Cap CE1 - reseau-canope.fr · LE MATÉRIEL PHOTOCOPIABLE Cap Maths NOUVELLE ÉDITION Matériel...

Cap Maths

Directeur de collectionROLAND CHARNAYProfesseur de Mathmatiques

MARIE-PAULE DUSSUCProfesseur de Mathmatiques en ESPE

GEORGES COMBIERProfesseur de Mathmatiques

DANY MADIERProfesseur des coles

GUIDE

CONFORME AU SOCLE COMMUN ET AUX PROGRAMMES EN VIGUEUR

CE1cycle 2

DE LENSEIGNANT

II

Hatier, Paris, 2014 ISBN : 978-2-218-96436-7Sous rserve des exceptions lgales, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite, par quelque procd que ce soit, sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaon sanctionne par le Code de la Proprit Intellectuelle. Le CFC est le seul habilit dlivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous rserve en cas dutilisation aux fi ns de vente, de location, de publicit ou de promotion de laccord de lauteur ou des ayants droit.

Cette nouvelle dition de Cap Maths CE1 est le fruit dune rfl exion alimente par plusieurs enqutes ralises auprs des enseignants ainsi que par les commentaires spontans qui nous ont t adresss.

Ces lments nous ont conforts dans le choix fait, concernant les principaux apprentissages, daccorder une place essentielle la rfl exion des lves au travers de situations de recherche, et de rserver une large place aux exercices dentrainement et de consolidation. Ce choix se trouve en accord avec cette affi rmation du Socle commun de connaissances et de comptences : La matrise des principaux lments de mathmatiques sacquiert et sexerce essentiellement par la rsolution de problmes, notamment partir de situations proches de la ralit.

LES NOUVEAUTS DE LA NOUVELLE DITION

Un dcoupage de lanne en 10 units (au lieu de 15 auparavant)Ce dcoupage prsente deux avantages : il permet de mieux organiser les apprentissages en une suite de sances ralisables sur une mme unit ; il autorise une plus grande souplesse dans la gestion de ces apprentissages par lenseignant, en diminuant le nombre de bilans formatifs intermdiaires.

Une marge dinitiative plus grande pour les enseignantsLes sances proposes de faon dtaille dans le guide occupent environ les deux tiers du temps annuel consacr aux mathmatiques. Sur le temps restant, outre les valuations priodiques, lenseignant a donc la possibilit de reprendre certaines squences dapprentissage et de proposer ses lves des exercices de consolidation (remdiation, approfondissement) en puisant dans les ressources qui sont proposes sur diffrents supports : fi chier dentrainement, cahier Gomtrie-Longueurs, CD-Rom Cycle 2 ou 90 Activits mathmatiques au CE1.

Une place plus importante pour la gomtrie et la mesureLa progression propose accorde une place plus importante ces apprentissages importants. De plus, le cahier Gomtrie-Longueurs facilite les tracs proposs aux lves, souvent diffi ciles raliser dans un fi chier plus pais.

Des progressions repenses partir des suggestions qui ont t faites aux auteurs, les notions acqurir relatives la numration, au calcul mental, la gomtrie et aux mesures ont t ramnages en vue dune meilleure progressivit des apprentissages.

Un travail facilit pour les classes plusieurs cours ou pour les enseignements partagsLa plus grande souplesse dans lorganisation des apprentissages et laccroissement du travail individuel doivent favoriser lorganisation du travail dans une classe cours multiples. Dans une mme sance, rvision et nouvel apprentissage relvent du mme grand domaine (numrique ou gomtrie-mesure), ce qui facilite la rpartition des activits pour les classes dans lesquelles deux enseignants interviennent.

Un apprentissage la rsolution de problmesRsoudre des problmes suppose lutilisation de stratgies appropries la nature des problmes proposs (problmes tapes, problmes pour chercher) et des outils de formulation des solutions et des rponses. Dans cette nouvelle dition de Cap Maths , des activits spcifi ques sont proposes dans ce but.

La nouvelle ditionde Cap Maths CE1

III

LE GUIDE DE LENSEIGNANT

Cap Maths

cycle

2

CE1N O U V E L L E D I T I O N

Guide de lenseignant

+ CD-Rom des ressources

imprimables

Roland Charnay

Georges Combier

Marie-Paule Dussuc

Dany Madier

Tableau de programmation par unit Les 10 units de travail : description dtaille des situations dapprentissage et des activits de rvision exercices du Fichier et du Cahier Gomtrie-Longueurs comments avec visuels

Bilans de fi n dunit et de fi n de priode comments

LE CD-ROM DU GUIDEInclus dans le guide, il comprend le matriel qui peut tre modifi par lenseignant :

Fiches diffrenciation valuations de fi n de priode (toutes les 3 ou 4 units) Relevs de comptences du Socle

LE MATRIEL PHOTOCOPIABLE

Cap Maths

N O U V E L L E D I T I O N

Matriel photocopiable

Roland Charnay

Georges Combier

Marie-Paule Dussuc

Dany Madier

cycle

2

CE1

LE MATRIEL COLLECTIF Posters dcouper plastifi s en 4 couleurs afi n de gagner du temps dans la prparation du matriel collectif agrandi : fi le numrique, formes gomtriques, cible avec des nombres...

90 ACTIVITS MATHMATIQUES AU CE1 Activits et jeux regroups par domaines qui peuvent tre utiliss en complment du Guide afi n dentraner des connaissances travailles au cours de chaque unit.

LE SITE COMPAGNON Cap Maths Prsentation anime de la mthode Forum de discussion Vidos pour la formation

Pour lenseignant

Le Guide est le pivot de la mthode, cest un outil incontournable.

Lutilisation du matriel est indique dans le Guide.

Les supports de Cap Maths CE1

LE FICHIER DENTRAINEMENT

10 units de travail : calcul mental, exercices de rvision, exercices dapplication suite aux phases dapprentissage

10 Bilans ( la fi n de chaque unit) Exercices de consolidation 10 pages Problmes Matriel individuel encart : monnaie, compteur, horloges

LE DICO-MATHS

Rpertoire des mathmatiques


cycle

2

CE1

Roland Charnay

Georges Combier

Marie-Paule Dussuc

Dany Madier

LE CAHIER GOMTRIE-LONGUEURS

Cap Maths

Roland Charnay

Georges Combier

Marie-Paule Dussuc

Dany Madier

cycle

2

CE1

Cahier de gomtrie - longueurs


10 units de travail : exercices de rvision, exercices dapplication suite aux phases dapprentissage

Exercices de consolidation Matriel individuel encart : fi gures planes, units de longueur, rgles gradues, gabarits...

LE CD-ROM CYCLE 2

Activits interactives qui compltent et prolongent certaines situations de Cap Maths et offrent un nouveau support au calcul mental.

Pour llve

Lutilisation du Fichierest indique dans le Guide.

Ce fascicule indpendant est fourni avec le Fichier.Il sert progressivement de rfrence aux lves.

Le lien entre le CD-Rom(CP-CE1) et les activits est indiqu dans le Guide.

Lutilisation du Cahierest indique dans le Guide.Il est fourni avec le Fichier.

Fiches de travail pour les activits de la classe

Fiches bilan : ces fi ches accompagnent le bilan de fi n dunit pour les exercices de gomtrie et longueurs

Relevs de comptences pour chaque unit

valuations de fi n de priode

IV

La dmarche de Cap Maths CE1

Les 7 piliers de la dmarche dapprentissage propose.

CHERCHER b Acqurir un nouveau savoir a du sens si ce savoir se rvle tre un outil qui permet de rpondre des questions, de rsoudre de nouveaux problmes.

Ce moment du travail de llve lui permet donc de sapproprier ces questions et problmes, et de sengager dans une premire laboration du savoir sous-jacent.

EXPLOITER b La confrontation avec les autres lves permet une premire mutualisation des rponses et dmarches (ou procdures). Elle donne galement lieu des changes darguments propos de la validit de ces rponses et des erreurs identifi es.

METTRE b Les apports de lenseignant sont indispensables pour complter, mettre en forme AU POINT et en mots, et offi cialiser ce qui est retenir.

UNE NOUVELLE Le recours des crits de rfrence tablis par la classe avec lenseignant ou fournis

CONNAISSANCE aux lves (Dico-maths de Cap Maths) contribue cette reconnaissance du savoir matriser.

SENTRAINER b La stabilisation et le fait de rendre oprationnelles des connaissances sappuient sur la mmorisation de certains rsultats et la routinisation de certaines procdures. Desmoments dentrainement sont donc indispensables. Les exercices ou problmes traits peuvent tre corrigs individuellement si quelques lves seulement nont pas russi, oucollectivement en cas de diffi cults plus nombreuses dans la classe.

VALUER b Lvaluation est ncessaire pour piloter les apprentissages des lves. En ce sens, elleadabord un rle formatif et peut prendre des formes diverses :

au quotidien, en cours dapprentissage, les travaux des lves sont une source essentielle dobservation et danalyse pour lenseignant, sans quil soit besoin dexercices spcifi ques ;

rgulirement, au terme dun apprentissage, les diffi cults doivent tre identifi es pourmettre en place des rponses pdagogiques adaptes : remdiation, consolidation ;

au terme dune priode, un point doit tre fait pour savoir comment les lves ontcapitalis leurs acquis et sont capables de les mobiliser dans des situations diverses, decomplexit diffrente.

