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____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S2 – DénProb – TDEx CORR – Rev2016 – page 1 sur 18

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 2

________ Dénombrements et probabilités ________

CORRIGES des TD et exercices

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section DUT Maths S2


Exercice 1. (TD cours page 8)

E est l'ensemble des habitants d'une ville ; Card(E) = 2500. A est l'ensemble des hommes de cette ville ; Card(A) = 1220. B est l'ensemble des retraités de cette ville ; Card(B) = 670. 400 femmes sont retraitées. Créer puis compléter un tableau de contingence ; dire alors combien d’hommes, dans cette ville, ne sont pas retraités, puis combien de personnes sont des femmes ou des retraités.

A A

B 270 400 670 = Card(B)

B 950 880 1830 = Card( B ) 1220 = Card(A) 1280 = Card( A ) 2500 = Card(E)

question 1 : hommes ET non retraités = ∩A B . Card( ∩A B ) = 950.

question 2 : femmes OU retraités = ∪A B . - avec la formule de l’union :

Card( ∪A B ) = Card( A ) + Card(B) - Card( ∩A B ) = 1280 + 670 – 400 = 1550 - avec une loi de Morgan :

Card( ∪A B ) = 2500 - Card( ∪A B ) = 2500 – Card( ∩A B ) = 2500 – 950 = 1550

Exercice 2.

A et B étant des sous-ensembles de E, simplifier les écritures suivantes :

Exercice 3.

E = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Soit deux parties de E : A est l'ensemble des nombres pairs de E et B celui des multiples de 5 dans E. 1) Définir le complémentaire de A dans E. Donner ses éléments.

C'est l'ensemble de tous les éléments de E qui ne sont pas éléments de A, soit l'ensemble des nombres impairs de E, soit 5, 11, 17.

2) Donner les ensembles A∩B et A∩ B . Quelle est leur réunion ?

( ) ( ); ; ; ;∩ = ∩ = ∩ ∪ ∩ =A B 20 A B 2 8 14 A B A B A

( )A A B B∩ ∪ ∩

( ) ( )A B A B∪ ∩ ∩

( ) ( )A B A B∩ ∪ ∪

( ) ( ) ( )A B A B A A B B B= ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ = ∅ ∪ =

( ) ( ) ( )A B A B A B A B= ∩ ∩ ∪ = ∪ ∩ ∪ = ∅

( ) ( ) ( )A B A B A B B A E A= ∩ ∪ ∩ = ∩ ∪ = ∩ =

( ) ( ) ( )A B A B A A B E B B∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ = ∩ =

( ) ( ) ( )A B A B A B B A E A∩ ∪ ∩ = ∩ ∪ = ∩ = ( )( )A A B A A B B∩ ∪ = ∩ ∩ = ∅ ∩ = ∅

( ) ( ) ( ) ( )A A B A A A B A A B A∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

A B A B A B A B A B A B B

A B A B A A B A B A

A B B A A A B B

∪ ∩ ∩ ∩ ∪ = ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩

= ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∅ = ∪ ∩ ∩ ∩

= ∪ ∩ ∩ ∩ = ∪ ∩ ∩∅ = ∅


Exercice 4.

Dans un groupe de 25 étudiants, 20 ont un bac général ; il y a 17 filles, dont 14 ont un bac général. 1) Construire un tableau de contingence, distinguant garçons/filles et bac général/autre bac. On nommera

tous les ensembles apparaissant dans ce tableau 2) Combien de garçons ont un bac général ? Quel est le nom de l'ensemble correspondant ?

B bac général B autre bac

A garçons 6 2 8 6 garçons ont un bac général

A filles 14 3 17 Il s'agit de l'ensemble A∩B.

20 5 25

Exercice 5.

Parmi 350 personnes interrogées pour une étude, 244 possèdent un ordinateur avec connexion internet, 287 ont un téléphone portable, et 56 ont un téléphone portable mais pas d'ordinateur avec connexion internet.

1) Organiser et compléter un tableau de contingence à partir de ces données.

B tel. port. B

A ordi+inter 231 13 244

A 56 50 56

287 63 350

2) Combien de personnes ont…

a. une connexion internet mais pas de téléphone portable ? 13 b. au moins l'un des deux ? 350 – 50 = 300 c. seulement l'un des deux ? 13 + 56 = 69

Exercice 6.

Après dépouillement d’un sondage réalisé sur un échantillon de 500 personnes, il apparaît que 154 d’entre elles vont au cinéma au moins une fois par mois, 228 achètent du popcorn lorsqu’elles vont au cinéma, et parmi celles qui vont au cinéma moins d’une fois par mois, 131 y achètent du popcorn.

1) Si on appelle A l’ensemble des personnes qui vont au cinéma au moins une fois par mois et B l’ensemble des

personnes qui achètent du popcorn lorsqu’elles vont au cinéma, former le tableau de contingence correspondant.

B popcorn B

A ciné >= 1 97 57 154

A 131 215 346

228 272 500

2) Répondre en citant le cardinal de l’ensemble approprié et en justifiant le résultat s’il n’est pas directement

visible dans votre tableau : a. Parmi les personnes qui vont au cinéma au moins une fois par mois, combien achètent du popcorn ? 97 b. Sur les 500, combien de personnes vont au cinéma moins d’une fois par mois ? 346 c. Sur les 500, combien correspondent à A ou à B ?

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B) = 154 + 228 - 97 = 285



* De combien de façons peut-on placer 2 objets dans 3 tiroirs ? On doit choisir deux fois (p = 2) parmi les trois tiroirs (n = 3) avec répétition possible ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque rangement est donc une p-liste. Nombre de rangements : 3² = 9. * Combien de nombres de 4 chiffres contiennent uniquement 1, 2 ou 3 ? On doit choisir quatre chiffres (p = 4) parmi trois chiffres (n = 3) avec répétition possible (il vaut mieux, ici !) ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque nombre est donc une p-liste. Nombre de nombres : 34 = 81. * Combien de mots de 5 lettres obtenons-nous avec a ; b ; e ; m ; i ; r ; o ? On doit choisir cinq lettres (p = 5) parmi les sept lettres (n = 7) avec répétition possible ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque mot est donc une p-liste. Nombre de mots : 75 = 16807.


* Combien de couples délégué/assistant à partir de 25 étudiants? On doit choisir deux fois (p = 2) parmi les 25 étudiants (n = 25) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre

compte. Chaque vote est donc un arrangement. Nombre de votes : = × =225A 25 24 600 .

