⇠ = 0(2.4)

La fonction (sin x/x) s’appelle le sinus cardinal ; elle est notée sinc, cf Fig.On remarque que l’on a bien conformément au théorème de Riemann-Lebesgue : lim⇠!±1 P (⇠) =

0. Aussi bien que la fonction originale ne soit pas continue, sa transformée de Fourier l’est.Le spectre fréquentiel du « signal porte » est réel (et non complexe). On verra par la suite que ceci

est dû au fait que le signal P (x) est réel pair.

5

Figure 2.1 – (G) La fonction porte (pour L = 1). (D) Sa transformée de Fourier : le sinus cardinal.Images extraites de Wikipédia.

2.4 La transformée inverse F�1(·)Pour tout transformée de fonction (Fourier, Laplace et d’autres moins usuelles), il est indispensable

pour l’usage de l’ »outil mathématique » que l’on sache à l’espace originel. Dans le cas présent, il estnécessaire de savoir caractériser une - la transformée inverse F�1 qui vérifierait : F�1 � F(F (x)) =F�1(F (⇠)) = F (x).

2.4.1 Expression de F�1(·)

Si F (⇠) est intégrable sur R, on peut montrer (ça n’est pas trivial du tout ! ) que :

F (x) = F�1(F )(x) =1

2⇡

Z +1

�1F (⇠) e+i⇠x d⇠ (2.5)

On remarque que l’expression de la transformée inverse F�1 est très semblable à celle de la transfor-mation directe F . En effet seul change le signe de l’exponentielle complexe : +i au lieu de �i ! (Modulole facteur multiplicatif 1

2⇡ , facteur qui dépend de la définition choisie de F).

Cette transformation inverse implique qu’à partir des variations fréquentielles on peut retrouver lesvariations temporelles.

A noter que cette transformation inverse permet de remonter à F en tout point x que si F estcontinue sur R, et au sens presque partout sinon.Notons également que F (⇠) n’appartient pas nécessairement à L1(R) ! Un exemple est le sinus cardinalsinc qui est continue, borné, qui tend vers 0 à l’infini mais qui n’est pas dans L1(R).

2.4.2 Interprétation de la transformée en terme de projection orthogonale

Soit f une fonction de L2(R) à valeurs dans C (ou R) c’est à dire que f est de carré intégrable :RR |f |

2(x) dx < +1.

6

Cet espace L2 est un espace dit de Hilbert muni du produit scalaire hermitien suivant : < f, g >=RR f(x) g(x) dx.

Pour F (x) 2 L1(R) \ L2(R) , on a alors :

F (⇠) =< f(x), e+i⇠x > (2.6)

Autrement dit, F (⇠) est le projeté orthogonale de F (x) sur l’harmonique e�i⇠x .

De même (modulo le facteur multiplicatif (2⇡)�1) pour la transformée de Fourier inverse : F�1(F )(x) =12⇡ < F (x) , e�ix⇠ > .

2.4.3 Quelques relations liant F et F�1

Par définition on a : F(F (�x))(⇠) =RR F (�x) exp(�ix⇠) dx. (Attention au signe de l’exponentielle).

En effectuant le changement de variable y = (�x), on obtient : F(F (�x))(⇠) =RR F (y) exp(+iy⇠) dy.

Donc :

F(F (�x))(⇠) = F(F (x))(�⇠) (2.7)

Par conséquent : 2⇡F�1(F (x))(⇠) =RR F (x) exp(+ix⇠) dx = F(F (�x))(⇠) = F(F (x))(�⇠).

Soit à x donné,

F(F (�x))(⇠) = 2⇡F�1(F (x))(⇠) 8⇠ (2.8)

Ou encore :

F2(F (x)) = 2⇡ F (�x) 8x (2.9)

Par récurrence on obtient : F4(F (x)) = (2⇡)2F (x). Soit :

F4 = (2⇡)2Id (2.10)

L’opérateur de Fourier F(.) est donc « 4 - périodique » (modulo le facteur multiplicatif (2⇡)2).

On a également :

F3 = (2⇡)2 F�1 (2.11)

La transformée inverse F�1 peut donc aussi s’exprimer en fonction de F3.

7

3 Propriétés élémentaires de F(·)Présentons les propriétés élémentaires fort utiles de la transformée de Fourier F(·).

3.1 LinéaritéPar construction, l’opérateur transformée de Fourier F(·) est linéaire.En effet, pour (f, g)(x) fonctions satisfaisant les conditions d’existence de leurs transformées de

Fourier respectives, et pour tout (a, b) 2 R2,

F (af(x) + bg(x)) = aF (f(x)) + bF (g(x)) = af + bg (3.1)

3.2 Changement d’échelle - dilatation dans le « domaine temporel »Pour tout a 2 R⇤, on a :

F(f(ax))(⇠) =1

|a| f✓⇠

a

◆(3.2)

La dilatation dans un des deux domaines (temporel ou fréquentiel) implique une dilatation inversedans l’autre.

Un exemple illustrant ce phénomène est lorsque l’on lit avec un disque vinyl 33 tours à 45 tours parminute (demandez à vos (grands)-parents si besoin :). Cela engendre une augmentation de la fréquencedu signal audio (facteur noté a dans le tableau récapitulatif, a > 1) : on dilate le signal audio dans ledomaine temporel ce qui le dilate de manière inverse dans le domaine fréquentiel. (Cela amusait beau-coup les enfants que l’on était !).

Soit F une fonction à support borné i.e. 9x0 2 R, 8|x| > x0, F (x) = 0.Cette propriété montre également que : « Supp(F ) croît » si et seulement « Supp(F ) décroît, et

inversement.

3.3 Translation temporellePour tout a 2 R, on a :

F(f(x� a))(⇠) = e�i a⇠ f(⇠) (3.3)

A une translation de F (x) correspond un déphasage de F (⇠) ; le terme Im(e�i⇠a) = � sin(a⇠) étantun facteur de phase.

Modulation (= translation fréquentielle)Pour tout a 2 R, on a :

F(eiaxf(x))(⇠) = f (⇠ � a) (3.4)

8

3.4 Dérivation dans le domaine temporel & conséquence en terme de spectreSi F est intégrable sur R et dérivable, si sa dérivée F 0 est intégrable sur R alors la transformée de

Fourier de la dérivée de F est :

cF 0(⇠) = i ⇠ F (⇠) (3.5)

Par récurrence pour F de classe Ck et si chaque fonction dérivée est intégrable sur R, on obtient :

dF (k)(⇠) = (i ⇠)k F (⇠) (3.6)

Conséquence importante : régularité de F et décroissance de son spectre.