CONSOLIDER, b Lapprentissage est rarement linaire et sans embches. Suite aux observations faitesREMDIER et analyses par lenseignant, des moments personnaliss sont ncessaires, visant remdier

une diffi cult, consolider un acquis fragile ou encore enrichir une comprhension tropfaible.

RVISER b Un nouvel lment de savoir est rarement immdiatement acquis. Des moments de reprise sont ncessaires. Cela peut tre fait loccasion dun nouvel apprentissage qui mobilise cet lment de savoir ou lors dactivits de rvision qui se situent au-del delapriode dapprentissage.

V

Les 7 piliers Dans le guide Les outils

CHERCHERseul ou en petite quipe

Explorer une situation.

laborer des lments de rponses.

Les enjeux.Les scnarios dactivits.Leur mise en uvre dtaille.Les commentaires.

Matriel encart dans le fi chier et le cahier

Matriel photocopiable

Matriel collectif

EXPLOITERen collectif

changer sur les solutions.Organiser les solutions.Dbattre, argumenter sur leur validit.

Les procdures possibles inventories.Les erreurs possibles recenses.Leur exploitation dcrite.

Affi chage ou projectionpour prsenter des travaux dlves

METTRE AU POINT UNE NOUVELLE CONNAISSANCE

en collectif

Synthse organise de ce qui est retenir.Apports de lenseignant.

Les lments de la synthse.Les renvois au dico-maths.Les traces crites et les affi chages prvoir.

Dico-maths : rfrence des savoirs matriser

Matriel collectif (pour montrer des lments de savoir)

SENTRAINERen individuel

Stabiliser des connaissances et des procdures.

Mmoriser.

Les objectifs de chaque exercice ou problme.Des pistes dexploitation.Toutes les rponses.

Fichier dentrainement

Cahier Gomtrie-Longueurs

CD-Rom cycle 2

VALUERen individuel

Bilans formatifs en fi n dunit.

valuation en fi n de priode pour certifi er les acquis.

Les objectifs de chaque exercice ou problme.Toutes les rponses.Des pistes de remdiation.

Fichier dentrainement pour les bilans formatifs Fiches photocopiables pour les bilans en gomtrie-longueurs CD-Rom du guide pour les valuations priodiques

CONSOLIDER, REMDIERen individuel ou en quipes

Revenir sur des points faibles, des diffi cults de faon diffrencie.

Les points essentiels retravailler.Des propositions dactivits.Toutes les rponses.

Fichier dentrainement Cahier Gomtrie-LongueursCD-Rom du guide (diffrenciation)90 Activits mathmatiquesCD-Rom cycle 2

RVISERen individuel ou en quipes

Ractiver, entretenir des connaissances au-del de la phase dapprentissage.

Les objectifs.Des pistes dexploitation.Toutes les rponses.

Fichier dentrainement Cahier Gomtrie-LongueursCD-Rom du guide (diffrenciation)90 Activits mathmatiquesCD-Rom cycle 2

VI

RPARTITION DES APPRENTISSAGES SUR 10 UNITS

Le schma propos par Cap Maths prend en compte les horaires offi ciels. Dautres organisations sont bien entendu possibles.

Lanne scolaire est organise sur 36 semaines. Les apprentissages dans Cap Maths sont prvus sur 10 units (3 semaines chacune), soit 30 semaines, ce qui laisse donc une marge de temps disponible (de 5 6 semaines) pour dautres activits (pages Problmes, Activits complmentaires).

Anne scolairehoraire offi ciel

Organisation propose par Cap Maths pour lanne

180 h pour les mathmatiques

10 units de 15 h chacune, soit 150 h. valuations priodiques, pages problmes, complments : 30 h.

Unit de travail de 3 semaines

Organisation propose par Cap Maths pour chaque unit (3 semaines)

15 h pour les mathmatiques

9 sances pour le calcul mental, les rvisions et les nouveaux apprentissages denviron 1 h 15 chacune.

1 sance de bilan denviron 1 h. 3 (ou 4) sances pour les consolidations, la remdiation et les pages problmes du Fichier denviron 1 h (ou 45 min) chacune.

Les sances Organisation propose par Cap Maths pour une sance

Calcul mental oral et rvision 30 minutes (9 sances par unit) Ces 2 blocs (calcul mental/rvision et nouvel apprentissage) sont prvus comme deux moments dune mme journe.Nouveaux apprentissages 45 minutes (9 sances par unit)

Bilan 45 minutes (1 sance en fi n dunit)

Consolidation, remdiation, pages problmes 1 h (3 sances par unit) ou 45 minutes (4 sances par unit)

DANS UNE CLASSE COURS MULTIPLES

Au CE1, les activits mathmatiques ncessitent souvent une prsence importante de lenseignant, notamment dans les moments de travail sur de nouveaux apprentissages. Trois choix ont t faits pour faciliter lutilisation de Cap Maths dans une classe cours multiples.

La rgularit de lorganisation des sances consacres de nouveaux apprentissages permet de prvoir deux temps distincts dans la journe (de 30 minutes et de 45 minutes), ces deux temps ntant pas ncessairement conscutifs (voir ci-dessus).

Le temps de travail sur le Fichier dentrainement ou sur le Cahier Gomtrie-Longueurs est renforc avec des activits de consolidation et remdiation. Il doit progressivement devenir de plus en plus un temps de travail autonome pour llve. De plus, certaines activits du CD-Rom cycle 2 (activits dapprentissage, calcul mental) peuvent se substituer des activits dcrites dans le Guide et permettre ainsi davantage de travail en autonomie des lves.

Certains moments dentrainement, de rvision ou de recherche individuelle ou en quipes permettent lenseignant de se rendre disponible pour travailler avec dautres niveaux.

Lorganisation du travail avec Cap Maths

VII

DIFFRENCIATION ET AIDE AUX LVES

Tous les lves ne progressent pas au mme rythme et nempruntent pas les mmes chemins de comprhension. Cap Maths propose plusieurs moyens pour prendre en compte ce phnomne.

Diffrenciation par les modes de rsolution

Dans la plupart des situations-problmes proposes aux lves, plusieurs modes de rsolution corrects sont possibles. Il est important de faire comprendre et accepter par les lves quun problme peut tre rsolu en laborant une solution personnelle et non en essayant de deviner celle qui est suppose tre attendue par lenseignant.

La possibilit donne llve de traiter une question, en utilisant les ressources qui correspondent le mieux sa comprhension de la situation et aux connaissances quil est capable de mobiliser, constitue le moyen privilgi de la diffrenciation. Il permet llve de sengager dans un travail sans la crainte de ne pas utiliser le seul mode de rsolution attendu par lenseignant.

Il convient toutefois davoir le souci damener les lves faire voluer leurs modes de rsolution vers des modes plus labors. Cap Maths fournit des indications sur les moyens datteindre cet objectif.

Diffrenciation et aide par lamnagement des situations

Le plus souvent, dans la phase de mise en place des notions, les situations proposes le sont dans des conditions identiques pour tous les lves. lissue de ce travail, il peut tre ncessaire de reprendre, avec toute la classe ou avec quelques lves, certaines activits, en adaptant des donnes ou en autorisant ou non le recours tel ou tel matriel (fi le numrique, calculatrice).

Les Fiches diffrenciation reprennent des exercices du Fichier ou du Cahier Gomtrie-Longueurs, avec la possibilit pour lenseignant de choisir certaines donnes. Ces fi ches, disponibles sur le CD-Rom fourni avec le Guide, permettent ainsi une adaptation des exercices dans la perspective dune aide approprie aux besoins et aux possibilits de chacun.

Diffrenciation et aide par le choix des tches proposes

dautres moments, il est ncessaire dapporter une aide particulire un lve ou un groupe dlves pour remdier des diffi cults ou pour consolider une connaissance particulirement importante pour la suite des apprentissages.

Des pistes de travail sont fournies dans le Guide de lenseignant la fi n de chaque unit :

lenseignant peut proposer des exercices et problmes de remdiation et consolidation dans le Fichier ou le Cahier Gomtrie-Longueurs ( Je consolide mes connaissances );

dans une double perspective daide et dapprofondissement, il est galement possible de faire appel aux activits de louvrage 90 Activits mathmatiques au CE1 ou encore des problmes choisis dans les pages Problmes du Fichier;

les activits du CD-Rom Cap Maths cycle 2 peuvent galement tre utilises ces fi ns.

TRACES CRITES ET DICO-MATHS

Lidentifi cation des lments de connaissance importants et leur mmorisation sont parfois diffi ciles pour de jeunes lves. La mthode Cap Maths insiste sur les phases dlaboration (rsolution de problmes), de mise en vidence par lenseignant (synthse) et dexercices (entrainement, consolidation et rvision).

Il est galement ncessaire que les lves puissent se rfrer des crits provisoires ou permanents, qui permettent dorganiser les connaissances sur des supports crits qui leur sont accessibles, ce que les enseignants appellent souvent les traces crites. Celles-ci peuvent prendre plusieurs formes.

VIII

Le Fichier dentrainement et le Cahier Gomtrie-Longueurs ne comportent pas dlments de cours. La mise en place des apprentissages se fait essentiellement partir dactivits proposes dans le guide de lenseignant en faisant ventuellement appel des fi ches matriel. Cela nenlve rien la ncessit de garder des traces de ce qui a t appris.

