Sommaire - mathieme.esy.esmathieme.esy.es/myriadeprof6.pdf · Chapitre 1 • Nombres entiers et...

programme

2016

CYCLE 3maths

CO

LLE

CTI

ON

Sous la direction de Marc Boullis

Fedele Annicchiarico

Marc Boullis

Élodie Herrmann

Martine Lafon

Yvan Monka

Stéphane Percot

6e

Sommaire

CHAPITRE 1 : Nombres entiers et décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

CHAPITRE 2 : Addition – Soustraction – Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

CHAPITRE 3 : Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

CHAPITRE 4 : Écritures fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CHAPITRE 5 : Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

CHAPITRE 6 : Organisation et représentation de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

CHAPITRE 7 : Règles – Équerre – Compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

CHAPITRE 8 : Rapporteur – Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

CHAPITRE 9 : Symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

CHAPITRE 10 : Figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

CHAPITRE 11 : Périmètre et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

CHAPITRE 12 : Parallélépipède rectangle – Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Tâches complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Direction éditoriale : Julien BarretÉdition : Malik Agina et Mireille Chu

Couverture : Jean-François Saada et Pierre TaillemiteFabrication : Jean-Philippe Dore

Réalisation et schémas : STDI

3Chapitre 1 • Nombres entiers et décimaux

I. ProgrammeAttendu de fin de cycle• Utiliser et représenter les grands nombres entiers, les fractions simples, les nombres décimaux .

Connaissanceset compétences associées

Exemples de situations,d’activités et de ressources pour l’élève

Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers .

• Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations .

Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres) .

Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée .

Situations dont la résolution mobilise des connais-sances sur la numération ou des conversions d’unités de numération .

Illustrer les grands nombres à l’aide d’exemples d’ordres de grandeurs (population française, population mon-diale, rayon de la Terre, âge du système solaire…) .

Le travail sur certaines unités de masse ou de longueur et sur leurs relations (gramme, kilogramme, tonne ; cen-timètre, mètre, kilomètre, etc .) permet un retour sur les règles de numération .

Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal .• Spécificités des nombres décimaux .

Associer diverses désignations d’un nombre décimal (frac-tions décimales, écritures à virgule et décompositions) .

• Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal (point de vue positionnel) .

Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite gra-duée adaptée .

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux .

• Ordre sur les nombres décimaux .

Situations nécessitant :• d’utiliser des nombres décimaux pour rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples ;• d’utiliser différentes représentations : mesures de lon-gueurs et aires, une unité étant choisie ;• de faire le lien entre les unités de numération et les uni-tés de mesure (dixième/dm/dg/dL, centième/cm/cg/cL/centimes d’euros, etc .) .

La demi-droite numérique graduée est l’occasion de mettre en évidence des agrandissements successifs de la graduation du 1/10 au 1/1 000 .

II. Contexte du chapitreL’objectif de ce chapitre est de consolider et d’enrichir les acquis du cycle 2 et du début du cycle 3 relatifs à la numération de position et à l’ordre sur les nombres entiers et décimaux . Les activités proposées permettent une reprise de l’étude des nombres décimaux sans refaire tout le travail réalisé à l’école élémentaire, l’objectif principal étant d’assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture à virgule .

Nombres entiers et décimaux

1

4

• Correction

Dans un premier temps, il s’agit de revoir simplement la valeur des chiffres en fonction de leur rang : 6 fléchettes sont lancées . On obtient 3 102 points pour Alan (qui gagne le jeu), 220,2 points pour Chloé et 1 111,11 points pour Hakim (1 fléchette dans chaque couleur) .

Dans un second temps, l’activité permet d’approfondir la compréhension du système décimal : 10 fléchettes de 100 points (zone rouge) permettent d’obtenir le même score qu’une seule fléchette de 1 000 points (zone jaune) . 1 000 fléchettes de 0,1 point (zone blanche) permettent d’obtenir le même score qu’une seule fléchette de 10 points (zone verte) . 10 fléchettes de 0,01 point (zone blanche) per-mettent d’obtenir le même score qu’une seule fléchette de 0,1 point (zone bleue) .

Activité 2. Manipuler des nombres dans différentes écritures• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est à la fois de travailler sur diffé-rentes écritures de nombres décimaux (écritures décimales, écritures fractionnaires…) mais aussi de comparer ces nombres décimaux écrits sous différentes formes . Quatre des huit parties décimales des temps donnés sont sous formes fractionnaires . Là encore, la notion d’ordre croissant peut

être évoquée . La comparaison de 18

1 000 et

3100

mérite

parfois un temps d’explicitation plus long pour les élèves en difficulté .

IV. Corrections et intentions pédagogiques

■ Avant de commencer

1 b.

2 c.

3 a. 7 b. 2 c. 3 d. 2

4 b.

5 c.

6 a. 258 763,4 b. 25,87634c. 258,7634 d. 2 587,634

7 4

8 a.

9 4,2

■ Cherchons ensembleActivité 1. Comprendre le système décimal• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de retravailler de façon ludique le principe de position du système décimal et la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans un nombre . Dans la cible proposée, les différentes fléchettes peuvent valoir un millier, une centaine, une dizaine, une unité, un dixième ou un centième de points .

Comme pour l’ensemble des chapitres numériques, on s’appuie naturellement sur la résolution de problèmes . Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec le début du cycle, d’associer à une situation concrète un travail numérique et d’en mieux saisir le sens des techniques de calcul figurant au programme .

III. Ressources disponibles sur le site compagnon

Avant de commencer Un QCM interactif pour revoir ses acquis de début de cycle 3

Cherchons ensemble Fichiers textes modifiables des activités

Objectif 1Objectif 1Objectif 2

Vidéo « Je comprends » : Passer de l’écriture décimale à la fraction décimale Vidéo « Je comprends » : Passer de la fraction décimale à l’écriture décimale Vidéo « Je comprends » : Ranger les nombres décimaux

Je travaille seul(e) Un QCM interactif « Je fais le point » sur le cours

Avec un logiciel

Pour que les élèves travaillent en autonomie : Fiches logiciel (GeoGebra et Tableur) et leurs tutoriels vidéo

Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier tableur Activité 2 : 1 fichier tableur Activité 3 : 1 fichier tableur


4. 6

5. Unités

3 1. 7 425

2. 0,395

3. 2

4. 4

5. 742

6. 74

4 a. 12,56 = 12 + 0,56 = 10 + 2 + 0,5 + 0,06b. 57,089 = 57 + 0,89 = 50 + 7 + 0,08 + 0,009 c. 458,87 = 458 + 0,87 = 400 + 50 + 8 + 0,8 + 0,07d. 123,496 = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,09 + 0,006e. 102,058 = 100 + 2 + 0,05 + 0,008f. 147,225 = 100 + 40 + 7 + 0,2 + 0,02 + 0,005

5 a. 78,32 = (7 – 10) + (8 – 1) + (3 – 0,1) + (2 × 0,01)b. 57,089 = (5 – 10) + (7 – 1) + (0 – 0,1) + (8 × 0,01) + (9 – 0,001)c. 458,87 = (4 × 100) + (5 – 10) + (8 – 1) + (8 – 0,1) + (7 × 0,01)d. 147,057 = (1 × 100) + (4 – 10) + (7 – 1) + (0 – 0,1) + (5 × 0,01) + (7 – 0,001)e. 78,984 = (7 – 10) + (8 – 1) + (9 – 0,1) + (8 × 0,01) + (4 – 0,001)f. 102,684 = (1 × 100) + (0 – 10) + (2 – 1) + (6 – 0,1) + (8 × 0,01) + (4 – 0,001)

6 a. 57,089 = 57 + 89

1 000 = 50 + 7 +

8100

+ 9

1 000

b. 458,87 = 458 + 87

100 = 400 + 50 + 8 +

810

+ 7

100

c. 79,541 = 79 + 541

1 000 = 70 + 9 +

510

+ 4

100 +

11 000

d. 80,095 = 80 + 95

1 000 = 80 +

9100

+ 5

1 000

e. 120,808 = 120 + 808

1 000 = 100 + 20 +

810

+ 8

1 000

f. 21,981 = 21 + 981

1000 = 20 + 1 +

910

+ 8

100 +

11000

7 a. 17 500 000 000b. 2 325c. 405,37d. 25 508,133

Je résous des problèmes simples

8 6 possibilités : 357 ; 375 ; 537 ; 573 ; 735 ; 753 .

9 Je suis 1 457 .

10 Lou peut voir un 239 .

• CorrectionOn obtient : 19,893 s < 19 s

91100

< 19,935 s < 19 s 956

1 000

< 19,98 s < 20 s 18

1 000 < 20 s

3100

< 29,690 s .

Activité 3. Comparer et classer des nombres décimaux• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de travailler les principes de comparai-son de nombres décimaux . Le travail sur les parties entières permet d’avancer, mais reste insuffisant . Les nombres pro-posés n’ont pas tous le même nombre de chiffres dans leur partie décimale . L’introduction de « zéro inutile » peut être une piste pour faciliter leur comparaison .Le travail sur la valeur des chiffres en fonction de leur rang est là encore au cœur de cette activité . La notion d’ordre croissant peut être évoquée même si elle n’est pas expli-cite dans l’énoncé .

• Correction

On obtient : 13,999 < 14,15 < 14,509 < 14,575 < 14,59 < 14,805 < 15,29 < 15,3 .

Activité 4. Placer des nombres sur une demi-droite graduée• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de proposer l’utilisation d’une demi-droite graduée pour faciliter la comparaison et le clas-sement de nombres décimaux .

• Correction

Les longueurs proposées sont comprises entre 35,20 m et 44,60 m . On obtient le classement suivant (du plus long lan-cer au plus court, en mètres) :Hugo (44,60) > Louis (43,10) > Chloé (41,50) > Alice (40,50) > Nathan (39,00) > Karim (38,30) > Julien (37,70) > Elsa (35,20) .La question 3. permet d’intercaler un nombre entre 43,10 et 44,60 .

■ Objectif 1. Comprendre et utiliser les différentes écritures d’un nombre décimalJe m’entraine

1 a. Dans le nombre 412,5, le chiffre des dizaines est 1 et le nombre de dizaines est 41 .b. Dans le nombre 4 723,8, le chiffre des centaines est 7 et le nombre de centaines est 47 .c. J’ai 5 cartons pleins .

2 1. 2

2. Centaines

3. Centièmes

6

c. 99 < 99,528 < 100d. 17 < 17,18 < 18

24 a. 5,3 < 5,39 < 5,4b. 0,4 < 0,47 < 0,5c. 9,6 < 9,638 < 9,7d. 13,1 < 13,14 < 13,2


25 a. 19,8 < 2■,1b. 0,0■6 < 0,102c. 8,7■4 > 8,70d. 5,101 < 5,1■2e. 17,2 > 17,1■f. ■,56 > 0,5

26 1,500 tonne > 300 kg > 235,6 kg > 229,8 kg

27 110 mm < 12,47 cm < 12,5 cm < 17 cm

28 1.E F

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

G H

2. E(24) et F(50) .

29 S P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

U E R

On peut lire le mot : SUPER .

30 K

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I J L

31 M(5,1) ; N(6,9) ; P(9,2) ; Q(9,8) .

32 a. Armstrong : point A d’abscisse 1969 . A(1969) .b. De Gaulle : D(1940) .c. Première Guerre mondiale : G(1914) .d. Équipe de France : F(1998) .e. Lindbergh : L(1927) .

D

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

G A FL

33 Chine ; Inde ; États-Unis ; Indonésie ; Brésil ; Russie ; Allemagne ; France ; Royaume-Uni .

11 6 370 ; 150 000 000 ; 696 300 ; 4 498 500 000 .

12 25,47

13 Je suis 245,4 .

14 4 385 000 000 ; 1 166 000 000 ; 175 100 000 ; 743 123 000 ; 39 359 000 .

15 1. 13 2. 139 3. 1 395

4. 13 cartons de mille + 9 boites de cent + 5 paquets de dix .

■ Objectif 2. Repérer, comparer, classer et encadrer des nombres décimauxJe m’entraine

16 a. Par exemple : 8,503 et 8,505 .b. Par exemple : 7,21 et 7,25 .

17 a. 22 < 35b. 19 < 21c. 16 > 14,9d. 26,58 < 26,64e. 37,5 > 37,467f. 54,78 > 54,708

18 a. 18 < 81b. 0,086 > 0,0806c. 8,705 > 8,507d. 5,11 > 5,102e. 7,2 = 7,20f. 0,56 < 0,65

19 33,68 < 33,8 < 34 < 34,15 < 34,2 < 35,1

20 110,8 > 11,804 > 11,8 > 10,99 > 10,909 > 1,75

21 a.

0 10 20 30 405 15 25 35 45

b.

26 28 30 3225 27 29 31 33 34

c.

4,15 4,25 4,35 4,454,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,55

22 A(2) ; B(3) ; C(7,5) ; D(5) .

23 a. 10 < 10,48 < 11b. 0 < 0,35 < 1


52 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

G E I A LN

2. G(14), I(40) et L(78) .

53 1. et 2.

0 1 2 3 4

B I E N

3. On peut lire le mot : BIEN .

54 8 030 g < 8,290 kg < 8,3 kg < 8 350 g

■ Je résous des problèmes

55 1. XVII = 17 ; MCXXV = 1 125 ; MMMLXXXVI = 3 086 .

2. 324 = CCCXXIV ; 985 = CMLXXXV ; 2 016 = MMXVI .

56 Armel le Cléac’h : 6 759 232 s = 78 j 5 h 33 min 52 s .Michel Desjoyaux : 121 149 min = 84 j 3 h 9 min .François Gabart : 1 874 h 16 min 40 s = 78 j 2 h 16 min 40 s .Alex Thomson : 80 j 19 h 23 min 43 s .Donc le classement est : François Gabart ; Armel le Cléac’h ; Alex Thomson ; Michel Desjoyaux .

57 Mercure ; Mars ; Vénus : Terre ; Neptune ; Uranus ; Saturne ; Jupiter .

58 Everest ; Aconcagua ; Mc Kinley ; Kilimandjaro ; Elbrouz ; Vinson ; Carstensz ; Mont-Blanc .

59 1. 8 017

2. 15 379U U U U U U U U U U U U

60 1.

vaut 1 .

vaut 10 .

vaut 100 .

■ Je travaille seul(e)

34 B

35 C

36 B

37 B

38 B

39 A

40 A

41 B

42 B

43 B

44 1. 8

2. 2

3. Centaines

4. Millièmes

45 a. 1 572,068b. 1 201 210,26c. 1,262165 ou 1 262,165 .

46 Il existe 27 possibilités : 222 ; 224 ; 226 ; 242 ; 244 ; 246 ; 262 ; 264 ; 266 ; 422 ; 424 ; 426 ; 442 ; 444 ; 446 ; 462 ; 464 ; 466 ; 622 ; 624 ; 626 ; 642 ; 644 ; 646 ; 662 ; 664 ; 666 .

47 Erratum. Malgré notre vigilance, il se peut que dans certains manuels, le tableau présente une erreur . En effet, dans la dernière case de la première ligne, il faut lire la frac-

tion 1 542100

et non 1 5421 000

.

15,42 15 + 4

10 +

2100

15 + 42

1001 542100

9,048 9 + 4

100 +

81 000

9 + 48

1 0009 0481 000

8,315 8 + 3

10 +

1100

+ 5

1 0008 +

3151 000

8 3151 000

81,025 81 + 2

100 +

51 000

81 + 25

1 00081 0251 000

385,3 385 + 3

10385 +

310

8 85310

48 Deux-milliards-quatre-cent-soixante-millions-quatre-cent-quatre-vingt-un-mille-neuf-cent-cinquante .

49 Usain Bolt : 9,79 s .Justin Gatlin : 9,8 s .Andre De Grasse : 9,92 s .Trayvon Bromell : 9,992 s .

50 a. 54 > 45 b. 19 > 18,9c. 17,8 > 17,64 d. 47,65 > 47,605

51 a. 13 < 31 b. 78,59 > 59,78c. 6,32 > 6,302 d. 33,33 = 33,330

8

2.

37 = (1 × 20) + 17 =

312 = (15 × 20) + 12 =

2 045 = (5 × 20 × 20) + (2 × 20) + 5 =

■ Dans les autres matières

64 Pelure de fruits – papier – cigarette – chewing-gum – plastique – aluminium – polystyrène – caoutchouc – verre – mercure .

65 Il faudrait 497 éoliennes .

66 À vérifier sur le cahier de l’élève . Par exemple : 2 × 50p + 5 × 20p .

67

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

T L E G B N

■ Tâche complexeLa vitesse du vent sera entre 39 et 61 km/h (force 6 ou 7) .

■ Jeux mathématiques

68 A12345

B C D E1 8

1 54 2

1

7 53 95

8

6

79 6

3 8

69 Il y a eu 8 années « blackjack » depuis 1900 .

70 Elle va écrire 20 fois le chiffre 7 .

71 Il lui faut 1 h 30 min .

72 Il y a 2 solutions :

1

2 4

3 5

6

2

3 4

5 6

7

vaut 1 000 .

vaut 10 000 .

vaut 100 000 .

vaut 1 000 000 .

2.

= 32 ;

= 130 002 ; = 1 002 010

3.

426 =

527 =

12 315 =

1 234 000 =

61 1. 100 = 2 × 47 + 6 donc 3e rangée, 6e fauteuil .

2. 393 = 8 × 47 + 17 donc 9e rangée, 17e fauteuil : place I17 .

3. 610 = 12 × 47 + 46 donc M46 ; 611 = 12 × 47 + 47 donc M47 ; 612 = 13 × 47 + 1, donc N1, et 613 = 13 × 47 + 2, donc N2 : les membres sont sur 2 rangées .

62 8 000 heures = 333 jours et 8 heures donc en une année et en tenant compte des autres activités (sommeil, repas…), ce n’est pas possible .

63 Erratum. Malgré notre vigilance, il se peut que l’énoncé présente une erreur . En effet, pour le premier étage de l’écri-ture de 974, il y a 2 barres et 4 points, et non 3 comme il peut être indiqué dans certains manuels .

1.

= (16 × 20) + 4 = 324

= (18 × 20) + 0 = 360

= (17 × 20) + 18 = 358


conversion, plusieurs compétences sont travaillées : saisir des valeurs dans des cellules, saisir une formule, recopier une formule, mettre en forme des cellules .

Activité 2. Le tableur et les nombres décimaux• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’utiliser le tableur pour conso-lider la maitrise des nombres décimaux .D’un point de vue mathématique, cette activité permet de travailler le sens et la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans un nombre décimal . Elle permet également de revoir la décomposition des nombres décimaux .Exemple : 3 478,17 = (3 × 1 000) + (4 × 100) + (7 × 10) + (8 × 1) + (1 × 0,1) + (7 × 0,01) .Au niveau technique, elle permet d’utiliser des formules simples (addition, multiplication) du tableur .L’outil logiciel permet une réelle consolidation des acquis mathématiques de ce chapitre .

Activité 3. Le nombre mystérieux• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet aux élèves d’utiliser la programma-tion de cellule pour suivre un programme de calcul mais aussi d’utiliser les calculs programmés pour rechercher un nombre particulier dont on connait le résultat à l’issu de ce programme de calcul .Au niveau technique, les fonctions du tableur utilisées sont simples : saisir un nombre dans une cellule ; saisir une for-mule faisant référence à une cellule .

• CorrectionPour obtenir 52, il faut choisir le nombre 8 .Pour obtenir 110,5, il faut choisir le nombre 17 .Pour obtenir 209,3, il faut choisir le nombre 32,2 .Pour obtenir 296,01, il faut choisir le nombre 45,54 .

73 Cette phrase contient NEUF mots et QUARANTE-HUIT lettres.

■ Devoirs à la maison

74 1. Volga ; Danube ; Dniepr ; Rhin ; Tage ; Elbe ; Vistule ; Loire .

2. Pour le Danube, par exemple, il traverse dix pays : l’Al-lemagne (7,5 %), l’Autriche (10,3 %), la Slovaquie (5,8 %), la Hongrie (11,7 %), la Croatie (4,5 %), la Serbie (9,4 %), la Bulgarie (5,2 %), la Roumanie (28,9 %), la Moldavie (1,7 %) et enfin l’Ukraine (3,8 %) .

75 1. = 52 ; = 922

et = 959 995 .

2. 36 =

1 111 =

9 641 =

134 574 =

■ Avec un logicielActivité 1. Une table romaine• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de proposer une première uti-lisation du tableur avec une fonction simple : =ROMAINpour construire une table de conversion entre nombres entiers et nombres romains . Pour construire cette table de

11Chapitre 2 • Addition – Soustraction – Multiplication

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux .• Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul .



Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul .

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit .

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur .

• Addition, soustraction, multiplication, division .• Propriétés des opérations :– 2 + 9 = 9 + 2– 3 × 5 × 2 = 3 × 10– 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2• Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs .• Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant .• Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10) .

Exemples de faits et procédures numériques :• multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1 000 un nombre décimal• rechercher le complément à l’unité, à la dizaine, à la centaine supérieure• encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs• trouver un quotient, un reste• multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5…

Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc .) .

En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la prio-rité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ainsi que l’usage des parenthèses .

Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur .

Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situa-tions très simples .

• Règles d’usage des parenthèses .

Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division .

• Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la divi-sion, on se limite à diviser par un entier) .

Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trou-ver ou vérifier un résultat .

• Fonctions de base d’une calculatrice .

Addition – Soustraction – Multiplication

2

12

calcul posé . Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres . Ainsi, même si le calcul men-tal permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations . Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonc-tion de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs . Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s’ap-puyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaires automatisés . De même, si la maitrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations .

• Sens des opérations .• Problèmes relevant :– des structures additives ;– des structures multiplicatives .

Enrichir le répertoire des problèmes additifs et multipli-catifs, notamment les problèmes relevant de la division .

Organisation et gestion de données .

Prélever des données numériques à partir de supports variés . Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques .

Exploiter et communiquer des résultats de mesures .• Représentations usuelles :– tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ;– diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-circulaires ;– graphiques cartésiens .

Extraire ou traiter des données issues d’articles de journaux .

Organiser des données issues d’autres enseignements (sciences et technologie, histoire et géographie, éduca-tion physique et sportive…) en vue de les traiter .

Proportionnalité .• Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la pro-portionnalité en utilisant une procédure adaptée .

Situations permettant une rencontre avec des échelles, des vitesses constantes, des taux de pourcentage, en lien avec l’étude des fractions décimales .

Mobiliser les propriétés de linéarité (additives et multi-plicatives), de proportionnalité, de passage à l’unité .

Utiliser des exemples de tableaux de proportionnalité .

Grandeurs et mesures

Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés .

Déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée .

• Unités de mesures usuelles : jour, semaine, heure, minute, seconde, dixième de seconde, mois, année, siècle, millénaire .

Utiliser les unités de mesure des durées et leurs relations .

Exploiter des ressources variées :• tableaux d’horaires ou de réservation de transport• tableaux d’horaires de marées, d’activités sportives• programmes de cinéma, de théâtre, programmes télévisésCes différentes ressources sont utilisées sur un support papier ou un support numérique en ligne .

II. Contexte du chapitreCe chapitre s’inscrit dans le contexte suivant (cf . Extrait de programme ci-après) :Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension de notre système de numération (numéra-tion orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs .

Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction . Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté . Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le


La résolution de problème : La progressivité sur la réso-lution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur :• les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle), puis décimaux ;• le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6e nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ;• les supports envisagés pour la prise d’informations : la col-lecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation gra-phique), puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs sup-ports en 6e .

Ce chapitre est l’occasion pour les élèves d’atteindre les attendus de fin de cycle concernant l’addition, la soustrac-tion et la multiplication . La compétence sur les durées et les horaires est également traitée dans ce chapitre . Elle s’y intègre de par son côté calculatoire en faisant intervenir l’addition, la soustraction et la multiplication .Afin de maitriser les attendus de fin de cycle, à savoir, le calcul avec des nombres décimaux et la résolution des pro-blèmes avec des nombres décimaux, le calcul est travaillé sous toutes ses formes : mental, posé, à la calculatrice, en utilisant un tableur ou en s’initiant à l’algorithmique .Les élèves poursuivent ce qu’ils ont vu en cycle 3 (CM1 et CM2) . Les nouveautés sont les règles d’usage des parenthèses dans les calculs, la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction, et enfin une initiation à l’algorithmique en uti-lisant un logiciel (Scratch) pour réaliser des calculs .

de la numération et de rencontrer des exemples d’algo-rithmes complexes .Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles . Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en fonction des nombres en jeu et de leur structure . Le calcul contribuant aussi à la représen-tation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre) .

Les durées : Un travail de consolidation de la lecture de l’heure, de l’utilisation des unités de mesure des durées et de leurs relations ainsi que des instruments de mesure des durées est mené en CM1 et en CM2 . Tout au long du cycle, la résolution de problèmes s’articule autour de deux types de tâches : calculer une durée à partir de la donnée de l’ins-tant initial et de l’instant final, déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée . La maitrise des unités de mesure de durées et de leurs relations permet d’organiser la progressivité de ces problèmes .

Le calcul : La pratique du calcul mental s’étend progressi-vement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient .Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux :• addition et soustraction pour les nombres décimaux dès le CM1 ;• multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6e ;• division euclidienne dès le début de cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d’un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2 .


Avant de commencer Un QCM interactif pour vérifier ses acquis de début de cycle 3


Objectif 1


Vidéo « Je comprends » : Poser une addition Vidéo « Je comprends » : Poser une soustraction Vidéo « Je comprends » : Poser une multiplication Vidéo « Je comprends » : Effectuer des calculs avec priorités (multiplication ou division) Vidéo « Je comprends » : Convertir les unités de temps


Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier tableur Activité 2 : 1 fichier tableur Activité 3 : 1 fichier tableur Activité 4 : 2 fichiers Scratch

14

d’ordres de grandeur, le poids de différents objets . Puis il posera l’opération exacte et vérifiera son calcul à l’aide de la machine à calculer .La dernière question incite à raisonner pour déterminer la charge possible à rajouter compte tenu de la camion-nette utilisée .

• Correction1. 150 + 100 + 50 + 100 = 400Un ordre de grandeur du poids total à transporter est de 400 kilogrammes .2. 2,6 + 161 + 84 + 59,5 + 88,5 = 395,6Le poids exact du chargement est de 395,6 kilogrammes .3. On obtient le même résultat à la calculatrice .4. Le père de Tony peut donc encore ajouter 200 kilo-grammes car 200 + 400 = 600 .Et 600 kg = 0,6 t .

Activité 3. Additionner et soustraire avec des nombres entiers• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité est l’occasion de travailler conjointement les compétences souhaitées dans le programme : Chercher, modéliser, raisonner, calculer et communiquer .En partant d’une situation de la vie courante simple, un nombre de kilomètres parcourus par différents person-nages, les élèves vont résoudre un problème relevant de situations additives avec des nombres entiers . C’est l’oc-casion de donner un sens à l’addition et à la soustraction .

• CorrectionÉlodie : 1 726 – 163 = 1 563 km .Marco : 1 563 – 271 = 1 292 km .Samuel : 1 292 + 410 = 1 702 km .

Activité 4. Multiplier avec des nombres entiers et décimaux• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’effectuer un produit avec des nombres entiers et décimaux .La notion d’ordre de grandeur est abordée pour le résultat .L’élève est amené à réfléchir sur la place de la virgule dans le résultat final au travers de trois propositions d’élèves .

• Correction1. 702. Malik

Activité 5. Multiplier par 10 ; 100 ; 1 000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’élève expérimente les multiplications par 10, 100 et 1 000 par un même nombre . Il recommence avec des nombres dif-férents . Il expérimente ensuite celles par 0,1, 0,01 et 0,001 par un même nombre .Le but de cette activité est de permettre aux élèves d’énon-cer les propriétés permettant de les effectuer rapidement .



1 1 715,01

2 1 789 + 10 + 1 = 1 789 + 1 + 10 = 1 800

3 2 747

4 7,5 + 2,5 + 4 = 10 + 4 = 14

5 3 330,1

6 576 – 23 = 576 – 20 – 3 = 553

7 5 864

8 13,9 – 6,4 = 14 – 6,5 = 7,5

9 18 322,2

10 7 400 ; 24 ; 56 ; 63 ; 40 ; 42 ; 320 ; 564 ; 0 .

11 6 896

12 4,8 ; 12,3 .

13 30 ; 50 ; 100 ; 198 ; 500 .

14 210 ; 399 ; 1 800 ; 12 000 .

15 9 × 7 = 63, donc sa grand-mère a 63 ans .

16 11 h 27 + 2 h 11 = 13 h 38, donc Fabio arrive en gare de Valence à 13 h 38 .

17 3 × 60 = 180, donc il y 180 minutes dans 3 heures .

■ Cherchons ensembleActivité 1. Additionner avec des nombres entiers et des nombres décimaux• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette première activité a pour objectif de montrer aux élèves le fait que dans une addition, on peut changer l’ordre des termes sans changer le résultat .Cette propriété permet de trouver un moyen pour que le calcul soit plus simple à effectuer, en regroupant astucieu-sement des termes .

• Correction

1. A = 17

2. B = 17

3. A = B

4. Le calcul le plus simple à effectuer est le B .On peut conclure qu’un regroupement astucieux permet de calculer plus facilement .

Activité 2. Donner un ordre de grandeur à une somme de nombres entiers et décimaux• Considérations didactiques et mise en pratiqueÀ l’aide d’un exemple de la vie courante, un déménagement, cette activité souligne le côté pratique de la notion d’ordre de grandeur pour une addition . L’élève va ainsi estimer un poids total à transporter en additionnant d’abord, à l’aide


En effet, la propriété du paragraphe 2 sur la multiplica-tion peut indiquer que « de même, on peut regrouper des termes pour simplifier le calcul d’un produit » .Il faut ainsi rectifier en énonçant que « de même, on peut regrouper des facteurs pour simplifier le calcul d’un pro-duit » . Les termes sont les nombres que l’on additionne, et non qu’on multiplie .

