Singularités D’ordre Supérieur De 1-Formes, 2-Formes Et Équations De Pfaff

SINGULARITIES D'ORDRE SUPERIEUR DE ~-FORMES, z-FORMES ET I~.QUATIONS DE PFAFF

par FERNAND P E L L E T I E R

TABLE DES M A T I I ~ R E S

I~rrRoDucmo~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G~_APrr~ I. - - S y m b o l e d*ma g e r m e de 2 - f o r m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I . i . Symbole et &endard d 'une 2-forme ext&ieure sur un drapeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Symbole d ' u n germe de ~-forme et d ' une famil le d ' id6aux embolt6s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I . 3- Symbole d ' u n germe de 2-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPrrR~ I I . - - S i n g u l a r i t ~ s de rang d e s 2 - f o r m e s e t 2 - i ' o r m e s f e r r u l e s . S i n g u l a r i t 6 s d e c l a s s e

d'~quat ions de P f a f f e t d e x - f o r m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ~ 1 7 6

2. 3 .

2. 4 �9

2. 5 �9

2 .6 .

2. 7 .

CrmPrrm~

3.x . 3 .2 .

~ 9

~37

~37 14o

x42

I45

Notat ions, G6n6ralit~s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Singularit6s du rang des 2-formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 46

Rela t ion entre les ensembles ~80 ... 8k(r176 d 'un germe de 2-forme et les singularit6s X;8o .. . 8k I49

Cas des 2-formes ferm&s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i5o

Compor tement g6n6rique du rang d ' une 2-forme sur une var i&& Cas des 2-formes ferm6es x53

Compor tement g6n6rique de la classe d ' une 6quatlon de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Quelques s lngular i t& d 'ordre sup6rieur de la classe d 'une x-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

I I I . - - Cons truc t ion des s lngtdar i t~s d an s A~ et ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Plan de d6monstra t ion des th6or~mes 2 . 2 . x et 2 . 4 . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

D~monstrat ion de la proposit ion 3. I . 3 (esquisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I67

I N T R O D U C T I O N

Soit o une forme diffdrentielle sur une vari&6 M de dimension n. Le rang de o

en un point x de M est la codimension de l'espace associ6 k o, ou noyau de o, c'est-k-dire

l'espace

K~(x) = { u e T ~ M [ u A c 0 x = o }

(u A o~ d6signe le produit int6rieur de o~ par u). L a dasse de o en x est la codimension

de l'intersection des noyaux de co et de do en x c'est-h-dire l'espace K,o(x) r~ K~(x) .

La classe et le rang sont invariants par le groupe des diff6omorphismes de la vari&&

129

17

x3o F E R N A N I ) P E L L E T I E R

En mdcanique analytique, les formes de rang et de classe constants jouent un r61e essentiel, comme, par exemple, les formes symplectiques et les formes de contact. (Rap- pelons qu 'une forme symplectique est une 2-forme fermde de rang maximum sur une varidtd de dimension paire, une forme de contact est une I-forme de classe maximale sur une varidtd de dimension impaire.)

En gdndral, le rang ou la classe varient d 'un point A un autre. Le lieu des points off le rang, ou la classe, s'abaissent est une singularitd de la forme, c'est-k-dire un ensemble de points off les propridtds de la forme changent localement.

Une situation analogue se prdsente pour le rang d 'une application. La thdorie des singularitds de rang d'applications diffdrentiables d 'une varidtd M dans une varidtd P, les singularitds de Thom-Boardman ([I], [2], [9], [I2], [I3], [17]), repose sur les deux principes suivants :

A) la donnde d 'un invariant numdrique p, c'est-k-dire d 'une application p : M • Cr176 P ) - + N invariante par l'action du groupe des diffdomorphismes de M et de P. Pour les applications, l ' invariant est le rang;

B) la construction d'ensembles singuliers :

I ) On ddfinit les ensembles singuliers ~ ] r l ( f ) = {X e M I x) _- rl}. Ce sont les premiers ensembles singuliers.

2) Supposons ddfini Y',I ... , i - l(f)" Lorsque cet ensemble est une sous-varidtd rdgulirre de M on peut dtudier

Zrl . . - ' / - l ' i ( f ) = {X e Zrl ... , , - l ( f ) tel que p(f~, x) = r~},

o~af~ est la restriction d e f ~ Y,,x ... ,i-a(f)"

L'ensemble Z,x ... , i( f) , quand il peut ~tre ddfini, n'est pas toujours une sous-varidtd rdgulirre. GrAce aux throrrmes classiques de transversalitd de Rend Thorn ([I8]), gdndriquement (c'est-~t-dire pour un ensemble rdsiduel d'applications f ) , les ensembles Z,~(f), . . . , Z~ ... r i (f) sont des sous-varidtds rdguliSres de M.

Une premiSre dtude des singularitr de rang et de classe de formes diffrrentielles a dtd entreprise par Jean Martinet dans sa thSse ([i o]). Voici rappelds ses principaux rdsultats.

Soit to une p-forme diffrrentielle ou une p-forme fermde sur M :

- - s i p ~ 2, gdndriquement le rang de to est maximum en tout point de M, saufpeut-~tre sur un ensemble de points isolds os to s'annule (cette derniSre situation se prdsente pour p = i, n - - i, n);

- - s i p = 2, gdndriquement le rang de to est n -- c le long d 'une sous-vaxidtd rdgu- c(c- 1)

liSre Z~ de codimension - - , lorsque n - c est pair. 2

La classe d 'une forme fermde est dgale ~t son rang. La situation gdndrique de la classe d 'une p-forme est analogue ~t celle du rang, ~t la diffrrence prSs que ce sont les

1-formes au lieu des 2-formes qui ont un comportement particulier. L'dtude de Jean Martinet concerne dgalement le comportement gdndrique de la

130

SINGULARIT~S D'ORDRE SI.TPI~RIEUR DE I-FORMES, '~-FORMES i3z

classe d 'une fiquation de Pfaff. Rappelons que la classe d'une gquation de Pfa f f ~ en x est la codimension du noyau K~m,~(x), si co est une I-forme repr~sentant localement a. La situation gdndrique est alors la mdme que pour le rang d'une 2-forme. Dans le cas particulier des 2-formes ferm6es sur R 4, il a poursuivi l '6tude en montrant que la varidt6 :

Z2(r ) = {x e R ' ] rg,r = 2}

peut ~tre encore stratifi~e en sous-varidtds par la valeur de la dimension de l'intersec-

tion K,~(x) n T, Z2(r ) (voir aussi [14] ). De cette maniere, Jean Martinet suggerait que l 'on pourrait construire pour les formes une thdorie des singularit~s d 'ordre supdrieur, analogue k la th~orie de Thom-Boardman. L'objet de ce travail est de faire par-

tiellement une tetle ~tude.

Comme le montrent tous les rdsultats rappelds plus haut, le rang (resp. la classe)

d 'une p-forme est un mauvais invariant pour p ----- I, et 3 ~< P ~< n -- 2 (resp. 2 ~< p ~< n), dans le sens off, gdn6riquement, il est maximal en tout point. La description complete des ensembles singuliers d 'ordre supdrieur des (n -- I)-formes et (n -- i)-formes fermdes et des n-formes ayant dtd rdalis~e par Golubitsky et Tischler dans [6], la th6orie des ensembles singuliers d 'ordre supdrieur de formes n'a de raison d'fitre que dans les cas

suivants :

�9 le rang d 'une 2-forme; �9 le rang d'une 2-forme ferm6e; �9 la classe d 'une i-forme; �9 la classe d 'une 6quation de Pfaff.

C'est pourquoi les r6sultats que nous obtenons concernent ces quatre situations. Comme pour les applications, les ensembles singuliers d 'ordre sup6rieur de forme

ddfinis par Martinet, Tischler et Golubitsky poss~dent la propri6t6 caract6ristique

suivante :

Le noyau de la restriction de co au premier ensemble singulier 2;r(o~ ) est ~gal ~t

l'intersection K~(x) n T, E,(r K~(x) 6tant le noyau de co en x. Pour les formes, en g6ndral, on a seulement l'inclusion K,~(x) n T,Z,(r off K~(x) est le

noyau en x de la restriction ~ de co ~t Y,,(r Cette inclusion peut 8tre striae comme le

montre l 'exemple suivant.

Soit co = dx 1 ̂ dx z + dx 3 ^ dx 4 la 2-forme symplectique canonique sur R4; la restriction ~ de o~ au plan Lagrangien d'dquation x 1 = x 2 = o est nulle et on a l'inclu-

sion stricte

Kg(x) : L D K,~(x) c~ L : {o}.

(]'est pourquoi, pour 6tudier Ics singularit4s d 'ordre supdrieur du rang, il est naturel

d'introduire les dimensions des espaces

K,~(x) n T, No(c0 ) et K~(x).

131

~32 F E R N A N D P E L L E T I E R

O n d~finit ainsi

Zcl(Z~(r = { x eZo (o ) [ dim(K,~(x) c~ T~Z~(r = cl et d im K,~(x) = cl} cl

et on note cet ensemble E, , l (~ ). el

Afin de donne r le rdsultat g6n6ral pour les 2-formes, il est n6cessaire d ' in t rodui re

les notat ions suivantes : soient M = M oD . . . D Mt 3 . . . D M k des sous-varidt~s r6gu-

li6res de M e t i t : M t ~ M l ' inclusion. O n d6signe pa r i~ :A 2 T * M - + A 2 T * M t

(s i l ' appl ica t ion indui te pa r i t et p a r r t la forme indui te i} ~. Pour tout S = e N k

on d6finit l ' ensemble

E~'[Mo, . . . , Mk] = {x ~ Mk[ dim(K,~,(x) c~ T , Mk) = sl, i = o, . . . , k}.

Le symbole de co en x e M k sur (M0, . . . , Mk) est lu ( S 0 , . . . , Sk) de N • . . . • N T M

d~fini pa r : (Sl) Sj = s: s i s I = c o d i m [ K ~ ( x ) n T~ M~].

Ee symbole se pr~sente sous forme d ' u n tableau t r iangulaire :

So Sl . . . S~ . . . Sk

So ~ s t . . . So . . . So

s i . . . s] ~ .- dim[K,~j(x) n T ~ M . . . ]

T dim[K~. . . (x) n T~ M~]

Le rdsultat est alors le suivant (dnoncd dans le w 2 .2) :

Thgorkme. - - Dans l'espace des 2-formes sur une vari~t6 M de dimension n, les propri~t~s

suivantes sont g6ngriques :

132

SINGULARITIES D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R D E x-FORMES, 2 - F O R M E S I33

Pour tout entier k et tout (So, . . . , Sk) e N • • N TM, si n est assez grand, les

ensembles Zso((o), . . . , Es0.." sk(Co) sont des sous-varidtds rgguli&es de M, or) Yso.." sk(O~) est

ddfini par r&urrence :

ZSo... sj(~) = E~[M, Es~(a~), . . . , Zs~ ... %_1(o~)].

Le symbole d'un glgment ggndrique co est ( S o , . . . , Sk) en tout point de ESo ... sk(Co). Lorsque

Zso ... sk(Co) est non vide, sa codimension ,% ... sk est donn& par la formule de r&urrence :

(s~ - 4 - ~ ) ( 4 - s~_~ - ~) MS 0 ... S k = VSo ... Sk_ 1 -t-

2

__ $k--* + 4 _ , ( ~ S o . . S k _ l - ~ s ~ sk_, ~_~ + s~_~)

k--1 + Z k k - 1 ~, l , - 1 s , _ ~ ( s , - s, - s , _ ~ + s~).

i = 1

Des conditions n~cessaires et suffisantes pour que Zso ... sk(O~) soit non vide sont prdcisdes dans le w 2.2. De plus, dans [I 5] on donne une mdthode de construction d 'exemples g~n6riques ~ coefficients po lynomiaux pr6sentant en o E It" la singularit6 Zso.." sk, lorsqu'elle existe.

Pour les 2-formesfermges le r~sultat s 'dnonce de la m~me mani~re mais avec l 'hypoth~se restrictive suivante sur (S O . . . Sk) : saul pour au plus un entier I < j ~< k, Sj vdrifie

sot<2

�9 I ( , ) s l _ , - s]_~ <.

�9 ~ < < . j < k .

Si, pour tout j , la condit ion ( , ) est satisfaite, dans les 2-formes et les 2,formes fermfies les ensembles singuliers ont mSme codimension. Par contre, lorsqu'il existe un entier j ne v6rifiant pas ( , ) , la codimension n'est plus la marne. I1 faut re t rancher ~ Vso...s k :

(Skk--1 - - $~--2) (Skk_l S~--2 I ) (Skk_l k - - 2) _ _ _ _ _ _ Sk_ 2

~ k = 6

$~-- 1 + ( 4 - ~ - s~ _ ~) (sX _~ - 4 - ~ - ~ ) - -

2

k--3 + ~ ($~--2 ~--I k--2 k--i S~--I

- - s i - - s ~ _ 1 + s ~ - l ) + (';so . . . sk_~ - - '% ... sk_~ i = 1 2

k + k - 2 s ~ - ~ 2 s ~ - s k s ~ _ ~ - ~ - ~ + ~) (~-~ _ ~) s ~ _ ~ .

