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Semestre 1– Module Physique 1 – mécanique 1

FILIERES : SMA et SMI

Semestre 1

Année universitaire 2017-2018

Réalisé par :

PPrr.. BBEENNHHMMIIDDAA AAbbddeellllaattiiff

Fascicule TP en ligne :

Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/ (voir ressources pédagogiques/filière SMA/SMI/S1/)

2

TABLES DES MATIERES

Généralités 3

I. Erreurs et Incertitudes 13 (Préparé et Réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)

II. Pendule simple 21 (Préparé et Réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)

III. Etude du mouvement de rotation 24 (Préparé et Réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)

3

GENERALITES

Effectuer la mesure d’une grandeur physique revient à comparer une

grandeur inconnue par rapport à une autre qui est connue (exemple : mesure

d’une longueur avec un mètre).

Cependant, la comparaison directe entre deux grandeurs physiques de

même espèce dont l’une reste à déterminer n’est pas toujours possibles ; on peut

alors passer par une relation ( loi physique) qui lie la grandeur recherchée et

d’autre grandeurs connues que l’on peut mesurer sans difficultés.

Pratiquement. On a recours à certaines méthodes expérimentales et à des

appareils adéquats pour déterminer la grandeur recherchée. Ces méthodes et

appareillages n’étant évidement pas parfois ; la grandeur ne peut être déterminée

qui de manière approchée. Le choix des méthodes et appareil dépend de la

précision que l’on désire obtenir ; en effet, il est évident que la précision ne sera

pas la même selon qu’on mesure une épaisseur d’une plaque par exemple avec

un pied à coulisse ou avec une règle graduée au millimètre.

Nous avons évoqué que si la mesure ne pouvait pas être effectuée de

manière directe, on pouvait la déduire à partir d’une loi physique.

Cependant, les relations qui traduisent ces lois physiques font intervenir des

coefficients numériques dans l’expression mathématique.

Ces coefficients dépendent des unités que l’on choisit, d’où la nécessité de

définir un système d’unités.

I. INCERTITUDE DE MESURES.

Dans l’estimation de l’incertitude d’une grandeur mesurée plusieurs fois,

on peut distinguer plusieurs cas.

I.1. Premier cas.

Le cas où l’appareil possède une précision supérieure ou égale à la

fluctuation de la grandeur mesurée, il faut alors effectuer plusieurs mesures,

4

prendre la moyenne arithmétique et déterminer l’incertitude en prenant le plus

grand écart entre cette valeur moyenne et les différentes valeurs mesurées.

Exemple 1 :

On se propose de mesurer T correspondant à 10 oscillations d’un pendule

de torsion à l’aide d’un chronomètre sur lequel on a une incertitude de lecture

0.1s.( = 0.1s).

On effectue plusieurs mesures qui donnent :

1 = 42.6s, 2 =41.8s, 3 =43.4s, 4 =41.8s, 5 =43.0s

Tm = 5

0.438.414.438.416.42 = 42.52s

m1 = 0.08s, m2 = 0.72s, m3 = 0.88s

m4 = 0.72s, m5 = 0.48s.

Le plus grand écart entre la valeur moyenne et les valeurs mesurées est :

Sup. m4 = m9 = 0.88s (i variant de 1 à 5).

L’incertitude absolue est alors à = 0.88s.

On constate que est supérieure à l’incertitude de lecture ( s1.0 ). La valeur

du temps mesuré et de son incertitude s’écrivent alors :

sm )(

Soit : ss)9.05.42(

Exemple 2 :

On se propose de mesurer un courant I à l’aide d’un ampèremètre. En

plaçant le calibre de l’ampèremètre sur la position de 10 l’aiguille se stabilise

vers la 56 ème division de l’échelle graduée de 1 à 100.

Les relations qui permettent le calcul de I et I sont :

Nb. de divisions lues x calibre

I =

Nb.tot. de division de l’échelle de lecture

L’erreur sur I est donnée par :

I = I Lecture +I systématique avec :

I systématique = (classe x calibre /100)

5

0.5 division x calibre

N.b tot. de division de l’échelle de lecture

Application Numérique :

Ax

5.6100

1065

syst Ax

15.0100

105.1

lect Ax

05.0100

105.0

A)2.05.6(

: 1 Remarque

L’incertitude absolue systématique est constante pour un calibre donné.