■ Objectif 1. Additionner et soustraire avec des nombres entiers et des nombres décimauxJe m’entraine

1 a. 76,2 et 20,25 . b. 11 c. 769 d. 1 998

2 a. 854 b. 135 c. 266,07 d. 230

3 a. 13,2 b. 17,65 c. 430,8 d. 84,4

4 a. 0,7 b. 1 c. 9,1 d. 132

5 13 + 12

6 a. 8,5 + 6,5 + 43 + 57 = 15 + 100 = 115b. 17 + 53 + 5,35 + 14,65 = 70 + 20 = 90c. 7,25 + 5,75 + 6,1 + 3,9 = 13 + 10 = 23

7 1. 500 + 1 000 + 200 = 1 700

2. 2 000 – 1 000 – 50 = 950


8 71 €

9 12 ans

10 1944

11 2 217 m

12 2 130 m

13 Libre cours à l’imagination !

14 788 km

15 42 km

16 71 km

17 25,25 €

18 1. 2 100 000 habitants

2. 2 061 295 habitants

• Correction

1. a. 20,15 b. 201,5 c. 2 015

2. a. 560 b. 2 500 c. 350 000

3. a. 2,5 b. 0,035 c. 0,45

Activité 6. Connaitre la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour objectif de faire découvrir aux élèves la priorité de la multiplication sur l’addition (respective-ment sur la soustraction), dans un calcul où figurent ces deux opérations . C’est une nouveauté au programme de 6e, ne figurant avant qu’à celui de 5e . Il en est de même pour l’usage des parenthèses, que les élèves vont aussi découvrir dans cette activité, à l’aide de calculs simples .

• Correction

1. a. 23 b. 39 c. 17 d. 25e. 4 f. 40 g. 3 h. 36

2. b. Les résultats obtenus sont différents . Les parenthèses pour l’addition et la soustraction les rendent prioritaires sur la multiplication .

3. Dans une expression numérique sans parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l’addition et la soustraction .Dans une expression numérique avec parenthèses, on com-mence par effectuer les calculs entre parenthèses .

Activité 7. Calculer avec des durées• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de reprendre le travail fait aux cycles 2 et 3 sur les durées et les horaires et de l’enrichir au tra-vers d’un exemple concret : les horaires de vol et la durée d’un voyage .Les deux types de tâches préconisées dans les programmes sont travaillés :– calculer la durée écoulée entre deux instants donnés ;– déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée .

• Correction

1. 1 h

2. 1 h 25 min

3. 6 h 45 min

4. 4 h 20 min

5. En considérant qu’Alizée n’a pas de bagages en soute à retirer à Grenade et qu’elle prend directement son bus après l’avion, elle retrouvera Manolo à 20 h 17 .

■ CoursErratum. Il se peut, malgré notre vigilance, que dans cer-tains manuels il y ait une propriété incorrecte dans le cours, page 33 du chapitre 2 .

16


42 1. 10 500 2. 1 250 3. 2 000 000

43 40

44 36,10 €

45 1. On retombe sur le nombre de départ .

2. a. 34 272 b. 34,272 c. 3 427 200 d. 3 427,2

■ Objectif 3. Connaitre les priorités des opérationsJe m’entraine

46 a. 15 b. 30 c. 4 d. 20

47 a. 42 b. 27 c. 80 d. 9

48 80

49 a. 180 b. 105 c. 51 d. 48

50 a. 30,2 b. 55,3 c. 320 d. 6

51 1. La multiplication est prioritaire sur l’addition : il faut donc commencer par 3 × 5 .

2. 19

52 a. 6 × (8 – 5) = 18 b. 34 – (12 + 22) = 0c. (5 + 2) × 3 = 21 d. (1 + 4) × 6 = 30

53 a. (8 + 3 – 4) × 4 = 28 b. (4 + 5) × (6 + 3) = 81c. (17 – 4) × 4 = 2 × (17 + 9) d. 3 × (4 + 5) = 5 × 6 – 3

54 1.

a b ca × b

+ ca ×

(b + c)

2 3 5 11 16

3 4 6 72 30

1,2 3 6,5 10,1 11,4

10 2 7 27 90

2. On remarque que : a × b + c ≠ a × (b + c) .

55 12 × 8 + 14 – 9 = 101

56 1. 13

2. Maëlys

3. Les deux autres élèves n’ont pas respecté les règles des priorités dans les opérations .

■ Objectif 2. Multiplier avec des nombres entiers et des nombres décimauxJe m’entraine

19 a. 116 b. Voir cours . c. 100 d. 1

20 a. 1 196 b. 630 c. 3 968 d. 425

21 a. 63,18 b. 115,824 c. 184,1 d. 26,1

22 a. 56 b. 54 c. 81d. 48 e. 55 f. 57

23 a. 350 b. 45 600 c. 87 000 d. 470 000

24 a. 15 b. 40 c. 100,5 d. 4 300

25 a. 1,4 b. 0,56 c. 1,789 d. 0,15

26 a. 0,2 × 50 × 25,75 = 257,5 b. 25 × 4 × 6 = 600c. 2 × 5 × 8 × 3 = 240 d. 5 × 4 × 5 × 4,2 = 420

27 a. 10 000 b. 4 000 c. 100 d. 1

28 498 × 3,01 ❏ ❏ 1 92,2 × 101,3 ❏ ❏ 1 500 1,09 × 0,92 ❏ ❏ 10 000 3,99 × 25,02 ❏ ❏ 100

29 a. 130 b. 570 c. 173d. 34 e. 42 f. 1

30 a. 9 b. 0,9 c. 0,007d. 10 e. 100


31 4,68 €

32 16,40 €

33 2,99 €

34 6 540 €

35 18,8 cm

36 112,6

37 39 €

38 52,5 L

39 29,25 €



72 a. 3 et 30 . b. 2 et 30 .

73 60 heures

74 a. 64 b. 7

75 14 h 37 min

76 15 h 05 min

77 2 h 33 min


78 456,5 h

79 23 h 15 min

80 80 h 30 min

81 3 h 35 min

82 À 8 h 06 .

83 À 18 h 15 .

84 À 16 h 02 .

85 1. 22 h 12

2. 6 h 33

3. Oui, il vaut mieux patienter : à Paris, il est alors 4 h 30 du matin !

86 À 16 h 04 .

87 À 8 h 40 .

88 À 9 h 01 .

89 50 minutes

90 1. 14 h 45 2. 3 heures 3. À 14 h 20 .

4. À 13 h 10 .


91 A

92 A

93 B

94 C

95 C

96 C

97 B

98 A

99 A

100 C

101 49,35 €

57 Lola a raison : la multiplication est prioritaire sur la soustraction .


58 Léo a raison : la multiplication est prioritaire sur l’addition .

59 1. a. Le calcul entre parenthèses – règle de priorité .b. La multiplication – règle de priorité .c. L’addition .

2. 33

60 1. a. Il s’agit du produit de 5 par la somme de 2 et de 6 .b. Il s’agit de la somme du produit de 5 par 2 et de 6 .

2. Elles rendent prioritaire la somme .

61 1. 7 × 20 + (12 – 7) × 18

2. 230

62 1. Si on choisit 3, on obtient 20 .

2. (3 + 7) × 2

3. Il rend prioritaire la somme .


64 1. 10 – (3 × 2,25 + 1,15)

2. Permettre de retrancher tout ce qui est à l’intérieur des parenthèses .

3. 2,10 €

65 1. Ils ont tous raison : il y a différentes écritures possibles .

2. 52 + 40,2 + 45 = 137,2

66 1. (350 + 500) × 5 2. 4 250 m 3. (450 + 600) × 2

4. 2 100 m 5. (350 + 500) × 5 + (450 + 600) × 2

6. 4 250 + 2 100 = 6 350 m

■ Objectif 4. Calculer avec des duréesJe m’entraine

67 a. 660 secondes b. 36 heuresc. 70 minutes d. Dans 1 h 31 min .

68 1. 24 2. 60 3. 3 600 4. 86 400

69 a. 60 b. 2 c. 4

70 a. 51 b. 2 et 11 .

71 a. 1 et 7 . b. 2 et 3 .

18

2. 5 × 9 = 45 € . Or, 45 > 35, donc Mathieu a intérêt à opter pour la carte « 5 places » .

3. À partir de 2 séances l’après-midi ou en soirée, cette carte vaut la peine . En effet, pour 2 séances l’après-midi et donc 3 le matin, le montant total est de 35,40 € . Il augmente ensuite avec le nombre de séances l’après-midi ou en soirée .

126 Vrai . Réfléchir au sens concret de la multiplication d’un nombre par 1 .

127 La distance Belfort-Paris est de 422 km en train .La distance Paris-Le Pouliguen est de 482 km en train .

128 Jamil : 2 h 50 . Sabri : 2 h 20 .Sabri a donc le temps de vol le plus court .

129 71,10 €


130 1. Thomas a raison .

2. Ce sont les nombres que l’on additionne .

3. Les thermes romains sont des établissements abritant les bains privés ou publics de la Rome antique . Le dieu Terme réglait les litiges concernant les limites des propriétés chez les romains .

4. Notre voyage arrive à sa fin .

131

132 53,60 €

■ Tâche complexe• Quelques pistesIl faut, dans un premier temps, extraire les informations utiles .Ensuite, calculer les durées des trajets Valence-Grenade via Marseille et via Toulouse .Puis, évaluer les couts de ces voyages respectifs .

• CorrectionVia Marseille : temps dans les transports = 1 h 02 + 6 h 45 = 7 h 47Cout : 37,50 € + 215 € : 2 = 145 €Via Toulouse : temps dans les transports = 3 h 31 + 5 h 35 = 9 h 06Cout : 49 € + 156 € : 2 = 127 €

Pour conclure, il faut un peu débattre : que veut-on privilé-gier, le temps ou le cout ?

4 9 2

3 5 7

8 1 6

102 1 107 m

103 3,695 kg

104 a. 25,6 × 32 = 819,2 b. 2 017 × 0,21 = 423,57

105 1. 22,50 € 2. 90 € ; 180 € .

106 4 000 m

107 Exemple d’énoncé : Nina achète 3,25 m de tissus à 6 € le mètre avec 2 lots de perles bleues et 5 rouges à 1,75 € l’unité . Le montant à payer est : 3,25 × 6 + (2 + 5) × 1,75 = 31,75 € .

108 4 + (2 × 5 – 1) × 2

109 1. 27

2. Il faut tenir compte des priorités dans les opérations .

110 18 h 20

111 54 minutes

112 À minuit et une minute .

113 1 h 06


114 1. 822 m 2. 1 720 m

115 0 !

116 1. 1 h 40 2. 6 h 10 3. Non : l’après-midi, la durée est de 6 h 15 .

117 8 croquettes .

118 1. 47 jours 2. 5 novembre

119 Les réponses varient avec l’année en cours .

120 Hélène va constater que le produit est toujours sous la forme 1234n…4321 où n est le nombre de 1 dans le facteur . On peut expliquer ce résultat en posant les multiplications .

121 Il a 37 billets de 5 € et 21 billets de 10 € .

122 Environ 23 476 570 tonnes de déchets, d’où le slogan .

123 96 jours

124 68 heures

125 1. 5 × 5,8 = 29 € . Or, 29 < 35, donc Coralie n’a pas inté-rêt à acheter cette carte .


6. En procédant de la même manière, on obtient 5 050 pour la somme des entiers de 1 à 100 et 500 500 pour la somme des entiers de 1 à 1 000 .

Activité 2. Multiplier successivement par un même nombre• Considérations didactiques et mise en pratiqueLe but de cette activité est d’utiliser un tableur pour faire des multiplications successives par un même nombre, à partir d’un nombre de départ proposé .L’élève doit aussi savoir procéder en sens inverse : à partir d’un résultat, retrouver le nombre de départ .

• Correction

1., 2., et 3.

À l’aide de la souris, cliquer sur le coin inférieur droit de la cellule A2, puis tirer verticalement jusqu’à la cellule A12 pour obtenir le résultat demandé .

4. On obtient 51 200 .

5. On obtient 8 192 .

6. 17

Activité 3. Résoudre un exercice avec des multiplications successives• Considérations didactiques et mise en pratiqueÀ partir d’un cas concret, l’élève est amené à utiliser un tableur pour résoudre un exercice utilisant des multiplica-tions successives .

• Correction

1.

On réalise, comme dans la capture ci-dessus, les multipli-cations successives par 2, avec 2 comme nombre de départ dans la colonne A .Dans la colonne B, on fait la somme du nombre de pages lues depuis le début . On rentre en B2 la formule : =A1+A2 , puis en B3 : =B2+A3 et on la recopie en la tirant vers le bas jusqu’à avoir au moins 218 .Il faudra donc à Simon 7 jours pour lire tout son livre .


133 Exemple : quelqu’un qui est né dans l’Aude (11) et qui a 49 ans va trouver comme résultat 1149 .

134 Châtaigne pèse 1 kg .

135 11 et 8 : il s’agit de l’Aude et des Ardennes .


136 1. 5 h 06 min 09 s – 3 h 51 min 09 s = 1 h 15 min 0 sLa durée qui sépare Myriam du gagnant est de 1 h 15 min .

2. 5 h 06 min 09 s + 56 min = 6 h 02 min 09 sLa durée de la course de Marie est de 6 h 02 min 09 s .

3. 5 h 06 min – 17 min = 4 h 49 minKarine a effectué sa course en 4 h 49 min .

4. 6 h 37 min 10 s – 3 h 51 min 09 s = 2 h 53 min 01 sIl s’est écoulé 2 h 53 min 01 s entre l’arrivée de la 1re per-sonne et de la dernière, mais l’essentiel est d’arriver !

137 1. 10 455 – 9 737 = 718L’augmentation de la population entre 1982 et 1990 est de 718 habitants .

2. 14 233 – 9 737 = 4 496

3. D’après les données de ce tableau, l’augmentation la plus forte entre deux colonnes se situe entre 2006 et 1990 .

4. D’après les données de ce tableau, la population n’a cessé d’augmenter .

5. 14 233 : 9 737 ≈ 1,46 car 1,46 × 9 737 ≈ 14 233 .

■ Avec un logicielActivité 1. Somme de nombres entiers consécutifs• Considérations didactiques et mise en pratique– Trouver une formule pour afficher un entier consécutif ;– recopier cette formule un nombre de fois demandé ;– faire apparaitre la somme de ces entiers .Ces trois compétences sont mises en œuvre une fois cha-cune, puis réinvesties dans deux autres activités .

• Correction

1., 2. et 3.

À l’aide de la souris, cliquer sur le coin inférieur droit de la cellule A2 puis tirer verticalement jusqu’à la cellule A10 pour obtenir le résultat demandé .

4. Dans la cellule A11, écrire : =SOMME(A1:A10) .

5. La somme vaut 55 .

20

3. Choisir deux autres nombres et recommencer .

4. Le lutin affiche : 260 335 .

5. Le programme suivant permet de calculer le produit de deux nombres en utilisant le logiciel Scratch .

6. Deux nombres au choix et l’on teste ce programme .

7. Même question qu’en 6 avec deux autres nombres .

8. Le lutin affiche : « Le produit des deux nombres est : 382 774 .44 . »

Remarque : attention, la virgule doit être remplacée par un point !

2. En procédant de la même manière, on va trouver qu’il lui aurait fallu 10 jours pour lire un atlas de 1 542 pages .

Activité 4. Addition de deux nombres avec Scratch• Considérations didactiques et mise en pratiqueLe but de cette activité est d’initier les élèves à l’utilisation du logiciel Scratch . Un script leur est donné pour calculer la somme de deux nombres à l’aide de ce logiciel . Ils vont l’utiliser par eux-mêmes . Puis, en s’inspirant de ce modèle, ils vont créer un algorithme simple pour calculer le produit de deux nombres . Ils vont alors utiliser ce programme pour quelques exemples .

• Correction

1. À faire en utilisant le script présenté dans la capture d’écran .

2. Au choix pour les deux nombres . Ce qui va permettre de tester le programme .

21Chapitre 3 • Division

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux .• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul .



Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Mémoriser des faits numériques et des procédures élé-mentaires de calcul .

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit .

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur .

• Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs .• Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant .• Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10) .

Exemples de faits et procédures numériques :• trouver un quotient, un reste .

Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc .) .

Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur .

Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour la division .

• Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la divi-sion, on se limite à diviser par un entier) .

En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la prio-rité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ainsi que l’usage des parenthèses .

Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trou-ver ou vérifier un résultat .

• Fonctions de base d’une calculatrice .





Division

3

22

■ Cherchons ensembleActivité 1. Poser une division euclidienne• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’introduire par le partage la notion de division euclidienne et, plus particulièrement, les notions de quotient et de reste . Le nombre de morceaux de longueur 5 cm est le quotient de la division de 21 par 5 . Il reste un petit morceau de longueur 1 cm que l’on ne peut plus partager car il est de longueur inférieure à 5 cm . Cette longueur est le reste de la division qui est inférieur au diviseur .

• Correction1. a. 4 morceaux – 1 cmb. et c. 21 cm = 4 × 5 cm + 1 cm2. a. 3 morceaux – 3 cmb. 22 morceaux – 5 cm



Cherchons ensemble Fichiers textes modifiables des activités Fiches logiciel (tableur) et leurs tutoriels vidéo Activité 2 : fichier tableur corrigé pour l’enseignant

Objectif 1Objectif 2

Vidéo « Je comprends » : Poser une division euclidienne (avec reste) Vidéo « Je comprends » : Poser une division décimale (1)


Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 3 : 1 fichier tableur Activité 4 : 1 fichier tableur


■ Avant de commencer1 c.

2 a. et c.

3 20 : 3 = 6 ; reste 2 . Chaque enfant pourra faire 6 tours, il restera 2 entrées .

4 c.

5 À vérifier sur le cahier de l’élève .

6 1. Vrai 2. Vrai 3. Faux

7 b.

8 a. 45,6 b. 0,568 c. 5,642

9 8 : 5 = 1,60 €

II. Contexte du chapitreLe calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction . Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté . Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé . Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres . Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quoti-dienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations . Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter, en adoptant la pro-cédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances, mais aussi, et surtout en fonction des nombres et des opéra-tions mis en jeu dans les calculs . Pour cela, il est indispensable

que les élèves puissent s’appuyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémen-taires automatisés . De même, si la maitrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes .Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 per-mettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles . Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en fonc-tion des nombres en jeu et de leur structure . Le calcul contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arith-métiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre) .


• CorrectionUn nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 .Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 .

Activité 4. Poser une division décimale• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’intérêt de cette activité est accru si l’activité 1 a été traitée auparavant . Ici, l’objectif est d’introduire la notion de divi-sion décimale dans la continuité de ce qui a été vu pour la division euclidienne . Le partage de la bande de papier se fait maintenant sans reste . On s’autorise ainsi tout décou-page, même si celui-ci passe par des longueurs qui ne sont pas entières .

• Correction

1. a. 3,5 cm

b. 21 cm = 6 × 3,5 cm

2. À vérifier sur le cahier de l’élève .

3. 2,625 cm

4. 6,4 cm

5. Car la division de 10 par 3 ne donne pas un nombre décimal .

■ Objectif 1. Poser une division euclidienne

Je m’entraine

1 a. Vrai b. Vrai c. Faux

2 1. Divisible par 5 : 4 365 ; 50 ; 780 .Divisible par 2 : 56 ; 50 ; 78 ; 780 .

2. Divisible par 3 : 201 ; 306 ; 456 ; 6 702 ; 7 803 ; 12 765 .Divisible par 9 : 306 ; 7 803 .

3 1. 33 – 36 – 39 – 42 – 45 – 48 – 51 – 54 – 57 .

2. 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 .

4

Nombre 484 670 1 665 1 968

Divisible par 2 Oui Oui Non Oui

Divisible par 3 Non Non Oui Oui

Divisible par 4 Oui Non Non Oui

Divisible par 5 Non Oui Oui Non

Divisible par 9 Non Non Oui Non

Divisible par 10 Non Oui Non Non

Activité 2. Reconnaitre la divisibilité par 2, par 5 et par 10

• Considérations didactiques et mise en pratique

Dans cette activité, les élèves vont pouvoir conjecturer des critères de divisibilité . L’intérêt d’utiliser le tableur est de pou-voir traiter beaucoup de nombres de façon rapide et lisible . L’élève va ainsi conjecturer une condition nécessaire (ques-tion 2.) et suffisante (question 1.) pour qu’un nombre soit divisible par 5 . La possibilité de pouvoir traiter des grands nombres avec le tableur est également intéressante car, bien que la notion de divisibilité soit relativement intuitive pour des nombres inférieurs à 100, elle l’est beaucoup moins lorsque l’on passe à des nombres à plus de quatre chiffres .

• Correction

1. À vérifier dans la feuille de calcul de l’élève .

2. Un multiple de 2 se termine par un chiffre pair .

Un multiple de 5 se termine par 0 ou 5 .

3. Un multiple de 10 se termine par 0 .

4.

est divisible

par 2

est divisible

par 5

est divisible

par 10

45 ✘

53

20 ✘ ✘ ✘

1 060 ✘ ✘ ✘

95 ✘

455 ✘

4 500 ✘ ✘ ✘

Activité 3. Reconnaitre la divisibilité par 3 et par 9


Dans la continuité de l’activité précédente, l’élève va ici pou-voir conjecturer et formaliser d’autres critères de divisibilité (par 3 et par 9) . L’usage du tableur est ici moins pertinent car la réalisation de la feuille de calcul n’est pas très aisée pour des élèves des classes de 6e . L’utilisation d’une simple calculatrice permet de traiter suffisamment d’exemples dans la classe . Cette activité est à animer de façon collec-tive en amenant un débat dans la classe qui permettra d’aboutir rapidement aux conclusions . Une fois les pre-mières conjectures établies, il faudra encore les vérifier par quelques exemples . La formalisation de ces critères de divi-sibilité est cependant difficile pour certains élèves . Il ne faut pas hésiter à y passer un peu de temps .

24

20 a. 9,74 b. 5,46 c. 53,45 d. 27,61

21 a. 58,75 b. 23,4 c. 38,6 d. 19,98

22 a. 44,5 b. 53,2 c. 241,6 d. 150,5e. 32,58 f. 98,77

23 a. 6,4 b. 52,3 c. 6,8 d. 48,3

24 a. 3,4 b. 5,68 c. 0,067 91 d. 5 691e. 0,079 06 f. 6 004


25 a. 45 : 10 = 4,5b. 945 : 100 = 9,45c. 793 : 100 = 7,93 d. 76,9 × 100 = 4 690 e. 9 800 : 1 000 = 9,8 f. 87,87 × 1 000 = 87 870

26 3 500 : 8 = 437,5 g

27 − 100

− 1

+ 1 000

: 10

: 10

: 100

+ 10

105,78

1 057,8 67,8

57,8 6,78

5 780 5,78

57,8× 10

× 1 000

5,78

28

1 771

126,5

968,7

× 253

: 14

3 900

123,3375

: 8

: 1 000

1,4

3,9 7

× 5

5 a. Quotient = 185 ; reste = 2 .b. Quotient = 93 ; reste = 6 .c. Quotient = 189 ; reste = 1 .

6 a. Quotient = 151 ; reste = 2 .b. Quotient = 130 ; reste = 4 .c. Quotient = 156 ; reste = 1 .d. Quotient = 471 ; reste = 4 .e. Quotient = 1 169 ; reste = 7 .f. Quotient = 456 ; reste = 5 .


7 Il reste 6 pancakes .

8 Chaque invité mangera 11 brochettes .

9 1. Chaque enfant recevra 51 pièces .

2. Cela représente 25,50 euros .

3. Il reste 5 pièces .

10 a. La division posée n’est pas finie . Quotient = 20 ; reste = 0 .b. Il manque un « 0 » dans le nombre du quotient . Quotient = 206 ; reste = 2 .

11 a. Quotient = 80 ; reste = 2 .b. Quotient = 15 ; reste = 4 . c. Quotient = 4 ; reste = 2 . d. Quotient = 80 ; reste = 4 .

12 1. Un gâteau a fait gagner 16 euros .

2. Une part coute 0,50 euros .

13 1. 10 ; 33 ; 39 ; 65 .

2. 296 ; 444 ; 2 146 .

14 a. 850 b. 3 785 c. 7 870 d. 93 875

15 105 : 5 = 21 morceaux de sucre .

16 87 : 3 = 29 . Elle pourra nourrir ses lapins pendant 29 jours .

17 18,4 : 8 = 2,3 cm . Les dimensions du rectangle sont donc 2,3 cm sur 6,9 cm ((18,4 – (2 × 2,3)) : 2) .

■ Objectif 2. Poser une division décimaleJe m’entraine

18 1. 7 cm 2. 5,25 cm 3. 4,2 cm 4. 3,5 cm

19 a. 28,3 b. 53,5 c. 14,9 d. 3,2


53 a. 10,829 b. 7,755 c. 23,992 d. 3,783 e. 3,741 f. 14,272

54 a. 250 b. 5 c. 2 000 d. 30e. 7 f. 10

55 400 : 12 ≈ 283,33 €

56 8 550 : 7 ≈ 1 221,43 €


57 a.

46 9

2 9− 2 4

5

− 4 1 6

b.

1 12 3 6

1 6− 1 1

5

− 2 2 2 1

58 1. Faux 2. Faux 3. Vrai 4. Faux 5. Vrai

59 Il lui faudra 80,65 mètres de clôture .

60 5,85 : 3 = 1,95 . Florie va acheter le bâton de colle au prix de 1,95 € .7,40 : 4 = 1,85 . Il s’agit du prix le moins cher pour un bâton de colle (dans le magasin où Mathilde fait ses achats), c’est donc là que Katja va faire ses achats . 1,85 × 5 = 9,25 . Katja va payer 9,25 € .

61 Dans le raisonnement du garçon, si le quotient de 595 par 16 est 36 avec pour reste 19, alors le reste est supérieur au diviseur, ce qui n’est pas possible .

62 1. 1 h 40 = 100 minutes ; 100 : 10 = 10 minutes .

63 150 – (8 × 9,80) = 71,671,6 : 6 ≈ 11,93 . Le foyer pourra acheter 6 BD au petit format .

64 1. 53,54

2. 7,428571

65 1. 664 : 8 = 83 . Il a déposé 83 cailloux à chaque kilomètre .

2. 1 000 : 83 ≈ 12 mètres

66 Quantité

Prix unitaire

Total

Casquette 8 7,5 60 €

Chaussure 7 42,6 298,20 €

Polo 9 28,25 254,25 €

Survêtement 1 75,5 75,50 €

Chaussettes 48 4 192 €

Total 879,95 €

29 6 000 : 365 ≈ 16,5 heures par jour . C’est mathématique-ment possible… mais peu probable dans la vie !

30 Franck : 234 min ; Moussa : 3 h 48 min = 228 min ; Léo : 10 000 s ≈ 167 min . Léo est donc le plus rapide !

31 32 : 100 = 0,32 € . Une figure coute 0,32 € .

32 5,5 : 25 = 0,22 € . Le prix d’une photo est de 0,22 € .

33 5,10 : 3 = 1,70 € . 6,60 : 4 = 1,65 € . Nabila a payé moins cher à l’unité .


34 C

35 B

36 A

37 A

38 B

39 A

40 C

41 C

42 B

43 B

44 a. Quotient = 151 ; reste = 2 .b. Quotient = 130 ; reste = 4 .c. Quotient = 83 ; reste = 5 .

45

Division posée Égalité correspondante

1 94 5 71 2 4 457 = 19 × 24 + 1

5 82 5 62 4 4 256 = 58 × 4 + 24

8 15 8 92 2 7 589 = 81 × 7 + 22

46 1. À vérifier sur le cahier de l’élève .


47 1. « Le produit de 35 par 14 est 490 . 35 est donc un diviseur de 490 . »

2. « Le quotient de 368 par 23 est 16 . 368 est donc un mul-tiple de 23 . »

3. « 228 est un multiple de 12 et 19 . Donc 19 divise 228 . »

48 836 ; 2 024 ; 9 264 et 67 972 sont divisibles par 4 .

49 a. 655 ou 650 . b. N’importe quel chiffre convient !c. 8 560 ou 8 565 .

50 240 : 15 = 16 . Il faudra lire 16 pages par jour .

51 50 – (2 × 2,10) = 45,80 .45,80 : 5 = 9,16 euros . Chacun recevra 9,16 € .

52 a. 96,9 b. 261,7 c. 6,3 d. 53,5

26

80 6,451 612 903 225 806…Les 15 décimales soulignées se répètent . La 100e décimale est donc un 3 .

81 5 × 7 × 8 × 9 = 2 520





■ Avec un logicielActivité 1. Mathémagie• Considérations didactiques et mise en pratiqueCet exercice a tout d’abord pour objectif de travailler de façon ludique le vocabulaire sur les opérations : quotient, multiplier, ajouter, enlever, etc . Le programme de calcul offre de plus une première approche intuitive des notions de variable et de fonction . L’élève va tester le programme sur plusieurs nombres et se rendre compte que, de façon systé-matique, le résultat est supérieur de 5 au nombre de départ . Ce résultat pourra être démontré à partir de la classe de 4e .En désignant par x le nombre de départ, le résultat est égal à

8 (x

10 + 2) +

x5

– 11 = x + 5 . Dans la suite de l’activité, l’élève

va pouvoir jouer à l’apprenti-mathémagicien en devinant le nombre de départ à partir du résultat !

• Correction2. a. 61 b. 603 c. 7 504

3. a. Il suffit de retirer 5 .b. 562

Activité 2. Programme de calcul• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité va permettre de mettre en application l’éga-lité euclidienne et de donner une approche intuitive des notions de variable et de fonction à l’aide des processus de calcul mis en œuvre . La plupart des calculatrices du collège possèdent une touche Division euclidienne : cette acti-vité donne l’occasion de s’y initier . Dans la troisième partie, l’élève pourra mettre en application la propriété du reste .

• Correction2. a. 5 b. 2 c. 4

3. a. Le reste doit être strictement inférieur au diviseur 7 . Or, 9 > 7 : il est donc impossible d’obtenir 9 comme résultat .b. 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 .