2

Enfin dans les autres cas, en gdn6ral, les ensembles singuliers seront des ensembles semi- alg~briques non rdguliers. Pour illustrer ces rdsultats voici des symboles ( S o , . . . , Sk)

133

134 F E R N A N D P E L L E T I E R

qui conduisent ferm~es :

des gfinfiricit~s diff6rentes dans les

/

2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 ~ ]

32 ~ 320 32o 32~

3 3o 3 x 3 I c o d i m 6 o 2 2 }

cod im6 codim 7 cod im8

2-formes et les

2-formes ferm~es

2-formes

2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 I 2 2 2 o

32 -+ 32o 32I 32~

3 3 ~ 3t 3~ c o d i m 7 t t 3

codim 7 cod imxo codim~o

2-formes

Le rfisultat sur les singularitgs de classe d'une ~quation de Pfaff s'exprime, comme pour les 2-formes, avec l'hypoth~se ( , ) sur ( S o , . . . , Sk) et l'hypoth~se suppldmentaire suivante :

L'dquation de Pfaff ~ ne s'annule pas en restriction aux ensembles singuliers

Z s 0 . si(~), o ~ j < k (voir w 2.6).

Pour les singularitgs de classe d'une 1-forme il est ndcessaire d'introduire un invariant suppldmentaire permettant de comparer les intersections de K,o n Kd, o e t de Ka,~ avec les espaces tangents TY.s0, . . . , TZs0...s k. Get invariant se prdsente sous forme d 'un tableau triangulaire (V0, . . . , Vk). On ddfinit des ensembles singuliers Zv0o :::v ~. Le r~sultat se formule de mani~re analogue ~ l'dnonc6 du thdor~me sur les 2-formes moyennant des hypotheses du type ( .) sur (So, . . . , SkV0, . . . , Vk) et l'hypoth~se suppldmentaire : la z-forme ne s'annule pas en restriction aux diflErents ensembles singuliers. Tous ces

r~sultats sont ddveloppds dans le w 2.7. Nous allons indiquer comment sont dtablis tous ces thdor~mes. Comme pour les

singularitds de Thom-Boardman, leur ddmonstration se ram~ne, gr~tce aux thdor~mes de transversalit6 de Thom, ~ la construction de singularitfis convenables dans un espace de jets, selon le ddveloppement rappeld maintenant.

Soient Lk le groupe des (k --}- x)-jets en o de difffiomorphismes de It" conservant l'origine et A~ l'espace des k-jets en o de 2-formes dans R". On construit une singularitg Zs0... Sk dans l'espace A~, c'est-~-dire une sous-varidtd Lk-invariante. L'espace A~(M) des k-jets de 2-formes sur une varidtd M est l'espace total d 'une fibration A~(M) -+ M de fibre type A~ et de groupe structural L k. La singularit6 Zso.." sk ~tant Lk-invariante, elle permet de construire un sous-ensemble Zs0... sk(M) de A~(M) fibrd sur M de fibre type Zs0 ... sk" Les th~or~mes classiques de transversalitd de Thom assurent la gdndricitd des rdsultats annoncds. Avant d ' indiquer comment est d6finie Zs0...sk, pr~cisons les donndes algdbriques utilisdes.

134

SINGULARITIES D'ORDRE SUPI~RIEUR DE I-FORMES, 2-FORMES ~35

Soit o un germe en o z R " de 2-forme. Par d6finition, Y's0... sk(t~ est l 'ensemble

des points de Es0.. .sk_l(o~) tels que

dim[K,oi(x) c~ T, Zs0 ... sk_,(r = s~

(volt les notat ions introduites avant le thdor~me sur les 2-formes). Pour d6finir Xso.." s,(O)

~t part i r de Zs0... sk_t(o~), il suffit de l 'id6al de d6finition r de Xso...sk_~(to) et de la famille d 'espaces

[K,o~(o) c~ T O Zso... Sk_t(~)] o ~< i ~< k.

Par r6currence, la d~finition de Xs0 ... s,(~) n6cessite les id6aux de d6finitions

des ensembles X;s0(o), . . . , Zso ... s~_~(co) et la famille d 'espaces [K,oi(o) r~ T O 2~s0 ... si(O)] o<, i<j<~ k ou, de mani~re 6quivalente, la famille des espaces o r thogonaux

[K~,(o) n T O Zso.." si(O~)] • o ,< i ,< j ~< k. Si maln tenant on consid~re r ~ A~ comme un germe k coefficient polynomial ,

1 l 'id6al ~o, sera d6fini modulo m k+l (m dtant l ' id6al maximal de l 'anneau des germes de fonctions en o ~ R"). D 'une mani&re g6n6rale, o~ sera d6fini modu lo m k-i+1.

Nous allons main tenant indiquer commen t est construit Zso ... s~ (Chap. II). Soit

A k l ' anneau des k-jets en o de fonct ion sur R" et rrt k son id6al maximal . A tout k-jet o appar tenan t h A~ on va associer canoniquement , c'est-~t-dire de faw invariante pour

Faction du groupe L~ :

I o Des iddaux ~ C rrt~_i + ~ i ~< j ~< k. 2 ~ U n e famille d 'espaces Ai(~o) C (R")* o ~ i < j ~< k.

Le symbole du k-jet o~ est ( S 0 , . . . , Sk) avec (!l) Sq

S t = s: si

ensembles

s i = codim Ai (o ).

Dans chaque espace A], o~< h~< k, on d6finit les

~so... s~ = {r dont le symbole est ( S o , . . . , Sh) }.

L'ensemble Zso.. ' sk annoncg est alors

{ co E Zso. . sk codim # , f l ( o ) = dim Zs0.." sh, o ~< j ~< k - - I }.

Par un a rgument de transversalit6 on montre facilement que

c~ ... sk - - Zso ... sk) > n.

En d 'autres termes seul << l 'ensemble ~so ... sk appara l t gdnEriquement >>. C o m m e Y~so ... sk est Ll,-invariant, il faut mont re r qu ' i l est une varidtd : c'est l 'objet du chapi t re I I I .

Ce travail est d6compos6 en trois chapitres. Dans le premier , on rappelle les r6sultats de classification des orbites de GLn(R ) sur A2(R~)* • D k. O n introduit ensuite la

notion fondamenta le de symbole d 'un germe de 2-forme et d 'une famille d ' id6aux

semi-algfbriques

135

x36 FERNAND PELLETIEK

embottds. On construit enfin par rdcurrence une famille d'iddaux emboltds a,~l, . . . , ~,~,

associds k tout germe de 2-forme o~, et caractdrisds par le fait que, a t+l~ est l'iddal de ddfi- t t sont rdguliers. Le chapitre II nition de l 'ensemble singulier Zs0...st((o ) si a,o, . . . , a~

est le chapitre essentiel de ce travail. On y ddfinit d 'abord le symbole et l 'dtendard d 'un k-jet de 2-forme, ~ partir du symbole d 'un germe ~ et de la famille i ~ ( o , " ~ "~ (Tkto

d'iddaux associds. On ddfinit ensuite les singularitds Zs0 ... s, et ~So ... sk de 2-formes et de 2-formes fermdes. Enfin, on dnonce les rdsultats de gdndricitd obtenus. Dans ce chapitre, on rappelle dgalement les rdsultats sur les singularitds de classe d'dquations de

Pfaffet de i-formes de [i5]. Enfin dans le chapitre I I I , on donne une esquisse de ddmons-

tration des rdsultats sur les singularitds ~s0 ... 8, et ~s0 ... s~ de 2-formes et de 2-formes

fermdes. Les rdsultats sur la stabilitd des formes et la construction de modules [6], [IO],

[I6] s 'appuient sur les propridtds des ensembles singuliers ddfinis par J. Martinet. On peut espdrer que ce travail permettra d'obtenir de nouveaux rdsultats de stabilitd ou d'obtenir une dcriture sous formes normales des i-formes et 2-formes gdndriques cons- truites. Par exemple, on pourra peut-~tre ainsi donner une rdponse au probl~me de la stabilitd des 2-formes fermdes, probl~me qui reste encore ouvert ~ ma connaissance.

Dans [8], Jakubczyk et Przytycki ont ddfini des singularitds de k-uples de champs de vecteurs. Ils ont montrd qu'il existe une bijection entre les singularitds gdndriques de deux champs de vecteurs sur I t 3 et les singularitds de classe de l 'dquation de Pfaff ddfinie par ces deux champs. I1 est bien certain que les singularitds de champs de vecteurs ne se ram~nent pas ~t l 'dtude des singularitds de formes et inversement. Cependant,

il existe certaines relations entre elles. Par exemple, la donnde de n -- t champs de vecteurs inddpendants sur R ~ dquivaut ~ la donnde d 'une dquation de Pfaff sur 11". On peut se demander s'il existe certaines correspondances entre les singularitds ddfinies dans [8] et les singularitds d'dquations de Pfaff que nous ddfinissons. La ddtermination de formes normales dans un cas permettrait d'obtenir des formes normales dans l 'autre cas.

136

I. - - S Y M B O L E D ' U N G E R M E D E 2 - F O R M E

x . I . S y m b o l e et 6 t e n d a r d d ' u n e 2 - f o r m e e x t 6 r i e u r e s u r u n d r a p e a u [I5]

Soit E un espace vectoriel r6el de dimension n. Son dua l est notfi E* et on identifie

A v E* ~t l 'espace des p-formes alternfies sur E. Le produi t int~rieur de co e A p E* pa r x

de E est not~ x ~ co. O n appelle support (resp. noyau) de co l ' image S,0 (resp. le noyau K,~)

de l 'appl icat ion

E -+E*,

X --+ X .2 o~.

Le rang (resp. le corang) de co est la dimension de S o (resp. Ko) . Pour les ~16ments de A 2 E*

rappelons que l 'on a l e rdsultat suivant :

x. x. x. Proposition [5] [ Io] . - - Le rang de co e A S E* est pair et on a les gquivalences suivantes :

(i) le rang de co est 2r;

(ii) r et c o ' + Z = o oz) o ~ ' = o ~ ^ . . . ^co r f o i s ;

(iii) il existe des z-formes indgpendantes %, . . . , %~ telles que

= ~z ^ ~ + . . . + ~ ^ ~ "

Pour tout 616ment g du groupe G L ( E ) des au tomorphismes de E, on note g* l 'auto-

morphisme de A p E* indui t par g. Le rang d ' une p-forme est invar iant sous l 'act ion

de GL(E) sur A p E*. Soit Er l 'ensemble des ~Mments de A 2 E* dont le rang est ~gal $ r.

O n peut reformuler la proposi t ion z. I . z de la maniSre suivante :

x. z . x'. Proposition. - - Les ensembles Zr, o <~ r <<. n, s'identifient aux orbites de l'action

de G L ( E ) sur A 2 E*.

Soit i : F - + E l ' inclusion d ' u n sous-espace vectoriel F de codimension p < n.

E tan t donn6 une q-forme co sur E, on note ~ = i* co la restr ict ion de ~ k F. Le noyau K a

cont ient l ' intersect ion K~ c~ F mais en g6n6ral Hnclus ion est stricte (voir l ' in t roduc-

t ion). L 'o r thogona l de K~ n F est l 'espace S,~ -4- F I. On appelle support de co sur F

l 'espace S,~(F) = (K~) • Si ~ 1 , . . . , % est une base de F • on volt imm6dia tement

que S~(F) est 6gal au suppor t de la (p + q)-forme ~a ^ �9 �9 �9 ̂ % ^ co. Le r6sultat suivant

se d6mont re faci lement :

137

18

I38 F E R N A N D P E L L E T I E R

x. x. 2. Lemme. - - Soit co une 2-forme sur E et F u n sous-espace vectoriel de E.

( i ) On a l'inclusion S,o(F) C S,, -t- F j'.

(2) La dimension de S,o(F) est de la forme p + 2r et les propriltgs suivantes sont ~quiva-

lentes :

(i) dim So,(F) = p -t- 2r;

(ii) ~1 ^ . . - ^ % ^ c ~ 1 7 6 et ~1 ^ . . . ^ % ^c~ + 1 = o ;

(iii) le rang de la restriction de co ~ F est 2r.

(3) Pour tout automorphisme g de E,

Sg, o,[g-l(F)] = g*[S,o(F)].

Au couple (co, F) form6 d 'une 2-forme et d 'un sous-espace de E on a associ6 les espaces (S,~, S,o(F), S,~ q-F• Les dimensions de ces espaces sont des invariants de Faction de GL(E) sur le produit A 2 E" • Fp(E) off Fp(E) est la grassmannienne des ( n - p)-plans de E. On verra plus loin que ces invariants caract6risent compl~tement les orbites de Faction de GL(E) sur ce produit d'espaces. Plus g6n6ralement, on se pro- pose dans ce paragraphe de rappeler la construction d 'un syst~me d'invariants qui caract6risent compl~tement les orbites de GL(E) sur A 2 E* • Dk(E ) (thdor~me I. I "4)

off Dk(E ) est l 'ensemble des drapeaux de longueur k de E (c'est-~t-dire des suites d'espaces

F o = EDF~D ... DFk).

Soit F o= EDF ID... DF k un drapeau de E et o~ une 2-forme sur E. Comme

prdc~demment, ~ (co, Fo, . . . , Fk) on associe la famille d'espaces

S,~(F,) q- F]- o~< i<~j<~ k.