Remarque 2 :

Il faut choisir le calibre toujours de telle sorte que l’on ait la plus grande

déviation possible de l’aiguille en veillant toute fois à ne pas sortir des limites du

cadran. Ainsi, si on effectue des lectures sur un ampèremètre dont les calibres

sont : 0.01; 0.3; 1; 10.

Un courant de 0.2A sera lu sur le calibre 0.3.

Un courant de 0.8A sera lu sur le calibre 1.

Un courant de 4.6 A sera lu sur le calibre 10.

II. CALCUL D’INCERTITUDE.

En général, la mesure d’une grandeur G s’effectue par la mesure d’autres

grandeurs physiques intermédiaire (x, y, z, u, v) indépendantes.

Le grandeur G est alors définie par : G= G(x, y, z, u, v)

Connaissant les incertitudes de mesure de (x, y, z, u, v) on détermine les

incertitudes absolue G et relative G

G.

6

II.1. Principe du calcul

II.1.1. Cas d’une seule variable.

On détermine la valeur de G(x) à partir de la mesure de la grandeur x. Soit

x l’incertitude absolue associée à x.

Soit dG la différentielle de G définie par : dG = G'(xo)dx

G'(xo) est la dérivée de G par rapport à x au point xo (valeur mesurée de x). dG

et dx sont des valeurs positives ou négatives alors que G et x sont positives.

G xxoG )('

Exemple.

Calculer l’incertitude sur le moment d’inertie I sachant que le rayon r

est mesuré avec une incertitude r . La masse est supposée connue de manière

exacte ( m = 0).

On a I= mr2 donc dI=m.(2rdr) et rrm .2

Application numérique :

m= 1kg, r= 0.20m donc I = 0.04 kg.m2

si r= 0.01m alors I= ( 2x1x 0.20) x 0.01= 4 10-3

kg.m2.

II.1.2 Cas de plusieurs variables.

Soit G= G( x, y, z, u, v, w,…..) la grandeur dont on veut déterminer la

valeur et sont incertitude.

Soient x, y, z, u, v, w, ….les grandeurs mesurées. Pour calculer

l’incertitude G on généralise la méthode utilisée dans le cas précédent :

dG=G’x+dx+G’y dy+G’z dz+G’u du+G’v dv+G’w dw+…..

G’xi= [ xi

G

] est la dérivée partielle de G par rapport à la variable xi les

autres variables étant supposées constantes.

Exemple :

G= x + 3y - z2- w

4 + 5v -

u

1

1'

x

GxG ; ;

1'

2uu

GuG

3'

y

GyG

7

5'

v

GvG ; ;2' z

z

GzG

34' w

w

GwG

2

23u

duzdzdydxdG + dwwdv 345

on passe ensuite des différentielles dG , dx, dy…….aux incertitudes absolues

.......,, yxG la variation maximale de G associée à x, y,….. c'est-à-dire la

valeur absolue de la différentielle dG de G constitue l’incertitude absolue G

sur G. Cette étape du calcul s’appelle ; Majoration Physique.

Nous avons : ,GdG ,xdx .....ydy

D’où : ......'' yyGxxGG

.Différentes méthodes pour calculer les incertitudes II.2.

.II.2.1 Premier cas

La fonction dont on veut calculer l’incertitude est déterminée à partir des

sommes, de différences, de produits ou de quotidiens.

: Exemple

21z

zu

xxyG

1ére étape :

différentiation de la fonction duGdzGdyGdxGdG uzyx ''''

ydG zxdyu

dxdx 2 du

z

x

z

dzdz

22

2éme étape :

Regroupement des coefficients de dx, dy, dz et du.

22)

12()

1(

u

xdz

zzxdydx

uydG du

3éme étape :

Majoration physique :

G = u

y1

x + x y + 2

12

zz z +

2u

x + u

8

II.2.2. Deuxième cas.

Produits et quotidiens de somme et de différences.

Exemple :

xvy

uxvuyxG

),,,(

1ére étape :

Différentiation de la fonction

On prend cette fois le logarithme de G et on différencie log(G) ce qui permet de

calculer directement l’erreur relative G

G

)log()()log( xvyuxLogG

uvy

xvyd

ux

uxd

G

dGGd

)()()log(

ux

du

ux

dx

G

dG

xvy

dx

xvy

dv

xvy

dy

2éme étape :

on regroupe les coefficients de dx, dy, du et dv.

dxxvyuxG

dG)

11(

dy

xvy)

1(

ux

du

xvy

dv

3éme étape :

Majoration physique :

G

G u

uxxvyv

xvyx

xvyux

11111

III. TRACE DES COURBES

Considérons la relation V=RI et nous voulons calculer la résistance R, V

et I étant des paramètres mesurables.(voir tableau).

