Roland Charnay - 2011 1

Apprentissage des mathématiques -

Résolution de problèmes 1

Roland Charnay - 2011 1

Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul.

Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.




La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008)


Utiliser ses connaissances pour résoudre rapidement (immédiatement ou par étapes) certains problèmes : réinvestissement

Mettre en place des stratégies pour venir à bout de problèmes qu’on ne sait pas résoudre rapidement : problèmes pour chercher

S’approprier de nouvelles connaissances, en partant de problèmes qui résistent aux connaissances déjà apprises : situations-problèmes





dans la résolution de problèmes


Un exemple (Evaluation 6e)

Xavier range les 50 photos de ses dernières

vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page

incomplète ?

Il y a ……… pages complètes.

Il y a ……… photos sur la page incomplète.

Réussite : environ 55 %



Causes possibles

des difficultés


Lecture

Familairité avec le contexte

Représentation mentale de la situation (ce qu’on sait, ce qu’on cherche)


50 photos

chaque page : 6 photos.

Cela peut expliquer une part des difficultés : 10 % ?



Recours direct à la division

Ici, sens « groupement » : combien de fois 6 dans 50 ?

Plus difficile que le sens « partage » (50 photos réparties équitablement sur 6 pages)

Interpréter le quotient et le reste

Recours direct à la table de multiplication

Connaissance de 8 x 6 égal à 48

En déduire le reste par soustraction


50 photos


Comment aider les élèves à comprendre que les problèmes de groupement peuvent être résolus par la même opération que les problèmes de partage équitable ?

Comment aider à comprendre que « combien de paquets de 6 dans 50 ? » est équivalent à « si on répartit 50 objets dans 6 paquets, combien d’objets par paquet ? »




Recours à des essais de produits

Par exemple, Esai avec 5 pages, puis 10 pages, puis…

Recours à l’addition ou à la soustraction

Simulation arithmétique du remplissage des pages

Recours au dessin schématisé

Dessin de 50 images puis de paquets de 6 images

Dessin de feuilles avec 6 images, avec comptage des images utilisées


50 photos



Peu de recours à la division

Un nombre élevé de calculs "sans signification"

Peu de démarches "originales"



Aider à s’approprier la situation et la ou les questions (diversifier la présentation des problèmes)

Aider à comprendre qu’un problème peut être résolu directement ou en se débrouillant (problème de recherche)

Aider à construire du sens et de la compréhension (connaissances en réponse à des problèmes)

Ne pas confondre entraînement technique et apprentissage conceptuel


au cycle 3




Le « sens » des opérations nécessite un apprentissage

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La délicate question du « sens »


3 niveaux

Sens « primitif » Sens « appris » Raisonnement



Exemple pour la soustraction


Sens « primitif »

• En 1980, la population d’un village était de 1 678 habitants. Elle a diminué de 243 habitants. Quelle est la population actuelle ?

Sens « appris »

• En 2008, la population d’un village est de 1 540 habitants. Elle a augmenté de 189 habitants depuis 1980. Quelle était la population en 1980 ?

Raisonnement

• Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 6 billes de moins que le matin. Déjà, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 10 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ?

Exemple pour la division


Sens « primitif »

• Sophie a reçu 150 photos. Elle en distribue le plus possible à ses 6 amies et garde le reste pour elle. Chacune de ses amies doit en avoir le même nombre. Combien chaque amie en aura-t-elle ? Combien Sophie en aura-t-elle ?

Sens « appris »

• Sophie a reçu 150 photos. Elle les colle dans un album. Elle peut mettre 6 photos par page. Combien utilisera-t-elle de pages complètes ? Combien y aura-t-il de photos sur la page incomplète ?

Raisonnement

• Lucie compte en reculant de 6 en 6 à partir de 150 : « 150, 144, 138… ». Combien va-t-elle dire de nombres ? Quel sera le dernier nombre prononcé ?