En utilisant le lemme I. 1.2 (I) et (3) on d6montre facilement les propri6t6s

suivantes :

. ) {o} = Fo~ c S~c S~ + F~ C . . . C S~ + F,~C.. . C S~ + F~ u u u

F, ~ c S~(F,) C . . . C S.(F,) + F, ~ C . . . C SAF0 + F~ C. u u

~ �9 *

"'-. 0 0 "c F~ c S,(F,) C . . . C SAF,) + F~

C.. U

"~176

~ o 0 "C a. N c sAF~)

b) La famille S,~(Fi) + F{ est dquivariante sous l 'action de GL(E).

138

SINGULARITIES D'ORDRE SUPI~RIEIYR DE I-FORMES, ~-FORMES I39

x. x. 3. Ddfinition. - - Soit o~ une 2-forme sur E et (Fo, . . . , Fk) un drapeau de lon-

gueur k.

(i) L a famille So,(F~) + F~, o ~< i ~< j ~< k, est appel6e dtendard de co sur (Fo, . . . , Fk).

(ii) On appelle symbole de co sur (Fo, . . . , Fk) l'616ment (So, . . . , Sk) de N • . . . • N ~+t

d6fini par :

(it Sj = si s i = codim S~(Fi) + F~-.

r

A part i r des propri~t6s a) ci-dessus et du lemme 2. 1.2 b), on montre facilement que le

symbole ( S o , . . . , S~) d 'une 2-forme ~ sur ( F o , . . . , Fk) v6rifie :

c ) . . . - . . 4 ,

d) n>~ dim F,~> s~> s~+l>~ . . . /> 4~> . . . >/s~,

e) il existe une suite d6croissante d 'entiers go,g1, . . - , gk tels que :

d i m F ~ - - s ~ = - 2 t i o~< i~<k.

On a alors le r6sultat suivant (voir [15] ).

x .x . 4. Thdorkme. - - Soient o~ et o~' des 2-formes sur E et (Fo, . . . , Fk), (Fo, . . . , F~,)

des drapeaux de E de longueur k. 11 existe un automorphisme g de E tel que

g(F~) = Fi, i = o, I, . . . , k , et g*o = o~',

si et seulement si

(i) d i m F i = d i m F ~ , i = o , I , . . . , k ,

(ii) le symbole de o~ sur (Fo, . . . , Fk) est dgal au symbole de o~' sur (Fo, . . . , F~).

E tan t donn6 (So, . . . , Sk, Tk) appar tenan t ~t N • . . . • N T M • N k+l, on

d6signe par CSo...SETk l 'ensemble des (o~, Fo, . . . , Fk) de A 2 E* • Dk(E ) tels que :

�9 d im F i = tl si T k = ,

~ t k ~

�9 le symbole de co sur (170, . . . , Fk) est (So, . . . , Sk).

Le th6or~me I . 1 .4 peut ~galement se formuler de la mani~re suivante :

x. 1.4. TMor~me. - - La partition de A 2 E* x D~(E) d6finie par les ensembles ES,...SkT k

s'identifie a la partition de cet ensemble par les orbites de l'action de GL(E) .

139

I40 FERNAND PELLETIER

Nous allons te rminer ce pa r ag rap h e par la ddfinition du symbole, en un point, d'une ~-forme diffdrentielle sur unefamille de vari~t~s embo?tdes. Soit M une vari6t6 C ~ de dimension n

et A 2 T* M le fibr6 des 2-formes diff6rentielles sur M. Le noyau, le support, le rang de o~

en x ~ IV[ sont respect ivement le noyau K,~(x), le suppor t S,~(x) et le rang de la 2-forme

ext6rieure co(x). Soient M0 -- M D Mj D . . . D M k des sous-varidt6s embolt~es de M.

On note co t la ~-forme sur M t indui te par la ~-forme ~, pour o ~< g ~< k.

x . x . 5. D~finition. - - O n appelle symbole (So, . . . , S k ) de o~ sur (Mo, . . . , Mk)

en x e M k le symbole (au sens de I . 1.3) de la 2-forme ext6rieure o~(x) sur le d rapeau

(T , Mo, T , M1, . . . , T , Mk) de T , M c'est-~t-dire :

\s]/

s~ = dim[K,00(x ) c~ T , Mr] ,

si et seulement si 4----dim[K,o/(x) r3 T~ Mr] ,

s~ ~ = dim[K~i(x) n T x Mr].

~ N k+l on ddsigne pa r Z~~ . . . , Mk) l 'ensemble des x de M , rout tout s (S!) tels que l 'on ait

dim[K,~t(x ) n T ~ M k ] = s t o<<.t<<.k.

Par exemple, l 'ensemble Z~'o(M), pour S o = (sO), est l 'ensemble des points x

de M off le rang de o~ est n - s ~ Si cet ensemble est une varif t6, Z~t(M, X~'o(M)) ,

pour Sx = , est l 'ensemble des points x de X,g(co) off le symbole de o~ sur (M, Z~o(~)) \slV

est (So, Sl). D'une mani6re g6ndrale, si M o = M, M 1 = Zso(M), M 2 = Zs~(M, M1), . . . ,

Mk = Zsk_~(Mo , . . . , Mk-1) sont des sous-vari~t~s de M, Zs~(Mo, M 1 , . . . , Mk)

est l 'ensemble des x de M , off le symbole de co sur (Mo, . . . , Mk) est (So, . . . , Sk). Cet

ensemble sera ddsignd pa r Zso... sk(o)).

1.2. S y m b o l e d'un g e r m e de 2 - forme et d'une fami l l e d' id6aux embo l t~s

Etan t donn6 un germe de 2-forme en o dans R n e t une famille J0, . . . , Jk d ' id6aux

emboltds, on va d6finir une famille de modules de i -formes et un symbole en x ~ R n

voisin de o E R '~. Pour ce, il est ndcessaire d ' in t rodu i re quelques notations.

x . 2 . x . Soit A l ' anneau des germes de fonct ion C OO en o ~ R n e t m son iddal

maximal . On ddsigne pa r A p, I ~< p ~< n (resp. Z), le module des germes en o de formes

diff6rentielles de degrd p (resp. de c h a m p de vecteurs) sur R ~. E tan t donnd un sous-

140

SINGULARITIES D'ORDRE SLrpI~RIEUR DE I-FORMES, 2-FORMES x4x

module M de A 1, de type fini, engendrd par (ol, . . . , cot, on note M(x) le sous-espace

de (It")* engendr6 par col(x), . . . , cot(x) pour x voisin de o. Le rang de M est par d6fi- ni t ion la dimension de l 'espace M(o).

L'idgaljacobien d ' u n sous-module de type fini M de A 1 est l ' iddal jc (M) engendrd

par les (r + I) X (r + I) mineurs de la matrice (e(X)) (~ e M , X e Z) off r e s t le

rang de M. A tout iddal J de A, on associe le sous-module dJ de A 1 engendrd par les

diffdrentielles dr, pour f E J . On dira que J est rdgulier, s'il poss6de un syst6me de r gdnd-

rateurs off r e s t le rang de dJ. Le support d 'une p-forme co e A p est le sous-module So, de A 1 engendr6 par l ' image de l 'appl icat ion

Zp--1 .___> A 1

( X l . . . X,_l) - , c o ( x , . . . , X,_l).

Par exemple le support d 'une 2-forme co est le sous-module engendrd par les I-formes

col~-~7.., " / , i--= i, . . . , n , si (Xl, . . . , X n ) e s t un syst~me de coordonndes de R n. Le rang ]

du module So, est le rang de la matr ice ant isymdtrique co o ~< i ~< j~< n en o, c'est-~-dire le rang de la 2-forme extdrieure co(o).

Enfin le support So,(J) d 'une 2-forme co e A 2 relativement ~ un iddal J de A est le

sous-module de A 1 engendrd par les sous-modules S~ ̂ o, off 0r est un dldment de A r dJ, r = rang de dJ. Par exemple, si J e s t rdgulier, [so,(j)]• est dgal 5 K; (o ) off ~ est la forme induite par co sur la varidtd ddfinie par J = o.

x . 2 . ~ . Soit co un germe de 2-forme et Jo c J1 c . . . c Jk c A une suite d ' iddaux embo~tgs. Si J0, �9 �9 . , Jk sont rdguliers et ddfinissent des varidtds V o D V 1 D . . . DVk,

les espaces tangents TzVo, . . . , T z V k e n x E V k voisin de o forment un drapeau de

T x V 0. La 2-forme extdrieure co(x) et ce drapeau ddterminent un dtendard et un symbole dgpendant de x, appel6 symbole de (co, J0, . . . , Jk) en x.

Ces ddfinitions s 'dtendent en fait, de mani6re naturelle, aux cas off J0 c . . . c Jk sont des iddaux quelconques (de type fini) en utilisant les notions de support relatif,

iddaux jacobiens.. , introduites prdcddemment . On ddsigne toujours par V~ l 'ensemble

des zdros de J~ et on proc6de comme suit :

a) On forme les sous-modules So,(J~) qui ddfinissent, si J~ est r6gulier, les noyaux des restrictions coi de co aux varidtds Vi.

b) On forme ensuite les sous-modules So,(J~) + dJj, o ~< i ~< j ~< k, qui ddfinissent (dans le cas rdgulier) la position relative du noyau de co s et de l 'espace tangent

Vj.

141


On consid~re le tableau de sous-modules (de type fini) et d'inclusions (6videntes).

J o C S ~ C . . . c s ~ + d J ~ C . . . C S ~ + d J , C. u u

0 I

0 0 %, so/j,) + u

~ *

"caj, c s~(j . )

En chaque point x de V k voisin de o, ces modules ddfinissent un d tendard dans (It")*

et done un symbole en x de (o), J0, . . . , J , ) . L 'ensemble des points x de V k off ce symbole

reste dgal au symbole en o est caractdrisd par la somme des iddaux jacobiens de tous les

modules S,~(Ji) + dJj, o ~< i ~< j ~< k.

Finalement, ~ tout germe co de 2-forme et toute suite d ' iddaux emboltds J0 c . . . c Jk nous avons associd des sous-modules S,o(Ji) + dJp o ~< i ~< j ~< k, et un nouvel idgal

~(o), J0, . - . , Jk), engendrd par Jk et les iddaux jacobiens des sous-modules S,o(J~) + dJp o ~< i ~< j ~< k. Soit L le groupe des diffdomorphismes locaux de R" qui fixent l 'origine.

De mani~re dvidente les modules S,o(J~) + dJp o ~< i ~< j ~< k, et l ' iddal a(o~, J0, . . . , Jk)

associds ~ (co, J0, �9 �9 Jk) sont compatibles avec les diff6rentes actions de L sur les 2-formes,

les iddaux de A, les sous-modules de A 1, . . .

x "3- S y m b o l e d'un g e r m e de 2 - forme

Soit co un germe de 2-forme. La construction fake dans le paragraphe prdcddent

v a n o u s permet t re de ddfinir, pour chaque entier k, par rdcurrence, un symbole << d 'ordre k >>

en o qui ne ddpendra que du k-jet de co.

(o) On par t du couple ( % J 0 = {o} = ~r~ En appl iquant 1 .2 .2 on obtient le

tableau trivial de sous-modules

~Jo = {o}cS,~.

Le symbole de co en o est le corang s o de co en o (n -- s o est le rang de co en o). L' id6al

t est dgal ~ l ' iddal jacobien de S,o. a(cO, Jo) = % = %). Le tableau de sous-modules corres- (I) On applique 1 .2 .2 a (~ , Jo , J1 1

pondan t est

#J0 = o c s~ c s,, + doa..

C u dot C SAe~)

142

S I N G U L A R I T I E S D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R D E I - F O R M E S , 2 - F O R M E S i 4 3

symbole de co en o est / ( s~176 le oI~I

s o = codim S,o(o), s~ ----= codim[S,~ + da~] (o),

s I = codim[S,o(o~)] (o).

(2) Par rdcurrence on ddfinit l ' iddal ~(~, ol, - . . , ~ l ) = ~,0.

En appl iquant 1 .2 .2 ~ (co, %,~ ol~, . . . , ~,0) on obtient le tableau :

dd~ c s~(~) c . . . c s~(~) c . . . c soJ(~) c . . . c s~0(~) C . . . . u u u

":. G 0 0 "cd~'~ c si(,o) c . . . c sl(~) c . . . c s~(~)

C . . . t3 * e

$ .

"" "'cd~. c s~c~)

o~ s{(~) = s~(~'~) + d ~ , o .< i.< j <. k. Le symbole << d 'ordre k ,, de co en o est (S0, S 1 , . . . , S k ) e N x . . . X1N ~+l off

(:) S i = si d = codim S~(~)(o).

\s~/ En conclusion, ~ tout germe de 2-forme on a associd un symbole So d 'ordre o, un

symbole (So, S1) d 'ordre I, . . . , un symbole (So, . . . , Sk) d 'ordre k respectivement

a,~), (o~, , (~, o~) en 1.2 dgaux au symbole de (~, 0 %0, %)1, . . . %0, a,~l, . . . , ~ o (voir . 2); !

_t+l dtant l ' iddal engendrd par a,o et les iddaux jacobiens des modules S,~(a~) -}- da~ OlD

pour o ~< i ~< j <~ e. Par construction, les zdros de l ' iddal a~ forment l 'ensemble Zso(ll" ) des points off le rang de co est dgal ~ n -- s ~ Plus gdndralement, il rdsulte de la cons-

t ruct ion prdcddente :

Lemme 1 . 3 . 1 . - - Soit ~ un germe en o ~ R " de 2-forme et ( S o , . . . , Sk) son symbole

d'ordre k e n o. S i les idgaux 1 t ~,o, �9 � 9 % , o < t < k, sont rdguliers et ddfinissent des

varidtds Vi, �9 . . , Vt , l'ensemble des zdros de a,o-t+l est l'ensemble :

Z'~ " V1, Vt) [ s t , S k ~ " " " ,

1| = { x e V t voisin de z#o o~ codim[S((c0)] (x) = si t, o ~< i ~< / } si S t = �9

\'4/ (voir les notations introduites k la fin du w I . I).