On déduit de la propriété précédente que pour F de classe Ck,�� bF (⇠)

�� ⇠+11

⇠kdF (k)(⇠) (3.7)

C’est à dire que plus F est régulière plus le module de son spectre F décroît rapidement vers 0 à l’infini.

Exercice. Illustrer cette propriété importante à l’aide de deux graphes correspondant l’un à l’autre :l’un dans le domaine temporel, l’autre dans le domaine fréquentiel.

3.5 Dérivation dans le domaine fréquentielDans notre contexte cette propriété est moins fondamental.Si F est dérivable, on a :

F0(⇠) = �i \xF (x) (⇠) (3.8)

Par récurrence pour F de classe Ck, on obtient :

F (k)(⇠) = (�i)k \xkF (x) (⇠) (3.9)

On en déduit la majoration suivante :��F (k)(⇠)

�� Z

R|x|k|f(x)| dx (3.10)

3.6 ParitéSoit F (x) une fonction à valeurs dans R. On montre immédiatement que :— Si F (x) est réelle paire alors F (⇠) est réelle paire.

En effet, on a dans ce cas :

F (⇠) = 2

Z +1

0

F (x) cos(⇠x) dx (3.11)

— Si F (x) est réelle impaire alors F (⇠) est imaginaire pure, impaire.En effet, on a dans ce cas :

9

Figure 3.1 – Récapitulatif des propriétés de la transformée de Fourier. Tableau extrait de Wikipédia.

F (⇠) = �2i

Z +1

0

F (x) sin(⇠x) dx (3.12)

3.7 Symétrie du graphe de |F (⇠)|On a :

��F (⇠)��2

=

��Z

RF (x) cos(⇠x) dx

��2

+

��Z

RF (x) sin(⇠x) dx

��2

(3.13)

Donc : 8⇠ 2 R,��F (�⇠)

��2

=��F (⇠)

��2

.

Le module de F (⇠) est une fonction paire. (On peut le remarquer sur les figures indiquant |F (⇠)|).

Valeur de F (0). En posant ⇠ = 0 dans (2.1), on obtient que F (0) est la valeur de l’intégrale de F surle domaine.

10

Figure 4.1 – Produit de convolution de 2 fonctions portes. Voir sur Wikipedia Fr la vidéo correspon-dante.

4 Le produit de convolution ⇤On introduit ici quelques concepts mathématiques fondamentaux dont on a besoin par la suite.

4.1 DéfinitionLe produit de convolution noté ⇤ est un opérateur bilinéaire, un produit commutatif.

Définition 2. Soient (f, g) deux fonctions définies dans R (ou C). Si f et g sont intégrales sur R, ondéfinit :

(f ⇤ g)(x) =Z

Rf(x� y)g(y) dx (4.1)

Le produit de convolution de deux fonctions est une autre fonction.Dans l’intégrale, les deux fonctions sont parcourues en sens contraire l’une de l’autre, cf Fig. et vidéo

correspondante.

Le produit de convolution généralise l’idée de moyenne glissante. Cela peut être vu comme étant estla représentation d’un filtre linéaire. Le produit de convolution est omniprésent en traitement d’image,traitement du signal pour les filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande). Si l’on a un signal entrant e(t)et un élément filtrant ayant une fonction de transfert h(t) alors le signal de sortie s(t) sera la convolutionde ces deux fonctions : s = e ⇤ h.

Du point de vue mathématique cela permet d’étudier le comportement local d’une fonction f auvoisinage d’un point x, en choisissant la fonction g suffisamment « concentrée ». Une fonction type pourg est alors une gaussienne.

En statistique, la corrélation croisée est définie à partir d’une formule semblable.

A noter que l’on peut définir un produit de convolution discret comme suit : (f⇤g)(n) =P1

m=�1 f(n�m)g(m).

11

4.2 Propriétés de baseSoient f et g sont deux fonctions de L1(R).Les propriétés qui suivent sont quasi-immédiates à montrer (exercice).

Commutativité. Le produit de convolution est commutatif :

(f ⇤ g)(x) = (g ⇤ f)(x) (4.2)

Cette propriété se montre immédiatement en effectuant le changement de variable dans l’expressionde (f ⇤ g)(x).

Le Dirac � est l’élément neutre de ⇤. Pour f dans C0c (R), on a : 8x 2 R,

(� ⇤ f)(x) = f(x) (4.3)

Cette propriété se déduite immédiatement de la définition (4.1) de la propriété fondamentale de �(x).

Translation. (Propriété moins importante dans notre contexte).Le produit de convolution est invariant par translation au suivant.Notons ⌧h(·) la translation d’une fonction f(x) : ⌧h(f(x)) = f(x� h). On a alors :

⌧h(f) ⇤ g = ⌧h (f ⇤ g) (4.4)

Cette propriété d’invariance par translation est un élément clef tant en filtrage de signal (indépendancespatial ou temporel du filtre appliqué) que pour les réseaux de neurones convolutifs.

Dérivée. (Propriété moins importante dans notre contexte).Si f et g sont C1(R), si f 0 et g0 sont dans L1(R) alors on a :

(f ⇤ g)0 = f 0 ⇤ g = f ⇤ g0 (4.5)

Estimations mathématiques. (Propriétés moins importantes dans notre contexte). On a estimationssuivantes (admis) :

— Si f , g 2 L1(R) alors (f ⇤ g) appartient à L1(R) ; et : kf ⇤ gkL1 kfkL1kgkL1 .— Soient f 2 L1(R) et g 2 L2(R) alors (f ⇤ g) appartient à L2(R) ; et : kf ⇤ gkL2 kfkL1kgkL2 .— Soient f, g 2 L2(R) alors (f ⇤ g) appartient à L1(R) ; et : kf ⇤ gkL1 kfkL2kgkL2 .

Tous ces résultats restent valables pour des fonctions de Rn.

12

5 Propriétés plus avancées de F(.)

5.1 Transformée de Fourier et convolutionUne propriété forte de F est de transformer le produit de convolution en une multiplication, et

inversement. Cette propriété est centrale dans l’analyse des filtres notamment.

