Sol exer recap algebre ch2 - Amazon S3d) 3 0,25 7 1,5 17 15F G+ = −t [ ] e) L’opération 2F G−...

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CHAPITRE 2

1. a)

4 1 4

0 1 0

5 0 8

A C

−

+ =

b)

17 13 3

2 3 0 28 20

5 10 19

A C

−

− = − − −

c) L’opération 2 E+ n’est pas définie, car on ne peut pas additionner une matrice et un nombre réel.

d) [ ]3 0,25 7 1,5 17 15tF G+ = − e) L’opération 2F G− n’est pas définie, car les matrices F et G n’ont pas le

même format.

f) 4 1 5

1 5 0t tB D E

− − − − + =

−

g)

11 5

8 1

15 8

tD E

−

+ =

h) 11 8 15

5 1 8tD E

+ =

−

i) 3 3A O A×

+ =

j) L’opération 3 2E O×

+ n’est pas définie, car les matrices E et O3×2 n’ont pas le même format.

2. 2

3 3 où 2ij ijC c c i i j

×= = + +

4 6 8

8 10 12

14 16 18

C

=

3. a) p23 représente le prix du deuxième produit dans le troisième point de vente

en 2013. r43 représente le prix du quatrième produit dans le troisième point de vente en 2014. q32 représente la quantité vendue du troisième produit dans le deuxième point de vente en 2013.


b) La troisième colonne de la matrice S représente les quantités de chacun des m produits vendues dans le troisième point de vente en 2014. La quatrième ligne de S représente les quantités du quatrième produit vendues dans chacun des n points de vente en 2014.

c) Si on considère les matrices P et Q uniquement comme des matrices de nombres, on peut les additionner parce qu’elles ont le même format. Toutefois, il est difficile de trouver un sens à cette opération puisqu’elle consiste à additionner des prix et des quantités de produits.

d) Les matrices P et R étant deux matrices de prix de même format, on peut les additionner. Toutefois, bien malin qui pourrait donner un sens à cette opération.

e) On peut calculer ( )12 P R+ , dont le résultat est la matrice du prix moyen de

chaque produit dans chacun des points de vente pour les années 2013 et 2014.

f) On peut calculer Q S+ , dont le résultat est la matrice des quantités totales de chaque produit vendues dans chacun des points de vente pour les années 2013 et 2014.

g) On peut calculer ( )12 Q S+ , dont le résultat est la matrice de la quantité

moyenne de chaque produit vendue dans chacun des points de vente pour les années 2013 et 2014.

4. Propriété 2

Si A, B et C sont des matrices de format m n× , alors ( ) ( )A B C A B C+ + = + + . PREUVE

Si ij m n

A a×

= , B bij m n=

× et ij m n

C c×

= , alors

( )

ij ij ijm n m nA B C a b c

× ×+ + = + + Définition de l’addition de matrices.

( )ij ij ijm n

a b c×

= + + Définition de l’addition de matrices.

( )ij ij ijm n

a b c×

= + + Associativité de l’addition dans les réels.

ij ij ijm n m na b c

× ×= + + Définition de l’addition de matrices.

( )A B C= + + Définition de l’addition de matrices.

�


Propriété 4 Si A est une matrice de format m n× , alors ( )

m nA A O×

+ − = . PREUVE

Si ij m n

A a×

= , alors

( )

ij ijm n m nA A a a

× ×+ − = + − Définition de la matrice opposée.

( )ij ijm n

a a×

= + − Définition de l’addition de matrices.

[ ]0 m n×= Définition de l’opposé dans les réels. m nO

×= Définition de la matrice nulle.

�

Propriété 5 Si A et B sont des matrices de format m n× et si k est un scalaire, alors

( )k A B kA kB+ = + . PREUVE

Si ij m n

A a×

= et B bij m n=

×, et si k est un scalaire, alors

( )

ij ij m nk A B k a b

×+ = + Définition de l’addition de matrices.

( )ij ijm n

k a b×

= + Définition de la multiplication d’une matrice par

un scalaire. ij ij m n

ka kb×

= + Distributivité de la multiplication par rapport à

l’addition dans les réels. ij ijm n m n

ka kb× ×

= + Définition de l’addition de matrices.

ij ijm n m nk a k b

× ×= + Définition de la multiplication d’une matrice par

un scalaire. kA kB= +

�


Propriété 12

Si A est une matrice de format m n× et si k est un scalaire, alors ( )t tkA kA= .

PREUVE

Si ij m n

A a×

= et si k est un scalaire, alors

( ) ( )

tt

ij m nkA ka

×= Définition de la multiplication d’une matrice par un scalaire.

ji n mka

×= Définition de la transposée d’une matrice.

ji n mk a

×= Définition de la multiplication d’une matrice par un scalaire.

tkA= Définition de la transposée d’une matrice.

� Propriété 13

Si A et B sont des matrices de format m n× , alors ( )t t tA B A B+ = + .

PREUVE

Si ij m n

A a×

= et B bij m n=

×, alors

( ) ( )

tt

ij ij m nA B a b

×+ = + Définition de l’addition de matrices.

ji ji n ma b

×= + Définition de la transposée d’une matrice.

ji jin m n ma b

× ×= + Définition de l’addition de matrices.

t tA B= + Définition de la transposée d’une matrice.

� 5. 15 32 tA B+


6. Les éléments de la diagonale principale d’une matrice antisymétrique sont tous nuls. PREUVE

Si ij n n

A a×

= est une matrice antisymétrique, alors

Définition de matrice antisymétrique.

Définition de l'égalité de deux matrices.

Lorsque .

2 0

0

t

ij ji

ii ii

ii

ii

A A

a a

a a

a

a

i j

= −

⇒ = −

=

=⇒ = −

⇒

⇒ =

Par conséquent, tous les éléments de la diagonale principale d’une matrice antisymétrique valent 0.

�

7. a) Si A est une matrice carrée, alors ( )12

tS A A= + est une matrice symétrique.

PREUVE

Si A est une matrice carrée, alors les matrices A et tA sont compatibles pour l’addition et

( )

( )

( )

( )

( )

12

12

12

12

12

tt t

tt

tt t

t

t

S A A

A A

A A

A A

A A

S

= +

= +

= +

= +

= +

=

Par conséquent, S est une matrice symétrique.

�


b) Si A est une matrice carrée, alors ( )12

tN A A= − est une matrice antisymétrique. PREUVE

Si A est une matrice carrée, alors les matrices A et tA sont compatibles pour l’addition (et la soustraction) et

( )

( )

( )( )( )

( )

12

12

12

12

12

tt t

tt

tt t

t

t

N A A

A A

A A

A A

A A

N

= −

= −

= −

= −

= − −

= −

Puisque tN N= − , N est une matrice antisymétrique.