Si les iddaux ~ , . . . , ~ sont rdguliers, l 'ensembte Vt+ 1 des z6ros de j + l est dgal i

Z '~ t i t" Vi , Vt) S/k , �9 �9 �9

143


c'est-~-dire

Vt+~ = Xs~s~... st(~')

(voir les notat ions introduites k la fin du w I. I).

1 6tant l ' iddal jacobien de So, il ne ddpend que du i-jet D 'au t re part , l ' iddal *o de Co en o. De meme, les modules Sl(Co ) ---- So(~o) et S~(Co) = S o + d,~ ne ddpendent

k - - 1 que du 1-jet de Co. D 'une mani~re g6n6rale, ~o 6tant engendr6 par ao et les id~aux jacobiens des modules S~(Co) pour o ,< i,< j ,< k - - l, l 'id6al &o et les S0~(Co), . . . , S~(Co), . . . , S~(Co) ne ddpendront que du k-jet de Co en o. On obtient ainsi la

Proposition z . 3 . 2 . - Soit co un germe en o e R " de ~-forme. Son symbole (So, . . . , Sk) d'ordre ken o ne d6pend que du k-jet de co. Si les id~aux ~o,1 . . . , ~ sont riguliers, chaque ensemble

XSo.." st(Co) dgfini plus haut est une sous-varigtd rgguli~re de It" d'gquation %-t+l = o pour

I < t < k . Lorsque les iddaux ,1,o, �9 �9 *or-1 sont r6guliers, l 'ensemble Xs0 ... st(Co) est l 'ensemble

des x de Xs0.." st_l(Co), voisins de o, pour lesquels on a :

dim[Koi(X) t~ T~ Xs0.." st_l(Co)] = st {.s~ /

= dim[K,0i(o ) n T O Zso.." st-l(Co)] si St ---- /.s~

l

Pour ddfinir Xso... st(Co) k par t i r de Zso... st_l(Co), il suffit done de l 'iddal de d6finition

de Xso... st_l(Co), c'est-~-dire eot, et de la famille d'espaces

Koi(O) n T O ZSo.. ' st_,(Co), o ,< i ~< t,

c'est-~-dire [St(Co)] (o) par passage k l 'orthogonal. O n a ainsi 6tablit :

Proposition I . 3 .3 . - - Soit co un germe de 2-forme. Si tes iddaux ~,o,1 . . . , ~o7' sont rdguliers, les ensembles Zso.." st(co), o <<. t <~ k, sont complktement caract~risds par les id~aux 1 t ( ~ O ' " " ~ r

et la famille d'espaces [S~(co)](o), o~< i <~ j ~ t, (So, . . . , Sk) dtant le symbole d'ordre k de co.

144

II. - - SINGULARITIES DE RANG DES ~-FORMES

ET 2-FORMES FERMI~ES

SINGULARITIES DE CLASSE D'I~QUATIONS DE PFAFF

ET DE x-FORMES

2. x. Notat ions, g6n~ralit6s

On ddsigne par Ak, me, A~, (resp. L~) l 'espace des k-jets (resp. (k + I)-jets) en o e R" d'dldments de A, m, A p (resp. L) et par % la projection des espaces de germes

sur les espaces de k-jets. Soit co un k-jet de 2-forme et choisissons un germe ~ dont le

k-jet r~ k ~ est 6gal ~ to. Comme dans le w I. 3, on peut associer k g :

I) les iddaux 1 e k qui sont ddfinis modulo m ~, m k- t +l (s,~, . . . , % , . . . , ~ , . . . , , . . . , res-

pectivement,

2) les modules S0(to), . . . , S i ( t o ) , o~< i~<l, . . . , S~(to), o~< i~< k, d6finis modulo m k A l, . . . , m k- t A ,, . . . , re.A* respectivement,

3) un symbole (So, . . . , S~) : le symbole d 'ordre k de g.

Si les iddaux 1 . a~-i ~ , . ., sont rdguliers (ce qui ne ddpend que de to), les ensembles

Zs0... st(to), o ~< l ~< k, sont caractdrisdes par a~, . . . , a,~ et par les espaces [ s t (g ) ] (o)

pour o ~< i~< t (voir proposition 1 .3 .3) . D 'au t re part , si g ' est un autre germe de

k-jet co, les ensembles Zs0... st(to) et Y~s0 ... st(to ) ont un contact d 'ordre k - - t en o (pro-

position 1 .3 .2 ) .

Ainsi lorsque les iddaux a,ol, . . . , %,-1 sont rdguliers, les ensembles Zs0. . . s t (g) ,

o ~ < t ~ k sont ddterminds ~ l 'ordre ( ( k - - t - k i pros ~ par les iddaux % 1 , . . . , % t et

les espaees [S~(g)] (o), o ~< i ~< j ~< g.

A tout h-jet co de A~ on va done associer :

0 ~1 g I l I) les id5aux a,~ = {o}, ,o, �9 . . , a,~, . - . , ~,o, off ao = ne_t a,~ est un iddal de l ' anneau

quot ient A e_ t; 2) des espaces vectoriels Ai(to ) i ~ = [S,(to)] (o) CA0 ~-- (R") *, o~< i<~j<<.k, off g est

un germe de 2-forme de k-jet co.

Si B t d~signe l 'espace [da t ] (o), o~< r k, l 'd tendard 02. k2 �9 B o ) (voir I 1.3) est rieure to(o) sur (B~ , . . , d~f. . 6gal

[A~ . . . , Ai(to), . . . , A~(to)].

de la 2-forme extd-

145 19

,46 F E R N A N D P E L L E T I E R

o• , B~I) . . , Le symbole de co(o) sur (B,o , . . . ~ , est 6gal ~ (So, . S,), off

si s{ = c o a i m Ai(o~ ).

Ddfinition. - - Soit r un 616ment de A~. i) O n appelle dtendard de co la famille d 'espaces

A~( r Ai(~o), . . . , A~((o).

ii) O n appelle symbole de co, l 'dl6ment ( S o , . . . , S,) de

\ s !

off s i ---- codim A{(r

N X . . �9 X N T M ddfini par :

2 . 2 . S i n g u l a r i t 6 s d u r a n g d e s 2 - f o r m e s

Etant donn4 (So, . . . , Sk, T) E N • . . . • N T M • N T M on ddsigne par CSo... skr l 'ensemble des co de A~ dont le symbole est (So, . . . , Sk) et tels que :

d imB ~- - - -6 , o~<i~<k, (i) si T---- t~ .

k

O n note G t la grassmannienne des n - - t plans de (R")* et Gut = G~ X . . . • Gs~

(:t le produi t des grassmanniennes G / , . . . , G,~ off S = �9 . L 'appl ica t ion o \ 4 /

O'S0... 8 kT: g80... 8kT "-~ GS o X Gs, • ... • Gs, • G T = Gso.." Sk T

qui ~ co associe (A~ A~(~o), A](r . . . , A~(o~), . . . , A~(r B ~ B~) c ommute

avec l 'action de L~ sur r s,T et sur Gso... SoT" (L'act ion de L , sur Gso... s,T est ddfinie via la project ion n k : L k -* L o - GL~(R).)

C o m m e (A~(r . . . , Ako(r . . . , A~(r est l '6 tendard de la 2-forme ext4rieure co(o) sur le d rapeau o• k• (B,o , . . . , B,o ), l ' image Dso . . . 8k T ---- f f S o . . . S k T ( r . . . SkT) de aso.., sk T est

146

S I N G U L A R I T I E S D ' O R D R E SITPI~RIEUR DE I - F O R M E S , ~ - F O R M E S I47

une orbite de l 'act ion de L k sur Gs0... SkT (voir [I5] chap. I I ) . II est facile de voir que,

s'il est non vide, l 'ensemble %o...SkT est un ensemble semi-alg~brique. Pour tout

(il) I = e N k+l, on note I t l'616ment /z '~ de N t+ l correspondant .

t

Etan t donn6 ( S 0 , . . . , S k ) e N • . . . • k+l on ddfinit Wk= e N k+l de

k la mani~re suivante :

vi = inf{codim B~, ca e r~i-_ll(r ... si-1 e-i_1) } pour I ~.~ i ~< k.

O n a alors le r6sultat suivant :

2 . 2 . x . Ttdorkme. - - I) S' i l est non vide, l' ensemble %0... sk ~'k est une sous, varigtg rdguli~re

de A~ dont la codimension ~so... sk ne d@end que de (So, �9 . . , Sk) et on a :

v ~ = n - - v s o . . . s i _ ~ pour I~<i~<k.

En fai t , ,%... Sk est ddfini par rdcurrence de la mani~re suivante :

0 0 s o(s o - i ) VS~ - - 2

9S o ... S k = ~8o. . . Sk_l -}-

(3~ k k k-- 1 - - - - S k - - 1)

2

k--1 + Z _k / ^ k - - 1 k k - -1 ~ - 1 ~ , ~ - - s~ - - s i - 1 + s~)

i = 1

2f- $k k-- I k - - Sk -- 1), k-l(~So ... sk-a -- VSo ... s~_~ sk- t +

avec Vso...sk_~-----~ pour k = I. 2) S'i l est non vide, l'ensembIe semi, algdbrique %o...SkT pour T 4:

strictement plus grande que n.

est de codimension

(Pour la ddmonstra t ion de ce th6or6me voir le chapitre I I I . )

Puisque les ensembles %0... sk ~'k sont invariants par l 'aet ion de L k et sont des sous-

vari6t~s r6guli~res de Ak, chacun d ' eux est, par d6finition, une singularit6 d 'ordre k

de 2-formes que l 'on notera 2]so...sk (la dimension de CSo...Sk*-k ne ddpend que de

(So , . . . , s ~ ) ) . Les conditions n&essaires et suffisantes pour que Zso ... sk soit non vide sont les

suivantes :

2 . 2 . 2 . Thdor~me. - - La singularitg ZSo ... sk C A 2 k est non vide si et seulement si :

I) les (s i , . . . , si, . . ., s~), et (Vso.. .s,, si, s~ + 1 , . . . , s~) sont des suites dgcroissantes d'entier ;

2) ,,so...~, - ' , so . . . s ,_ ,> .~sup{s~: l - s ' , - ~ , s,_~'-~ - s,; o,+~'+~ + s,' - 2s i +~ } pour ~ .< i .< k - i , k k et VSo/>S ~ '~8 o . . . 8 k ) $k - - $k-- i

147


i - - 2 i - - 1

3) n >_. {sup s~ , - x 0 g - s~ +~, - ' �9 - s ,_~ - s i _ . ~ o ~, + x s; s ~ + , , ~,s = t = o vs~ si + s~),

4) i l e x # t e u n e s u i t e d d c r o i s s a n t e ( r o , . . . , rk) d ' e n t i e r s t e l s q u e :

c i + l n - - s o = 2 r o e t n - - Vs0 . . . s i - - o i+ 1 = 2 r i + t

( s o\

"1 o~ S .= I s] et Vso...s i est la codimension de Xs....s~CA ~.

! \ s i l

pour o <<. i <<. k - - i

(Pour la d6monstrat ion de ce rdsultat, voir [15]. )

Voici quelques exemples de symboles (So, . . . , Sk ) pour lesquels Es0...s k 4= avec la valeur de la codimension ,% ... s,. En outre, on cite toutes les singularit6s qui existent pour n ~< 6.