Conséquences pour

l’enseignement

Apprentissage de l’expertise pour les problèmes relevant du sens « naturel » : apprentissage assez rapide d’un sens « appris » : apprentissage plus « lourd »

et plus « long »

Pour les autres problèmes : travail sur le raisonnement

Pour les problèmes où l’expertise est visée : le raisonnement précède l’expertise (recours à des procédures personnelles) et peut rester nécessaire, même après apprentissage

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Roland Charnay - 2011

Un exemple relatif à la soustraction


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Apprendre à résoudre des problèmes de « recherche d’un complément » en utilisant la

soustraction CE2 (d’après Cap maths)

Le sens primitif, maîtrisé par les élèves, est celui relatif au calcul d’un reste

dans une situation où une quantité subit une diminution

Problématique : construire l’équivalence entre recherche d’un complément et calcul d’un reste



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Problème choisi

Combien de points cachés ?

MATERIEL DE L'ENSEIGNANT

une feuille de

points (nombre de points connu

des élèves)

une feuille cache



Les questions

Trouver combien de points sont cachés ?




Carte avec 20 points - 5 visibles

- 16 visibles Complément ou soustraction

Complément

Carte avec 34 points

- 4 visibles

- 20 visibles - 15 visibles

Complément ou soustraction Complément ou soustraction Complément


Question : Compléter de

11 à 34

Vérification de la réponse

:

soustraire 11 de 34





2 pour aller à 47 plutôt soustraction

36 pour aller à 40 plutôt complément

20 pour aller à 50 plutôt ?

52 – 4 plutôt soustraction

61 – 58 plutôt complément

60 – 35 plutôt ?



Exemples de problèmes autour du cercle en CM1…



Construire un cercle de diamètre donné

En exemple, des pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrées au préalable.

A la fin une validation expérimentale est possible.




1ère étape : tous les moyens sont possibles.

Problème : faire apparaître un diamètre

2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.


Utiliser ses connaissances

Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement… dans une position différente.

Le trésor se trouve à 4 cm de l'arbre et à 3 cm de la rivière



Exemples de problèmes autour de la proportionnalité en CM …



Proportionnalité et agrandissement Cap maths

Validation expérimentale




Validation par le débat

Proportionnalité et comparaison Cap maths


Se ramener au même nombre de pages

Se ramener au même nombre de pages illustrées

Utiliser le rapport entre nombre de pages illustrées et nombre de pages ("1 sur 3" ou "1 pour 3" dans le dernier cas)

A l'école primaire : se ramener à un référent commun

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Référent commun : on peut chercher pour des livres de 12 pages, de 48 pages, de 144 pages…

35

La situation et la question sont simples à comprendre.

La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre.

Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial.

La validation n’est pas le fait de l’enseignant c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution.





Recherche à la charge des élèves

Moments d’explicitation des solutions et d’argumentation entre élèves sur leur validité

Validation par les élèves (matérielle ou par arguments

convaincants)

Synthèse par l’enseignant : généralisation, éléments à

retenir, langage…

Traces écrites (références)

Entraînement sur la connaissance mise en place

Apprentissage par résolution de problèmes (4 schémas)


Elève Situation

Investigation

Connaissances anciennes : limites, insuffisances

Tentatives nouvelles

Rétroaction de la situation

Elève Elèves

Confrontation

Explicitation

Controverse, argumentation

Appropriation d’autres stratégies




Elève Enseignant

Mise en évidence, généralisation

Apport : stratégie, langage, mise en forme…

Réponses aux questions

Elève Situations

Exercices, entraînement

Evaluation

Adaptation des connaissances

Des connaissances

Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens)

Des connaissances cohérentes (reliées entre elles)

La capacité à les utiliser pour justifier

L'initiation à une pratique "mathématisante"


La culture mathématique, c’est …



L’exemple de la multiplication par 10, 100…


Multiplier par 100

Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite

24 x 100 = 2 400

Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite

2,345 x 100 = 234,5

2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)

4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et

apparition de 0 !) 42




Résultats et difficultés

2,3 x 10 (évaluation 6e 2001) 23 64 %

20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0"

230 5 % La virgule "absente" et "écrire un 0"

35,2 x 100 (évaluation 6e 2001) 3 520 47 %

3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 % La virgule "frontière"

352 15 % Que faire quand la virgule "disparaît" ? 43


Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ?

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :

2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes

Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10 :

20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes

Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…

Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)

Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)


44



milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

2

0

0

4

4

5

5

45


,

Conclusion…

Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande"

Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche)

C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux !


46



milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

3

2

0

3

7

0

4

7

0

4

5

5

47


,

Romain

Multiplier XXXVII par X (37 par 10)

CCCLXX (370)

Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur cent fois supérieure.

48


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