�

c) Si A est une matrice carrée, alors A S N= + : toute matrice carrée s’écrit comme la somme d’une matrice symétrique ( )S et d’une matrice antisymétrique ( )N . PREUVE

( ) ( )

( )

1 12 2

12 2

t tS N A A A A

A

A

+ = + + −

=

=

Par conséquent, toute matrice carrée s’écrit comme la somme d’une matrice symétrique ( )S et d’une matrice antisymétrique ( )N .

�

8. Pour que le produit AB soit défini, il faut que la matrice B soit de format n p× . Pour que le produit BA soit défini, il faut que la matrice B soit de format r m× . Pour que les deux produits AB et BA soient définis, il faut donc que r n= et que p m= . Par conséquent, la matrice B doit être de format n m× .


9. a) 1 0

0 1BD

=

b) 3 2O×

c) L’opération 2FE A− n’est pas définie, car FE est une matrice de format 2 2×

et 2A est une matrice de format 3 3× .

d) 2

13 18 8

16 17 16

0 16 5

A

−

= −

e) L’opération 2E n’est pas définie, car la matrice E n’est pas carrée. f) L’opération 3 GH+ n’est pas définie, car on ne peut pas additionner un

nombre réel et une matrice.

g)

14 28 58

3 6 51

3 6 71

EF

=

h)

14 3 3

28 6 6

58 51 71

t tF E

=

. Cette matrice est la transposée de la matrice

obtenue en g.

i) 3

10 4

6 3

8 5

I E E

−

= =

j) 3

5 3 1

0 6 4

1 2 7

CI C

−

= = −

k)

1 2 257

3 6 29

53 106 201

AEF

= − −

10. a) L’opération BF n’est pas définie puisque B est de format 2 3× et que F est de format 2 1× .

b) L’opération BE n’est pas définie puisque B est de format 2 3× et que E est de format 1 2× .

c) [ ]7 1 15EB = − − −

d) 1 2 0 1 3 6 8 1

5 3 5 34 2 1 0 6 12 17 22

A D FE− − − −

− + = − + = − − − − −

e) 3 5 3

3 21 3 3

x xG D

x x

− + =

+ −


f)

5 11

3 2 21 0

13 11

tB C

−

− = − −

g) 2 13 44 5

8 11AD G

− − − =

h) L’opération ED AF+ n’est pas définie puisque la matrice ED est de format 1 2× et que la matrice AF est de format 2 1× .

i) 89 30

2 3174 110

BC FE−

− =

j) ( )1 2 5 3 1 10 6 8

4 2 1 2 7 4 3 5tA B C

− − − = −

− −

1 2 5 9 7

4 2 5 1 2

15 7 11

30 34 32

− − − − =

− −

=

− − −

k) ( ) [ ] [ ] [ ]1 2 3 9

1 2 1 2 94 2 6 0

E AF −

= − − = − − = − −

l) ( ) [ ]0 1 10 6 8

1 21 0 4 3 5

tED C

= − − − −

[ ]

[ ]

10 6 82 1

4 3 5

24 9 11

= −

−

=

m) 2 1 2 1 2 9 6

4 2 4 2 12 12A

− − − = =

− − −

n) L’opération 2B n’est pas définie puisque la matrice B n’est pas carrée.

o) ( )

2

2

10 45 3 1

6 31 2 7

8 5

BC

− −

=

40 24 40 24

78 37 78 37

272 1848

6 006 503

− − =

− − =

−

p) 3 0 1

1 0D

− =


q) L’opération 3CI n’est pas définie puisque C est de format 3 2× et que 3I est de format 3 3× .

r) 3

10 4

6 3

8 5

I C C

−

= =

s) [ ]2 1 11 2

1 1

x x x xEG

x x x x

− − = − −

+ − + −

[ ]

[ ]

1 01 2

0 1

1 2

= − −

= − −

11. On a

2

1 5 1 5 1 5

0 1 0 1 0 1

1 0

0 1

− − − − − − =

=

51 50

252

25

1 5 1 5 1 5

0 1 0 1 0 1

1 5 1 5

0 1 0 1

1 0 1 5

0 1 0 1

1 5

0 1

− − − − − − =

− − − − =

− − =

− − =

12. Si 1 0

0 0A

=

et 0 0

0 1B

=

, alors les matrices A et B sont non nulles, mais

2 2AB O×

= . 13. Comme la multiplication matricielle n’est pas commutative, en général AB BA≠ .

a) Non valide : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2AB AB AB A BA B A AB B A B= = ≠ =

b) Valide : ( ) ( )( ) ( )2

AB AB AB A BA B= =

c) Non valide : ( ) ( )( )2 2 2 2 22A B A B A B A AB BA B A AB B+ = + + = + + + ≠ + +


d) Non valide : ( )( ) 2 2 2 2A B A B A AB BA B A B− + = + − + ≠ − e) Valide. f) Valide.

g) Valide : ( )t t t t tA B A B B A+ = + = +

14. a) ( ) ( )2 3 2A B X X A− + = −

9 94 41

4 152

2 2 2 6 3

4 5 2

9 9

32 30 8

A B X X A

X A B

X

− + = −

= −

− − = =

b) 3 2 4X AC BC− = ( )1

3

13

13

140 56 1163 3 3

4 2

6 18 4 2 1

8 36 3 2 3

78 24 60

140 56 116

26 8 20

X B A C= +

=

−

− =

−

− =

−

c) 5 2 3 tX AC X BD+ = − 3 3 tX AC BD= − −

( )13

13

13

13

29 16 563 3 3

623

3

1 3 4 2 1 2 3 1 2 13

6 8 3 2 3 1 5 2 4 6

5 8 8 8 8 163

48 4 30 9 22 31

29 16 56

75 62 123

25 41

tX AC BD= − +

− − − = − +

− −

− = − +

−

= −

− − − =

− − −

d) ( )2 3X A B CD+ + = ( )[ ]1

2

23112 2

3

2 2

X CD A B= − +

− =

− −


15. a) Les lignes 1 et 2 sont interverties :

11 12 13 21 22 23

21 22 23 11 12 13

31 32 33 31 32 33

0 1 0

1 0 0

0 0 1

b b b b b b

PB b b b b b b

b b b b b b

= =

b) Il faut prémultiplier la matrice B par la matrice

0 0 1

0 1 0

1 0 0

Q

=

.

