CFD & Tech 2016 02 – 03 Mai 2016, CRND-Draria, Alger

SIMULATION DE LA SÉDIMENTATION D’UNE PARTICULE

RIGIDE DANS UN FLUIDE NEWTONIEN

S. Zouaoui1 , H. Djebouri

1, K. Mohammedi

2 , A. Ait Aider

1

1 Laboratoire de Mécanique Structure et Energétique (LMSE), Université Mouloud

Mammeri de Tizi-Ouzou, 15000 Algérie. 2 Laboratoire d'Energétique Mécanique et Ingénierie (LEMI), MESOteam, Université

M'hamed Bougara Boumerdès, 35000 Algerie. zouaoui_salah2003@yahoo.fr; zouaouisalah@ummto.dz

Résumé : Nous présentons ici une simulation de sédimentation d'une particule solide

dans un fluide Newtonien en utilisant la méthode des éléments finis par pénalisation.

Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle sur tout le domaine

fluide/solide, avec des contraintes sur l'inconnue et sur les fonctions test. Le mouvement

rigide des particules est imposé grâce à une pénalisation du tenseur des déformations sur

le domaine rigide. Nous avons développé un code à partir de FreeFem++ qui simule des

écoulements de Stokes ou de Navier-Stokes (à faible nombre de Reynolds). Cette

approche est appliquée pour le cas de la sédimentation d'une particule rigide dans un

fluide Newtonien.

Mots clés : Simulation, Pénalisation, Sédimentation, Fluide Newtonien.

I. INTRODUCTION

Les écoulements fluides-particules peuvent être décrits en résolvant directement

les équations de Navier Stokes pour le fluide, tandis que la trajectoire des particules est

calculée individuellement. Afin de pouvoir mettre en place cette approche pour la

résolution, de façon précise, de l’écoulement autour de chaque particule, le maillage du

domaine fluide doit être plus fin que la plus petite échelle spatiale caractéristique de

l’écoulement. Dans ce cas le maillage dit "adaptatif" ou "dynamique" est utilisé. Les

méthodes dans lesquelles le maillage suit le déplacement des objets de façon

lagrangienne, sont communément appelées Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) (H Hu

(1996), Patankar (2001), Lefebvre (2005), Maury (1999)). Cependant, les phases de

remaillage peuvent se révéler coûteuses et très délicates, spécialement dans le cas 3D.

Afin de pallier les contraintes engendrées par l'utilisation de maillage adaptatif

et d'alléger les problèmes liés aux étapes de remaillage, de nouvelles méthodes à

maillage fixe sont utilisées. Ces dernières sont également appelées "méthodes de

domaine fictif" car elles consistent à étendre un problème défini sur un domaine mobile

et complexe (le domaine fluide) à un domaine (fictif) plus grand mais fixe. R.

Glowinski et al (voir: (Glowinski (1994), Glowinski (1992), Atamian (1991), Atamian

(1993), Girault (1995), Glowinski (1998), Glowinski et Kuznetsov(1998), Girault

(2002), (Glowinski (1999), (Glowinski (2001)) et leurs références) sont les

investigateurs des méthodes de domaines fictifs. Si le domaine fixe est suffisamment

simple, ce genre de méthode permet notamment d'utiliser des maillages cartésiens, ce

qui permet l'utilisation de solveurs rapides. Le principe de ces méthodes est de

contraindre la vitesse du fluide aux nœuds en contact avec les particules solides. Parmi

les différentes techniques utilisées, on peut citer la méthode de pénalisation.

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La méthode de pénalisation "Penalty Method" est basée sur une reformulation du

tenseur des contraintes permettant d’annuler le taux de déformation dans le volume

occupé par la particule. Elle consiste à contraindre le mouvement du fluide à avoir un

mouvement de corps rigide identique à celui d’une particule en augmentant localement

la viscosité du fluide (Caltagirone (2001), Vincent (2014), Vincent (2007). Cette

méthode a été utilisée par de nombreux auteurs, initialement pour prendre en compte la

condition de Dirichlet au bord du domaine, puis pour gérer la présence d’un obstacle au

sein d’un écoulement ou d’un matériau. Elle est étendue, récemment, à la gestion de la

contrainte de mouvement rigide pour une particule dans un fluide pour une approche de

type différences finies puis éléments finis (Jenela (2005), Lefebvre (2007)).

L'objectif de ce travail est de développer un code à partir de FreeFem++ qui

simule des écoulements de Stokes ou de Navier-Stokes (à faible nombre de Reynolds)

en présence de particules solides. Un cas test sur la sédimentation d'une particule est

présenté.

II. MODÉLISATION DE L'ÉCOULEMENT DE PARTICULES RIGIDES

Le domaine fluide est gouverné par les équations de Navier-Stokes.

