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Lógica ProposicionalSintaxe e Semântica

Alfio Martini

FACULDADE DE INFORMATICA - PUCRS

PORTO ALEGRE - BRASIL

www.inf.pucrs.br/∼alfio

[email protected]

ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 1/19

Objetivos

ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.


Objetivos


JUSTIFICAR, COM BASE NA CONSTRUÇÃO, SE UMAFÓRMULA É OU NÃO BEM FORMADA.


Objetivos



APLICAR CORRETAMENTE A PRECEDÊNCIA DOSOPERADORES.


Objetivos




CONVERTER FÓRMULAS PARA ÁRVORES SINTÁTICAS EVICE-VERSA.


Objetivos




CONVERTER FÓRMULAS PARA ÁRVORES SINTÁTICAS EVICE-VERSA.

COMPUTAR CORRETAMENTE O VALOR LÓGICO DESENTENÇAS PROPOSICIONAIS MEDIANTE O USO DETABELAS VERDADE.


Assinaturas

DEFINICAO 1 (ASSINATURA) Uma assinatura Σ para a logicaproposicional consiste de um conjunto enumeravel (contavel) devariaveis proposicionais.

EXEMPLO 1

Σ = ∅.

Σ = {p, q, r, s}.

Σ = {p, q, r, . . .}.


Definição Indutiva dePΣ

DEFINICAO 2 (FORMULAS)

⊥ : PΣ

BOT⊤ : PΣ

TOP

v : PΣ

v ∈ Σ SIGA : PΣ

(¬A) : PΣ

NEG

A : PΣ B : PΣ

(A ∧ B) : PΣ

EA : PΣ B : PΣ

(A ∨ B) : PΣ

OU

A : PΣ B : PΣ

(A ⇒ B) : PΣ

IMPA : PΣ B : PΣ

(A ⇔ B) : PΣ

EQUIV


Construção Livre

Duas propriedades importante da construção anteriorsão:

Toda fórmula bem formada possui uma únicaconstrução, que pode ser demostrada através desua ÁRVORE DE PROVA.Toda fórmula bem formada possui um operadorprinicipal, chamado de construtor da fórmula.

EXEMPLO 2

Formula: (p ∨ ⊥) - Construtor: ∨.

Formula: ((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q)) - Construtor : ⇔.


Exemplo: Árvore de Prova

Σ = {p, q, r}

Formula : ((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q))

Prova:

p : PΣ

SIGr : PΣ

SIG

(p ⇒ r) : PΣ

IMP

p : PΣ

SIG

(¬p) : PΣ

NEGq : PΣ

SIG

((¬p) ∨ q) : PΣ

OU

((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q)) : PΣ

EQUIV


Prioridade dos Operadores

A tabela baixo mostra como utilizar as prioridades paraeliminar a necessidade do uso de parênteses.

¬ alta

∧

∨

⇒

⇔ baixa

Operadores com mesma prioridade são associados àdireita.


Prioridade - Exemplos

EXEMPLO 3

Com par enteses Sem par enteses

(p ∧ q) p ∧ q

(p ⇒ (q ∧ r)) p ⇒ q ∧ r

((p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q)) p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q

(p ⇒ q) ∧ r (p ⇒ q) ∧ r

(p ⇒ (q ⇒ r)) p ⇒ q ⇒ r


Subfórmulas

DEFINICAO 3 Dada uma formula F em PΣ, podemos calcular oconjunto de subformulas de F de acordo com a seguinte funcao,definida por inducao estrutural:

[SIG] sub(x) = {x}.

[CON] sub(⊤) = {⊤} e sub(⊥) = {⊥}.

[NEG] sub(¬A) = {¬A} ∪ sub(A).

[E] sub(A ∧ B) = {A ∧ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).

[OU] sub(A ∨ B) = {A ∨ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).

[IMP] sub(A ⇒ B) = {A ⇒ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).

[EQUI] sub(A ⇔ B) = {A ⇔ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).


Avaliação de Subfórmulas

sub((¬p ⇒ q) ∨ r) =

= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ sub(¬p ⇒ q) ∪ sub(r)

= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ sub(¬p) ∪ sub(q) ∪ {r}

= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ {¬p} ∪ sub(p) ∪ {q} ∪ {r}

= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ {¬p} ∪ {p} ∪ {q} ∪ {r}

= {(¬p ⇒ q) ∨ r,¬p ⇒ q,¬p, p, q, r}

= {p, q, r,¬p,¬p ⇒ q, (¬p ⇒ q) ∨ r}


Árvore Sintática de Fórmulas

DEFINICAO 4 Cada formula proposicional F em PΣ pode sercaracterizada de forma unica como uma arvore sintatica, da seguinteforma:

Se a formula F e uma variavel v ∈ Σ, entao v e uma arvore binariacom raiz

�

�

�

�v .

Se a formula F e uma constante c ∈ {⊥,⊤}, entao c e umaarvore binaria com raiz

�

�

�

�c .

Se a formula F e do tipo (A op B) com construtor binarioop ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, entao a arvore binaria tem raiz

�

�

�

�op com

subarvore esquerda�

�

�

�A e subarvore direita�

�

�

�B .

Se a formula F e do tipo (¬A) entao a arvore binaria tem uma raiz�

�

�

�¬ e subarvore�

�

�

�A .