16. a) Comme 22

1 1 1 0

0 1 0 1 0 1

k kA I

= = =

− − , la matrice A est involutive.

b) ( )( ) ( )222 2 2 2 4 2 2 4 3n n n n n n n nA I A I A AI I A I I A A I I− + = + − − = + − − = −

c) Si A est une matrice involutive, alors tA est involutive. PREUVE

Soit A une matrice involutive d’ordre n. On a 2

nA I= . De plus,

( ) ( )( )

( )

( )

( )

2

2

t t t

t

t

t

n

n

A A A

AA

A

I

I

=

=

=

=

=

Par conséquent, la matrice tA est involutive.

� d) L’argument est erroné puisque le produit matriciel n’est pas commutatif, de

sorte qu’en général, ( ) ( )( )2 2 2AB AB AB A B= ≠ .


e) Considérons les matrices 1 1

0 1A

=

− et

1 0

1 1B

=

− . Nous avons vérifié

en a que la matrice A est involutive ( )1k = . De plus, tB A= , de sorte que B est aussi involutive. Par ailleurs,

1 1 1 0

0 1 1 1

2 1

1 1

AB

= − −

− =

−

de sorte que

( )2

2

2 1 2 1

1 1 1 1

5 3

3 2

AB

I

− − =

− −

− =

−

≠

Par conséquent, le produit AB n’est pas une matrice involutive.

17. a) A, B et C sont trois matrices diagonales.

b) 2 4 0

0 9A

=

. Chaque élément de cette matrice est égal au carré de

l’élément correspondant de la matrice A.

c) 3 8 0

0 27A

=

. Chaque élément de cette matrice est égal au cube de

l’élément correspondant de la matrice A.

d) 3

1 0 0

0 64 0

0 0 8

B

−

=

. Chaque élément de cette matrice est égal au cube de

l’élément correspondant de la matrice B. e) Si 2

ij n nD d C

× = = , alors 2

ij ijd c= pour tout i et pour tout j.

f) Si k

ij n nD d C

× = = , alors k

ij ijd c= pour tout i et pour tout j.


18. a) 2

2

2

2

0

a aM

a

=

b) 3 2

3

3

3

0

a aM

a

=

c) 4 3

4

4

4

0

a aM

a

=

d) 1

0

k kk

k

a kaM

a

− =

19. 2 3cos2 sin2 cos3 sin3 cos sin

sin2 cos2 sin3 cos3 sin cosn n n

A A An n

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

= = =

− − −

20. a) Comme on dénombre initialement 10 renards sur l’île, la population initiale

(au temps 0k = ) de renards est donnée par 0 10R = . b) Les renards étant des prédateurs des lièvres, la taille de la population des

renards après k années aura des conséquences négatives sur celle des lièvres au cours de l’année suivante, de sorte que 21 0a < . En revanche, plus il y aura de lièvres après k années, plus ces derniers auront tendance à avoir des descendants, de sorte que 22 0a > .

c) 1k kP AP−

= , où 1k ≥ .

d) 1 0P AP=

( )

( )

22 1 0 0

2 33 2 0 0

0k

k

P AP A AP A P

P AP A A P A P

P A P

= = =

= = =

=

�

e) 33 0

25

52P A P

= ≈

Par conséquent, après 3 ans, on dénombrera 25 renards.

f) Le tableau de population est le suivant :

Populations de renards et de lièvres après k années

k kR kL

0 10 30 5 37 69

10 71 123 15 121 205 20 199 334


21. a) [ ]20 100 5M =

b)

1,10

0,15

1,35

C

=

c) [ ]43,75MC = . La valeur totale, en dollars canadiens, des devises

européennes rapportées par la voyageuse, est de 43,75 $. 22. a) Comme chaque sommet est le point de départ ou d’arrivée de 4 flèches, on

en conclut que chaque joueur a joué 4 parties. b) Les joueurs 2 et 5 ont gagné à 3 reprises puisque chacun d’entre eux est à

l’origine de 3 flèches. Ces deux joueurs sont ceux qui ont obtenu le plus grand nombre de victoires.

c) Les joueurs 1 et 3 ont connu le plus grand nombre de défaites, soit 3.

d)

0 1 0 0 0

1 0 1 0 1

0 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

A

=

e)

0 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

B

=

f)

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0

1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0

C

= + =

La matrice

1

1

1

1

1

E

=

est telle que la matrice CE est de format 5 1× et que les

éléments de cette dernière représentent la somme des éléments de chaque ligne de la matrice C.


g) Comme

3

6

2

3

7

CE

=

, le joueur 5 est celui qui a obtenu le plus grand nombre de

victoires directes et indirectes, soit 7, de sorte qu’il est le meilleur joueur de l’équipe.

23. a) 24a représente la note de Jasmine (89,5) au quatrième examen, 32a

représente la note de Julien (87,0) au deuxième examen et 13a représente la note de James (80,5) au troisième examen.

b) Cette ligne représente les notes de Jasmine à chacun des examens. c) Cette colonne représente les notes de James, de Jasmine et de Julien au

quatrième examen. d) Le produit matriciel AB donne la note finale de chacun des trois élèves. Ainsi,

[ ]86,375 87,125 86,75t

AB = .

e) Il faut effectuer le produit AC où [ ]0,2 0,2 0,2 0,4t

C = . On obtient

alors [ ]87,1 87,6 89t

AC = . 24. a) 21 80 000$a = . En septembre, le montant des ventes de voitures compactes

effectuées par M. Dupuis s’est élevé à 80 000 $. b) 13 120 000$b = . En octobre, le montant des ventes de voitures de luxe

effectuées par M. Tremblay s’est élevé à 120 000 $. c) A B+ représente la valeur totale des ventes effectuées par chacun des deux

vendeurs, pour chacun des modèles de voiture, au cours des mois de septembre et d’octobre.

d) Il faut multiplier la matrice A B+ par 12 , c’est-à-dire calculer ( )1

2 A B+ .

e) Il faut multiplier la matrice B par le scalaire 0,01, c’est-à-dire calculer ( )0,01 B .

f) Le produit [ ]1 1 1t

A représente la valeur totale des ventes effectuées par chaque vendeur au cours du mois de septembre.

g) Il faut calculer le produit matriciel [ ]0,01 0,015 0,02t

B . 25. a) 23 7m = . On dénombre 7 voitures du modèle C dans le garage H.

b) 31 20 000p = . Le prix de revient du modèle C est de 20 000 $.

c)

15 000 20 000 5 0001 1

18 000 25 000 7 0001 1

20 000 30 000 10 000

P

− −

= =

. Cette matrice donne la marge

bénéficiaire sur chacun des modèles de voiture.


d) E MP=

15 000 20 00012 8 15

18 000 25 000 10 9 7

20 000 30 000

624 000 890 000

452 000 635 000

R D

G

H

=

=

La matrice E donne le prix de revient et la valeur au détail de l’ensemble des voitures en stock dans chacun des deux garages, de sorte que 11e représente le prix de revient de l’ensemble des voitures en stock dans le garage G, soit 624 000 $, et que 22e représente la valeur au détail de l’ensemble des voitures en stock dans le garage H, soit 635 000 $.

e) [ ] [ ]624 000 890 000

1 1 1 1452 000 635 000

E

=

[ ]

1076 000 1525 000

R D

=

Le résultat de l’opération matricielle donne le prix de revient et la valeur au détail de l’ensemble des voitures en stock dans les deux garages.