Proposition 3. Pour f, g 2 L1(R), on a : F ((f ⇤ g)(x)) = F (f(x)) · F (g(x)). Autrement noté :

[f ⇤ g(⇠) = f(⇠) · g(⇠) (5.1)

Montrons cette égalité. En vertu du théorème de Fubini (et en supposant tous les termes intégrablessur R), on a :

[f ⇤ g(⇠) =Z

Rg(y)

✓Z

Rf(x� y) exp(�ix⇠) dx

◆dy (5.2)

On effectue le changement de variable z = (x� y). On obtient :

[f ⇤ g(⇠) =Z

Rg(y) exp (�i⇠y)

✓Z

Rf(z) exp(�iz⇠) dz

◆dy (5.3)

Soit le résultat : [f ⇤ g(⇠) = f(⇠) · g(⇠).

De manière similaire on montre que :

df · g(⇠) = f(⇠) ⇤ g(⇠) (5.4)

5.2 Egalité de Plancherel-Parseval : conservation de l’énergieL’égalité de Plancherel-Parseval (issu du théorème de Plancherel) pour les transformées (intégrales)

de Fourier est semblable à celui établi pour les séries de Fourier. Rappelons qu’une intégrale de Fourierest en quelque sorte la prolongation continue des séries de Fourier.

Théorème 4. Soit f une fonction de L2(R) à valeurs dans C ou R, et f sa transformée de Fourier,f 2 L2(R).On a l’égalité :

Z

R|f(x)|2 dx =

1

2⇡

Z

R

��f(⇠)��2

d⇠ (5.5)

Si f est une onde, l’énergie E de cette onde, du signal, est égale à : E = kfkL2 =RR |f(x)|

2 dx.

L’intégraleRR

��f(⇠)��2

d⇠ correspond à la décomposition de f en harmoniques (décomposition dansl’espace fréquentiel).

Cette égalité s’interprète alors comme suit : modulo un facteur multiplicatif (ici (2⇡)�1), l’énergie dusignal est conservée par la transformée de Fourier.

13

Figure 5.1 – Une gaussienne « normalisée » : fonction en cloche, infiniment régulière, paire, décroissantexponentiellement à l’infini.

Décroissance de l’énergie en fonction des fréquences

Ce théorème combiné à la propriété de décroissance fréquentielle (3.7) montre que pour un signalf(x) donné, f d’une certaine régularité Ck, les basses fréquences de f sont les plus énergétiques tandisque les hautes fréquences le sont de moins en moins.

Exercice. Illustrer cette propriété importante à l’aide de deux graphes correspondant l’un à l’autre :l’un dans le domaine temporel, l’autre dans le domaine fréquentiel.

5.3 Transformée de Fourier et gaussienne5.3.1 Les fonctions gaussiennes

Les fonctions gaussiennes sont des fonctions de la forme : f(x) = exp(�x2), cf Fig. Elles ont uneforme caractéristique de courbe en cloche.

Ces fonctions sont très importantes du fait de la densité de probabilité de la loi normale qui est :

f(x) =1

�p2 ⇡

exp

�(x� µ)2

2�2

!(5.6)

où µ est l’espérance mathématique et � est l’écart type. On note N (µ, �) cette loi normale.Rappelons que de nombreux phénomènes (physiques ou non) suivent une distribution de type gaus-

sien, expliqué par le théorème central limite. (Ce théorème stipule que sous certaines conditions la sommede variables aléatoires indépendantes tend vers une variable aléatoire gaussienne).

Le produit de convolution de deux fonctions gaussiennes f(x) = (f1 ⇤ f2)(x) est une fonction gaus-sienne d’écart-type � = (�1 + �2). En probabilités, il s’agit de la densité de probabilité de la somme dedeux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales.

5.3.2 Transformée d’une gaussienne

Un résultat majeur est le suivant : la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne.

Proposition 5. La transformée de Fourier d’une gaussienne centrée en 0 est une gaussienne centrée en0 d’amplitude et écart type modifiés comme suit :

F✓exp

✓� x2

2�2

◆◆(⇠) =

⇣�p2 ⇡⌘exp

��2⇡2�2⇠2

�(5.7)

14

En particulier, si f(x) est la gaussienne normalisée (i.e. telle que kfk2L2 =RR |f(x)|

2 dx = 1) centréeen 0, d’écart type � alors sa transformée de Fourier f(⇠) est la gaussienne centrée en 0, d’écart type��1.

Un exemple physique (parmi bien d’autres) de ce résultat est que les faisceaux lasers sont des fais-ceaux gaussiens.

Démonstration.Calculer « de front » F

⇣exp

⇣� x2

2�2

⌘⌘(⇠) ne semble pas possible.

Par contre on remarque que f(x) = exp⇣� x2

2�2

⌘vérifie l’EDO linéaire d’ordre 1 suivante :

f 0(x) = � x

�2f(x) (5.8)

On effectue ensuite la transformée de Fourier de cette équation différentielle. On obtient :

[f 0(x)(⇠) = � 1

�2\xf(x)(⇠) (5.9)

Or on a vu que : \xf(x)(⇠) = i2⇡bf 0(⇠). D’où :

2i⇡⇠ bf(⇠) = �i1

�22⇡bf 0(⇠) (5.10)

Soit l’équation différentielle :

bf 0

f(⇠) = �4⇡2�2 ⇠ (5.11)

Son unique solution s’écrit :

bf(⇠) = bf(0) exp��2⇡2�2⇠2

�(5.12)

Avec :

bf(0) =Z

Rf(x) dx =

Z

Rexp

✓� x2

2�2

◆dx (5.13)

Cette intégrale s’appelle l’intégrale de gauss ; elle n’est pas triviale à calculer.On admet montré son calcul (e.g. par changement de variables polaires) ; on a :

Z

Rexp

✓� x2

2�2

◆dx =

p2⇡ � (5.14)

On obtient alors finalement :

bf(⇠) =p2⇡ � exp

��2⇡2�2⇠2

�(5.15)

Ce qui montre le résultat.

15

6 Pour aller plus loin

6.1 Principe d’incertitudePour aller plus loin ...On peut remarquer que les répartitions d’une fonction et de sa transformée de Fourier ont des com-

portements opposés : plus la « masse » de f(x) est « concentrée », plus celle de sa transformée f(⇠) estétalée, et inversement. Par conséquent il est impossible de concentrer à la fois la masse d’une fonctionet celle de sa transformée.