Des crits provisoires peuvent, au CE1, rester inscrits au tableau ou sur une affi che quelques jours pour que les lves puissent sy rfrer lors des sances qui suivent une phase consacre un nouvel apprentissage. titre dexemple, nous proposons que, suite lintroduction du symbolisme de la multiplication (signe ) en unit 3, des rsultats soient recenss dans un rpertoire au fur et mesure de leur production. Plus tard, les rsultats seront organiss en tables en unit 6 (tables de 2 5 au CE1). Ces crits provisoires peuvent tre formuls avec les mots des lves dans la mesure o ceux-ci ne contreviennent pas au sens mathmatique.

Dautres crits sont destins tre conservs de faon plus durable pour tre consults par les lves. Ils peuvent alors donner lieu des affi chages facilement accessibles. Il peut sagir, par exemple, daider retrouver le nom dune fi gure, la rfrence dune unit de longueur (cm ou m) Ces affi chages ne doivent cependant pas tre trop nombreux pour viter que les lves ne sy perdent. Ils peuvent tre complts par des traces crites individuelles consignes dans un cahier.

Le Dico-maths vient en complment de ces diverses traces crites. Il doit habituer llve se reporter une source de renseignements sre chaque fois quil a oubli le sens dun mot ou quil veut retrouver une mthode, un procd appris mais oubli (souvent partiellement). Au dpart, et notamment avec de jeunes lves, il est dabord utilis avec laide de lenseignant et sous son impulsion. Puis, progressivement, les lves sont invits y avoir recours de manire plus autonome. videmment, lenseignant reste libre den autoriser ou pas lusage en fonction de lactivit propose ses lves.

VALUATION

propos dvaluation, on pense souvent uniquement des exercices spcifi ques, codifi s et donnant lieu un inventaire de comptences ou une apprciation. En ralit, lvaluation peut revtir diverses formes.

Lvaluation intgre aux activits quotidiennes

Au quotidien, en observant et en analysant les productions crites ou orales de ses lves, lenseignant peut obtenir des informations utiles au pilotage de son enseignement. Cette valuation intgre aux activits quotidiennes ne sappuie pas sur des exercices spcifi ques, mais suffi t souvent apporter les ajustements ncessaires pour la classe ou pour une partie des lves. La description des procdures envisageables ou des erreurs possibles fournie dans le Guide de lenseignant constitue pour cela une aide prcieuse.

Les bilans de fi n dunit

Tout au long des apprentissages, il est ncessaire de savoir comment les connaissances travailles rcemment ont t comprises afi n de pouvoir ragir, si ncessaire, au plus vite. la fi n de chaque unit, un bilan des nouveaux apprentissages est propos:

12 d

UNIT 1

Je prpare le bilan Je lis et je me souviens...

Il y a 21 perles. On les partage ?

Moi, pour trouver,

je fais un dessin.

Je vais essayer10 10 10 30

Trop grand

Trois paquets de dix et deux : trente-deux.

Dix, vingt, trente, trente-deux.

32

Dans xan-t , quel est le chiffre des dizaines ? 6 ou 7

Ont-ils raison?

Le carr est droite et en bas.

Le disque est en haut et gauche.

1

2

3

4

5

GUIDE ! BILAN PRPARATION BILANCalcul mental Exercice 1

Problmes de partage quitable 1 Exercice 2

Dizaines et units 2 Exercices 3 4

Nombres crits en lettres et en chiffres 3 Exercices 5 6

PRPARATION BILAN

Reprage dans lespace de la feuille 4 Exercice 7

Figures planes 5 Exercice 8 Dans un premier temps, il est prpar avec lenseignant, laide des supports de la page du fi chier Je prpare le bilan , les lves tant invits commenter chaque planche, voquer lactivit correspondante et exprimer ce quil pense avoir retenu du travail ralis. Cest aussi loccasion pour lenseignant de reformuler lessentiel de ce quil fallait retenir.

IX

t 13

D a : la suite de ce bilan, les lves peuvent consolider leurs connaissances avec les exercices page 14.

Je fais le bilan

Lisa partage 18 balles entre ces 3 chats.Chacun doit avoir le mme nombre de balles.

Combien de balles chacun aura-t-il ?

Chaque chat aura balles.

Combien y a-t-il d'escargots ?

Il y a escargots.

Lisa a besoin de 36 perles. Entoure ce quelle doit prendre.10 perles 10 perles 10 perles 10 perles 10 perles

cris en chiffres.

soixante-huit :

quatre-vingt-douze :

cris en lettres.

70 : 83 :

1 1

3a b c d e f g h

2 4

3 5

4

CAHIERP. 7-8

5

5 6

66

et 8 Travail sur fiche Bilan n 1. 7

Je fa

is le

bila

n

Hatier 2014 - Reproduction autorise pour une classe seulement.

Nom de llve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour chaque message, barre ce qui est faux et corrige.

c pag, e en ha, gac.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c pag, a e d, en ha.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c pag, x e en ba gac.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Barre les phrases fausses. Entoure les phrases justes.

a est un polygone. b est un polygone.a a 6 cts. b est un triangle.a a 5 sommets.

7

8

Fichier p.13

CapMaths CE11

Je fais le bilan - UNIT 1

ba

1

3

4

6

la suite de ce bilan, les lves peuvent consolider leurs connaissances avec les exercices du cahier de gomtrie pages 7 et 8.

Dans un deuxime temps, les lves traitent les exercices de la page Je fais le bilan. partir de leurs rponses, lenseignant peut complter un relev de comptences pour chaque lve, en utilisant les fi ches du matriel photocopiable. partir de l, il peut envisager les consolidations mettre en place (voir ci-dessous).

Les valuations de fi n de priode

Il est galement important, toutes les 3 ou 4 units, de faire un bilan exhaustif des acquis des lves, centr sur les apprentissages essentiels inscrits dans le programme, et des diffi cults persistantes. Cest ce qui est propos dans le CD-Rom fourni avec le Guide avec 3 valuations de fi n de priode. partir de ces valuations, lenseignant peut renseigner les documents demands par linstitution et communiquer avec les parents sur la progression de leur enfant.

CONSOLIDATION DES APPRENTISSAGES

Les diverses formes dvaluation permettent lenseignant de prvoir et dorganiser les consolidations utiles aux lves (remdiation, approfondissement).

Pour cela, plusieurs outils sont sa disposition : reprise dactivits utilises pour la mise en place des apprentissages ; exercices de consolidation fournis dans le Fichier ou dans le Cahier Gomtrie-Longueurs ; fi ches diffrenciation reprenant des exercices du Fichier ou du Cahier Gomtrie-Longueurs ; activits fournies dans louvrage 90 Activits mathmatiques au CE1 ; activits du CD-Rom cycle 2.

90 Activits mathmatiques au CE1

Dans la collection Cap Maths, cet ouvrage propose de nombreuses activits (souvent sous forme de jeux) qui peuvent tre utilises en complment de celles dcrites dans le guide de lenseignant. Regroupes par domaines, elles sont destines entrainer ou approfondir des connaissances travailles au cours de chaque unit. Elles peuvent tre utilises dans le cadre dune action diffrencie en vue de consolider des apprentissages (par exemple dans une optique de remdiation). Elles peuvent tre aussi conduites en ateliers, dans un coin mathmatiques ou collectivement.Ces activits complmentaires sont indiques dans le guide de lenseignant, aprs chaque bilan dunit, dans la rubrique Ressources pour consolidation et remdiation .

Le CD-Rom Cycle 2

Le CD-Rom Cap Maths pour le cycle 2 (CP et CE1) reprend certaines situations en favorisant le travail autonome de llve et en exploitant linteractivit permise par lordinateur.Les activits proposes peuvent tre utilises plusieurs fi ns : se substituer des moments dapprentissage proposs dans Cap Maths, notamment pour les classes cours multiples ou pour les classes htrognes ; offrir des modalits de soutien pour des lves en diffi cult ; favoriser lentrainement individualis des lves ; permettre certains lves dapprofondir leurs apprentissages.

Principaux apprentissages pour les 10 units

X

Progression en calcul mental : se rfrer au fi chier p. 4.Activits de rvision et de consolidation : se rfrer au fi chier p. 2-3 et au cahier Gomtrie-Longueurs p. 3.