26. a) [ ]761,25 769,50 786,00 790,50 793,50AB =

Cette matrice représente la valeur du portefeuille de l’individu chaque jour de la semaine en question.

b) Le vendredi.

27. a) 1,5 5 4

1 2 2Q

=

b)

18

12

25

U

=

c) Il faut multiplier les matrices Q et U. 187

92C QU

= =

d) 300

125R

=


e) Il faut soustraire la matrice C de la matrice R. Si P est la matrice des profits,

alors 113

33P R C

= − =

. Les bénéfices dégagés de la vente d’une bague sont

de 113 $, et ceux dégagés de la vente d’une paire de boucles d’oreilles sont de 33 $.

28. a) Si on désigne la matrice des quantités par Q et la matrice de production par

P, il faut calculer le produit

46 91

19 16

18 18

QP

=

.

b) Il faut livrer 19 kg de sucre à la boulangerie 1. c) Il faut livrer 91 kg de farine à la boulangerie 2.

29. a) 20 10 10

10 5 5A

=

b)

1420 10 10 560

1610 5 5 280

12

AB

= =

. La matrice AB représente la valeur

marchande totale des trois disques en stock dans chacun des deux magasins.

30. a) 1 000 2 000 1 000

5 000 1 000 0A

=

b) La matrice d’inventaire, à la fin de l’année, est donnée par 0,7 A.

c) 700 1 400 700

0,73 500 700 0

A

=

d) 300 600 300

0,31 500 300 0

V A

= =

e)

50

55

45

P

=

f) La matrice R représente les revenus, par entrepôt, que l’éditeur prévoit tirer de la vente des volumes de l’auteur au cours de l’année.

g)

50300 600 300 61500

551 500 300 0 91500

45

R VP

= = =


31. a)

2 000 100 100 100

3 000 100 100 200

4 000 100 100 200

B D R

= − =

b)

12 200

13 300

04 300

1

B

=

c) Il s’agit du nouveau prix de détail auquel s’élève chacun des trois modèles de voiture lorsque les options 1O et 3O sont retenues.

d)

1200 95 100 75

1,1 1,15 2 050 85 95 170

2 900 70 85 160

B D R

′ = − =

32. a) 21a représente la quantité (13 g) de fibres alimentaires dans 30 g du premier

aliment. b) 13b représente la proportion (0,4) d’aliment 1 dans une portion de 30 g du

déjeuner de type 3. c) La deuxième colonne de la matrice A représente la quantité (en grammes)

de protéines, de fibres alimentaires et de matières grasses dans 30 g du deuxième aliment.

d) Le produit matriciel BA n’a pas de sens. e) Le produit matriciel AB donne les quantités (en grammes) de protéines

(ligne 1), de fibres alimentaires (ligne 2) et de matières grasses (ligne 3) contenues dans une portion de 30 g de chacun des menus représentés par une colonne de la matrice AB.

3,4 3,8 4,2

10,6 8,2 5,8

1,2 1,4 1,6

AB

=

33. a) 32 9q = . Il faut 9 unités du composant m2 pour produire une unité du bien b3.

b) [ ] [ ]

3 7 2 8

5 12 6 2 10 3 2 69 209 70 82

5 9 4 3

BQ

= =

. Cette matrice

donne les quantités requises de chacun des composants m1, m2, m3 et m4 pour effectuer la production des trois biens.


c)

83 7 2 8 166

102 10 3 2 164

125 9 4 3 196

6

tQC

= =

. Cette matrice donne le coût unitaire

de production de chacun des biens b1, b2 et b3.

d) ( ) [ ] [ ]

8

1069 209 70 82 3 974

12

6

t tBQC BQ C

= = =

. Cette matrice donne

le coût total des unités produites des trois biens.

34. a) 23 0,25r = , de sorte que 25 % des étudiants ayant voté au bureau 2B ont voté

pour le candidat 3C . b) La somme des éléments de chaque ligne de la matrice R doit donner 1

puisque la somme des éléments d’une ligne représente la somme des fractions des étudiants ayant voté dans le bureau correspondant à cette ligne. On a donc

1 2 3 4

1

2

3

0,20 0,35 0,35 0,10

0,25 0,20 0,25 0,30

0,30 0,10 0,20 0,40

C C C C

B

R B

B

=

c) [ ]160 120 100V = d) Les matrices R et V sont respectivement de format 3 4× et 1 3× . Par

conséquent, seul le produit VR est défini, et cette matrice est de format 1 4× . e) On a

[ ]

[ ]

0,20 0,35 0,35 0,10

160 120 100 0,25 0,20 0,25 0,30

0,30 0,10 0,20 0,40

92 90 106 92

VR

=

=

f) La matrice VR représente le nombre de votes recueillis par chacun des quatre candidats.

g) Ces deux sommes représentent le nombre de votants exprimé soit comme la somme des votants par bureau de scrutin, soit comme la somme des votants selon le vote qu’ils ont exprimé.

h) Le candidat 3C a remporté l’élection avec 106 votes.


35. a)

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

A

=

b) 2

0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

A

= =

Cette matrice donne le nombre de façons dont une espèce est un prédateur indirect d’une autre espèce par l’intermédiaire d’un autre prédateur. Ainsi, l’espèce 1 est un prédateur indirect de l’espèce 3 de deux façons, soit par l’intermédiaire des espèces 2 et 4. De même, l’espèce 2 est un prédateur indirect de l’espèce 3 d’une façon, soit par l’intermédiaire de l’espèce 4.

36. a)

0 2 2 0

2 0 1 0

2 1 0 1

0 0 1 0

A

=

b) On constate que tA A= , de sorte que la matrice A est symétrique. Cela s’explique par le fait que toute route allant directement de i à j est également une route allant de j à i, de sorte que ij jia a= .

c) 2

0 2 2 0 0 2 2 0 8 2 2 2

2 0 1 0 2 0 1 0 2 5 4 1

2 1 0 1 2 1 0 1 2 4 6 0

0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 1

B A

= = =

d) L’élément ijb donne le nombre de trajets allant de i à j par l’intermédiaire

d’une seule ville.

e) 2

0 2 2 0 8 2 2 2 8 4 4 2

2 0 1 0 2 5 4 1 4 5 5 1

2 1 0 1 2 4 6 0 4 5 6 1

0 0 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1

C A A

= + = + =

f) L’élément ijc donne le nombre de trajets directs et indirects (par

l’intermédiaire d’une seule ville) allant de i à j.