Ce compromis entre la dispersion d’une fonction et celle de sa transformée de Fourier dans les espacestemps-fréquence peut être formalisé par le principe dit d’incertitude.

Soit f(x) de carré intégrable, f(x) normalisée, i.e.R1�1 |f(x)|2 dx = 1. (La normalisation est toujours

possible et permet de simplifier les calculs). En vertu du théorème de Plancherel-Parseval, f(⇠) estégalement normalisée.

On quantifie la dispersion de f autour d’un point (ici x = 0) par : D0(f) =R1�1 x2|f(x)|2 dx . Il

s’agit du le moment d’ordre 2 de |f |2 (notion de probabilité).De même pour la fréquence autour du point ⇠ = 0 : D0(f) =

R1�1 ⇠2|f(⇠)|2 d⇠.

Pour f(x) absolument continue, (xf(x)), f 0(x) de carrés intégrables, le principe d’incertitude stipule

que :

D0(f)D0(f) �1

16⇡2(6.1)

En mécanique quantique, cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Heisenberg-Gabor.

L’égalité n’est atteinte que pour la fonction gaussienne f(x) = c exp⇣

�⇡x2

�2

⌘(alors f(⇠) = �c exp (�⇡�2⇠2) ;

c est tel que f est normalisée). Autrement dit les fonctions gaussiennes centrées en 0 minimisent le prin-cipe d’incertitude de Fourier.

6.2 Lien entre la transformée de Fourier et une sériePour aller plus loin.Dans la définition de la transformée (continue) de Fourier (2.1), considérons une discrétisation spatiale

en posant x = n�x.En remplaçant l’intégrale (une somme continue...) en une somme (discrète) sur n, on obtient :

F (⇠) =+1X

n=�1F (n) exp(�i⇠ n�x) (6.2)

La transformée de Fourier de F (x) s’écrit alors comme une décomposition de F en oscillateursharmoniques. Via une « analyse non standard », un lien peut alors être fait entre cette expression et ladécomposition en série de Fourier.

16

6.3 Vers la transformée de Fourier discrètePour aller plus loin.La transformation de Fourier discrète est un outil mathématique de traitement du signal qui est

la version discrète de la transformation de Fourier continue F(.) ; cette dernière étant utilisée pour letraitement d’un signal continue, analogique.

Soit un signal discret s(n), sa transformée de Fourier (discrète) s’écrit :

S(k) =N�1X

n=0

s(n)e�2i⇡k nN 0 6 k < N (6.3)

La fonction discrète S(k) (qui est une somme partielle) est une représentation spectrale discrète dusignal échantillonné s(n).

L’échantillonnage (la numérisation) d’un signal continue pouvant être formalisé avec le peigne deDirac (cf notes de cours sur le Dirac).

17

Transformée de Laplace


[email protected]

Janvier 2019

Résumé

Introduction à la transformée de Laplace et son utilisation pour résoudre des Equations Diffé-

rentielles Ordinaires linéaires (EDO) d’ordre n.

Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’in-

génieur INSA.

Table des matières

1 Introduction 2

2 Définitions & fondamentaux 32.1 Définition de cette transformée de Laplace L(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Conditions d’existence de cette transformée de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Propriétés fondamentales de L(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Opérateur inverse L�1(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.4 Translations et changements d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.5 Transformée d’un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Images de fonctions usuelles 9

4 Résolution d’EDO linéaires par la transformée de Laplace 124.1 Exemple : une EDO linéaire d’ordre 1 très simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Cas général : EDO linéaire d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

Pierre-Simon Laplace (1749 -1827) est un mathématicien, astronome, physicien et homme politiquefrançais, contemporain de la période napoléonienne. Il a apporté des contributions fondamentales dansdifférents champs de la théorie des probabilité, des mathématiques et de l’astronomie.

1 Introduction

Soit f une fonction de R à valeurs dans C (voire Cn donc aussi potentiellement dans R

n ou R).La transformée de Laplace de f(x) notée L(f(x)) est un opérateur intégral conduisant à une nouvellefonction de p, p la variable duale (p indépendante de x). On note : F (p) = L(f(x))(p).

Cette transformation mathématique fut introduite par P.-S. Laplace dans un cadre théorique deprobabilités.

La transformée de Laplace a la particularité de transformer très simplement la dérivée de la fonctionoriginale f . En effet on a : L(f 0(x))(p)= pF (p)–ƒ(0).

Cette propriété permet un traitement simple des Equations Différentielles Ordinaires linéaires (EDO)d’ordre n (avec n � 2 possible). Il suffit de transposer l’équation différentielle dans le domaine de Laplacepour obtenir une équation algébrique relativement simple à manipuler et résoudre.

Pour revenir dans l’espace original (e.g. temporel), contrairement à la transformée de Fourier nous nedisposons pas d’expression explicite simple de la transformée inverse L�1. Mais comme L est injective,par le calcul et l’usage de tables il est possible d’inverser les images obtenues. (En fait la transforméeinverse L�1 est une intégrale dans le plan complexe qui n’est en pratique pas utilisée).

Du fait de ces propriétés, la transformée de Laplace est utilisée en automatique et asservissement

pour déterminer la fonction de transfert d’un système linéaire. Contrairement à la transformée de Fou-rier F qui est utilisée pour la détermination du spectre d’un signal f , L tient compte de l’existence durégime transitoire précédant le régime permanent. Par exemple, la prise en compte de l’allure du signalavant et après la mise en marche d’un générateur de fréquence 1.

Parmi les pré-requis à ce cours figurent les intégrales généralisées et la décomposition en éléments simples

de fractions rationnelles. Des notes de cours sur ces sujets vous sont proposées en complément du présentmanuscrit de cours.

1. Remarque issue de pages Wikipédia

2

2 Définitions & fondamentaux

2.1 Définition de cette transformée de Laplace L(·)Soit f(x) une fonction de R à valeurs dans C ou R.

On appelle fonction causale une fonction définie sur R dont le support est borné à gauche en 0 i.e.f est nulle pour tout x < 0.

Etant donnée une fonction g non causale, il suffit de considérer f(x) = H(x)g(x), H la fonction deHeaviside, pour obtenir la fonction correspondante en version causale.