Classe de l’ampèremètre=2 et classe du voltmètre=2

I(mA) 3 5 7 9 11 13 15

I (mA) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6

V(volts) 5 9 12.6 15.6 19 22.8 26

v(volts) 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6

9

Chaque résultat expérimental est représenté par un rectangle d’incertitude

dont la longueur des cotés est 2 ; le centre du rectangle étant le point (V,I).

Tracer la courbe sur papier millimètre.

Toutes les droites qui coupent ces rectangles vérifient la relation V=RI.

III.1. Calcul de la pente, incertitude sur la pente et déduction de la

grandeur physique recherche.

Parmi toutes les droites qui coupent les rectangles d’incertitude, on

détermine les pentes P1 et P2 des droites limites.

Soient ),( 11 yxA et )','(' 11 yxA deux points appartenant à la droite de pente

1P et ),( 22 yxB , )','(' 22 yxB deux points appartenant à la droite de pente 2P ,

On aura :

11

111

'

'

xx

yyP

et

22

222

'

'

xx

yyP

La pente moyenne aura pour valeur

2

21 PPPm

Et son incertitude est 2

21 PPPm

Exemple 1 :

Cas de la fonction V=RI. Détermination de la résistance R.(R, étant une

constance).

VP1 =

21

21

'

'

II

VV

;

VP2 =

2'

'

2

22

I

VV

2

21 PPPm

;

2

21 PPP

Or, nous avons :

V=RI R=Pm et PR m

10

Application numérique

AVP /152710).415(

8.76.2431

AVP /194510).415(

2.66.2732

AVPP

Pm /17362

19451527

2

21

AVPP

P /2082

21

)2081736(R

Remarque

Ne pas oublier de concevoir les valeurs du contrat en ampère et les valeurs de la

résistance en Ohm.

Exemple2.

Détermination de la constante K d’un ressort à partir de la courbe

)( 2TfM connaissent la variation de la période T en fonction de la masse

(Confère courbe 2).

MKg 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250

)(kgM 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

)(sT 7,8 11,4 13,8 15,8 18,0

)(sT 0,2 0.2 0.2 0.2 0.2

)( 22 ST 61 130 190 249 324

TSTT )(22 3,1 4,5 5,5 6,3 7,2

Nous avons que K

MT 2 . On trace la courbe )( 2TfM . C’est une

droite. On détermine les droites limites de pente 1P et 2P . La pente moyenne mP

est égale à.

2

21 PPPm

et

2

21 PPP

11

avec )('

'2

12

12

111

Td

dM

TT

MMP

; les points ),(

2

11 TM et ),'(2

11 TM sont sur la

droite limite de pente 1P .

2

2

2

2

222

'

'

TT

MMP

=

)( 2Td

dM les points ( 22 ,TM ) et ( 2

22 ,' TM ) sont sur la droite

limite de pente P2.

Or, nous avons :

K

MT 2 et

K

MT 22 4

2

21 PPPm

et

2

21 PPP

soient 2 points I(Ti2

, Mi) et J(Tj2 , Mj) sur la courbe de pente moyenne Pm. les

coordonnées de I et J vérifient la relation :

K

MT 22 2

donc : )(4 2

22

jiji

MMK

TT

ou encore :

)(4

22

2 ji TTK

MjMi

(1)

La relation (1) est une relation linéaire de M en fonction de T2, elle est de

la forme Pxy , la pente P étant égale à 24

K.

Donc la constante K recherchée est reliée à la pente P par :

pmK 24

Et l’incertitude

mPK 24 .

12

Application numérique

233

1 /10.71.040400

10)38296(skgP

233

21 /6110.02

10)51.071.0(

2skg

PPPm

1.0!! ErreurErreurPm 23 /10 skg

mNPmk /408.24 2

mNPmk /0039.04 2

mNk /1)4.08.240( 2

l’unité de k se déduit facilement à partir de l’équation aux dimensions de la

formule : .kxF

Remarque 1 :

Le tracé d’une courbe s’effectue sur papier millimétré, sur celui-ci, il faut

porter les axes de référence en indiquant le nom de la grandeur physique

représentée ainsi que l’échelle choisie.