Pour n pair

k = I

21 22

x 3

codlin t codlin 3

~ 2

~ 2 0 221

31 3 I I I

codim 3 codim 4

k = 3

2 2 1 0 2 2 I [

3Io 3xI IO I I

O 2

codim 4 codim 5

k = 4

2 2 I I 0 2 2 I I 0

3 I I O 3 1 1 1 0

IIO IIIO

2 I 2 1 0

I IO

0

codlin 5 codlin 6

4 ~ 4~ 41 42 43 44

o 2 4 4 4 4 c o d i m 6 codim 9 c o d i m i 2 codim x6 codim 21 codim 24

(~rm6e 2o) (~rm6e 2o)

2 ~ 2 ~ 2 2 2 2 2

32 33 33

3 3 3 codim 7 codim 9 codim Io

~22o 222~ 2220 22~o

3ao 321 321 330

30 3x 31 50 i t 3 o

codim 7 codim IO codim II codim IO

148

SINGULARITIES I)'ORDRE SUPI~RIEIYR DE I-FORMES, 2-FORMES

Pour n impa#

k = 1

3 ~ 31 32 32 33 o 2 2 4 4

codim 3 codim 4 codim 7 codlm x o codlin 12

k = 2

310 311 3II 320 320 21 2 I 22 2 0 2 0

[ I I O

codlin 4 codim 5 codim 5 codim 7 codlin 8

k = 3

3IIo 3III 3IIO 3IIo 3IIt 2 1 0 ~ I I 2 2 0 2 2 I 22~

IO I I 3 I 3 I 3~

o ~ ~ ~ 3 codim 5 codim 6 codim 6 codim 7 codim ~o

k = 4

3 1 1 I O 3 I I I O 3 ~ I I O 3 I I I O 3 I I I O

~ I I O ~ I I O ~ I I O ~ I I I ~ I I I

i i o I I I I I I I I I I l l

I ~ 3 ~ 3 codlm 6 codim 7 codim 8 codim 7 codlin 8

33 6

codim 15

33 ~ 33 ~ 4 ~ 4 ~

I 3 codim x2 codim 15

x49

2. 3 . R e l a t i o n e n t r e l e s e n s e m b l e s Y'So ... s~ ( to) d ' u n g e r m e d e 2 - f o r m e

e t l e s s i n g u l a r i t 6 s Y'So ... sk

Soit A~(R';) le f ibr6 des k-jets de 2- formes sur R" . Ce fibr6 a p o u r f ibre t y p e A~

et p o u r g r o u p e s t ruc tu r a l L k. C h a q u e s ingular i t6 Es, ... sk d tan t L , - i n v a r i a n t e va d o n n e r

na issance k u n sous-fibr6 Zs0... sk(R") de A~(R") de fibre t y p e Zs0... sk; Zs0... sk(R") est

une sous-vari6t6 r6gul i6re de A~(R") de c o d i m e n s i o n Vso...sk = e o d i m Zso.. .sk. O n a

alors :

2 . 3 . x. TMorkme. - - Soit ca un germe de 2-forme sur I t" dont le k-jet Jk co est transverse

~So...sk(R") en c :

x) Jt co est transverse ~ ZSo.. .s t(R") en o pour o <~ t <. k ;

2) l'ensemble Zs0 ... st(c~ (dgfini ~ la t in du w x. 3) est ggal gz la varigtg (Jr co) - l (Zs 0 ... s t (R")) �9

En particulier, le symbole de co sur (R", Zs0(co), . . . , ~s0.. .st_l(co)) est S o , . . . , S t e n

tout point de Zs0... st(c~ pour I <<. l <<. k.

De'monstration. - - Soit rckt la p ro j ec t ion c a n o n i q u e de A~(R n) sur A~(Rn) ; Zso.." sk(R")

est u n e sous-var idtd de rcDe(Zs0 ... sk(R")). L a t ransversa l i td de Jk co ~t ZSo.." sk(R") en o

i m p l i q u e d o n e la t ransversa l i t6 de J t co = =kt ~ co k ESo . . .s t(R") en o.

149


Au germe de 2-forme o~ sont associ6s les id~aux %,1 �9 �9 *,o.k Puisque j , o(o) appar- _ Q 2 t ient ~ Xso...sk, par d~finition de Xso...s k -- Cso...sk Ak, on a :

n - - v t +1 = d im d a t + l ( o ) ---- sup{dim , t+ l (o ) , ~ e ~-l(Zs0.." st)}

= VSo... st = codim ZSo.. ' st

(voir aussi le thdor~me 2 .2 . i) . Ainsi tous les iddaux at, o, . . - , #,o sont rdguliers et on a

d im dato+l(x) --- Vs0.." st pour I ~< / ~< k.

D'apr&s la proposit ion 1 .3 .2 , chaque ensemble Zso...st(O), I < / ~< k est donc une sous-vuridt6 r6guli~re de I t" de codimension vs0 ... st" Ddmontrons l'dgalit6

ZSo...st(O ) = ( j to~) - l (Xs0 . . . s tR n) pour i ~< t,.< k.

Rappelons que Zso...st est l 'ensemble des t-jets o eA~ tels que :

- - le symbole de r sur {[d,~ l , [deL(o)] a', . . . , d ~ ( o ) ] a-} est ( S o , . . . , St) ;

- - dim[d~L(o)] = n -- "r~ = vs0...s,_,, ~ ~< i~< t.

Les idEaux ~,~, o < i ~< k, dtant rEguliers on a, d ' au t re part ,

[da~(x)] a- = T , Zs0.." si_~(o).

On en ddduit :

(Jr o)-'(XSo.., st(u)) = { x voisins de o tels que j t c o ( x ) appar t ient A la fibre XSo...st(X)}

= {x voisins de o tels que le symbole de co(x)

sur ( T , R " , . . . , T , ZSo.. .sk+x(o)) est (S O . . . Sk)}

= Xso...st(Co) (par ddfinition de Xs0...st(O ), voir la fin du w I . I)

C .Q .F .D .

2 . 4 . C a s d e s 2 - f o r m e s f e r m 6 e s

La stratification {r (So, - . . , Sk, T) e N • . . . • N ~+1 • N k+l}

indui t une stratification {r (So, "" ", S,, T) E N • . . . • N k+l • N *+1} l 'espace ~ des k-jets de 2-formes fermdes. C o m m e dans A~,

( S o , . . - , S k ) e N x . . . • k+l on d~finit encore ~ = ~ N k+l

suivante :

" c o = n ,

z, ---- in f{cod im B~, o e ~r162 ...s,_l *',-1)}

Dans ce cas on a seulement le rdsultat partiel suivant :

de A~

duns

dtant donnd

de la mani~re

pour i~< i~<k .

150

SINGULARITIES D ' O R D R E SUPI~RIEUR DE x-FORMES, o -FORMES x5~

~'. 4. x. TMorkme. - - Pour k = o, x, s'il est non vide, l'ensemble also.." sk 8-k est une sous- varigtg rgguli&e de f~ dont la codimension VSo.." Sk ne dgpend que de (S o . . . Sk) ; plus prgcisOnent Ot~ a :

0 0 S0(S o - - I )

'VSo ~ 2

VSo Sx : (So 1 -{- I ) VSo --]- ( 4 - s o l ) ( 4 - So ~ - x ) _ _ sol(So o _ _ So~) _ _ ~,1 2

avec P x = ~ si o<<.s~<.2 et P x = s ~ ( s ~ - - i ) ( s o l - - 2 ) pour 2<~ s~. 6

Les autres strates ~'So ... sk T pour T 4= g'k sont de codimension strictement plus grande que n. Pour k >~ 2, soit (So, . . . , S k ) E N • . . . • J '+l possddant la propridtd suivante

sauf pour au plus un entier I ~ j ~< k : Sj ----- est tel q u e

\ s } /

sol<<.2 si j = I et (4_t--s]_2...< 1,4..<x,o..<i..<j--2) si 2 < . j < . k.

Daus cette hypoth~se, si r sk m'k n'est pas vide, c'est une sous-varigtd r#gulRre de ~ dont la codi-

mension VSo...s ~ ne d@end que de (So, . . . , S~) et on a n - - Vso...si_ ~ = ~:~, I <~ i <~ k. Plus prgcis~ment, "% ... sk est dgfinie ~ partir de Vso.." Sk_l 8"k-~ par la formule :

( s2 - 4 - 1 ) ( s2 - s , _ l ' - ~) MS 0 .. . 8 k : MSO ... Sk_l -~

a v e c Pk =

2

k - 1 + s~-lb'So s , _ , - "So... s,_, - s~_l + s L 2

k--1 + X k k--1 k k--1 k - - - - s~_l) Pk, s , _ l ( s , s , s , _ l + -

, = 1

( S ~ - - I - - 4 - - 2 ) ( 4 - - 1 k - - 21 - - S k - - 2 I ) ( $ k _ 1 - - $ k 6 - - k - -2

+ ( s L ~ - 4 - 2 ( s L 1 - 4 - ~ - ~) s~-~ 2

k - -3 k $i-- 1

+ Z (s~ -~ ~-~ ~-~ ~-1 ($,-- 1 I - - _ _ _ _ S , _ l ) - - ) 5 , S , _ 1 -~- , = 1 2

S k - - 2 k - -1 k--1 S k _ _ - 2 s ~ _ , ) ( ~_~ ~1 ~-~ -~- (VS0...Sk_ ~ 'VSo...Sk_ 3 - - k - - 2 - - S k - - 1 "Jr- C~

(en particulier p k = o si s ~_1 - - s~_~ <~ I et s~ < I pour o <~ i <. k - - 2) .

Les ensembles r ... sk T pour T 4= g'k sont de codimension strictement plus grande que n.

( P o u r la d d m o n s t r a t i o n de ce rdsultat vo ir le c h a p i t r e I I I . )

151


Si ( S o , . . . , Sk) est tel que p o u r chaque

s~<~ 2

s ] - , - - s ] -2<<" I t2<<.j<..k '

\sj/

le t e rme p~ est nul dans l 'expression de VSo...si en fonct ion de Vs0...sj_l et des s i. L a

codimens ion de %0 ... si ~i dans Ay est alors 6gale ~t la codimens ion de %0 ... si*'i n fi~.

dans ~ et ainsi %o... sj*-j est t ransverse ~t ~2y p o u r tout I ,< j ,< k. Pa r cont re d~s que,

p o u r un ent ier I .<j.< k, s~_ x - - s}_~> I ou ,s i , alors pj 4: o et %o...si~- i n 'es t

plus t ransverse k ~ et routes les vari6tds %0...Sh~'h ne sont pas t ransverses ~t ~ p o u r

j ~< h ~< k. C o m m e dans le w 2 .3 , chaque ensemble r sk 8", (pour (So, . . . , Sk) v6rifiant

les hypoth6ses du thdor6me 2 .4 . I) ddfinit une singularitd dans ~ que l'on ddsigne par ~so... sk" O n di ra que ~s0...sk est une singulari t6 de k-jet de 2-formes fermdes. Les condit ions

n6cessaires et suffisantes d 'exis tence de ces singularitds sont les m~mes que p o u r les sin-

gularitds de r a n g de 2-formes.

Cependan t , il faut r e m a r q u e r que si %0 ... si ~'i C Ay n 'es t pas t ransverse ~t ~y pou r

un cer ta in ent ier I ~< j ~< k, la codimens ion de %0... sj ~-i dans Ay est plus g r ande que la

codimens ion de cs0 ... si r i dans ~y. Pa r suite si p a r exemple Zs0 ... s, est non vide, en

g6ndral ~s0... sk sera vide. Voici des exemples de symboles p o u r lesquels ~s0... s, n 'es t

pas vide et la va leur de leurs codimensions : on p o u r r a c o m p a r e r avec les symboles dans

le cas des 2-formes. ( O n t rouve ra toutes les slngularlt6s qui existent p o u r n ~< 6).

Pour n pair k = I

2I 22 4 ~ 41 41 4~ I 3 o 2 4 4

codim I codim 3 codim 6 codlin 9 codim x2 codim I6

k ~ 2

22o 22x 2~ 222 222 3I 3I 32 33 33

i i 3 3 5

codim 3 codim 4 codim 6 codim 8 codim 9 (codlin 7 (codim 9 (codlin IO dam A~) dans A~) dans A~)

k = 3

2 2 1 0 2 2 I I 2220 2 2 2 0 2 2 2 I 2 2 2 0

3IO 3 I I 320 320 32I 330

~o xl 3o 3I 31 5o 0 2 0 2 2 I

codlin 4 codim 5 codlin 6 codlin 7 codim 8 codim 9

(n'existent pas dam A~)

43 44 4 4

codim 20 codim 20 (codim 2i (codim 24 dam A~) dam A~)

152

S I N G U L A R . I T ] ~ S D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R D E x - F O R . M E S , 2 - F O R M E S

k = 4 k = 5

22110 2 2 I I I 0

3 I I O 3 1 1 1 0

I I 0 I I I 0

21 210

I IO

0

c o d i m 5 c o d i m 6

Pour n impair

k = l

3 ~ 31 32 32

o 2 2 4

c o d i m 3 c o d i m 4 c o d i m 7 c o d i m ~o

k ~ 2

31o 31I 3 i x 320

21 2I 22 20

1 I 1 o

c o d i m 4 c o d i m 5 c o d i m 5 c o d i m 7

k = 3

3 I I O 3 I I I 3 I I O 3 I I O

210 211 220 221

IO I I 31 3 I

0 2 I I

c o d i m 5 c o d l m 6 c o d i m 6 c o d i m 7

33

4 c o d i m 11

( c o d i m I2

d a n s A~)

320

20

2

c o d i m 8

3111

222

32

3 c o d i m 9

( c o d i m Io

d a n s A~)

k = 4

3 x z I o 3zIXO 3 I I I O 3 1 1 1 0 3 1 z I o

2110 2 I I 0 2 I I 0 2111 211 I

I 1 0 I I l I I I l I I 11I

21 21 ~2 21 22

I 1 3 I 3

c o d i m 6 c o d l i n 7 c o d i m 8 e o d i m 7 e o d i m 8

33 6

c o d i m z 4

( c o d i m 15

d a m A ] )

33 ~

4 ~

3 c o d i m ] 5

x53

2. 5. C o m p o r t e m e n t g6n6rique du rang d'une 2 - f o r m e sur une vari6t~. Cas des 2 - f o r m e s ferttt6es

Soit M une vari6t6 C = de dimension ne t A~(M) l'espace des 2-formes de classe C ~~ sur M. L'ensemble A~(M) des k-jet de 2-formes sur M est l'espace total d 'une fibration sur M de fibre type A~ et de groupe structurel L k. Une singularit6 de k-jet est par d6finition une sous-vari6t6 E de A~, Lk-invariante. Toute singularit6 E C A~ donne naissance ~t

une sous-vari6t6 Z(M) de A~(M), fibrde sur M de fibre type E. Pour to EA~(M) l'en-

semble Z(to) des x ~ M off M k to(x) appartient tt E(M) est appel6 le lieu singulier de

type Z de to et chaque point x de Z(to) est appel6 unpoint singulier de type Z de co. I1 est bien

153 20


connu que dans A~.(M), l 'ensemble des co pour lesquels j~ co est transverse ~ Z(M) est un ensemble rdsiduel (voir [ io]) . De plus si la codimension c de Z(M) est plus petite que n et s i j , o~ est transverse ~k Z (M) , E(o~) est une sous-varidt6 r6guli6re de codimension c de M. On dira que Z(~o) est gdndriquement une sous-vari~tg rgguli~re de codimension. Pour les 2-formes ferm6es on a des r6sultats analogues. En appl iquant ces rdsultats Yso... sk C A~, il r6sulte alors des th6or6mes 2 .2 . ~ et 2 .3 . ~ que

~. 5. I. Thgor~me dans

entier k et tout dlgment (So,

zs0(o ), . . . , sr sont

par rdcurrence de la mani~re

ZSo... s~(~o)

A~(M) . - - Les propri6t6s suivantes sont ggngriques. Pour tout

. . . , S~) e N • . . . • N ~+~, si n est assez grand, les ensembles

des sous-varigtgs rgguli~res de M, l'ensemble ZSo.." si(~) gtant dgfini

suivante :

= Zs EM, ZSo(O ), . . . , Z s , . . .