Dans tout ce cours nous supposerons que toutes les fonctions originales f(x) sont de partie réellecausale : R(f(x)) = 0 pour x < 0.

Définition 1. Soit f(x) une fonction causale (ou de partie réelle causale).On appelle transformée de Laplace la fonction F (p) = L(f(x))(p) qui vérifie :

F (p) =

Z +1

0

f(x) exp(�px) dx (2.1)

Terminologie. F (p) est l’image de l’originale f(x) ; x la variable primale ; p la variable duale.

A noter que p pourrait être une variable complexe. Dans la pratique, p variable réelle est bien souventsuffisant. Dans toute la suite on suppose que p est une variable réelle.

2.2 Conditions d’existence de cette transformée de fonction

La transformée de Laplace d’une fonction est une intégrale généralisée. Celle-ci doit donc être conver-gente pour être bien définie.

Nous renvoyons le lecteur aux notes de cours relatives aux intégrales généralisées. Rappelons simple-ment qu’une condition nécéssaire (mais non suffisante...) est que l’intégrande, ici la fonction (f(x) exp(�px))tende vers 0 en +1.

Le domaine de définition DF de la transformée de Laplace F (p) est tout simplement l’ensemble desvaleurs de p pour lesquelles l’intégrale (2.1) est convergente.

Des conditions suffisantes de convergence de cette intégrale, et donc de bonne définition de la trans-formée, sont les suivantes.

Proposition 2. Soit une fonction f(x) qui vérifie les trois conditions suivantes :

— f admet une limite finie à gauche et à droite en tout point x de ]0,+1[.— |f(x)| croît moins vite à l’infini qu’une certaine exponentielle.

Plus précisément, il existe ↵ 2 R tel que |f(x)| cste exp(↵x) pour x ! +1 .— |f(x)| croît moins vite à l’infini en 0 qu’une certaine fonction de Riemann.

Plus précisément, il existe � 2 R, � < 1, tel que |f(x)| cste1x� pour x ! 0+.

3

Alors sa transformée de Laplace F (p) existe (est bien définie) pour p suffisamment grand ; plusprécisément pour p 2]↵,+1[.Aussi on a : limp!+1 F (p) = 0.

Eléments de démonstration. cf notes manuscrites.

A noter que l’on montre facilement que si pour p = a l’intégrale de Laplace est absolument convergente

(F (a) est bien définie), alors F (p) est bien défini pour tout p � a.

En effet, on a : 8p � a, 0 exp(�px) exp(�ax) et donc 0 |f(x)| exp(�px) |f(x)| exp(�ax) .D’où l’assertion.

Exemples d’existence ou non. La transformée de Laplace de cos(x), F (p) = L(cos(x))(p), existepour p > 0. En effet on a :

|F (p)| R +10 | cos(x)| exp(�px) dx

R +10 exp(�px) dx. Et cette intégrale est convergente pour

p > 0.Par contre pour p = 0, F (p) =

R +10 cos(x)dx n’admet pas de limite.

Enfin pour p < 0, limp!+1(cos(x) exp(�px)) = +1 ; l’intégrale correspondante est donc divergente.

On peut facilement montrer que la transformée de Laplace de exp(+x2) par exemple n’existe pour

aucune valeur de p.

4

2.3 Propriétés fondamentales de L(.)2.3.1 Linéarité

L’opérateur de Laplace est par construction un opérateur linéaire.

En effet, pour toute fonction(f(x), g(x)) qui admettent une transformée de Laplace, on a :

L ((f + g)(x)) (p) = L (f(x)) (p) + L (g(x)) (p) (2.2)

8� 2 R, L (�f(x)) (p) = �L (f(x)) (p) (2.3)

2.3.2 Opérateur inverse L�1(.)

La transformée de Laplace inverse L�1(.) i.e. telle que L�1 �L(f) = f , peut s’exprimer sous la formed’une intégrale dans le plan complexe. En effet à l’aide du théorème dit des résidus, on obtient que :

f(x) = L�1 (F(p)) (x) =1

2⇡i

Z �+i·1

��i·1eptF(p) dp (2.4)

où � est choisi tel que : a) suffisamment grand pour que l’intégrale soit convergente (� doit être su-périeur à la partie réelle de toute singularité de F(p)) ; b) |F (p)| tend vers 0 au moins aussi rapidementque 1

p2 .

En pratique i.e. pour résoudre des équations différentielles linéaires, cette expression de L�1 n’estpas utilisée. Comme déjà évoqué, on peut retrouver les inverses de transformées de Laplace usuelles àpartir d’image préalablement calculées. En pratique les images requises se trouvent désormais dans des

tables de transformées de Laplace.Cette expression (2.4) de la transformée inverse s’appelle l’intégrale de Bromwich ou encore Fourier-

Mellin.

2.3.3 Dérivation

La propriété qui suit est la propriété qui fait de la transformée de Laplace un outil de calcul essentieldans la résolution des équations différentielles linéaires.

Proposition 3. Soit f(x) fonction causale telle que sa transformée soit bien définie sur un certain

intervalle.

Si f est de classe C1(R+) et si f

0est telle que sa transformée de Laplace est bien définie alors :

L (f 0(x)) (p) = pL (f(x)) (p)� f(0) (2.5)

Démonstration. Après une IPP, on obtient :

L (f 0(x)) (p) = [f(x) exp(�px)]+10 �

Z +1

0

(�p)f(x) exp(�px) dx (2.6)

5

Or nécessairement (f(x) exp(�px)) tend vers 0 en +1.D’où : L (f 0(x)) (p) = �f(0) + p

R +10 f(x) exp(�px) dx.

Pour récurrence et sous les conditions d’existence, on obtient :

L�f(k+1)(x)

�(p) = p

kL (f(x)) (p)�k�1X

i=0

pif(k�1�i)(0) (2.7)

Par ailleurs on a le résultat suivant sur les dérivées des transformées.

Proposition 4. La transformée de Laplace F (p) est de classe C1

sur son ensemble de définition, et :

8k � 1, F (k)(p) = (�1)k L�xkf(x)

�(p) (2.8)

Démonstration. On a :

F0(p) = �

Z +1

0

(�x)f(x) exp(�px) dx = �L (xf(x)) (p) (2.9)

Pour récurrence on obtient immédiatement le résultat.

2.3.4 Translations et changements d’échelles

On a les propriétés suivantes qui se montrent (quasi-) immédiatement.