37. t

ji ij n nA A a a

×− = − où ji ija a− donne la valeur des biens importés par le

ièmej pays du ièmei pays moins la valeur des biens importés par le ièmei pays du ièmej pays ou, de manière équivalente, la valeur des exportations du ièmei pays

vers le ièmej pays moins la valeur des importations par le ièmei pays du ièmej pays.

Il s’agit donc de la valeur de la balance commerciale du ièmei pays à l’endroit du ièmej pays. Par conséquent, la matrice tA A− représente la matrice des balances

commerciales entre les pays.

38. a)

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

1 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

A

=

b)

1 0 1 0 1

1 1 0 1 1

1 2 0 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

B

=

c) ijb représente le nombre de trajets de la ville i vers la ville j par l’intermédiaire

d’une ville k. À titre d’exemple, il existe deux trajets de la ville 3 à la ville 2 par l’intermédiaire d’une seule ville, soit 3 1 2→ → et 3 5 2→ → .

d)

1 2 0 2 1

1 2 1 1 1

1 1 2 1 2

1 0 1 0 1

1 1 0 1 1

C

=

e) ijc représente le nombre de trajets de la ville i vers la ville j par l’intermédiaire

de deux villes. À titre d’exemple, il existe deux trajets de 1 vers 2 par l’intermédiaire de deux villes, soit 1 4 1 2→ → → et 1 2 5 2→ → → .


f)

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

1 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

A

=

2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

2 2 0 2 1

1 1 0 1 0

0 1 1 0 1

A A

+ =

2 3

2 3 1 3 2

2 3 2 2 3

3 3 2 3 3

2 1 1 1 1

1 2 1 1 2

A A A

+ + =

g) Chaque entrée ijd de la matrice 2 3D A A A= + + représente le nombre de

trajets directs de la ville i vers la ville j ou indirects par l’intermédiaire d’une ou de deux villes. Comme la matrice D ne compte plus aucun zéro, il faut en conclure que chacune des cinq villes peut être reliée à une autre par l’intermédiaire d’au plus deux autres villes.

39. a) La forme générale d’une matrice de Leslie est

1 2 1

1

2

1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

i n n

i

n

d d d d d

s

s

A

s

s

−

−

=

� �

� �

� �

� � � � �

� �

� � � � � �

� �

b) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2 1 0 2 0X AX A AX A X= = =

c) ( ) ( ) ( )[ ] ( )1 2 0k k k kX AX A AX A X− −= = = =�

d) Le nombre 0,06 représente le taux de survie des truites femelles au moment de la seconde observation. Ainsi, seulement 6 % des truites femelles survivent jusqu’à la seconde observation.


e) Les truites femelles d’au moins 4 ans donnent naissance, en moyenne, à 82 descendantes au cours de la cinquième année.

f) À compter de l’âge de 2 ans. g) Au temps 0t = , il y a 600 truites femelles de 1 an ou plus, mais de moins de

2 ans, dans le ruisseau Hunt. h) La structure par âge à 1t = est donnée par

( ) ( )1 0

11010

600

204

32

4

X AX

= =

40. 2

36 27 18

64 48 32

24 18 12

D

− −

= − −

et 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

D

=

. Par conséquent, D est une

matrice nilpotente d’indice 3. 41. a) On a

( ) [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1 1

1

A

A

=

=

=

( )1 1 1 1

2 2 2 2 22 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 14 4 4 4

1 1 1 14 4 4 4

1 12 2

1 12 2

2

A

A

=

+ + =

+ +

=

=

et


( )

1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3

21 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 33

1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 19 9 9 9 9 9 9 9 9

1 1 1 1 1 1 1 1 19 9 9 9 9 9 9 9 9

1 1 1 1 1 1 1 1 19 9 9 9 9 9 9 9 9

1 1 13 3 3

1 1 13 3 3

1 1 13 3 3

3

A

A

=

+ + + + + +

= + + + + + + + + + + + +

=

=

Par conséquent, les matrices 1A , 2A et 3A sont idempotentes.

b) Si [ ]1nn n n

A×

= , alors

( )

[ ]

2

21

2

1

1n

nk n n

n n

n n n

An

n

n

A

= ×

×

×

=

=

=

=

∑

de sorte que nA est une matrice idempotente d’ordre n.

42. Propriété 3

Soit r un scalaire. Lorsque les opérations matricielles sont définies,

( ) ( ) ( )r AB rA B A rB= = . PREUVE

Soit ij m nA a

×= , ij n p

B b×

= et ij m pC AB c

×= = où

1

n

ij ik kjk

c a b=

=∑ . Alors, d’une

part,


( )

( )

( )

( )

1

1

1

n

ik kjk m p

n

ik kjk m p

n

ik kjk m p

r AB rC

r a b

r a b

ra b

rA B

= ×

= ×

= ×

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

D’autre part,

( )

( )

( )

( )

1

1

1

n

ik kjk m p

n

ik kjk m p

n

ik kjk m p

r AB rC

r a b

r a b

a rb

A rB

= ×

= ×

= ×

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

Par conséquent, ( ) ( ) ( )r AB rA B A rB= = .

�

Propriété 5

Lorsque les opérations matricielles sont définies, ( )A B C AB AC+ = + et ( )D E F DF EF+ = + . PREUVE

Nous n’allons démontrer que la première partie de la propriété, la preuve de la deuxième partie étant analogue. Soit ij m n

A a×

= , ij n pB b

×= et ij n p

C c×

= . Alors,


( ) ( )

( )

1

1

1 1

1 1

n

ik kj kjk m p

n

ik kj ik kjk m p

n n

ik kj ik kjk k m p

n n

ik kj ik kjk km p m p

A B C a b c

a b a c

a b a c

a b a c

AB AC

= ×

= ×

= = ×

= =× ×

+ = +

= +

= +

= +

= +

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

�

Propriété 7

m n n p m pO A O× × ×

= et n p p q n qA O O× × ×

=

PREUVE

Nous n’allons démontrer que la première partie de la propriété, la preuve de la deuxième partie étant analogue.

Si ij n pA a

×= , alors [ ]

1

0 0n

m pm n n p kj m pk m p

O A a O×× × ×

= ×

= × = = ∑ .

�

43. Si AB A= et BA B= , alors la matrice AB est une matrice idempotente.

PREUVE

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2AB AB AB A BA B A B B AB B A B AB= = = = = =

Par conséquent, AB est une matrice idempotente.