* Empilements de 3 blocs, choisis parmi 10 blocs de couleurs différentes ? On doit choisir trois fois (p = 3) parmi les dix blocs (n = 10) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre

compte. Chaque empilement est donc un arrangement. Nombre d’empilements : 310A 10 9 8 720= × × = .

* Combien de mots de 5 lettres différentes existent avec a, b, e, m, i, r, o ? On doit choisir cinq fois (p = 5) parmi les sept lettres (n = 7) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre

compte. Chaque mot est donc un arrangement. Nombre de mots : 57A 7 6 5 4 3 2520= × × × × = .


* Combien de couples possibles de délégués, parmi 25 étudiants? On doit choisir deux fois (p = 2) parmi les 25 étudiants (n = 25) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre

ne compte pas. Chaque vote est donc une combinaison. Nombre de votes : !

225

25 24C 300

2

×= = .

* Combien de mains de 8 cartes à partir d’un jeu de 32 ? On doit choisir huit cartes (p = 8) parmi les 32 cartes (n = 32) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre ne

compte pas. Chaque main est donc une combinaison. Nombre de mains : 832C 1 518 300= .

* Combien de tirages de 6 entiers différents, à choisir entre 1 et 49 ? On doit choisir 6 numéros (p = 6) parmi les 49 (n = 49) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre ne

compte pas. Chaque tirage est donc une combinaison. Nombre de tirages : 649C 13 983 816= .


Cette fois, l’ensemble dans lequel on pioche est partitionné en catégories, et on s’intéresse au nombre d’éléments obtenus pour chacune. La partie 1.2.4 du chapitre nous explique (dans le cadre des combinaisons uniquement) qu’on doit calculer des combinaisons dans chaque partie, puis les multiplier entre elles. 1) A partir d’un jeu de 32 cartes, combien de mains de 8 cartes comportent exactement 3 piques et 2 cœurs ?

ensemble tirage

piques 8 3 38C 56=

cœurs 8 2 28C 28=

autres 16 3 316C 560=

total 32 8

Nombre de mains correspondantes : 3 2 38 8 16C C C 878 080× × =


2) Une entreprise se compose de 20 femmes et 20 hommes. On doit choisir au hasard 5 femmes et 3 hommes.

Combien de groupes différents pourrait-on former ?

ensemble tirage

femmes 20 5 520C 15 504=

hommes 20 3 320C 1 140=

total 40 8

Nombre de groupes correspondants : 5 320 20C C 17 674 560× =

Exercice 11. dénombrements

1. dés

1.1 On lance un dé trois fois de suite. Nombre de résultats possibles ? lancers successifs : répétition : oui, ordre : oui. 63 = 216 résultats possibles.

1.2 On lance trois dés simultanément. Nombre de résultats possibles ? lancers simultanés : répétition : oui, ordre : oui (chaque dé est un objet différentiable des autres, son résultat lui appartient). 63 = 216 résultats possibles.

2. nombres et lettres

2.1 Combien de numéros de téléphone à 8 chiffres peut-il exister, en théorie ? ordre : oui, répétition : oui . n = 10 ; p = 8. 108 = 100 000 000 de numéros

2.2 De combien de façons un groupe de 6 entiers peut être choisi dans [1 ; 49] ?

n = 49 ; p = 6. Ordre : non, répétition : non. 649C 13 983 807= façons

2.3 Combien existe-t-il de nombres de trois chiffres différents (y compris avec 0) ? n = 10 chiffres ; p = 3 (longueur de la liste). Ordre : oui ; répétition : non (chiffres différents).

310A 720= nombres

2.4 Combien de listes différentes de 4 lettres peuvent être créées, pour des plaques minéralogiques ? n = 26 lettres disponibles ; p = 4. Ordre : oui ; répétition : oui. 264 = 456 976 listes

2.5 Combien d'anagrammes le mot "MATHS" possède-t-il ? n = 5 lettres disponibles ; p = 5. Ordre : oui ; répétition : non. 5 ! = 120 anagrammes

2.6 Combien de mots de 4 lettres peut-on créer, à partir du mot "PARTIEL" ? n = 7 lettres disponibles ; p = 4. Ordre : oui ; répétition : oui. 74 = 2 401 mots

2.7 Combien peut-on faire de mélodies de 10 notes prises dans la gamme de 7 notes ? n = 7 notes disponibles ; p = 10. Ordre : oui ; répétition : oui. 710 = 282 475 249 mélodies

2.8 Vous devez parier sur les résultats de 16 matchs de football (pour chacun : victoire, nul ou défaite). Combien de paris différents pourriez-vous faire ? n = 3 choix disponibles : 1, N, 2 ; p = 16. Ordre : oui ; répétition : oui. 316 = 43 046 721 paris

3. rangement

3.1 De combien de façons peut-on ranger 5 objets dans 8 boîtes ? n = 8 boîtes disponibles ; p = 5 choix à faire. Ordre : oui ; répétition : oui. 85 = 32 768 rangements

3.2 Même question, avec pas plus d'un objet par boîte.

n = 8 boîtes disponibles ; p = 5 choix à faire. Ordre : oui ; répétition : non. 58A 6 720= rangements

3.3 Paul dirige une équipe de 5 personnes. Chaque mois, il évalue le travail de l'une d'elles, choisie au hasard. En un an, combien de listes différentes de personnes évaluées pourrait-il envisager ? n = 5 personnes au choix ; p = 12 vérifications ; ordre : oui, répétition : oui. 512 = 244 140 625 listes


4. cartes

4.1 Combien de mains de 8 cartes peuvent être distribuées à partir d'un jeu de 32 cartes ?

n = 32 cartes disponibles ; p = 8. Ordre : non, répétition : non. 832C 10 518 300= mains

4.2 Combien de mains de 5 cartes peuvent être distribuées à partir d'un jeu de 52 cartes ?

n = 52 cartes disponibles ; p = 5. Ordre : non, répétition : non. 552C 2 598 960= mains

5. classement, élections

5.1 Combien de tiercés sont possibles à l'issue d'une course de 12 chevaux ?

n = 12 chevaux disponibles ; p = 3. Ordre : oui, répétition : non. 312A 1 320= tiercés