Il faut que le choix de l’échelle permette l’utilisation de la surface

maximale de la feuille de papier millimétrée.

Remarque 2 :

Ne pas confondre la tangente qui n’a pas d’unités et la pente qui a une

unité.

Remarque 3 :

Il est inutile de porter sur les axes de coordonnées les valeurs associées

aux mesures ou de tracer des droites parallèles aux axes de coordonnées.

13

ERREURS ET INCERTITUDES

I. GENERALITES.

A) Origine des erreurs

On peut classer les erreurs commises sur une mesure ou une série de mesures en

deux grandes catégories :

- les erreurs aléatoires :

Les qui en sont responsables ont des origines variées (frottement faux

contacts, mauvaise mise au point, erreur de lecture du chronomètre…). Elles ne

peuvent, par définition, être évitées ; de plus, leur évaluation est délicate. C’est

ce genre d’erreur qu’il s’agit d’estimer dans la mesure en physique.

- les erreurs systématiques :

Elles résultent soit d’un défaut de l’appareil de mesure, soit de l’utilisation

d’une méthode de mesure mal adaptée. Elles peuvent en général être évitées ou

corrigées.

B) Incertitudes absolues et Incertitudes relatives

Soit Ve la valeur exacte d’une grandeur physique (inconnue) et Vm la

valeur mesurée. On définit l’erreur certaine part :

Valeur de l’erreur certaine= VeVm

Or Ve étant inconnue, il faut définir une estimation probable, appelée incertitude

absolue ( X ) sur la mesure de la grandeur XX , est donnée par :

VmX - Valeur exacte probable.

Les méthodes statistique et probabilistes permettent de calculer la valeur

exacte probable.

Pour comparer les mesures 'X d’une même grandeur dans des intervalles

de valeurs très différentes, on, définit l’incertitude relative par :

14

Incertitude relative=X

X (sans unité)

On l’exprime souvent en pourcentage.

Exemple :

Une mesure de la tension électrique V aux bornes d’une prise de courant

donne V=223 volts.

Ce résultat est connu à 4volts prés. L’incertitude absolue est donc

V= 4volts.

L’incertitude relative est : 018,0233

4

V

V soit 1,8%

II. METHODE STATISTIQUE.

Si l’on dispose d’un grand nombre de mesure de la même grandeur :

1°) On commence par les grouper en classes et on calcule l’effectif in de chaque

classe i , c'est-à-dire le nombre de mesure appartenant à chaque classe.

2°) Ensuite, on trouve un graphique en portant en ordonnée les effectifs de

chaque classe ( in ) et en abscisse la valeur centrale ( iX ) de chaque classe.

Le graphique obtenu s’appelle un histogramme.

Exemple :

Une succession de mesures d’une d. d. p. (30 mesures) aux bornes d’un secteur

électrique a donné le tableau suivant :

N° de la mesure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Valeur (Volts) 6,1 5,1 4,3 5,2 4,4 5,3 3,2 3,5 4,1 6,2 4,5 6,3 2,1 6,4 6,5

N° de la mesure 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Valeur (Volts) 4,2 4,7 5,8 7,1 1,4 5,4 3,1 5,7 4,6 5,6 2,3 5,5 3,8 8,7 7,2

Tableau N°1

Comment former les classes :

a) On cherche la valeur maximale et la valeur minimale :

)29(7,8max mesureVV éme et )20(4,1min mesureVV éme .

15

b) On considère l’intervalle convenable contenant maxV et minX par exemple

[0,10] que l’on divise en 10 intervalles représentant alors la famille de classes.

[0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10].

c) En se servant du tableau N°1, on compte l’effectif de chaque classe et on

remplit un tableau comme suit :

Classes ( i ) [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]

Valeurs

(centrales) iX 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

Effectifs ni 0 1 2 3 4 7 8 5 2 0

d) Tracé de l’histogramme

L’histogramme correspondant est représenté sur la figure 1.

En général l’allure de l’enveloppe ni de l’histogramme est une « gaussienne »

3°) On calcule la valeur moyenne.

16

Soit Xi l’une des valeurs représentant les classes. La moyenne X est donnée

par : X = N

niXiL

i

1

ni : l’effectif de la classe i

Xi : Valeur centrale de la clase i

N =

L

i

ni1

(Total des effectifs)

:L nombre de classes

4°) On calcule l’écart quadratique ou écart type.