�

44. a) 5 tBA b) 5 tA B+

c) ( )2 2 tt tA A A AA A− + −


45. Si ABA A= , alors BA est une matrice idempotente. PREUVE

( ) ( )( )

( )

( )

2BA BA BA

B ABA

B A

BA

=

=

=

=

Par conséquent, BA est une matrice idempotente.

�

46. Si A et B sont deux matrices diagonales de même ordre, alors le produit AB est aussi une matrice diagonale et AB BA= . PREUVE

Si ij n nA a

×= et ij n n

B b×

= , alors ij n nC AB c

×= = où

1

n

ij ik kjk

c a b=

=∑ et

ij n nD BA d

×= = où

1

n

ij ik kjk

d b a=

=∑ . Les matrices AB et BA ont donc le même

format ( )n n× . Puisque les matrices A et B sont diagonales, tous les éléments situés de part et d’autre de la diagonale principale sont nuls : si i j≠ , alors

0ij ija b= = . Par conséquent, si i j≠ , alors 0ik kja b = et 0ik kjb a = , car au moins un

des deux facteurs de chacun de ces produits est nul quelle que soit la valeur de k.

Donc, si i j≠ , alors 1

0n

ij ik kjk

c a b=

= =∑ et 1

0n

ij ik kjk

d b a=

= =∑ parce que chacun des

termes de ces deux sommes vaut 0. Les matrices AB et BA sont donc diagonales et elles sont de même ordre. Il suffit maintenant de montrer que les éléments correspondants des diagonales principales des matrices AB et BA sont identiques,

c’est-à-dire que ii iic d= . Or, 1

n

ii ik ki ii iik

c a b a b=

= =∑ puisque tous les autres termes de

la somme sont nuls. Pour la même raison, 1

n

ii ik ki ii ii ii iik

d b a b a a b=

= = =∑ . On en

conclut que ii iic d= . Par conséquent, AB BA= .

�


47. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures de même ordre est une matrice triangulaire supérieure. PREUVE

Si ij n nA a

×= et ij n n

B b×

= sont des matrices triangulaires supérieures, alors

0ija = et 0ijb = lorsque i j> . On note le produit de ces deux matrices

ij n nC AB c

×= = où

1

n

ij ik kjk

c a b=

=∑ . Il faut montrer que 0ijc = lorsque i j> . Or, si

i j> , alors 0ika = pour les valeurs de k allant de 1 à 1i − inclusivement, et 0kjb =

pour les valeurs de k allant de i à n. Par conséquent, 0ik kja b = quelle que soit la

valeur de k puisqu’au moins l’un des deux facteurs de ce produit est nul. On en

déduit que si i j> , alors 1

0n

ij ik kjk

c a b=

= =∑ parce que chacun des termes de cette

somme vaut 0. La matrice AB est donc une matrice triangulaire supérieure.

�

48. Soit ij m nA a

×= . Alors t

ji n mA a

×= et t

ij m mC AA c

×= = où

1

n

ij ik jkk

c a a=

=∑ , de sorte que

1

n

ii ik ikk

c a a=

=∑ . Par conséquent, ( )2

1 1 1

Trm m n

t

ii iki i k

AA c a= = =

= =

∑ ∑ ∑ .

49. a) Oui puisque 32 1p = .

b) Les premier et deuxième sites puisque 13 23 0p p= = .

c)

1 1 0 0

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 1 1

A

=

; cette matrice est symétrique.

d) Le produit d’une matrice par sa transposée est une matrice symétrique. PREUVE

Si ij m n

A a×

= , alors le produit AAt est une matrice carrée d’ordre m. De plus,

( ) ( )t t

t t t

t

AA A A

AA

=

=

Le produit d’une matrice par sa transposée est donc une matrice symétrique.

�


e) Chaque terme de 3

1ik jk

k

p p=

∑ vaut 0 ou 1 puisque les facteurs de ces termes

valent 0 ou 1. De plus, un terme de cette somme vaut 1 si et seulement si les deux facteurs de ce terme valent 1, c’est-à-dire si et seulement si

1ik jkp p= = , soit si et seulement si les ièmei et ièmej sites contiennent tous les

deux des poteries du ièmek type. L’expression 3

1ij ik jk

k

a p p=

=∑ compte donc le

nombre de types de poterie trouvés à la fois dans les ièmei et ièmej sites.

f)

2 1 0

1 2 1

0 1 2

B

=

g) Chaque terme de la somme 4

1ij ki kj

k

b p p=

=∑ vaut 0 ou 1 puisque les facteurs de

ces termes valent 0 ou 1. De plus, un terme de cette somme vaut 1 si et seulement si les deux facteurs de ce terme valent 1, c’est-à-dire si et seulement si 1ki kjp p= = , soit si et seulement si le ièmek site recèle des

poteries des ièmei et ièmej types. L’expression 4

1ij ki kj

k

b p p=

=∑ désigne donc le

nombre de sites qui ont en commun les ièmei et ièmej types de poterie.

50. a) Si A et B sont des carrés magiques d’ordre n, alors A B+ est aussi un carré magique et ( ) ( ) ( )S A B S A S B+ = + . PREUVE

Si ij n n

A a×

= et ij n nB b

×= , alors ij ij n n

A B a b×

+ = + . La somme des

éléments de la ièmei ligne de la matrice A B+ est

( )

( ) ( )

1 1 1

n n n

ij ij ij ijj j j

a b a b

S A S B

= = =

+ = +

= +

∑ ∑ ∑

On peut montrer de façon analogue que la somme des éléments de la

ièmej colonne de A B+ vaut aussi ( ) ( )S A S B+ . Par conséquent, la matrice A B+ est un carré magique tel que la somme des éléments de chaque ligne ou de chaque colonne vaut ( ) ( )S A S B+ , d’où ( ) ( ) ( )S A B S A S B+ = + .

�


b) Si A et B sont des carrés magiques d’ordre n, alors AB est un carré magique et ( ) ( ) ( )S AB S A S B= × . PREUVE

Si ij n nA a

×= et ij n n

B b×

= , alors ij n nC AB c

×= = où

1

n

ij ik kjk

c a b=

=∑ . Il faut

prouver que la somme des éléments de la ièmej colonne de C, soit 1

n

iji

c=

∑ , et

que la somme des éléments de la ièmei ligne de C, soit 1

n

ijj

c=

∑ , valent

( ) ( )S A S B× . Autrement dit, il faut montrer que ( ) ( )1 1

n n

ij iji j

c c S A S B= =

= = ×∑ ∑ .