5.2 Combien de classements sont possibles à l'issue d'une course de 12 chevaux ? n = 12 chevaux disponibles ; p = 12. Ordre : oui, répétition : non. !12 479 001 600= classements

5.3 De combien de façons une délégation de 5 personnes peut-elle être choisie dans un groupe de 40 ?

n = 40 personnes disponibles ; p = 5. Ordre : non, répétition : non. 540C 658 008= délégations

5.4 Seize pilotes s'affrontent lors d'une course de formule 1. A l'arrivée, seuls les 6 premiers marqueront des points (6 scores différents). Combien de distributions de points sont possibles ?

n = 16 pilotes disponibles ; p = 6. Ordre : oui, répétition : non. 616A 5 765 760= distributions

5.5 Combien de podiums sont possibles à l'issue d'une course de 8 athlètes ?

n = 8 coureurs disponibles ; p = 3. Ordre : oui, répétition : non. 38A 336= podiums

5.6 Quinze personnes se rencontrent. Toutes se serrent la main. Combien y a-t-il de poignées de main ? n = 15 personnes disponibles ; p = 2 personnes à choisir pour une poignée de mains. ordre : non (la poignée de mains A-B est la poignée de mains B-A, à ne comptabiliser qu'une fois)

répétition : non (A ne se serre pas la main à lui-même). 215C 105= poignées de mains

Exercice 12.

Un groupe se compose de 13 femmes et 8 hommes. 4 personnes doivent être choisies.

1) Combien y a-t-il de possibilités ?

n = 21 personnes disponibles ; p = 4. Ordre : non, répétition : non. 421C 5985=

2) Combien y a-t-il de possibilités comprenant exactement 1 homme ?

1 homme parmi 8 et 3 femmes parmi 13 : 1 38 13C C 2288× =

3) 2 hommes ? 3 hommes ? 4 hommes ? Aucun homme ?

2 hommes parmi 8 et 2 femmes parmi 13 : 2 28 13C C 2184× =

3 hommes parmi 8 et 1 femme parmi 13 : 3 18 13C C 728× =

4 hommes parmi 8 et 0 femme parmi 13 : 4 08 13C C 70× =

0 homme parmi 8 et 4 femmes parmi 13 : 0 48 13C C 715× =

Exercice 13.

Parmi les mains de 5 cartes issues d'un jeu de 32, combien contiennent :

a. les 4 as ?

4 as parmi les 4 as et 1 autre carte parmi les 28 autres : 4 14 28C C 28× =

b. un carré ? carré d'as ou carré de rois ou… : 8 carrés différents possibles, incompatibles entre eux : les nombres de mains s'ajoutent. Ces nombres sont d'ailleurs de même valeur. Donc on a 8 28 224× = .

c. exactement 3 piques ?

3 piques parmi 8 et 2 autres cartes parmi les 24 autres : 3 28 24C C 15456× =


d. exactement 2 piques et un trèfle ? 2 piques parmi 8 et 1 trèfle parmi 8 et 2 autres cartes parmi les 16 autres (cœur ou carreau) :

2 1 28 8 16C C C 26880× × =

e. au moins un roi ?

Le contraire est plus simple à calculer : 0 roi parmi 4 et 5 cartes parmi 28 : 0 54 28C C 98280× =

"Au moins un roi" se produit donc dans tous les autres cas, qui sont au nombre de : −532C 98280

= 201376 - 98280 = 103096

f. au moins 2 valets ? contraire : (0 valet parmi 4 et 5 non-valet parmi 28) ou (1 valet parmi 4 et 4 non-valet parmi 28)

Donc pour au moins 2 valets : ( ) ( )5 0 5 1 432 4 28 4 28C C C C C 21196− × − × =

g. exactement 3 carreaux et un roi ? Il peut y avoir le roi de carreau… ou non ! Ce sont deux événements incompatibles, dont il faudra additionner les nombres de mains correspondants. (1 roi de carreau parmi 1 et 2 autres carreaux parmi 7 et 2 autres cartes parmi 21 "ni roi ni carreau") ou (1 roi parmi 3 rois pas carreau et 3 carreaux parmi 7 carreaux pas roi et 1 autre carte parmi 21)

( ) ( )1 2 2 1 3 11 7 21 3 7 21C C C C C C 4410 2205 6615× × + × × = + =

Exercice 14.

Une urne contient des balles : 2 blanches, 3 vertes, 5 rouges. Trois balles sont piochées simultanément au hasard. Parmi les groupes possibles de trois balles, combien contiennent…

a. une seule couleur ?

(3 rouges parmi 5) ou (3 vertes parmi 3) : 3 35 3C C 10 1 11+ = + =

b. les trois couleurs ?

1 rouge parmi 5 et 1 verte parmi 3 et 1 blanche parmi 2 : 1 1 15 3 2C C C 30× × =

c. deux couleurs ? contraire de la réunion des événements précédents "une couleur" et "trois couleurs", donc on soustrait les deux nombres de tirages correspondants au nombre total de tirages possible (3 boules parmi 10 boules) :

310C 11 30 79− − =

d. au moins deux couleurs ?

contraire de l'événement "une couleur", donc : 310C 11 109− =

Exercice 15.

Au loto (règles initiales), un joueur doit sélectionner 6 nombres parmi 1, 2, 3, …, 49.Après le choix du joueur, le tirage désigne les 6 numéros gagnants. Enfin, chaque joueur compte le nombre de numéros gagnants que contient sa propre sélection. 1) Calculer le nombre total de groupes possibles de 6 numéros.

n = 49 numéros disponibles ; p = 6. Ordre : non, répétition : non. 649C 13 983 816= groupes

2) Parmi eux, combien sont susceptibles de contenir exactement…

a. les 6 numéros gagnants ? 6 gagnants cochés parmi les 6 gagnants (tirés) : 1 seul ticket possible

b. 5 numéros gagnants ? 5 gagnants cochés parmi les 6 gagnants (tirés) et 1 perdant coché parmi les 43 perdants (non tirés) :

5 16 43C C 258× =

c. 4 numéros gagnants ? 4 gagnants cochés parmi les 6 gagnants (tirés) et 2 perdants cochés parmi les 43 perdants (non tirés) :

4 26 43C C 13 545× =


d. 3 numéros gagnants ?

