Séance 5

Objectif de la séance:

- Comprendre comment une entreprise décide de produire un bien plutôt qu’un autre;

- Les éléments déterminants les coûts des entreprises et comment ceux-ci varient;

- Toutes les notions abordées dans ce chapitres et utilisées dans les suivants: CF, Cm, CMoT, CMoV, rendement d’échelle,

rendement marginaux, seuil de rentabilité, seuil de fermeture, production efficace, CV, TMT …

Chapitre à lire: Idéalement, revoir les premiers chapitres qui correspondent à la matière de la première interrogation + chapitre 1

et chapitre 5

La frontière des possibilités de production (FPP) est une courbe de niveau définissant toutes les

combinaisons de biens qui peuvent être produites pour une quantité de ressources fixes.

CD

Magnétoscopes

A

B

C

D

Tous les points appartenant à la zone bleue où à ses limites peuvent être produits, car celle-ci détermine toutes les

combinaisons de biens qui peuvent être produites pour une quantités de ressources (matières premières, main

d’œuvre, technologie…) bien définie. Pour produire un point tel que D, il faudrait que la quantité de ressources

disponibles pour la production soit augmentée. C correspond à un choix de production où il y a un sous emploi des

ressources disponibles. La tangente à la courbe de frontière des possibilités de production est appelée le Taux

Marginal de Transformation (TMT), il définit le coût d’opportunité du producteur lorsqu’il choisit de produire un

magnétoscope de plus en terme de CD non produit.

La frontière des possibilités de production est souvent concave, et reflète le fait que l’on a des rendements

décroissants. Dans certains cas particulier, les rendements sont constants, alors la frontière sera une droite.

Première partie : frontière des possibilités de production1. Une entreprise produit des magnétoscopes et des lecteurs de CD. Sa frontière des possibilités de production estreprésentée ci-dessous.

CD

Magnétoscopes

A

B

C

D

•Parmi les couples représentés sur le graphique, quels sont ceux que cette entreprise peut produire compte tenu de ses

ressources actuelles ?

A, C et B sont des couples de biens qui peuvent être produits, D par contre ne peut pas être produit pour la

quantité de ressources considérées dans cet exercice. D pourrait être produit si la quantité de ressources

utilisées pour la production était augmentée.

On remarquera qu’il est rationnel pour une entreprise de choisit A où B (ce sont des productions dites

“efficaces”, car ceux-ci utilisent toutes les ressources disponibles. On dit qu’ ”on ne peut pas augmenter la

production d’un bien sans réduire celle d’un autre bien”. C est par contre un choix irrationnel. Le choix optimal,

entre A et B dépendra du rapport des prix relatifs.

Vrai, le TMT peut être interprété graphiquement comme la pente de la FPP (Frontière des Possibilités de Production). Si la pente

augmente, cela implique que l’on a un FPP concave (on pourrait considérer des exercices où elle ne l’est pas), cela suppose que

l’on a des rendements décroissants de production pour chacun des biens et plus on essaye de produire un des biens moins on est

efficace.

Un TMT grand suppose qu’il faut varier beaucoup la production de CD si l’on veut produire plus de magnétoscope. Plus le TMT

grandit, plus il faut renoncer à une quantité importante de CD pour produire l’unité supplémentaire de magnétoscope. C’est bien

ce que signifie avoir des rendements décroissants.

Déterminez la ou les affirmations exactes :

On définit le taux marginal de transformation de CD en magnétoscopes (TMT) comme l’opposé de la pente de la courbe

frontière des possibilités de production en un point considéré, soit ici TMT = -(dCD/dMagnétoscopes) ;

Vrai. A l’optimum, le TMT sera égal aux prix relatifs.