67 7 500 : 6 = 1 2501 250 × 2 = 2 500 . Nadja garde 2 500 € pour elle .


69 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève .

3. 27 952 n’est pas divisible par 11 .

70 1. 5 580

2. 7 950

71 Total pour les enfants : 22 × 2,80 = 61,60 € . Total pour les jeunes : 13 × 4,20 = 54,60 € . Total pour les adultes : 156,45 – 61,60 – 54,60 = 40,25 € .Nombre d’adultes : 42 – 13 – 22 = 7 adultes . Prix pour un adulte : 40,25 : 7 = 5,75 € .

72 Le nombre de départ est 85,24 .


73 Le nombre de départ est 2,36 .



76 1. 2 250 000/105 ≈ 21 498 habitants

2. 66 000 000/550 000 ≈ 120 habitants

77 Le tour du monde en 80 jours (en divisant par 3 600, puis par 24) .

78 1. 12 643 698 953

2. 7,3 et 4,5 .

3. 40 et 700 .

■ Tâche complexeNombre de parts de tarte : 2 × 27 × 8 = 432 .Nombre de verres de jus de fruits : 2 × 27 × 5 = 270 .432 + 270 = 702800 : 702 ≈ 1,14 €Une part de tarte peut couter 1,30 € et un verre de jus de fruits 1 € .


79 1

A

B

C

D

2 3

5 6 6 6

4

1 1 2

2 2 0 9

8 4 1

5

4

2

E 1 42 5 6


Activité 3. Fabien le jardinier• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de donner du sens à la notion de division en l’exprimant comme une suite de soustractions . Comme une multiplication correspond à une succession d’additions, il est important que l’élève comprenne la décomposition analogue pour la division . Cela permettra, en particulier, d’expliquer en classe de 3e que l’algorithme d’Euclide est systématiquement plus rapide que celui des soustractions successives .

• CorrectionLe nombre de bacs à fleurs est le quotient de la division de 80 par 13 . Il reste deux géraniums qui ne peuvent pas remplir un bac, car 2 est inférieur à 13 . Il s’agit du reste de la division que l’on peut lire dans la dernière cellule de la colonne A .

Activité 4. Diviseurs

• Considérations didactiques et mise en pratiqueLe tableur est utilisé présentement comme outil de calcul . Soulagés du calcul numérique, les élèves s’attachent plus à la méthode, à l’observation ou à la conjecture . La méthode à mettre en avant dans cet exercice permet de reconnaitre un nombre divisible par un autre : si le reste de la division euclidienne du nombre de la colonne A par le nombre de la colonne B est nul, alors ce dernier divise le premier . Dans le cas contraire, il ne le divise pas .Les élèves vont ainsi établir des listes de diviseurs de nombres donnés . Il est important de les sensibiliser au fait qu’au-delà d’un certain rang, on n’a aucune chance de trou-ver de diviseurs . Il pourrait être intéressant d’établir un débat dans la classe pour déterminer ce rang .

• CorrectionDiviseurs de 273 : 1 ; 3 ; 7 ; 13 ; 21 ; 39 ; 91 ; 273 .

Diviseurs de 180 :

1

2

3

4

5

6

9

10

12

15

18

20

30

36

45

60

90

180

Diviseurs de 420 :

1

2

3

4

5

6

7

10

12

14

15

20

21

28

30

35

42

60

70

84

105

140

210

420

Diviseurs de 48 :

1

2

3

4

6

8

12

16

24

48

29Chapitre 4 • Écritures fractionnaires

Écritures fractionnaires

4

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux .• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul .



Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

Comprendre et utiliser la notion de fractions simples .• Écritures fractionnaires .• Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions) .

Repérer et placer des fractions sur une demi-droite gra-duée adaptée .

• Une première extension de la relation d’ordre .

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs .

Établir des égalités entre des fractions simples .

Utiliser des fractions pour :• rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples• exprimer un quotient .

Situation permettant de relier les formulations la moitié, le tiers, le quart et 1/2 de, 1/3 de, 1/4 de, etc . (fractions vues comme opérateurs) .

Par exemple, en utilisant une demi-droite graduée, les élèves établissent que 5/10 = 1/2, que 10/100 = 1/10, etc .

Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 .





Organisation et gestion de données .





30

chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, aux centièmes… Les caractéristiques communes entre le sys-tème de numération et le système métrique sont mises en évidence . L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales . Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul .

8 < <013

1


10 c. 112

+

11 a. 114

+ b. 212

+ c. 213

+

■ Cherchons ensembleActivité 1. Associer fraction et partage• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité introduit la notion de fraction par le partage de surface . Elle a pour objectif de réinvestir les connaissances

II. Contexte du chapitreLes fractions, puis les nombres décimaux, apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuf-fisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée . Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel . Avoir une bonne com-préhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de



1 c. Un tiers

2 Faux 3 Vrai 4 Vrai

5 b. 38

6 c. [GH]

7 b. 12





Vidéo « Je comprends » : Représenter des partages à l’aide de fractions Vidéo « Je comprends » : Modifier l’écriture d’une fraction Vidéo « Je comprends » : Calculer la fraction d’une quantité


Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier tableur Activité 2 : 1 fichier tableur Activité 3 : 1 fichier tableur Activité 4 : 1 fichier Scratch






Activité 4. Calculer la fraction d’une quantité• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’emmener les élèves dans l’auto-construction d’une nouvelle connaissance par une situation concrète . Cette situation-problème incite l’élève à utiliser ce qu’il connait déjà pour mettre en place de nou-velles stratégies permettant de résoudre des problèmes mettant en jeu des fractions d’une quantité . Ici, l’énoncé est guidé et demande à l’élève de passer du quart à la divi-sion par 4 . On pourrait proposer le même exercice de façon plus ouverte sans donner les questions 1. et 2. .

• Correction

1. Amandine a mangé 5 lapins .

2. Margot a mangé 4 lapins .

3. Karima a mangé 11 lapins . Elle est la plus gourmande .

4. 20 – 20 : 4 – 2 × 20 : 5 .

■ Objectif 1. Représenter des partages à l’aide de fractionsJe m’entraine

1 a. 8

25 b.

625

c. 9

25 d.

1025

ou25

2 a. 48

ou12

b. 3

10 c.

26

ou13

d. 39

ou13

3 a. 5

16 : 5 carreaux coloriés ;

34

: 12 carreaux coloriés ;

38

: 6 carreaux coloriés ; 7

32 : 3,5 carreaux coloriés .

4 a. ( ) ( ) ( ) ( )A15

, B75

, C95

et D125

.

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A56

, B96

ou B32

, C106

ou C53

et D146

ou D73

.


5 Laurent (en vert) : 7

12

Marion (en bleu) : 14

Salim (en orange) : 16

6 Impossible pour le triangle ;2 carreaux coloriés pour le rectangle ;2 secteurs coloriés pour le disque ;2 secteurs coloriés pour l’hexagone .

7 a. Impossibleb. Impossible

c. 34

d. 12

acquises à l’école élémentaire . Aucune difficulté n’est à attendre . Dans un premier temps, il est demandé de recon-naitre des fractions de surfaces colorées, puis de mettre en couleurs des surfaces correspondant à des fractions données .

• CorrectionÀ vérifier sur le cahier de l’élève .

Activité 2. Associer fraction et quotient• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a de nombreux objectifs . D’abord, comme le met en scène le petit dialogue, elle a pour but de donner du

sens au passage de la fraction au quotient . L’égalité 32

= 3 : 2

n’est pas du tout intuitive chez l’élève et le lien entre fraction et opération peut mettre du temps à s’installer . La suite de la première partie de l’activité explique le passage de la fraction au nombre tout en dégageant le cas particulier où le nombre n’est pas décimal . Cette conception multiple de la fraction doit être introduite par de nombreux exemples . Il ne faut pas hési-ter à en proposer d’autres que ceux donnés dans l’activité .

• Correction

1. = × =54

14

5 1,25

=35

0,6

=92

4,5

=123

4

=7

100,7

2. Il n’existe pas de nombre décimal égal à 13

car en divi-

sant 1 par 3, on ne peut pas obtenir de valeur exacte .


Activité 3. Déterminer des fractions égales• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet d’introduire la notion de quotients égaux par une approche géométrique . Si le nombre de parts est multiplié par deux, le numérateur et le dénominateur de la fraction considérée sont également multipliés par deux . On pourra prolonger cette activité par un nouveau partage .

• Correction

1. a. Les deux surfaces sont égales .

b. Les surfaces correspondent aux fractions 34

et 68

.

2. 34

= 68

3. a. ××

=3 24 2

34

b. On multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre .


32

23 1. 0,5 ; 0,25 ; 0,7 ; 0,4 ; 1,4 ; 0,375 .

2. < < < < <14

38

25

12

710

75

24 1. 1,33 ; 1,57 ; 2,33 .

2. < < < < < <143

2 ; 1117

2 ; 29

113 .

25 1. 2535

2. 3542

26 1. = = = = =43

129

2015

4030

4836

1,20,9

2. = = = = = =3642

2428

67

2,42,8

5463

6677

3035

27 = = = = = =7263

87

;4436

119

;3555

711

;1339

13

;210140

32

;3042

57

.

28 1. 57

2. 4 3. 283

4. 1511

5. 47

6. 23

29 1. 143

2. 8

25 3.

135

4. 1126

30 1. 35

2. 75

3. 185

4. 8

25 5.

252

6. 4120

31 1. × =9634

72 cm

2. × =969

1654 cm

32 Dans chaque cas, les fractions ne sont pas égales .

■ Objectif 3. Prendre une fraction d’une quantitéJe m’entraine

33 a. b. c. d. e. f.203

185

67

74

223

49

34 a. 21 b. 56 c. 30

35 a. 42 b. 32 c. 54

36 a. 9 b. 6 c. 18

37 a. 2 b. 12 c. 42 d. 60 e. 16 f. 22

38 a. 18 b. 42 c. 40 d. 1 e. 14 f. 2

39 a. 8 b. 1 c. 6,9 d. 28 e. 3,5 f. 7

40 a. 3,69 b. 1,33 c. 1,27

41 a. 12 b. 9 c. 4,5 d. 75

42 a. 40 b. 36 c. 12

8 0 1 2

34

54

32

2,25

9 a. La plus grande est 46

.

b. La plus grande est 94

.

c. La plus grande est 75

.

10 0 1 2

26

76

32

53

11 Non, il ne restera rien pour la maman de Léo .

12 a. 12

b. 12

c. 7

25 d.

34

■ Objectif 2. Modifier l’écriture fractionnaire d’un quotientJe m’entraine

13 ≠8164

1,125

14 a. =34

912

b. =45

2025

c. =27

621

d. =65

2420

15 a. =711

1422

b. =125

7230

c. =8163

97

d. =6510

132

16 a. =3236

89

b. =7077

1011

c. =3642

67

d. =8172

98

17 a. =1532

3064

b. =67

5463

c. =1114

3342

d. =8

114866

18 a. 23

b. 47

c. 53

d. 43

19 a. 32

b. 49

c. 67

d. 67

20 a. 53

b. 43

c. 35

d. 35

21 a. 43

b. 25

c. 13

d. 45


22 1. a. b. c. d. e. f.12

23

78

94

156

3100

2. a. b. c. d. e. f.94

23

78

3100

12

156


68 a. 0,067 b. 0,08 c. 0,14

69 a. = =56

1518

3036

b. = =75

2820

3525

70 a. b. c. d.34

76

98

32

71 a. ≠56

0,833 b. =78

0,875 c. =94

2,25

d. 37

0,428 571 42≠ e. =05

0 f. ≠159

1,666

72 Dans les cas a., c., e. et f. : les fractions sont égales .

73 79

74 A = 10 ; B = 4 ; C = 2,5 .

75 Claire possède les deux tiers de 45 euros, soit 30 € .

76 Petros a les deux cinquièmes de 75 ans, soit 30 ans .

77 La clé est remplie aux sept huitièmes de 32 Go, soit 28 Go . Il reste donc 4 Go de libre sur la clé . Fannie ne pourra pas mettre ses photos de vacances .


78 1. [AC], [BE] et [DF] .

2. a. et 2. b.

A C B D E FM N

3. a. AB = 69

× AD b. BE = 4

10 × AE c. BD =

94

× CE

d. CD = 52

× CB

79 1.0 1A B C2

35

15

1 + 25

2 +

2. A35( ) ; B

65( ) et C

125( ) .

80 1. 716

723

812

916

a. b. c. d.+ + + −

2. 436

233

172

536

a. b. c. d.

81 a. 8 b. 90

82 1719

1112

1. 2.


43 a. 45 min b. 30 min c. 50 min d. 30 min e. 18 min f. 135 min

44 a. 15 min b. 100 min c. 80 min

45 Mémé passe 4 heures par jour sur l’ordinateur .

46 27

× 12 600 = 5 400 € et 12 600 – 5 400 = 7 200 € . Il

reste 7 200 € dans la caisse .

47 21 km

48 Le premier reçoit : 47

× 1 400 = 800 € .

Le deuxième reçoit : 38

× 800 = 300 € .

Le troisième reçoit : 1 400 – 800 – 300 = 300 € .

49 9 assiettes

50 ANANAS

51 Le plus rapide est le coureur n° 2 .

52 1. 18 bandes dessinées sont empruntées .

2. Il reste 9 BD .

53 1. 22 euros

2. 1,5 L

3. 3,3 km


54 B

55 C

56 B

57 C

58 B

59 C

60 A

61 A

62 A

63 C

64 a. b. c. d.58

12

35

59

65 1. A115

; B 3 ; C175

et D215

.( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. A23

; B116

; C156

et D196

.⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

66 0 1 2

12

108

74

94

67 a. 0,7 b. 9 c. 0,9 d. 0,6 e. 6,25 f. 0,7

34

■ Tâche complexeDans la 6e A, il y a deux cinquièmes de garçons et trois cin-quièmes de filles . Il suffit de partager les figures données en cinq parts égales .

5 cm4 cm

3 cm

4 cm


96 1

A

B

C

D

2 3

4 5

4

4 7 1

4 7 8 4

1 2 1

97

98 Schémas ou calculs à vérifier sur le cahier de l’élève . La classe possède 24 élèves .


99 Tracés à vérifier sur le cahier de l’élève .

100

0 1 2

12

76

43

73

32

53

14

912

116

101 Schémas ou calculs à vérifier sur le cahier de l’élève .

1. Salomé et Elia .

2. 1

12

83 56

× 72 = 60 et 72 – 60 = 12 . Cécile a préparé 12 crêpes

sucrées .

84 Elle n’aura pas assez car il lui faudra 4 × 78

= 3,5 pains de beurre .

85 Cadet : 5

18 × 9 000 = 2 500 $

Ainé : 98

× 2 500 = 2 812,50 $

Moi : 9 000 – 2 500 – 2 812,5 = 3 687,50 $

86 Eulalie est la plus gourmande .

87 Paulo doit répondre 12 € .

88 Nombre de poules : 23

× 240 = 160

Nombre de poules pondeuses : 35

× 160 = 96

Nombre de poules de Bresse : 160 – 96 = 64

89 1. a. L’égalité est vraie .b. L’égalité est fausse .

2. M = 15

90 La fraction de l’œil manquante est égale à 1

64 .

91 Jupiter : 143 000 km

Saturne : 56

× 143 000 ≈ 119 000 km

Vénus : 9

100 × 143 000 ≈ 13 000 km

Mercure : 25

× 13 000 ≈ 5 000 km


92 1. 32

;34

;14

;12

;52

.


93 1. a. 13

× 96 = 32

b. 14

× 96 = 24

2. a. 8 + 16 + 2 + 5 + 8 = 39 quarts d’heure

b. 3996

c. 39 ans

3. 96 – 32 – 24 – 39 = 1 an1

96 du temps, soit un quart d’heure par jour .

94 6

25 × 105 000 = 25 200 conducteurs à scooter .

95 46 030 000 : 5 ≈ 9 000 000 électeurs .


Activité 3. Partage• Considérations didactiques et mise en pratiqueCet exercice donne la possibilité de travailler de façon ludique la notion de fractions par le partage . L’élève fabrique le tableau et crée le graphique qui lui est associé . À partir de là, il a construit son propre « exerciseur » qui va lui per-mettre de s’entrainer à représenter des fractions de surface . Le site compagnon propose d’autres disques partagés à télécharger et à photocopier aux élèves . Certains d’entre eux sont partagés en 4 parts : les élèves devront alors pro-longer leur tableau .

• Correction

1. b. 12

;14

;14

.

2. 13

;13

;14

.

3. 12

;13

;16

et 58

;18

;14

.

Activité 4. Fraction d’un nombre• Considérations didactiques et mise en pratiqueOn utilise ici un petit programme très simple qui permet de calculer des fractions d’un nombre .

• Correction

1. Le nombre affiché est égal aux deux tiers du nombre donné au départ .

2. a. 12 b. 54 c. 172,66

3. a. 6,29 b. 10 c. 184,73

3. Solange : 4 voixSalomé : 8 voixElia : 6 voixJean-Baptiste : 4 voix

■ Avec un logicielActivité 1. L’âge des Français• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cet exercice est d’exploiter les représentations graphiques données par le tableur pour exprimer des par-tages de surface à l’aide de fractions . L’avantage du tableur est ici de pouvoir traiter des données dont les valeurs numé-riques trop grandes ne le permettent pas sur le tableau .

• Correction

2. a. Fauxb. Vraic. Vraid. Vrai

Activité 2. Nombre d’enfants par famille• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cet exercice est d’exploiter les représentations graphiques données par le tableur pour exprimer des par-tages de surface à l’aide de fractions . L’avantage du tableur est ici de pouvoir traiter des données dont les valeurs numé-riques trop grandes ne le permettent pas sur le tableau .

• Correction

2. a. Fauxb. Vraic. Vraid. Vrai

37Chapitre 5 • Proportionnalité

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul .• Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux .







Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs .

• Graphiques représentant des variations entre deux grandeurs .

Comparer distance parcourue et temps écoulé, quantité d’essence consommée et distance parcourue, quantité de liquide écoulée et temps écoulé, etc .

II. Contexte du chapitreLa résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée au début du cycle 3 . Elle se poursuit ici, avec des outils nou-veaux . La capacité à distinguer les problèmes qui relèvent de la proportionnalité de ceux qui n’en relèvent pas et à mettre en œuvre les raisonnements qui en permettent la résolution constitue un objectif essentiel, d’autant plus que ces raisonnements sont utilisés dans de nombreuses disciplines . Dans le strict cadre de l’enseignement des mathématiques, la proportionnalité fait l’objet d’un apprentissage continu et progressif sur le cycle 3 et le cycle 4 et permet à la fois de comprendre et de traiter de nombreuses notions du programme mais aussi de proposer des situations de recherche dans des contextes très variés .





Vidéo « Je comprends » : Reconnaitre une situation de proportionnalité Vidéo « Je comprends » : Appliquer une situation de proportionnalité Vidéo « Je comprends » : Calculer le pourcentage d’un nombre


Proportionnalité

5

38

b. Pour les photos 4 et 5, le rapport Longueur/Largeur est le même que celui de la photo 1 .

c. Deux séries de valeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant par un même nombre . Les photos qui sont bien proportionnées sont donc celles pour lesquelles le rapport Longueur/Largeur est égal à celui de la photo originale .Les photos 4 et 5 sont donc des copies bien proportionnées .

Activité 2. Utiliser la proportionnalité• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité d’introduction à la proportionnalité permet de reproduire un puzzle de 12 cm sur 12 cm dans une autre dimension, mais en conservant les proportions de chaque pièce . Elle permet une réflexion sur la notion d’ « agrandis-sement » et de figure bien « proportionnée » . Pour cette activité d’approche, l’élève débute par la construction en vraie grandeur du puzzle dont on donne les dimensions . Un travail de réflexion débute ensuite pour « agrandir » ce puzzle dans une proportion de 5/4 . Pour les élèves en difficulté, on pourra poser des questions précises pour les dimensions de chaque pièce de puzzle : combien mesurera un segment qui mesurait 2 cm ? Un segment qui mesu-rait 8 cm ? 6 cm ? On pourra aussi tirer profit d’une figure « mal agrandie » pour étudier la déformation des pièces du puzzle . Des tableaux résumant les dimensions des pièces du puzzle peuvent être construits collectivement et aider à la discussion sur la caractérisation de la proportionna-lité . Par exemple :

Exemple de dimensions erronées

Dimensions avant (en cm) 4 2 8 6

Dimensions après agrandissement (en cm)

5 3 9 7

• Correction

Dimensions correctes

Dimensions avant (en cm) 4 2 8 6

Dimensions après agrandissement (en cm)

5 2,5 10 7,5

Exercices Ex . n° 67 – Fichier tableur corrigé pour l’enseignant

Avec un logiciel




■ Avant de commencer1 a.

2 Non, car 15 × 2 = 30 mais 25 × 2 = 60 .

3 b.

4 c.

5 1. 63 € 2. 23

6 a.

7 b.

8 170 €

9 b.

10 2 500 m

■ Cherchons ensembleActivité 1. Reconnaitre la proportionnalité• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, on cherche à relier la notion de propor-tionnalité à celle de conservation des proportions entre les dimensions d’une image . La photo originale a été défor-mée pour donner 4 nouvelles photographies . En mesurant la longueur, la largeur et en calculant le quotient L/l pour chacune d’elles, on peut reconnaitre les copies bien propor-tionnées . Le calcul des quotients et le test de leur égalité sont introduits de façon naturelle pour caractériser la recon-naissance de la proportionnalité . De façon plus approfondie, on pourra faire remarquer que rajouter un même nombre à la longueur et à la largeur d’une photographie ne donne pas une copie bien proportionnée .

• Correction

2. a.

Photographie n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5

Longueur (cm) 6,9 6,6 6,6 4,2 8,4

Largeur (cm) 4,6 3,7 5,5 2,8 5,6

LongueurLargeur

1,51,78

environ1,2 1,5 1,5


un vidéo-projecteur) est possible pour corriger cette activité . Elle sera alors l’occasion de montrer l’utilisation d’une for-mule simple pour effectuer des calculs . Par exemple, dans la cellule C3, on peut saisir la formule : =C2*F3 .

1. 5

1005 000 250× =

9 2,40 : 8 = 3,60 : 12 = 7,20 : 24 = 0,3, donc le prix des lots est proportionnel au nombre de yaourts .

10 2,20 : 4 = 0,65 et 3,30 : 6 = 0,65 mais 5,00 : 10 = 0,5, donc le prix des lots n’est pas proportionnel au nombre de pots .

11 0,80 : 20 = 0,04 et 1,6 : 100 = 0,016, donc le prix des timbres n’est pas proportionnel à la masse de la lettre .

12 Publicité « 2 forfaits au choix » : 12 € : 3 ≠ 5 €, donc non-proportionnalité .Publicité « Affaires sur les fraises » : 10,00 € : 4 = 2,50 €, donc proportionnalité .Publicité « Parcours Accrobranche » : 14 € : 3 ≠ 5 €, donc non-proportionnalité .

13 Pas de proportionnalité entre le nombre d’entrées et le budget investi .

■ Objectif 2. Utiliser la proportionnalitéJe m’entraine

14 a. 75 pulsationsb. 3 bouteilles pour 3,60 €, 9 bouteilles pour 10,80 € et 7 bou-teilles pour 8,40 € .

15 1. Le prix de 8 L de glace est de 26 € .

2. Le prix de 6 kg de confiture est de 18 € .

3. Le prix de 7 kg de confiture est de 18,55 € .

4. Avec 25 €, je peux acheter 10 L de glace .

16 1. 24 images × 60 secondes × 3 minutes = 4 320 images

2. 24 images × 60 secondes × 90 minutes = 129 600 images

Activité 3. Appliquer un taux de pourcentage• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité, utilisant un tableau construit dans une feuille de calcul d’un tableur, permet de travailler la notion de pourcentage . On pourra rappeler aux élèves que prendre 5 % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par 5/100 . L’utilisation du tableur (par exemple en cadre collectif, avec

■ Objectif 1. Reconnaitre la proportionnalité

Je m’entraine

1 a. Non b. Oui, 2 400 L c. 210 cm

2 1. Les deux grandeurs qui interviennent sont la masse de pommes de terre et le prix à payer .

2. 8,00 € : 5 = 1,60 € donc les deux grandeurs sont proportionnelles .

3 1. Les deux grandeurs qui interviennent sont le nombre de cookies et le prix à payer .

2. 3,50 € : 5 = 0,70 € donc les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles .

4 Les grandeurs du tableau ne sont pas proportionnelles,

car =35

0,6 et =7240

1,8 .

5 Non, car 14,10 € : 10 = 1,41 € .

6 1. Non, ce n’est pas possible .

2. Ce n’est pas possible avec certitude .

7 Oui : 20 000

1530× = 40 000 s = 11 h 6 min 40 s pour

remplir la piscine .


8 a. 4 : 2 = 6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2, donc le nombre de jeux loués est proportionnel au prix à payer .b. 3 : 2 = 1,5 mais 5 : 4 = 1,25, donc le nombre de jeux loués n’est pas proportionnel au prix à payer .

2.

Tribunes VIP centrale latérale debout TOTAL

Pourcentage par rapport à la capacité totale

5 % 40 % 30 % 25 % 100 %

Nombre de spectateurs 250 2 000 1 500 1 250 5 000

40

■ Objectif 3. Appliquer un taux de pourcentageJe m’entraine

27 1. a. 3 € b. 9 € c. 49 € d. 45 €

2. a. 18 élèves b. 1 500 spectateurs c. 180 kgd. 9 500 spectateurs

28

Prendre 50 % d’un nombre,

c’est le multiplier par 50

100 .



100 .



100 .

29

Prendre 25 % d’une quantité,

c’est en prendre le quart .


c’est en prendre la moitié .


c’est en prendre les trois quarts .


c’est la prendre en entier .


c’est en prendre le double .

30 1. a. 16,2 € b. 54 € c. 162 € d. 324 €

2. a. 1,6 kg b. 6,4 kg c. 16 kg d. 22,4 kg

3. a. 4 L b. 36 L c. 120 L d. 330 L

31 45 poules noires

32 128 filles

33 80 g


34 14 €

35 12 €

36 95,7 $

37 67 056 000 habitants

17

Nombre de pas du Géant vert

2 5 7 10 25

Distance parcourue (en m)

10 25 35 50 125

18

Distances réelles (en cm)

500 2 100 3 500 5 600 12 500

Distances sur le plan (en cm)

1 4,2 7 11,2 25


19

Masse de fleur de sel (en kg)

3 5 1,5 10 5,25

Prix (en €) 24 40 12 80 42

20

Masse de poireaux vendus (en kg)

1 2 3 5 10

Prix (en €) 2,30 4,60 6,90 11,50 23,00

21 Chez Robert, on a :8,10 € : 3 = 13,50 € : 5 = 27,00 € : 10 = 2,70 €, donc le prix du kilogramme d’abricots est de 2,70 € .Chez Géraldine, on a :5,60 € : 2 = 16,80 € : 6 = 22,40 € : 8 = 2,80 €, donc le prix du kilogramme d’abricots est de 2,80 € .Robert est le moins cher .

22 1. 1 200 km

2. 22,75 L

23 1. 24 km en 4 h

2. 5 h 30 min pour faire 33 km .

24 1. 32 s pour 100 Mo et 73,6 s pour 230 Mo .

2. 187,5 Mo en 1 min et 11 250 Mo en 1 h .

25 Environ 900 m

26 9 min 20 s pour 70 pages .

× 5


57 1. 9 € pour 3 kg de cerises .

2. 2,5 kg avec 7,50 € .

58 1. 18 L pour 300 km .

2. Avec 54 L, on peut parcourir 900 km .

59 1. Il faut 4 pots de 5 L, soit 20 litres .

2. On peut peindre 30 m2 avec 12 L de peinture .

60 1. Myrtille gagnera 836 € en 11 jours .

2. Il lui faut travailler 14 jours pour gagner un peu plus de 1 000 € .

61 1. Pour 9 personnes : Mélanger 150 g de farine, 13,5 cuillères à soupe de sucre roux et 3 cuillères à soupe de sucre vanillé . Ajouter 6 œufs entiers, puis délayer avec 37,5 cL de lait . Beurrer le plat et disposer 600 g de cerises, y verser la préparation . Cuire 20 minutes à four moyen . Quand le dessus du clafoutis est bien doré, c’est prêt ! Sortir le gâteau du four et attendre un peu pour ne pas se bru-ler… Bon appétit !

2. Pour 16 personnes : Mélanger 267 g de farine, 24 cuil-lères à soupe de sucre roux et 5,3 cuillères à soupe de sucre vanillé . Ajouter 11 œufs entiers, puis délayer avec 67 cL de lait . Beurrer le plat et disposer 1 067 g de cerises, y verser la préparation . Cuire 20 minutes à four moyen . Quand le des-sus du clafoutis est bien doré, c’est prêt ! Sortir le gâteau du four et attendre un peu pour ne pas se bruler… Bon appétit !

62 a. 70 % de 120 € = 84 €b. 40 % de 70 $ = 2 8 $c. 30 % de 180 £ = 54 £d. 80 % de 250 CHF = 200 CHF

63 a. 5 % de 250 m = 12,5 mb. 12 % de 3 km = 0,360 km = 360 mc. 21 % de 150 km = 31,5 kmd. 65 % de 6 cm = 3,9 cm

64 Le matin, Vigo distribue 20 % de 50 bonbons, c’est-à-dire 10 bonbons . Il lui en reste 40 .L’après-midi, il distribue 75 % de 40 bonbons, c’est-à-dire 30 bonbons . Il lui en reste donc 10 .

65 85 % de 2 Go donne 1,7 Go soit 1 700 Mo . Il reste 300 Mo de libre, donc c’est suffisant pour stocker un fichier de 250 Mo .

38

Prix avant réduction (en €)

100 10 40 55 72

Prix après réduction de 25 % (en €)

75 7,5 30 42,25 56,25

39 1. 34 %

2. 363 élèves demi-pensionnaires et 187 élèves externes .