Árvores Sintáticas - Exemplos

EXEMPLO 4 Como exemplos, as formulas (p ∧ ⊥) e((p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q)) podem ser representadas pelas seguintesarvores abaixo:

?>=<89:;∧

��

��

�

@@@@

@@@@

@

?>=<89:;p ?>=<89:;⊥

?>=<89:;⇔

{{{{

{{{{

{

BBBB

BBBB

B

?>=<89:;⇒

~~~~

~~~~

~

?>=<89:;∨

}}}}

}}}}

}

????

????

?

?>=<89:;p ?>=<89:;q ?>=<89:;¬ ?>=<89:;q

?>=<89:;p


Assinaturas e Interpretações

DEFINICAO 5 (INTERPRETACAO) Uma interpretacao I para umaassinatura proposicional Σ e uma funcao I : Σ → B, ondeB = {V, F} e o conjunto dos valores booleanos.

EXEMPLO 5

Se Σ = {p, q}, entao temos quatro interpretacoes possıveis:

I1 = {p 7→ F, q 7→ F}, i.e., I1(p) = F, I1(q) = F .

I2 = {p 7→ F, q 7→ V }.

I3 = {p 7→ V, q 7→ F}.

I4 = {p 7→ V, q 7→ V }.

Em geral, se |Σ| = n, entao temos 2n interpretacoes, onde | − | eo operador de cardinalidade de conjuntos.


Semântica dos Operadores

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B ⊤ ⊥

I1 V V F V V V V V F

I2 V F F F V F F V F

I3 F V V F V V F V F

I4 F F V F F V V V F


Fórmulas e Interpretações

DEFINICAO 6 (AVALIACAO DE FORMULAS) Dada uma interpretacaoI : Σ → B, a funcao de avaliacao de formulas [[ ]]I : PΣ → B edefinida por inducao estrutural:

[SIG] [[x]]I = I(x).

[CON] [[⊤]]I = V e [[⊥]]I = F

[NEG] [[(¬A)]]I = (¬[[A]]I).

[E] [[(A ∧ B)]]I = ([[A]]I ∧ [[B]]I).

[OU] [[(A ∨ B)]]I = ([[A]]I ∨ [[B]]I).

[IMP] [[(A ⇒ B)]]I = ([[A]]I ⇒ [[B]]I)

[EQUI] [[(A ⇔ B)]]I = ([[A]]I ⇔ [[B]]I)


Exemplo de Avaliação

Na avaliação abaixo note que temos

Σ = {p, q, r}, I = {p 7→ V, q 7→ F, r 7→ V }.

[[(¬p ⇒ q) ∨ r]]I =

= [[(¬p ⇒ q)]]I ∨ [[r]]I [OU]= ([[¬p]]I ⇒ [[q]]I) ∨ I(r) [IMP,SIG]= (¬[[p]]I ⇒ I(q)) ∨ V [NEG,DEF I ]= (¬I(p) ⇒ F ) ∨ V [SIG,DEF I ]= (¬V ⇒ F ) ∨ V [DEF I ]= (F ⇒ F ) ∨ V [DEF NEG]= V ∨ V [DEF IMP]= V [DEF OU]


Avaliação com Tabelas-Verdade

Σ = {p, q, r}, F = (¬p ⇒ q) ∨ r

2|Σ| = 8 (linhas) - Colunas = Subfórmulas.

p q r ¬p (¬p ⇒ q) (¬p ⇒ q) ∨ r

I1 F F F V F F

I2 F F V V F V

I3 F V F V V V

I4 F V V V V V

I5 V F F F V V

I6 V F V F V V

I7 V V F F V V

I8 V V V F V V


Resumo

A SINTAXE DA LÓGICA PROPOSICIONAL É UMACONSTRUÇÃO FORMAL, NO SENTIDO DE QUE DADO UMSTRING COM SIMBOLOS PROPOSICIONAIS(OPERADORES, PARÊNTESES E VARIÁVEIS) PODEMOSDEMONSTRAR SE ESTE É OU NÃO BEM FORMADO, ISTOÉ, SE ELE É OU NÃO UMA FÓRMULA.

FÓRMULAS PROPOSICIONAIS PODEM SERREPRESENTADAS COMO ÁRVORES (BINÁRIAS), ONDE ARAIZ É ROTULADA COM O OPERADOR PRINCIPAL(MENOR PRECEDÊNCIA), E AS FOLHAS SÃO ROTULADASCOM AS VARIÁVEIS E AS CONSTANTES (PARA FALSO EVERDADEIRO).


Resumo

OS OPERADORES PROPOSICIONAIS POSSUEM UMSIGNIFICADO FIXO, O QUAL PODE SER DEFINIDOATRAVÉS DE UMA TABELA.

A UTILIZAÇÃO DA TABELA DE PRIORIDADE NOS PERMITEELIMINAR OS PARÊNTESES DAS FÓRMULAS,TORNANDO-AS DE MAIS FÁCIL VISUALIZAÇÃO.

OS SÍMBOLOS QUE NÃO POSSUEM SIGNIFICADO FIXOSÃO CHAMADOS DE VARIÁVEIS.

SE n É O NÚMERO DE VARIÁVEIS EM UMA ASSINATURA,ENTÃO TEMOS 2n INTERPRETAÇÕES OU LINHAS NATABELA VERDADE PARA UMA FÓRMULA DESTAASSINATURA.


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