La valeur de la production est: 𝑉 = 𝑃𝐶𝐷𝐶 + 𝑃𝑀𝑀 ⇒ 𝐶 = ൗ𝑉 𝑃𝐶𝐷− ൗ𝑃𝑀

𝑃𝐶𝐷𝑀. L’optimum est trouvé en égalisant la tangeante

à la fontière de production à la pente de la droite définissant la valeur de la production puis en

C’est en vertu de la loi des rendements décroissants que le TMT, tel que défini ci-dessus, augmente lorsque la quantité

produite de magnétoscopes augmente ;

c) Le point D ne peut être atteint que par le recours à de la main d’œuvre supplémentaire ;

Faux (ou inexacte pour être plus précis), le point D peut être atteint par recours à l’augmentation d’un facteur

de production quelconque et non nécessaire par recours à de la main d’œuvre supplémentaireoù un

changement technologique

d) Le point D représente une combinaison de production (CD;magnétoscopes) dite « économiquementefficace » ;

Faux, le point D n’est pas atteignable pour le niveau de ressources considérés. A et B sont « économiquement

efficaces »: ils utilisent toutes les ressources disponibles et on ne peut pas produire plus d’un bien sans diminuer

la production de l’autre bien.

C par exemple ne l’est pas car on pourrait produire plus de CDs (où plus de magnétoscopes où bien plus des deux

biens) sans diminuer la production de magnétoscope.

Problème de décision de production:

But:

Maximiser la valeur de la production V en choisissant la quantité de chacun des biens que l’on veut produire

pour un niveau de ressources donnés (contrainte). V définit la fonction à maximiser et la fontière des

possibilités de production, la contrainte du problème.

On procède en deux étapes pour trouver l’optimum:

• dans un premier temps, on égalisera le TMT (la pente de la tangente à la FPP) au rapport des prix à

l’optimum, puisque la décision de production dépend de la forme de la FPP et des prix du marchés. La pente

du TMT peut être interpréter comme une mesure de l’efficacité de l’entreprise à produire chacun des biens.

• Ensuite, on s’assurera que parmi les solutions possibles trouvés, on ne retienne que le choix de production

“économiquement efficace”, c’est-à-dire uniquement celui qui se trouve sur la fontière des possibilités de

production.

2. Soit la frontière des possibilités de production suivante: B = 2500 - C2.

a) Ecrivez le problème de maximisation de la production en fonction du prix d’un canon et d’un kilo de beurre ;

La FPP détermine toutes les combinaisons de production possibles pour un niveau de ressources donnés. C’est la

contrainte du problème, la firme cherche à maximiser sa recette totale (où valeur de la production) en choisissant B et C:

max𝐵,𝐶

𝑃𝐵𝐵 +𝑃𝐶𝐶 sous la contrainte B = 2500 - C2

b) Résolvez le problème et déterminez la répartition entre le nombre de canons et les tonnes de beurre sachant que le prix d'un canon (C) est de 100 euros et le prix d'un kilo de beurre (B) est de 5 euros ;

1) Pour résoudre ce problème, on commence par substituer B dans la recette totale (on pourrait substituer C si cela

semble plus simple). Cela permet d’éliminer une des variables de décision et de maximiser par rapport à une seule

variable:

max𝐶

𝑃𝐵 2500 − 𝐶2 + 𝑃𝐶𝐶

2) On dérive cette fonction par rapport à la variable qui est choisi, C, et on égalise cette dérivée à zéro:

−2𝑃𝐵𝐶 + 𝑃𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 =𝑃𝐶2𝑃𝐵

=100

2 ∗ 5= 10

3) On peut ensuite retrouver l’autre variable, B, en utilisant la contrainte et la valeur trouvée précédemment, celle de C:

𝐵 = 2500 − 𝐶2 = 2500 − 10 2 = 2400

c) Déterminez la valeur maximale de la production ;

La valeur maximale de la production est simplement la valeur de la recette totale pour les quantitées optimales:

𝑉 = 𝑃𝐵𝐵 + 𝑃𝐶𝐶 = 5 ∗ 2400 + 100 ∗ 10 = 13000

d) Quel sera le TMT à ce niveau de production ? Quel est le lien avec le rapport des prix ?