3 gagnants cochés parmi les 6 gagnants (tirés) et 3 perdants cochés parmi les 43 perdants (non tirés) : 3 36 43C C 246 820× =

e. aucun numéro gagnant ? (répondre ici de deux manières différentes) 1ère réflexion : 0 gagnant parmi 6 et 6 perdants parmi 43

0 66 43C C 6 096 454× = tickets différents possibles

2ème réflexion : on calcule le nombre de tickets possédant 2 numéros gagnants, celui de tickets possédant 1 seul numéro gagnant, puis, si on note Tn le nombre de tickets possédant n numéros gagnants (par exemple : T5 = 258) et T le nombre total de tickets possibles (13983816), on aura :

T0 = T – n

6

n1

T=∑ Je vous laisse le soin de finir ces calculs.

Exercice 16.

1) Questions indépendantes

a. Vous devez choisir parmi 10 joueurs de basket-ball pour former votre équipe de 5 joueurs. Combien d'équipes différentes pourraient être formées ?

n = 10 joueurs au choix ; p = 5 joueurs à choisir. Répétition : non ; ordre : non. 510C 252=

b. Une société compte 18 employés et s'apprête à décerner trois prix : meilleur employé, employé le plus ponctuel, et employé le moins chauve. De combien de façons ces prix peuvent-il être attribués ?

n = 18 employés ; p = 3 à choisir. Répétition : oui (un employé peut gagner plus d'un prix) ; ordre : oui (les prix sont différents) : 183 = 5832

c. Sur un plateau de jeu d'échecs (8 × 8 carreaux), de combien de façons peut-on placer un roi, un cavalier et une tour ? n = 64 cases au choix ; p = 3 cases à choisir. Répétition : non (une case pour une pièce) ; ordre : oui (les

trois pièces sont différentes). 364A 249 984=

On peut objecter que si l'on fait pivoter le plateau de 90°, un arrangement en devient un autre… qui est le même ! Ainsi, chaque "rangement" de trois pièces a été compté quatre fois dans le décompte précédent…

2) 20 jetons sont placés dans un sac, numérotés de 1 à 20. Les jetons n°1 à 10 sont blancs ; ceux numérotés de 11 à 16 sont verts ; les autres sont rouges. On doit prendre trois jetons simultanément au hasard.

a. Combien de prises différentes sont possibles ?

Un tirage simultané conduit à une combinaison. Ici, n = 20 et p = 3. 320C 1140=

b. Combien se composent de trois jetons blancs ?

3 blancs parmi 10 blancs (et 0 autres parmi 10 autres) : 310C 120=

c. Combien se composent d'un jeton de chaque couleur ?

1 blanc parmi 10 blancs et 1 vert parmi 6 verts et 1 rouge parmi 4 rouges : 1 1 110 6 4C C C 240× × =

d. Combien se composent de trois jetons de la même couleur ? 3 blancs parmi 10 blancs ou 3 verts parmi 6 verts ou 3 rouges parmi 4 rouges : 120 + 20 + 4 = 144 combinaisons

e. Combien ne montreront qu'une couleur et trois nombres pairs ? 3 pairs blancs parmi 5 pairs blancs ou 3 pairs verts parmi 3 pairs verts : 10 + 1 = 11 combinaisons



L'expérience aléatoire consiste ici à tirer au hasard un nombre parmi les entiers de 1 à 20.

1) Déterminer Card(Ω).

Ω, l’ensemble des issues, se compose lui-même de chaque entier de 1 à 20. Card(Ω) = 20

2) On définit les événements A : "obtenir au moins 15" et B : "obtenir un nombre pair".

Déterminer p(A) , p( A ) , p(B) , p( A B∩ ) , p( A B∪ ).

p(A) = 6/20 = 0,3 ; p( A ) = 1 – p(A) = 14/20 = 0,7 ; p(B) = 10/20 = 0,5

A B∩ = 16 ; 18 ; 20, donc p( A B∩ ) = 3/20 = 0,15

p( A B∪ ) = p(A) +p(B) - p( A B∩ ) = 0,3 + 0,5 – 0,15 = 0,65


L'expérience aléatoire consiste ici à tirer simultanément 3 lettres de l'alphabet.

1) Déterminer Card(Ω)

Ω, l’ensemble des issues, se compose de toutes les combinaisons de trois lettres. Card(Ω) = 326C 2600= .

2) On définit les événements A : "obtenir 3 consonnes", B : "obtenir 2 consonnes", C : "obtenir 1 consonne" et

D : "obtenir 3 voyelles"

a. Sont-ils deux à deux incompatibles ?

Ils sont en effet incompatibles. Par exemple, un tirage comportant 2 consonnes (donc appartenant à B)

n’en contient pas trois (donc n’est pas dans A), et réciproquement.

Idem pour A et C, A et D, B et C, B et D, C et D.

b. Forment-ils une partition de Ω ?

Non seulement ces quatre ensembles sont disjoints, mais en plus ils regroupent tous les cas de figure

possibles (c’est-à-dire : leur réunion est Ω). Donc ils en forment une partition.

c. Calculer leurs cardinaux, puis leurs probabilités à 4 chiffres significatifs. Enfin, calculer la somme de leurs

cardinaux, et celle de leurs probabilités.

alphabet A B C D

consonnes 20 3 2 1 0

voyelles 6 0 1 2 3

total 26 3 3 3 3

Card(A) = 3 020 6C C 1040× = p(A) = 1140 / 2600 = 43,85 %

Card(B) = 2 120 6C C 1040× = p(B) = 1140 / 2600 = 43,85 %

Card(A) = 1 220 6C C 300× = p(C) = 300 / 2600 = 11,54 %

Card(A) = 0 320 6C C 20× = p(D) = 20 / 2600 = 0,7692 %


Expérience aléatoire : lancer deux dés et noter le total.

a. Quels sont les différents totaux possibles ?

2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12

b. Sont-ils équiprobables ?

Non. Par exemple, les dés ont quatre possibilités de

réaliser un total de 5 : (1, 4) ; (4, 1) ; (2, 3) ; (3, 2), mais une

seule de réaliser un total de 2 : (1, 1).


c. Construire un univers d'éventualités équiprobables.

Si chaque face d’un dé a les mêmes chances d’être obtenue que les autres, alors chaque couple de faces de

deux dés a les mêmes chances qu’un autre couple. On pourra donc considérer l’univers suivant comme

équiprobable : Ω = (1, 1) ; (1, 2) ; (2, 1) ; (2, 2) ; (1, 3) ; (3, 1) ; (2, 3) ; … ; (5, 6) ; (6, 5) ; (6, 6), dont le

cardinal est 36.

d. On définit les événements A : "obtenir un total de 10" et B : "obtenir au moins 10".

