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Filière Scientifique - Option Sciences de l’IngénieurLYCEE PAPE-CLEMENT - PESSAC

EdC06-2s - Modélisation d’un anémomètre de ROBINSONDécouverte et justification du modèleAnalyse des écarts entre données expérimentales et données simuléesRéglage des paramètres

La productivitéContribution de la modélisation

A - Présentation

L'anémomètre a été inventé dès 1846 par l'astronome irlandais T.R. Robinson. Depuis, il a gardé pratiquement le même design. Probablement l'anémomètre le plus commun avec des coupelles de forme caractéristique (tasse). Il est souvent associé à une girouette pour déterminer l'orientation du vent. De conception simple, il est souvent utilisé dans les stations météo, dans les aéroports, les parcs éoliens ou sur les grandes structures (ponts…). En 1926, Patterson a démontré que la linéarité de l'anémomètre était d'autant meilleure que la distance entre l'axe du rotor et le centre de la coupelle était petit. Il a ainsi défini la constante de l'anémomètre K :

K= Vω× R

Avec V la vitesse du vent, ω la vitesse angulaire de l'anémomètre et R la distance entre l'axe du rotor et le centre de la coupelle.

Typiquement R varie entre 2,5 et 3,5 cm

La fonction de transfert d'un anémomètre de Robinson fait apparaître une première zone non-linéaire et un départ différé lié aux frottements secs des parties mobiles en rotation. (Ici S est la vitesse angulaire, U la vitesse du vent)

B - Problématique

L'anémomètre de Robinson comporte 3 coupelles, quel est l'intérêt de ce choix ?

C - Objectif de l’étude

L’objectif de cette étude est d'analyser le comportement d'un anémomètre construit à partir d'une, de deux, de trois et enfin de quatre coupelles. Ces différentes études ont aussi pour objectif de comprendre le comportement de l'anémomètre ROTAVECTA qui utilise le principe du godet déséquilibré pour donner une information sur la direction du vent.

D - Démarche proposée dans le cadre de cette étude de cas

D.1 – Anémomètre à une coupelle

Modèle de comportement d'un anémomètre à une coupelle- Bilan des efforts sur la coupelle,- Expression de la force de trainée et du couple aérodynamique,- Analyse du coefficient de traînée : Cx.

Modélisation mathématique du fonctionnement d'un anémomètre à une coupelle

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- Contribution des mathématiques : application du théorème de la dynamique en rotation,- Implémentation de l'équation de fonctionnement dans le simulateur MATLAB.

Confrontation des essais expérimentaux et des résultats de simulation de l'anémomètre à une coupelle

- Mise en évidence des écarts de vitesse angulaire entre résultats expérimentaux et résultats simulés.- Existe-t-il une situation d'équilibre après un régime oscillatoire où l'anémomètre ne tourne pas ?

Confrontation des résultats expérimentaux et des résultats simulés.- Ce fonctionnement peut-il caractériser un ou plusieurs paramètres ?

D.2 – Anémomètre à deux, trois et quatre coupelles

Analyse des différences de comportement- Caractéristiques Vitesse angulaire en fonction du temps,- Régularité de la vitesse angulaire,- Existence d'une position d'immobilisation.

Réponse à la problématique

E – Étude de l'anémomètre à une coupelle

E.1 – Modèle de comportement

Bilan des efforts sur la coupelle et expression de la force de traînée.

La coupelle est soumise à une force aérodynamique :

f d (θ )=12

× ρ× C (α )× V relative (θ )2× S

ρ : masse volumique ou densité de l'air : ρ=1,225kg/m3 (au

niveau de la mer à 15 °C) correspond à la masse d'air qui est contenue dans un mètre cube. À une altitude donnée, l'air subit une pression induite par la masse de la colonne d'air située au-

dessus.

C ( α ) : coefficient de traînée.En 1934, Brevoort et Joyner réalisent des essais permettant de mesurer la force exercée sur une coupelle dans un flux de vent stationnaire. Ils publient les courbes donnant le coefficient de traînée en fonction de l'angle α appelé angle d'attaque.C1 représente le coefficient de traînée au regard d'un angle d'attaque α égal à 0°C2 représente le coefficient de traînée au regard d'un angle d'attaque α égal à 180°

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Pour une demi-sphère :

C1=1,4 (α=0)

C2=0,42 (α=π)

Pour simplifier le modèle, dans un premier temps, il est possible de définir une courbe asymptotique "en paliers".

V r : représente la vitesse du vent par rapport à la coupelle.

V r (θ )2=v2+V 2−2 vV cosθ avec v la vitesse de la coupelle (par rapport au sol). v=ω× R, R étant la distance entre l'axe du rotor et le centre de la coupelle. ω représente la vitesse

angulaire de l'anémomètre : ω=dθdt

V⃗ vent /sol=⃗V vent / coupelle+⃗V coupelle / sol

V relative (θ )2=v2+V 2−2v V cosθ

S : section de la coupelle soit S= πd2

4 avec d le diamètre de la coupelle.

Expression du couple aérodynamique

Le principe fondamental de la dynamique en rotation permet d'écrire :

J d2θd2t

=σ d (θ )−σ s , w (θ )

J : moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation de l'anémomètre

σ d (θ ) : moment aérodynamique de la coupelle

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V⃗ vent /sol

V⃗ vent /sol

σ s ,w (θ ) : moments liés aux frottements (frottements secs et frottements visqueux)

σ d (θ )=12

× ρ× C (α (θ ) )× V r (θ )2× S× R

σ s ,w (θ )=C f +f wdθdt

L'angle α (angle d'attaque) dépend de la position angulaire θ de la branche de la coupelle.