40 750 spectateurs

41 1. Cela signifie que dans 100 g de pâte à tartiner, il y a 20 g d’huile de palme .

2.

Masse de Noisella (en g) 20 82,5 32 115,5

Masse d’huile de palme (en g)

4 16,5 6,4 23,1

42 L’affirmation correcte est la réponse 4. .

43 91,65 TWh

44 1. M . Clément Dibule est élu maire de Mathéville .

2. Mme Camille Honnête : 1 800 voix ;M . Clément Dibule : 2 750 voix ;M . Larry Golade : 450 voix .


45 A

46 B

47 C

48 C

49 B

50 B

51 B

52 C

53 A

54 C

55 a. Oui b. Non

56 1. La consommation n’est pas proportionnelle à la vitesse .

2. Oui, plus une voiture roule vite, plus elle consomme d’essence .

42

de papier et de la non-proportionnalité « pratique » mon-trée par les calculs suivants :• 59,4 : 42,0 ≈ 1,4142857• 42,0 : 29,7 ≈ 1,4141414• 29,7 : 21,0 ≈ 1,4142857• 21,0 : 14,8 ≈ 1,4189189• 14,8 : 10,5 ≈ 1,4090524• 10,5 : 7,4 ≈ 1,4189189

2.

Format A2 A3 A4 A5 A6 A7

Surface de la feuille (en cm2)

2 494,8 1 247,4 623,7 310,8 155,4 77,7

3. A1 : 84 cm sur 59,4 cm, soit une surface de 4 989,6 cm2 .A0 : 118,8 cm sur 84 cm, soit une surface de 9 979,2 cm2 .

69

Distances sur la carte (en cm)

1 4,2 7 11,3 21

Distances réelles (en km)

50 210 350 565 1 050

70 9 × 2,40 € = 21,60 € pour 9 sachets de chouchous et 0,8 × 11 × 2,40 € = 21,12 € pour 11 sachets . Il vaut mieux en prendre 11 .

71

Marwan doit choisir l’option 1 : Simplissimo .

72 Environ 43 km


66

ChococrockPour 100 g

Pour une portion de 30 g

Valeur énergétique 1 537 kJ 461,1 kJ

Glucidesdont sucre

75,8 g

20 g22,74 g

6,0 g

Lipidesdont acides gras saturés

3,6 g0,7 g

10,8 g

0,21 g

Fibres alimentaires 9,0 g 2,7 g

Sodium 0,28 g 0,084 g

Vitamines PP 15,3 mg 4,6 mg

Fer 12 mg 3,6 mg

67 2. Le 1er janvier 2018 : 450,73 € et le 1er janvier 2019 : 507,89 € .

3. Il faudra attendre novembre 2022 pour doubler le capi-tal de départ et donc dépasser 800 € .

68 1. En théorie, le rapport longueur sur largeur des feuilles au format A est égal à 2 . On peut discuter avec les élèves de la proportionnalité théorique des dimensions de ce format



74 1. 198 900 000 km2 2. 39 780 000 km2

75 L’œil mesure 3 cm sur la photo, soit 3 : 60 = 0,05 cm en réalité .

76 1.

Distance parcourue (en km) 2 3 5 10

Temps (en min) 12 18 30 60

2. Leïla met 78 min pour arriver au sommet .

77 × × ×

=4 3 2,5 21

1006,3 m3 de dioxygène .

78 =2510

2,5 pages par minute et =3012

2,5 pages par

minute . Max et Lili lisent à la même vitesse .

■ Tâche complexeConsommation de Martin avec une voiture simple : 680 km × 6 L/100 km × 1,20 € = 48,96 € .Mais il a un coffre de toit et augmente donc sa consomma-tion de 16 % : 48,96 × 1,16 = 56,79 € .

Consommation de Mélissa avec une voiture simple : 460 km × 3,7 L/100 km × 1,20 € = 20,42 € .Mais elle a une galerie et des bagages et augmente donc sa consommation de 39 % : 20,42 × 1,39 = 28,39 € .


79 96 pas

73 A. 1. 640/480 = 4/3

2.

Largeur en pixels 480 600 1 200 1 680 1 920

Longueur en pixels 640 800 1 600 2 240 2 560

Nombre de pixels de l’image480 × 640 =

307 200480 000 1 920 000 3 763 200 4 915 200

B. 1. 960/540 = 16/9

2.

Largeur en pixels 540 720 1 080 1 800 2 250

Longueur en pixels 960 1 280 1 920 3 200 4 000

Nombre de pixels de l’image540 × 960 =

518 400921 600 2 073 600 5 760 000 9 000 000

80 À vérifier sur le cahier de l’élève avec, sur 80 cases : 12 cases pour Gustave, 32 pour Bruno, 28 pour Gaspard et donc 8 cases pour René .

81

1 6

2

4

7 3

5

82 5 minutes

83 7,5 kg de riz



2. 80 piquets .

3. 80 × 2,50 € + 160 × 0,80 € = 328 € .

4. 246 € .

85 110 grammes

86 La vitesse de pointe d’un guépard est de 110 km/h . La traversée de Paris est d’environ 18 km (est-ouest) . Le marathon se court sur une distance de 42,195 km . Le gué-pard peut traverser Paris en 589 secondes, soit 9 min 49 s . Il peut faire le marathon en 1 381 secondes, soit 23 min 1 s .

44

de proportionnalité et de non-proportionnalité facilement identifiables par l’élève .

• Correction

4. Pour l’étude du périmètre, la construction du tableau demande la connaissance de la formule du périmètre d’un carré pour aboutir à des formules du type =B1*4 ou =B1+B1+B1+B1 . L’élève peut « recopier » ou « étirer » cette formule pour étudier un grand nombre de carrés .

5. Pour la justification de la proportionnalité, on peut envisager plusieurs stratégies dont la création d’une ligne supplémentaire et le calcul des quotients .

7. Pour l’étude de l’aire, les formules attendues sont du type =B1*B1 .

8. La justification de la non-proportionnalité peut égale-ment se faire par le calcul de deux quotients sur une ligne supplémentaire ou en remarquant que pour un carré de côté 2 fois plus grand, l’aire n’est pas 2 fois plus grande .

Pour aller plus loin : on peut proposer à certains élèves la construction de graphique (nuage de points, courbe…) représentant ces deux situations et permettant une première approche (non-exigible) de la caractérisation graphique de la proportionnalité .

Activité 3. La hausse des prix• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’utiliser le tableur pour appli-quer des pourcentages dans un contexte économique simple . On pourra percevoir, au cours de cette activité, tout l’intérêt du tableur lorsqu’on fait évoluer les prix initiaux et/ou les pourcentages de hausse pour remarquer que les calculs de la ligne 4 se refont automatiquement . En outre, on pourra montrer grâce à cette activité les différents for-mats des cellules : format monétaire, pourcentages…

• Correction

2. On peut obtenir le nouveau prix d’une flute en saisissant la formule suivante : =B2+B2*B3 .

■ Avec un logicielActivité 1. La recette des crêpes• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’utiliser le tableur pour réa-liser des calculs de proportionnalité . Le tableur se révèle être un outil particulièrement adapté pour ce type d’acti-vité . L’élève tire en effet profit du logiciel pour recopier les formules et automatiser les calculs .

• Correction

1. Pour 4 personnes : 250 g de farine 30 g de sucre 3 œufs

12

L (soit 50 cL) de lait

3. Pour 16 personnes : les formules permettant de passer d’une recette pour 8 personnes à une recette pour 16 per-sonnes sont assez simples . Le coefficient multiplicatif 2 est facilement mis en évidence . On obtient des formules du type : =2*B2 , =2*C2 , etc .

4. L’élève peut élaborer plusieurs stratégies pour passer d’une recette comportant 6 œufs à une recette utilisant seulement 4 œufs :– enlever un tiers : formule du type =B2-B2/3 ;– multiplier par 4/6 (ou diviser par 6 puis multiplier par 4) : formule du type =B2/6*4 .

5. et 6. Enfin, le coefficient 50/8 (ou 6,25) permettant de passer d’une recette pour 8 personnes à une recette pour 50 personnes aboutit à des formules du type =B2*50/8 .

Activité 2. Le périmètre et l’aire d’un carré• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est l’étude à l’aide du tableur de situation de proportionnalité en géométrie . Plus pré-cisément, l’idée est de découvrir, à l’aide du logiciel, si le périmètre et l’aire d’un carré sont proportionnels à la lon-gueur de son côté . Là encore, le tableur se révèle être un outil intéressant pour étudier rapidement un grand nombre de cas et mettre évidence, à l’aide de tableaux, des situations

4.

Flute Baguette Pain Gros pain Pain spécial

Prix d’origine (en €) 0,60 0,85 1,12 1,40 1,82

Pourcentage de hausse 12,00 % 12,00 % 12,00 % 12,00 % 12,00 %

Nouveau prix (en €) 0,67 0,95 1,25 1,57 2,04

45Chapitre 6 • Organisation et représentation de données

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul







II. Contexte du chapitreAu cycle 2 et au début du cycle 3, les élèves ont été mis en situation de prendre de l’information à partir de tableaux, de diagrammes ou de graphiques . Ce travail se poursuit au collège, notamment avec l’objectif de rendre les élèves capables de faire une interprétation critique de l’information apportée par ces types de présentation des données, aux natures très diverses, en liaison avec d’autres disciplines (histoire, géographie, sciences, EPS, technologie…) .



Cherchons ensemble Fichiers textes modifiables des activités Activité 2 : 1 fichier tableur corrigé pour l’enseignant


Vidéo « Je comprends » : Construire un tableau Vidéo « Je comprends » : Construire et exploiter un graphique


Avec un logiciel



Organisation et représentation de données

6

46

• Correction

1. À 17 h 00, 101 spectateurs ont vu La petite princesse .

2. a. 876b. =SOMME(B4:B8) ou =B4+B5+B6+B7+B8 .

3. a. =SOMME(C4:C8) ou =C4+C5+C6+C7+C8 .b. 468

4. On trouve 106 en E7, 55 en E8, 507 en D10 et 441 en E10 .

Activité 3. Construire un diagramme• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet d’aller vers la construction de diagrammes pour présenter les résultats d’une enquête . Là encore, dans un premier temps, la présentation des données en tableau est utile pour organiser ces données et faciliter la construction d’une représentation graphique des résul-tats . Cette compétence de construction de diagrammes sera retravaillée au cycle 4 . On pourra dégager les différentes présentations possibles des résultats d’une enquête sta-tistique : tableaux, diagrammes, etc .

• Correction

1. L’effectif total est de 72 .

3.

Transport À pied À véloEn

voitureEn bus

Effectif 18 8 20 26

4.

Nombre de personnes

Enquête sur les moyens de transport

30

25

20

15

10

5

0À pied À vélo En voiture En bus

Activité 4. Exploiter un graphique cartésien• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’objectif est de montrer que le graphique cartésien permet d’illustrer l’évolution d’une grandeur en fonction du temps .

• Correction

1. Température la plus haute enregistrée : 27 °C .

2. Heure de la température la plus basse : 3 h .

3. Amplitude thermique de cette journée : 27 – 12 = 15 °C .



1 a.

2 a.

3 750 000

4 c.

5 b.

6 À 8 h 45 .

7 À 0 h 43 .

■ Cherchons ensembleActivité 1. Exploiter un tableau• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour objectif de travailler la lecture de tableau . Elle propose aux élèves un tableau assez complet donnant le nombre de médailles pour plusieurs pays ayant participé aux Jeux olympiques d’été . L’activité proposée com-porte en fait deux parties pour travailler deux compétences :– la première partie (questions 1. à 3.) pour travailler la capacité à lire des données dans un tableau ;– la seconde (question 4.) pour proposer une recherche d’in-formation et travailler la capacité à reconstruire un tableau pour organiser des données .

• Correction

1. Les États-Unis ont remporté le plus de médailles .

2. La France a remporté 202 médailles d’or . L’Italie, 199 .

3. La Suède a remporté 143 médailles d’or .

Activité 2. Construire un tableau• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour objectif de proposer une étude statis-tique simple dans une feuille de calcul tableur . Elle peut être réalisée avec ou sans ordinateur, car les questions posées ne nécessitent pas forcément une manipulation sur logiciel . La correction de cette activité gagnera cependant à être réali-sée sur ordinateur et commentée à l’aide d’une projection collective . Cette activité peut permettre de montrer qu’on utilise le tableur pour organiser des données (construc-tion d’un tableau), mais aussi qu’on utilise des formules tableur simples pour calculer des sommes . On en profi-tera pour montrer l’intérêt de cet usage en modifiant une donnée et en constatant que les sommes se mettent à jour automatiquement .



4 Mâles Femelles TOTAL

Canards 4 27 31

Cochons 6 7 13

Lapins 18 18 36

TOTAL 28 52 80

5

Chiffre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre d’apparitions

1 5 5 9 4 5 4 4 5 8

Total 50

6 1. a. 6 h 30 b. 8 h 42, donc le trajet dure 2 h 12 .

2. Ce TGV met plus de temps (2 h 22) car il s’arrête dans plus de gares .

3. Léo peut descendre à Angers-St-Laud ou à Nantes .


8 1. En C4 : le nombre de filles de 15 à 18 ans .

2. En B6 : 111 garçons ; en C6 : 100 filles .

■ Objectif 1. Exploiter ou construire un tableau pour présenter des donnéesJe m’entraine

1

Filles Garçons Total

Classe de 6e 48 60 108




Total 208 215 423

2 1. Il y a le plus d’externes en 6e C .

2. Il y a 42 externes en 6e dans ce collège .

3

Thème Sac à mainTenues de

sportLunettes de soleil

Nombre de votes

6 3 2

9 1.

NationNombre de

victoiresNombre de match nul

Nombre de défaites

Nombre de points marqués

Nombre de points encaissés

Angleterre 4 0 1 157 100

Ecosse 0 0 5 73 128

France 2 0 3 103 101

Irlande 4 0 1 119 56

Italie 1 0 4 62 182

Pays de Galles 4 0 1 146 93

4 – France5 – Italie6 – Écosse

2. Classement du Tournoi 2015 :1 – Irlande2 – Angleterre3 – Pays de Galles

48

16

Population (en millions)1 600

01900 1930 1960 1990 2020

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

Afrique Amérique Europe

17 1. 47 % de 8 000 = 47 × 8 000 : 100 = 3 760 bonbons .

2. 1 840 chocolats et 720 caramels .

3. On peut calculer le nombre de sucettes par soustraction : 8 000 – (3 760 + 1 840 + 720) = 1 680 sucettes .On peut aussi calculer le pourcentage correspondant : 100 – (47 + 23 + 9) = 21 % pour les sucettes, et 21 % de 8 000 est égal à 1 680 sucettes .

■ Je travaille seul(e)Je fais le point

18 C

19 B

20 C

21 C

22 B

23 B

24 A

25 C

26 B

27 C

28 1. 98 élèves

2. 1 seul élève de 6e B .

3. 23 votes pour Star Wars 7.

4. ➀ Vice-Versa ; ➁ Star Wars 7 ; ➂ Forest Gump ; ➃ Le Petit Prince ; ➄ Zootopie .

29 1. En juin, juillet et aout .

2. Des kiwis, des oranges, des poires et des pommes .

3. On peut manger des mures et des oranges en avril . On peut manger des pommes mais pas des poires en juin .

4. En aout, on peut manger 8 fruits différents .

30 1. Le tournesol .

2. Environ 520 tonnes .

31 1. En 1980 : 27 % . En 1990 : 40 % . En 2000 : 60 % . En 2010 : 65 % .

2. En 1986 .

3. 37,7 %

■ Objectif 2. Exploiter ou construire un graphique représentant des donnéesJe m’entraine

10 1. 25 % du total de la production est colorié en rouge .

2. La plus grande part dans cette répartition est en 2014 .

3. En 2015, la production a été la même qu’en 2013 .

11 1. 350 personnes ont répondu OUI .

2. 600 personnes pensent le contraire .

12 1. La langue la plus étudiée est l’anglais .

2. La partie verte est petite car peu d’élèves étudient l’es-pagnol en 6e .

3. Ce diagramme ne permet pas de connaitre le nombre d’élèves en 6e .


13 1. Ce graphique nous permet d’avoir des renseigne-ments jusqu’à l’âge de 18 ans .

2. 85 cm .

3. À l’âge de 11 ans .

4. À 14 ans .

14 1. Huit amies préfèrent la dance .

2. Trois styles de musique ont obtenu 5 réponses : le métal, la techno et la soul .

3. Djamila a 39 amies .

15

Production de diamants(en millions de carats)40

0Russie Bostwana Canada Angola Afrique

du Sud

353025201510

5



39 1. La dépense principale est le logement .

2. 28 % est le double de 14 % donc il est exact que le trans-port coute le double des visites .

40 1. Le composant principal de l’air est le diazote .

2. Dans l’air, il y a entre 20 et 25 % de dioxygène .

41 1. En 1914, la population française était d’environ 42 000 000 d’habitants .

2. En 1969

3. Non : la population française a diminué pendant les 2 guerres mondiales .

4. En 26 ans (de 1958 à 1984) .

■ Tâche complexeLa visioconférence peut être organisée le lundi, le mardi, le jeudi ou le vendredi entre 13 h et 16 h (heures françaises) . En effet, lorsqu’il est 13 h en France, il est 17 h en Inde et 9 h à Rio . Plus tôt, le collège de Rio ne serait pas ouvert . Et lorsqu’il est 16 h en France, il est 20 h en Inde et 12 h à Rio . Plus tard, le collège de Bombay serait fermé .


42 Le message est : VIVE LES MATHS !

43

1 2

24 4 8 20

1518 3 6

1 2

24 8 16 20

1518 6 12

44 Il y a 4 garçons et 3 filles .


45 1. Disneyland Paris

2. Environ 7 000 000 personnes ont visité la tour Eiffel en 2015 .

3. Disneyland Paris, Notre-Dame de Paris et le musée du Louvre ont été visités par plus de 8 000 000 de personnes .


32 1. 90 dB

2. 13 h 30

3. 40 dB

4. Entre 5 h et 6 h .

5. Ce sont les moments où les élèves sont dans la cour (entrée, sortie, récréation, pause déjeuner…) .

33 1.

Dé rouge

1 2 3 4 5 6

Dé

bleu

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

2. Le 7 apparait le plus souvent ; le 2 et le 12 apparaissent le moins souvent .

34 1. 466 km entre Paris et Lyon ; 406 km entre Marseille et Toulouse .

2. Il n’y a rien d’écrit dans les cases jaunes car il n’y a pas de distance entre une ville et elle-même .

3. Nice et Brest .

35 1. 9 h 33

2. Le vendredi 3 juillet

3. 96

4. C’est possible le mercredi 1er juillet .

36 1. En 2008

2. En 2000 et 2001 .

37 1. En 1963, il y a eu une période de froid de 11 jours, et en 1956, une période de 27 jours (la plus longue) .

2. La température moyenne de la vague de froid de 1947 était de –6 °C .

3. La vague de froid la plus récente est celle de 2012 avec 12 jours à une température moyenne de –7 °C .

38 1. On pêche la truite de mars à septembre .

2. En octobre, on peut pêcher le brochet, le sandre, l’ombre et l’écrevisse .

3. On peut pêcher à la fois le brochet et la truite de mai à septembre .

+

50

■ Avec un logicielActivité 1. Vente de voitures• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est d’utiliser le tableur pour construire un tableau à double entrée . L’utilisation de for-mules tableur permet d’automatiser les calculs des totaux de vente pour chaque jour et pour chaque vendeur . L’activité se déroule en 3 temps :– 1er temps : saisie des données . L’élève doit construire un tableau et saisir les ventes de chaque vendeur . Cette par-tie un peu fastidieuse est nécessaire pour la suite, mais elle est aussi utile car elle permet à l’élève de faire preuve d’or-ganisation pour « mettre en forme » un tableau correct .– 2e temps : calcul du bilan des ventes . L’élève doit trouver et utiliser les formules nécessaires pour calculer le total des ventes réalisées pour chaque jour de la semaine, puis pour chaque vendeur . L’utilisation des options de recopie (étirer une formule) permettra à l’élève de percevoir un intérêt des calculs sur logiciel .– 3e temps : vérification des formules . En modifiant une ou plusieurs ventes pour un ou plusieurs vendeurs, on perçoit encore l’intérêt des programmations tableur . Les calculs automatisés donnent des totaux de ventes toujours exacts .

• Correction

3. Il faut écrire en B7 la formule suivante : =SOMME(B2:B6) ou =B2+B3+B4+B5+B6 .

4. En C7 : =SOMME(C2:C6) ; en D7 : =SOMME(D2:D6) ; etc .

5. Il faut écrire en H2 la formule suivante : =SOMME(B2:G2) ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2 .

6. En H3 : =SOMME(B3:G3) ; en H4 : =SOMME(B4:G4) ; etc .

7. Pour obtenir le total des ventes du magasin pour toute la semaine, il faut écrire en H7 la formule suivante : =SOMME(H2:H6) ou encore =H2+H3+H4+H5+H6 .

8. et 9. Le total des ventes d’Abdul se met à jour automa-tiquement grâce aux formules de calcul saisies . Il en est de même pour le total des ventes du magasin .

Activité 2. Vente de consoles de jeux vidéos• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de faire un premier pas vers la construction de diagramme à l’aide d’un tableur . Cette compétence peut être envisagée plus facilement à l’aide de ce logiciel très adapté . L’activité se déroule en 3 temps :– 1er temps : saisie des données et calcul du total de vente . L’élève doit reproduire le tableau des ventes de consoles en 2015 . Là encore, cette partie est nécessaire pour la suite du travail . Ici, l’élève peut utiliser une formule tableur pour faire la somme des ventes .– 2e temps : construction de diagrammes . Les diagrammes demandés ici permettent d’illustrer et de comparer les ventes de consoles . D’une manière générale, la construc-tion de diagrammes et de graphiques sur tableur est une

46 1. et 2.

Ville Capacité du Zénith

Amiens 6 000

Caen 6 990

Clermont-Ferrand 8 500

Dijon 8 890

Lille 7 000

Limoges 6 000

Montpellier 6 300

Nancy 5 900

Nantes 9 000

Orléans 6 900

Paris 6 240

Pau 7 500

Rouen 7 500

Saint-Etienne 7 200

Strasbourg 12 079

Toulon 8 500

Toulouse 12 000

3.

Capacités des Zénith de France13 000

0

Amie

nsCa

enCl

erm

ont-

Ferr

and

Dijo

nLi

lleLi

mog

esM

ontp

ellie

rN

ancy

Nan

tes

Orlé

ans

Paris Pau

Roue

nSa

int-

Étie

nne

Stra

sbou

rgTo

ulon

Toul

ouse

12 00011 00010 000

9 0008 0007 0006 0005 0004 0003 0002 0001 000


2. b.

Répartition des ventes de consoles en 2015

Sony Playstation 4

Nintendo 3DS

Microsoft Xbox One

Sony Playstation Vita

Nintendo Wii U

3. Le diagramme en bâtons permet de répondre le plus faci-lement à cette question : c’est la PlayStation 4 .

4. Le diagramme circulaire permet de répondre à cette ques-tion : c’est Sony, avec la PlayStation 4 et la PlayStation Vita .

Activité 3. Médailles olympiques• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité assez simple met en œuvre plusieurs compé-tences transversales, mathématiques et techniques :– la recherche d’informations sur Internet ;– l’organisation de données dans un tableau ;– le calcul et le tri de données à l’aide du tableur .Le contexte de cette activité (les médailles olympiques) permet aux élèves de s’engager dans l’activité et de trouver toutes les informations nécessaires sans difficulté .

compétence importante à travailler au collège . Pour cette partie, l’utilisation des fiches-méthodes tableur (cahier tech-nique de fin de manuel) peut se révéler une aide précieuse pour l’élève .– 3e temps : comparaison et analyse des données . À l’aide des diagrammes obtenus, on peut répondre à plusieurs questions au sujet des ventes étudiées ici . La discussion sur la nature des diagrammes permet de voir lequel est le plus adapté pour répondre à chacune des questions .

• Correction

1. b. Pour obtenir le total des ventes, l’élève peut sai-sir en G2 la formule suivante : =SOMME(B2:F2) ou =B2+C2+D2+E2+F2 .

2. a.

Ventes de consoles en 2015

6 000 000

0

Sony Playstatio

n 4

Nintendo 3DS

Microso

ft Xbox O

ne

Sony Playstatio

n Vita

Nintendo Wii U

5 000 000

4 000 000

3 000 000

2 000 000

1 000 000

• Correction

3. Si l’on ne prend en considération que les médailles d’or, la meilleure année pour l’équipe de France était 1996, aux Jeux olympiques d’Atlanta . En termes de nombre total de médailles, la meilleure année était 2016, aux Jeux olympiques de Rio de Janeiro .

53Chapitre 7 • Règle – Équerre – Compas

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures usuelles .• Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques .• Se repérer et se déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations .



Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures usuelles

Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire des figures simples ou complexes :

• le cercle (comme ensemble des points situés à une dis-tance donnée d’un point donné) .

Reproduire, représenter, construire des figures simples ou complexes .

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction .

Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples à l’aide d’un logiciel .

Situations de reproduction ou de construction mobili-sant des gestes élémentaires de mesurage et de tracé et des connaissances sur les figures usuelles .

Reproduire (à l’échelle ou non) une figure à partir d’un modèle et d’éléments déjà tracés .

Les éléments de vocabulaire associés aux objets et à leurs propriétés (droite, demi-droite, segment, cercle, rayon, diamètre, milieu, hauteur, etc .) sont introduits et utilisés en contexte pour en préciser le sens : jeu du por-trait, échange de messages, jeux d’associations (figures, désignations, propriétés, représentations) .

Proportionnalité :• reproduire une figure en respectant une échelle .


Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques

Effectuer des tracés correspondant à des relations de perpendicularité ou de parallélisme de droites et de segments .

Déterminer le plus court chemin entre deux points (en lien avec la notion d’alignement) .

Déterminer le plus court chemin entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles (en lien avec la perpendicularité) .

• Alignement, appartenance .• Perpendicularité, parallélisme (construction de droites parallèles, lien avec la propriété reliant droites parallèles et perpendiculaires) .• Égalité de longueurs .• Distance entre deux points, entre un point et une droite .

Exemples d’instruments : règle graduée, équerre, com-pas, papier calque .

Exemples de supports variés : papier quadrillé, papier pointé, papier uni .

Exemples de matériels : papier/crayon, logiciels de géo-métrie dynamique, d’initiation à la programmation, logiciels de visualisation de cartes, de plans .

Règle – Équerre – Compas

7

54

L’élève s’est également initié à l’utilisation de logiciels de géométrie dynamique pour construire ces mêmes objets géométriques, ou encore à la lecture de cartes et plans pour apprendre à se repérer dans l’espace . En 6e, ces outils sont toujours mis à contribution pour parfaire l’acquisition de ces compétences mais également pour conjecturer des propriétés concernant les caractéristiques et les positions relatives des objets entre eux . Les activités proposées vont ainsi permettre à l’élève de s’affranchir progressivement des perceptions qu’il peut avoir de ces objets, de leurs carac-téristiques et de leurs positions relatives en s’appuyant sur le raisonnement et l’argumentation . Outre la compétence Représenter , les compétences Chercher , Raisonner et Communiquer prennent une place importante à ce niveau .

II. Contexte du chapitreEn entrant en classe de 6e, l’élève a déjà acquis une certaine pratique de l’utilisation des instruments de géométrie que sont la règle, l’équerre et le compas . Il sait, notamment, les utiliser pour :– reconnaitre le parallélisme ou la perpendicularité de deux droites ou encore construire des droites parallèles ou des droites perpendiculaires ;– tracer un cercle de centre et de rayon donnés ;– reporter une longueur ;– construire des triangles connaissant la longueur de leurs côtés ;– construire les quadrilatères usuels que sont le rectangle, le losange ou encore le carré .



Cherchons ensemble Fichiers textes modifiables des activités Activité 4 : fichier GeoGebra corrigé pour l’enseignant

Objectif 1

Objectif 2

Objectif 3

Vidéo « Je comprends » : Construire une droite perpendiculaire à une autre droite et pas-sant par un point

Vidéo « Je comprends » : Construire une droite parallèle à une autre droite et passant par un point

Vidéo « Je comprends » : Construire un cercle


Exercices Ex . n° 52 – plan à télécharger et imprimer ; 2 fichiers GeoGebra (élève et corrigé pour l’enseignant)

Tâche complexe Carte du village à télécharger ; 2 fichiers GeoGebra (élève et corrigé pour l’enseignant)

Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier GeoGebra Activité 2 : 1 fichier GeoGebra Activité 3 : 1 fichier GeoGebra Activité 4 : 2 fichiers Scratch

Se repérer et se déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations

Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte .

Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran .

• Vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements .• Divers modes de représentation de l’espace .

Situations donnant lieu à des repérages dans l’espace ou à la description, au codage ou au décodage de déplacements .

Travailler :• à partir de plans schématiques (par exemple, chercher l’itinéraire le plus court ou demandant le moins de corres-pondances sur un plan de métro ou d’autobus) ;• avec de nouvelles ressources comme les systèmes d’in-formation géographique, des logiciels d’initiation à la programmation…


• Correction2.

(d2) (d1)

(d3)

A

3. a. (d1) // (d3)b. d d1 2( ) ( )⊥ et d d3 2( ) ( )⊥ donc d d//1 3( ) ( ) .

Activité 3. Découvrir des propriétés• Considérations didactiques et mise en pratiqueLe but de cette activité est de sensibiliser l’élève à deux pro-priétés de base concernant des cas particuliers de positions relatives de trois droites du plan . L’une affirmant que « si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles », l’autre affirmant que « si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendicu-laire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre » .

• Correction1. On sait que : d d1( )( ) ⊥ et d d2( )( ) ⊥ . On conclut que d d//1 2( ) ( ) .