Déterminer p(A) ; p( A ) ; p(B).

A = (4, 6) ; (5, 5) ; (6, 4). Card(A) = 3. p(A) = 3/36 = 1/12. p( A ) = 1 – p(A) = 33/36 = 11/12.

B = (4, 6) ; (5, 5) ; (6, 4); (5, 6); (6, 5);(6, 6). Card(B) = 6. p(B) = 6/36 = 1/6.


E = 1, 2, 3, …, 10, A : "nombres pairs de E", B : "multiples de 3 dans E"

diagramme de Venn : arbre de choix probabilisé : E 1/5 2 4 6 8 10 A 1/2 4/5 1 5 3 B 7 9 1/2 2/5

3/5

tableau de contingence :

A A On inscrit à l’intérieur les cardinaux des intersections correspondantes, les sous-totaux (« effectifs marginaux ») et le total général

B 1 2 3 = Card(B)

B 4 3 7 = Card( B ) 5 = Card(A) 5 = Card( A ) 10 = Card(E)

1) Compléter le tableau de contingence.

2) Je pioche au hasard un nombre entre 1 et 10. Je ne le regarde pas.

a. Quelle est la probabilité qu'il soit pair ? p(A) = 5/10

b. Quelle est la probabilité qu'il soit multiple de 3 ? p(B) = 3/10

3) Je pioche au hasard un nombre entre 1 et 10. Je ne le vois pas, mais on me dit qu'il est multiple de 3.

a. Quelle est alors la probabilité qu'il soit pair ? 1/3

b. Que donne la formule du cours ? ( ) ( )( )

/

/B

p A B 1 10 1p A

p B 3 10 3

∩= = =

4) Je pioche au hasard un nombre entre 1 et 10. Je ne le vois pas, mais on me dit qu'il est pair.

a. Quelle est alors la probabilité qu'il soit multiple de 3 ? 1/5

b. Que donne la formule du cours ? ( ) ( )( )

/

/A

p A B 1 10 1p B

p A 5 10 5

∩= = =


Un laboratoire a mis au point un éthylotest. On effectue des essais sur ce produit, à l'aide d'une population-

test dont on sait que 2 % des personnes sont réellement en état d'ébriété (événement E). L'événement P

désignera un contrôle positif à l'éthylotest.

Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants :

- lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100 le test se révèle positif ;

- lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100 le test se révèle négatif.

2;4;6;8;10A

1;3;5;7;9A

6B

3;9B

2;4;8;10B

1;5;7B


Quelle est donc la probabilité pour qu'une personne soit réellement en état d'ébriété sachant que le contrôle

par l'éthylotest a été positif sur cette personne ?

L’énoncé nous donne directement p(E) = 0,02 ; pE(P) = 0,95 ; ( )Ep P = 0,96.

La question est de déterminer pP(E).

( ) ( )( )

( )( ) ( )

, , ,, %

, , , , ,P

p P E p P E 0 02 0 95 0 019p E 32 65

p P p P E p P E 0 02 0 95 0 98 0 04 0 0582

∩ ∩ ×= = = = =∩ + ∩ × + ×


1) avec exercice 22 : Le fait d'être en état d'ébriété et le fait d'être contrôlé positif sont-ils indépendants ?

deux façons de le voir :

* ( ) ( ) ( )p P E p P p E∩ = × ? non : 0,019 ≠ 0,0582 × 0,02 * ( ) ( )E Ep P p P= ? non : 0,95 ≠ 0,04

2) avec exercice 18 : Les événements A et B sont-ils indépendants ? Interpréter.

deux façons de le voir :

* ( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = × ? oui : 0,15 = 0,3 × 0,5 * ( ) ( )A Ap B p B= ? oui : 3/6 = 7/14

Exercice 23.

On lance trois dés.

1) Combien d’issues sont possibles ?

Les lancers conduisent à des p-listes. Card(Ω) = 63 = 216 triplets.

2) Calculer les probabilités des événements suivants :

a. A : "obtenir un triple 6"

1 seul élément de Ω correspond : la liste (6, 6, 6). Card(A) = 1. p(A) = 1/216.

b. B : "obtenir un triple"

6 éléments de Ω correspondent. Card(B) = 6. p(B) = 6/216 = 1/36.

c. C : "obtenir un 421" Il faut obtenir un 4, un 2 et un 1, dans n’importe quel ordre. Il y a 3! = 6 permutations de trois éléments. Card(C) = 6. p(C) = 6/216 = 1/36.

d. D : "obtenir au moins un 4" Le contraire est plus simple : ne pas obtenir de 4. Cela se réalise si les trois chiffres sont pris parmi 1,2,3,5,6. Le nombre de p-listes correspondantes est 53 = 125. Card(D) = 216 – 125 = 91. p(D) = 91/216.

e. E : "obtenir un total de 10" Il faut dresser la liste des groupes de trois chiffres permettant un total de 10, puis dire pour chaque groupe combien d’ordres différents sont possibles entre les trois chiffres. 1 ; 3 ; 6 6 ordres ; 1 ; 4 ; 5 6 ordres ; 2 ; 2 ; 6 3 ordres ; 2 ; 3 ; 5 6 ordres ; 2 ; 4 ; 4 3 ordres ; 3 ; 3 ; 4 3 ordres. En tout, 27 triplets sur 216 donnent un total de 10.p(E) = 27/216 = 1/8.

3) a. B et D sont-ils incompatibles ? Non, on peut réaliser les deux événements avec (4, 4, 4).

b. C et E sont-ils incompatibles ? Oui, si on obtient 4, 2 et 1, le total ne vaut pas 10.

Exercice 24.

18 balles sont dans une urne : 7 blanches, 9 rouges, 2 vertes. Trois balles sont tirées simultanément. 1) Quelle est la probabilité d'avoir trois couleurs dans la main ?

n = 18 boules disponibles ; p = 3 (longueur de la liste). Ordre : non, répétition : non. ( ) 318Card C 816Ω = =

Soit A : "Une boule de chaque couleur". ( ) 1 1 17 9 2Card A C C C 126= × × = . p(A) = 126/816 ≈ 0,1544.


2) Quelle est la probabilité d'avoir une seule couleur dans la main ?

