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Lycée P. Mendès France Epinal Cinétique - Etudiant.docx 1/28

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SOMMAIRE

Cinétique, opérateur d'inertie ....................................................................................................................... 3 I. Introduction : .............................................................................................................................................. 3 II. Caractéristiques d'inertie des solides : ....................................................................................................... 3 III. Centre d'inertie : ......................................................................................................................................... 3 IV. Propriétés : ................................................................................................................................................. 4

a. Détermination de la position du centre d'inertie : ................................................................................ 4 b. Propriétés du centre d'inertie : ............................................................................................................. 4 c. Symétrie matérielle : ............................................................................................................................. 4

V. Applications : .............................................................................................................................................. 5 Eléments d'inertie ......................................................................................................................................... 6

I. Moment d'inertie - Produit d'inertie : ........................................................................................................ 6 II. Moment d'inertie par rapport à un axe : ................................................................................................... 6

a. Exemple de deux masses ponctuelles en rotation : .............................................................................. 6 b. Moment d’inertie d’un solide : .............................................................................................................. 6 c. Remarques ............................................................................................................................................. 6 d. Expression analytique dans un repère orthonormé du moment d'inertie par rapport à un point et des moments d'inertie par rapport aux axes 𝑶, 𝒙 ; 𝑶, 𝒚 ; 𝑶, 𝒛 : ...................................................................... 7

III. Théorème de Huygens : .............................................................................................................................. 8 IV. Produit d'inertie : ....................................................................................................................................... 8

Opérateur d'inertie - Matrice d'inertie ........................................................................................................... 9 I. Matrice d'inertie : ..................................................................................................................................... 10

a. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒙 : .................................................................................................... 10 b. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒚 : .................................................................................................... 11 c. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒛 : .................................................................................................... 11 d. Matrice d'inertie du solide (S) : ........................................................................................................... 11

II. Propriétés de la matrice d'inertie : ........................................................................................................... 11 III. Cas où le solide présente une symétrie de révolution : ............................................................................ 13 IV. Cas où le solide est d'épaisseur négligeable :........................................................................................... 13 V. Théorème de Huygens généralisé : .......................................................................................................... 14 VI. Calculs de quelques opérateurs d'inertie : ............................................................................................... 15

a. Cylindre de révolution (R, l, masse m) : .............................................................................................. 15 b. Disque rayon R de masse M épaisseur e avec e<<R : ......................................................................... 16 c. Cône de révolution : ............................................................................................................................ 17 d. Sphère pleine rayon R : ........................................................................................................................ 17 e. Parallélépipède : .................................................................................................................................. 17 f. Tore : .................................................................................................................................................... 18

VII. Exercices : ............................................................................................................................................ 18 a. Arbre excentré : ................................................................................................................................... 18 b. Axe écrou du Maxpid ........................................................................................................................... 19

Cinétique..................................................................................................................................................... 22 I. Eléments cinétiques d'un système matériel : ........................................................................................... 22 II. Torseur dynamique : ................................................................................................................................ 22 III. Relations entre les torseurs cinétique et dynamique : ............................................................................. 22

a. Relations entre résultante cinétique et résultante dynamique : ........................................................ 22 b. Relation entre moment cinétique et moment dynamique : ............................................................... 23 c. Cas particuliers : .................................................................................................................................. 23

IV. Energie cinétique : .................................................................................................................................... 24 V. Eléments cinétiques d'un solide : ............................................................................................................. 24

a. Torseur cinétique (ou torseur des quantités de mouvement) : .......................................................... 24 b. Torseur dynamique (ou torseur des quantités d'accélération) : ......................................................... 25

VI. Energie cinétique : .................................................................................................................................... 25 Cas particuliers : ............................................................................................................................................ 26

VII. Utilisation des calculs cinétiques : ....................................................................................................... 28

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CINETIQUE, OPERATEUR D'INERTIE

I. INTRODUCTION :

La cinétique se construit à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse :

Cinétique = cinématique + masse Avant d'aborder l'étude dynamique des systèmes de solides par rapport à un référentiel galiléen, étude qui consiste à déterminer les lois qui lient les mouvements des systèmes de solides aux efforts qui leur sont appliqués, il est nécessaire de définir les caractéristiques inertielles des solides (masse, moment d'inertie…) et les quantités cinétiques induites par leur mouvement par rapport à un repère (quantité de mouvement, moment cinétique, énergie cinétique…). Ensuite nous pourrons, à partir du Principe Fondamental de la Dynamique, déterminer les relations entre les quantités cinétiques de ces solides et les efforts qui provoquent le mouvement. A partir de ces relations nous pourrons calculer les lois de mouvement ainsi que les efforts inconnus.

II. CARACTERISTIQUES D'INERTIE DES SOLIDES :

On appelle système de solides matériels S, l'ensemble constitué de solides indéformables et affecté

d'une mesure de masse. La masse volumique, notée (P) et exprimée en kg.m-3, est définie en chaque point P du solide par le rapport entre la masse élémentaire et le volume élémentaire.

𝑑𝑚(𝑃) = 𝜌(𝑃). 𝑑𝑉(𝑃)

La masse de l'ensemble (E) est alors : 𝑀 = ∫ 𝑑𝑚(𝑃)𝐸

ou encore 𝑀 = ∫ 𝜌(𝑃). 𝑑𝑉(𝑃)𝐸

Dans les cas très fréquents, pour lesquels la masse volumique est uniforme sur le solide, on peut écrire :

M = .V ou V est le volume du solide.