2. On sait que : d d2( )( ) ⊥ et d d//3 2( ) ( ) . On conclut que d d3( )( ) ⊥ .

Activité 4. Déterminer la distance d’un point à une droite• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité vise à montrer, de manière expérimentale, que le plus court chemin d’un point à une droite est le segment reliant ce point au pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point . L’utilisation d’un logiciel de géomé-trie dynamique permet de voir évoluer la longueur de ce segment pour différentes positions de l’une de ses extré-mités située sur la droite .

• Correction1., 2., 3. et 4. a.

D

A

B

C

CD = 2,78α = 90°

Les droites (CD) et (AB) sont perpendiculaires .

4. b. Pour construire le plus court chemin d’un point A à une droite (d), il suffit de tracer la perpendiculaire à (d) passant par A . Le segment reliant A au pied de la perpendiculaire à (d) est le plus court chemin de A à (d) . Sa longueur est la distance de A à (d) .



1 a.

2 a.

3 a.

4 a.

5 b.

6 b.

7 a.

8 c.

9 b.

10 a.

■ Cherchons ensembleActivité 1. Utiliser des notations• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève s’approprie de nouvelles notations pour désigner une droite, une demi-droite ou un segment . Il en perçoit l’utilité par les raccourcis qu’elles procurent dans la désignation de l’un de ces objets géométriques . Il fait la distinction entre l’objet segment et sa longueur, désignés de façon distincte .Les symboles d’appartenance ∈ et de non-appartenance ∉ complètent l’objectif de cette activité qui est d’apprendre à raccourcir des affirmations à l’aide d’un codage rigoureux et concis .

• Correction

1. (MP)

2. [PN)

3. Le segment [AB] et la longueur AB .

4. a. A (EP)∈ b. N (IP)∈ c. N [IP)∉d. I [NP]∈ e. M [IN)∈

Activité 2. Construire la perpendiculaire ou la parallèle à une droite passant par un point donné• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève utilise un double pliage d’une feuille de papier pour construire un angle droit . Les plis obtenus constituent deux droites perpendiculaires dont l’une passe par un point donné . L’élève peut le vérifier à l’équerre et apprend à coder l’angle droit . Une deuxième manipulation, similaire à la précédente, vise à montrer que la parallèle à une droite, passant par un point donné, est obtenue lorsque ces deux droites sont perpendiculaires à une même troisième .

56

3

(d)

M

4

(d)

E

5 O

N M

Le point d’intersection de la perpendiculaire à (MN) pas-sant par O est le milieu du segment [MN] .


6 Programme de construction– Placer trois points E, O et F non alignés .– Tracer, en rouge, la droite (OE) et, en mauve, la droite (OF) .– Tracer, en orange, la perpendiculaire à (OE) passant par E .– Tracer, en vert, la perpendiculaire à (OF) passant par F .– Les deux dernières droites tracées se coupent en M . Placer M .

7 1.

I

M R

2. Les hauteurs du triangle sont concourantes .

8 Programme de construction du point F :– Tracer la perpendiculaire à (d) passant par E . Elle coupe (d) en O . – Placer sur la droite (EO) le point F tel que O soit le milieu de [EF] .– Coder la figure : milieu et perpendicularité .

(d)

E

O

F

Activité 5. Utiliser un cercle• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité doit conduire l’élève à utiliser le compas pour rechercher des points situés à une même distance d’un point donné . Elle permettra d’asseoir la définition mathématique d’un cercle de centre et de rayon donnés . Dans un deuxième temps, l’élève est amené à faire la distinction entre le cercle et le disque de même centre et de même rayon .

• Correction1. E D I

CABM

F

K

G L

H

JN

2. Les points de la figure situés à une distance AD de A sont les points D, E, G, L ainsi que les points d’intersection du cercle de centre A et de rayon AD avec le segment [FJ], nommés M et N sur la figure .

3. Les points de la figure situés à une distance de A infé-rieure à AD sont les points A, B, C, H ainsi que tous les points du segment [MN] exceptés les points M et N .Les points de la figure situés à une distance de A supérieure à AD sont les points I, K ainsi que tous les points des seg-ments [FM] et [JN] exceptés les points M et N .

4. Les points de la figure appartenant au disque de centre A et de rayon AD sont à la fois tous les points situés à une distance AD de A et à une distance inférieure à AD de A . Ce sont donc les points D, E, G, L, A, B, C, H ainsi que tous les points du segment [MN] .

■ Objectif 1. Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donnéJe m’entraine

1 a. Un petit carré placé à l’intersection des perpendi-culaires .b. Oui . c. Oui, si le point C est situé à l’intersection des deux perpendiculaires .

2 (d)

N

M

Il semble que les deux perpendiculaires à (d) soient paral-lèles entre elles .


13 1. 2. 3. et 4.

(d2)

B

A

(d4)(d1)

(d3)

C

5. Les droites (d3) et (d4) sont perpendiculaires .

14 A

O

C R

(d’) (d)

4. Le quadrilatère CARO est un losange de côté 5 cm .

15 1. et 2.

(d)

(d1)

(d2)

E

F

3. Les droites (d1) et (d2) sont parallèles .


16 Programme de construction– Tracer un triangle ABC .– Tracer, en bleu, la droite (d1) parallèle à (AC) passant par B .– Tracer, en orange, la droite (d2) parallèle à (AB) passant par C . Elle coupe (d1) en F .– Tracer, en rouge, la droite (d3) parallèles à (BC) passant par A . Elle coupe (d1) en E et (d2) en G .

17 2. Programme de construction– Construire, en vert, un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 5,5 cm et BC = 4,5 cm .– Placer un point M sur [AC] .– Tracer, en bleu, la droite (d1) passant par A et B .– Tracer, en orange, la droite (d2) passant par M et paral-lèle à (d1) .– Tracer, en rouge, la droite (d3) passant par C et parallèle à (d1) .– Placer un point N sur (d2) tel que (BN) // (AC) .– Placer un point P sur (d1) tel que (NP) // (BC) .– Tracer, en bleu, le triangle BNP .

9 1.

Élève : Emma TématikClasse : 6e ADM : un programme de construction

• Tracer un triangle quelconque TAC.• Placer un point I sur le côté [TC].• Tracer en rouge la perpendiculaire à la droite (TC) passant par I : elle coupe le segment [TA] en J.• Tracer en vert la perpendiculaire à la droite (IJ) passant par J : elle coupe (AC) en K.• Tracer en bleu la perpendiculaire à la droite (JK) passant par K : elle coupe le segment [TC] en L.

T

I

J

AKC

L

2. (IJ) et (KL) sont parallèles .

10 10 cm

6 cm

4 cm

5 cm

5 cm

10 c

m

11 Programme de construction– Placer deux points A et B puis tracer la droite (AB) .– Tracer la droite (d1), perpendiculaire à (AB) passant par A .– Tracer la droite (d2), perpendiculaire à (AB) passant par B .– Placer un point C sur (d2) tel que BC = AB .– Tracer la droite (d3), perpendiculaire à (d2) passant par C .– (d3) coupe (d1) en D . Placer D .– Coder la figure : angle droit et côtés égaux .

■ Objectif 2. Tracer la parallèle à une droite passant par un point donné

Je m’entraine

12 a. (d1) // (d3)

b. (d) ⊥ (d1)

58

23

M

A

T7 cm

3 cm 5 cm

24 MOI est un triangle équilatéral . En effet, [OI] et [OM] sont deux rayons de 4 cm de longueur et [IM] est une corde de 4 cm également .

25

R T6 cm

8 cm4 cm


26 1. Les points I, C, M et K sont équidistants du point O .

2. Les points M, O et K sont équidistants du point I .

3. Les points M et K sont à la fois équidistants de O et de I .

27 A

B

M

O N

28 1. Programme de construction– Tracer une droite (MN) tel que MN = 30 mm .– Tracer un cercle 𝒞1 de centre M et de rayon 15 mm .– Tracer un cercle 𝒞2 de centre N et de rayon 25 mm .– Colorier, en bleu, la zone où se trouvent tous les points situés à la fois à moins de 15 mm du point M et à moins de 25 mm du point N .

18 (d’)

(d)

(d1)

H

A

Programme de construction :– Tracer une droite (d) .– Tracer une droite (d1) perpendiculaire (d) .– Appeler H leur point d’intersection .– Placer un point A sur (d1), tel que AH = 3 cm .– Tracer la droite (d’) parallèle à (d) et passant par A .

19 1. La distance entre deux segments rouges, voisins et parallèles, diminue au fur et à mesure que l’on gravit la montagne . On peut faire la même remarque avec les seg-ments verts .

20

(d)

A’

B’

A

HAH = 4 cm

B C

C’

9 cm

3 cm

1,5 cm

Pour construire la droite (d), on construit d’abord le point H situé sur la perpendiculaire à (AC) passant par A, à 4 cm du point A . On trace ensuite la droite (d) parallèle à (AC) passant par H .

■ Objectif 3. Connaitre et utiliser la définition du cercleJe m’entraine

21 a. Le rayon mesure 3 cm, soit le tiers de la somme .b. E appartient au disque mais pas au cercle .c. Les deux cercles auront toujours deux seuls points d’intersection .

22

O

R

C6 cm

5 cm


43

O1

O3

O4

O2

LN

I

Il y a 4 possibilités pour le point O .

44

(d1)(d4)

(d3)

(d2)

A

B

C

D

2. a. d d( ) ( )1 3⊥ b. d d( ) ( )2 4⊥c. d d( ) // ( )3 2 et d d( ) ( )2 4⊥ . Or, si deux droites sont paral-lèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, donc d d( ) ( )3 4⊥ .d. ABCD est un carré car il a 4 angles droits : c’est donc un rectangle mais il a de plus deux côtés consécutifs de même longueur .

45

RS

A

46 Programme de construction– Tracer un triangle équilatéral de côté 6 cm ABC .– Colorier en bleu les points du triangle qui se trouvent à moins de 3 cm de A .– Colorier en orange les points du triangle qui se trouvent à moins de 3 cm de B .– Colorier en vert les points du triangle qui se trouvent à moins de 3 cm de C .– Colorier en rouge les autres points du triangle .

29

Croûte océaniqueép. ≃ 1 mm

Manteau externeép. ≃ 6 mm

Noyau externeép. ≃ 23 mm

Manteau interneép. ≃ 22 mm

Noyau interneR ≃ 12 mm

30 1. Programme de construction– Construire un triangle SAP tel que : AS = 7 cm, AP = 8 cm et SP = 9 cm .– Tracer, en orange, le disque de centre A et de rayon 3 cm .– Tracer, en vert, le disque de centre S et de rayon 4 cm .– Tracer, en mauve, le disque de centre P et de rayon 5 cm .


31 C

32 B

33 C

34 B

35 B

36 C

37 C

38 A

39 B

40 B

41

1. (d6) 2. (d6) 3. (d4) 4. (d4) 5. (d5)

42

1.

A

O

J

CI

B

(d)

(d’)

2. OA = OB = OC

60


47 (AA’) et (BB’) sont parallèles si, et seulement si, la paroi est verticale (perpendiculaire au sol) . Dans le cas contraire, la distance de A’ à la droite (BB’) est inférieure à 70 cm, donc différente de A’B’ = 70 cm .Les droites (AA’) et (BB’) ne sont donc pas parallèles dans ce cas .

48 1. Méthode utilisée par le groupe de Manon :– On place le milieu I de [AB] .– On trace la perpendiculaire à [AB] passant par I . Elle coupe le cercle passant par A et B aux points E et F .– Le centre O du disque appartient à [EF] . En effet, (EF) est un axe de symétrie du segment [AB] . Les triangles AIO et BIO, rectangles en I, sont superposables par pliage selon (EF) . [EF] est donc un diamètre du disque . O est donc situé au milieu de [EF] .

2. a.

F

B

A

�

O

E

b. Le rayon mesure environ 20 mm .

49 En traçant les disques de centres P1 et P2 et de rayon 13 cm, on peut observer qu’une toute petite zone (en gris foncé sur la figure) ne peut pas être tondue .

A B

P2

P1CD

50

A

O

H

B

C

(d2) (d1)

1,90 m1,90 m

Le rayon de la piscine mesure 1,90 m . La piscine pourra être installée dans l’aire de loisir si son centre O est à une dis-tance supérieure ou égale à 1,90 m de chacun des bords [AB], [BC] et [AC] du terrain .

On trace donc la droite (d1) // (AB) à une distance de 1,90 m de (AB) ainsi que (d2) // (BC) également à 1,90 m de (BC) . Leur intersection donne la position du centre O la plus proche des côtés [AB] et [BC] . Dans cette position, la distance OH de O au troisième côté est inférieure à 1,90 m . La piscine ne peut donc pas être intégrée dans l’aire de loisirs .

51 Programme de construction– Placer un point E sur (d1), puis tracer la perpendiculaire à (d1) passant par E .– Placer un point H sur cette droite, à une distance choi-sie du point E .– Tracer la parallèle (d’1) à la droite (d1) passant par H .– Choisir, de même, un point F sur (d2), puis tracer la per-pendiculaire à (d2) passant par F .– Placer sur cette droite le point G tel que FG = EH .– Tracer la parallèle (d’2) à la droite (d2) passant par G .– Placer le point A, intersection des droites (d’1) et (d’2) .

Ce point est équidistant des droites (d1) et (d2) .

52 1. a. À vol d’oiseau, la distance sur le plan est de 76 mm . L’échelle étant de 300 m pour 22 mm, on en déduit que la distance réelle entre les deux stations est d’environ 1 036 m .b. Itinéraire à pied :– Depuis la station Louvre-Rivoli, suivre la rue de Rivoli jusqu’au premier carrefour sur 530 m .– Prendre la première à droite et poursuivre jusqu’au croise-ment des boulevards Saint-Michel et Saint-Germain, après avoir traversé le Pont au Change et le Pont Saint-Michel, sur une distance de 780 m .– Prendre enfin la première à gauche au croisement sur environ 140 m .

La distance totale parcourue à pied entre les deux stations est donc d’environ 1 450 m .

2. Itinéraire de Louvre-Rivoli à Luxembourg :– Dans la station Louvre-Rivoli, prendre la ligne 1 « La Défense – Château de Vincennes » .– Descendre à la station Châtelet .– Se déplacer en sous-sol et à pied jusqu’à la station Les Halles .– Prendre le RER B direction Robinson ou Saint-Rémy lès-Chevreuse .– Descendre à la station Luxembourg .

53 En traçant un cercle de centre A et de rayon supérieur à la distance de A à (d), on obtient deux intersections M et N équidistantes de A . L’axe de symétrie du triangle MAN, isocèle en A, passe par A et le milieu I de [MN] . Il est per-pendiculaire à (d) .

A

M NI(d)

(d’)


54 (d)

3 cm4 cm

O

A�

55 1. C’est Chloé qui dit vrai .

2. Réponse d’Erwan :Visiblement l’angle AIO est un angle droit, donc AIO est un triangle rectangle en I .

Réponse de Chloé :On sait que (d2) ⊥ (d4) et que (d3) ⊥ (d4) . On en déduit que (d2) // (d3) .On sait, de même, que (d1) ⊥ (DC) et que (d2) ⊥ (DC) . On en déduit que (d1) // (d2) .Ainsi, (d1) // (d2) // (d3) .Par ailleurs, on sait que (AO) ⊥ (d3) .Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendi-culaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre .On conclut alors que (AO) ⊥ (d1) . Le triangle AOB est donc bien un triangle rectangle en O .

56 1. Le positionnement de (d’) n’est pas précis . Les points de contact de (d’) avec les deux demi-cercles relèvent du tâtonnement . Ils n’ont pas été construits en suivant une méthode rigoureuse .2. Autre méthode :– Construire la perpendiculaire à (d) passant par A .– Tracer un cercle de centre A et de rayon 5 cm . Celui-ci coupe cette perpendiculaire en E et F .– Tracer la droite (d), parallèle à (d’) et passant par l’un des points E ou F .Ainsi, tout point de (d’) est bien situé à 5 cm de (d) .


57

38,2 m

6 m

38,2 m80 m

58 1. (AD) 2. (AD) 3. 2

4. (AB) intersects (ED) because (AB) and (ED) are not parallels .

5. (CD) ⊥ (AD) because (AB) is parallel to (CD) and (AD) is perpendicular to (AB) .

6.

DA

C EB2 cm

3 cm

5 cm

■ Tâche complexeDans la figure suivante, les points indiquent où sont situées la maison du Sorcier (au croisement de l’avenue des Géants et de la route du Gouffre Saint-Georges) et l’Armurerie (au bord de la rue du Cyclope) .Hormis les distances qui les séparent du centre du belvédère, les indices utilisés pour la localisation de ces adresses sont :– la rue rectiligne bordant l’armurerie (doc . 2 ➀) ;– le croisement routier devant la maison du sorcier (doc . 2 ➁) .

L’armurerie

La maisondu sorcier


59 Il s’agit d’une illusion d’optique . En effet, toutes les droites rouges sont parallèles deux à deux .On peut le vérifier en faisant coulisser une équerre le long d’une règle comme dans l’étape 2 du « Je comprends » p . 134, Objectif 2 .

62

63 Malik, au téléphone, dit à Chloé :– Trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm .– Trace un diamètre [BD] de ce cercle .– Trace un deuxième diamètre [MC], perpendiculaire à [BD] .– Place un point A tel que M soit le milieu du segment [AD] .– Trace le segment [AB] .

64

Ibis sacréSphinx 100 m

Nil

70 m50 m

55 m 65 m

70 mT

■ Avec un logicielActivité 1. Parallèles et perpendiculaires• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève utilise les fonctionnalités de GeoGebra pour tracer la perpendiculaire ou la parallèle à une droite passant par un point donné . La mesure et le codage de l’angle droit, réalisés par le logiciel, permet aisé-ment de conjecturer la propriété affirmant que « si deux droites sont parallèles alors, toute perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre » .

• Correction

C

A

E

B

D

90°

90°

6. b. La parallèle à la droite (AB) semble perpendiculaire à (AB) .7. b. DCE 90 = ° ce qui confirme la perpendicularité des droites (EC) et (DC) .c. La construction de (EC) permet de vérifier la propriété disant que « si deux droites sont parallèles, alors toute per-pendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre » .

Activité 2. Des cercles pour construire un triangle• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève appréciera la facilité avec laquelle les outils du logiciel de géométrie dynamique lui

60

61

5 km3 km

4 km

B

F

P

MA C

Notons M, C, P et F les positions de Marius, du collège, de la Poste et de Fanny .– F et M sont sur un même cercle de centre C et de rayon 4 .– F n’appartient pas au disque de centre M et de rayon 4 .

Puisque 3 CP PF PM 5= < < = , alors :– F n’appartient pas au disque de centre P et de rayon 3 .– F appartient au disque de centre P et de rayon 5 mais pas au cercle de même centre et de même rayon .

Finalement, Fanny habite quelque part sur l’arc de cercle AB , exceptés les points A et B, représenté en noir sur la figure .


62


4. d. H est situé à la fois à 2 cm de (AB) et 3 cm de (BC) . Il remplit donc les conditions de distances annoncées pour (AB) et (BC) .e. Trois autres points remplissent ces mêmes conditions . Il s’agit des points d’intersection de :– la parallèle à (AB) passant par E et de la parallèle à (BC) passant par F ;– la parallèle à (AB) passant par D et de la parallèle à (BC) passant par G ;– la parallèle à (AB) passant par D et de la parallèle à (BC) passant par F .

Activité 4. Un escalier !• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité vise à utiliser certaines fonctionnalités du logi-ciel Scratch pour construire, à un niveau élémentaire, deux segments consécutifs et perpendiculaires . L’élève se familia-rise ainsi avec certaines instructions de mouvement telles que la translation et la rotation .Pour aller plus loin, il serait envisageable de faire construire à l’élève un algorithme répétant n fois l’ensemble des instruc-tions de mouvement de l’algorithme précédent . L’écriture d’un tel algorithme devenant vite complexe, l’introduction d’une boucle « Répéter n fois » pourra s’avérer alors très utile en simplifiant sensiblement l’écriture de l’algorithme . On pourra trouver, en fin de correction de cette activité, un tel algorithme dans lequel une instruction de « Pause » a été ajoutée, afin de permettre à l’élève de décomposer visuel-lement le parcours du petit chat .

• Correction2. Le parcours du petit chat :

3. a. Cette instruction permet de positionner le petit chat au centre de la scène .b. Cette instruction indique au petit chat qu’il doit se posi-tionner pour un déplacement horizontal vers la droite .

Complément : Exemple d’algorithme répétant 3 fois le par-cours du petit chat :

permettront de construire en très peu de temps, et avec un maximum de précision, un triangle de dimensions don-nées . La définition mathématique du cercle est pleinement mise à contribution pour la construction du troisième som-met du triangle, situé à des distances différentes des deux autres sommets .

• Correction

A

B

C

3 5

6

Activité 3. Combien de points ?• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, après avoir construit deux droites sécantes, l’élève va devoir déterminer les points situés simultanément à une distance d de l’une et d’ de l’autre . La première partie de l’activité, questions 1. à 3., vise d’abord à construire, pour chacune des deux droites, deux points distincts situés à une distance d de la première et d’ de la seconde . Dans la partie suivante de l’activité, l’élève construit les points remplissant simultanément les deux conditions .La construction étant complexe à réaliser sur papier uni, l’élève appréciera ici les fonctionnalités du logiciel pour réaliser aisément les constructions demandées mais, éga-lement, pour masquer certains objets d’étayage (cercles et droites) rendant ainsi l’environnement de travail moins chargé et la figure plus facile à appréhender .

• Correction

A

B

E

H

a

D

G

C b

F

Hb = 3Ha = 2

65Chapitre 8 • Rapporteur – Angles

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels .• Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques .• Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux .• Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesure spécifiques de ces grandeurs .



Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimauxUtiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

Identifier des angles dans une figure géométrique .

Comparer des angles .

Reproduire un angle donné en utilisant ungabarit .

Reconnaitre qu’un angle est droit, aigu ou obtus .

Utiliser un instrument de mesure (le rapporteur) et une unité de mesure (le degré) pour :

• déterminer la mesure en degré d’un angle ;• construire un angle de mesure donnée en degrés .– Lexique associé aux angles : angle droit, aigu, obtus .– Mesure en degré d’un angle .

Avant le travail sur les mesures, établir des relations entre des angles (sommes, partages, référence aux angles du triangle équilatéral, du triangle rectangle isocèle) .

Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure (par superposition, avec un calque) .

Différencier angles aigus et angles obtus .

Estimer la mesure d’un angle, par exemple à 10° près, et vérifier à l’aide du rapporteur .

Utiliser des gabarits d’angles, l’équerre, le rapporteur . Le rap-porteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des figures .

II. Contexte du chapitreAu primaire, il s’agit d’estimer et de vérifier, en utilisant l’équerre si nécessaire, qu’un angle est droit, aigu ou obtus, de comparer les angles d’une figure puis de reproduire un angle, en utilisant un gabarit . Ce travail est poursuivi au collège, où l’on introduira une unité de mesure des angles et l’utilisation d’un outil de mesure (le rapporteur) .

Rapporteur – Angles

8

66

Activité 2. Mesurer des angles• Considérations didactiques et mise en pratiqueUne activité qui montre ce qu’il ne faut pas faire et ainsi pro-céder à l’analyse de l’erreur . Quatre situations de mesure avec le rapporteur sont représentées . Deux d’entre elles illustrent des erreurs de lecture assez classiques dans l’usage de l’instrument :– lecture de la mesure sur la mauvaise graduation ;– lecture d’une sous-dizaine dans le mauvais sens . L’élève est habitué à lire de la gauche vers la droite . Il va, par exemple, lire 84° au lieu de 76° .

• Correction1. Les mesures sont correctes dans les cas b. et d.

Activité 3. Construire des angles• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité détaille pas à pas la technique de construc-tion d’un angle .


■ Objectif 1. Reconnaitre et mesurer un angleJe m’entraine

1 AOB = 28°, EOF = 11°, BOC = 53°, EOD = 37°, BOD = 104°

et BOE = 141° .

2 a. BMA b. Jaune : PMR ou PMN ; bleu : PRN .

3 Mauve : 45° ; brun : 130° ; rose : 75° ; gris : 115° ;vert : 55° ; jaune : 43° .


4 Exercice autocorrectif .

5 BAD = 90°, CBD = 45°, BCD = 114°, CDA = 41° .





Vidéo « Je comprends » : Mesurer un angle Vidéo « Je comprends » : Construire un angle


Tâche complexe Carte du ciel à télécharger

Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier GeoGebra Activité 3 : 1 fichier Scratch



1 , 2 , 3 et 4 À vérifier sur le cahier de l’élève .

5 ➀ et ➃ ; ➂ et ➆ ; ➁, ➄, ➅, ➇ et ➈ .

6 ➂

7 ➀

8 ➁, ➂, ➄, ➅, ➆, ➇, ➈ .

9 ➀ et ➃ .

10 ➉

■ Cherchons ensembleActivité 1. Découvrir la notion d’angle• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour objectif d’aborder l’utilisation du rap-porteur sans la contrainte des mesures . En effet, l’absence d’unité marquée sur le gabarit permet à l’élève de positionner plus facilement l’instrument . Par ailleurs, les flèches évitent les erreurs de lecture dues à la double graduation des rap-porteurs vendus dans le commerce . Dans un premier temps, l’élève va travailler la notion d’ouverture mise en scène avec des portes plus ou moins ouvertes . Après avoir procédé à des observations scrupuleuses du « rapporteur du com-merce », les élèves pourront associer l’ouverture des portes à leur mesure d’angle et ainsi, pour ceux qui le souhaitent, tenter des mesures avec le « rapporteur du commerce » .

• Correction

2. 6, 5, 2, 1, 3, 4 .

4. Porte 1 : 60°Porte 2 : 50°Porte 3 : 80°

Porte 4 : 100°Porte 5 : 30°Porte 6 : 20°


– Tracer la médiatrice du segment [AB] . Sur cette droite, placer les points D et E à 2 cm du point d’intersection de la médiatrice avec le segment [AB] .

24 Le triangle 1 ne peut pas être construit .Le triangle 2 peut être construit .


25 B

26 B

27 A

28 C

29 B

30 C

31 C

32 C

33 B

34 B

35 1. Par exemple, OGF .

2. Par exemple, FOG .

3. Par exemple, EOH .

36 2. CDP, CBD et ACP sont aigus .BOC, AOP et PEA sont obtus .

37

Angles nuls

Angles aigus

Angles droits

Angles obtus

Angles plats

BHF et GAB

HFG, BHG et EFB

ABH EAGEAF

et HBF

38 Vérifier sur le cahier de l’élève .



41 1.C

BA

2,9 cm

31°4,5 cm

2. E

F G45°

6 cm

6 BAC = 121° ; BCD = 130° ; CDA = 41° .

7 ENP = 57° ; PMN = 32° ; FEP = 90° ; MQP = 131° ; NPE = 32° ; FQM = 131° ; MEP = 180° .


9 L’angle est de 72°, l’échelle est correctement placée .

10 Noms et mesures à vérifier sur le cahier de l’élève .

■ Objectif 2. Construire un angle de mesure donnéeJe m’entraine

11 Les triangles 1 et 3 sont constructibles ; le 2 ne l’est pas .









19 1. et 2.d2 d1

d3

A

37°

3. 53°, 127°, 53° et 127° . On constate que les angles sont deux à deux égaux .



22 Les dimensions réelles du terrain sont 50 m, 31 m et 48 m .

23 Programme de construction– Tracer un triangle ABC isocèle en C tel que AB = 2 cm et ABC = 70° .

68

49

AB

C

D

EF

G

H

O

50 Tracé à vérifier sur le cahier de l’élève . Programme de construction :– Construire un triangle ABC rectangle en B tel que : AB = 3,4 cm et BAC = 36° .– Placer le point D tel que C soit le milieu de [BD] .– Finir de tracer le triangle ABD .

51 JMI = 180 – 122 = 58° et JLM = 90 – 52 = 38° .

52 1. MBC = 64 – 26 = 38°

2. AMB = 180 – 74 = 106°

53 En construisant le triangle en vraie grandeur, on mesure 45° pour les deux angles marqués . On en déduit que le triangle rouge est un triangle rectangle et isocèle .

54 La hauteur de la cathédrale de Strasbourg est d’environ 141 m .


55 1. 2. 3. Tracé et mesures à vérifier sur le cahier de l’élève .

4. On parle de tir à angle fermé lorsque le joueur est placé en M ou en P .

56 Tracé à vérifier sur le cahier de l’élève .72°, 72° et 36° . Deux angles sont égaux et le triangle DIJ est isocèle en D .

57 Citroën : 123 000Renault : 261 000Peugeot : 176 000

3. I

JH5,3 cm

4.

K

M

L6,4 cm

25°



2. L’angle CAI est aigu .

3. b. L’angle AMI est aigu .

43 1.

Angle nul

Angle aigu

Angle droit

Angle obtus

Angle plat

12 h 002 h 005 h 15

3 h 002 h 35 4 h 006 h 55

6 h 00

2. 30° : 1 h 00150° : 5 h 00







■ Avec un logicielActivité 1. La route infinie• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité est un exercice de construction passant par le tracé de nombreuses droites définies par des angles . L’intérêt de cet exercice est de travailler le vocabulaire en géométrie et la lecture d’énoncé en se dégageant sur le logiciel des manipulations des instruments .Par le mode « Trace », le logiciel permet de générer en un coup de souris une multitude d’arbres et ainsi d’obtenir l’ef-fet de perspective de la route .

• CorrectionÀ vérifier dans le fichier de l’élève .

Activité 2. Angles dans un polygone• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de permettre d’assimiler la notion de mesure d’angles en « manipulant » des figures . Le fait de pouvoir observer une multitude de figures donne la possibilité de conjecturer les résultats . En passant par le « cas limite » (l’angle droit), l’élève crée les plus petits angles afin d’en obtenir le maximum . Il constate par exemple que, dans le cas du triangle, le résultat est très « singulier » !L’élève peut ainsi développer une appréciation plus intui-tive de la mesure d’un angle par l’observation .