TMT=-dcanon/dbeurre=𝑃𝐵

𝑃𝐶=5/100=1/20. A l’optimum, il faut renoncer à 1/20 canons pour avoir une unité de

beurre puisque les canons sont 20 fois plus chers.

Le TMT est la valeur absolue de la pente de la tangeante de la frontière des possibilités de production et le

rapport des prix détermine la pente de la fonction de recette totale, il est existe pour n’importe quelle

combinaison de production. En égalisant les deux et en éliminant les choix qui ne sont pas économiquement

efficace, on trouve la choix optimal.

On pourrait également calculer le TMT defini par: TMT=-dbeurre/dcanon=20, la question n’est pas precise.

e) A ce niveau de prix, quel serait le TMS des consommateurs ?

Les deux doivent être identiques (si l’on a offre égal demande) puisque les prix sont les mêmes (Prix de vente

= Prix d’achat).

Dessinez un graphique qui reprend trois éléments : la frontière des possibilités de production, la contrainte de revenu générée par ce niveau de production, une courbe d’indifférence des consommateurs s’ils perçoivent l’entièreté de ces revenus.

On a donc sur ce graphique 3 éléments.

(1) En bleu, la fonction de production.(2) En noir, trois courbes d’indifférence.(3) En rouge, la contrainte de revenu.

B

C

2500

50

L’idée ici est que:

• les consommateurs reçoivent l’entiereté des revenus de

l’entreprise qui leur appartient, leur contrainte budgétaire est

donc identique à la valeur de la production

La valeur de la production est donc identique à la contrainte

budgétaire des consommateurs, et donc on aura TMT=TMS

Le consommateur consommé exactement l’ensemble des

biens produits par l’entreprise.

On aura résolu le problème du consommateur et de

l’entreprise séparément en prenant les prix comme donnés.

On pourrait étendre le problème en considérant que les prix

du marches seront le résultat de l’offre de l’entreprise et de la

demande du consommateur.

Deuxième partie : introduction à la structure de coûts d’une firme3. Soit une entreprise dont la fonction de coûts totaux s’exprime par l’équation:

CT = 5q2 + 20q + 45

Déterminez:

a) Les coûts fixes (CF) ;

Les coûts fixes (CF) sont la partie de la fonction de coût total qui ne varie pas avec les quantités produites.CF = 45

b) Les coûts variables (CV) ;

Les coûts variables (CV) sont la partie de la fonction de coût total qui varie avec les quantités produites.CV = 5q2 + 20q

Souvent, on vous demandera de retrouvez les coûts fixes indirectement. On vous donnera par exemple la fonction de

coût moyen et on vous demandera de retrouvez les coûts fixes.

Pour cela, il faudra procéder en deux étapes, d’abord retrouver la fonction de coût total original puis déduire la partie

qui ne dépend pas des quantités produites.

c) L’expression du coût marginal (CM)

Le coût marginal détermine comment le coût augmente lorsque l’on augmente d’une unité les quantités

produites, (c’est la tangeante à la fonction de coûts également), et on l’obtient en prenant la dérivée de la

fonction de coût total:

𝐶𝑀 =𝑑𝐶𝑇

𝑑𝑞= 2 ∗ 5 ∗ 𝑞 + 20 = 10𝑞 + 20

d) Le coût moyen total (CMoT) ;

Le coûts moyen total (CMoT) est simplement la fonction de coût total que l’on divise par le nombre de quantité produite:

𝐶𝑀𝑜𝑇 =𝐶𝑇

𝑞=5𝑞2 + 20𝑞 + 45

𝑞= 5𝑞 + 20 +

45

𝑞

e) La quantité q telle que le coût moyen variable soit minimum (CMoVmin) ;

Le Coût Moyen Variable (CMoV) est simplement le coût variable que l’on divise par le nombre de quantité produite:

CMoV =CV/q= 5q + 20

Puisque q doit être positif (on ne produit pas de quantité négative), le minimum de cette fonction est q=0 (Faites un

graph représentant CMoV pour vous en convaincre…)

f) La quantité q telle que le coût moyen total soit minimum (CMoTmin). Utilisez deux méthodes différentes pour trouver cette quantité.