III. CENTRE D'INERTIE :

On appelle centre d'inertie d'un système matériel E le point unique noté G et défini par la relation :

∫𝐺𝑀→

. 𝑑𝑚𝐸

= 0→

Le point M décrivant le système matériel E

G

M

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IV. PROPRIETES :

a. Détermination de la position du centre d'inertie :

On considère un point O quelconque : ∫ 𝐺𝑀→

. 𝑑𝑚𝐸

= ∫ (𝐺𝑂→ + 𝑂𝑀→ ) . 𝑑𝑚

𝐸= 0→

𝐺𝑂→ . ∫ 𝑑𝑚𝐸

+ ∫ 𝑂𝑀→

. 𝑑𝑚𝐸

= 0→

𝑚𝐸 . 𝑂𝐺→

= ∫ 𝑂𝑀→

. 𝑑𝑚𝐸

Si 𝑂𝐺→

= {

𝑥𝐺𝑦𝐺𝑧𝐺

et 𝑂𝑀→

= {𝑥𝑦𝑧

, la relation ci-dessus se traduit analytiquement par :

𝑥𝐺 =∫ 𝑥.𝑑𝑚𝐸

𝑚𝐸 , 𝑦𝐺 =

∫ 𝑦.𝑑𝑚𝐸

𝑚𝐸 , 𝑧𝐺 =

∫ 𝑧.𝑑𝑚𝐸

𝑚𝐸

On peut noter que si E est un solide, alors le centre d'inertie est un point fixe de ce solide.

b. Propriétés du centre d'inertie :

Le centre d'inertie d'un ensemble est le centre d'inertie du système de points matériels formé des centres d'inertie partiels affectés des masses correspondantes.

Exemple de la nacelle du train fantôme :

Déterminer la position du centre de gravité (noté CDG) de la partie supérieure du chariot (Passagers+Nacelle+Contrepoids) par rapport à l’axe de rotation :

c. Symétrie matérielle :

Avant d'entreprendre tout calcul, il est indispensable de rechercher si le système matériel étudié possède un élément de symétrie matérielle (symétrie géométrique, symétrie du point de vue de la répartition des masses) tel qu'un plan ou un axe, car dans ce cas le centre d'inertie appartient à cet élément.

Tout élément de symétrie d'un système matériel contient son centre d'inertie.

La position du centre d'inertie d'un système matériel homogène ne dépend que de sa géométrie.

Le centre de gravité d'un système est son centre d'inertie.

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V. APPLICATIONS :

Centre d'inertie d'un cône de révolution de hauteur H et de rayon R :

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r1

r2

A

B O

0

𝑦0ሬሬሬሬԦ

𝑥0ሬሬሬሬԦ

𝑥1ሬሬሬԦ

𝑦1ሬሬሬԦ

𝜃

1

ELEMENTS D'INERTIE

I. MOMENT D'INERTIE - PRODUIT D'INERTIE :

La masse seule ne permet pas de caractériser la difficulté à mettre en mouvement un solide. Dans le cas particulier où ce mouvement est une translation la masse suffit, mais pour des mouvements

plus complexes, la répartition de cette masse sur le solide est nécessaire. Deux quantités scalaires caractérisent cette répartition autour d'un axe :

- le moment d'inertie - le produit d'inertie

Ces deux quantités s'expriment en kg.m2

II. MOMENT D'INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE :

a. Exemple de deux masses ponctuelles en rotation :

Soient deux points A et B de masses respectives m1 et m2 en mouvement de rotation autour de l’axe (𝑂, 𝑧0ሬሬሬԦ).

Déterminer 𝛺1 0⁄ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ :

Déterminer 𝑉𝐴,1 0⁄ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ et 𝑉𝐵,1 0⁄ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ :

Exprimer l’énergie cinétique de l’ensemble :

Donner une expression de l’énergie cinétique en fonction de la vitesse de rotation et en déduire une expression du moment d’inertie de l’ensemble :

b. Moment d’inertie d’un solide :

Soit un axe () lié à un solide S de masse m.

Le moment d'inertie du solide [S] par rapport à l'axe (), est la quantité > 0 :

𝐼𝛥(𝑆) = ∫𝑟². 𝑑𝑚𝑆

Avec r : distance entre () et P

c. Remarques

Le moment d'inertie par rapport à un axe est un scalaire toujours positif, ou nul si le solide S se réduit à

une tige rectiligne d'axe () de rayon négligeable devant sa longueur.

Le moment d'inertie caractérise la répartition de la masse du solide S autour de l'axe (). Plus la matière

est éloignée de (), plus le moment d'inertie est grand et plus il sera difficile d'entraîner en rotation le solide S

autour de (). Les moments d'inertie s'expriment en kg.m2

P

• dm

r H

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d. Expression analytique dans un repère orthonormé du moment d'inertie par rapport à un point et des moments d'inertie par rapport aux axes (𝑶, 𝒙ሬሬԦ) ; (𝑶, 𝒚ሬሬԦ) ; (𝑶, 𝒛ሬԦ) :

Dans le repère (𝑂, 𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→), un point courant M a pour coordonnées x, y, z.

Le moment d'inertie par rapport au point O est donné par :

𝐼𝑂(𝑆) = ∫(𝑥²+ 𝑦² + 𝑧²). 𝑑𝑚𝑆

Les moments d'inertie par rapport aux axes (𝑂, 𝑥→), (𝑂, 𝑦→), (𝑂, 𝑧→) sont donnés par :

𝐼𝑂𝑥(𝑆) = ∫ (𝑦² + 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑆 , 𝐼𝑂𝑦(𝑆) = ∫ (𝑥²+ 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑆 , 𝐼𝑂𝑧(𝑆) = ∫ (𝑥²+ 𝑦²). 𝑑𝑚

𝑆

𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

O

M

x

y

z

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III. THEOREME DE HUYGENS :

On passe du moment d'inertie autour de l'axe () au moment d'inertie autour d'un axe parallèle à () mais passant par le centre d'inertie G du solide, par la relation suivante :

𝐼𝛥(𝑆) = 𝐼𝐺𝛥(𝑆) + 𝑚. 𝑑²

Avec d : distance entre le centre d'inertie et l'axe (𝛥) considéré.