(voir les notations introduites ~ la fin du w I . I ) . Le symbole d'un glgment gdngrique ~ sur

(M, ZSo(O~), . . . , ZSo ... sk((o)) est (So, . . . , Sk) en chaque point de ZSo.." sk((o). Si ZSo.." sk(Co) n'est pas vide, sa codimension ne dgpend que de (So, . . . , Sk) et sa valeur est donnge dans le thgo-

r~me 3 . 2 . I .

(On t rouvera une condit ion ndcessaire et suffisante pour que cette vari6t6 soit non vide dans le th6or~me 3 .2 .2 . )

En utilisant les r6sultats analogues pour les 2-formes ferm~es, on a :

2 . 5 . 2 . TMorkme dans ~1~ (M). - - Les proprigtds suivantes sont ggndriques. Pour tout entier k

et tout dHment (So, . . . , S,) e N X . . . • N k+l possgdant la proprigtg (i) donnde plus has,

les ensembles ~So(~), . . . , ~So...s,(~) sont des sous-varigtgs r6guli~res de M, o~ ~so...si(~) est

d6fini par rgcurrence de la manikre suivante :

... = . . . ,

Le symbole d'un dHment ggndrique ~ sur (M,~so(~), . . . ,~So. . . sk(~)) est (So, . . . , S k ) en

chaque point de ~So ... sk(~) �9 La codimension de ~so ... sk ne dgpend que de (So, . . . , Sk) et sa valeur

est donnge dans le tMor~me 2 .4 . I.

un entier

(i I ~< j ~< k, Si v6rifie les in6galit6s :

so~<2

s i _ l -

4<<. i, o < ~ i < ~ j - - 2

Proprigtd (i) pour ( S o . . . Sk). Soit S~ = ) pour j = i

l pour <~j~<k. 2

pour o~<j~<k. Sauf pour au plus

154

S I N G L r L A R I T I ~ S D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R D E ~ - F O R M E S , 2 - F O R M E S ~55

Nous allons terminer ce paragraphe par des exemples de comportement g~n~riques de 2-formes et de 2-formes fermfies pour n = 5, 6 et illustrer ces descriptions par un exemple de 2-formes gdndriques sur R ~.

La situation g~n6rique du rang d 'une 2-forme ferm6e en dimension n = 4 est d6crite par J. Martinet dans [io].

Singularitgs ggngriques du rang d'une e-forme et d'une 2-forme fermge en dimension n = 5

o) co est de rang maximum sur l 'ouvert El(co ). En tout point du compldmentaire de Zl(o~ ) le rang de co est ~, c'est-~-dire sur la vari6t~ Na(o~ ) de dimension 2.

I) L'ensemble des points x off le noyau K,o(x ) est transverse ~ T~Z3(o) ) est ouvert dans N3(o~ ) et le symbole de co est alors 30. Le compl~mentaire N3(o~ ) -- Nao(O~ ) est la

O 0 sous-vari~t6 N31(o~ ) de dimension I. 2

~) Sur N31o(CO) le noyau K,o(x ) et T~ N~t((o ) ont une intersection nulle. Le compl~- 21 2

1

mentaire N~(~) -- N~o(O) ) est un ensemble de points isol~s off le symbole de r est 3~ zo 2 21 2 I O

1 I O

O

Singularitds gdn#iques du rang d'une 2-forme et d'une 2-forme fermde en dimension n = 6

o) co est de rang maximum sur l 'ouvert Zo(O~ ). Sur la vari6t6 X~(~o) de dimension 5 le rang de co est 4 tandis qu'il s'abaisse ~ 2 sur un ensemble de points isol6 Z~(o~).

x) Sur X~(co) l'ensemble des points 05 le noyau K,o(x) et T,X~(o~) sont trans- verses est l 'ouvert Z21(o) ). Le complfmentaire Z~(o~)- Z2x(co ) est la varift6 Z~(o~)

1 1 3

de dimension 3 des points oh K~(x) est contenu dans T~ E~(co) c'est-k-dire off le symbole e s t 2 2 .

3 En tout point de Za(o~ ) le symbole de co est 4 o.

O

2) Dans les 2-formesfermdes, ~2(r est rdunion de : ~0(r ouverte dans ~(co) ;

31 3 1

~1(co) varidtd de dimension 2; 31

1

~-e~(~), ensemble de points isol6s. En ces points le symbole de co est 222o s2 320

a 30 O

Dans les 2-formes Z~(co) est vide. 33 3

155

x56 F E R N A N D P E L L E T I E R

3) Z22t(ca) est la rdunion des varirtds suivantes : 31

1

E2210(ca ) qui est ouverte dans E22i(ca ). 310 31

10 1 0

E2m(ca), vari6t6 de dimension I. 311

11 2

4) Sauf sur l 'ensemble Z~m(ca ) de points isol6s, le symbole de co sur Y~u(ca) 3111 311

c s t 2 2 I I O 111 11 3 1 1 0 21 2

I I 0 i

2I I

Nous allons illustrer ces descriptions par un exemple de 2-forme ferm6e g~n~rique sur 116.

Pr6cisons que la situation d6crite ci-dessous est g6n6rique dans les 2-formes ferm6es et non dans les 2-formes : l 'ensemble ~ ( c a ) est g~n6riquement vide dans les 2-formes.

33 3

Sur 116 rapport6 aux coordonn6es (x ,y , z, t, u, v) on consid~re la 2-forme ferm6e

( -I Z~ xv) ca = dx ^ dt + dy ^ dz + d y t + 2

+ d ux + -~ + zv ^ dv + d yuv -- - uv 3 ^ du. 3

Ensemble singulier du Ier ordre

Le rang de ca est par tout sup6rieur ou dgal ~ 4. L a vari6t6 ~2(ca) des points off ca

est de rang 4 a pour ~quation x = o : c'est la vari6t6 d6finie par

c a a = I2 x dx ^ dy ^ dz ^ dt ^ du ^ dv = o.

Ensembles singuliers du 2 e ordre

Soit ~ la restriction de ca ~t 42(0)). On a ( i ) ( i ) - ~ = d y ^ d z + d y t + 2 z ~ ^ d u + d z v + ~ t 2 ^ d v

+ d ( y u v I ) - - - u v 3 ^ du. 3

L'ensemble ~(ca) des points x de ~2(ca) off le symbole de co est 22 c'est-~-dire 3

dim [K,o(x) n T= ~2(ca)] = 2 et d im K~(x) = 3 est la vari6t6 d '6quat ion x = y = t = o.

Cette vari6t6 est d6finie par l '6quat ion ~2 = o. Sur le compl6mentaire ~2(ca) -- ~2(ca) le symbole de ca est 21 c'est-~t-dire : 8

I

dim[K,Jx) c~ T , ~(ca)] = dim K~(x) = x.

Enfin, en tout point de ~4(ca) le symbole de co est 4 o. o

156

S I N G U L A R I T I E S D ' O R D R E SUP]~RIEIYR. D E I - F O R M E S , 2 - F O R M E S x57


Soit ~ la restriction de co ~ ~ ( ~ ) . On a 3

= v d z ^ dv + z d z ^ du + uv~du^ dr.

La varidtd ~(~o) (~(r = (l 'hyperplan des {z, u, v})) est rdduite ~ o ~ R 6. 33 3 3

La varidtd ~ ( ~ ) est le plan des coordonndes {z, u} privd de l'origine. En tout point du 31 1

compldmentaire dans ~ ( ~ ) de ~ ( ~ ) u ~ t ( ~ ) 3 ~3 31

3 1

le symbole de co est 220 31

I


L'ensemble des points de ~ t ( ~ ) , off la restriction de co ~ cette varidtd s'annule 3t 1

est la varidtd ~ u ( ~ ) : c'est l 'axe des u privd de l'origine. Sur le compldmentaire de l'axe 311

l l 2

des u dans ~1(~) " (= plan des {z, u}) le symbole de co est 221o 31 3IO

1 I O O

Ensemble singulier du 5 e ordre

En tout point de ~ n ( ~ ) le noyau de la restriction de co ~ ~ ( ~ ) est transverse ~ v- r - ' ~ .a~cte 3n 3 cette 11

En rdsumd darts ~ ( ~ ) = hyperplan des {z, u, v} on a Ia situation suivante : 3

~ 1 1 311 / - 11

9.

~z2n $11 r 11

2

2.6. Comportement g~n~rique de la classe d'une 6quation de Pfaff

On rappelle qu 'une gquation de Pfaffsur une varidtd M est la donnde d 'une section o

du fibrd projectif P M associd au fibrd vectoriel cotangent T* M de M. Soit T~ M le com-

1~7


pl6menta i re de la section nulle de T * M - + T M et q : T ~ M - + P M la project ion

canonique . E t an t donn6 une section a de P M et U un ouver t de M, toute I - fo rme y

sans z6ros, ddfinie sur U, est un rel~vement de ~ sur U si ~ ---= q o u U n e 6quat ion de Pfaf f

a d m e t des re l6vements loeaux mais en g6n6ral il n ' y a pas de re l6vements g lobaux . S i y

et y ' sont deux re l6vements d e , sur U il existe une f o n c t i o n f non nulle sur U telle que

Y'-----fT. La classe d'une dquation de Pfaff ~ en un poin t x de M est l ' en t ie r r tel que

y A dy'(x) 4= o et y A dy '+ l (x ) ---= o, T ~tant un re l~vement local de ~ en x. I1 est ~vident

que la classe de a en x ne d6pend pas du re l~vement choisi. L a classe de ~ est u n invaxiant

qui por te sur le couple (y, dy). Soient M o = M D M 1 D . . . D M k des sous-vari6t~s (i 0) r ~ g u l i ~ r e s d e M e t e u n e d q u a t i o n d e P f a f f s u r M . P o u r t o u t S = s t e N ~ +t et u = o

k

ou I on d~signe p a r Z~(M0, . . . , Mk) l ' ensemble des x de M k tels que :

dim[Kvr q dyt(x) n T , Mk] = st, o <~ ~ <~ k.

"O(x) = o s i u = o ,

yt(x) 4 = o si u = I ,

o6 y est un re lSvement local de ~ en x, Yt est la I - fo rme indui te p a r ~, sur M t et Kvt^dvt(x )

e s t l e n o y a u d e y t A d y t e n x d e M t.

Le symbole de a sur (M0, . . . , Mk) en x de M~ est l '616ment ( S o , . . . , S~, U) de

NX . . . x N k+axN k+~

Sj =

d6fini p a r

\; ,/

o ~ j ~ k , si sr ---- d im[Kvi ^ dvj(X) C~ T , Mj],

U = (i avec u~---=o si -6(x) = o et u i = x si y~(x) 4=o.

O n d6signe p a r ~ l 'd l6ment

r~sultat par t ie l suivant : (i) de N ~§ C o m m e p o u r les 2-formes ferm6es on a l e

158

SINGULARITIES D ' O R D R E SUPI~RIEUR DE I -FORMES, ~ -FORMES I59

2 .6 . X. TMor~me. - - Dans l'espace P(M) des gquations de Pfaff sur M, la propridtd sui-

vante est gdn6rique :

Pour tout entier k et tout glgment (So, . . . , Sk) e N • . . . x N k+~ vgrifiant la proprigtg (i)

donn& plus bas les ensembles

XSo . . - , :Cs0... . . . , :CSo... sk

sont des sous-varidtds rdguli~res de M, si Zs0 ... si el(~) est ddfini par rdcurrence de la mani~re suivante :

~]So " Sl q-/i ((~) = X ~ 1(~r ~ Si 1 ~i~I (~ ) ) " �9 Si, ~So " " "' ~So . . . .

Le symbole d'un dgment gdndrique ~r sur (M, Zso~o(~), . . . , Zso.. ' sk ~,k(a)) est (So, . . . , Sk q/k) en tout point de Zso ... sk ~k(~) �9 La codimension de ZSo.. ' sk ~k(cr) ne dgpend que de (So, . . . , Sk) et sa valeur est donnge dans le thdor~me 3 . 4 . 2 . I de [ 15].