L'événement B cité par la question est "3 blanches" ou "3 rouges", deux événements incompatibles (donc

leurs cardinaux et leurs probabilités s’additionnent. ( ) ( ).3 37 9Card B C C 119 p B 119/816 0,1458= + = = ≈

3) a. Quel troisième événement forme une partition de Ω avec les deux précédents ? C'est l'événement C : "Deux couleurs différentes parmi les 3 boules", qui représente toutes les possibilités non envisagées par A ou B.

b. En déduire sa probabilité. p(C) = 571/816 4) Calculer la probabilité de n'avoir pas de blanche ou pas de verte.

On doit ici calculer le cardinal de la réunion de deux événements. Notons D : "0 blanche" et E : "0 verte".

Card(D∪E) = Card(D) + Card(E) – Card(D∩E) = ( ). .3 3 311 16 9C C C 641 p D E 641/816 0,7855+ − = ∪ = ≈

Exercice 25.

Un sac contient 20 jetons : n sont noirs et les 20-n autres sont blancs. On doit piocher au hasard et simultanément 2 jetons.

1) Exprimer (avec n) les probabilités des événements suivants :

a. A : un noir et un blanc.

20 jetons disponibles ; p = 2 (longueur de la liste). Ordre : non, répétition : non. ( ) 220Card C 190Ω = =

Pour former un élément de A, il faut : 1 noir parmi n noirs et 1 blanc parmi 20-n blancs.

( ) ( ) ( ) ( ).1 1

n 20 n

n 20 nCard A C C n 20 n p A

190−

−= × = − =

b. B : deux noirs

Pour un élément de B, il faut : 2 noirs parmi n noirs. ( ) ( ) ( ) ( )- -.2

n

n n 1 n n 1Card B C p B

2 380= = =

c. C : deux blancs

Un élément de C : 2 blancs parmi 20-n blancs. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )-

- - - -.2

20 n

20 n 19 n 20 n 19 nCard C C p C

2 380= = =

2) Vérifier que la probabilité totale de l'univers vaut bien 1.

Les événements A, B et C formant une partition de Ω, la somme de leurs probabilités vaut 1 :

p(A) + p(B) + p(C) = ( ) ( ) ( )( )- - - 2 2 22n 20 n n n 1 20 n 19 n 2n 40n n n 380 n 39n 380

1380 380 380

− + + − + + − + + −= = =

3) Déterminer au moyen d'une équation les valeurs de n donnant p(C) > 0,5. 20-n et 19-n sont deux entiers consécutifs. Testons quelques produits : 12×11 = 132 ; 13×12 = 156 ; 14×13 = 182 ; 15×14 = 210 C'est lorsque 20-n atteint 15 (et donc 19-n = 14) que ce produit dépasse 190.

Pour cela, il faut que n vaille au maximum 5. Solution : n ≤ 5.

Exercice 26.

Une agence bancaire a constaté que 2% des chèques remis par ses clients possèdent un défaut d'écriture du montant. Lorsqu'un chèque ne présente pas de défaut, l'agent l'entre correctement sur informatique 97 fois sur 100. Lorsqu'il présente un défaut, l'agent l'entre correctement seulement 5 fois sur 100. Déterminer la probabilité des événements suivants :

1) L'agent n'entre pas le chèque correctement On est dans la situation du croisement de deux événements et de leurs contraires. On peut la représenter par un arbre de probabilités avec, par exemple, D : "le chèque possède un défaut" et C : "l'agent l'entre correctement".

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , %D Dp C p C D p C D p D p C p D p C 0 02 0 95 0 98 0 03 4 84= ∩ + ∩ = × + × = × + × =


0,05 0,02 0,95 0,98 0,97 0,03 2) Le chèque est bon sachant que l'agent l'a entré correctement

( ) ( )( )

( ) ( )( )

, , ,, %

, ,-D

C

p C D p D p C 0 98 0 97 0 9506p D 99 89

p C 1 0 0484 0 95161 p C

∩ × ×= = = = =−

3) Le chèque est mauvais sachant que l'agent ne l'a pas entré correctement

( ) ( )( )

( ) ( )( )

, , ,, %

, ,D

C

p C D p D p C 0 02 0 95 0 019p D 39 26

0 0484 0 0484p C p C

∩ × ×= = = = =

On peut remarquer que sur l'ensemble des chèques pour lesquels l'agent s'est trompé, environ 60% étaient sans défaut d'écriture !

Exercice 27.

Dans la population d'une ville, on rencontre 35 % de salariés. Parmi les salariés, 8 personnes sur 10 prennent leur automobile chaque jour ; parmi les autres, 3 personnes sur 10 le font. On choisit une personne au hasard dans cette ville (salarié : événement S ; automobile chaque jour : A).

1) Représenter les différentes possibilités par un arbre de choix probabilisé.

0,8 0,35 0,2 0,65 0,3 0,7

2) a. Quelle est la probabilité que cette personne ne soit pas salariée ?

( ) ( )p S 1 p S= − = 0,65

b. Quelle est la probabilité qu'elle soit un salarié qui prend son automobile chaque jour ?

( ) ( ) ( ) , , %Sp S A p S p A 0 35 0 8 28∩ = × = × =

c. Quelle est la probabilité qu'elle prenne son automobile chaque jour ?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , %S

p A p A S p A S 0 28 p S p A 0 28 0 65 0 3 47 5= ∩ + ∩ = + × = + × =

d. Sachant qu'elle prend son automobile chaque jour, quelle est la probabilité qu'elle soit salariée ?

( ) ( )( )

,, %A

p S A 0 28p S 58 95

p A 0,475

∩= = =

e. Les événements S et A sont-ils indépendants ? deux façons de le voir :

* ( ) ( ) ( )p S A p S p A∩ = × ? non : 0,28 ≠ 0,35 × 0,475 * ( ) ( )S Sp A p A= ? non : 0,8 ≠ 0,3

S

S

A

A

A

A

D

D

C

C

C

C



Une loterie est organisée. 100 billets sont mis en vente, un euro chacun. Parmi eux, un est gagnant à 30 €,

deux le sont à 15 €, et sept le sont à 1 €. Un joueur achète un billet, X est la variable aléatoire représentant son

gain (compte tenu de l'achat).

1) Donner la loi de probabilité de X.

xi 29 14 0 -1

p(X = xi) ou pi 0,01 0,02 0,07 0,90

2) Si on joue souvent à cette loterie, peut-on espérer être gagnant à long terme ?