Or, la somme des éléments de la ièmej colonne de C est

( )

( )

( ) ( )

1 1 1

1 1

1 1

1

1

n n n

ij ik kji i k

n n

ik kjk i

n n

kj ikk i

n

kjk

n

kjk

c a b

a b

b a

b S A

S A b

S A S B

= = =

= =

= =

=

=

=

=

=

= ×

=

= ×

∑ ∑∑

∑∑

∑ ∑

∑

∑

On peut montrer de façon analogue que ( ) ( )1

n

ijj

c S A S B=

= ×∑ . Par

conséquent, la matrice AB est un carré magique tel que la somme des éléments de chaque ligne ou de chaque colonne vaut ( ) ( )S A S B× , d’où

( ) ( ) ( )S AB S A S B= × .

�


51. Si A est une matrice carrée d’ordre n telle que t

nA A I= , alors ( ) ( )t

n nI A I A− + est

une matrice antisymétrique. PREUVE

Par hypothèse, t

nA A I= . De plus, d’une part,

( ) ( ) ( ) ( )t t

n n n n

t t

n

t

n n

t

I A I A I A I A

I A A A A

I A A I

A A

− + = − +

= − + −

= − + −

= − +

et, d’autre part,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

tt t

n n n n

t

n n

t t

n

t

n n

t

I A I A I A I A

I A I A

I A A A A

I A A I

A A

− + = + −

= + −

= + − −

= + − −

= −

Par conséquent,

( ) ( )

( )

( ) ( )

tt t

n n

t

t

n n

I A I A A A

A A

I A I A

− + = −

= − − +

= − − +

On en conclut que ( ) ( )t

n nI A I A− + est une matrice antisymétrique.

�

52. a) Faux. Il faut également que les matrices à additionner comptent le même

nombre de colonnes. b) Vrai. Si

1ij nA a

×= est une matrice ligne, alors

1

t

ji nA a

×= est une matrice

colonne.


c) Vrai. Soit ij m nA a

×= et ij n p

B b×

= ; alors ij m pC AB c

×= = où

1

n

ij ik kjk

c a b=

=∑ .

Or, si A est une matrice nulle, alors 0ika = pour toutes les valeurs de i et de

k. Par conséquent, 0ijc = pour toutes les valeurs de i et de j, et C est une

matrice nulle. On arrive à la même conclusion, au moyen d’un raisonnement analogue, en supposant que la matrice B est une matrice nulle.

d) Faux. 1 0

0 0A

=

et 0 0

0 1B

=

sont des matrices non nulles dont le

produit est une matrice nulle. e) Faux. Si A est une matrice de format 3 2× et si B est une matrice de

format 2 3× , alors le produit AB est une matrice de format 3 3× tandis que le produit BA est une matrice de format 2 2× . Par conséquent, AB BA≠ .

f) Faux. En vertu de la propriété 6 du théorème 2.2, ( )t t tAB B A= . Puisque la

multiplication de matrices n’est généralement pas commutative, t t t tB A A B≠ ,

de sorte que ( )t t t t tAB B A A B= ≠ .

g) Faux. La matrice D de l’exercice 40 est une matrice nilpotente et 23 3D O

×≠ .

h) Faux. Il faut également que les deux matrices carrées soient de même ordre.

i) Vrai. ( )t

t tA B C C= = = . j) Vrai. 2A A= . k) Vrai. Lorsqu’on transpose une matrice carrée A, on déplace sous la

diagonale principale les éléments situés au-dessus de celle-ci. Si A est une matrice triangulaire inférieure, alors tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls et, par conséquent, tous les éléments de tA situés sous la diagonale principale sont nuls. On en conclut que tA est une matrice triangulaire supérieure.

l) Faux. L’expression 2A est définie seulement si la matrice A est carrée. m) Faux. Si A est une matrice de format 2 3× et si B est une matrice de

format 3 4× , alors le produit AB est de format 2 4× , tandis que le produit BA n’est pas défini.

n) Vrai. Si A est une matrice de format m n× , alors la matrice B doit aussi être de format m n× pour que l’addition de ces matrices soit définie. De plus, la matrice B doit être de format n p× pour que le produit AB soit défini. Par conséquent, il faut que m n p= = . Les matrices A et B sont donc des matrices carrées de même ordre.

o) Faux. ( ) ( )( )2 2 2A B A B A B A AB BA B+ = + + = + + + . En général, AB BA≠ .

Par conséquent, ( )2 2 2 2 22A B A AB BA B A AB B+ = + + + ≠ + + .

p) Vrai. Si A est une matrice idempotente, alors ( ) ( ) ( )2 2 2 n nn n nA A A A A= = = = .

Par conséquent, nA est aussi une matrice idempotente.


q) Vrai. Si A est une matrice idempotente, 2A A= , de sorte que

( )

( )

( )

2

2

t t t

t

t

t

A A A

AA

A

A

=

=

=

=

Par conséquent, tA est une matrice idempotente.

53. a)

0,8 0,3

0,2 0,7T

=

b)

0,7 0,3 0,2

0,1 0,5 0,2

0,2 0,2 0,6

T

=

54. La répartition des plantes selon leur type dans deux générations est donnée par

( ) ( )2 2 0

20,5 0,25 0,0 0,3

0,5 0,5 0,5 0,5

0,0 0,25 0,5 0,2

0,262 5

0,5

0,237 5

P T P=

=

=

Par conséquent, après deux générations, il y aura une probabilité de 0,237 5, soit de 23,75 %, d’obtenir une plante à fleurs blanches.


55. a) Comme 23 0,4t = , il y a une probabilité de 0,4, soit de 40 %, qu’un DVD loué au comptoir 3 soit retourné au comptoir 2.

b) On a

( )

2

2 0

0,6 0,2 0,1 0,2

0,1 0,8 0,4 0,4

0,3 0,0 0,5 0,4

0,27

0,528

0,202

T P

=

=

Par conséquent, il y a une probabilité de 0,202, soit de 20,2 %, qu’un DVD soit retourné au comptoir 3 après avoir été loué 2 fois.

56. a) 0 0,5

1 0,5T

=

b) ( )

4

4 0 0 0,5 0

1 0,5 1T P

=

c) Comme ( )4 0 0,312 5

0,687 5T P

=

, il y a une probabilité de 0,687 5 que ce couple

mange des pâtes le jeudi soir suivant.

57. a) 0,25 0,1

0,75 0,9T

=

b) Comme

( )

2

2 0 0,25 0,1 0,05

0,75 0,9 0,95

0,116 125

0,883 875

T P

=

=

il y a une probabilité de 0,116 125, soit de 11,612 5 %, qu’en 2015 (soit deux ans plus tard), une personne effectue au moins une réclamation.

58. a) ( )0

0,50

0,30

0,20

P

=


b) On peut représenter les mouvements de la clientèle par le diagramme de transition suivant.