N

XXnL

i

ii

1

2)(

Dans notre exemple :

X = VV 1,506,5

V5,2

5°) Récapitulatif.

Si l’enveloppe est une ‘‘gaussienne’’ la théorie des probabilités montre

qu’il y a :

- 68% de chance de trouver une valeur iX dans l’intervalle [ XX , ]

- 95% de chance de trouver une valeur iX dans l’intervalle [ 2,2 XX ]

- 99% de chance de trouver une valeur iX dans l’intervalle [ 3,3 XX ]

Autrement dit on a : XXX au niveau de confiance 68%

22 XXX au niveau de confiance 95%

33 XXX au niveau de confiance 99%

Ceci peut également s’écrire comme suit:

X : avec un niveau de confiance de 68%

2X : avec un niveau de confiance de 95%

3X : avec un niveau de confiance de 99%.

17

III. CAS OU LE NOMBRE DE MESURES EST RESTEINT.

En pratique pour le calcul d’incertitude, on utilise l’une des deux

méthodes suivantes :

A) Mesure directe d’une grandeur X.

On mesure n fois la même grandeur en question, puis on détermine la moyenne

arithmétique :

n

Xi

Xm i

X est alors donnée par le plus grand écart à la moyenne mX :

im XXX sup , ni ...,..........3,2,1

C’est –à- dire la plus différence im XX en valeur absolue.

mX peut être considérée comme la valeur probable de X

X est l’incertitude absolue sur la valeur de .X

Exemple :

Cinq mesures de la période des oscillants d’un pendule simple ont donné

les résultats suivants :

Période )(1 sT )(2 sT )(3 sT )(4 sT )(5 sT

Mesure 1,015 1,012 1,023 1,018 1,017

Calcul de la valeur moyenne mT de la période et de son incertitude :T

5

54321 TTTTTTm

T est déterminée par la plus grande différence en valeur absolue :

im TTT sup

18

D’où

sT

sT

)006,0017,1(

006,0

B) Détermination indirecte d’une grandeur X.

Certaines grandeurs (masse, longueur, temps) peuvent être directement en

les comparant à l’unité. Pour d’autres grandeurs, la mesure se ramène à

l’application d’une formule reliant la grandeur à évaluer à d’autres grandeurs

directement mesurables.

Par exemple la mesure de la surface d’un rectangle de coté a et b se

ramène à l’application de la formule axbS donnant la surface S en fonction

des grandeurs a et b directement mesurables.

1. Méthode de calcul des incertitudes.

Problème posé : Nous voulons calculer l’incertitude sur une grande X

exprimé en fonction grandeurs ,a ,b ,...c directement mesurables. Connaissant

les mesures des grandeurs ,a ,b ,c … et les incertitudes ,a ,b ...,c pour

calculer ,X il faut effectuer les étapes suivantes successivement :

Calculer la différentielle ou la différentielle logarithmique de X selon

l’expression de X

a) Dans le cas d’un produit, par exemple X K ba

ba

22

(exemple 1), on calcule

le logarithme Xlog puis sa dérivée :

Exemple 1 :

ca

dc

ca

da

b

db

a

da

X

dX

ca

cad

b

db

a

da

X

dX

bcaakX

32

)(32

log3)(log2loglog

19

b) Dans le cas d’une somme algébrique cbaX (exemple 2) ou d’une

expression ne faisant pas intervenir des produits 2

1

32 )( baX (exemple

3) on calcule la différentielle de X :

Exemple 2 : dcdbdadX

Exemple 3 :

dbba

bda

ba

adX

dbb

Xda

a

XdX

32

2

32 2

3

Regrouper les termes de même élément différentiel et éventuellement

simplifier.

Dans les exemples 2 et 3 les éléments différentiels sont différents.

Prendre les valeurs absolues des différents termes et remplacer les

différentielles ""d par des "" (incertitude).

Exemple 1 : cca

bb

acaaX

X

1312.

Exemple 2 : cbaX .

Exemple 3 : bba

ba

ba

aX

32

2

32 2

3.

2. Expression du résultat final.

Si une mesure a donné les résultats suivants : 5847,6X et 01,0X (

unité: de X ), l’écriture : )01,05847,6( X est fausse. En effet, puisque

01,0X (2 chiffres après la virgule) nous ne pouvons garder que deux chiffres

après la virgule pour ,X soit 6,58 et on écrit :

)01.058.6( X .