• Correction

Triangle (3 côtés)

Quadrilatère (4 côtés)

Pentagone (5 côtés)

Hexagone (6 côtés)

Nombre maximal

d’angles obtus observés

1 3 5 6

Activité 3. Un cercle avec des angles• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’idée de cet exercice est de construire des polygones pos-sédant un nombre de côtés de plus en plus grand afin d’approcher le cercle .

• Correction

■ Tâche complexeAprès avoir téléchargé la carte du ciel, les élèves pourront choisir une constellation à reproduire . Il faudra orienter les élèves les plus faibles vers des constellations faciles à reproduire . Ils pourront ensuite télécharger la constella-tion qu’ils ont choisie .La démarche consiste à mesurer sur le modèle les distances entre les étoiles et les angles formés par les segments de la constellation . Pour les élèves les plus doués, on pourra exi-ger une reproduction à l’échelle . Cela sera l’occasion de leur rappeler qu’un angle ne dépend pas de l’échelle choisie .Voici l’exemple de la Grande Ourse :

3,6 cm

A

M 2,3 cm 2,9 cm

2,5 cm 4,3 cm

2,6 cm

149° 137° 109°

100°

175°


58 Tracé à vérifier sur le cahier de l’élève .

59 On commence par construire un triangle équilatéral . Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60° . Ensuite, il faut partager un des angles du triangle en deux angles de même mesure . Pour cela, on construit à l’aide du com-pas le milieu du côté opposé à l’angle choisi .

60 L’aire du rectangle est environ égale à 50 cm2 .


61 À vérifier sur la copie de l’élève .

62

I

N

M

P

C

A B40° 50°

71Chapitre 9 • Symétrie axiale

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures usuelles .• Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques .



Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures usuelles

Reproduire, représenter, construire des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) .

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction .

Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique .

Situations de reproduction ou de construction mobili-sant des gestes élémentaires de mesurage et de tracé et des connaissances sur les figures usuelles .


Les éléments de vocabulaire associés aux objets et à leurs propriétés sont introduits et utilisés en contexte pour en préciser le sens .

Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques

Effectuer des tracés correspondant à des relations de per-pendicularité ou de parallélisme de droites et de segments .

Compléter une figure par symétrie axiale .

Construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe donné, que l’axe de symétrie coupe ou non la figure, construire le symétrique d’une droite, d’un segment, d’un point par rapport à un axe donné .

– Figure symétrique, axe de symétrie d’une figure, figures symétriques par rapport à un axe .– Propriétés de conservation de la symétrie axiale .– Médiatrice d’un segment .

Situations conduisant les élèves à utiliser des techniques qui évoluent en fonction des supports et des instruments choisis ; par exemple pour la symétrie axiale, passer du pliage ou de l’utilisation de papier calque à la construc-tion du symétrique d’un point par rapport à une droite à l’équerre ou au compas .

Exemples d’instruments : règle graduée, équerre, com-pas, papier calque…

Exemples de supports variés : papier quadrillé, papier pointé, papier uni…

Exemples de matériels : papier/crayon, logiciels de géo-métrie dynamique, d’initiation à la programmation…

II. Contexte du chapitreLe thème de la symétrie axiale a été abordé au primaire sur une base expérimentale en utilisant l’outil support qu’est le papier calque pour identifier, par pliage, les axes de symétrie éventuels d’une figure, puis le support papier quadrillé pour tracer ou compléter la figure symétrique d’une figure par rapport à une droite donnée ou, encore, pour compléter une figure par symétrie axiale .

Symétrie axiale

9

72

6

(d)

7

(d1)

En classe de 6e, ces compétences sont à nouveau mises en œuvre cette fois sur papier uni, en utilisant les outils usuels que sont la règle, l’équerre et le compas, ou sur support informatique, en utilisant un logiciel de géométrie dynamique . Pour y parvenir, l’élève exploite la définition de la médiatrice d’un segment pour construire le symétrique d’un point, ou d’un ensemble de points, par rapport à une droite . Les propriétés de conservation de la symétrie axiale sont également soulignées et mises en œuvre pour construire ou compléter des figures symétriques sur papier uni . Enfin, les propriétés d’équidistance de la médiatrice sont mises à profit dans le cadre d’exercices qui leur donnent du sens tels que le partition-nement d’une région ou encore la construction du centre d’un cercle .



Cherchons ensemble Fichiers textes modifiables des activités Activité 3 : fichier GeoGebra corrigé pour l’enseignant


Vidéo « Je comprends » : Construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite Vidéo « Je comprends » : Compléter une figure par symétrie axiale Vidéo « Je comprends » : Construire une médiatrice avec le compas


Exercices

Ex . n° 8 - Image à télécharger et imprimer - Fichier pour l’élève Ex . n° 27 - Paysage à télécharger et imprimer - Fichier pour l’élève Ex . n° 56 - Plan du jardin à imprimer - Fichier pour l’élève Ex . n° 57 - Figures à imprimer - Fichier pour l’élève

Tâche complexe Plat antique en fragments - Doc . 1 à imprimer - Fichier pour l’élève Plat antique reconstitué - Fichier corrigé pour l’enseignant

Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier GeoGebra Activité 2 : 1 fichier GeoGebra Activité 3 : 1 fichier GeoGebra Activité 4 : 2 fichiers GeoGebra


■ Avant de commencer1 a.

2 b.

3 d.

4 Le carré possède 4 axes de symétrie .

5 (d1) et (d4)


3. a. b. c. d. et e. Voir figure .f. (d’) est la médiatrice de [CD] .g. On peut conjecturer que tout point situé à égale dis-tance des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment .

Activité 2. Construire le symétrique d’un point par rapport à une droite• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité vise à passer de la perception qu’a l’élève du symétrique d’un point obtenu par pliage selon une droite, à une définition géométrique ayant recours à des instru-ments . La définition du symétrique d’un point par rapport à une droite fait intervenir la médiatrice du segment ayant pour extrémités ce point et son symétrique .

• Correction

1. a., b. et c. Voir figure .d. Après vérification à l’équerre, on remarque que [AA’] et (d) sont perpendiculaires .e. O est le milieu de [AA’] .f. On en déduit que (d) est la média-trice de [AA’] .

2. a., b. et c. Voir figure .d. Par pliage le long de (d), les points B et B’ sont confondus .e. On peut conjecturer que si deux points sont symétriques par rapport à une droite, alors cette dernière est la médiatrice du seg-ment ayant ces deux points pour extrémités .

Activité 3. Découvrir les propriétés de la symétrie axiale• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, certaines propriétés de la symétrie axiale sont mises en évidence en impliquant l’élève dans des constructions et un jeu de questions-réponses . L’élève retiendra alors que la symétrie axiale conserve notamment l’alignement des points, les longueurs et les angles . Il verra aussi que le symétrique du centre d’un cercle est aussi le centre du cercle symétrique et que les points de l’axe de symétrie sont invariants par symétrie axiale .

(d)

A

OA’

(d)A

BI

OA’

B’

8 (d2)

9

(d3)

10 (d4)

■ Cherchons ensembleActivité 1. Découvrir la médiatrice d’un segment et ses propriétés• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette première activité a pour objectif de faire découvrir la médiatrice d’un segment et ses propriétés . Dans la ques-tion 1., l’élève prend connaissance de la définition d’une médiatrice et apprend à la construire à la règle et à l’équerre .Dans la question 2., l’élève est amené à conjecturer une pre-mière propriété de la médiatrice, celle qui affirme que tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce dernier .Enfin, la troisième question demande à l’élève de conjec-turer la propriété réciproque, à savoir que tout point situé à égale distance des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment .

• Correction

1. et 2. Voir figure .

2. a. Par pliage selon la droite (d), on remarque que AP = BP .b. On peut conjec-turer que tout point situé sur la média-trice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment .

BO

P

A

(d)

C I D

N

M 5 cm5 cm

3 cm 3 cm

(d’)

74

3. Figure finale : symétriques des 6 objets de la figure pré-cédente par rapport à (d2) .

(d1)

(d2)

■ Objectif 1. Connaitre et utiliser les propriétés de la médiatrice d’un segmentJe m’entraine

1 a. Faux b. Triangle isocèle en M . c. Vrai

2

VI

J

U 3 cm

4 cm

3. (IJ) est la médiatrice de [UV] .

3 Les points A et H appartiennent à la médiatrice de [MN] .

4

R S


5 1. et 2.

AO

B

C

• Correction

(d)

B’

C’E’

A’

D’

B

C

E5

5

5

5

5

5

A

D

60°

60°

2. b. Les symétriques de plusieurs points alignés sont éga-lement alignés .

3. b. Le point B et son symétrique B’ sont confondus .c. AB = A’B’, AC = A’C’ et BC = B’C’ .d. On peut donc conjecturer qu’un segment et son segment symétrique ont la même longueur .

4. Le symétrique du cercle de centre A et de rayon 3 par rapport à (d) est le cercle de centre A’ et de même rayon .

5. a. Le symétrique de l’angle CBA est l’angle ′ ′ ′C B A . Il mesure également 60° .b. On peut dire que deux angles symétriques par rapport à une droite ont la même mesure .

Activité 4. Construire une figure à partir de ses axes de symétrie• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève est amené à compléter une figure de telle sorte que celle-ci admette pour axes de symé-trie deux droites données au départ . La méthode utilisée consiste, dans un premier temps, à construire le symétrique de la figure par rapport à l’une de ces deux droites puis, dans un deuxième temps, de construire le symétrique de la figure précédemment obtenue par rapport à la deuxième droite . Les deux droites forment alors les axes de symétrie de la figure finale .

• Correction

2. Symétriques des trois objets initiaux par rapport à (d1) .

(d1)

(d2)


3. O est sur la médiatrice de [AM] et de [MB] donc O est équi-distant des points A, M et B . On peut en déduire que ces trois points sont sur un même cercle de centre O et de rayon OA .

4. a. OA ≈ 40 mm .b. La longueur réelle du rayon de courbure est de 40 m .

9 P

3 cm

R

(d)

■ Objectif 2. Tracer le symétrique d’une figure par rapport à une droite

Je m’entraine

10 a. Oui : tout point situé sur une droite (d) a pour symé-trique lui-même par rapport à cette droite .b. Le point C est le symétrique du point A par rapport à une droite passant par O, milieu de [AC], et perpendiculaire à (AC) . Il s’agit donc de la médiatrice de [AC] .

11 A

CB

(d) B’

A’

C’

12 1. et 2.

(d)

A

B

A’

B’

3. A’B’ = AB

13 (d)

3. O appartient à la médiatrice de [AB] donc O est équidis-tant de A et B . Ainsi, OA = OB .De même, O appartient à la médiatrice de [BC] donc O est équidistant de B et C . Ainsi, OB = OC .Les points A, B et C sont donc tous à la même distance du point O . Ils appartiennent ainsi au cercle de centre O et de rayon OA .

6 1. Programme de construction– Construire un disque de diamètre AB = 6 cm .– Représenter en vert la partie du disque contenant tous les points plus proches de B que de A .– Représenter en jaune la partie du disque contenant tous les points plus proches de A que de B .– Représenter en bleu la partie du disque contenant tous les points aussi proches de A que de B .

2. La droite passant par les points du segment bleu est la médiatrice de [AB] .

7 1.

E

G

TS

2. On sait que :• ES = ET• GS = GT

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment . On conclut que E et G sont deux points de la médiatrice de [ST] .

8 1. et 2.

B

A

M

O

76

3. a. et 3.b.

F

I

K

E

R

L J

17

Erratum. Malgré notre vigilance, il se peut que dans cer-tains manuels, la figure présente une erreur . En effet, le point d’impact de la bille n’est pas le milieu du coté, comme dans le cas particulier ci-dessous, mais est quelconque comme présenté dans le cas général .

1. et 2.Cas général

45° I

(T1)(T2)

(T3)

(T4)

Après le 3e rebond : (T1) // (T3) et (T2) // (T4) .

Cas particulier : I est au milieu d’un côté .

45° I

(T1)(T3)

(T2)

Après le 2e rebond : (T2) et (T3) sont confondues et de sens contraires . Le 3e rebond est difficile à obtenir dans ce contexte .

18 (d)


14 1. Programme de construction– Tracer un segment [EA] tel que EA = 6 cm .– Placer le milieu O de [EA] .– Construire un triangle AOB, rectangle en O, tel que OB = 6 cm .– Placer un point F sur la demi-droite [BO) tel que BF = 9 cm .– Tracer un quart de cercle de centre O et d’extrémités E et F .– Tracer la droite (d) passant par A et B .

2. et 3. (d)

B

F

OE

AF’

E’

O’

15 1. La construction de Julien n’est pas exacte . En effet, O’ n’est pas le symétrique de O par rapport à (UI) car (UI) n’est pas la médiatrice de [OO’] . Même raisonnement avec les points S et S’ .

2. O U

S IR

O’

U’R’

S’

16 1. et 2. a.

F

I

E

R

2. b. FIRE et un losange . En effet, [FE] est le symétrique de [FI] et [SE] le symétrique de [IR] . On en déduit que FI = FE et IR = RE . Puisque FI = IR, alors les quatre côtés du quadri-latère sont égaux . FIRE est donc bien un losange .


e.

24

(d) (d’)

A B45°

25 Programme de construction– Tracer, en violet, un triangle équilatéral T1 de côté 28 mm .– Tracer un axe de symétrie (d1) de ce triangle .– (d1) coupe l’un des côtés du triangle en son milieu I ; pla-cer I .– Placer un point O sur (d1), à l’extérieur de T1, tel que OI = 16 mm .– Tracer la droite (d2) perpendiculaire à (d1) passant par O .– Tracer une droite (d3) passant par O et formant un angle de 45° avec (d2) .– Tracer la droite (d4) passant par O et perpendiculaire à (d3) .– Tracer, en orange, un disque de centre O et de rayon OI .– Tracer, en bleu, un disque de centre O et de rayon 5 mm .– Tracer, en vert, un disque de centre O passant par le som-met de T1 situé sur (d1) .– Compléter la figure afin qu’elle admette les droites (d1), (d2) (d3) et (d4) comme axes de symétrie .

26 La réponse de Marion n’est pas correcte . Les droites (BH) et (EK) ne sont pas des axes de symétrie du polygone vert . En effet, le symétrique du point L par rapport à (BH) ou par rapport à (EK) n’appartient pas à ce polygone .

27 1. Cette image n’admet pas d’axe de symétrie . En effet, chacun des objets qui la constituent, arbres ou édifice, admet un symétrique par rapport à un axe qui lui est propre et qui n’est donc pas commun à tous les objets .

2. Une bordure possible pour le lac :

Les deux triangles sont disposés l’un sur l’autre formant une étoile à 6 branches

■ Objectif 3. Construire ou compléter une figure à partir de ses axes de symétrieJe m’entraine

19 a. 4 axes de symétrie .

b. 1 axe de symétrie : la bissectrice de AOB .c. Le cercle possède une infinité d’axes de symétrie : les droites passant par le centre du cercle .

20

21 (d)

22

(d)(d’)

E

P A

G


23 2.

a.

b.

c.

d.

Les deux triangles sont superposés .

78

– Placer un point J sur [PA] tel que JA = 2 cm .– Tracer la droite (d) passant par I et J .

2. et 3. a.

(d)

(d’)

AJ

I R

R’

C’

C

P 6 2

23 5

A’

P’

b. La droite (d’) n’est pas un axe de symétrie du rectangle P’A’R’C’ . En effet, le symétrique du point P par rapport à (d’) n’est pas un point du rectangle P’A’R’C’ .

43

120°

60°

20°

C

A

B

O O’

(d)A’

C’

B’

44 1. et 2. a. A B

(d)(d’)

O

60°

b. La figure obtenue est un hexagone régulier dont chaque côté mesure 4 cm . Elle possède exactement 6 axes de symétrie .

28 2. a.

b. Nous pouvons trouver une infinité de situations répon-dant à ce critère . Par exemple, deux droites perpendiculaires quelconques peuvent constituer des axes de symétrie de la figure effacée .

29 Programme de construction– Tracer, en bleu, un triangle équilatéral ABC de côté 6 cm .– Tracer la droite (d) passant par les milieux des côtés [AB] et [BC] .– Construire, en vert, le symétrique EDF du triangle ABC par rapport à (d) .


30 C

31 C

32 C

33 C

34 C

35 A

36 B

37 B

38 B

39 C

40

O

C

B

A

(d)

(d’)

41 A

M

ND

B

C

42 1. Programme de construction– Tracer un rectangle PARC tel que PA = 8 cm et PC = 2 cm .– Placer un point I sur [CR] tel que CI = 3 cm .


– Construire la coque (les deux triangles bleus) .– Construire la voilure (les deux triangles jaunes) .

49 1. La construction de Teddy est le symétrique de la figure par rapport au point O .

2.

C’T’

CT

O(d)

50 1.

OE F

(d)(d1) (d2)

2. a. Par définition, le point F est le symétrique de E par rap-port à (d) . Par ailleurs, (d2) étant le symétrique de (d1) par rapport à (d), alors tout point de (d1) a pour symétrique un point de (d2) . On en déduit que F appartient à (d2) .b. Puisque (d1) ⊥ (EF) et (d) ⊥ (EF), alors (d1) // (d) . On en déduit que tout point M de (d1) est à une même distance de (d), soit 4 cm . Le symétrique M’ de M est tel que (d) est la médiatrice de [MM’] . On en déduit alors que M’ est éga-lement à 4 cm de (d) . Ainsi, tous les points de (d2) sont à une même distance de (d) . Conclusion : (d2) // (d) // (d1) .

51 1. a. Arrêt et stationnement interdits .b. Route à caractère prioritaire .c. Obligation de tourner à gauche devant le panneau .d. Interdiction de tourner à droite à la prochaine intersection .e. Intersection où le conducteur est tenu de céder le passage aux véhicules débouchant de la ou des routes à sa droite .f. Interdiction de dépasser les véhicules à moteur autres que ceux à deux roues sans side-car .g. Traversée d’une aire de danger aérien .h. Entrée sur une autoroute .

2. a. Classification des panneaux par nombre d’axes de symétrie :

Nombre d’axes

de symétrie0 1 2 3 4

Panneaux dc, e, f, g, h

aucun aucun a, b

45

45°

45° A

B(d1)

(d2)(d3)(d4)


46

(d1)

(d2)

(d)

O

M RE

I

J

La figure obtenue possède quatre axes de symétrie .

47 Programme de construction– Construire, en vert, un triangle équilatéral AOB de côté 2 cm .– Tracer la droite (d1) parallèle à (AB) et passant par O .– Construire, en jaune, le symétrique DOE du triangle AOB par rapport à (d1) .– Tracer la droite (d2) passant par A et D .– Construire, en jaune, le symétrique AFO du triangle ABO par rapport à (d2) puis, en vert, le symétrique OCD du triangle OED par rapport à (d2) .– Construire, en vert, le symétrique OEF du triangle OAF par rapport à (d1) puis, en jaune, le symétrique OBC du triangle ODC par rapport à (d1) .

48 Pour la construction du navire, on peut suggérer de suivre l’ordre suivant :– Construire le segment [AG] et sa médiatrice (HD) .

80

54 A

B

EF

F’

F’2

F’1

E’1

D’

E’

D

C

55

1. a. et b.

(d)

(d’)

2.

(d)

(d’)

3.

(d)

(d’)

b.Circulation interdite à tout véhicule dans les deux sens .

52

P

T O(d1)

(d2)

53 1. et 2. a.

A9 cm

Voie ferrée

10 cm

3 cm

B

G

B’

2. b. Le segment [GB] a pour symétrique [GB’] .La symétrie axiale conservant les distances, on en déduit que GB = GB’ et par conséquent l’égalité AG + GB = AG + GB’ .c. La distance AG + GB est minimale lorsque les points A, G et B’ sont alignés . La gare G est donc située à l’intersection de la droite représentant la voie ferrée avec (AB’) .



59 Les 7 erreurs sont :– le nombre de barreaux sur les échelles ;– l’oreille du chien ;– la haie vert foncé présente uniquement sur le dessin de droite ;– la fenêtre de la cabane ;– le nombre de corbeaux ;– la branche derrière le toit de la cabane uniquement sur le dessin de droite ;– la couleur des cheveux du petit garçon .

60 Il y a deux possibilités :a.

(d)

A T

M

8 cm

On prolonge l’axe de symétrie (d) ainsi que le côté horizon-tal . Leur intersection est le point A .On construit alors le segment [AT] de 8 cm puis, son symé-trique par rapport à (d) en traçant la perpendiculaire à (d) passant par T .


56

O

(d1)

(d2)

57

a b c d

58 a. Aucun axe de symétrie .b. Quatre axes de symétrie : les deux diagonales et les deux médiatrices .

■ Tâche complexeImprimer sur feuille A4 le fichier M6_09_TC.pdf après l’avoir téléchargé à partir du site compagnon ou sur manuel numérique .

Mode opératoire

1. Construction du centre du plat– Sélectionner le plus grand tesson périphérique et le col-ler au voisinage d’un bord d’une feuille A4 .– Marquer trois points A, B et C sur son périmètre extérieur .– Tracer les médiatrices de [AB] et de [BC] et marquer le centre du plat .– Tracer alors le cercle ayant pour centre le centre du plat et passant par les points A, B et C .

2. Positionnement des tessons– Tracer trois axes de symétrie passant par les centres des olives vertes et le centre du cercle .– Positionner le tesson du bassin octogonal de façon à faire coïncider les axes de symétrie tracés dans l’étape précé-dente avec ceux du bassin lui-même, puis coller le tesson .– Positionner les deux autres tessons le long de la circonfé-rence du cercle en veillant à ce que les axes de symétries déjà tracés passent par les centres des olives vertes et que les parties du bassin qu’ils contiennent soient cohérentes avec le tesson central .

82

b.

(d)

MT

A

8 cm

4 cm

On prolonge l’axe de symétrie (d) ainsi que le côté horizon-tal . Leur intersection est le point M .On trace ensuite une parallèle à (d) distante de 4 cm . L’intersection de cette parallèle avec la demi-droite d’ori-gine M portant le côté du triangle est le point T . On construit alors le symétrique de [MT] par rapport à (d) en traçant la perpendiculaire à (d) passant par T . On obtient le point A tel que AT = 8 cm .

61 Il y a deux possibilités .a. Les trois points ne sont pas alignés :

A

B

C

O

(d1)

(d2)

(d3)

(d1), (d2) et (d3) sont les médiatrices des côtés du triangle ABC . Elles sont concourantes en O .b. Les trois points sont alignés :

AB

C

(d1) (d2)(d3)

(d1), (d2) et (d3) sont les médiatrices respectives des seg-ments [AB], [BC] et [AC] . Elles sont parallèles deux à deux .


62 1. a. A b. I c. (FD)

2. a. BIH b. DEF

3. a. IDCB b. IBAH

63 1. Programme de construction– Tracer, en jaune, un demi-cercle de rayon 2 cm et de dia-mètre [AB] .– Tracer la médiatrice de [AB] . Elle coupe le demi-cercle en L et [AB] en I .– Placer sur la demi-droite [LI) le point O tel que IO = 4 cm .– Tracer, en bleu, la demi-droite [AO) .– Placer un point E sur [AO) tel que OE = 2 cm et [ ]∉E AO .– Tracer la droite (d) perpendiculaire à (AO) et passant par E .– Tracer, en bleu, la demi-droite [BO) . Elle coupe (d) en G .

2. et 3.

L

B

A

I

OE

G

2 cm4 cm

2 cm

(d)

■ Avec un logicielActivité 1 : Déterminer le bon cercle• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité vise à utiliser la propriété d’équidistance des points de la médiatrice d’un segment pour identifier le centre du cercle passant par trois points non alignés . Les fonction-nalités du logiciel permettent de tracer aisément et avec une grande précision un tel centre, permettant ainsi à l’élève de s’affranchir, le temps de cette activité, des constructions à la règle et au compas pour se concentrer uniquement sur la propriété elle-même .

• Correction

1. et 2. a.

O

C

B

A

b. O appartient à la médiatrice de [AB] . D’après la propriété d’équidistance, on déduit que OA = OB .De même, O appartenant à la médiatrice de [BC], il s’en suit que OB = OC . Conclusion : O est équidistant des points A, B et C .


c. Le cercle de centre O passant par A passe aussi par les deux autres points B et C .d. En déplaçant les points, on parvient toujours à cette même conclusion, tant que ces trois points restent non alignés .Dans le cas contraire, les deux médiatrices sont parallèles et le point O n’existe pas .

Activité 2 : Un pingouin devant sa glace• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève se familiarise avec différents outils du logiciel de géométrie dynamique pour construire autre-ment le symétrique d’une figure par rapport à une droite . Elle lui permet de se focaliser sur cette transformation en visualisant immédiatement le résultat de chacune de ses manipulations . Cette activité est un préambule à l’acti-vité 4, dans laquelle il devra utiliser ces mêmes outils dans le cadre d’une figure plus complexe .

• Correction

(d)

Activité 3 : Une figure à découvrir• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans la continuité de l’activité précédente, l’outil « symé-trie axiale » du logiciel permet une construction et une visualisation immédiate du symétrique d’un nombre rela-tivement important d’objets constituant une même figure . Par ailleurs, la multiplication du nombre d’axes de symétrie rend d’autant plus appréciable l’utilisation d’un tel outil .

• Correction

2. a. La figure obtenue a pour axe de symétrie la droite (d) .

(d)

(d’)

b.

(d)

(d’)

c. En définitive, la figure finale admet quatre axes de symétrie .

Activité 4 : Une jolie frise• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité présente quatre étapes de construction d’une frise décorative . Cette figure complexe est obtenue en mul-tipliant de manière conséquente les opérations de symétrie axiale dans un ordre bien déterminé . L’élève réalise alors que l’on peut obtenir de belles constructions grâce à de telles opérations en prenant pour axes de symétrie les côtés des polygones intermédiaires .La première étape est la réalisation d’un triangle isocèle, dont l’angle principal mesure 120°, qui va servir de maillon élémentaire pour la réalisation de l’étape 2 . Cette deu-xième figure est obtenue en construisant le symétrique de ce triangle par rapport à ses deux côtés de même lon-gueur . Le résultat est un triangle équilatéral qui, à son tour, constitue un nouveau maillon de base utilisé pour la réalisa-tion de la figure 3, un hexagone obtenu en reproduisant la figure 2 par symétrie axiale par rapport à ses côtés . La qua-trième et dernière étape est la réalisation de la frise par reproduction de la figure 3, par symétrie par rapport aux côtés de l’hexagone .

• Correction

Étape 1 Étape 2 Étape 3

A B

A’

Étape 4

85Chapitre 10 • Figures usuelles

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter et construire des figures usuelles .• Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques : notions d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angles, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction .



Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire

Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :• des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ;• des figures planes . Premières caractérisations :– triangles dont les triangles particuliers (triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral) ;– quadrilatères dont les quadrilatères particuliers (carré, rec-tangle, losange, première approche du parallélogramme) .

Situations de reproduction ou de construction mobili-sant des gestes élémentaires de mesurage et de trace et des connaissances sur les figures usuelles .


Utiliser des représentations planes de solides (patrons, perspectives, vues de face, de cote, de dessus, …) et représenter des figures planes en traçant des figures à main levée .Les éléments de vocabulaire associés aux objets et à leurs propriétés (solide, polyèdre, face, arête, polygone, cote, sommet, angle, demi-droite, segment, milieu, média-trice, hauteur, etc .) sont introduits et utilisés en contexte pour en préciser le sens : jeu du portrait, échange de messages, jeux d’associations (figures, désignations, pro-priétés, représentations) .

II. Contexte du chapitreLes apprentissages développent la connaissance de figures planes, mais aussi de relations entre objets et de propriétés des objets . Le parallélogramme ne fait l’objet que d’une première fréquentation en 6e et est notamment l’occasion d’un retour sur la notion de parallélisme . Le choix des objets considérés et des relations et propriétés à prendre en compte, les contraintes sur les instruments à utiliser, les gestes à réaliser, les justifications et moyens de validation acceptés permettent d’organiser la progressivité des apprentissages et d’enrichir les procédures de résolution des élèves . Ainsi, ce ne sont pas seulement les tâches qui évoluent d’un niveau à l’autre mais les procédures pour réaliser ces tâches .

Figures usuelles

10

86

Activité 3. Découvrir les propriétés des quadrilatères particuliers• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’objectif de cette activité est de conjecturer les proprié-tés de quadrilatères particuliers relatives aux diagonales . Les manipulations des bandes de papier permettent de rendre dynamiques les représentations géométriques en visualisant une multitude de situations . L’aspect tactile des manipulations facilite la découverte intuitive des proprié-tés . Par ailleurs, l’utilisation des bandes de papier donne la possibilité d’introduire les propriétés en se focalisant sur la position des diagonales puisque le quadrilatère n’est pas visible en tant que tel . Cette position détermine ainsi une condition suffisante pour obtenir le quadrilatère par-ticulier choisi . Par son aspect dynamique, l’activité permet également d’étudier les conditions qu’il faut ajouter à un quadrilatère particulier pour en obtenir un autre .

• CorrectionÀ vérifier en manipulant les bandes de papier .

Activité 4. Construire un quadrilatère particulier• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de réinvestir les connaissances des élèves de début de cycle 3 sur les quadrilatères particuliers .

• CorrectionLa première figure est un carré, la seconde est un losange .

■ Objectif 1. Reconnaitre et construire un triangle particulierJe m’entraine1 Triangle rectangle : ABC

Triangles isocèles : ACM et BCM .Triangle équilatéral : ABN





Vidéo « Je comprends » : Construire un triangle isocèle Vidéo « Je comprends » : Construire un losange


Exercices Ex . n° 20 - Fichier GeoGebra corrigé pour l’enseignant Ex . n° 21 - Fichier GeoGebra corrigé pour l’enseignant

Avec un logiciel

Pour que les élèves travaillent en autonomie : Fiches logiciel (GeoGebra) et tutoriels vidéo

Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 3 : 1 fichier GeoGebra Activité 4 : 1 fichier Scratch



1 c.