La matrice de transition est

0,80 0,20 0,05

0,10 0,75 0,05

0,10 0,05 0,90

T

=

c) Elle vaut 1 ou 100 %. La somme de la part du marché qu’une entreprise a conservée et des parts qu’elle a perdues au profit de ses concurrents est égale à 100 % du marché que l’entreprise détenait au début du mois.

d) Oui parce que tous les éléments de la matrice sont non négatifs et que la somme des éléments de chaque colonne est 1.

e) ( )0

0,470

0,285

0,245

TP

=

. Cette matrice représente la part du marché détenue par

chaque entreprise à la fin du mois. On la note ( )1P . Ainsi, à la fin du mois, l’entreprise 1 détient 47 % du marché, l’entreprise 2 en détient 28,5 % et l’entreprise 3 en détient 24,5 %. On observe également que la somme des éléments de ( )0TP est 1 ou 100 %.

f) Il faut multiplier la matrice de transition et la matrice des parts du marché à la fin du premier mois, c’est-à-dire évaluer ( )2P . On a

( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 0 2 0

0,445 25

0,273 00

0,28175

P TP T TP T P

= = = =

g) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 0n n n nP TP T TP T P− −= = = =�


59. a)

0,9 0,03 0

0,05 0,95 0,02

0,05 0,02 0,98

T

=

b) On a

( )

2

2 0

0,9 0,03 0 0,6

0,05 0,95 0,02 0,25

0,05 0,02 0,98 0,15

0,500 865

0,287 990

0,211145

T P

=

=

Par conséquent, la première région comptera environ 50,1 % de la population, la deuxième en comptera environ 28,8 % et la troisième, environ 21,1 %.

c) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 0n n n nP TP T TP T P− −= = = =�

60. a) La matrice et le diagramme de transition sont

1 13 3

1 22 3

1 22 3

0

0

0

T

=

b) ( )

( )

( )

( )

01

0 020

3

p

P p

p

=

c) ( )

12

0 13

16

P

=

d) ( )3P

e) On a


( ) ( )3 3 0

31 1 13 3 2

1 2 12 3 3

1 2 12 3 6

1354

115324

131324

0

0

0

P T P=

=

=

Par conséquent, la probabilité que la souris se trouve dans le deuxième compartiment après trois coups de cloche est de 115

324 , soit d’environ 35,5 %.

61. Pour vérifier que 1 d b

Bad bc c a

− =

− − est la matrice inverse de A, il faut

constater que 2BA AB I= = . Or,

2

1

010

1 0

0 1

d b a bBA

ad bc c a c d

ad bc

ad bc ad bc

I

− =

− −

− =

− −

=

=

Il est tout aussi facile de constater que

2

1

1 0

0 1

a b d bAB

c d ad bc c a

I

− =

− −

=

=

Par conséquent, la matrice B est la matrice inverse de A, et on écrit 1B A−= .

62. ( ) ( )( )

1 12 21

1 12 2

1 11 11 1 1 1 1 1

d bA

ad bc c a

−−

= = = − − − − − −


63. a) 0 0

0 0AB

=

b) Non, car ( ) ( )1 0 1 0 0ad bc− = − = .

c) 7 11

0 0AC AD

= =

d) En effet, C D≠ et pourtant AC AD= . 64. a) ( )( ) ( )2 1 2 1 2k k k k

n n n nI A I A A A I A A A A A A I A− −− + + + + = + + + + − + + + = −� � �

b) En vertu du résultat obtenu en a,

( ) ( ) ( )1k k

n k n k n nI A S I A S I A I A−

− = − ⇒ = − −

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

lim lim k

k n n n n n n n n nk k

S I A I A I A I O I A I I A− − − −

×→∞ →∞

= − − = − − = − = −

d) 2 3

2 3

2 3

0 0 0, ,

0 0 0

kk

k

a a aA A A

b b b

= = =

et 0 0

lim0 0

k

kA

→∞

=

.

Pour évaluer lim k

kS

→∞, il faut d’abord montrer que la matrice 2I A− admet une

matrice inverse. Or, il est facile de vérifier que

( )1

2

10

11

01

aI A

b

−

−

− = −

et que cette matrice est définie lorsque 1a ≠ et 1b ≠ . Par conséquent,

( )1

2

10

1lim1

01

k

k

aS I A

b

−

→∞

−

= − = −

.

65. On désigne la matrice des coefficients par A, la matrice des constantes par B et la

matrice des inconnues par X. On écrit chacun des systèmes d’équations donnés sous la forme AX B= et la solution est 1X A B−= .

a) 2 1

11 111

5 322 22

A− =

− et 1 2

1A B−

=

. Par conséquent, la solution est 2x = et

1y = .

b) 31

7 141

3 17 7

A− =

et 1 2

5A B−

=

. Par conséquent, la solution est 2x = et 5y = .


c) 57

47 471

8 147 47

A− =

− et 1 1

1A B−

=

. Par conséquent, la solution est 1x = et

1y = .

66. On a 1 1

2 41 14 1 1

2 4

2 1

2 1B−

− − = − =

− − , de sorte que

31 1 1

2 4 2 41

31 1 12 4 2 4

1 2

1 2t tAB B A B B−

− = ⇒ = = =

− − −

67. Comme

3

2 3 1 1 2 3

1 3 2 1 3 5

1 1 1 2 5 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

CA

I

−

= − − −

=

=

et que, 3AC I= , alors C est l’inverse de A, c’est-à-dire que 1C A−= . Le système d’équations linéaires

2 3 10

3 5 5

2 5 9 20

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =

s’écrit donc sous la forme AX B= et la solution est

1

25

15

5

X A B CB−

= = = −

Par conséquent, la solution est 25x = , 15y = − et 5z = .

68. Il est toujours possible d’additionner et de multiplier deux nombres réels; par contre, il n’est pas toujours possible d’additionner ou de multiplier deux matrices. La multiplication de nombres réels est commutative, alors qu’en général la multiplication de matrices ne l’est pas. Tous les nombres réels, à l’exception de 0, possèdent un inverse, alors que les matrices carrées non nulles ne possèdent pas


toutes un inverse (une matrice inverse). L’expression na est définie pour tout nombre réel a et tout entier positif n, tandis que nA n’est défini que si A est une matrice carrée. Si le produit de deux nombres réels est nul, alors au moins un des deux facteurs est nul; par contre, le produit de deux matrices non nulles peut être une matrice nulle. Enfin, il existe des matrices A, B et C telles que A n’est pas une matrice nulle, et AB AC= , sans toutefois que B C= .

Sol exer recap algebre ch2 - Amazon S3d) 3 0,25 7 1,5 17 15F G+ = −t [ ] e) L’opération 2F G−...

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