IV. PRODUIT D'INERTIE :

Le produit d'inertie caractérise l'absence de symétrie de la répartition des masses autour des trois axes d'un repère lié à un solide. Ce sont ces termes qui vont créer des effets d'inertie ou de balourd perpendiculaires à l'axe autour duquel on souhaite faire tourner le solide.

Exemple : Vibreur de manette Xbox

La rotation de l'excentrique autour de l'axe (𝑂, 𝑧→) va créer un effet de balourd suivant les axes 𝑥→et 𝑦→.

Les produits d'inertie sont des grandeurs exprimées en kg.m2 (comme les moments d'inertie). Mais les

produits d'inertie sont des grandeurs positives, négatives ou nulles.

O

𝑥Ԧ

𝑧Ԧ 𝑦Ԧ

d

• G

https://youtu.be/yvMA1pNXFYo

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OPERATEUR D'INERTIE - MATRICE D'INERTIE

Cette notion d'opérateur d'inertie et la matrice qui lui est associée, va permettre de définir complètement un solide du point de vue inertiel.

Le moment d’inertie 𝐼Δ(𝑆) = ∫ 𝑟². 𝑑𝑚𝑆= ∫ 𝐻𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ2. 𝑑𝑚

𝑆 peut facilement être calculé en utilisant le fait

que : 𝐻𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ2 = ‖𝐻𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ‖2= (‖𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ‖. sin 𝛼)

2

Or d’après la définition de la norme du produit vectoriel on a :

𝐻𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ2 = (‖𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ‖. sin 𝛼)2= ‖𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ‖

2= (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ). (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ) = (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ). 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ = 𝑢ሬԦ. (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ) ∧ 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ

Donc : 𝐼Δ(𝑆) = ∫ 𝐻𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ2. 𝑑𝑚

𝑆= ∫ 𝑢ሬԦ. (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ) ∧ 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ. 𝑑𝑚

𝑆= 𝑢ሬԦ. ∫ (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ) ∧ 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ. 𝑑𝑚

𝑆

L’application linéaire qui a tout vecteur 𝑢ሬԦ fait correspondre le vecteur ∫ (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ 𝑢ሬԦ) ∧ 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ. 𝑑𝑚𝑆

est

appelé opérateur d’inertie du solide (S) au point O.

On a la relation : 𝐼Δ(𝑆) = 𝑢ሬԦ. (𝐽(𝑂,𝑆). 𝑢→)

Cette application est linéaire (produit vectoriel + intégrales) et est représentable par une matrice symétrique dans une base donnée. Définition de l'opérateur d'inertie :

Considérons un solide (S) de masse m. Soit O un point fixe de ce solide (S).

L'opérateur d'inertie J(O,S) est l'opérateur linéaire qui, à tout vecteur 𝑢→, associe le vecteur :

𝐽(𝑂,𝑆). 𝑢→ = ∫ (𝑂𝑀

→ ∧ (𝑢→ ∧ 𝑂𝑀

→ ))

𝑆. 𝑑𝑚 [1]

Cet opérateur d'inertie est aussi appelé tenseur d'inertie

Le vecteur 𝐽(𝑂,𝑆). 𝑢→ peut aussi être appelé l’inertie du solide (S) autour de l’axe (𝑂, 𝑢ሬԦ).

Δ

O

H

M

𝑢ሬԦ

(S)

r

𝛼

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I. MATRICE D'INERTIE :

Soit une base (𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→) liée au solide (S).

Posons 𝑂𝑀→

= 𝑥. 𝑥→ + 𝑦. 𝑦→ + 𝑧. 𝑧→. L'opérateur J(O,S) étant linéaire, sa représentation peut se faire sous la forme d'une matrice :

𝐽(O,S) = [𝐴 -F -E-F 𝐵 -D-E -D 𝐶

]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

[2]

a. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒙ሬሬԦ :

Soit les caractéristiques inertielles du solide (S) sur l'axe 𝑥Ԧ : 𝐽(𝑂,𝑆). 𝑥Ԧ

➢ Effectuer le produit avec la matrice définie précédemment et donner l'inertie du solide (S) suivant l'axe 𝑥Ԧ sous forme de vecteur :

➢ Effectuer à présent le même calcul mais en développant le double produit vectoriel de la relation [1] :

➢ En procédant par identification, donner l'expression des lettres obtenues :

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b. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒚ሬሬԦ :

𝐽(𝑂,𝑆). 𝑦Ԧ = −𝐹. 𝑥Ԧ + 𝐵. 𝑦Ԧ − 𝐷. 𝑧Ԧ = − ∫ 𝑥𝑦. 𝑑𝑚. 𝑥Ԧ

(𝑆)

+ ∫(𝑥2 + 𝑧2)𝑑𝑚.

(𝑠)

𝑦Ԧ − ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚. 𝑧Ԧ

(𝑆)

Ce sont les termes de la deuxième colonne.

c. Inertie du solide (S) suivant l'axe 𝒛ሬԦ :

𝐽(𝑂,𝑆). 𝑧Ԧ = −𝐸. 𝑥Ԧ − 𝐷. 𝑦Ԧ + 𝐶𝑧Ԧ = − ∫ 𝑥𝑧. 𝑑𝑚. 𝑥Ԧ

(𝑆)

− ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚. 𝑦Ԧ

(𝑆)

+ ∫(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑚.