On t rouvera une condit ion ndcessaire et suffisante pour que Zso.. �9 sk %(cr) soit non

vide dans le th6or6me 3 . 4 . 2 . 2 de [I5] ),

Proprigtd (i) pour S0, . . . , S k. Pour o ~< j ~< k

un entier i ~ j ~< k, Si v6rifie les in6galit6s :

s0 a~< 2 pour j = I

SJ__ 1 - - SJ__ 2 ~ I ) �9 pour 2~<j~<k.

S1<~ I 0 < . i<~ j - -

(s0 t soit S t = . Sauf pour au plus

\ 4 /

Comme dans le cas des 2-formes, la ddmonstrat ion du thdor6me 2 .6 . I se ram6ne

construire des singularitds convenables dans Pk+~.

Pour plus de ddtails et pour la d6monstrat ion de ces rdsultats, voir [15].

2 . 7 . Q u e l q u e s s i n g u l a r i t 6 s d ' o r d r e s u p 6 r i e u r d e l a c l a s s e d ' u n e i - f o r m e

Soit y une i-forme sur une vari6tfi M. La classe de y e n x est l 'entier r d6fini par

yAdyk(X) 4=O et dy~+1(x) = o si r = 2 k + I,

dye(x) 4 ~o et y ^d y k ( x ) = o si r = 2 k .

Le rang de y en x est aussi la codimension dans T~ M de l 'espace Hv(x ) = Kv(x ) c~ Kay(x),

Kv(x ) et Ka,t(x ) 6tant les noyaux respectifs de y(x) et dy(x).

Soient M0 = M D M 1 D . . . D Ms des sous-vari6t6s de M e t y une i-forme sur M.

189

I6O F E R N A N D P E L L E T I E R

Pour tout S =

par E~v,(M0, . .

et V - ~ appar tenan t ~t N ~ +1 et u----o ou I,

., Mk) l 'ensemble des x de M k tels que

dim[Kvt(x ) n Kavt(x ) c~ T , Mk] = st,

dim[Kvt ^ art(x) n T , Mk] = vt,

~ ' k ( x ) = o si u = o ,

~'k(x) 4 : o s i u = i ,

on ddsigne

off Yt ddsigne la I-forme induite par y sur Mr. O n appel le symbole de ~' sur (M0, . . . , Mk) en x ~ Mk

V o , . . . , V k , U) de N X . . . x N k + l X N . . , x N k + l • k+l

\ s / /

V~----

o ~ j < k ,

o ~ j < k ,

l'dldment (So, ..., Sk,

ddfini par

si s~ = dim[(Kv,(x) + Kd,a(x)) n T . Me],

si ~ = dim[(Kv,^av, (x) + Kavi(x)) n T. M~].

(!0) U - ~ avec uj----o si yj(x) = o et u~---- I si gj(x) 4 :o .

k

Le symbole de y sur (Mo, . . . , Mk) se prdsente sous la forme de tab leaux triangulaires.

Pour tout entier i, on ddsigne p a r , l ' d l d m e n t ( ! ) deNt+l . On aalors lerdsultat partiel suivant :

2.7. x. Thgorkme. - - Dans l'espace A ~ ( M ) , la propri~t6 suivante est gdndrique : pour tout entier k et tout 616ment

(So, ..., Sk, Vo, ..., Vk) EN x ... X N ~+~ x N x ... x N k+~

v#ifiant la proprfft~ (ii) donn~e plus bas les ensembles "'Vi .~ ""Vk

~ ~o(~), . . . , z ~ . . ~; ~,(v), . . z~o" .. ~k n(v) ,

160

S I N G U L A R I T I E S D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R D E t - F O R M E S , 2 - F O R M E S I6x

s'ils sont non vides, sont des sous-varidtds rdgulikres de M, ,~vo ... v,. "So... si ~,i(Y) dtant ddfini par

X~o. v ~ , ( v ) = X~,v , .~ (M, X~o' ~,o(v), �9 �9 -, X~~ _1(v)). Le aymbole d'un dlgment gdndrique y sur (M, Zvo,o(y), . . . , X~o:::v~,/k(y)) est (So, . . . , Sk, Vo, . - . , Vk, ~k) en tout point de Zvoo :::v ~ r165 La codimension de X~oo::iv ~ ck(~,), si cet ensemble

est non vide, ne ddpend que de (So, . . . , Sk, Vo, . . . , Vk) et elle est donnge dans le thdorkme 3 . 5 . 2 . i

de [~5]- O n t rouvera une condi t ion n&essaire et suffisante pou r que

dans le th6or~me 3 - 5 . I . 2 de [15].

Propriad (ii) pour (So, . . . , Sk, Vo, . . . . Vk). Soit et V j =

o ~< j~< k. S a u f p o u r au plus un en t i e r j , Sj et Vj v6rifient les in6galitds

s~< I p o u r j = I

Sj~-_ 1 - - S j _ 2 ~< I

s~<. I o<.. i < . j - - 2 p o u r 2<<.j< k.

v !=s i o<<. i < . j - - I

y~Vo ~ -.. V k .. sk '~k(~) + ~'

: pou r

U n e lois de plus, la d6mons t ra t ion des th6or6mes 2 . 7 . I revient ~t construire des Ak+ 1. Pour plus de d6tails et la d6mons t ra t ion de ces singularit6s convenables dans 1

r&ulta ts voir [ I5] .

161

21

I lL - - C O N S T R U C T I O N D E S SINGULARITIES D A N S A 2 E T g ~

Ce chapi t re est consacr6 ~ la ddmonstra t ion des rfisultats sur les singularit~s du

rang des 2-formes et de 2-formes ferm~es d~crits dans les w 2 .2 et w 2 .4 . La m6thode

est la m~me que celle utilisfie pa r M a t h e r dans [I2] pour les singularit~s d 'appl ica t ions :

const ruct ion d ' une f ibrat ion de chacune des singularitfis sur une orbi te dans un produi t

de grassmanniennes.

3" I. P l a n d e d 6 m o n s t r a t i o n d e s t h 6 o r ~ m e s 2 . 2 . x e t 2 . 4 . i

Les d6monstra t ions des th6or6mes 2 . 2 . i et 2 . 4 . I sont du m6me type. Nous allons

donc faire une seule ddmonstra t ion. Aussi nous adoptons des notat ions communes .

Avec les notat ions des w 2 .2 et 2 . 4 on d~signe pa r

A n un des espaces A~ ou ~)~ p o u r o <~ h <~ k,

~ la project ion canonique de A k sur Ah, g

so... sh rh / X

De plus lorsque A h = ~ , s(S / \ s i /

est tel que

l 'ensemble 8S0 . . . C lorsque Ah ShTh = ~ p o u r o~<h~<k. l 'ensemble ~'.0 ... sh Th C f~ lorsque A h = ~ ,

(So . . . Sh) v~rifie : sauf p o u r au plus un ent ier I ~< j~< h,

2

~ _ l - - s i _ ~ < 2 et ~ < I p o u r o ~ < i ~ < j - - I et 2<<.j<.Nh.

Avec ces notations, les th~or~mes 2 . 2 . I et 2 . 4 . I ont une version c o m m u n e qu i est la

suivante :

3. x . L Thgor~me. - - I) Xso... sk trk est une sous-varigtg rgguli~re de Ak, si elle est non

vide, et sa codimension ,% ... SE est donn(e par les formules suivantes :

0 0 $o(S o - - I) pour k = o,

~8~ - - 2

( 4 - 4 - 1 ) - s _l - 1 ) ~S 0 . . . Sk = VS 0 . . . Sk-1 .2f_ 2

_ _ $ k - - 1 $k + Skk-- l (~So. . .Sk_ 1 - - ~S o . . . S k _ 2 k- -1 + k - - l )

k - -1 + ' ~ k t k--1 k k--i k

- - - s ~ _ 1 ) Pk sl - 1 ~s~ s~ s~ _ i + --

i - - 1

162

SINGULARITIES D'ORDRE SUPI~,RIEUR DE I-FORMES, ~-FORMES x63

avec Vs0 . . . s~=~ pour k < o

s ! = o pour i < o et j < o,

~ = - o si A~ = A~,

~ ddfini comme dans ~. 4. i si A~ = f2~.

~) Pour T~ 4: ~ , la codimension de Xs0 ... S~T~ est strictement plus grande que n.

Pour k - = o, le th6or6me 4. i . I est une version partielle des r6sultats de [I O]. L a ddmonstrat ion de ce th6or6me vase faire par rdcurrence sur k en utilisant une mdthode

de f ibration que nous allons exposer ma in tenan t .

L a construction des singularitds de T h o m Boardman faite par J . Ma the r dans [I2]

est du type suivant. Un ensemble Z C A k est invar iant par Faction du groupe G k et il

existe une applicat ion cont inue ~ de Z dans une vari~t~ D sur taquelle G~ agit transiti-

vement . L ' a p p l i c a t i o n , est 6quivariante. On montre ensuite qu' i l existe a e D tel que V = , - l ( a ) soit une sous-vari6t6 r6guli6re. Alors on en d6duit que Z est une sous-vari6t6

r~guli~re grace ~ la proposition suivante :

3 . 1 . 2 . Proposition [I2] [I5]. ~ Soit F u n sous-groupe de Lie de L , et F • D -+ D

une action transitive de F sur une varigtd D. On considkre un sous-ensemble Z de A k invariant par F

et une application dquivariante et continue ~ : Z --> D. S'il existe a ~ D tel que V = ~- l (a)

soit une sous-varidtd rdguli~re de A k alors Z e s t une sous-vari6tg rdguli~re de A k et sa codimension

est ggale ~ codlin V - - d im D. Si de plus, ~ est analytique, alors a est une fibration de Y. sur D

de fibre type V .

Pour tout o ~< h ~< k on a une application aSo ... sh *'h de zc~,~(Xso.." Shrh) dans le

produi t de grassmanniennes Gso... sk *'4 = Gs0 • " ' " • Gsk • G*'k qui ~ o~ associe son 6tendard (voir w 2.2). Rappelons que l ' image Dso. . sh *h de aso... Sh*'h est une orbite de Fact ion de L h sur Ds0.. ' Sh*'h" O n d~signe par F h l ' image r6ciproque du point

[ (M ~ . . . (M~, . . . , M~) (No, . . . , Nh) ] par la projection *So...Sha'h :

= ; : : ( X s o ...

Dso... sh ~-h 6tendard de co.

Soit G h le sous-groupe des 616ments de L h qui fixent F , . Pour ~o e Fh, les iddaux at o

sont des id6aux rdguliers de dimension n -- ~:t. On d6signe par v~ la codimension dans 1 t et par G~t ~t la grassmannienne des ,#-plans de ttt~_ t + �9 le R-espaee ink_ t + 1 du R-espace z,,

On a une applicat ion A h de Fa dans A~• G~I~1 • • G~h~h qui ~ r assoeie

163

164 F E R N A N D P E L L E T I E R

(nk0(r ' a,~l, . . . , ~ ) . On va mon t r e r que l ' image de cette appl icat ion est une orbi te D h

de Fact ion de G h sur A S • G~1~1 • . . . • G,h~h. O n a alors une project ion

. . , �9

Soit H k l ' image rdciproque d ' u n ~l~ment (~, J~, . . . , J ~ ) e D h off ~ est le module

construi t dans le chapi t re I I de [I5] . Le schema de dgmonstration de la proposition 3. I . 2

est alors le suivant :

i) M o n t r e r que H k est une vari~t~ (proposit ion 3 . 1 . 3 ) .

2) On en d~duit, g race ~ la proposi t ion 3. I . 2 que la project ion

est une f ibrat ion de f ibre- type H k et que F k est une varietY.

3) En app l iquan t ~ nouveaa la proposi t ion 3. i . 2 on mont re que la project ion :

X s o .. . sk e'k

Dso ... Sk S'k

est une fibration de fibre F k.

De~monstration du tMorkme 3. i

O n se place dans l 'hypoth~se

v r a i d a n s A n pour o ~ < h ~ < k - - I.

z re ~tape. - - Les propridtds

essentielles pour les deux autres

. I~

de r6currence suivante : (Pk-1) le th6or~me 3. I . I e s t

de H k contenues dans la proposi t ion suivante sont

6tapes.

3. x. 3. Propositi~. - - H k est une sous-vari6tg rgguli~re de A k et sa codimension est donnge

partir de la codimension de H k_ 1 dans A k par :

codim H k = codim Hk_ 1 + (% - - ~k-1) % - - Pk

(Ok est d~fini dans le tMor~me 3. I . I ) .

Nous admct t rons ce rdsultat dans ce pa ragraphe . La ddmonstra t ion sera esquiss6e

au pa rag raphe suivant.

2 e dtape. - - Les propridtds de F~ sont rassembldes dans la proposi t ion suivante :

164

SINGULARITIES D ' O R D R E S U P I ~ R I E U R DE z -FORMES, ~ - F O R M E S z6 5

3 . ~ . 4 . P r o p o s i t i o n . - I) Pour I <~i<~k on a "r~=n-- ,~s0. . . s ,_~, si ~so...s/_~ est la codimension de la varidtd Xs0 ... si_l dans Ai_ 1.

~) L'ensemble Fk est une sous-varidtd rdguli~re de A net sa codimension est donnde ~ partir

de la codimension de F~_ 1 dans A , de la manikre suivante

sL1) eodim F~ = eodim F~_ 1 -q- (s~ - - s~_ 1 - - I)

2

k--1

& ( s l s s,_1)(,_1 - - - - + -

i - - 1

+ (Tk--1 - - Tk) Zk - - 0k,

o~t On a la mgme ddfinition que dans le thdor~me 3. i . 1.