Problmes Organisation de donnes

Nombres et numration Calcul

Espace et gomtrie

Grandeurs et mesure

Unit

1

Problme pour chercher (partage)

Banque de problmes La monnaie en euros

Nombres jusqu 99 Dizaines et units (valeur

positionnelle des chiffres) Lecture et criture

Addition soustraction

Rpertoire additif

Reprage dans lespace

Reprage dans lespace de la feuille

Figures planes Polygones

Longueur Mesure par report

de lunit

Unit

2

Banque de problmes La classe de Lisa

Nombres jusqu 99 Comparaison et rangement Ligne gradue


Calcul sur les dizaines

Multiplicationdivision

Doubles et moitis

Reprage dans un quadrillage

Codage de cases et de nuds

Longueur Le centimtre

Unit

3

Utiliser un tableau double entre

Banque de problmes On partage

Nombres jusqu 99 Dizaines et units (valeur

positionnelle des chiffres)


Calcul pos pour laddition (nombres infrieurs 100)

Multiplication division

Multiplication et addition itre

Proprits gomtriques

Points aligns

Figures planes Reproduction

avec la rgle

Temps Dates et dures

Unit

4

Relations entre donnes et questions

Banque de problmes Le marchand de ballons

Nombres jusqu 999 Le nombre 100 Centaines, dizaines

et units (valeur positionnelle des chiffres)

Lecture et criture


Passage par la dizaine suprieure


Multiplication et addition itre

Figures planes Carr, rectangle

(longueur des cts) Reproduction de

polygones sur quadrillage

Unit

5

Banque de problmes Les autocars

Nombres jusqu 999 Le nombre 100 Suites de nombres


Calcul pos pour laddition (nombres infrieurs 1 000)

Calcul sur les centaines et les dizaines


Calcul rfl chi de produits

Reprage danslespace

Points de vue

Proprits gomtriques

Angle droit


(angles et cts)

XI

Principaux apprentissages pour les 10 units

Problmes Organisation de donnes

Nombres et numration Calcul

Espace et gomtrie

Grandeurs et mesure

Unit

6

Chercher toutes les possibilits

Banque de problmes Reproduction la rgle

Nombres jusqu 999 Comparaison, rangement


Rpertoire multiplicatif (tables de 2 5)

Multiplication par 10 et par 100

Figures planes Reproduction

de polygones sur quadrillage

Temps Lecture de lheure en

heures et demi-heure

Unit

7

Chercher la valeur dun complment

Problmes tapes Banque de problmes

La promenade en bateau

Nombres jusqu 999 Dcompositions avec 10

et 100


Soustraction dun petit ou dun grand nombre


Calcul rfl chi de produits

Proprits gomtriques

Angle droit (trac) Axe de symtrie


(construction)

Unit

8

Problmes de groupements rguliers par 2 et par 5 (nombre de groupements)

Banque de problmes la patisserie


Calcul pos pour la soustraction


Multiplication du type 40 7, 300 3

Longueur Le mtre

Temps Horaires et dures

en heures et minutes

Unit

9

Problmes de partage quitable en 2 et en 5 (valeur de chaque part)

Banque de problmes Autour du carr


Calcul pos pour laddition de plus de 2nombres


Calcul pos pour la multiplication (multiplicateur < 10)

Division (approche de la division par 2 et par 5)

Solides Polydres, cubes, pavs

Contenance Comparaison

Unit

10

Problmes de groupements rguliers par 2 et par 5 (nombre de groupements)

Banque de problmes Au jardin

Nombres jusqu 999 Ligne gradue

Longueur Le kilomtre

Masse Comparaison Kilogramme et gramme

XII

Dans les textes offi ciels en vigueur la rentre 2014 :

Programme pour le cycle 2Les lves apprennent la numration dcimale infrieure 1 000. Ils dnombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent.

Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est capable de : crire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels infrieurs 1 000 ; Rsoudre des problmes de dnombrement.

Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages (CE1)

Connaitre (savoir crire et nommer les nombres entiers naturels infrieurs 1 000) ; Reprer et placer ces nombres sur une droite gradue, les comparer, les ranger, les encadrer ; crire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.

CONNAISSANCES ET COMPTENCES FONDAMENTALES

Les principales connaissances et comptences relatives la dsignation des nombres (criture des nombres en chiffres, et en lettres, lecture) sont mises en place au CE1. Elles peuvent tre rsumes par le schma suivant.

criture en chiffres

criture en lettresLecture

Reprsentation figure

Lexpression des nombres en lettres ou oralement comprend :

des irrgularits pour les nombres < 100 des rgularits pour les nombres

de 100 999

Relations imparfaites entre ces 2 modes dvocation

Groupements et changes Valeur des chiffres en fonction de leur rang Dcompositions en centaines, dizaines et units Dcompositions avec 1, 10 et 100

La capacit de llve circuler entre les ples de ce schma permet de caractriser un premier niveau de maitrise des systmes de dsignation des nombres infrieurs 1 000.

Exemple avec le nombre 275

2 centaines + 7 dizaines + 5 units 200 + 70 + 5 (2 100) + (7 10) + 5

275

deux-cent-soixante-quinze1

Dans soixante-quinze, on ne retrouvepas directement le 7 et le 5

Dans deux-cent-...,on retrouve les 2 centaines

deux cent est visible directement soixante et quinze doivent tre reconstitus

Nombres et Numration dcimale

1. Les nombres sont crits en tenant compte de lorthographe recommande par lAcadmie franaise en 1990.

XIII

La maitrise des dsignations des nombres en chiffres joue un rle essentiel dans la comprhension de nombreux apprentissages numriques.

Suites de nombres de 1 en 1, de 10 en 10

Le passage de 139 140 sexplique par le fait que 10 units = 1 dizaine. Multiplication par 10 ou 100

13 10 peut tre vu comme 13 dizaines donc comme 10 dizaines et 3 dizaines, soit 1 centaine et 3 dizaines (donc 130).

Comparaison des nombresLa comparaison des nombres revient la comparaison des chiffres de mme rang.

MesureLes conversions relatives aux longueurs, aux masses et aux contenances sappuient sur les mmes quivalences que celles qui concernent les centaines, dizaines et units.

Calcul mentalDe nombreuses procdures sappuient sur la dcomposition des nombres lie leur criture chiffre.

Comprhension des critures en chiffres

Calcul posLa comprhension des tapes de calcul et des retenues est lie celle des dcompositions en centaines, dizaines et units et des quivalences entre dizaines et units et centaines et dizaines.

RPONSES QUELQUES QUESTIONS

Faut-il utiliser un matriel de numration ?

Il est fondamental que les lves donnent du sens aux mots centaines, dizaines et units et comprennent que 1 centaine = 10 dizaines et 1 dizaine = 10 units. Le recours un matriel de numration est pour cela indispensable ce niveau de la scolarit (cf. schma p. XII), chaque fois que ces relations doivent tre illustres ou chaque fois quun lve semble avoir oubli la signifi cation de ces mots ou quil a des diffi cults donner chaque chiffre sa valeur dans lcriture chiffre dun nombre.b Cap Maths fournit un tel matriel. Dautres matriels peuvent tre utiliss en complment.

Faut-il utiliser le tableau de numration ?

Le tableau de numration (voir dico-maths n 4) est une aide pour la reconnaissance de la valeur des chiffres dans lcriture chiffre dun nombre. Mais son usage ne doit pas tre systmatis. Au contraire, il faut inciter les lves reprer la valeur dun chiffre directement en analysant lcriture chiffre dun nombre. Le tableau nest utilis quen cas de diffi cult et de faon provisoire.

Peut-on expliquer lalgorithme qui engendre la suite des nombres ?

Les suites des nombres de 1 en 1 ou de 10 en 10 obissent des algorithmes qui peuvent tre illustrs par le fonctionnement dun compteur. Mais lillustration nest pas une explication. Pour comprendre le fonctionnement de ces algorithmes, il faut dabord avoir compris quavancer de 1 en 1 (ou de 10 en 10) revient ajouter 1 (ou 10) au nombre prcdent. A partir de l, lexplication est simple, comme le montre lexemple suivant (avec une suite de 1 en 1) :

128 1 centaine + 2 dizaines + 8 units + 1 unit

129 1 centaine + 2 dizaines + 9 units + 1 unit 1 centaine + 2 dizaines + 10 units change de 10 units contre 1 dizaine

130 1 centaine + 3 dizaines

Une activit est consacre cet aspect de la numration dcimale en units 3 et 5.

XIV

Quelles diffi cults les lves peuvent-ils rencontrer dans lapprentissage du reprage sur une droite gradue ?

Au CP, les lves ont appris se reprer sur la fi le numrique et y rsoudre des problmes lis des dplacements en avant ou en arrire. Le reprage sur une ligne gradue de 1 en 1 nest pas trs loign de celui tudi au CP, surtout si la fi le numrique choisie au CP est celle propose par Cap Maths (nombres inscrits dans des cercles quune ligne relie entre eux). La diffi cult saccroit lorsque le saut de la graduation nest plus gal 1, mais prend dautres valeurs comme 10, 50 ou 100 ou si tous les repres ne sont pas tracs. Un apprentissage spcifi que est alors ncessaire (voir units 2 et 10).

Pourquoi mettre en place une procdure particulire de comparaison des nombres ?

La procdure souvent enseigne distingue deux cas, selon que les nombres comparer sont crits ou pas avec le mme nombre de chiffres, et elle constitue souvent un obstacle pour lapprentissage de la comparaison de nombres dcimaux.

La procdure que nous proposons est beaucoup plus simple (voir units 2 et 6). Elle est valable quelle que soit la taille des nombres et stend facilement aux nombres dcimaux. Enfi n, elle peut tre explique et comprise facilement partir des connaissances des lves relatives la numration dcimale.

234 > 78 parce que 234 comporte des centaines et que 78 nen comporte pas (et que 78 est plus petit que 1 centaine).

234 > 219 parce que les 2 nombres comportent le mme nombre de centaines et que 234 comporte plus de dizaines que 219 (et que 9 est plus petit que 1 dizaine).