Si 001,0X , alors )001,0585,6( X .

Si 0001,0X , alors )0001,05847,6( X .

20

N.B : Lorsqu’on effectue le calcul d’incertitudes, on doit toujours exprimer le

résultat final sous la forme : (X ± ΔX) unité.

3. Méthode de comparaison entre valeur théorique et valeur expérimentale

d’une même grandeur physique :

En physique lorsqu’il s’agit de faire des mesures expérimentales, nous

avons vu qu’il arrive que l’on puisse mesurer directement ou déterminer

indirectement une grandeur, à partir de la mesure d’autres grandeurs liées à

celle-ci, par une équation obtenue à partir d’une étude théorique. La valeur

mesurée directement notée dX est appelée valeur expérimentale et l’autre notée

1X est appelée valeur théorique.

Les incertitudes relatives aux deux mesures sont dX et iX et sont dues à

l’opérateur et aux instruments de mesure. Afin de comparer dX à Xi et voir s’ils

correspondent à la même grandeur, aux incertitudes prés, nous procéderons de la

manière suivante :

a) Si idid XXXX , alors les deux déterminations donnent valeurs dX et iX

comparables et alors l’expérience confirme l’étude théorique en question.

b) Si id XX > id XX alors l’écart entre dX et iX ne se justifie pas par les

incertitudes de mesure. Ce résultat doit nous étonner et nous pousser à refaire la

mesure, à revoir la méthode d’évaluation des incertitudes ou à revoir l’étude

théorique. Dans tous les cas, en physique c’est l’expérience qui prime par à

rapport à la théorique.

IV. PARTIE PRATIQUE : A faire en salle de travaux-pratiques.

21

PENDULE SIMPLE

I- BUT :

La détermination de l’accélération de la pesanteur g par l’étude d’un

pendule simple.

II- Théorique et matériel

Le pendule simple est constitué par une sphère S de faible diamètre et de

grande densité, assimilable à un point matériel concentré en son centre d’inertie.

Elle est accrochée à un fil de longueur 1qui est à son tour suspendu à une

potence.

Nous disposons aussi d’une règle graduée pour la mesure des longueurs et

d’un chronomètre pour la mesure du temps.

La pendule, écarté de sa position d’équilibre d’un angle et abandonné à

lui-même, se met à osciller avec une période T. dans le cas des petits angles.

Potence

1

m

S

verticale 0

-Figure-

si on écarte la masse m d’un angle petit, la masse m oscillera autour de la

verticale (position d’équilibre) passant par le point O et, la période des

oscillations est donnée par la relation :

22

III- Manipulation

a. Indépendance de l’angle

Suspendre l’un des pendules de longueur 30 cm. En restant dans la limite

des petits angles, remplissez le tableau suivant :

Temps (s)

angle

1t 2t 3t mt ( t )s ( t )s t T T

)(1 grand

)(2 petit

1 et 2 faibles ( 15 )

le temps t désigne la durée de 10 oscillations. Il est mesuré 3 fois ; ce qui donne

21 , tt et mtt ,3 étant la moyenne et + ( t )s systématique. Avec,

( t )a =sup ( im tt ) et ( t )s=précision du chronomètre.

La période T et son incertitude t seront données par les formules

10

mtT et 10

tT

gTT

12

(1)

Vérifier que pour les angles importants la période dépend de l’écartement

(prendre 000 6045,30 et )

Conclusion

La différence entre (T grand) et T ( petit) a-t-elle une signification physique

compte tenu des incertitudes ?

Qu’en déduisez vous ?

b. Indépendance de la masse

En suivant la même marche qu’au paravent remplissez le tableau suivant :

(En ayant sont de prendre la même longueur pour les deux pendules)

23

Temps (s)

angle

1t 2t 3t mt ( t )s ( t )s t T T

1

2

La différence entre les deux périodes a-t-elle une signification physique ?

Si oui essayer de l’expression par le fait qu’on n’a pas exactement la même

longueur pour les deux pendules et qu’il existe une incertitude liée à la précision

de la règle graduée tel que d’après la formule (1)

l

l

T

T

2

1

Conclusion

c. Mesure de g.

En utilisant le pendule le plus pesant, remplissez le tableau suivant en

prenant chaque fois 2 mesures de t .