On a vu précédemment que 𝐶𝑀𝑜𝑇 =𝐶𝑇

𝑞= 5𝑞 + 20 +

45

𝑞. Il existe deux methodes poour determiner le minimum de cette fonction de CMoT:

1 - On calcule la dérivée, et on l’égalise à zero puis on vérifié que pour des valeurs légèrement plus petites où plus grande, le CMoT n’est pas

plus faible.

2 – On utilise la propriété des fonctions de coûts qui nous dit que la fonction de coût marginal passe par le minimum de la fonction de CMoT.

1)𝑑𝐶𝑀𝑜𝑇

𝑑𝑞= 5 −

45

𝑞2et

𝑑𝐶𝑀𝑜𝑇

𝑑𝑞= 0 implique que 5 −

45

𝑞2= 0 où encore que q=3 où q =-3. On ne garde que la première quantité (les quantité

doivent être positives, c’est logique) et pour q=3, la fonction vaut 50 alors qu’elle vaut 70 et 54 lorsque q vaut respectivement 1 et 5. C’est

donc bien un minimum.

2) CM=CMoT implique 10𝑞 + 20 = 5𝑞 + 20 +45

𝑞où encore que 5𝑞 =

45

𝑞, ce qui nous donne également 𝑞2 = 9 comme précédemment et

donne la même réponse.

Retenez les deux méthodes car il est plus simple d’utiliser l’une que l’autre dans certains cas, où parfois, vous n’aurez pas les information

nécessaires pour utiliser votre méthode préférée. Cela peut vous permettre également de vérifier vos résultats….

4. Soit une entreprise qui produit quotidiennement 150 tonnes du bien X. Un contrôleur de gestion constate les éléments suivants de sa fonction de coûts :

CMoT = 55, CMoV = 40 et CM = 67

Il a oublié à combien s'élèvent les coûts fixes (CF). Pouvez-vous l’aider ?

Pour trouver les coûts fixes, on va utiliser la relation suivante: CT=CV+CF

D’où: CF = CT-CV. Il nous reste à calculer chaque élément séparément:

CT= CMoT*Q=55*150=8250

CV= CMoV *Q=40*150=6000

CF = CT-CV=8250-6000=2250

L’information CM = 67 n’a pas d’utilité dans cet exercice. Il n’est pas toujours

nécessaire d’utiliser tous les éléments donnés dans un énoncé pour résoudre

l’exercice. Il est également important d’apprendre à déterminer les informations

utiles dans un énoncé ce qui requiert de connaitre les définitions précisément

Une entreprise peut produire à court terme, même si son profit est négatif. Cela peut sembler peu intuitif à priori mais peutfacilement s’expliquer. Supposons que j’achète un taxi à 20 000 euros (CF), si je fait un profit de 20 euros par course ….

RAPPEL:

• La différence entre le court terme et le long terme pour une entreprise, c’est qu’à long terme, elle aura la possibilité

d’amortir ses coûts fixes qui ne seront plus pris en compte lors de la décision de production. Une firme a des coûts fixes si

CMoT>CMoV (pour vous en convaincre, prenez la décomposition suivante: CT=CV+CF et diviser la par q)

• Le profit est défini par: Profit = RT – CT = (P-CMoT)*Q = P*Q-CMoV*Q - CF = (P-CMoV)*Q – CF

A long terme, les coûts fixes sont amortis et CMoV=CMoT. On peut déterminer si l’on se trouve à court où à long terme en

comparant les deux notions.

A court terme, si (P-CMoT)*Q<0 où bien P<CMoT, alors le profit est négatif. P=CMoT est le seuil de rentabilité de l’entreprise

• Une entreprise peut continuer de produire à court terme, même si elle fait des profits négatifs lorsqu’elle espère faire un

profit unitaire positif à long terme en produisant (lorsque CMoV<P) car cela implique qu’une fois les coûts fixes amortis,

son profit peut être positif.