Exprimons la relation entre α et θ :

V r sin α=V sin θ [1 ]

V r sinψ=vsin θ

Or ψ=α−θ d'où V r sin (α−θ )=v sin θ [2 ]

En effet : ψ+ π2

+ϕ=π car la somme des angles dans un triangle vaut π.

De même : α +ϕ+( π2−θ)=π d'où ϕ=θ−α+ π

2

En remplaçant dans la première équation : ψ+ π2

+θ−α+ π2=π, on obtient : ψ=α−θ

Reprenons les équations [1 ] et [2 ] :

sin (α−θ )=sin α cosθ−cos α sin θ

D'après [2 ] : V r=v sinθ

sinα cosθ−cosα sinθ

D'après [1 ] : v sinθ sin αsin α cosθ−cos α sin θ

=V sinθ

Après simplification par sin θ, on obtient :v sinα

sin α cosθ−cos α sin θ=V

Faisons apparaître le terme Vv que l'on appelle la constante de l'anémomètre K :

sin α=Vv

(sinα cosθ−cosα sin θ )

Ainsi sin α=K (sinα cos θ−cos α sin θ ) et divisons membre à membre par 1cosα (hypothèse : α ≠ π

2+kπ )

On obtient :sin αcosα

=K ( sinα cosθ−cos α sin θcosα )

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ϕ

ψ=α−θ

[2 ]

[1 ]

v⃗θ

V⃗ r

V⃗α

ϕ

ψ=α−θ

Sachant que tan α= sin αcos α nous écrivons : tan α=K ( tan α cosθ−sin θ )

Isolons tan α de la façon suivante : tan α (1−K cosθ )=−K sin θ

Ainsi tan α= K sin θK cosθ−1

avec K=Vv

= VωR

[3 ]

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E.2 – Modèle de simulation MATLAB

E.3 – Résultats de simulation et discussion

On souhaite observer le comportement de cet anémomètre à une seule coupelle lorsqu'une position angulaire est présélectionnée. Expérimentalement, on a pu constater une position d'équilibre correspondant

à un angle de π2 .

Le pré-positionnement angulaire s'effectue en définissant la condition initiale de l'intégrateur situé entre la position angulaire et la vitesse angulaire.

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Discussion : l'allure des oscillations est très anguleuse. La position angulaire d'équilibre correspond à environ 75°. L'asymétrie de la coupelle ne lui permet pas effectivement d'avoir une position d'équilibre à

de π2 .

Autour de 75 °, il existe une discontinuité du coefficient de traînée.Pour éviter les écarts entre ce résultat simulé et la réalité, il est nécessaire de trouver une forme analytique de l'allure C ( α )= f (α ).Peut-on générer une courbe de tendance qui soit fidèle à la caractéristique ci-dessous :

La courbe est numérisée sous la forme d'un tableau de valeurs (EXCEL) : fichier Cx@alpha.xls

Ce fichier est intégré dans MATLAB. La caractéristique est tracée (outil PLOT). L'outil "Basic fiting" permet l'obtention de plusieurs courbes de tendance dont un polynôme de degré 8.

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Cette courbe de tendance ne paraît pas satisfaisante notamment au voisinage de 0 et de π2 .

E.4 – Mise en équation de la caractéristique C x=f (α )

Objectif : obtenir une caractéristique C x=f (α ) continue et dérivable sur l'intervalle [0 ;π ]

Observation : la caractéristique est périodique, de période 2π et présente un axe de symétrie en π.

Dans un mémoire daté de 1807, Joseph FOURIER, mathématicien français, affirma qu'il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction périodique sous la forme d'une somme infinie de signaux sinusoïdaux.

Ainsi, il est plus facile d'étudier les composantes d'une fonction complexe (si celle-ci est décomposable en série de Fourier) que d'étudier directement la fonction complexe.

Exemple : soit la fonction f ( x )=π pour0≤ x≤ πf ( x )=0 pour−π ≤ x<0

Il est possible de décomposer facilement cette fonction en série de Fourier avec l'application MATLAB :

Une décomposition de rang 1 donne le résultat suivant :

Avec pour équation :

Une décomposition de rang 3 donne le résultat suivant :

Avec pour équation :

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π

π

−π

Joseph Fourier1768-1830

Une décomposition de rang 8 donne le résultat suivant :

Le tableau de mesure est intégré à MATLAB R2014 et exploité avec l'outil "CURVE FITTING" (onglet "PLOT" du menu principal).

Le type de modèle utilisé est la décomposition en série trigonométriques ou série de Fourier avec un nombre de termes de 8.

Le résultat obtenu est le suivant :

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Les équations sont également données :

On obtient le résultat simulé suivant :

F – Étude de l'anémomètre à 3 coupelles

F.1 – Mise en œuvre du modèle de simulation

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Le modèle est construit à partir du modèle à

une coupelle en réalisant un décalage angulaire de 2π3

F.2 – Résultats et discussions

C'est fini !!!!

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Le niveau de l'asymptote horizontale est ajusté à la vitesse angulaire expérimentale en agissant sur la valeur des frottements secs.

La durée du régime transitoire est ajustée en agissant sur la valeur du moment d'inertie

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