(𝑠)

𝑧Ԧ

Ce sont les termes de la troisième colonne.

d. Matrice d'inertie du solide (S) :

On obtient donc :

𝐽(𝑂,𝑆) =

[ ∫(𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑥 𝑦 . 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑥 𝑧. 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑥 𝑦. 𝑑𝑚𝑆

∫(𝑥2 + 𝑧2) 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑦 𝑧 . 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑥 𝑧. 𝑑𝑚𝑆

−∫𝑦 𝑧. 𝑑𝑚𝑆

∫(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑚𝑆 ]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

On note que la matrice d'inertie est symétrique.

𝐴 = ∫ (𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑚(𝑠)

est l'expression du moment d'inertie du solide (S) par rapport à l'axe (𝑶, 𝒙ሬሬԦ).

𝐵 = ∫ (𝑥2 + 𝑧2)𝑑𝑚(𝑠)

est l'expression du moment d'inertie du solide (S) par rapport à l'axe (𝑶, 𝒚ሬሬԦ).

𝐶 = ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑚(𝑠)

est l'expression du moment d'inertie du solide (S) par rapport à l'axe (𝑶, 𝒛ሬԦ).

𝐷 = ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚(𝑆)

est l'expression du produit d'inertie du solide (S) par rapport aux axes (𝑶, 𝒚ሬሬԦ), (𝑶, 𝒛ሬԦ).

𝐸 = ∫ 𝑥𝑧. 𝑑𝑚(𝑆)

est l'expression du produit d'inertie du solide (S) par rapport aux axes (𝑶, 𝒙ሬሬԦ), (𝑶, 𝒛ሬԦ).

𝐹 = ∫ 𝑥𝑦. 𝑑𝑚(𝑆)

est l'expression du produit d'inertie du solide (S) par rapport aux axes (𝑶, 𝒙ሬሬԦ), (𝑶, 𝒚ሬሬԦ).

La somme des moments d'inertie par rapport aux axes (𝑂, 𝑥→), (𝑂, 𝑦→), (𝑂, 𝑧→) est égale au double du

moment d'inertie de (S) par rapport au point O et on désigne cette somme par la trace de la matrice d'inertie.

II. PROPRIETES DE LA MATRICE D'INERTIE :

Si le plan (𝑂, 𝑥→ , 𝑦→) est plan de symétrie matérielle, alors les deux produits d'inertie D et E sont nuls.

On peut séparer l'intégrale sur (S) en une somme d'intégrales sur (S1) et (S2) :

𝐷 = ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚(𝑆)

= ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚(𝑆1)

+ ∫ 𝑦𝑧. 𝑑𝑚(𝑆2)

donc D=0.

On démontrerait de même que E = 0.

M(x,y,z)

M'(x',y',z')

(S1) (S1)

(S2)

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Conséquence : L'axe (𝑂, 𝑧→) perpendiculaire au plan de symétrie est un axe principal d'inertie.

En effet l'inertie suivant 𝑧Ԧ, 𝐽(𝑂,𝑆). 𝑧Ԧ, ne contient que le moment d'inertie suivant 𝑧Ԧ :

𝐽(O,S). 𝑧→ = [

𝐴 -F 0-F 𝐵 00 0 𝐶

]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

. [001]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

= [00𝐶]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

= 𝐶. 𝑧→

Si deux plans parmi les 3 plans (𝑂, 𝑥→ , 𝑦→), (𝑂, 𝑦→ , 𝑧→),(𝑂, 𝑥→ , 𝑧→) sont des plans de symétrie matérielle,

alors les trois produits d'inertie sont nuls et le repère (𝑂, 𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→) est principal d' inertie.

D = E = F = 0

𝐽(O,S) = [𝐴 0 00 𝐵 00 0 𝐶

]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

Un troisième plan de symétrie n'apporte plus rien, à ce niveau. La matrice d'inertie (dans le cas général)

est symétrique et réelle, elle est donc diagonalisable. Il existe des directions privilégiées pour lesquelles la matrice est diagonale ; en d'autres termes, où les

produits d'inertie sont tous nuls. Ces directions privilégiées sont appelées directions principales d'inertie. Elles correspondent, lorsque le

solide présente des symétries, aux axes intersections des plans de symétrie. Les moments d'inertie associés à ces directions principales sont appelés moments principaux d'inertie.

Exemple : Bras du maxpid

➢ Définir les plans de symétrie du bras :

➢ Donner, pour chaque plan, quels produits d'inertie disparaissent :

➢ Donner alors la forme simplifiée de la matrice. Que peut-on dire du le repère (𝐺; 𝑥Ԧ, 𝑦Ԧ, 𝑧Ԧ) ?

𝑦Ԧ 𝑧Ԧ

𝑥Ԧ

G

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III. CAS OU LE SOLIDE PRESENTE UNE SYMETRIE DE REVOLUTION :

Un solide de révolution autour de 𝑧→ possède au moins deux plans de symétrie perpendiculaires, donc

les produits d'inertie sont nuls. De plus les axes 𝑥→ et 𝑦→ jouent des rôles identiques du point de vue de la géométrie et de la répartition des masses, donc les moments d'inertie A et B sont égaux. La matrice d'inertie s'écrit :

𝐽(O,S) = [𝐴 0 00 𝐴 00 0 𝐶

]

( ?, ?, 𝑧→)

On peut remarquer que toute rotation de la base (𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→) autour de l'axe 𝑧→ laisse invariante la forme de

𝐽(O,S).

On peut donc conserver cette forme pour n'importe quelle base orthonormée contenant 𝑧→ (d'où la présence des points d'interrogation).

Il sera judicieux d'utiliser cette remarque lors des calculs de dynamique.

Exemple : Vis du Maxpid

➢ Définir l'axe de symétrie de la vis :

➢ Donner alors la forme simplifiée de la matrice. Que peut-on dire du repère (𝐺; 𝑥Ԧ, 𝑦Ԧ, 𝑧Ԧ) ?