2 a. Faux b. Vrai c. Faux


4 b.

5 c.

6 b.

■ Cherchons ensembleActivité 1. Reconnaitre des triangles particuliers• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, il est d’abord demandé de reconnaitre de manière perceptive la nature de triangles particuliers . Les élèves devront ensuite identifier, puis formaliser les propriétés de ces triangles relatives aux côtés et aux angles .


Activité 2. Construire un triangle particulier• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de réinvestir les connaissances des élèves de début de cycle 3 sur les triangles particuliers .

• CorrectionLa première figure est un triangle isocèle, la deuxième figure est un triangle équilatéral .


12 À vérifier dans le cahier de l’élève .

13 Il n’est pas possible de construire un tel triangle, car chacun des angles à la base devrait mesurer 101°, ce qui est impossible .

■ Objectif 2. Reconnaitre et construire un quadrilatère particulierJe m’entraine

14 a. Vraib. Vraic. Vrai

15 Rectangles : KJIC et BCAD .Losanges : IGFC et EFGH .Carré : CDEF






20 Fichier corrigé à télécharger sur le site compagnon : M6_10_Ex20.ggb

1. et 2. Constructions à vérifier en manipulant la souris de l’élève .

3. Le quadrilatère ADBC semble être un rectangle .

21 Fichier corrigé à télécharger sur le site compagnon : M6_10_Ex21.ggb

1. Construction à vérifier en manipulant la souris de l’élève .

2. a. Le quadrilatère n’est pas un losange .b. Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu .

3. Les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur .





26 – OAB est isocèle en O . ABC est rectangle en B .– OAB est rectangle en O . ABC est isocèle en B .

2 Triangles quelconques : ➂ et ➄ .Triangle rectangle : ➁Triangles isocèles : ➀ et ➅ .Triangle équilatéral : ➃

3 Triangle quelconque : ➂Triangles rectangles : ➀, ➄ et ➅ .Triangles isocèles : ➁ et ➅ .Triangle équilatéral : ➃






8 1. (d)D

E

C

A

A’

2. Les triangles BAA’, CAA’ et DAA’ sont isocèles .

9 1. et 2.

C

M

B

A

C’

35°

3. Il existe deux solutions .


11 1. À vérifier dans le cahier de l’élève .

2. Le triangle est rectangle en A .

3. La longueur x de [BC] est environ égale à 12,5 cm .

88

52 1. À vérifier dans le cahier de l’élève .

2. Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur .

53

A

B

S

D

C

P

54 1. Vrai 2. Vrai 3. Faux

4. Faux 5. Faux

55 1. Romane a raison car ce triangle possède des angles à la base qui ont la même mesure . C’est donc un triangle isocèle en M .

2. Son père a tort car ce triangle n’est pas équilatéral .

56 N

C

K J

IB

MA

P

57

C

D

B

A

F

O

E

Les sommets des deux rectangles appartiennent au cercle . En effet, les diagonales des rectangles sont de même lon-gueur et représentent des diamètres du cercle .


– OAB est rectangle et isocèle en O . ABC est rectangle et isocèle en B .


28 Tracé à vérifier sur le cahier de l’élève .Programme de construction :– Construire le rectangle DEFG tel que DE = 5,5 cm et DG = 2,7 cm .– Tracer la diagonale [DF] de milieu O .– Construire la médiatrice du segment [DF] .


29 B

30 A

31 A

32 B

33 B

34 B

35 A

36 C

37 B

38 C




42 On commence par construire le triangle ABC isocèle en C . On prolonge le segment [BC] du côté de B et on place le point F sur la demi-droite [CB) à 3,5 cm de B . On finit en traçant le triangle équilatéral BEF .

43 DPLT, PLTD, LTDP, TDPL, TLPD, DTLP, PDTL, LPDT .







50 1. MSNT est un losange .

2. À vérifier dans le cahier de l’élève .


51 1. Le quadrilatère peut se nommer SORM . La fille a raison .

2. SORM, ORMS, RMSO, MSOR, MROS, SMRO, OSMR et ROSM .

3. S, O, R et M .

4. Les diagonales de SORM sont [SR] et [OM] .

5. et 6. À vérifier sur le cahier de l’élève .


64 Exercice autocorrectif .








70 Il suffit de construire deux segments de même lon-gueur qui ne se coupent pas en leur milieu .



72 1. 2. 3. 4. Tracés à vérifier sur le cahier de l’élève .

5. Le panneau représenté indique le caractère prioritaire d’une route .

■ Avec un logiciel

Activité 1. Les propriétés des quadrilatères• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, les élèves peuvent mettre en application leurs connaissances pour réaliser des constructions de qua-drilatères particuliers . L’énoncé est court et simple ; sa mise en application est très aisée . Les élèves commencent par tra-cer un segment . À partir de celui-ci, ils doivent construire un quadrilatère particulier sachant que le segment est un côté du quadrilatère .Les propriétés du quadrilatère particulier ainsi réalisé devront résister au dynamisme de la figure . Pour cela, les élèves doivent construire cette figure en respectant ses pro-priétés comme ils le feraient sur le papier . Hormis l’aspect ludique, l’avantage d’utiliser ici un logiciel de géométrie dynamique est de mettre les élèves en situation de recherche en leur donnant la possibilité de prendre des initiatives et de contrôler leur résultat par eux-mêmes .La deuxième partie de l’activité est de difficulté supérieure, puisque le segment de départ sera une diagonale du qua-drilatère . La stratégie à mettre en œuvre demande une réflexion plus poussée et une bonne connaissance des pro-priétés relatives aux diagonales .

• CorrectionÀ vérifier sur la figure dynamique de l’élève .

59 1.

CB

Q

P

A

2. BQCP semble être un losange .

60 1. a.

H

G ED

F

(d)

b. GEF est un triangle isocèle en G . En effet, le point G appar-tient à la médiatrice de [EF] donc GF = GE .

2. a. Voir la figure ci-dessus .b. EGFH est un losange car la symétrie axiale conserve les longueurs .


62 1. Tracé à vérifier sur le cahier de l’élève .

2. Programme de construction– Construire le rectangle ABCD tel que AB = 6 cm et AD = 3,5 cm .– Construire la demi-droite [CP) tel que NCP = 35° et le point P appartient au segment [AB] .– Construire la perpendiculaire à (CP) passant par P . Cette droite coupe [CD) en M et [CB) en N .

63

R

QK

L

C

DT

S A

N M

BP

O

J

I

90

Activité 4. Des figures usuelles avec Scratch• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet d’écrire des petits programmes per-mettant de tracer des triangles ou quadrilatères particuliers avec le logiciel .

• Correction

Activité 2. Reproduire des triangles• Considérations didactiques et mise en pratiqueLes compétences à mettre en œuvre pour cette activité sont semblables à celles mises en œuvre dans l’activité 1 . Les connaissances des propriétés de géométrie sont détermi-nantes pour la réussite de l’exercice . On donne des figures à reproduire avec un logiciel de géométrie dynamique qui présente l’avantage d’offrir la possibilité d’effectuer une autocorrection en manipulant la figure pour vérifier que les propriétés imposées résistent à son dynamisme .Les deux constructions proposées dans le manuel peuvent être considérées comme des exemples . L’enseignant aura tout le loisir d’en proposer d’autres à ses élèves .

• CorrectionÀ vérifier sur la figure dynamique de l’élève

Activité 3. Le théorème de Napoléon• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet de développer certaines capacités à réaliser une figure dictée par un texte . En rapport avec le chapitre, les élèves doivent construire des triangles équi-latéraux et conjecturer la nature d’un triangle obtenu en s’aidant du dynamisme offert par le logiciel .

• Correction

B

P

I

N

HG

M

A

C

91Chapitre 11 • Périmètre et aire

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle .• Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs .• Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux .



Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle

Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure .

Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule .

• Notion de longueur : cas particulier du périmètre .• Formule du périmètre d’un carré, d’un rectangle .• Formule de la longueur d’un cercle .• Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux) .

Utiliser des instruments de mesure : décamètre, pied à coulisse, visée laser (télémètre), applications numériques diverses .

Adapter le choix de l’unité, de l’instrument en fonction de l’objet (ordre de grandeur) ou en fonction de la pré-cision souhaitée .

Aborder la notion de distance comme plus court chemin entre deux points, entre un point et une droite .

Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure .

Différencier aire et périmètre d’une surface .

Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple ou en utilisant une formule .

Estimer la mesure d’une aire par différentes procédures .• Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m2 et leurs relations, are et hectare .• Formules de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque .

Situations amenant les élèves à :• superposer, découper, recoller des surfaces ;• utiliser des pavages afin de mieux comprendre l’action de mesurer une aire .

Adapter le choix de l’unité en fonction de l’objet (ordre de grandeur) ou en fonction de la précision souhaitée ou en fonction du domaine numérique considéré .

Périmètre et aire

11

92

Les aires : Tout au long du cycle, il convient de choisir la procédure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces, pour déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules . Dès le CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire . La mesure ou l’es-timation de l’aire d’une surface à l’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé est ensuite abordée . Une fois ces notions stabilisées, on découvre et on uti-lise les unités d’aire usuelle et leurs relations . On peut alors construire et utiliser les formules pour calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, puis en 6e, calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque .

Dans la continuité du cycle 2, le travail sur l’estimation par-ticipe à la validation de résultats et permet de donner du sens à ces grandeurs et à leur mesure (estimer en prenant appui sur des références déjà construites : longueurs et aire d’un terrain de basket, aire d’un timbre, masse d’un trom-bone, masse et volume d’une bouteille de lait…) .

À la fin de ce chapitre, les attendus de fin de cycle devraient être ainsi maitrisés .

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure .

Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions .

Situations amenant les élèves à compléter les unités de grandeur (longueur, masse, contenance, durée) et à mettre en évidence les relations entre elles .

Calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, des formules .

• Formules donnant :– le périmètre d’un carré, d’un rectangle ;– la longueur d’un cercle ;– l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque .





Vidéo « Je comprends » : Calculer le périmètre de polygones et la longueur de cercles Vidéo « Je comprends » : Calculer l’aire d’un rectangle, d’un triangle et d’un disque Vidéo « Je comprends » : Maitriser les unités de longueurs et d’aires


II. Contexte du chapitreLes notions de périmètre (longueurs) et d’aire ont été tra-vaillées depuis l’école primaire . La classe de 6e permet d’approfondir ces deux notions et de les différencier . La formule donnant la longueur d’un cercle est travaillée dans ce chapitre . Pour les aires, la nouveauté en 6e est le calcul de l’aire d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, et de l’aire d’un disque . Les unités de longueurs et d’aires sont revues et enrichies . L’extrait du texte officiel des programmes de 6 e (cycle 3) permet de mieux situer ce chapitre dans son contexte .

Les longueurs : En 6 e, le travail sur les longueurs per-met en particulier de consolider la notion de périmètre, et d’établir la notion de distance entre deux points, entre un point et une droite . L’usage du compas permet de compa-rer et reporter des longueurs, de comprendre la définition du cercle (comme ensemble des points à égale distance du centre) . La construction et l’utilisation des formules du périmètre du carré et du rectangle interviennent pro-gressivement au cours du cycle . La formule donnant la longueur d’un cercle est utilisée en 6 e .


Activité 2. Calculer le périmètre ou la longueur d’un cercle• Considérations didactiques et mise en pratiqueLes élèves découvrent la longueur d’un cercle en réalisant une expérience pratique . Ils vont faire rouler un cercle d’un tour sur une droite graduée et reporter la longueur obte-nue . En renouvelant l’expérience avec un cercle différent, et en divisant la longueur des cercles par leur diamètre res-pectif, ils vont aboutir à 3,14 (arrondi au centième de π) . Ils pourront en déduire une formule pour calculer l’arrondi au centième de la longueur d’un cercle .

• Correction

2. b. 25,1 environ . C’est la longueur du cercle en cm .c. 3,1375, donc 3,14 .

3. d. Le quotient de la longueur du cercle par son diamètre est constant . Sa valeur arrondie au centième près est 3,14 . La longueur du cercle arrondie au centimètre près est donc le produit 3,14 par le diamètre du cercle .

Activité 3. Déterminer une aire par découpage et par comparaison• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet aux élèves de découvrir l’aire d’un triangle rectangle à l’aide d’un rectangle . Puis, de décou-vrir celle d’un triangle quelconque à l’aide de deux triangles rectangles et en utilisant à nouveau les rectangles .

• CorrectionA. Cas particulier

1. K

M

J3 cm

5 cm

L



1 a. ➂b. ➁

2 Le périmètre est 𝒫 = 4 × 3 = 12 cm .

3 Le périmètre est 𝒫 = 2 × (3 + 5) = 16 cm .

4 Le périmètre est 𝒫 = 4 × 4 = 16 cm .

5 L’aire de ce carré est 𝒜 = 4 × 4 = 16 cm2 .

6 L’aire de ce rectangle est 𝒜 = 16 × 4 = 64 cm2 .

7 Hugo a raison : un carré de côté 4 cm a la même aire qu’un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 2 cm .

8 Valentine a raison .

9 a. C’est un rectangle .b. Le périmètre de ce parc est 𝒫 = 2 × (35 + 24) = 118 m .c. L’aire de ce gazon est 𝒜 = 35 × 24 = 840 m2 .d. Le périmètre de la base est 𝒫 = 4 × 170 = 680 cm = 6,8 m . e. L’aire de cette base est 𝒜 = 170 × 170 = 28 900 cm2 = 2,89 m2 .

■ Cherchons ensemble

Activité 1. Différencier aire et périmètre• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour but de revenir sur la notion de péri-mètre et d’aire et de bien différencier ces deux notions . Les élèves utilisent le « comptage » pour évaluer le périmètre et l’aire d’une figure . Les élèves constateront que deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires différentes et que ces deux notions ne sont donc pas liées .

• CorrectionLes abréviations « ua » et « ul » signifient respectivement unité d’aire et unités de longueur .

1. et 2. a. 𝒫➀ = 12 ul = 𝒫➂

b. 𝒜➀ = 7 ua et 𝒜➂ = 9 ua .

3. L’affirmation est fausse, le périmètre et l’aire ne sont pas liés .

4. 𝒫➁ =14 ul = 𝒫➃ ; 𝒜➁ = 7 ua et 𝒜➃ = 6 ua .

Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier GeoGebra Activité 2 : 1 fichier GeoGebra Activité 3 : 1 fichier tableur Activité 4 : 2 fichiers Scratch

94

• Correction

1. Ma chambre mesure 3,5 mètres de longueur et 315 cen-timètres de largeur . Son périmètre est donc de 13,3 mètres . Son aire est 11,025 m2 .

2. Ma chambre mesure 35 décimètres de longueur et 315 centimètres de largeur .

3. Son périmètre est donc de 133 décimètres . Son aire est 110 250 cm2 .

■ Objectif 1. Calculer le périmètre de polygones et la longueur de cerclesJe m’entraine

1 a. Ouib. 4π cmc. 5 cmd. 9 cm

2 a. Carré : 30 cm b. Rectangle : 20 cmc. Cercle : 4π cm d. Triangle : 12 cm

3 198 mm ou 19,8 cm .

4 789 mm

5 133 mm

6 14π cm

7 31,4 cm


8 Périmètre du losange Rail > périmètre du carré SNCF

9 Les deux figures ont le même périmètre :4 × 60 = 3 × 80 .

10 3 cm

11 1. 24 cm

2. Par exemple, un rectangle de longueur 11 cm et de lar-geur 1 cm . Il y en a d’autres . Soit un rectangle de longueur 10 cm et de largeur 2 cm .

3. 8 cm

12 2π + 10 cm

13 20π cm

14 2π cm

15 1. 3 476π km

2. 10 914, 64 km

2. a. Voir figure .b. ℓ = 3 cm et L = 5 cm : l’aire de ce rectangle est 15 cm2 .c. L’aire du triangle rectangle JKL est la moitié de l’aire du rectangle (voir figure) donc 7,5 cm2 . Les élèves remarquent que le rectangle KJLM est constitué de deux triangles rec-tangles KJL et KML qui ont leurs côtés respectivement de même longueur .

B. Cas général

1. a. Les triangles RSE et RTE ont la même aire (même rai-sonnement qu’à la question précédente) .b. En raisonnant de même, on prouve que les triangles EMH et ETH ont la même aire .On en déduit que l’aire du triangle RHE est donc la moitié de l’aire du rectangle SMHR (les deux aires en gris ont cha-cune une aire en jaune qui leur est égale) .

2. L’aire du triangle quelconque RHE est donc égale à : RH SR

2×

. Or, SR = ET .

D’où la formule de l’aire d’un triangle quelconque : base hauteur

2×

.

Activité 4. Encadrer une aire• Considérations didactiques et mise en pratiqueSans connaitre la formule pour calculer l’aire d’un disque, les élèves vont réaliser l’encadrement indiqué pour l’aire . Puis, ils vont en chercher un encadrement plus précis . Cette activité a pour objectif de montrer aux élèves que, sans connaitre une formule d’aire, on peut en avoir une valeur approchée à l’aide d’encadrement . La formule est donnée en fin d’ac-tivité et permet de vérifier la cohérence de la méthode .

• Correction

1. a. 36 uab. 16 uac. 16 < 𝒜 < 36

2. On rajoute, par estimation visuelle, des carreaux situés entre le disque vert et le cercle bleu . On obtient : 16 + 8 = 24 . On enlève des carreaux par le même procédé entre le disque bleu et le carré rouge . On obtient : 36 – 4 = 30 .On peut ainsi écrire un nouvel encadrement : 24 < 𝒜 < 30 .

3. On obtient : 𝒜 = 3,14 × 3 × 3 = 28,26 . Cela prouve la cohérence de cet encadrement .

Activité 5. Maitriser les unités du système métrique relatives aux longueurs et aux aires• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité est l’occasion de travailler avec les unités de longueur et d’aire . Elle permet aux élèves, en reconsti-tuant un texte, de rendre concrètes ces unités . La dernière question permet de travailler les conversions d’unités, de longueurs et d’aire .



26 1. Aire polygone rouge : 22 unités d’aire .

2. Aire polygone bleu : 52 unités d’aire .

27 132,7 cm2

28 1. 1 cm2

2. 6 cm2

3. 4 × 32

= 6 cm2

29 Aire de la figure : π cm2 .

30 35 000 m2

31 1. R1 = 576 km2 et R2 = 584 km2 .

2. Un ordre de grandeur est : 580 km2 .

32 a. Aire figure rose :

5,1 × 6,8 + 6,8 × 6,84

= 34,68 + 11,56 = 46,24 cm2 .

b. Aire figure bleue : 4 + 5 × 32

= 11,5 cm2 .

c. Aire figure grise : 11,56π cm2 .

■ Objectif 3. Maitriser les unités de longueurs et d‘airesJe m’entraine

33 a. 1 000 b. 1 000 c. 0,35 d. 72

34 a. 2 800 b. 15 000 c. 490 d. 72

35 a. 0,18 b. 0,36 c. 0,165 d. 0,047

36 a. 2 100 b. 950 000 c. 8 420 000 d. 74 500 000

37 a. 0,25 b. 375 c. 0,45 d. 78

38 a. 850 b. 5 460 c. 320 d. 6 300

39 a. 6,54 b. 9,765 c. 13,254 d. 4,758 9

40 1. a 2. km2 3. ha 4. m2

41 1. mm2 2. m2 3. km2 4. m2 5. a 6. cm2

42 20 cm2

43 356,5 cm

44 32,15 m2

45 2 500 πmm2 ; 78,5 cm2 .

16 1. 5 m

2. 7 m

17 1. 8 cm

2. L1 = 14 cm et 𝓵1 = 1 cm ; L2 = 12 cm et 𝓵2 = 3 cm .

3. 10 cm

4. a = b = 12 cm et c = 6 cm ; a, b et c étant les longueurs des trois côtés .

■ Objectif 2. Calculer l’aire d’un rectangle, d’un triangle et d’un disque

Je m’entraine

18 a. Un rectangle de dimensions 14 cm et 2 cm et un autre de dimensions 7 cm et 4 cm .

b. 49 cm2

c. 5 cm

d. 12 cm

19 Figures bleue et orange : 16 unités d’aire . Figure verte : 30 unités d’aire .

20 1. 16 cm2

2. 15 cm2

3. 7 cm2

21 5,4 cm2

22 3 364 mm2

23 17,85 cm2

24

Côté (en cm) 2 3,5 4,75 5,4

Aire du carré (en cm2)

4 12,25 22,562 5 29,16

25

Rectangle Longueur Largeur Aire

ABCD 9 7 63

EFGH 9 8 72

IJKL 12 4 48

96

71

Côté du carré (en cm) 4 4,5 5 10

Aire du carré (en cm2) 16 20,25 25 100

72 1. 25π cm2 2. 78, 54 cm2

73 37,21π dm2 ; 116,84 dm2

74 D

75 2 843 ha

76 Concarneau

77 1. km2 ou ha . 2. km2 3. cm2 4. mm2

78 a. mm2 b. cm2 c. m2 d. a


79

Diagonale (en pouces)

Diagonale (en cm)

Largeur × hauteur (en cm)

Surface de l’écran (en cm2)

4 10,2 8,9 × 5 44,5

5 12,7 11,1 × 6,2 68,82

6 15,2 13,3 × 7,5 99,2

7 17,8 15,5 × 8,7 134,85

8 20,3 17,7 × 10 176,4

80 21 × 26 = 546 mm2 = 5,46 cm2 . 2e méthode : on convertit d’abord chaque dimension en cm, puis on calcule l’aire .

81 On peut tester avec plusieurs valeurs . Soit 𝒫 le péri-mètre initial et 𝒫’ le périmètre final, on a : 𝒫’ = 𝒫 + 8 . Soit 𝒜 l’aire initiale et 𝒜’ l’aire finale . On obtient : 𝒜’ = 𝒜 + 𝒫 + 4 .

82 1. 3 256 201 km2 2. 10e

83 L’orchestra est le disque situé en contrebas du théâtre .

Aire de l’orchestra : ( )20,282

2

× 3,14 ≈ 323 m2 .

84 1. 96 m2 ; 56 m 2. 0,96 m2 ; 4 m 3. 100

85 1. 𝒫 = 200 km ; 𝒜 = 2 500 km2

2. Déborah a raison car l’aire d’un carré de 60 km de côté est de 3 600 km2 et est donc plus voisine de 3 300 km2 que l’aire d’un carré de 50 km de côté (2 500 km2) .


46 1. 520 500 2. 52,05

47 1. m2 2. km2 3. ha 4. m2 5. km2

48 C’est Dijon car 17,1 km2 < 40,41 km2 .

49 1.

Nom Longueur en m

Pont de Saint-Nazaire 3 356

Viaduc de Millau 2 460

Pont de l’ile d’Oléron 2 927

Pont de l’ile de Ré 2 862

2. Il s’agit du pont de Saint–Nazaire .

50 1. Il s’agit du département du Territoire de Belfort .

2. Par ordre décroissant de leur superficie, on trouve les numéros suivants :

44 – 29 – 26 – 11 – 59 – 67 – 90 .

51 1. La place Bellecour est en 5e position .

2. 8,64 ha ; 1 260 a .

52 1. La surface des océans en ha est la même qu’en hm2 . Il suffit de diviser par 100 chaque valeur du tableau .

2. 381 millions de km2


53 B

54 B

55 A

56 A

57 B

58 C

59 B

60 B

61 B

62 B

63 36 cm

64 18 cm

65 12π cm

66 8π cm

67 56,5 cm

68 1. 7,5 cm2 2. 2,5 cm2

69 35 cm2

70 1. 81 cm2 2. 9 cm


86 1. Il suffit de diviser chaque surface par 100 .

2. L’évolution, bien qu’un peu lente au départ, connait une forte progression entre 2008 et 2012, puis il y a un ralen-tissement de la progression .

87 1. 20 000 a = 2 km2 2. 30 km

88 1. 8,7π m 2. 58π cm < L < 66π cm 3. 275,25π cm2

89 L’aire de la couronne est obtenue en faisant la diffé-rence de l’aire du grand disque avec celle du petit disque . On obtient : 12π cm2 .

3,5 cm


90 On trouve les mots dans cet ordre : ère ; aire ; air ; erre ; hère .

91 1. 10π cm 2. 25π cm2 3. 3,8 m

92 1. 82 m 2. 390 m2

3. La Maison Carrée porte ce nom depuis le XVIe siècle . À cette époque, toute figure géométrique ayant quatre angles droits était désignée par l’adjectif « carré » . Le carré long était le rectangle et le carré parfait notre carré actuel . C’est pourquoi, malgré sa forme rectangulaire, ce temple a reçu l’appellation de Maison Carrée !

■ Tâche complexe– Périmètre de la Cour des Lions : 2 × (35 + 20) = 110 .Le périmètre de la Cour des Lions est de 110 m .– Périmètre du bassin de la Cour des Myrtes : 2 ×(34,7 + 7,15) = 83,7 m .Le périmètre du bassin de la Cour des Myrtes est de : 83,7 m .– Indications pour encadrer l’aire de l’AlhambraUtilisation de l’échelle pour convertir la longueur et la largeur des carreaux en vraie grandeur . Calculer l’aire pour 4 car-reaux, puis pour 5 carreaux, et écrire l’encadrement cherché .

• Correction

Soit : 1002,5

× 3,5 = 140 m qui est la largeur réelle d’un carreau .

1002,5

× 4,5 = 180 m qui est la longueur réelle d’un carreau .

Aire d’un carreau : 140 × 180 = 25 200 m2 .L’encadrement de l’aire de l’Alhambra 𝒜 (en m2) est donc :

100 800 < 𝒜 < 126 000 .


93 C’est un carré de 12 cm de côté !

94 Une solution consiste à découper suivant la médiane du triangle issue de l’angle droit .

95 L = 30 cm et 𝓵 = 10 cm . L’aire est donc 300 cm2 .


96 1. (6 + 3) × 4,5 = 40,5 m2

2. 6 4,5

2×

= 13,5 m2

3. 2 × (40,5 + 13,5) = 108 m2

4. 108 × 6,50 = 702 €

97 1.

Dans le parc de la Tête d’or, à Lyon, il y a un lac de 1 600 ares . Situé sur les bords du Rhône, le Parc de la Tête d’Or couvre une superficie de 10 500 ares .

2.

Dans le parc de la Tête d’or, à Lyon, il y a un lac de 0,16 km2 . Situé sur les bords du Rhône, le Parc de la Tête d’Or couvre une superficie de 1,05 km2 .

3. a. L = 8 ha et 𝓵 = 2 ha .

b. Oui, exemple : L = 16 ha et 𝓵 = 1 ha .

■ Avec un logiciel

Activité 1. Périmètre et aire d’un rectangle• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité va permettre de s’entrainer à utiliser le logi-ciel de géométrie dynamique GeoGebra . En effet, l’élève doit construire un rectangle avec les dimensions indiquées . Puis, afficher la longueur et la largeur en utilisant l’outil Mesure de longueur d’un segment . En utilisant le logi-ciel, l’élève va faire afficher l’aire de ce rectangle et vérifier le résultat par le calcul . Enfin, en déplaçant les sommets du rectangle et en tâtonnant, l’élève devra trouver un rectangle de périmètre et d’aire imposés . GeoGebra permet ici de

98

• Correction

1., 2. et 3.

4. On trouve, avec la calculatrice, après avoir arrondi le résul-tat au mm2 près, une aire égale à 50,27 cm2 . Cette valeur est bien celle trouvée à la question précédente .

98 L’aire est égale à 200,96 cm2 (arrondi au mm2 près) .

99 Lorsqu’on double le rayon, l’aire est multipliée par 4, ce qui s’explique par le fait que c’est le carré du rayon qui inter-vient dans la formule pour calculer l’aire, et non le rayon .

Activité 3. Conversions avec un tableur• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet aux élèves de s’entrainer à utiliser un tableur . Ils travaillent sur les conversions à partir d’exemples concrets (superficie des huit premières villes françaises) .Ils vont saisir une formule pour convertir des km2 en ha, puis recopier cette formule pour la réutiliser .

• Correction

2. Saisir dans la cellule C2 l’instruction =B2*100 .

3. La superficie en ha de Marseille se lit en C3 . Elle est de 24 000 ha .

4. On obtient le tableau suivant .

résoudre cette question alors qu’au collège, les élèves n’ont pas encore les outils mathématiques nécessaires .

• Correction

1. 2. 3. et 4. Voici la figure obtenue et les réponses aux calculs demandés .

5. Par le calcul, on retrouve bien l’aire du rectangle : 3 × 6 = 18 cm2 .

6. Voir la capture d’écran ci-dessous . On obtient un rectangle de largeur 11 cm et de longueur 12 cm .

Activité 2. Cercle et aire du disque


Dans cette activité, les élèves vont construire un cercle à par-tir de son centre et d’un rayon donné, en utilisant un logiciel de géométrie . Ils vont afficher l’aire en utilisant ce logiciel et vont vérifier ce résultat par le calcul . Ils vont répéter cette activité avec un cercle qui a un rayon qui est le double du précédent . L’outil informatique va leur permettre d’émettre une conjecture sur l’incidence de la valeur de l’aire du disque lorsque la valeur de son rayon est doublée .


5. Voici un programme qui permet de calculer l’aire d’un disque et dont l’utilisateur doit saisir le rayon .

Activité 4. Calcul d’aire avec le logiciel Scratch• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité permet à l’élève de s’initier à l’utilisation du logiciel Scratch . À partir d’un algorithme proposé, l’élève doit réfléchir à l’utilité de ce dernier (calcul de l’aire d’un rectangle) . Puis, il va tester ce programme avec les valeurs indiquées . En utilisant ce modèle, l’élève va devoir écrire un programme lui permettant de trouver une longueur d’un rectangle en saisissant l’aire et la largeur de ce dernier . Enfin, l’élève cherchera à concevoir un algorithme pour calculer l’aire d’un disque à l’aide de son rayon .