L(m) 1t 2t 3t tm tm T T 2T 2T

0,30

0,40

0,50

Représenter graphiquement )1(fT en ayant soin de noter les rectangles

d’incertitudes de côtés ( 22 T et l2 ). Quelle est la mesure de la courbe

obtenue ? Tracer les droites limites et calculer les pentes limites 21etPP en

déduire PP et .gg

d. Mesure de la longueur d’un pendule

En considérant l’un quelconque des deux pendules prenez une longueur

inconnue .X Mesurez la période correspondante T et d’après la formule (1).

Calculer .xx

- Faites la même mesure avec la règle graduée ( xx ).

- Comparer les deux méthodes. Conclusion ?

24

ETUDE DU MOUVEMENT DE ROTATION

I. But de la manipulation.

Le but de la manipulation est l’étude d’un mouvement de rotation d’un

corps solide autour d’un axe fixe. Le solide utilisé présente un axe de symétrie

confondu avec l’axe de rotation.

La force appliquée sera constante en module et direction, elle donnera au

solide un mouvement uniformément accéléré. En faisant varier certain

paramètre, on vérifiera la nature du mouvement et on calculera le moment

d’inertie du système par rapport à son axe de rotation.

II. Description.

Le montage comprend ( voir figure 4) :

- Un tambour monté sur roulement à billes, sur lequel est entouré un fil

souple. Le tambour tourne de l’axe, horizontal.

- Une tige solidaire du tambour, graduée de 2 cm en 2cm à partir de l’axe

- Deux masses cylindres M pouvant coulisser sur cette tige. Il existe trois

jeux de masses, soient M la masse la plus grosse, M’ celle de taille moyenne

et M* celle de petit taille.

- Un chronomètre.

- Une masse à accrocher au bout du fil.

25

r d

M

M

M

Figure 4.

III. THEORIE.

Inventaire des forces :

- Système la masse :m ( P , 1T )

système le tambour chargé des 2 masses )(: TM poids et réaction du support

dont les moments par rapport à sont nuls 1T -T . En supposant le fil de

masse négligeable, donc T = T (1)

Lors du mouvement, la masse acquiert l’accélération que l’on peut exprimer en

fonction de l’accélération angulaire du tambour.

.

26

est la tension du fil

+

M

M . r X’

axe de rotation

1T 1T

Figure 5 m

P X

r (2) ; 2

2

dt

d

L’équation fondamentale de la dynamique appliquée à la masse m en

mouvement donne, en projetant sur xx ' : mTP 1 :

mTmg 1

)()(1 rgmgmTT (3).

Le théorème du moment d’inertie appliqué au tambour donne :

.. IrT (4).

En utilisant (3) et (4) on obtient :

ImgrmgrrT )(. 2 .

D’où l’équation du mouvement du système :

)( 2mrI = )(mgr (5).

On pose : J= (I+mr2) et Mo= mgr.

r = rayon du cylindre

27

Equation du mouvement :

Modt

dJ

2

2 (6)

En posant : J= (I+mr2) et Mo= mgr.

Dans notre manipulation, Mo gardera une valeur constante.

Conditions initiales :

On lâche le tambour sans vitesse initiale et on prend l’origine des angles à

cet endroit là :

A l’instant 0t 0 et 0dt

d

Intégration de l’équation différentielle :

*On intègre (6) une première fois :

1KMotdt

dJ

teconsK tan1 = 0 car 0 à l’instant t=0

Motdt

dJ

*On intègre une deuxième fois

2

MoJ 2

2 Kt Où K2 = constante

02 K car 0 à l’instant t=0

donc 2

2t

MoJ

Soit ( 2mrI ) 2.2

tmgr

(7)

Calculs des moments d’inertie :

Nous appellerons Ioz le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation du

tambour et de la tige graduée.

28

axe axe DG

d

- Figure 6-

Nous noterons I1 le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation d’une masse

mobile M.

I=I0+211

Le Théorème de Huygens dit que le moment d’inertie I1 d’un corps de masse M

par rapport à un axe Δ est égal à la somme du moment d’inertie I’ de ce corps

par rapport à un axe ΔG (parallèle à Δ et passant par son centre de gravité G)et

de 2Md où d est la distance de ΔG à Δ :

2'

1 MdII

Dans le cas de ce système, il y a une masse M de chaque côté donc :

'2

0 22 IMdII .