IV. CAS OU LE SOLIDE EST D'EPAISSEUR NEGLIGEABLE :

Si l'épaisseur est négligeable devant les autres dimensions alors z = 0 D = E = 0 et C = A + B.

D'où la forme de la matrice d'inertie : 𝐽(O,S) = [𝐴 -F 0-F 𝐵 00 0 A+B

]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

Attention ! Si la plaque est perpendiculaire à 𝑦→, la matrice serait de la forme :

𝐽(O,S) = [𝐴 0 -E0 A+C 0-E 0 𝐶

]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

𝑥Ԧ

G

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V. THEOREME DE HUYGENS GENERALISE :

Nous allons chercher la relation permettant de déplacer l'opérateur d'inertie de son centre d'inertie G à un point O quelconque d'un solide (S) de masse m.

Dans la base (𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→), on pose 𝑂𝐺→

= 𝑎. 𝑥→ + 𝑏. 𝑦→ + 𝑐. 𝑧→

Soit la matrice d'inertie du solide (S) en G :

𝐽(𝐺, 𝑆) = [

𝐴𝐺 −𝐹𝐺 −𝐸𝐺−𝐹𝐺 𝐵𝐺 −𝐷𝐺−𝐸𝐺 −𝐷𝐺 𝐶𝐺

]

(𝑥Ԧ,𝑦ሬԦ,𝑧Ԧ)

➢ Définir la matrice d'inertie en O d'une masse m ponctuelle en G :

➢ Rappeler le théorème de Huygens simplifié et proposer alors une relation pour le généralisé :

Il est également possible d'en faire la démonstration, exemple avec l'inertie du solide S suivant le vecteur unitaire 𝑢ሬԦ exprimé au point O : D'après la définition du tenseur d'inertie :

𝐽(𝑂, 𝑆). 𝑢ሬԦ = ∫ (𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ)) 𝑑𝑚(𝑆)

= ∫ ((𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ + 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ) ∧ (𝑢ሬԦ ∧ (𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ + 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ))) 𝑑𝑚(𝑆)

= ∫ (𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ)) 𝑑𝑚(𝑆)

+ ∫ (𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ)) 𝑑𝑚(𝑆)

+ ∫ (𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ)) 𝑑𝑚(𝑆)

+ ∫ (𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧(𝑆)

(𝑢ሬԦ ∧ 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ)) 𝑑𝑚

= (𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ)) ∫ 𝑑𝑚(𝑆)

+ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ ∧ ∫ (𝑢ሬԦ ∧ 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ)𝑑𝑚(𝑆)

+ ∫ 𝐺𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ. 𝑑𝑚 ∧(𝑆)

(𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ) + 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝑢ሬԦ

𝐽(𝑂, 𝑆). 𝑢ሬԦ = 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝑢ሬԦ + 𝑚.𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ ∧ (𝑢ሬԦ ∧ 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ) = 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝑢ሬԦ + 𝐽(𝑂,𝑚𝐺). 𝑢ሬԦ

O

G M

(S)

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VI. CALCULS DE QUELQUES OPERATEURS D'INERTIE :

a. Cylindre de révolution (R, l, masse m) :

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b. Disque rayon R de masse M épaisseur e avec e<<R :

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c. Cône de révolution :

𝐽(𝐺,𝑆) =

[ 3

20𝑚(𝑅2 +

ℎ

4

2

) 0 0

03

20𝑚(𝑅2 +

ℎ

4

2

) 0

0 03

10mR2]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

d. Sphère pleine rayon R :

𝐽(𝐺,𝑆) =

[ 2

5mR2 0 0

02

5mR2 0

0 02

5mR2]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

e. Parallélépipède :

𝐽(𝐺,𝑆) =

[ 1

12𝑚(𝑏2+c2) 0 0

01

12𝑚(𝑎2+c2) 0

0 01

12𝑚(𝑎2 + 𝑏2)]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

a

b

c

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f. Tore :

𝐽(𝐺,𝑆) =

[ 𝑚 (

𝑅2

2+5

8𝑟2 ) 0 0

0 𝑚 ( 𝑅2

2+5

8𝑟2 ) 0

0 0 𝑚 ( 𝑅2 +3

4𝑟2 )]

(𝑥→,𝑦→,𝑧→)

VII. EXERCICES :

a. Arbre excentré :

Notations utilisées : Cylindre (S1) de rayon R1, de masse m1 et de centre d'inertie G1 ( 0,0,0) Cylindre (S2) de rayon R2, de masse m2 et de centre d'inertie G2 (0, a2, c2) Cylindre (S3) de rayon R3, de masse m3 et de centre d'inertie G3 (0, a3, c3) O = G1

➢ Déterminer le moment d'inertie de ce vilebrequin

par rapport à l’axe de rotation (𝑂, 𝑦→) dans la

base (𝑥→ , 𝑦→ , 𝑧→).

G

r

R

G1

G3

G2

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b. Axe écrou du Maxpid

On souhaite déterminer l'inertie de l'axe-écrou du bras Maxpid suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) :

Hypothèses : On négligera l'influence des chanfreins sur l'inertie totale.

𝑦Ԧ 𝑧Ԧ

𝑥Ԧ

G

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

𝑥Ԧ

A

𝑧Ԧ

𝑥Ԧ

A

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ A

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Q1. Déterminer l'expression littérale de l'inertie suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) du sous-solide 1 : .

Q2. Déterminer l'expression littérale de l'inertie suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) du sous-solide 2 :

Q3. Déterminer l'expression littérale de l'inertie suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) du sous-solide 3 :

Q4. Déduire des questions précédentes l'expression littérale de l'inertie suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) de l'axe-écrou :

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Q5. Peut-on dire que l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) est principal d'inertie ?