Translation en p Si F (p) est la transformée de f(x) alors :F (p+ q) est la transformée de exp(�qx)f(x).

En effet, on a : F (p+ q) =R +10 f(x) exp(�qx) exp(�px) dx = L (f(x) exp(�qx)) (p).

Translation en x Soit F (p) est la transformée de f(x). On a : 8a > 0,

L (f(x� a)) (p) = exp(�pa)L (f(x)) (p) (2.10)

Démonstration. Posons g(x) = f � '(x) = f(x� a) avec '(x) = (x� a).On a donc :

L (f(x� a)) (p) = L (g(x)) (p) =

Z +1

0

g(x) exp(�px) dx

On effectue le changement de variable y = (x� a). On obtient :

L (f(x� a)) (p) =

Z +1

�a

g(y + a) exp(�p(y + a)) dx

6

= exp(�pa)

Z 0

�a

f(y) exp(�py) dy + exp(�pa)L (f(x)) (p)

Et f(x) fonction causale, d’où le résultat.

Changements d’échelles On a : 8� > 0,

L (f(�x)) (p) =1

�L (f(x)) (

1

�p) (2.11)

Démonstration. De manière semblable au cas précédent, on montre que :

L (f(�x)) (p) =

Z +1

0

f(�x) exp(�px) dx

On effectue le changement de variable y = �x. On obtient :

L (f(�x)) (p) =1

�

Z +1

0

f(u) exp(�p1

�y) dy

D’où le résultat.

Valeur en p = 0 On peut remarquer que pour f intégrable sur R+ :

limp!+1

F (p) =

Z +1

0

f(x) dx (2.12)

2.3.5 Transformée d’un produit de convolution

Proposition 5. Soient f et g fonctions causales telle que leurs transformées de Laplace F (p) = L (f) (p)et G(p) = L (f) (p) soient bien définies.

On a :

L ((f ⇤ g)(x)) (p) = F (p) ·G(p) (2.13)

De même que la transformée de Fourier, la transformée de laplace L(.) transforme le produit deconvolution ⇤ en une multiplication.

Démonstration.

Soient f et g fonctions causales, alors leur produit de convolution se simplifie comme suit :

(f ⇤ g)(x) =Z x

0

f(x� y)g(y) dy (2.14)

On a d’ailleurs aussi : (f ⇤ g)(x) =R +10 f(x� y)g(y) dy =

R +10 f(x)g(x� y) dy.

7

D’où :

L ((f ⇤ g)(x)) (p) =Z +1

0

✓Z +1

0

f(x� y)g(y) dy

◆exp(�px) dx (2.15)

Ou encore (échange de l’ordre d’intégration en vertu du théorème de Fubini) :

L ((f ⇤ g)(x)) (p) =Z +1

0

g(y)

✓Z +1

0

f(x� y) exp(�px) dx

◆dy (2.16)

Après le changement de variable t = (x� y) dans l’intégrale en x, on obtient :

L ((f ⇤ g)(x)) (p) =Z +1

0

g(y)

✓Z +1

0

f(t) exp(�p(t+ y)) dt

◆dy (2.17)

=

Z +1

0

g(y) exp(�py)

✓Z +1

0

f(t) exp(�pt)dt

◆dy = L (g) (p) L (f) (p) (2.18)

8

3 Images de fonctions usuelles

Fonction échelon (Heaviside) H(x).On a : L(H(x))(p) =

R +10 exp(�px) dx = �1

p [exp(�px)]+10 avec nécessairement p > 0. Donc :

L(H(t))(p) =1

ppour p > 0 (3.1)

Exponentielle complexe : exp(i↵x).Soit ↵ 2 R. On pose : F (p) = L(exp(i↵x))(p) =

R +10 exp((i↵� p)x) dx.

Concernant l’existence ou non de F (p).Notons que : |F (p)|

R +10 1 · exp(�px) dx ; intégrale convergente pour p > 0 et 8↵.

Aussi pour p = 0, F (p) =R +10 exp(i↵x) dx n’admet pas de limite.

Enfin, on a pour p < 0, limp!+1 | exp(i↵x) exp(�px))| = exp(�px)) = +1 selon. L’intégrale estdonc divergente.Calculons à présent F (p).

On a : F (p) = 1(i↵�p) [exp((i↵� p)x]+1

0 . Comme (nécessairement) on a : exp((i↵ � p)x !+1 0, onobtient :

L(exp(i↵x))(p) = 1

(p� i↵)8↵ et p > 0 (3.2)

Fonctions trigonométriques : cos(↵x) et sin(↵x).On pose : F (p) = L(cos(↵x))(p) =

R +10 cos(↵x) exp(�px) dx ; ↵ 2 R.

De même que précédemment notons que : |F (p)| R +10 | cos(x)| exp(�px) dx

R +10 exp(�px) dx ;

intégrale convergente pour p > 0.Aussi pour p = 0, F (p) =

R +10 cos(x)dx n’admet pas de limite.

Enfin, on a pour p < 0, limp!+1(cos(x) exp(�px)) = +1. L’intégrale est donc divergente.

Calculons F (p). On a : cos(↵x) = 12 (exp(i↵x) + exp(�i↵x)).

Par linéarité de l’opérateur de Laplace, on a :

L(cos(↵x))(p) = 1

2L (exp(i↵x)) +

1

2L (exp(�i↵x)) (3.3)

Donc :

L(cos(↵x))(p) = p

(p2 + ↵2),8↵ et p > 0 (3.4)

De manière similaire, on montre que (exercice) :

L(sin(↵x))(p) = ↵

(p2 + ↵2),8↵ et p > 0 (3.5)

9

Fonction exponentielle : exp(↵x).Soit ↵ 2 R. On pose : F (p) = L(exp(↵x))(p) =

R +10 exp((↵� p)x) dx.

On a F (p) bien défini (l’intégrale est convergente) si et seulement si (↵� p) < 0.On a : F (p) = 1

(↵�p) [exp((↵� p)x]+10 . D’où :

L(exp(↵x))(p) = 1

(p� ↵)pour p > ↵. (3.6)

Fonctions hyperboliques : cosh(x) et sinh(x).Rappelons que l’on a par définition : cosh(x) = 1

2 (exp(x) + exp(�x)) et sinh(x) = 12 (exp(x)� exp(�x)).