• Correction

1. Ce programme permet de calculer l’aire d’un rectangle .

2. Il faut répondre 3, puis 2 aux questions du programme .

3. On obtient 6 pour résultat .

4. En utilisant comme modèle le programme et en le modi-fiant pour répondre à la question posée, on obtient 546 .Voici un exemple de programme pour trouver la longueur demandée :

101Chapitre 12 • Parallélépipède rectangle – Volume d’un solide

I. ProgrammeAttendus de fin de cycle• (Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations .• Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des solides usuels .• Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et décimaux .• Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesure spécifiques de ces grandeurs .



Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des solides usuels

Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :• des solides simples ou des assemblages de solides simples à partir de certaines de leurs propriétés .• vocabulaire approprié pour nommer les solides : pavé droit, cube, prisme droit, pyramide régulière, cylindre, cône, boule .

Reproduire, représenter, construire :• des solides simples ou des assemblages de solides simples sous forme de maquettes ou de dessins ou à partir d’un patron (donné, dans le cas d’un prisme ou d’une pyramide, ou à construire dans le cas d’un pavé droit) .


Utiliser des représentations planes de solides (patrons, perspectives, vues de face, de côté, de dessus…) .

Les éléments de vocabulaire associés aux objets et à leurs propriétés (solide, polyèdre, face, arête, sommet…) sont introduits et utilisés en contexte pour en préciser le sens .

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimauxUtiliser le lexique, les unités, les instruments de mesure spécifiques de ces grandeurs

Relier les unités de volume et de contenance .

Estimer la mesure d’un volume par différentes procédures .• Unités usuelles de contenance (multiples et sous multi-ples du litre) .• Unités usuelles de volume (cm3, dm3, m3), relations entre les unités .

Déterminer le volume d’un pavé droit en se rapportant à un dénombrement d’unités ou en utilisant une formule .

• Formule du volume d’un cube, d’un pavé droit .

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure .

Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simul-tanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions .

Comparer ou mesurer des contenances (ou volumes intérieurs d’un récipient) sans avoir recours à la mesure ou en se rapportant à un dénombrement .Par exemple, trouver le nombre de cubes de 1 cm d’arête nécessaires pour remplir un pavé droit .

Adapter le choix de l’unité en fonction de l’objet (ordre de grandeur) ou en fonction de la précision souhaitée .

Situations amenant les élèves à compléter les unités de grandeur (longueur, masse, contenance, durée) et à mettre en évidence les relations entre elles .

Parallélépipède rectangle – Volume d’un solide

12

102





Vidéo « Je comprends » : Fabriquer le patron d’un parallélépipède Vidéo « Je comprends » : Calculer le volume d’un parallélépipède (1)


Avec un logiciel


Pour aider à la correction en vidéo-projection : Activité 1 : 1 fichier élève GeoGebra Activité 2 : 2 fichiers GeoGebra Activité 3 : 1 fichier tableur Activité 4 : 1 fichier Scratch

3 a.

Nombre de faces 1 2 5 6

Solides ➃ ➂ ➅ ➀, ➁ et ➄

b.

Nombre de sommets

0 1 5 8

Solides ➃ ➂ ➅ ➀, ➁ et ➄



1

Solides Boule Pyramide Cône Pavé droit Cube

Figures ➃ ➅ ➂ ➀, ➁ et ➄ ➁ et ➄

2 a. 6 facesb. 8 sommetsc. 12 arêtes

un parallélépipède rectangle ou encore un prisme dans un dessin le représentant en perspective cavalière . Il recon-nait, dans une perspective cavalière de ces polyèdres, les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires . Il apprend à dessiner une représentation en perspective cavalière du cube ou du parallélépipède rectangle, à construire un patron de ces deux solides ou a compléter un patron de prisme droit ou encore de pyramide régulière . Dans le domaine de la mesure, l’élève apprend à calculer le volume d’un parallélépipède rectangle par dénombrement d’unités ou en utilisant une formule . Il s’initie ainsi à l’utilisation d’unités métriques de volume et apprend à faire le lien entre les unités de conte-nance et les unités métriques de volume .

II. Contexte du chapitreAu CM1 et CM2, l’élève a découvert l’ensemble des solides usuels de l’espace que sont le cube, le parallélépipède rec-tangle, le prisme droit, la pyramide régulière, le cône et la boule . Il a déjà acquis un certain vocabulaire associé aux polyèdres (face, arête, sommet, patron…) et a appris à iden-tifier ces mêmes polyèdres à partir du nombre et de la forme de leurs faces, ou encore du nombre de sommets . Il sait également reconnaitre et compléter le patron d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle . Concernant la mesure dans l’espace, il a appris à utiliser les unités de contenances et leurs relations . En 6e, l’élève consolide le travail réalisé sur les polyèdres usuels et apprend à reconnaitre un cube,


8 a. 0,75 L = 7,5 dL b. 34,5 dL = 3,45 Lc. 8,45 dL = 84,5 cL d. 0,62 cL = 6,2 mL e. 12,5 cL = 0,125 L

9 a. 3,2 L = 320 cL b. 0,825 dL = 82,5 mLc. 426 mL = 0,426 L d. 225 cL = 2,25 L e. 0,08 L = 80 mL

10 Puisque 6,5 L = 65 dL = 650 cL, le mode le plus rapide pour remplir l’aquarium sans débordement est d’effectuer 64 versements de 4 dL et 1 versement de 10 cL .

■ Cherchons ensembleActivité 1. Identifier les caractéristiques d’un parallélépipède rectangle• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette première activité, l’élève se familiarise avec le vocabulaire commun à différentes catégories de polyèdres : faces, sommets, arêtes . Pour chacun d’eux, il énumère le nombre de faces, d’arêtes et de sommets . Il fait ensuite le lien entre la représentation en perspective d’un solide et son patron et perçoit la forme et la disposition de ses faces . L’élève en déduit alors les caractéristiques propres au paral-lélépipède rectangle .

c.

Nombre d’arêtes 0 1 8 12

Solides ➃ ➂ ➅ ➀, ➁ et ➄

4 Les patrons 1, 2 et 4 permettent de construire un cube .

5

BleuRougeVert

7 a. 1 L = 10 dL b. 1 L = 100 cLc. 1 L = 1 000 mL d. 1 dL = 10 cL e. 1 cL = 10 mL

• Correction

1.

Solide Cube PyramideParallélépipède

rectanglePrisme


Nombre de sommets 8 5 8 12


faces non déformées par la perspective et des faces corres-pondantes du patron . L’élève procède ainsi par élimination .

• Correction

1. Le patron ➂ ne correspond à aucun des trois parallélé-pipèdes . En imaginant le pliage de ce patron, les arêtes de deux faces contiguës ne se correspondent pas .

2. A-➁, B-➀ et C-➃ .Dans chaque cas, les faces non déformées par la perspec-tive se retrouvent dans les patrons avec leurs dimensions réelles . Dans chaque patron, toutes les arêtes qui doivent se correspondre lors du pliage ont la même longueur .

2. a. Un parallélépipède rectangle est un polyèdre compor-tant 6 faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes .b. Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés .c. À vérifier sur le cahier de l’élève .

Activité 2. Associer un parallélépipède rectangle et un de ses patrons• Considérations didactiques et mise en pratiqueL’élève apprend à reconnaitre le patron d’un parallélépipède rectangle à partir d’une représentation de celui-ci en pers-pective cavalière . Il est amené à comparer les dimensions des

104

Partie B

1. a. 1 L = 1 dm3 b. 1 000 cm3 = 1 Lc. 1 cm3 = 1 mL d. 1 000 000 cm3 = 1 000 L

2. a. La première couche est constituée de 135 cm3 (15 × 9) .b. Le volume du pavé droit est de 1 080 cm3 (135 × 8) .c. V L h= × ×

■ Objectif 1. Reconnaitre ou construire le patron d’un solideJe m’entraine

1 a. Oui b. Non c. Oui d. Oui

2 Non . Les deux faces vertes se superposent lors du pliage .

3 Oui

4 Oui

5 Non . Des arêtes ne se correspondent pas lors du pliage .


6 1. ➀ : Prisme ; ➁ : Pyramide ; ➂ : Parallélépipède rec-tangle ; ➃ : Cube .2.

Solide ➀ ➁ ➂ ➃



Nombre de sommets 10 4 8 8

7 1. Arêtes cachées : [NE], [NI], [NQ] .

2. Face avant : ARUQ – Face arrière : ELIN .

3. Faces cachées : AENQ, ELIN, QNIU .

4. Faces non représentées en vraie grandeur : AENQ, AELR, RLIU, QNIU .

5. Arêtes non représentées en vraie grandeur : [AE], [RL], [QN], [UI] .

8 1. AQNE est la face parallèle à RUIL .

2. a. Faces perpendiculaires à QARU : AELR, QNIU, AENQ, RLIU .b. Arêtes perpendiculaires à QAEN : [AR], [UQ], [EL], [NI] .c. Arêtes perpendiculaires à [RU] : [AR], [RL], [UI], [UQ] .d. Arêtes parallèles à (AR) : [UQ], [IN], [EL] .

Activité 3. Passer d’une représentation à une autre• Considérations didactiques et mise en pratiqueLe but de cette activité est de prélever, sur une représen-tation en perspective d’un parallélépipède rectangle, les informations utiles à la construction de son patron . Le questionnement permet à l’élève de faire le lien entre la perspective et la réalité . Il est ainsi conduit à déployer men-talement les faces du parallélépipède pour réaliser le patron .

• Correction

1. a. Les faces LOEN et IMDA n’ont pas été déformées dans la perspective .b. Dans la réalité, ILO mesure 90° .c. Les arêtes parallèles dans la réalité le demeurent encore dans la représentation en perspective .d. Les faces cachées sont : LIAN, IMDA et NADE . Les arêtes cachées sont : [AI], [AN] et [AD] . Elles sont représentées en pointillés .

2. a. Patron du parallélépipède rectangle LIMONADE .

40 mm

15 mm

32 mm

Activité 4. Relier les unités de volume et les unités de contenance• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité vise principalement trois objectifs . Dans la partie A, elle met en évidence le facteur 1 000 entre deux unités de volume consécutives telles que le dm3 et le cm3 . Dans la partie B, elle fait le lien entre les unités de volume et de contenance . Enfin, elle incite également l’élève à conjec-turer une formule permettant de calculer le volume d’un pavé droit . Pour le calcul du volume, l’élève est conduit à décomposer le solide en couches superposées de petits cubes de 1 cm de côté, constituant l’unité de volume . Ceci lui permet ensuite de conjecturer la formule permettant le calcul direct du volume .

• CorrectionPartie A

1. Le premier niveau est constitué de 100 cm3 .

2. On peut empiler 10 niveaux constitués de 100 cm3 chacun .

3. Ce récipient de 1 dm3 contient exactement 1 000 cm3 .


c. Son volume a été multiplié par 8 .d. Il s’agit du même volume de 1 dm3 .

14 1. a. 64 cm3 b. 15 625 cm3

c. 27 000 000 cm3

2. a. 2 cmb. 3 cm

15 a. 1 000 cm3 b. 1 000 000 cm3 c. 1 000 000 000 cm3

16 Figure 1 : V = 36 cm3 .Figure 2 : V = 70 cm3 .

17 1. a. V = 120 dm3 b. V = 288 m3

2. a. 120 dm3 = 120 000 cm3 b. 288 m3 = 288 000 000 cm3

18 a. V = 720 cm3 b. V = 0,72 dm3

c. V = 720 000 mm3


19 1. V = 84 dm3

2. V = 0, 084 m3

20 Volume du solide : 1 344 cm3 .

21 1. Volume minimal = 350 L

2. Volume du réservoir = 375 L . Il pourra donc parcourir une distance maximale de 1 071 km avec un plein .

22 Le récipient contient 29 cubes constituant un volume de 1 856 cm3 . La partie vide du récipient représente donc un volume de 2 176 cm3 (4 032 – 1 856) .

23 Aire de la base : 1 000 cm2 . Volume du pavé droit : 12 dm3 soit 12 000 cm3 . Hauteur du pavé droit : 12 cm . Aire de la surface totale : 1 000 × 2 + 40 ×12 × 2 + 25 × 12 × 2 = 3 560 cm2 .

24 1. Volume du lavoir : 3,15 m3 .

2. 3,15 m3 = 3 150 L

3. Temps de remplissage : 210 min soit 3 h 30 min .

25

1. Environ 4,2 L/s

2. Sur 7 h 30 min de vol : 112 500 L .

3. Environ 42,9 L/passager

26 a. 24 mm3 b. 48 mm3

9

10

1 cm

3 cm

5 cm

11

12

2 cm

3 cm

4 cm

■ Objectif 2. Déterminer le volume d’un parallélépipède rectangle

Je m’entraine

13

a. 2 cm

b. 350 L

106

41 1. c. 1,5 dm3

2. a. 5 hL

3. a. 75 m3

42 1. a. 0,05 L b. 8,5 L c. 2,54 L d. 78 L

2. a. 72,5 L b. 37,5 L c. 50 000 L d. 500 000 L

3. a. 7 250 cL b. 50 000 cL c. 37,5 cL d. 2,5 cL

43 1. Volume d’eau dans l’abreuvoir : 0,324 m3 .

2. 324 L

44 Volume du solide : 176 cm3 .


45 • Volume du bâtiment central : 10 10 15 1 500 m3× × = ;

• Volume de l’extension en équerre : 10 5152

562,5m ;2 2 3( )− × =

• Volume total de l’immeuble : 1 500 562,5 2 062,5 m3+ = .

46 1. La hauteur d’eau dans l’aquarium est de 40 cm .

2. Elliot doit rajouter une hauteur d’eau de 17,5 cm, ce qui correspond à un volume de 56 L .

47

48

49 La hauteur de la boite étant de 12 cm, il faudra répar-tir les 90 cubes en 3 couches de 30 .


27 C

28 C

29 B

30 C

31 A

32 C

33 C

34 C

35 B

36 A

37 Les figures ➂ et ➃ représentent des patrons de paral-lélépipèdes rectangles .

38

VertRougeBleu

39

40

1.

2 cm

3 cm

4 cm

2.


2. Volume du Baïkal : 22 995 km3 .

3. La superficie du Baïkal est près de 559 fois supérieure à celle du Loch Ness .Le volume du Baïkal est près de 3 087 fois supérieur à celui du Loch Ness .

4. Il n’y a pas proportionnalité entre les volumes et les superficies .


55 1. Avec 5,5 kg d’essence, le véhicule peut parcourir environ 113 km .

2. Avec 1 kg de carburant, le véhicule à hydrogène peut par-courir environ 91 km contre 21 km pour le véhicule à essence .On constate donc qu’avec 1 kg de carburant, le véhicule à hydrogène parcourt une distance plus de quatre fois supé-rieure à celle parcourue par le véhicule à essence .

3. Pour parcourir 1 000 km, le véhicule à hydrogène a besoin d’un réservoir de 154 L .

56 1. Chaque année, la France reçoit en moyenne un volume d’eau d’environ 489 500 000 000 m3 .

2. Superficie de la ville de Paris : 105 400 000 m2 . Paris reçoit ainsi, chaque année, un volume de précipitations d’envi-ron 68 510 000 m3 .

57 Volume of the rectangular prism: 405 inches .

■ Tâche complexeVolume d’eau requis pour irriguer les 60 plants durant 21 jours– Volume d’eau Vp/ j requis par plant et par jour (en cm3) : 700 V 800p/ j< < ;– volume d’eau V60p/ j requis pour les 60 plants et par jour (en cm3) : 42 000 V 48 00060p/ j< < ;– volume d’eau V60p/21j

requis pour les 60 plants en 21 jours (en cm3) : 882 000 V 1 008 00060p/21j< < .

Volume de la cuveV 75 80 150 900 000 cmc

3= × × =882 000 900 000 1 008 000< < .Le volume de la cuve est donc suffisant pour garantir l’irri-gation des plants sur une période de 21 jours .

Choix du goutteurInformations à prendre en compte : 1 jour = 86 400 s ; 20 gouttes d’eau = 1 cm3 .

Pour chacune d’elles, il y a quatre modes de répartition des cubes : 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10 et 5 × 6 .Le tableau ci-dessous donne ainsi quatre valeurs d’aires possibles :

Répartition par niveau

Surface de carton utilisée (en cm2)

1 × 30 2 × (4 × 12 + 12 × 120 + 4 × 120) = 3 936

2 × 15 2 × (8 × 12 + 12 × 60 + 8 × 60) = 2 592

3 × 10 2 × (12 × 12 + 12 × 40 + 12 × 40) = 2 208

5 × 6 2 × (12 × 20 + 12 × 24 + 20 × 24) = 2 016

La boite devra donc avoir pour dimensions : L = 24 cm, ℓ = 20 cm et h = 12 cm .

50 1. Estimation basse du nombre de conteneurs : 10 × 3 × 12 = 360 conteneurs .Estimation haute du nombre de conteneurs : 16 × 6 × 14 = 840 conteneurs .Le nombre total de conteneurs embarqués est compris entre 360 et 840 .

2. a. Volume d’un conteneur : 66,571 m3 .b. Volume minimal estimé du fret (arrondi à la centaine) : 360 × 66,571 ≈ 2 4 000 m3 .Volume maximal estimé du fret (arrondi à la centaine) : 840 × 66,571 ≈ 56 000 m3 .Le porte-conteneurs transporte un volume de marchan-dises compris entre 24 000 et 56 000 m3 .

51 Deux possibilités :

RougeVertOrangeGris

52 Slim occupait un volume de 150 000 cm3 (300 × 200 × 2,5) soit 150 L .

53

1. a. 9 b. 16 c. 812. a. 49 b. 961

54 1. Aire de la base : 31 500 km2 .

108

– Étape 2 On verse 10 cL du mélange de la bouteille B dans la bou-teille A . Le verre contient alors la même proportion de jus de raisin que dans la bouteille B , soit 1 cL de jus de raisin pour 10 cL de mélange .La bouteille A reçoit donc 1 cL de jus de raisin et 9 cL de jus d’orange . La bouteille A contient alors 90 cL de mélange dont 9 cL de jus d’orange, soit également une proportion de 1/10 .


61

62 1. a. Il manque 3 demi-cubes pour compléter le pre-mier niveau .b. Le premier niveau occupe un volume de 20,5 cm3 .

2. Les quatre derniers niveaux de la colonne occupent un volume de 2,75 cm3 .

3. Volume total occupé par les pavés bleus : 23,25 cm3 .Volume du récipient : 99 cm3 .Volume de la partie vide : 75,75 cm3 .

■ Avec un logicielActivité 1. Une représentation 3D• Considérations didactiques et mise en pratiqueCette activité a pour but d’aider l’élève à visualiser un pavé droit dans l’espace afin d’observer plus facilement ce solide sous tous ses aspects réels : forme des faces, parallélisme et perpendicularité des arêtes, faces ou arêtes invisibles, etc . Les fonctionnalités puissantes du logiciel GeoGebra vont

Vitesse du goutteur

DébitDébit pour 60 plants

(en cm3/s)Volume distribué

chaque jour (en cm3)Durée d’irrigation (en jours), arrondie à l’entier supérieur.

1 1 goutte en 10 s 0,3 25 920 35

2 1 goutte en 6 s 0,5 43 200 21

3 1 goutte en 3 s 1 86 400 11

4 1 goutte en 1 s 3 259 200 4

Tom devra régler les goutteurs sur la vitesse 2 afin de pouvoir partir en vacances sans se soucier de l’irrigation de ses plants de tomates .


58 Le pavé droit minimal a pour dimensions 14 × 10 × 8 soit un volume de 1 120 cm3 .

10 c

m

14 cm

8 cm

59 Le chemin le plus court pour se rendre d’un point à un autre est la ligne droite . On réalise le patron de ce cube en reportant les points A et B . La coccinelle empruntera alors le chemin indiqué par le segment [AB] .

AB

60 Il y a exactement la même proportion de jus d’orange dans la bouteille A que de jus de raisin dans la bouteille B .En effet, on suppose, par exemple, que chaque bouteille contienne 90 cL de jus de fruit et que la contenance d’un verre soit de 10 cL .

– Étape 1 On verse 10 cL de jus de raisin dans la bouteille B . La bou-teille A ne contient plus que 80 cL de jus de raisin tandis que la bouteille B contient à présent 100 cL de mélange, dont 10 cL de jus de raisin, soit une proportion de 1/10 .


Activité 3. Optimiser un volume• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, le tableur est utilisé pour déterminer le volume maximal d’un pavé droit en tenant compte d’une contrainte imposée sur les dimensions . La longueur L et la largeur ℓ du pavé dépendent de la valeur attribuée à la hauteur h selon les relations L = 8 dm – 2h et ℓ = 5 dm – 2h, la hauteur h évoluant selon un pas arbitraire de 0,5 dm .Pour les élèves plus rapides, on pourra travailler la préci-sion du résultat attendu en prenant pour h des pas de plus en plus fins tels que 0,1, 0,05, ou encore 0,01 .

• Correction

1. a. Pour h = 1 : ℓ = 3 dm et L = 6 dm .b. V = 18 dm3 .c. h < 2,5 dm .

2. a. et b. Mario a introduit la formule = 8–2*A2 dans la cellule C2 pour calculer L et la formule = A2*B2*C2 dans la cellule D2 pour calculer V .c. et d.

Le volume maximal est obtenu pour h = 1 dm, ℓ = 3 dm et L = 6 dm .

Activité 4. Un volume au programme• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève est amené à manipuler de manière « ludique » la notion de variable dans le but de construire un algorithme de calcul de volume . La construction de cet algorithme, simple à réaliser, va aider l’élève à se familiari-ser avec la formule mathématique donnant le volume d’un pavé droit et facilitera ainsi sa mémorisation .

• Correction

3. Affectation des valeurs de ℓ, L et h dans l’algorithme :

Résultat fourni par le programme :

lui permettre de passer aisément et immédiatement d’une représentation du solide à une autre . Par exemple, passer d’une perspective cavalière au patron, choisir un type de projection, ou encore obtenir une vue de face…

• Correction

1. a. Cette figure n’est pas une représentation en perspec-tive cavalière du pavé droit . En effet, aucune de ses faces n’est rectangulaire .c. Il s’agit d’une représentation en perspective cavalière . Les faces avant et arrière ont conservé leurs formes rectan-gulaires . Les autres faces sont fuyantes et représentées par des parallélogrammes .d. Arêtes invisibles : [AD], [DH] et [DC] .Faces visibles : ABFE, BCGF et EFGH .

2. a. On observe un patron du pavé droit .

Activité 2. La boite à cadeau• Considérations didactiques et mise en pratiqueDans cette activité, l’élève doit optimiser la surface d’une feuille cartonnée pour construire une boite parallélépi-pédique de surface maximale . Les dimensions du fond étant données, il reste à l’élève à optimiser la hauteur de la boite . Il doit alors se souvenir que les quatre faces latérales à construire devront toutes avoir une dimension commune : celle de la hauteur de la boite .

• Correction

1. et 2. Un exemple de partage optimal . Plusieurs autres sont possibles et aboutissent tous à la configuration suivante .Deux faces de 5 par 4, deux faces de 4 par 2 et deux faces de 5 par 2 . Il restera une bande de surface cartonnée de 4 par 1 non utilisée .

A E

F

B

C

G

D

3.

4. Volume de la boite = 50 × 40 × 20 = 40 000 cm3 ou 40 dm3 .

111 Problèmes de synthèse

■ Pour commencer

1 12 × 13 = 156 roses

2 19 + 18 + 75 + 26 = 138 vaisseaux

3 96 – 49 = 47 poules

4 3 × 3 × 3 = 27 ans

5 35 + 16 = 51 ans

6 14,60 + 14,60 + 3,90 = 33,10 €

7 4 538 : 8 = 567,25 €

8 80 : 3 ≈ 26 canapés

9 Elia est la plus en avance avec 19 + 27 = 46 points, Florie est deuxième avec 20 + 23 = 43 points, leur maman est troisième avec 25 + 16 = 41 points .

10 42 × 14,70 = 617,40 €

11 (189,40 € – (6 × 24,90 € + 2 × 4,40 € + 4 × 3,90 €)) : 2 = 7,80 €

■ Pour s’exercer

12 350 – 200 = 150 habitants en plus chaque année .3 250 – (5 × 150) = 2 500 habitants .

13 137 – 28 – (2 × 28) = 53 jours

14 255 – 68,30 – 39,45 = 147,25 €

15 (2 420 – 1 340) : 15 = 72 .72 : 120 = 0,06 kg = 60 g .

16 (4,30 – 0,90) × 4 = 13,60 m

17 3 400 × 100 = 340 000 crapauds3 400 : 10 = 340 castors340 : 5 = 68 loutres

18 1 250 – (3 × 210) + (2 × 230) = 160 g

19 1. 13 860 000 : 60 = 231 000 €

2. 231 000 : 365 = 632,88 €

20 (1 300 – 370) : 70 ≈ 13 jours

21 (689,90 + 103,20 – 276,50) : 4 = 129,15 €

22 54,80 + 39,75 + (3 × 12,60) + (37 × 1,23) = 177,86 €

Problèmes de synthèse

112

Tâches complexes

1 La foudreFichiers GeoGebra mis à disposition sur le site compa-gnon bordas-myriade.fr :

Carte des alentours de Dax (fichier élève) : M6_TC_carte_eleve.ggbCarte et corrections (fichier enseignant) : M6_TC_carte.ggb

Grâce au doc. 3, on connait les villes où habitent les 4 enfants . Les informations du doc. 1 et de l’énoncé per-mettent de calculer les distances respectives de Pablo et Raphaël par rapport à l’endroit où est tombée la foudre . (Il peut être possible de préciser aux élèves curieux que 340 correspond environ à la vitesse du son, en m/s .)

2 Le stage de fin d’étude• Au Brésil comme en Chine, l’heure à considérer un 1er avril est celle des fuseaux horaires (doc. 3) : il y a donc 11 heures de moins à Rio de Janeiro qu’à Pékin .• Chloé arrive à Rio à 6 h 45, heure de Pékin, et Juliette arrive à Pékin à 18 h 15, heure de Rio .Chloé arrive donc à destination 1 h 30 après Juliette .• Elles pourront s’appeler sur les créneaux horaires suivants :– de 8 h à 11 h à Rio, il sera entre 19 et 22 h à Pékin ;– de 21 h à 22 h à Rio, il sera entre 8 et 9 h à Pékin .

• 6 × 340 = 2 040 : Pablo est à 2 040 m, soit 2,04 km de l’en-droit où est tombée la foudre .• 7 × 340 = 2 380 : Raphaël est à 2 380 m, soit 2,38 km de cet endroit .

En utilisant l’échelle de la carte (voir doc. 2), on trace les deux cercles de centres Oeyreluy et Heugas, avec GeoGebra par exemple .La foudre est tombée à l’intersection de ces deux cercles qui est approximativement à la même distance de Seyresse et de Saint-Pandelon (on peut éventuellement faire tracer la médiatrice du segment qui a pour extrémités les villes Seyresse et Saint-Pandelon) . Cette distance commune est environ 2,8 km .

Ainsi, 2 800340

≈ 8,2 . Naomi et Amalia ont compté jusqu’à 8 .

3 La piscine• 2 × (3 × 2,3) + 2 × (7 × 1,2) + 5 × (1,2 + 7 + 1,1 + 3 + 2,3) = 103,6La surface à peindre a une aire de 103,6 m2 .103,6 × 2 = 207,2Sylvain doit acheter de la peinture pour 207,2 m2 puisqu’il faut deux couches (doc. 2) .207,2 : 10 = 20,7220,72 : 2,5 = 8,288 < 9

113 Tâches complexes

Il lui faut 20,72 litres de peinture, soit 9 pots au prix de 64,20 € le pot (doc. 2) .9 × 64,20 = 577,8Il va payer 577,80 € .• 3 × 5 × 2,2 + 7 × 5 × 1,1 = 71,5Le volume d’eau nécessaire pour remplir la piscine est 71,5 m3 .71,5 × 3,48 = 248,82Le remplissage de la piscine va leur couter 248,82 € .• 577,80 + 248,82 = 826,62Cette rénovation va leur couter 826,62 € .• 71,5 m3 = 71 500 LComme un seau de 10 L se remplit en 16 secondes, il faut 114 400 s pour remplir la piscine soit 31 h 46 min 40 s .En comptant 32 heures, Carine va devoir commencer à rem-plir la piscine à 6 h le 5 juillet .

4 Un coude de tuyau infaisable (Problème DUDU 1)

Plusieurs solutions existent pour faire un angle de 22° :• 67 – 45 = 22° ;• 87 – 45 – 20 = 22° .

5 Les DUDU cuisinent (Problème DUDU 2)

Les DUDU ont mis 200 g de farine au lieu des 120 g nécessaires . Il faut donc adapter la recette de façon pro-

portionnelle . 200 : 120 = 53

, soit environ 1,67 .

On peut donc écrire une nouvelle recette en multipliant chaque quantité par ce coefficient : 333 g de chocolat blanc, 200 g de beurre, 83 g de crème liquide, 200 g de farine, 83 g de poudre d’amande, 250 g de sucre et 10 œufs .

6 Les DUDU et leur quart’niversaire (Problème DUDU 3)

Dans chaque quart d’heure, il y a 15 × 60 = 900 secondes . Dans un million de quart d’heure, il y a donc : 900 000 000 de secondes .Il leur manque donc encore 100 000 000 de secondes pour pouvoir fêter leur milliardième de secondes .Soit dans 1 157 jours 9 heures 46 minutes et 40 secondes, c’est-à-dire dans un peu plus de 3 ans .

7 Les DUDU peignent le cabanon (Problème DUDU 4)

La surface à peindre est égale à :

4 2,20 44 0,40

22 1 2 1,20 1 2

35,2 1,6 2 2,4 32,4 .

( )( ) ( )( )× × +×

× − × − × ×

= + − − =

Comme il faut passer deux couches, il faut un pot au pou-voir couvrant de 64,8 m2 . Le pot acheté suffira donc pour repeindre ce cabanon .

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