Dans tous les cas, il sagit de parcourir les critures chiffres des 2 nombres partir de la gauche et de conclure ds quapparaissent deux chiffres diffrents (78 pouvant tre considr comme 078).

TAPES DE LAPPRENTISSAGE DES NOMBRES ET DE LA NUMRATION PROPOSES PAR CAP MATHS

Units 1 9 Nombres infrieurs 100 (rvision)Unit 1 Valeur des chiffres en fonction de leur rang (dizaines et units).

Lecture des nombres et criture en lettres.

Unit 2 Comparaison et rangement des nombres.Ligne gradue.

Unit 3 quivalence entre dizaines et units.changes.

Units 4 7 Nombres infrieurs 1 000Unit 4 Valeur des chiffres en fonction de leur rang (centaines, dizaines et units).

Lecture des nombres et criture en lettres.

Unit 5 quivalence entre centaines, dizaines et units.changes. Suites de nombres.

Unit 6 Comparaison et rangement des nombres.

Unit 7 Ligne gradue.

Unit 10 Nombres infrieurs 1 000 et au-dessus de 1 000Ligne gradue.Dcouverte des nombres plus grands que 1 000.

XV


Programme pour le cycle 2Les lves mmorisent et utilisent les tables daddition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opratoires de laddition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent rsoudre des problmes faisant intervenir ces oprations. Les problmes de groupements et de partage permettent une premire approche de la division pour des nombres infrieurs 100.

Lentrainement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs proprits.

Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est capable de : Calculer : addition, soustraction, multiplication ; Diviser par 2 et par 5 dans le cas o le quotient exact est entier ; Restituer et utiliser les tables daddition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; Rsoudre des problmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication ; Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages (CE1) Connaitre les doubles et moitis de nombres dusage courant ; Mmoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; Connaitre et utiliser des procdures de calcul mental pour calculer des sommes, des diffrences et des produits ; Calculer en ligne des suites doprations ; Connaitre et utiliser les techniques opratoires de laddition et de la soustraction (sur les nombres infrieurs 1 000) ; Connaitre une technique opratoire de la multiplication et lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre un chiffre ; Diviser par 2 ou 5 des nombres infrieurs 100 (quotient exact entier) ; Rsoudre des problmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication ; Approcher la division de deux nombres entiers partir dun problme de partage ou de groupements ; Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

Les principales connaissances et comptences relatives au calcul travailles au CE1 sorganisent autour de deux grands ples :

I. LE CALCUL MENTAL

Parmi les diffrentes modalits de calculs (calcul mental, calcul pos, calcul instrument), le calcul mental occupe une position centrale.

II. LE SENS DES OPRATIONS

lcole primaire, lintrt du calcul rside principalement dans les capacits des lves mobiliser les oprations connues pour rsoudre des problmes, ce quon dsigne traditionnellement par sens des oprations .

Calcul

XVI

I. CALCUL MENTAL


Le calcul mental est point par plusieurs tudes comme jouant un rle dcisif dans la russite des lves en mathmatiques. Le schma suivant, qui articule les diffrentes formes du calcul mental et ses effets sur dautres apprentissages, permet den comprendre les raisons.

Calcul mental

MMORISATIONRsultats mmoriss

Exemple : rpertoire additif.Procdures mmorises

Exemple : multiplication par 10 ou par 100.

RFLEXIONRsultats construits

Exemple : 17 + 9.Form

es d

u ca

lcul

men

tal

Calcul posCe calcul suppose des rsultats mmoriss.

Nouveaux apprentissagesExemple : approche de la multiplication qui suppose laddition itre de petits nombres.

Rsolution de problmesExemple : se ramener des nombres plus petits pour dterminer une procdure de rsolution.Im

pact

du

calc

ul m

enta

l


Comment aider les lves mmoriser des rsultats ou des procdures ?

La mmorisation est le rsultat dun processus dont quelques caractristiques peuvent tre prcises ainsi :

Certains rsultats sont mmoriss plus rapidement que dautres. Pour laddition, on peut citer en exemple les ajouts de 1 ou 2, les doubles Pour la multiplication, les rsultats des tables de 2 ou de 5 sont plus facilement mmoriss que ceux des autres tables.

Avant dtre mmoris, un rsultat est souvent dabord reconstruit. Ainsi, avant dtre associ immdiatement 13, 7 + 6 est-il retrouv en appui sur 6 + 6 ou partir de lajout successif 7 de 3 et de 3 (passage par 10) ou encore pens comme lajout de 5 + 2 et de 5 + 1. La progression doit donc tre soigneusement pense.

Le fait prcdent incite mettre en place les points dappui qui permettent llve de disposer de rsultats indispensables, en particulier pour laddition : les doubles des nombres infrieurs 10 (souvent disponibles lentre au CE1), les complments 10 et le fait que laddition est commutative (si 9 + 3 est connu, 3 + 9 lest aussi, ce que beaucoup dlves ignorent ou nexploitent pas).

Lentrainement enfi n joue un rle essentiel et doit faire lobjet dun travail quotidien.

Certains lves semblent ne pas avoir mmoris certains rsultats additifs tout en tant capables de les donner rapidement. Que faut-il en penser ?

Les chercheurs ont mis en vidence que le rpertoire additif (ce quon appelle aussi les tables daddition) tait entirement mmoris par certaines personnes qui associent alors de faon rfl exe 13 7 + 6 alors que dautres nen ont mmoris quune partie et recomposent trs rapidement les autres rsultats partir de ceux qui sont mmoriss. Cette seconde faon de procder nest pas un handicap dans la mesure o les rsultats sont reconstruits de faon quasi instantane. Cela montre limportance quil y a ne pas limiter cet apprentissage au seul entrainement et prvoir des moments o sont explicits les moyens de reconstruire des rsultats en prenant appui sur des rsultats connus.

Il faut noter que, pour la multiplication, il convient de viser une mmorisation complte du rpertoire dans la mesure o il est beaucoup plus diffi cile de reconstruire trs rapidement les rsultats non mmoriss.

XVII

La mmorisation des rsultats soustractifs dcoule-t-elle de celle des rsultats additifs ?

Pour beaucoup dlves, il est diffi cile de passer de la connaissance de 7 + 6 = 13 celle de 13 7 = 6 ou la rponse la question Combien pour aller de 7 13 ? ou encore la production de la dcomposition de 13 sous la forme 7 + 6. Or, une matrise complte du rpertoire additif suppose la capacit donner trs rapidement les sommes, les diffrences, les complments et les dcompositions qui relvent de ce rpertoire. Un travail soutenu doit donc tre fait dans ce sens, ncessaire pour pouvoir envisager par exemple une mise en place du calcul pos pour la soustraction.

Pourquoi ne pas prsenter le rpertoire additif sous forme de table de Pythagore ?

Cette prsentation sous forme de tableau double entre est en effet synthtique et conomique, mais elle est source de diffi cults de lecture pour beaucoup dlves au CE1. Cest la raison pour laquelle, comme au CP, nous avons prfr une autre prsentation plus facile daccs et mettant en vidence la fois les sommes et les dcompositions. En voici un extrait :

4 5 6

1 + 32 + 23 + 1

1 + 42 + 33 + 24 + 1

1 + 52 + 43 + 34 + 25 + 1

Faut-il enseigner des procdures de calcul rfl chi ?

Pour chaque calcul ou type de calcul, il existe plusieurs procdures possibles. Prenons trois exemples :

Exemple 1 : ajout de 9 un nombre infrieur 100

On peut tre tent denseigner aux lves quil faut alors ajouter 10 puis soustraire 1. Cette procdure est effi cace pour calculer 36 + 9. Elle lest moins pour calculer 30 + 9 (la rponse devrait tre immdiate et dcouler du travail sur la numration dcimale) ou encore pour 31 + 9 o il est plus pertinent de dcomposer 31 en 30 + 1 pour faire apparatre 1 + 9 = 10. Et, mme pour 36 + 9, des lves peuvent prfrer passer par 40 en dcomposant 9 en 4+5 et en ajoutant successivement 4, puis 5

Il faut donc prendre en compte le fait quil nexiste pas, dans ce domaine, de procdure unique pour un type de calcul et que, pour un mme calcul, les lves peuvent, dans la classe, adopter des procdures diffrentes. Cest en travaillant faire expliciter les procdures mises en uvre par les lves ou suggres par lenseignant quon peut leur permettre de sapproprier des procdures auxquelles ils nont pas pens.

Exemple 2 : calcul de 72 3

Cette soustraction incite : soit reculer de 3 partir de 72 ; soit soustraire successivement 2 et 1 ; soit dcomposer 72 en 60 + 12 et utiliser le rsultat connu 12 3.

Exemple 3 : calcul de 72 69

Cette soustraction incite plutt chercher ce quil faut ajouter 69 pour obtenir 72 (dans ce cas, le calcul soustractif est remplac par un calcul additif (voir p. XXII pour un travail sur cette quivalence).Mais il est galement possible de soustraire 60 puis 9, ou plus tard de se ramener 12 9 en soustrayant 60 aux deux termes de la diffrence.

Ces considrations peuvent tre rsumes par le schma suivant :

un calcul mental peut tre trait de plusieurs faons

Procdure 1

Procdure 2

Procdure 3

...

