Soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est...

Soit l’application f de , définie et continue sur un intervalle [a,b].La dérivée de f au point est définie par

Rappel. Rappel. DDÉRIVÉEÉRIVÉE

DDéfinitionéfinition

B. Rossetto, EuroMed Management, ESCTB. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 11

Conséquences . Géométriquement, la dérivée est le coefficient directeur(la pente) de la tangente à f(x) en . En physique, elle exprime la vari -ation locale (ou instantanée si x désigne le temps) de la fonction f.

0 [a,b]x

t f(t)

0f'(x )

h

f(x)

0f(x )

0x +0x h

+0f(x h)

a b

xx 0h 0

0 00

f(x +h)-f(x ) ff'(x ) = lim = lim

h x

tangente sécante

0x

dff'(x) =

dxNotation :

1. A1. Avant vant NNewtonewton


Le mouvement apparent (géocentrique) des planètes dans la voûte céleste est circulaire mais présente des parties rétrogrades difficiles à appréhender

http://mars.jpl.nasa.gov/allaboutmars/nightsky/nightsky04/

Les astrolabes modélisent ce mouvement apparent par des épicycloïdes

Anticythère Astrolabes

Héliocentrisme (Wikipedia). Bien que quelques précurseurs, comme Hypatie d'Alexandrie vers -370 et Aristarque de Samos vers -280, aient envisagé le mouvement de la Terre autour du Soleil, l'héliocentrisme prend son véritable essor avec les travaux de Nicolas Copernic, qui fut le premier à proposer un modèle héliocentrique incluant la Terre et toutes les planètes connues à l'époque. On doit à Galilée les observations astronomiques et les premiers principes mécaniques justifiant l'héliocentrisme, et à Johannes Kepler un modèle bien plus précis du système solaire, se démarquant notamment par l'introduction d'orbites elliptiques des planètes admettant le Soleil comme un de leurs foyers et non plus circulaires.

http://mars.jpl.nasa.gov/allaboutmars/nightsky/nightsky04/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypatie_d'Alexandrie

http://fr.wikipedia.org/wiki/-370

http://fr.wikipedia.org/wiki/Aristarque_de_Samos

http://fr.wikipedia.org/wiki/-280

11. . La mécanique avant Newton: La mécanique avant Newton: f=kvf=kv

B. Rossetto, EuroMed Management, ESCTB. Rossetto, EuroMed Management, ESCT33

A partir de la loi fondamentale de la dynamique de Newton, on a l'équation

dvf v F, où f v modélise les frottements de type fluide et F la traction.

dt

La solution pour la condition initiale v(0)=0 est

f tF v(t) (1 e ). La valeur

fASYMPTOTIQUE de la vitesse est bien proportionnelle à la force de traction.

y

0 t

Ff

F

f v

2. L2. Lois de ois de NNewtonewton


2. Les lois de Newton2. Les lois de Newton11èreère loi de Newton (principe d’inertie) loi de Newton (principe d’inertie)

Pour un système sans int eraction avec l' extérieur :

v cte, le module est cons tant ce qui signifie

et la direction est aussi constante.

E

Enoncé.

v cte

v

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNNNNN

extérieurestoutes

n particulier, pour un système en équilibre =0 et

reste égal nul, ce qui implique 0.v

F

NNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNNNNN

77

Soit un système (une particule, un ensemble de particules, un solide):

B. Rossetto, EuroMed Management, ESCTB. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

http://www.ostralo.net/3_animations/animations_phys.htm

EuroMed Management, ESCTEuroMed Management, ESCT B. RossettoB. Rossetto 88

2. Les lois de Newton2. Les lois de Newton

Conséquence : pour un système soumis à une force : FNNNNNNNNNNNNNN

vNNNNNNNNNNNNNN

dm

dt

vF


change, en fonction de sa masse d’inertie m:

ddt

p

F


Généralisation : dans le as où la masse varie avec le temps , si désigne la quantité de mouvement : m p vNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

22èmeème loi (principe) de Newton loi (principe) de Newton


3. Cinématique3. Cinématique

Dynamique de rotationDynamique de rotation

1 - Définition du moment cinétique :

L r pNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

0 pNNNNNNNNNNNNNN

( et doivent être évalués au même point 0)

2 - Théorème fondamental de la dynamique de rotation:

ddt

LNNNNNNNNNNNNNN

Preuve:

LNNNNNNNNNNNNNN

d d d d dm

dt dt dt dt dt

L r p p pp r v v r r r F

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

est le moment de la force responsable du mouvement

r

LNNNNNNNNNNNNNN



Mouvement sous accélération constanteMouvement sous accélération constante

x

y

gNNNNNNNNNNNNNN

0x

yg uNNNNNNNNNNNNN N

0x 0x(t) v t x

20 0

0y 00x 0x

x x x x1y(t) g v y

2 v v

0y

(équation paramétrique d’une parabole)

0vNNNNNNNNNNNNNN

On intègre 2 fois et on projette:

20y 0

1y(t) g t v t y

2



Frottement fluideFrottement fluide

(K / m)tWv(t) (1 e )

K

Wk

(équation différentielle du 2nd ordre à coefficients constants)

Exemple: corps en chute libre dans un fluide visqueux.

dvm W K v

dt

t

v(t)

0

Vitesse limite :

Vitesse en fonction du temps :

Wv( )

K

A partir de la deuxième loi :

K : coefficient de forme (corps): viscosité (fluide)

(0)vNNNNNNNNNNNNNN



Frottement solideFrottement solide

x

y

mW gNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

yg uNNNNNNNNNNNNN N

Force de frottement caractérisée par :

NRNNNNNNNNNNNNNN

TRNNNNNNNNNNNNNN

TRNNNNNNNNNNNNNN

NRNNNNNNNNNNNNNN

T

N

Rtg

R

Exemple: plan incliné

Coefficient statique s> coefficient dynamic D

On projette la loi fondamentale de la dynamique

(2ème loi de Newton) sur Ox et Oy.



Mouvement circulaire uniforme Mouvement circulaire uniforme

vNNNNNNNNNNNNNN

0

ωNNNNNNNNNNNNNN

ruu

0.

NNNNNNNNNNNNNN

r

rPr euve : dériver OM r uNNNNNNNNNNNNNN

22

r rv

r u ur

v cte vNNNNNNNNNNNNNN

r cte r

et

(implique ω cttNNNNNNNNNNNNNN

Accélération:

Définition du mouvement circulaire uniforme

rdu

udt

NNNNNNNNNNNNNN

Définition de la vitesse angulaire

v uvNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

et

alors

dmodule :

dtω direction : trièdre

ω, r, v direct

NNNNNNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

(centrale)

)

MThéorème: ω v r

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN


4. Travail et énergie4. Travail et énergie

TravailTravail

P EF gradNNNNNNNNNNNNNN

AB

W F dlNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

Définition. Travail d’une force le long d’une courbe :

dlNNNNNNNNNNNNNN

F

A

B

FNNNNNNNNNNNNNN

P

HPropriété. S’il existe EP tel que

alors est conservative.

AB

Energie potentielle. On définit l’énergie potentielle duchamp de force conservative comme une primitive:

Energie cinétique. L’énergie cinétique d’une particule de masse m dont le module de la vitesse est v est définie par Ek=(1/2)mv2.

PE (+cte) F dlNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

Énergie

FNNNNNNNNNNNNNN

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