Par linéarité de l’opérateur de Laplace, on a : L(cosh(x))(p) = 12 (L((exp(x))(p) + L(exp(�x))(p)).

On obtient :

L(cosh(x))(p) = p

(p2 � ↵2)pour p > ↵. (3.7)

De manière semblable, on obtient :

L(sinh(x))(p) = ↵

(p2 � ↵2)pour p > ↵. (3.8)

Monômes xk et polynômes

Pk akx

k.Soit k entier, k � 1. On calcule la T.L. de la fonction causale (H(x)xk) ; H fonction Heaviside.On pose : F (p) = L(H(x)xk)(p) =

R +10 x

k exp(�px) dx.L’intégrale est convergente si et seulement si p > 0.Le calcul de cette intégrale peut s’effectuer par IPP pour k = 1 puis k = 2 etc. (Exercice).

Autrement on peut remarquer que l’expression de F (p) est très semblable à la fonction Gamma

d’Euler qui prolonge la factorielle à l’ensemble des nombres réels. Pour y réel, y > �1, cette fonctions’écrit : �(y) =

R +10 x

(y�1) exp(�x) dx.Et pour tout entier k > 0 : �(k) = (k � 1)! = 1⇥ 2...⇥ (k � 1).On a : F (p) = L(xk)(p) =

R +10 x

k exp(�px) dx.On effectue le changement de variable : u = px. On obtient : F (p) =

R +10

1pku

k exp(�u) 1pdu.

Donc pour k entier, k � 1,

L(xk)(p) =k!

pk+1pour p > 0. (3.9)

La transformée d’un polynôme s’obtient ensuite directement par linéarité de l’opérateur L(.).On a :

L(mX

k=0

akxk)(p) =

1

p

mX

k=0

akk!

pkpour p > 0. (3.10)

10

Bien d’autres images types sont utiles en pratique (quoi que leur nombre n’est pas très important).Nous renvoyons le lecteur aux tables disponibles sur de (bons) sites web ou bien aux tables communi-quées en complément de ce cours.

Distribution de Dirac : �(x). �(x) désigne la distribution de Dirac (ça n’est pas une fonctionusuelle...). Nous renvoyons le lecteur au document de cours « Dirac ». Un calcul de L(�(x))(p) donne :

L(�(x))(p) = 1 8p 2 R (3.11)

11

4 Résolution d’EDO linéaires par la transformée de Laplace

Nous avons vu durant un précédent cours que les EDO linéaires du 1er ordre et 2ième ordre àcoefficients constants se résolvent facilement à l’aide d’une méthodologie claire et systématique. Parcontre ces techniques ne s’appliquent pas aux EDO d’ordre plus élevée (même lorsque celles-ci sontlinéaires). Nous présentons dans ce paragraphe tout l’intérêt de la transformée de Laplace : résoudreune EDO linéaire d’ordre n.

4.1 Exemple : une EDO linéaire d’ordre 1 très simple

Considérons l’EDO linéaire d’ordre 1 non homogène i.e. le cas (quasiment) le plus simple qui soit.On cherche à résoudra le problème aux valeurs initiales suivant :

(y

0(t) + a0y(t) = 1

Avec la C.I. y(0) = y0.(4.1)

Nous savons intégrer directement cette équation différentielle « à la main ». On obtient alors l’ex-pression de son (unique) solution :

y(t) = 1 + (y0 � 1) exp (�a0t) 8t � 0 (4.2)

Résolvons à présent cette même équation différentielle mais par la transformée de Laplace. On note :Y (p) = L (y(t)) (p).

Pour cela, on considère l’image par L de l’équation différentielle. On obtient :

L⇣y

0(t) + a0y(t)� 1

⌘(p) = 0 pour tout p tel que les transformées soient bien définies.

Par ailleurs on a : L�y

0(t)

�= pL (y(t))� y(0). Aussi l’opérateur L(.) est linéaire.

D’où pour tout p tel que les transformées sont bien définies, on a :

(p+ a0)Y (p)� y0 = L(1)(p) (4.3)

On montre immédiatement que : L(1) = 1p pour p > 0.

On obtient alors :

Y (p) =1 + y0p

p(p+ a0)(4.4)

Y (p) est égal à une fraction rationnelle que l’on décompose en éléments simples :

Y (p) =1

p� 1

(p+ a0)+ y0

1

(p+ a0)=

1

p+ (y0 � 1)

1

(p+ a0)(4.5)

On a vu que : L (H(t)) (p) = 1p et L (exp(↵t)) (p) = 1

(p�↵) . On a donc :

Y (p) = L (H(t)) (p) + (y0 � 1)L (exp(�a0t)) (p) (4.6)

Soit :

L (y(t)�H(t)� (y0 � 1) exp(�a0t)) (p) = 0 (4.7)

12

On repasse à l’espace original en appliquant l’opérateur L�1. On obtient pour t � 0,

y(t)� 1� (y0 � 1) exp (�a0t) = 0 (4.8)

Soit (bien sûr) la solution obtenue précédemment.

4.2 Cas général : EDO linéaire d’ordre n

La démarche illustrée dans le cas très simple précédent se généralise directement aux EDO linéairesd’ordre n quelconque. En pratique les EDO rencontrées sont souvent d’ordre 2, 3 ou 4 maximum.

Considérons l’EDO linéaire d’ordre n non homogène suivante :(y(n)(t) + an�1y

(n�1)(t) + ...+ a0y(t) = f(t)

Avec les C.I. {y(n�1)(0), ..., y(0)}donnés.(4.9)

Rappelons que l’on a :

L�y(k)(t)

�= pL

�y(k�1)(t)

�� y

(k�1)(0) = ... = pkL (y(t))�

k�1X

i=0

piy(k�1�i)(0) (4.10)

On note : Y (p) = L (y(t)) (p) et F (p) = L (f(t)) (p).

On suppose pour des raisons de simplicité et clarté de calculs que :

y(n�1)(0) = ... = y(0) = 0 (4.11)

Etape 1 On considère la transformée de l’équation différentielle ; soit :

L�y(n)(t) + an�1y

(n�1)(t) + ...+ a0y(t)� f(t)�(p) = 0 8p (4.12)

Par linéarité de l’opérateur L(.), on obtient :�pn + an�1p

n�1...+ a0

�Y (p) = F (p) (4.13)

Soit :

Y (p) =F (p)

(pn + an�1pn�1...+ a0)

(4.14)

La transformée Y (p) de la solution recherchée y(t) est donc obtenue sous la forme d’unefraction rationnelle.