XVIII

Cela a deux consquences :

Tout dabord, il est important de ne pas se focaliser sur une seule procdure, car le plus souvent plusieurs procdures sont deffi cacit gale. Au contraire, il faut inciter chaque lve choisir une procdure qui lui convient et en changer en fonction des calculs proposs.

Dans la conduite des moments de calcul rfl chi, un temps suffi sant doit tre laiss aux lves pour llaboration de leur procdure et un autre temps doit tre consacr faire verbaliser les procdures utilises et les illustrer par un crit ou laide dun matriel (voir les questions suivantes).

Pour le calcul rfl chi, y a-t-il des passages obligs ?

Au pralable, il faut souligner que les procdures de calcul rfl chi se droulent trs diffremment de celles en uvre pour le calcul pos. Le calcul rfl chi porte essentiellement sur des mots alors que le calcul pos porte sur des chiffres. Dautre part, trs souvent le calcul rfl chi se droule de gauche droite alors que le calcul pos se droule de droite gauche. Ainsi, pour calculer vingt-six plus trente-quatre, va-t-on plutt calculer vingt plus trente gale cinquante, puis six plus quatre gale dix et enfi n cinquante plus dix gale soixante. Les lves en diffi cult en calcul mental sont souvent des lves qui posent lopration dans leur tte. Do limportance de ne pas mettre en place prmaturment des techniques de calcul pos qui pourraient avoir un effet ngatif sur llaboration de procdures de calcul mental.

Pour pouvoir mettre en uvre et comprendre les procdures de calcul rfl chi, les lves doivent pouvoir sappuyer sur des rsultats mmoriss solides et sur des stratgies effi caces.

Addition et soustraction

En dehors des rsultats du rpertoire additif progressivement mmoriss au CE1, les lves doivent en mmoriser dautres qui seront autant de points dappui supplmentaires, en particulier : trouver rapidement le complment dun nombre sa dizaine suprieure, additionner ou soustraire des dizaines entires puis des centaines entires entre elles. Du point de vue stratgique, la plupart des procdures effi caces sappuient sur une dcomposition (additive ou soustractive) de lun ou des deux termes en jeu, le plus souvent en rfrence la numration dcimale (voir les exemples donns dans le dico-maths n 9 13).

Multiplication

Le calcul rfl chi est principalement li la construction progressive des rsultats des tables tudies et prcde leur mmorisation. Trois points dappui principaux peuvent tre cits :

la commutativit de la multiplication : si 3 fois 5 est connu, 5 fois 3 lest aussi ;

le fait quun des facteurs augmente de 1 : si 2 fois 5 est connu, on peut en dduire 3 fois 5 qui vaut 5 de plus ;

le fait quun des facteurs est doubl : si 3 fois 5 est connu, on peut en dduire 6 fois 5 qui vaut le double.

Ce dernier point est plus diffi cile mettre en place que le prcdent. Soulignons que, pour lessentiel, cest dans les classes suivantes que se dvelopperont les procdures de calcul rfl chi pour la multiplication.

Est-il pertinent dutiliser des supports matriel pour le calcul mental ?

La rponse concerne essentiellement les rsultats qui sont construits par les lves par le biais dun raisonnement (calcul rfl chi). Une remarque pralable concerne le vocabulaire utilis. Il peut tre parfois prfrable de ne pas utiliser le vocabulaire mathmatiquement correct pour expliciter certaines procdures. Ainsi pour le calcul de 36 + 9 en passant par 40, lexpression 36 plus 4 cest 40, et encore 5 cest 45 peut tre mieux comprise quune expression qui utilise les mots plus et gale . La solution peut alors tre davoir recours plusieurs formulations quivalentes.

De mme, lexpression 3 fois 5 cest 2 fois 5 et encore 1 fois 5 sera certainement mieux comprise que lexpression 5 multipli par 3 gale 5 multipli par 2 plus 5 multipli par 1 .

XIX

Mais souvent, lexpression verbale des procdures gagne tre accompagne par une illustration image qui peut faire rfrence soit laspect cardinal des nombres (donc des quantits organises en fonction de la numration dcimale), soit leur aspect ordinal (donc des dplacements sur une ligne numrique).

Ainsi lexemple du calcul de 36 + 9 en passant par 40 peut tre illustr par :

Une nouvelle dizaine est fabrique avec 6 de 36 et 4 de 9 .

36 40 45+ 9

+ 4 + 5

Aspect cardinal Aspect ordinal

Quel intrt y a-t-il proposer des petits problmes dans le cadre des activits quotidiennes de calcul mental ?

La tradition de la rsolution de problmes est marque par la place des noncs crits. Il ne sagit pas den nier limportance. Mais dautres modes de prsentation des situations doivent tre utiliss : sous forme exprimentale, avec laide dillustrations ou sous forme orale. A cet gard, les moments de calcul mental jouent un rle particulier. Cest ce qui nous a conduit renforcer le travail consacr ce type dactivits (en gnral deux reprises pour chaque unit de travail). Portant sur des nombres bien connus des lves, qui ne les effraient pas, les problmes traiter mentalement mobilisent plus facilement leur attention sur le raisonnement mettre en uvre et sur le sens des oprations sollicites (voir p. XXII). Enfi n, leur prsentation orale vite bon nombre de diffi cults que certains lves rencontrent dans le dcodage dun texte et permet donc un accs plus rapide au travail mathmatique.

quel moment faut-il introduire les symboles opratoires (+, et ) ?

Les symboles opratoires sont un des lments langagiers qui permettent dexprimer des relations entre nombres (par exemple, le nombre 12 peut tre reli 5 et 7 par 7 + 5 = 12, 3 et 4 par 4 3 = 12, 3 et 15 par 15 3 = 12, etc.). Ils permettent galement de mathmatiser des situations concrtes dans le cadre de la rsolution de problmes (voir p. XXV). Le langage verbal est un autre mode dexpression des oprations.

Il est donc faux de considrer que le travail sur une opration commence avec lintroduction du signe qui sert lexprimer. Celle-ci nen est quune tape trs importante.

Au CE1, un nouveau signe opratoire est introduit : le signe pour la multiplication. Auparavant, les lves ont rsolu des problmes multiplicatifs sans disposer de la multiplication : laddition itre tait suffi sante. Par exemple lorsquon cherche combien de tours identiques on peut raliser avec 30 cubes , une solution consiste dcomposer 30 sous la forme 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Le mot fois est alors utilis pour exprimer que, dans ce cas, on a ajout 6 fois le nombre 5. Cest partir de l quest introduit le signe . la suite des activits prcdentes, lcriture 5 6 est mise en relation avec des groupements dobjets, avec laddition itre de 6 termes gaux 5 ou de 5 termes gaux 6 et avec des expressions comme 6 fois 5 ou 5 fois 6.

Faut-il distinguer 5 6 et 6 5 ?

La multiplication possde une proprit fondamentale (la commutativit) et qui se traduit par 5 6 = 6 5. Comme cela a dj t indiqu, cette proprit permet une conomie importante dans lapprentissage des tables de multiplication puisque la connaissance de 5 6 = 30 entrane celle de 6 5 = 30.

Notre choix est donc de travailler demble lgalit des critures 5 6 et 6 5, chacune delles pouvant tre interprte aussi bien comme 5 fois 6 que comme 6 fois 5 . En effet, pour un problme comme Combien y a-t-il de billes dans 5 paquets de 6 billes ? , les deux calculs 6 5 = 30 et 5 6 = 30 sont corrects. La situation 5paquets de 6 billes incite considrer quon a 6 billes et encore 6 billes et encore 6 billes, etc. (donc 5 fois 6billes), mais les lves doivent savoir quils peuvent obtenir la rponse aussi bien en calculant 6 5 que 5 6.

XX

Quelle place faut-il donner lapprentissage du calcul pos ?

Aujourdhui, mme sil nest pas nul, lintrt pratique des techniques de calcul pos est moindre de ce quil tait avant la vulgarisation de lusage des calculatrices. Mais leur intrt pdagogique et culturel demeure : leur matrise renforce chez les lves la connaissance des nombres et de la numration dcimale, condition que leur apprentissage vise la comprhension des mcanismes luvre dans leur excution. Dans tous les cas, une bonne connaissance des rpertoires (tables) est indispensable.

Addition pose en colonnes

Sa comprhension prend appui sur les connaissances acquises en numration (en particulier sur la valeur positionnelle des chiffres et la rfrence aux groupements par dix) qui permettent de justifi er le principe de la retenue. Lillustration par le matriel utilis pour le travail sur la numration est utile pour certains lves.

Soustraction pose en colonnes

La demande faite dans les programmes 2008 de mettre en place une technique de calcul pos au CE1 constitue une modifi cation importante diffi cile satisfaire compte tenu des connaissances des lves (la soustraction pose en colonnes ntant prcdemment enseigne quau CE2). Si on veut rpondre cette recommandation importante du programme selon laquelle lacquisition des mcanismes en mathmatiques est toujours associe une intelligence de leur signifi cation et compte tenu des acquis des lves de CE1, la seule technique envisageable au CE1 est celle souvent appele par cassage ou dmontage de la centaine, de la dizaine . Pour la comprendre, il suffi t en effet davoir assimil le principe de la numration dcimale (groupements et changes en relation avec la valeur positionnelle des chiffres). Le choix aurait pu tre fait de se limiter au CE1 des soustractions sans retenue . Nous lavons rejet en raison des obstacles connus quil gnre pour certains lves qui traitent alors sparment les units et les dizaines dans un ordre alatoire (ce qui fonctionne pour les soustractions sans retenue mais conduit des erreurs dans les cas avec retenues ). Voir les commentaires sur la technique choisie en unit 8, p. 234.