Du fait de la présence de la viscosité, on impose une condition aux limites de

non glissement sur le bord de B (voir figure 1). Ce qui signifie que la vitesse du fluide

sur le bord de la particule doit être égale à la vitesse de la particule. Par

conséquent, on peut écrire:

Figure 1. Notations

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Le principe fondamental de la dynamique couple les équations de Navier-Stokes

(eq: (1)):

où σ est le tenseur de contraintes de Cauchy. et

II.1 Formulation Variationnelle

Tout d'abord, on définit les espaces fonctionnels suivants:

La formulation variationnelle associée aux équations précédentes consiste à

déterminer la vitesse u du fluide et la pression p pour toute fonction test , . Alors

dans l'équation (1), on multiplie la première équation par et la deuxième

par , donc le problème devient:

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Finalement, on obtient la formulation variationnelle du problème de couplage des

équations (1) et (3) qui est comme suit:

où:

II.2 Méthode des Caractéristiques

Par définition, on appelle caractéristique associée au champ de vitesse v, le

parcours où la trajectoire X suivie par une particule fluide dans un écoulement à cette

vitesse (Pironneau (1992)). On utilisera cette méthode pour la discrétisation en temps de

l'équation (11).

On note Δt >0, tn = nΔ tn, f n

= f(x, tn).

En effet, l’opérateur: peut être considéré comme une dérivée

particulaire qui transforme les coordonnées Eulériennes en coordonnées Lagrangienne.

Grâce à cette formulation, il est théoriquement possible de suivre les particules au cours

du temps le long de leur trajectoire en résolvant, pour chaque particule située à la

position x au temps t, une équation différentielle dite équation de caractéristique

suivante:

L'application de cette méthode pour la discrétisation en temps conduit à la formulation

variationnelle discrétisée de l'équation (11) qui s'écrit comme suit:

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II.3 Méthode De Pénalisation

Pour la gestion du mouvement rigide des particules, on utilise une méthode de

pénalisation. L'objectif de cette méthode est de trouver une formulation variationnelle

adaptée à la discrétisation par éléments finis en pénalisant le tenseur de contrainte du

mouvement rigide. Cette méthode est présentée dans [18]. Elle permet d'approcher la

solution d'un problème de minimisation sous contrainte par une suite de solutions de

problème de minimisation non contraint.

On ajoute le terme suivant à l'équation (13):

De sorte que, quand alors et tend à être un

mouvement rigide dans . Finalement, on retrouve les conditions mouvement rigide

et on obtient la formulation variationnelle adaptée à la discrétisation en éléments finis

suivante:

L'idée de la méthode de pénalisation (équation (14)) est de considérer le

domaine rigide comme étant un domaine de grande viscosité.

III. SÉDIMENTATION D'UNE PARTICULE

On présente ici quelques résultats obtenus on programmant cette méthode.

On considère une seule particule de rayon r=0.01cm centrée dans un carré unité. La

particule se sédimente dans l'eau sous l'effet de la gravité. Le domaine de calcul ainsi

que le maillage adopté sont représentés dans la figure 2.

Les lignes de courant et le champ de vitesses sont représentés sur la figure 3.

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Figure 2. Sédimentation d'une particule. (à gauche: domaine de calcul; à droite:

maillage adopté)

Figure 3. Sédimentation d'une particule. (à gauche: lignes de courant; à droite: champ de

vitesses)

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Figure 4. Sédimentation d'une particule. (en haut: nos résultats; en bas: résultats de la

Fabreges (2012).

D'après la figure 4, on voit bien que les lignes de courants obtenues dans notre

cas avec notre code sont similaires à celles obtenues dans la référence Fabreges (2012).

IV. CONCLUSION

Le transport hydraulique de particules solides est un phénomène complexe. Il

s’inscrit dans le cadre des écoulements polyphasiques sans transfert.

Ce travail se veut une contribution à la simulation numérique du transport solide

par la mise en œuvre d’une méthode de pénalisation. Une contrainte de mouvement

rigide est imposée en pénalisant le tenseur des déformations. Cela permet d’obtenir une

formulation variationnelle de type Stokes puis Navier Stokes sur le domaine global.

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Nous avons implémenté notre algorithme avec le solveur éléments finis

FreeFem++. Le cas tests présenté permet de vérifier et de valider la prise en compte du

mouvement rigide par la méthode de pénalisation.

Afin de montrer que la méthode reproduit le comportement de systèmes

physiques non stationnaires, d'autres tests sont actuellement menés. Ces test concernent

la sédimentation de deux particules dont les premiers résultats obtenus sont satisfaisants

en les comparant à ceux existant dans la littérature. Enfin, nous avons lancé des

simulations de transport de plusieurs particules en conduite horizontale et cela en

couplant la méthode avec une méthode de gestion de contact qui permet de modéliser

les collisions inélastiques entres particules-particules et particules-parois de la conduite.

V. REFERENCES

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