(réfléchir d'abord au gain global probablement obtenu au bout de 1000 parties)

Sur 1000 parties, on espère gagner 10×29 + 20×14 + 70×0 - 900×1 = -330 €.

On prévoit de perdre, en théorie, 330 € en 1000 parties, soit 33 centimes par partie en moyenne.

Même si la réalité peut fluctuer autour de ce résultat, la loi des grands nombres nous dit que plus le

nombre de parties est important, moins on a de chances de s’écarter de cette moyenne attendue de -0,33

€ par partie. On ne peut pas espérer être gagnant à long terme.


1) Calculer l’espérance et l’écart type, dans le cadre de l’exercice 28. Interpréter.

Travail sur calculatrice, en mode stat : on saisit les gains en liste 1 et les probabilités en liste 2.

Sur Casio, dans CALC SET : 1Var X : List 1 et 1Var F : List 2, puis EXIT, 1VAR.

Sur TI, dans CALC : Stat1Var L1,L2.

Résultats : E(X) = -0,33 € et σ(X) = 3,622 €.

Cela signifie que sur n parties, pour n suffisamment élevé, le gain moyen obtenu est une variable distribuée

normalement, centrée sur -0,33, avec un écart type de ,3 622

n. Par exemple, sur 10 000 parties, l’écart type

attendu vaut environ 0,036 €. Le fait que la distribution soit normale implique par exemple :

* qu’il y a 68,3 % de chances d’avoir un gain moyen compris entre -0,33 – 0,036 et -0,33 + 0,036, soit entre

-0,366 € et -0,294 €, et donc qu’au bout de 10 000 parties on ait perdu entre 2940 € et 3660 € ;

* qu’il y a 95,4 % de chances d’avoir un gain moyen compris entre -0,33 – 2×0,036 et -0,33 + 2×0,036, soit

entre -0,402 € et -0,258 €, et donc qu’au bout de 10 000 parties on ait perdu entre 2580 € et 4020 €.

En définitive, sur ce nombre de parties, l’écart type du gain moyen est assez faible et rend en pratique

impossible de gagner de l’argent. Plus n est élevé, plus cet écart type est faible, moins on a de chances que

notre perte se rapproche de zéro et plus on a de chances que notre gain moyen soit proche de -0,33 €. Le

calcul de cet écart type est une traduction chiffrée de la loi des grands nombres.

2) Si les gains et pertes étaient multipliées par 2 (tableau de départ), que deviendraient ces paramètres ?

Logiquement, ils sont multipliés par deux. À vérifier à l’aide de votre calculatrice.

3) Si les valeurs de X étaient augmentées de 0,5 €, que deviendraient ces paramètres ?

L’espérance serait également augmentée de 0,5 € et serait cette fois positive : +0,17 € !

Par contre, l’écart type ne change pas : augmenter des valeurs du même nombre ne fait que les décaler,

mais ne modifie pas les distances, les écarts, entre elles. Vérifiez !



On tire successivement, sans remise, deux boules dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. Soit X1 la variable aléatoire qui attribue 1 point si la première boule tirée est noire et 0 point si elle est blanche ; soit X2 la variable aléatoire qui attribue 1 point si la deuxième boule tirée est noire et 0 point si elle est blanche.

a. Donner p(X1 = 0) et p(X1 = 1). p(X1 = 0) = 7/10 et p(X1 = 1) = 3/10

b. Donner pX1 = 0(X2 = 0) et pX1 = 0(X2 = 1), puis pX1 = 1(X2 = 0) et pX1 = 1(X2 = 1). pX1 = 0(X2 = 0) = 6/9 et pX1 = 0(X2 = 1) = 3/9, pX1 = 1(X2 = 0) = 7/9 et pX1 = 1(X2 = 1) = 2/9

c. Compléter l’arbre de choix probabilisé puis le tableau de probabilités associé.

X1 X2

0 1

PX2

0 42/90 21/90 7/10

1 21/90 6/90 3/10

PX1 7/10 3/10 1

d. La donnée des lois marginales suffit-elle à définir la loi conjointe de X1 et X2 ? Le seul fait de connaître les sous-totaux de ce tableau ne suffit pas à déterminer les valeurs des quatre cases qui correspondent aux intersections.

e. Comparer p(X1 = 0)×p(X2 = 0) à p((X1 = 0)∩(X2 = 0)). Les variables X1 et X2 sont-elles indépendantes ?

7/10 × 7/10 ≠ 42/90. Les variables ne sont pas indépendantes.

Exercice 31.

Un jeu se compose de deux boîtes identiques comportant chacune 10 jetons numérotés de 1 à 10. L'expérience consiste à piocher un jeton dans chaque boîte.

1) a. Décrire une des éventualités de cette expérience. Une issue est une liste de deux jetons, donnés dans l’ordre ; exemples : (2, 5) ; (10, 8) ; (5, 2), etc.

b. Montrer que le cardinal de l'univers est 100. Ces listes se composent de deux éléments (p = 2) choisis parmi 10 (n = 10), avec répétition possible et ordre à prendre en compte : (5, 2) et (2, 5) sont deux résultats différents. L’univers est donc un

ensemble de p-listes, et Card(Ω) = 10² = 100.

c. Quelle est la probabilité d'avoir choisi deux nombres pairs ? Ces p-listes se composent de deux éléments (p = 2) choisis parmi 5 éléments pairs (n = 5). Nombre de listes : 5² = 25. probabilité : 25/100 = 0,25.

d. Montrer que la probabilité d'obtenir deux nombres pairs différents est 0,2. Ces listes se composent de deux éléments (p = 2) choisis parmi 10 (n = 10), sans répétition possible et

ordre à prendre en compte. On cherche donc un nombre d’arrangements : 25A 20= .

On peut aussi remarquer que sur les 25 listes de la question c, 5 présentent des doubles, et donc 20 n’en présentent pas… La probabilité demandée est donc 20/100 = 0,2.

2) Pour faire une partie, il faut payer 1 €. Si on obtient deux nombres pairs différents, on gagne 1 € ; si on obtient deux nombres identiques, sauf 1 et 1, on gagne 6 € ; si on obtient 1 et 1, on gagne 50 € ; dans tous les autres cas, on ne gagne rien. La variable aléatoire X donne le gain à l'issue du jeu, sans tenir compte de le mise de 1 €.