Multiplication pose (limite au cas o le multiplicateur est infrieur 10)

On peut allger un peu la charge de travail des lves, en se limitant aux cas o le multiplicateur ne dpasse pas 5, en esprant que les rsultats de ces tables qui fi gurent actuellement au programme du CE1 peuvent alors tre rapidement disponibles.

Les calculatrices peuvent-elles tre utilises ds le CE1 ?

Au CE1, il est diffi cile denvisager un travail sur des spcifi cits des calculatrices au-del des touches qui correspondent aux oprations usuelles. Cest la raison pour laquelle nous navons pas prvu de sance spcifi quement rserve aux calculatrices. Elles sont utilises comme auxiliaire de calcul dans certaines activits et peuvent tre mises la libre disposition des lves pour rsoudre des problmes lorsque lenseignant lestime ncessaire.

TAPES DE LAPPRENTISSAGE DES MTHODES DE CALCUL PROPOSES PAR CAP MATHS

CALCUL MENTALCALCUL POSMmorisation de rsultats

et de procdures Procdures de calcul rfl chi

Unit

1

Addition, soustraction Rpertoire additif (rsultats jusqu 10). Ajout, retrait de 1 un nombre < 100. Calculs lis la numration

(20 + 7 ; 27 7).

Unit

2

Addition, soustraction Rpertoire additif (avec un nombre < 10

et un nombre < 5). Ajout, retrait de 2 ou de 10 un nombre

< 100. Addition, soustraction de dizaines entires.

Addition Addition itre dun nombre < 10. Somme de 3 nombres infrieurs 10.

Doubles et moitis Nombres de 1 30.

XXI

Unit

3Addition, soustraction

Rpertoire additif (complet). Addition, soustraction de dizaines entires.

Addition, soustraction Ajout, retrait de 6, de 7 de 8 ou de 9 un

nombre < 100 (sans passage la dizaine suprieure ou infrieure).

Doubles et moitis Nombres de 1 30.

Addition Nombres < 100 (entraine dans les units

suivantes).

Unit

4

Addition, soustraction Rpertoire additif (complet). Addition, soustraction de dizaines entires

entre elles.

Addition, soustraction Complment la dizaine suprieure. Addition, soustraction de dizaines entires

un nombre < 100. Ajout, retrait dun nombre < 10 un

nombre < 100 (avec passage la dizaine suprieure ou infrieure).

Unit

5

Addition, soustraction Ajout, retrait de 5 un nombre multiple de

5 (infrieur 100). Addition, soustraction de dizaines et de

centaines entires entre elles.

Addition, soustraction Addition itre dun nombre infrieur 10. Addition, soustraction de dizaines et

centaines entires un nombre < 100.

Multiplication Calcul de produits simples.

Addition Nombres < 1 000 (entraine dans les

units suivantes).

Unit

6

Addition, soustraction Complment 100 dun multiple de 10.

Multiplication Construction des tables jusqu celle de 5. Multiplication par 10 et par 100.

Addition, soustraction Addition et soustraction de 2 nombres <

100 (sans retenue). Complment la centaine suprieure dun

multiple de 10.


Unit

7

Multiplication Tables de multiplication de 2 et de 5. Multiplication par 10 et par 100.

Addition, soustraction Ajout, retrait dun nombre infrieur 10

un nombre infrieur 100. Ajout, retrait dun petit ou dun grand

nombre.


Unit

8

Multiplication Table de multiplication de 4.

Addition, soustraction Complment une dizaine suprieure Ajout, retrait dun petit nombre.

Multiplication Produit dun multiple de 10 ou de 100 par

un nombre < 10.

soustraction(entraine dans les units suivantes)

Unit

9

Multiplication Table de multiplication de 3. Multiplication par 10 et par 100.

Addition, soustraction Ajout, retrait dun nombre proche de 20.

Doubles et moitis Nombres multiples de 5.

Division Par 2 et par 5 (cas simples).

Addition Plus de 2 nombres.

Multiplication Multiplicateur < 10

(entraine dans lunit suivante).

Unit

10 Multiplication

Tables de multiplication de 2 5. Multiplication par 10 et par 100.

Addition, soustraction Complment 100 dun multiple de 5. Addition et soustraction de 2 nombres

XXII

II. SENS DES OPRATIONS

LES DIFFRENTS SENS DUNE OPRATION

Lexpression sens dune opration voque la capacit des lves utiliser bon escient cette opration pour rsoudre un problme2. La situation est plus complexe que ne pourrait le laisser supposer cette expression. Comme lont montr de nombreux travaux (en particulier en France, ceux de Grard Vergnaud3), une mme opration peut tre sollicite pour rsoudre une grande varit de problmes. Il serait donc plus juste de parler des diffrents sens dune opration. Si, pour certains problmes, la reconnaissance de lopration ne pose gure de diffi cults, pour dautres au contraire cette reconnaissance est plus tardive et ncessite la mise en place dun enseignement organis sur la base de situations appropries.

Pour rsumer cette problmatique, on peut se rfrer aux deux schmas suivants :

une opration permet de rsoudre plusieurs types de problmes

Problme de type 1

Problme de type 2

Problme de type 3

...

un problme peut tre rsolu de plusieurs faons

Procdure 1

Procdure 2

Procdure 3

...

EXEMPLE : LA SOUSTRACTION

Au dbut, pour beaucoup dlves, cest lopration qui permet de trouver ce qui reste la suite dune diminution. En quelque sorte, soustraire, cest enlever. Ce sens de la soustraction est assez tt accessible, mais il peut aussi constituer un obstacle pour laccs dautres sens de cette opration.

En effet, la soustraction est galement utile pour trouver un complment Combien de billes bleues dans un ensemble qui comporte 25 billes dont 18 rouges, sachant que toutes les autres sont bleues ? . Dans cette situation, il est plus naturel de se demander ce quil faut ajouter 18 pour obtenir 25, autrement dit de raisonner davantage dun point de vue additif que dun point de vue soustractif.

Un autre sens de la soustraction peut galement tre voqu, celui qui correspond au calcul dun cart ou dune diffrence : Lo a 25 billes. Tom en a 18. Lo a plus de billes que Tom. Combien de plus ? .

Dautres catgories de problmes qui peuvent tre rsolus en utilisant la soustraction peuvent tre voques. Lessentiel ici est de souligner cette pluralit de sens et le fait que, au-del de ce quon pourrait appeler le sens naturel , leur matrise suppose un travail didactique et ne peut pas tre seulement le fruit de problmes rencontrs de faon plus ou moins hasardeuse.

Prenons lexemple de la recherche de la valeur dun complment : Combien de billes bleues dans un ensemble qui comporte 25 billes dont 18 rouges, sachant que toutes les autres sont bleues ?

Avec ces donnes, la rponse peut tre trouve par un dessin ou un schma en dnombrant directement les billes bleues, en allant de 18 25, par addition trou (18 + = 25) ou en calculant 25 18. Le fait que ces diffrentes modalits sont quivalentes et peuvent tre remplaces lune par lautre est construire avec les lves.

partir de l, deux questions se posent :

2. Voir un autre aspect du travail sur la rsolution de problmes, p. XXV.3. Voir par exemple http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/38/38n2.pdf pour le cas des structures additives.

XXIII

Faut-il proposer des problmes relevant dun sens particulier avant quil ait t enseign ? A quel moment tel sens particulier peut-il tre enseign et comment ?

La rponse la premire question peut tre schmatise de la faon suivante, pour la soustraction :

Soustraction

Calcul dun resteProblme : Alex a 75 images. Il donne 3 paquets de 10 images Lisa. Combien lui reste-t-il dimages ?

Rsolution dite experteProblmes demble reconnus comme se rsolvant par soustraction.

Calcul dun cartProblme : Un car orange a 65 places et un car bleu a 80 places. Il y a plus de places dans le car bleu que dans le car orange. Combien de plus ?

Dautres sens de la soustraction feront lobjet dun enseignement au CE2 et au CM.

Rsolution dite personnelleProblmes rsolus par divers moyens (sans que la soustraction soit vise).

Calcul dun complmentProblme : unit 7, sance 2.

Calcul dune valeur initiale avant quelle augmente

Problme : unit 10, sance 5.

Ces deux sens de la soustraction devront faire lobjet dun nouvel enseignement au CE2 et, pour certains lves, au CM.

Passage dune rsolution dite personnelle une rsolution dite experte

Problmes pour lesquels une rsolution par soustraction est enseigne.

TAPES DE LAPPRENTISSAGE DU SENS DES OPRATIONS PROPOSES PAR CAP MATHS

Sens connu Sens enseign au CE1

Addition Total (runion de quantits) Rsultat dune augmentation.

Soustraction Rsultat dune diminution. Valeur dun complment (unit 7). Valeur avant une augmentation (unit 10).Note : Un travail est conduit sur ces types de problmes que des lves peuvent dj reconnatre comme relevant de la soustraction. Au CE2 et au CM1, des activits seront nouveau proposes pour que les lves reconnaissent la soustraction comme opration permettant de rsoudre ces 2types de problmes.