Q6. On donne la masse volumique de l'acier 𝜌 = 7850 𝐾𝑔.𝑚−3, déterminer la valeur de l'inertie de l'axe-écrou du bras Maxpid suivant l'axe (𝐴, 𝑥Ԧ) :

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CINETIQUE

I. ELEMENTS CINETIQUES D'UN SYSTEME MATERIEL :

On considère un système matériel E en mouvement par rapport à un repère R.

Définition du torseur cinétique : Le torseur cinétique appelé aussi torseur des quantités de mouvement de E dans son mouvement par rapport au repère R est défini par :

=

=

=

E

R/MA

E

R/MC

A

)R/E(

dmVAM)R/E(

dmV)R/E(R

C

𝑅𝐶(𝐸/𝑅)→

est la résultante cinétique de E par rapport au repère R.

𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→ est le moment cinétique au point A de E dans son mouvement par rapport au repère R.

II. TORSEUR DYNAMIQUE :

Définition du torseur dynamique : Le torseur dynamique appelé aussi torseur des quantités d'accélération de E dans son mouvement par rapport à R est défini par :

=

=

=

E

R/MA

E

R/Md

A

)R/E(

dmAM)R/E(

dm)R/E(R

D

𝑅𝑑(𝐸/𝑅)→

est la résultante dynamique de E par rapport au repère R.

𝛿𝐴(𝐸/𝑅)→

est le moment dynamique au point A de E dans son mouvement par rapport au repère R.

Remarques : 1 Si on considère une partition du système matériel E = E1 + E2, on a :

{ 𝐷(𝐸/𝑅) } = { 𝐷(𝐸1+𝐸2)/𝑅 } = { 𝐷(𝐸1/𝑅) } + { 𝐷(𝐸2/𝑅) }

2 Les expressions ci-dessus (torseur cinétique et torseur dynamique) sont des définitions,

elles servent de point de départ aux démonstrations des relations présentées au paragraphe suivant. En aucun cas elles ne sont à utiliser telle quelle dans un problème.

III. RELATIONS ENTRE LES TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE :

a. Relations entre résultante cinétique et résultante dynamique :

Sachant que l'accélération d'un point s'obtient par dérivation par rapport au temps de la vitesse de ce point, on est amené à penser que les éléments de réduction du torseur dynamique peuvent s'obtenir par dérivation des éléments de réduction du torseur cinétique.

C'est vrai en ce qui concerne les résultantes. Hélas, pour les moments un terme correctif apparaît. On considère un système matériel E de centre d'inertie G et un point O lié à un repère R. La résultante

cinétique 𝑅𝐶(𝐸/𝑅)→

s'écrit :


= ∫𝑉𝑀/𝑅→

𝑑𝑚 𝐸

= ∫ [𝑑 𝑂𝑀→

𝑑𝑡]

𝑅

𝑑𝑚𝐸

= [𝑑

𝑑𝑡 ∫𝑂𝑀→

𝐸

𝑑𝑚]𝑅

= [𝑑

𝑑𝑡 𝑚𝐸 𝑂𝐺

→ ]𝑅

Soit :


= 𝑚𝐸 . 𝑉𝐺/𝑅→

[3]

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On démontre de même que :


= 𝑚𝐸 . 𝛤𝐺/𝑅→

Conclusion : La résultante dynamique est bien la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique.

b. Relation entre moment cinétique et moment dynamique :

Soit un point A arbitraire. Nous allons chercher la relation qui lie le moment cinétique 𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→ et le

moment dynamique 𝛿𝐴(𝐸/𝑅)→

.

( )dm

dt

VdAMdmV

dt

OMAOddm

dt

VdAMdmV

dt

AMd

dmVAMdt

ddmVAM

dt

d

dt

)R/E(d

R

R/M

EE

R/M

RR

R/M

EE

R/M

R

E R

R/M

RE

R/M

R

A

+

+=

+

=

=

=

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

[𝑑𝜎𝐴(𝐸/𝑅)ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ

𝑑𝑡]𝑅= − 𝑉𝐴/𝑅ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ∧ ∫ 𝑉𝑀/𝑅ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑑𝑚

𝐸+ ∫ 𝐴𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ ∧

𝐸𝛤𝑀/𝑅ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑑𝑚

Soit :


= [𝑑 𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→

𝑑𝑡]

𝑅

+𝑚𝐸 . 𝑉𝐴/𝑅→

∧ 𝑉𝐺/𝑅→

c. Cas particuliers :

Pour le moment dynamique, trois cas particuliers sont à considérer avec attention.

1. Si le point A est confondu avec le centre d'inertie G alors : 𝛿𝐺(𝐸/𝑅)→

= [𝑑𝜎𝐺(𝐸/𝑅)→

𝑑𝑡]𝑅

2. Si le point A est un point fixe de R alors : 𝛿𝐴(𝐸/𝑅)→

= [𝑑𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→

𝑑𝑡]𝑅

3. Si 𝑉𝐴/𝑅→

est parallèle à 𝑉𝐺/𝑅→

alors : 𝛿𝐴(𝐸/𝑅)→

= [𝑑𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→

𝑑𝑡]𝑅

Le calcul du moment dynamique au centre d'inertie ou en un point fixe de R est très souvent assez simple. Ainsi, pour déterminer le moment dynamique en un point quelconque, il suffit d'appliquer la relation de passage liant les moments d'un torseur :


= 𝛿𝐵(𝐸/𝑅)→

+ 𝐴𝐵→ ∧𝑚𝐸 . 𝛤𝐺/𝑅

→

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Pour déterminer les éléments cinétiques d'un système E composé de n solides Si en mouvement par rapport à R, on calcule ces éléments pour chacun des solides, puis on effectue ensuite leur somme en prenant bien soin, dans le cas des moments cinétiques et dynamiques, de les réduire au même point.

