Séparer la feuille en trois parties.

Dans l’une des parties, placer 3 points.

Trois cas peuvent se rencontrer.Quelles sont les différences entre ces 3 cas ?

1er cas : 2ème cas : 3ème cas :

On nomme les points pour plus de facilité.

A

B

C

A

B

C

AB

C

Les points A, B et C sont alignés Le triangle ABC a trois angles aigus Le triangle ABC a deuxangles aigus et un angleobtus (ici l’angle Â)

Question :Existe-t-il un cercle passant par les 3 points ?

Si oui, le tracer. Si non, expliquer.

Dans les 2ème et 3ème cas, on construit le cercle circonscrit au triangle ABCen construisant les médiatrices des côtés.

A

BC

A

B

C

N.B. : on peut se contenter de tracer les médiatrices de 2 côtés pour obtenir le centre du cerclecirconscrit. En traçant la troisième, on vérifie qu’on n ’a pas fait d ’erreur.

Médiatrice de [AC]

Médiatrice de [AC]

On trace la médiatrice de [BC] avec le compas : on choisit un écartement (plus grand que la moitié de [BC] )et on pointe sur C puis sur B.

On trace de la même façon la médiatrice de [AB].

Le point d ’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.

On peut donc tracer ce cercle.

Dans le 3ème cas (avec un angle obtus),la méthode est la même.

Dans le premier cas :si on trace les médiatrices de [AB], [AC] et [BC],elles semblent être parallèles, est-ce vrai ou est-ce une impression visuelle ?

AB

C

Démonstration :On sait que A, B et C sont alignés.soient : (d1) la médiatrice de [AB],

(d2) la médiatrice de [AC], (d3) la médiatrice de [AB].

d1 d2 d3

(d1)est la médiatrice de [AB] donc (d1)est perpendiculaire à (AB)or A, B et C sont alignés donc (d1)est perpendiculaire à (AC).(d2)est la médiatrice de [AC] donc (d2)est perpendiculaire à (AC).

(d1)et (d2) sont donc deux droites perpendiculaires à une même troisième (AC)donc (d1)et (d2)sont parallèles entre elles.De la même manière, on démontre que (d3) est parallèle à (d1)et (d2).

Ces trois droites sont donc parallèles entre elles, il n ’existe donc aucun point d ’intersection.

Il n ’existe aucun cercle passant par 3 points alignés.

On trace d1 la médiatrice de [AB] puis d2 la médiatrice de [AC] et d3 la médiatrice de [BC]

Quels sont les différences entre les deux cas où le cercle existe ?

A

BC

Si le triangle a trois angles aigusle centre du cercle circonscrit est

à l’intérieur du triangle.

Si le triangle a deux angle aigus et un angle obtus, le centre du cercle circonscrit est

à l’extérieur du triangle.

Question :A quelle(s) condition(s) le centre du cercle circonscrit se trouvera-t-il

sur l’un des côtés du triangle ?

A

B

C

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