Etape 2 On décompose cette fraction rationnelle en éléments simples de la forme : 1(p�z)m , m � 1 , et

(a p+b)(p2�c1p+c0)

.

13

3. Si � < 0. L’equation (3) a deux racines complexes conjuguees z et z avec

z =1

2(�b+ i

p��), z =

1

2(�b� i

p��).

Les solutions de (2) s’ecrivent :

x(t) = (↵ + i�) ez t + (↵� i�) ez t

ou ↵, � 2 R sont des constantes arbitraires.

A noter que dans ce cas, une ecriture equivalente des solutions est

x(t) = a1 e�bt/2

cos (p�� t/2) + a2 e

�bt/2sin (

p�� t/2),

ou a1, a2 2 R sont des constantes arbitraires (a1 = 2↵, a2 = �2�).

3

Etape 3 On identifie chaque élément simple commé étant l’image d’une fonction connue. Pour celaon utilise une table d’images usuelles par transformée de Laplace.

On obtient finalement la solution de l’EDO par inversion de chacun des éléments simples ; y(t) =P

L�1⇣

1(p�z)m

⌘(t) +

PL�1

⇣(a p+b)

(p2�c1p+c0)

⌘(t).

14

INSA Toulouse, Cycle preparatoire.

Memento Transformee de Laplace

Table 1 –Soit : H(t) : fonction de Heaviside.

Nom Fonction originale Fonction image Intervalle de convergence

Heaviside (Echelon unite) H(t)1

pR⇤

+

Echelon retarde H(t� ⌧)1

pexp(�⌧p) R⇤

+

Dirac (Impulsion unite) �(t) 1 R⇤+

Dirac decale �(t� ⌧) exp(�⌧p) RPuissance n-ieme

tn

n!H(t)

1

pn+1p > 0

Decroissance exponentielle exp (�↵t)H(t)1

p+ ↵p > �↵

Sinus sin(!t)H(t)!

p2 + !2p > 0

Cosinus cos(!t)H(t)p

p2 + !2p > 0

Sinus Hyperb. sinh(↵t)H(t)↵

p2 � ↵2p > |↵|

Cosinus Hyperb. cosh(↵t)H(t)p

p2 � ↵2p > |↵|

Decroissance exponentielle

d’une onde sinusoidale exp(�↵t) sin(!t)H(t)!

(p+ ↵)2 + !2p > �↵

Decroissance exponentielle

d’une onde cosinusoidale exp(�↵t) cos(!t)H(t)(p+ ↵)

(p+ ↵)2 + !2p > �↵

NB. Tables bien plus fournies disponibles dans la litterature, voir sur lesite web ”EqWorld : the world of mathematical equations”.

1

Fractions rationnelles Leur decomposition en elements simples (en electroniquepar exemple) conduit a des termes du type :

a

(p+ ↵)net

ap+ b

p2 + �p+ ↵

On retrouve alors leur transformee de Laplace inverse en utilisant la table ;fonctions : H(·), exp(�·), sin(·), cos(·), sinh(·), cosh(·) etc.

2

INSA Toulouse. Cycle preparatoire.Mathematiques.

Fiche de rappelResolution d’equations di↵erentielles lineaires

du 1er ordre et du 2nd ordre

1 Equations di↵erentielles du 1er ordre

Soit I un intervalle ouvert de R, a et b deux fonctions continues sur I. On

cherche la fonction x : I ! R, x(t) derivable, solution de l’EDO lineaire du 1er

ordre suivante :

x0(t) + a(t) x(t) = b(t) (1)

L’equation (1) est dite a coe�cients constants si ni a ni b ne dependent de t.

Etapes de resolution de (1) :

1. Solution generale de l’equation dite homogene (notee x0(t)),2. Une solution particuliere (de l’equation originelle (1) (notee xp(t)),3. La solution generale de l’equation originelle (1), notee x(t), est alors :

x(t) = x0(t) + xp(t)

1. Equation homogene.

On appelle equation homogene, l’equation avec le second membre egal a 0 (i.e.

b = 0).

La solution generale de l’equation homogene est donnee par

x(t) = � e�A(t)

ou � 2 R est une constant arbitraire, et A est une primitive de a (c’est a dire

A0(t) = a(t) pour tout t 2 I).

Dans le cas ou a est une constante, on obtient :

x(t) = � e�at

2. Une solution particuliere de l’equation originelle (1).

Cela peut etre tres di�cile a trouver ... Cependant, dans bien des cas nous savons

faire. Le cas le plus simple est b(t) constante. Dans ce cas ci, une solution particuliere

est : xp(t) = b/a(t) pour t tel que a non nul.

3. La solution generale de l’equation originelle (1).

1

Elle est de la forme :

x(t) = x0(t) + xp(t)

ou � 2 R est une constant arbitraire.

2 Equations di↵erentielles du 2nd ordre homogenesa coe�cients constants

Soient b, c 2 R. On cherche la fonction x(t), x : R ! R, deux fois derivable, qui

verifie l’EDO lineaire du 2nd ordre homogene et a coefs constants suivante :

x00(t) + b x0

(t) + c x(t) = 0. (2)

On appelle equation caracteristique associee a (2) l’equation suivante :

r2 + b r + c = 0. (3)

On calcule son discriminant � = b2 � 4c et on peut ensuite distinguer les trois cas

suivants.

1. Si � > 0. L’equation (3) a deux racines reelles

r1 =1

2(�b+

p�), r2 =

1

2(�b�

p�).

Les solutions de (2) s’ecrivent alors :

x(t) = ↵ er1 t + � er2 t


Cas particulier : b = 0. Dans ce cas, on a r1 = �r2 =p�c. Une ecriture equivalente

des solutions est alors :

x(t) = a1 ch(p�c t) + a2 sh(

p�c t),

ou a1, a2 2 R sont des constantes arbitraires (a1 = ↵ + �, a2 = ↵ � �) et ch, shdesignent les fonctions cosinus et sinus hyperboliques

ch(y) =1

2(ey + e�y), sh(y) =

1

2(ey � e�y)

2. Si � = 0, (3) a une racine unique r = �b/2. Les solutions de (2) s’ecrivent

alors :

x(t) = (↵ + � t) er t


2

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