L’équation du mouvement prend la forme suivante :

( 2'2

0 22 mrIMdI ) 2

2rt

mg

Avec:

M : masse enfilée sur la tige (masse cylindre).

d : distance axe de rotation centre de gravité de M.

m : masse accordée a bout du fil.

r : rayon du tambour.

29

I0 : moment d’inertie par rapport à l’axe Δ du tambour non chargé, le

moment I’ vaut :

)43

(4

'

2

2

2

1

2 DDlMI

l

D1 D2

-Figure 7-

M : masse cylindre de diamètre intérieur D1 et de diamètre extérieur D2 et

de hauteur l.

IV. MANIPULATION

Généralités.

a)

b) Mesure.

On placera toujours la masse M de façon à ce qu’un de ses bords coïncide

avec une encoche E de la tige graduée et on placera l’autre masse M de telle

sorte que la tige reste horizontale quand il n’y a pas de masse m accrochée au fil.

2

lLd ou

2'

lLd (voir Figure 8).

30

axe

Encoche (E) I

M

L Fig 8

D

L’

c) comment placer les masses additionnelles

Mesurer leur masse puis les placer à la même distance d de l’axe comme

indiqué dans a/. Mettre la tige horizontale et faire un réglage fin pour que le

tambour soit en équilibre ( le centre de gravité est alors sur l’axe).

Si les deux masses n’ont pas une valeur identique prendre pour les calculs la

moyenne des deux.

d) Mesure de .

Enrouler le fil sur la tambour en tendant le fil pour éviter les plis et y

accrocher une masse m, après avoir mesurer précisément la valeur de m.

Mettre la tige verticale, cette position sera prise comme origine des angles.

( = 0). Repérer chaque passage de la tige à cette position verticale.

sera mesuré en repérant un nombre entier N de tours.

Quelle relation lie en radiant et N ?

e) Préliminaires.

Mesurer l, D1, D2 (voir figure 7) et le diamètre (2r) du tambour avec le pied à

coulisse ; une précision au millimètre est suffisante : en déduire r.

G.

31

1°) Etude du mouvement

Prendre m= 40g placer les masses additionnelles M telles que leur centre

de gravité soit à d= 24,5 cm de l’axe ( l’axe du bord de la masse doit coïncide

avec le bord de la tige graduée).

Mesurer le temps ( pour faire un tour, 2 tours, 3tours, 4tours, 5tours, pour

chaque nombre N de tours, faire plusieurs mesures (au moins 3).

- Représenter N= ( )( 2tf ) en plaçant toutes les mesures faites.

N t1 t2 t3 t t t2 t

2

1

2

3

4

5

Quelle courbe obtient-on ? Dessiner la droite C1 moyenne passant au

milieu des points.

Conclusion : que peut-on dire de '' ? Quel type de mouvement a le

tambour ? Calculer la pente de la droite C1 obtenue et en déduire '' .

2°) Détermination de I0.

- Prendre m=30g ( mesurer précisément cette masse ).

- calculer I’, mr2, Md

2 pour d=10cm et démontrer que pour d>10cm

J= I0+2Md2+2I’+mr

2=I0+2Md

2.

On prendra dans la suite des calculs:

J=I0+2Md2

- Tracé de la courbe )( 22 dft

- Mesurer plusieurs fois le temps nécessaire pour faire quatre tours, pour les

distances d=24,5cm ; 20,5 ; 16,5cm ; 12,5cm ; 5cm

32

- Représenter graphiquement )( 22 dft en plaçant touts les mesures

d(cm) d2

t1 t2 t3 t t t2 t

2

24,5

20,5

16,5

12,5

5

A noter que :

- N = 4 tours (nombre de tours)

d = 0.2 cm

- Quelle courbe obtient-on ?

L’équation (8) est de la forme .22 badt calculer littéralement a et b

d’après cette équation.

- Tracer une droite C2 passant au milieu des points. Mesurer b sur le graphe

et en déduire I0.

- Vérifier que l’approximation 2

0 2MdIJ était valable ( '20 II et 2mr )

Conclusion :

Que pensez-vous de cette méthode de mesure d’un moment d’inertie ?

Quelle sont les principes causes d’incertitude ?

Facultatif :

Refaire la même expérience avec les masses M’. soit C’2 la droite

obtenue.

Recalculer I0 par la même méthode et comparer avec le résultat précédent.

Calculer les pentes des droites 2C et '

2C (soit a et 'a ). Calculer '/ aa et

comparer à './ MM conclusion.