{𝐶(𝐸/𝑅)} =∑ {𝐶(𝑆𝑖/𝑅)} 𝑎𝑣𝑒𝑐

𝑛

𝑖=1

{


=∑𝑅𝐶(𝑆𝑖/𝑅)→

𝑛

𝑖=1

𝜎𝐴(𝐸/𝑅)→

=∑𝜎𝐴(𝑆𝑖/𝑅)→

𝑛

𝑖=1 }

{𝐷(𝐸/𝑅)} =∑ {𝐷(𝑆𝑖/𝑅)} 𝑎𝑣𝑒𝑐

𝑛

𝑖=1

{


=∑𝑅𝑑(𝑆𝑖/𝑅)→

𝑛

𝑖=1


=∑𝛿𝐴(𝑆𝑖/𝑅)→

𝑛

𝑖=1 }

IV. ENERGIE CINETIQUE :

L'énergie cinétique d'un système matériel E dans son mouvement par rapport à un repère R, est la quantité scalaire :

𝑇𝐸/𝑅 =1

2∫ (𝑉𝑀/𝑅→

)𝐸

2

. 𝑑𝑚

Pour déterminer l'énergie cinétique d'un système matériel E composé de n solides Si en mouvement par rapport à R, on calcule l'énergie cinétique de chaque solide, puis on effectue ensuite la somme :

𝑇𝐸/𝑅 = ∑ 𝑇(𝑆𝑖/𝑅)𝑛𝑖=1

V. ELEMENTS CINETIQUES D'UN SOLIDE :

Considérons maintenant un solide S en mouvement par rapport au repère R

a. Torseur cinétique (ou torseur des quantités de mouvement) :

La relation [3] qui s'applique dans le cas d'un système matériel E reste valable pour un solide S. C'est

ainsi que la résultante cinétique vaut :

𝑅𝐶(𝑆/𝑅)→

= 𝑚.𝑉𝐺,𝑆/𝑅→

Le moment cinétique vaut également :

𝜎𝐴(𝑆/𝑅)→

= 𝐽(𝐴, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

+𝑚.𝐴𝐺→ ∧ 𝑉𝐴,𝑆/𝑅→

Cas particuliers : Si le point A est confondu avec le centre d'inertie G :

𝜎𝐺(𝑆/𝑅)→

= 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

Si le point A lié à S est fixe dans R, alors :


= 𝐽(𝐴, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

Pour calculer le moment cinétique en un point quelconque, on utilisera la relation de changement de

point de réduction du moment d'un torseur :


= 𝜎𝐵(𝑆/𝑅)→

+ 𝐴𝐵→ ∧𝑚𝐸 . 𝑉𝐺,𝑆/𝑅

→

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b. Torseur dynamique (ou torseur des quantités d'accélération) :

La relation [3] qui s'applique dans le cas d'un système matériel E reste valable pour un solide S. C'est ainsi que la résultante dynamique vaut :

𝑅𝑑(𝑆/𝑅)→

= 𝑚. 𝛤𝐺,𝑆/𝑅→

La relation permettant de déterminer le moment dynamique d'un système matériel E, reste valable pour

déterminer le moment dynamique d'un solide S dans son mouvement par rapport à R.

𝛿𝐴(𝑆/𝑅)→

= [𝑑 𝜎𝐴(𝑆/𝑅)→

𝑑𝑡]

𝑅

+𝑚.𝑉𝐴,𝑆/𝑅→

∧ 𝑉𝐺,𝑆/𝑅→

Si le solide S a un mouvement quelconque par rapport au repère R, on pourra :

• Calculer le moment cinétique en G :


= 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

• Calculer le moment dynamique en G :

𝛿𝐺(𝑆/𝑅)→

= [𝑑 𝜎𝐺(𝑆/𝑅)→

𝑑𝑡]

𝑅

• Puis appliquer la relation de changement de point :


= 𝛿𝐺(𝑆/𝑅)→

+ 𝐴𝐺→ ∧ 𝑚. 𝛤𝐺,𝑆/𝑅

→

VI. ENERGIE CINETIQUE :

L'énergie cinétique d'un solide S dans son mouvement par rapport au repère R, est la quantité scalaire :

𝑇𝑆/𝑅 =1

2∫ (𝑉𝑀,𝑆/𝑅→

)2

.𝑆

𝑑𝑚

mais 𝑉𝑀,𝑆/𝑅→

= 𝑉𝐺,𝑆/𝑅→

+ 𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐺𝑀→

l'énergie cinétique de S devient :

𝑇𝑆/𝑅 =1

2∫ (𝑉𝐺∈𝑆/𝑅→

+ 𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐺𝑀→ )2

𝑆 𝑑𝑚

𝑇𝑆/𝑅 =1

2∫ (𝑉𝐺∈𝑆/𝑅

→ )2

. 𝑑𝑚 + 1

2∫ (𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐺𝑀→ )

𝑆

2

𝑆 . 𝑑𝑚 + ∫ 𝑉𝐺∈𝑆/𝑅

→ 𝑆

. (𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐺𝑀→ ) . 𝑑𝑚

𝑇𝑆/𝑅 =1

2𝑚 (𝑉𝐺∈𝑆/𝑅

→ )2

+1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. ∫ 𝐺𝑀→

𝑆 ∧ (𝛺𝑆/𝑅

→ ∧ 𝐺𝑀→ ) . 𝑑𝑚 + 𝑉𝐺∈𝑆/𝑅

→ . (𝛺𝑆/𝑅

→ ∧ ∫ 𝐺𝑀

→ 𝑆

. 𝑑𝑚)