D6monstration de la proposition 3 . 1 . 4 .

La propri6t6 (i) se ddmontre par un simple a rgument de transversalit6 (voir [15] ). Nous allons ~tablir la propri6t~ (2). Pour o ~ h ~< k, F k est l 'ensemble des co dont l '~ten- da rd est 6gal ~t [ (Mo~ ( M ~ , . . . , M0h), ( N 0 , . . . , Nn) ]. Pour co appar tenan t ~t Fn, les iddaux ~,ol, . . . , o~,~ sont des id~aux rdguliers. I I e n rdsulte que la dimension du R-espace vectoriel ~ C m k _ t + l , i ~ l ~< h, ne d~pend que de n - - ' c , = d i m R ( a t / m k _ t _ l e s t ) .

t (resp. ink-t+1). C o m m e on a vu plus haut , Soit ,~ (resp. ~t~) la dimension sur R de ~,o soit A n l 'appl ieat ion de F n dans AS • Gvl~l • 2 1 5 Gvh~,h, l 'appl ieat ion qui ~t co

assoeie (rrko(~ ~,ol, . " "' ~ (G~t ~t ~tant la grassmannienne de vt-plans de

l 'espaee ran-t+1). Nous allons d'abord montrer que l'image D n = An(Fn) est une orbite de

l'action de G n sur A2o • G~I~I x . . . X G~h~, a. Soit j t l ' iddal de ink- t+1 engendr6 par les eoordonndes xil, . . . , x~ ,_ , t , oh

d x i ~ , . . . , dx~,_, t engendrent l 'espace N t. Rappe lons que le groupe Gn est l 'ensemble

des 616ments de L n qui laissent invar iant [ ( M ~ ( M ~ , . . . , M~), ( N 0 , . . . , N n ) ] done en part ieulier les espaces N1, �9 �9 Nt , . . . , N h. Les id6aux a~,o, . . . , o*,o 6tant r6gu- liers, il existe un 616ment g de G n tel que %.,o = j r , l = 1, . . . , h, pour tout 616ment co de F n. D ' au t r e part , dans le ehapi t re II , w 2.3, on a vu que, pour ~ s A2(R") * v6ri- fiant (S,o(F~) + F~) = M!, o ~< i ~< j < h, et F~ t = Nt , I < t < h, il existe un auto-

morphisme ~ de R" qui fixe [ ( M ~ ( M ~ , . . . , Mh0), ( N 0 , . . . , N n ) ] et tel que ~* ~0 = G ((( module )~ ddfini dans [15] ). L 'espaee A S ~tant identifi6 ~t A2(R'*) *, Da est

done une orbite de l 'aet ion de Gk sur A S • G ~ , • . . . • G,a~n. Par un a rgument classique de gdomdtrie alg6brique (voir [4]), on en ddduit que Dn est une varifit6. O n sait que H A est une sous-varidtd rdguli&re de A n pour tout o ~< h ~< k (proposition 3 . 1 . 3 et hypoth~se de rdcurrence Pn-1). En appl iquant la proposit ion 3. i .~ k la situation A n : Fa ~ Da on en ddduit que F nes t une sous-varidtd rdguli~re de Aa et que l 'on

a codim F a = codim H A -- dim D n. Par suite

eodim F~ = codim F~_ 1 + (codim H~ - - eodim H~_I)

- - (dim Dn -- dim D~_a)

165

x66 F E R N A N D P E L L E T I E R

D'apr6s la proposition 4. i .3,

codim H k = codim H k _ 1 -k (n:k--1 - - Zk) Z k - ?k"

I1 rcste donc ~t calculer d im D k - - d i m D k_t. Nous allons indiquer comment on peut

calculer la dimension de D h pour o ~ h ~ k.

Soit K h le sous-groupe de G h des 616ments qui fixent ( ~ , J ~ , . . . , J ~ ) . On a d im D h ----dim Gh/Kh. D6signons par K~ le sous-groupe des 616ments de G h qui fixe

et K~' le sous-groupe des 616ments de G h qui fixent J~, . . . , J ~ . On a 6videmment - - t K~ ---- K~ c~ K~'. Dans GL, (R) soit K h le sous-groupe des automorphismes de R" qui

fixe le mod61e ~. Si ~h0 d6signe la projection canonique de L h sur L o = GI~(R) le

groupe K~ n'est autre que ~ I ( K ~ ) . D 'au t re part , puisque ~h0(Gh)C GLn(R ) fixe les

" DK n. On a donc la ddcompo- espaces No, . . . , N t , . . . , N h , on a z=h0(K h) = rch0(Gh) - ' sition suivante :

K h - - t tt = K h | h r3Ker~h0.

La codimension de K h dans G h est donc 6gale ~t : - - t I t [codim K h dans 7~h0(Gh) ] + [codim K~ dans Gh]

T T f i x e ~ a a n s a ~ f i x e J l , - . - , J l .

On obtient ainsi [15] k - t k k dimDk dimDk_~ Y~ (s~ - ~ - ~ 2 ~ s , + - = - s , _ 1) ( ~ - 1 - ~)

i = 1 (+ ~ - s~ ) ( s~ - s ~ _ l )

C.Q..F.D.

3 e itape. - - A part i r de la proposition 3. z .4, nous allons ~tablir le tMorbne 3. i .2.

Il r6sulte de l 'hypoth6se de r6currence (Pk-1) que l 'applicat ion

t~So ... sh s'h : 7 ~ 1 X s o . . . Sh t 'h ~ Dso ... sh s'h

est une submersion pour o~< h ~ < k - - I dont la fibre est F~.

Pour h ---- k, ~So... sk s-, : Xso... sk s-, -~ Dso... s~s-~ est analyt ique 6quivariante et la contre- image F~ de [(M~ . . . , (Mk ~, . . . , Mob), (No, . . . , N~)] est une varidtd (pro-

position 3. z .4). En appl iquant ~ nouveau la proposition 3. x. 2, on en d6duit que cette

application est une submersion de fibre-type F k. Par suite, pour tout o ~< h ~< k on a :

codim n~l(Xs0.. , s~ t-~) = codim F~ -- d im Ds0.. ' s^ s-~.

Ainsi on a la formule de rdcurrence

'%.. . s~ = codim Xso.." s, s'~ = codim Xs0.. ' s,_, t'~_,

-F codim F~ -- codim Fk_l) -- d im Ds0.." s, s', - - d im Ds0.." s,. s-,_x.

Par un calcul ~ldmentaire on obtlent alors le rdsultat annoncd.

Pour mont rer que codim Xso... s~ T, > n si T k ~e ~ on utilise un simple argu- ment de transversalitd (voir [I5]) .

166

SINGLrLARITI~S D'ORDRE SUPI~RIEUR DE I-FORMES, 2-FORMES x67

3.2. D ~ m o n s t r a t i o n de la propos i t ion 3. x .3 (esquisse)

O n rappel le que le systEme de coordonnEes ( x l , . . . , x~) de R" et la base

~1 = d x l , . . . , ~,, = d x , de E* = (R")* sont fixes.

O n Ecrit c o = t o o - l - t o l q - . - . - t - t o tq - . . - - t - % off tot est un ElEment d e A s coefficients po lynomiaux homogEnes de degrE r O n pose :

to, = y_, axo, l<.u<v<~n

ILl = t

oh re, x L = 4 . . . d I L l = 6 + . . . +tn. L'E1Ement (So, . . . , S k ~ ) e N • . . . x N ~+1 x N ~+t est fixd de sorte que

Xso ..... sk *'k 4= ~. O n rappelle que l 'on a pose :

= \ s l /

g'k =

O n se place darts l 'ensemble oWk des to s A~ tels que rck0(to ) = ~, le module

dans A20 associ6e g ( S o , . . . , S k ~ ) (voir [I5] ). L a demonst ra t ion de la proposit ion 3 - i . 3 se decompose en 3 parties. i re p a t t i e (voir [I5] ). A to e ~ on associe une famille (~) , o~< i<<.j<~ k , de

champs de matrices des composantes de to, sur un voisinage de o e R" a v e c l a propriEtE

suivante : pour j ---- o, . . ., k - - x, soit

ESo... %.(to) = {x e Es0 ... si_~(to ) [ rg a~(x) = -rj - - 4, i = o, . . . , j } .

Si to e Hi, l'idEal a~ +1 est l'idEal des (k - - j ) - j e t s en o de l'idEal de definition de l 'en-

semble Eso ... si(to ). Par recurrence s u r j , on montre que chaque matr ice ai cont ient une

sous-matrice ai telle que sur Es,.." si_x(to ) le rang de "~i est Egal au rang de a{.. La valeur ai(o ) permet de dEfinir dans a~ une (-r i - - ~ ) • ( ~ j - ~) matr ice de rang m a x i m u m sur

Xso...%_~(to ). C o m m e darts [9], la condi t ion rg a i = rg ~ = ' r i - - ~ se t radui t par une Equation matricielle du type : T~ - - Yi(X~) -1 Z! = o, oh {X{.', Y{, Z i, T~} est

une decomposi t ion de -~ en blocs du type

N Y!

167


Par suite, l 'ensemble +j+1(r des (k - - j ) - je ts en o des termes de

det X{(T i -- Y{(X{.) - t Z{) i = o, . . . , j

est alors un syst~me gEn~rateur de z~+t modulo z~, pour co e H i. Modulo z~, l'idEal ~ + t

sera alors engendrd par l 'ensemble ~bi+t(o~ ) des ( k - - j ) - j e t s en o des termes de

( T i - - Y i ( X i ) - t Z i ) • i = o , . . . , j pour o ~ e H i. Rappelons que H i est l 'ensemble des ~ ~ tels que :

a t c j t , t - - o , . . . , j ,

rg a t ~ n - - ' 7 l .

Chaque dl6ment de d?i+,(~o ) est un polyn6me dans les composantes de to.

Comme les composantes de ~o 0 sont des constantes, de tels polyn6mes sont fonctions des composantes

b~ = b~ + . . . + b'~ + . . . + ~L

o ~ = ~ + . . . + c o t + . . . + % . d e

On a posd

~- bvw X ILl =t

oa L = (tl, . . . , e , ) et ILl = q + . . . +e, . U n 616merit de ~i+1(o~) est, par l'inter-

m6diaire des b~w , un polyn6me en x 1 . . . x, du type Y, QI xI, off Qx est un polyn6me I

en b L pour I ~< v~< w~< n e t I ~< ILl,< l l I . L'inclusion z ~ + ' c J ~ +1 v a s e traduire par l 'annulation d 'un certain hombre de QI c'est-k-dire des 6quations polynomiales en b~. Ainsi la fermeture Hk de H k dans ~Yfk, c'est-k-dire { co e ~ [ ~r~ +1C J{+ l j = o, . . . , k - - i } est d6fini par un syst6me d'dquations polynomiales en b ~ , I <~ v <<. w <<. n e t I ~< ILl ,< k. On va montrer que l'ensemble form6 par les parties lindaires de chacune de ces 6quations

L . est un syst$me de rang maximum par rapport aux b~w , ce rang est 6gal au hombre des 6quations du syst6me. Dans le cas A k = A~, les coordonn6es b~ 6taut inddpendantes, on pourra achever la d6monstration de la proposition 3-1.3 .

2 e partie (voir [ IS ] ). Pour les 2-formes fermdes, c'est-k-dire A k = f~, les compo- sautes b~ ne sont plus ind6pendantes puisque co est fermde. L'espace f~ s'identifie au sous-espace de A~ ddfini par les relations entre les b~ exprimant que co est fermde, L b~ 6tant consid6rde comme des formes lin6aires sur A~. L'6tude du syst6me form6 par ces relations v a n o u s permettre de donner un crit6re d' ind6pendance de l'ensemble c~ k des b~ qui apparaissent dans la partie lin6aire des 6quations de H k. Dans les hypotheses suivantes :

pour tout entier j , S i ----= v6rifie

\ 4 / s~<. 2,

4_1- - s i_2~< I et ~ < I pour o ~ < i ~ < j - - 2 s i2~< j~<k ,

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SINGULARITIES D'ORDRE SUPI~RIELrR DE x-FORMES, 2-FORMES I69

on montre l ' inddpendance des dquations qui ddfinissent H k. En fait, sous ces hypotheses la strate %0.. sk 8-~ C A~ dgfinie dans le w ~. ~ est transverse ~ f~.

3 e partie (voir [~5]). Dans le cas o~ il existe un entier (et un seul) pour lequel S~ et V~ ne v~rifient pas les indgalit~s pr~c6dentes, %0 ... s, ~-,CA~ n'est plus transverse

f~. L 'dtude du syst~me d'dquations construit dans l ax re partie va ndcessiter le calcul de la partie quadrat ique en b~ de chaque ~quation. On transforme ce syst~me en un syst6me 6quivalent dont les dquations sont ind~pendantes sous l 'hypoth~se qu'il existe au plus un en t i e r j pour lequel S~ ne vdrifie pas les indgalitds ci-dessus.

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Manuscrit refu le 19 janvier z98t ,

Rgvisd le 26 avril z984.

et

Laboratoire de Topologie ERA CNRS n ~ 945 Universitd de Dijon BP I38 21 ooo Dijon Cedex

Universltd de Corse 7, av. Jean Nicoli 2025o Cortd

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