• Une entreprise choisira de fermer si elle a un profit unitaire négatif (CMoV>P), qui implique que même une fois les coûts

fixes amortis, les profits seront négatifs. P = CMoV est le seuil de fermeture

Décision de production de la firme (cas général):

• Une firme va chercher à produire la quantité qui maximise son profit. Cette quantité peut être

calculée en dérivant la fonction de profit (Profit=RT-CT) et en l’égalisant à zero:

𝑑𝑃𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡

𝑑𝑞=𝑑𝑅𝑇

𝑑𝑞−𝑑𝐶𝑇

𝑑𝑞= 𝑅𝑀 − 𝐶𝑀 = 0

La quantité optimale implique que RM=CM

On peut déterminer les quantités produites en regardant les quantités impliquant que RM=CM

(courbe d’offre)

Rq: lorsque l’on dérive une fonction, on obtient l’expression de la tangente à la courbe. On choisit de l’égaliser à

zéro pour s’assurer que la tangente est horizontale et que l’on a un optimum. C’est parce que les fonctions que

l’on maximise sont concaves où convexes que l’on obtient respectivement un maximum où un minimum

Rq: lorsque l’on dérive une fonction, on obtient l’expression de la tangente à la courbe. On choisit de l’égaliser à zéro pour

s’assurer que la tangente est horizontale et que l’on a un optimum. C’est parce que les fonctions que l’on maximise sont

concaves où convexes que l’on obtient respectivement un maximum où un minimum.

En calculant: 𝑑𝑃𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡

𝑑𝑞, on calcule l’expression de la tangeante à une fonction de profit. De manière générale, celle=ci est

concave, et en cherchant la valeur de q telle que celle=ci est égale à 0, on cherche la valeur de q telle que la tangeante est

horizontale!

Intuitivement, on remarquera également que l’on peut interpreter 𝑑𝑃𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡

𝑑𝑞comme étant la variation marginale du profit suite

à un changement de q. Si cette valeur est positive pour une valeur de q donnée, cela signifie qu’en augmentant q, mon profit

augmente. Si elle est négative, alors il faut diminuer q pour augmenter le profit.

q

ProfitTangeante à la fonction de profit horizontale

Valeur de q maximisant le profit

• En compétition parfaite, une firme va considérer le prix du marché comme donné, et sa recette

marginale sera simplement: P, le prix du marché

• Si le nombre de firme est suffisamment restreint, alors le choix d’une firme particulière affectera

le marché et le prix déterminer implicitement par la demande

• Et dans le second cas, on a 𝐑𝐌 =𝒅𝑹𝑻

𝒅𝒒=

𝒅 𝑷 𝒒 ∗𝒒

𝒅𝒒=

𝒅𝑷 𝒒

𝒅𝒒+ 𝑷 𝒒 , où 𝑃 𝑞 est le prix determiné

par l’equation de la fonction de demande.

• Puisqu’en concurrence parfaite, la demande est parfaitement élastique et une firme isolée n’a pas

d’influence sur les prix, alors 𝒅𝑷 𝒒

𝒅𝒒= 𝟎 et 𝐑𝐌 =

𝒅𝑹𝑻

𝒅𝒒=

𝒅 𝑷∗𝒒

𝒅𝒒= 𝑷

• La decision de production d’une entreprise sera toujours telle que RM=CM, seulement, comme

on l’a constaté dans le slide precedent, dans le cadre de la concurrence parfaite, P=CM.

Economie d’echelle vs rendement décroissant

• Une économie d’echelle correspond à une baisse du coût unitaire d’un produit qu’obtient une entreprise en

accroissant la quantité de sa production. Cela correspond à une situation où le CMoT est décroissant, une

situation où l’on réduit le coût moyen en répartissant les coûts fixes sur un plus grand volume de production.