𝑇𝑆/𝑅 =1


→ )2

+1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. 𝐽(𝐺, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

Relation que l'on peut mettre sous la forme :

𝑇𝑆/𝑅 =1


→ )2

+1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. 𝜎𝐺(𝑆/𝑅)→

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Cas particuliers :

Mouvement de translation : exemple du mors de tirage de la cordeuse

➢ Exprimer l'énergie cinétique du mors de tirage (S) de masse M se déplaçant à une vitesse V :

Mouvement du solide S autour d'un point fixe A du repère R :

𝑇𝑆/𝑅 =1

2∫ (𝑉𝑀,𝑆/𝑅→

)2

.𝑆

𝑑𝑚 mais 𝑉𝑀,𝑆/𝑅→

= 𝑉𝐴,𝑆/𝑅→

+ 𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐴𝑀→

or 𝑉𝐴,𝑆/𝑅→

= 0→

et 𝑉𝑀,𝑆/𝑅→

= 𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐴𝑀→

L'énergie cinétique de S devient :

𝑇𝑆/𝑅 =1

2∫ ( 𝛺𝑆/𝑅

→ ∧ 𝐴𝑀→ )2

𝑆

𝑑𝑚 =1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. ∫𝐴𝑀→

𝑆

∧ (𝛺𝑆/𝑅→

∧ 𝐴𝑀→ ) . 𝑑𝑚

L'énergie cinétique s'écrit alors : 𝑇𝑆/𝑅 =1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. 𝐽(𝐴, 𝑆). 𝛺𝑆/𝑅→

Que l'on peut encore écrire : 𝑇𝑆/𝑅 =1

2 𝛺𝑆/𝑅→

. 𝜎𝐴(𝑆/𝑅)→

𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

G

Mors de tirage

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Mouvement autour d'un axe fixe (O, 𝒙ሬሬԦ) du repère R. exemple du bras de robot Maxpid

On donne la masse du bras M=0,883 Kg, le vecteur 𝑂𝐺ሬሬሬሬሬԦ = 111. 𝑦Ԧ et on rappelle sa matrice d'inertie :

𝐽(𝐺, 𝐵𝑟𝑎𝑠) = [16682,389 0 0

0 424,365 00 0 16942,91

]

(𝑥Ԧ,𝑦ሬԦ,𝑧Ԧ)

valeurs exprimées en 𝐾𝑔.𝑚𝑚²

Le point O est un point fixe, on peut donc appliquer la relation du cas particulier précédent. ➢ Par quelle opération devons-nous commencer ? Faire le calcul.

➢ Soit Ω𝐵𝑟𝑎𝑠 𝑅⁄ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = 𝜔. 𝑥Ԧ, déterminer l'expression de l'énergie cinétique :

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

⨀ 𝑥Ԧ

O

G

•

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➢ Quel est le seul élément d'inertie restant dans l'expression ? Déduire le calcul de l'énergie cinétique

pour le cas d'un solide S en rotation autour d'un axe fixe (O, 𝑥ԦԦ) à une vitesse Ω𝑆 𝑅⁄ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = 𝜔. 𝑥Ԧ

➢ Indiquer l'incidence qu'a cette relation sur la méthode que nous venons d'utiliser :

VII. UTILISATION DES CALCULS CINETIQUES :

Bien que relativement court, ce chapitre introduit beaucoup de notions nouvelles, ainsi qu'une foule de relations. Pour vous aider à vous y retrouver, reprenons les choses dans l'ordre.

Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique, vous aurez besoin du torseur dynamique d'un solide S en un point A que vous aurez choisi.

On cherche donc :

==

)R/E(

.m)R/E(RD

A

R/S,Gd

A

)R/S(

La résultante ne pose pas de problème technique, c'est un simple (pas toujours...) calcul d'accélération.

Le moment dynamique peut être obtenu de deux façons différentes :

1-Directement au point considéré


= [𝑑 𝜎𝐴(𝑆/𝑅)→

𝑑𝑡]

𝑅

+ 𝑉𝐴∈𝑆/𝑅→

∧ 𝑚. 𝑉𝐺∈𝑆/𝑅→

Il est nécessaire de connaître𝑉𝐴∈𝑆/𝑅→

et 𝑉𝐺∈𝑆/𝑅→

.

2-En passant par le centre d'inertie

𝛿𝐺(𝑆/𝑅)→

= [𝑑 𝜎𝐺(𝑆/𝑅)→

𝑑𝑡]

𝑅

Puis avec une relation de changement de point :


= 𝛿𝐺(𝑆/𝑅)→

+ 𝐴𝐺→ ∧𝑚. 𝛤𝐺,𝑆/𝑅

→

Le moment cinétique peut être obtenu de deux façons différentes :

1-Directement au point considéré


= 𝐽(𝐴, 𝑆) . 𝛺𝑆/𝑅→

+ 𝑚. 𝐴𝐺→ ∧ 𝑉𝐴∈𝑆/𝑅→

2- En passant par le centre d'inertie


= 𝐽(𝐺, 𝑆) . 𝛺𝑆/𝑅→

Puis avec une relation de changement de point :


= 𝜎𝐺(𝑆/𝑅)→

+ 𝐴𝐺→ ∧𝑚. 𝑉𝐺,𝑆/𝑅

→

Remarques : Il ne tient qu'à vous de déterminer laquelle des deux méthodes est la plus rapide en fonction des

données et de la définition du problème. Il est clair que tout calcul de cinétique ne peut se faire, sans avoir, au préalable, défini la

cinématique du solide étudié.7 Dans le calcul du moment cinétique, on effectue le produit matriciel de la matrice d'inertie et de

la matrice colonne représentant le vecteur rotation, ces deux matrices étant exprimées dans le même repère.

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