3/10

7/10

6/9

3/9

7/9

2/9

X1 = 0

X1 = 1


a. Donner la loi de probabilité de X.

xi 50 6 1 0

p(X = xi) ou pi 0,01 0,09 0,20 0,70

b. Donner l'espérance mathématique de X. E(X) = 0,01×50 + 0,09×6 + 0,2×1 = 1,24 €

c. Peut-on espérer être gagnant si on joue un grand nombre de fois ? Cette espérance est supérieure à la mise, de 0,24 €. On peut donc espérer un gain proche de 24 centimes par partie, en moyenne, sur un grand nombre de parties (par exemple : 240 € en 1000 parties).

Exercice 32.

Un sac contient 5 boules blanches et 10 noires. Vous misez 2 € pour piocher 3 balles ensemble. Obtenir 3 blanches vous fait gagner 100 € ; 2 blanches : 10 € ; 1 blanche : 2 € ; 3 noires : rien. La variable aléatoire X est votre gain à l'issue d'un essai, mise déduite.


Nombre total de tirages différents : ( ) 315Card C 455Ω = =

Nombre de tirages possédant 3 blanches : ( ) 3 05 10Card A C C 10= × =

Nombre de tirages possédant 2 blanches : ( ) 2 15 10Card B C C 100= × =

Nombre de tirages possédant 1 blanche : ( ) 1 25 10Card C C C 225= × =

Nombre de tirages possédant 0 blanche : ( ) 0 35 10Card D C C 120= × =

Loi de probabilité de X, gain net :

xi 98 8 0 -2

p(X = xi) ou pi 10/455 100/455 225/455 120/455

2) Donner l'espérance et l'écart type de X.

E(X) = 1540/455 = 3,385 €. σ(X) = 14,65 €

3) Si vous jouez 100 fois, quel est votre gain le plus probable ? 338 €

Exercice 33.

Un jeu consiste en un tirage au hasard d’une lettre de l’alphabet (qui contient 20 consonnes et 6 voyelles : A, E, I, O, U, Y). À chaque lettre est attribué un numéro, selon le tableau suivant :

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

On notera C l’événement « la lettre tirée est une consonne » et M : « son numéro vaut au moins 17 ».

Partie 1

1) Dressez un arbre de choix probabilisé (1er niveau : C et son contraire ; 2ème niveau : M et son contraire) dans lequel devront apparaître les probabilités simples, conditionnelles et d’intersections correspondant à sa construction.

8/20 20/26 12/20 6/26 2/6 4/6

C

C

M

M

M

M


2) Sachant qu’une voyelle a été tirée, quelle est la probabilité que son numéro dépasse 16 ?

( )C

2 1p M

6 3= =

3) Sachant que le numéro dépasse 16, quelle est la probabilité que la lettre soit une voyelle ?

( ) ( )( )M

2p C M 2 126p C8 2p M 10 5

26 26

∩= = = =

+

4) Les événements M et C sont-ils indépendants ?

( ) ( ) ( ), ,8 20 10p C M 0 3077 et p C p M 0 295926 26 26

∩ = ≈ × = × ≈

Ces événements ne sont pas indépendants.

Partie 2

A l’événement C M∩ , on attribue un gain de 10 €, et à l’événement C ∩M une perte de 5 € ; quant aux autres

possibilités, elles ne donnent ni gain, ni perte. X est la variable aléatoire désignant le gain à l’issue d’une tentative de tirage d’une lettre.


xi 10 0 -5

p(X = xi) ou pi 2/26 16/26 8/26

2) Donner l’espérance mathématique de X et la signification de cette valeur. E(X) = -20/26 = -0,7692 €. C’est le « gain » moyen attendu sur un grand nombre de parties.

3) Donner l’écart type de X et la signification de cette valeur.

σ(X) ≈ 3,846 € : variabilité moyenne des gains autour de E(X) à chaque partie.

Exercice 34.

Deux représentants A et B d’une coopérative travaillent en équipe pendant deux semaines pour proposer des contrats à d’éventuels clients. A est chargé de placer de nouveaux contrats à des clients actuels et B est chargé de prospecter de nouveaux clients. Soient XA la variable aléatoire mesurant le nombre de contrats obtenus par A et XB la variable aléatoire mesurant le nombre de contrats obtenus par B. On suppose que XA prend ses valeurs dans 0 ; 1 ; 2 ; 3 et XB prend ses valeurs dans 0 ; 1. La loi conjointe de XA et XB est donnée par le tableau suivant :

XA

XB 0

1 2 3

0 0,05 0,15 0,20 0,10

1 0,1 0,2 0,15 0,05

1) a. Déterminer la loi marginale de XA et celle de XB. Par addition des probabilités croisées correspondantes, on obtient les lois :

loi marginale de XA :

k 0 1 2 3

p(XA = k) 0,15 0,35 0,35 0,15

loi marginale de XB :

k 0 1

p(XB = k) 0,50 0,50


b. Ces deux variables sont-elles indépendantes ?

Considérons l’une des intersections possibles : XA = 0 et XB = 0 : p((XA = 0) et (XB = 0)) = 0,05 (valeur directement issue du 1er tableau) p(XA = 0) × p(XB = 0) = 0,15 × 0,5 = 0,075 (les deux valeurs viennent du 2d et du 3e tableau) Ces résultats sont différents, donc on en conclut que XA et XB ne sont pas indépendantes.

2) On définit la variable X, « nombre total de contrats obtenus », par : X = XA + XB.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ? On doit lister toutes les intersections possibles, puis donner leurs probabilités et les différents totaux correspondants :

XA 0 1 2 3 0 1 2 3

XB 0 0 0 0 1 1 1 1

prob 0,05 0,15 0,20 0,10 0,10 0,20 0,15 0,05

XA + XB 0 1 2 3 1 2 3 4

Enfin, la loi de probabilité de X sera donnée en regroupant ses valeurs identiques :

k 0 1 2 3 4

p(X = k) 0,05 0,25 0,40 0,25 0,05

b. Calculer E(X) et V(X).

E(X) = 0×0,05 + 1×0,25 + 2×0,4 + 3×0,25 + 4×0,05 = 2

V(X) = E(X²) – E(X)² = 0²×0,05 + 1²×0,25 + 2²×0,4 + 3²×0,25 + 4²×0,05 – 2² = 4,9 – 4 = 0,9

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