C’est le cas par exemple pour la production de biens technologiques, qui requiert de lourd investment en

terme de recherche (coût fixes).

• Un rendement décroissant correspond à une situation où les coûts de productions deviennent de plus en

plus élevé lorsque l’on augmente la production. Cela correspond à une situation où le coût marginal est

croissant on doit avoir recours à des ressources moins efficaces. Par exemple dans l’agriculture, on utilisera

les terres les plus fertiles en premier, et si l’on veut doubler la production agricole, doubler la surface de

terrain utilisée ne sera pas suffisant car on devra recourrir à un terrain moins productif.

• Troisième partie : Analyse graphique

5. Le graphique ci-dessous représente les coûts d’une entreprise. Complétez les propositions suivantes:

A

B

C

D

E

q

P a) Ce graphique représente une situation de … terme ;

b) L’offre de cette entreprise est représentée par le segment .... ;

c) Le seuil de rentabilité de cette entreprise est P = … ;

d) Le seuil de fermeture de cette entreprise est P = .;

e) Cette entreprise présente des économies d’échelle pour le segment

f) Cette entreprise présente des rendements croissants pour le segment

court car CF est positif

AC

B minimum des CMoT

C, minimum des CMoV

Jusqu’au point B (tant que le CMoT diminue)

ED.

RAPPEL :

“Economies d’échelles” CMoT décroissant

« Rendements (marginaux) décroissants » CM croissant

C’est le CM qui détermine l’offre de court terme. A long terme, on adapte les CF sont amortis

(d’où la notion de « à long terme, tous les coûts sont variables »).

CM CMoTCMoV

6. Considérez les deux graphiques ci-dessous:

q

CT

CT

graphique I

q

CT

CT

graphique II

Déterminez si chacune des propositions ci-dessous est correcte ou non selon que l'on considère le graphique I ou le graphique II

(complétez le tableau ci-dessous en y indiquant si la proposition est vraie (V) ou fausse (F) selon le graphique considéré):

a) Quelle que soit la quantité produite q, on a CMoT = CM ;

b) Quelle que soit la quantité produite q, on a CMoV = CM ;

c) Pour un niveau de production nul (q = 0), on a CM = CMoT minimum ;

d) Pour un niveau de production nul (q = 0), on a CM = CMoV minimum ;

e) L’entreprise qui a une fonction de coûts totaux telle que représentée ci-dessus est confrontée à des

déséconomies d’échelles ;

Observation:

L’unique différence entre ces deux

graphiques est leur ordonnée à l’origine:

la valeur du coût total lorsque q=0.

Dans le premier graphique on a des

coûts fixes qui n’existe pas dans le

graphique II

Les fonctions sont linéaires, on peut donc écrire leur équation sous la forme: 𝐶𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝑞 où a et b sont des

constantes. a est nulle pour le premier graphique et positif pour le second. b est positif pour les deux.

𝐶𝑀𝑜𝑇 =𝐶𝑇

𝑞=

𝑎

𝑞+ 𝑏 ; 𝐶𝑀 =

𝑑𝐶𝑇

𝑑𝑞= 𝑏 ; 𝐶𝑀𝑜𝑉 =

𝑏𝑞

𝑞= 𝑏 ;

a) Quelle que soit la quantité produite q, on a CMoT = CM ;

b) Quelle que soit la quantité produite q, on a CMoV = CM ;

c) Pour un niveau de production nul (q = 0), on a CM = CMoT minimum ;

d) Pour un niveau de production nul (q = 0), on a CM = CMoV minimum ;

e) L’entreprise qui a une fonction de coûts totaux telle que représentée ci-dessus est confrontée à des

déséconomies d’échelles ;

Proposition Graphique I 𝑎 ≠ 0 Graphique II 𝑎 = 0

a) Faux Vrai

b) Vrai Vrai

c) Faux Vrai (tous les points sont minimum)

d) Vrai (tous les points sont minimum) Vrai (tous les points sont minimum)

e) Faux (economies d’échelle) Faux (rendements constants)