Multiplication Total obtenu par la runion de plusieurs quantits identiques (units 4 et 5, avecutilisation du signe ).

Nombre dlments organiss en lignes et colonnes rgulires (unit 10).

Division Nombre de groupements rguliers (en particulier par 2 et par 5) partir dune quantit (units 8 et 10).

Valeur de chaque part dans le partage quitable dune quantit (unit 9).Note : Un travail est conduit sur ces types de problmes, mais ils ne sont le plus souvent pas reconnus comme relevant de la division. Au CE2 et au CM1, des activits seront proposes pour que les lves reconnaissent la division comme opration permettant de rsoudre ces 2 types de problmes.

XXIV

PROBLMES RELATIFS AU SENS DES OPRATIONS PROPOSS PAR CAP MATHS

En dehors des activits dapprentissage cibles, des problmes sont proposs :

dans les activits de calcul mental, deux fois par unit : problmes proposs oralement ;

dans les activits de rvision, au moins deux fois par unit : problmes proposs sous forme dnoncs crits ;

dans les pages problmes.

Selon les cas, ces problmes peuvent tre rsolus :

soit en faisant appel un sens connu dune opration (travaill au CP ou au CE1) ;

soit en mobilisant des procdures personnelles de rsolution, ce qui permet aux lves de travailler sur la comprhension de situations qui, plus tard, pourront servir de support lapprentissage dun nouveau sens pour une opration donne.

Il faut souligner que, en fonction de la comprhension de la situation voque et de la matrise des diffrents sens dune opration, un mme problme peut tre rsolu par certains en faisant appel directement cette opration et par dautres en mobilisant une procdure personnelle.

Dans le tableau ci-dessous, la mention de lopration (addition, soustraction, multiplication, division) nimplique pas que les lves vont lutiliser pour rsoudre les problmes correspondants.

Calcul mental Rvision Pages Problmes Addition Valeur obtenue par la runion de 2 ou plusieurs valeurs Units 1, 2, 5 Units 1, 2, 5, 6, 9 Units 1, 2, 4, 5, 8

Rsultat dune augmentation Unit 5

Valeur avant une diminution Unit 4

Position suite un dplacement en avant sur une ligne gradue Unit 4 Unit 4

Valeur trouver partir de la donne dun cart (comparaison) Unit 7 Unit 7

Soustraction Rsultat dune diminution Unit 6, 8, 9 Unit 5

Valeur dun complment Units 1, 2, 3, 5 Units 1, 2, 3, 5, 9 Units 5, 7, 10

Valeur avant une augmentation Unit 5

Position suite un dplacement en arrire sur une ligne gradue Unit 4

Valeur dun dplacement sur une ligne gradue Unit 4 Unit 4

Valeur dun cart ou dune diffrence (comparaison) Unit 7 Unit 7

Valeur trouver partir de la donne dun cart (comparaison) Unit 7 Units 1, 2, 5

Multiplication Valeur obtenue par la runion de plusieurs valeurs

identiques Units 6, 8, 9 Units 6, 8, 9 Units 2, 7, 8, 10

Nombre dlments organiss en lignes et colonnes rgulires Unit 10

Division Nombre de groupements rguliers partir dune quantit Units 3, 6, 8, 10 Units 8, 10 Units 2, 8, 10

Valeur de chaque part dans le partage quitable dune quantit Unit 1, 10 Unit 10 Units 1, 2

XXV


Programme pour le cycle 2Llve utilise progressivement des reprsentations usuelles: tableaux, graphiques.

Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est capable de : Utiliser un tableau, un graphique ;

Complter un tableau dans des situations concrtes simples ; Organiser les informations dun nonc.

Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages (CE1) Utiliser un tableau, un graphique ; Organiser les informations dun nonc.


La rsolution de problmes est lactivit mathmatique par excellence. Cest sa capacit utiliser ce quil sait pour venir bout dun problme quon reconnat vritablement quun lve maitrise ce quil a appris. Or on constate, dans la plupart des valuations (nationales ou internationales), des faiblesses chez trop dlves dans ce domaine : angoisse face une situation indite, manque dinitiative, peur de se tromper

Dans Cap Maths, la rsolution de problmes est travaille dans trois directions :

partir dun problme pour apprendre une nouvelle connaissance : cela permet llve de comprendre quoi elle sert, quel est lintrt de la matriser ;

utiliser les connaissances acquises dans des problmes nouveaux : cela permet den renforcer le sens et dtendre leur champ dutilisation ;

dvelopper les capacits chercher : exploiter des informations, explorer une piste et la remettre en cause, saider dun dessin ou dun schma, faire de petites dductions, expliquer pourquoi une rponse convient ou ne convient pas sont autant de comptences que lenfant doit commencer dvelopper trs tt.

Cette approche du travail mathmatique sinscrit galement dans la perspective de la comptence du programme relative lautonomie et linitiative, visant dvelopper chez llve les capacits :

couter pour comprendre, interroger, rpter, raliser un travail ou une activit ;

changer, questionner, justifi er un point de vue ;

travailler en groupe, sengager dans un projet ;

se reprsenter son environnement proche, sy reprer, sy dplacer de faon adapte.

Dautres capacits spcifi ques de la rsolution de problmes sont galement vises :

dvelopper une pense logique (chercher, abstraire, raisonner) ;

organiser les donnes dun problme en vue de sa rsolution ;

produire une solution originale dans un problme de recherche ;

formuler et communiquer sa dmarche ;

contrler et discuter la pertinence ou la vraisemblance dune solution ;

identifi er des erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au choix dune procdure de celles qui interviennent dans sa mise en uvre.

Enfi n, au CE1 commence se mettre en place la capacit exploiter des donnes sur diffrents supports : tableaux ou graphiques simples.

Problmes et Organisation de donnes

XXVI

En dehors des connaissances mathmatiques dveloppes dans les activits de rsolution de problmes (voir les commentaires relatifs aux diffrents domaines), dautres connaissances et comptences de nature mthodologique font lobjet dun enseignement. Pour le CE1, elles sont rsumes dans le schma suivant :

Connatre des stratgies grer des essais ; procder par inventaire ; dterminer des tapes ; raisonner, dduire...

Faire preuve dinitiative etdautonomie

affronter des problmes indits ; accepter quun mme problme puisse tre rsolu de manires diffrentes.

Prsenter, comprendre unesolutionet en dbattre

procdures ; erreurs...

Prendre des informations sur diffrents supports

texte et illustration ; tableau et graphique

Rsolution de problmes


Pourquoi faut-il proposer des problmes ouverts (ou problmes de recherche) ?

Trois raisons principales peuvent tre avances :

1. Dvelopper un comportement de chercheur . En effet, sengager dans la rsolution dun problme nest, souvent, pas une attitude spontane des lves qui arrivent au CE1. Ils ont parfois tendance attendre des indications sur la dmarche suivre avant de se lancer dans un travail. Il est donc ncessaire, par laction, de leur faire comprendre ce que lon attend deux en mathmatiques: prendre des initiatives, accepter la responsabilit de la rsolution du problme, accepter de ne pas trouver tout de suite, argumenter propos de la validit dune solution...

2. Prendre conscience de la porte des connaissances dont on dispose. Celles-ci ne permettent pas seulement de rsoudre des problmes dits dapplication , mais (mme peu nombreuses) elles peuvent tre mobilises pour traiter de nombreux autres problmes.

3. Prparer des apprentissages ultrieurs. Lappropriation dun nouveau sens pour une opration suppose que llve mette cette opration en rapport avec une nouvelle catgorie de problmes. Il le fera plus facilement sil est dj familier de tels problmes quil a eu loccasion de rsoudre par dautres mthodes. Ainsi des situations de partage quitable ou de groupements rguliers ont-elles donn lieu des problmes bien avant que llve ne soit capable de les rsoudre en utilisant la division.

Faut-il donner des explications complmentaires ?

Dans certains cas, des explications complmentaires peuvent tre labores collectivement :

sur la signifi cation des informations fournies et la comprhension de la question ;

sur ce quil faut faire : utiliser le brouillon pour chercher, expliquer ensuite comment on a trouv, rpondre la question pose

Progressivement, les lves doivent pouvoir travailler de faon plus autonome.

XXVII

Faut-il fournir du matriel aux lves ?

Beaucoup de problmes sont proposs partir dun support crit qui peut prendre des formes diffrentes : texte, illustration, tableau, graphique. Pour aider la comprhension de la situation et de la question, il peut tre utile de matrialiser la situation .

Par exemple, dans la page Problmes en fi n dunit 2, le problme suivant est propos (on sait quil y a 26 lves dans la classe) : Dans la classe, les lves sont installs par groupes de deux lves. Combien de groupes de deux lves y a-t-il dans la classe de Lisa ? Pour des lves qui ont du mal comprendre la situation, on peut montrer 26 objets, de prfrence des personnages, qui reprsentent les lves, commencer les mettre par deux devant les lves (8 objets par exemple), sarrter, remettre tous les objets dans une bote et demander aux lves combien de groupes de deux peut-on raliser ? .

Dans cette situation, le matriel est destin faire comprendre le problme aux lves, mais nest pas mis leur disposition pour le rsoudre. En effet, si les lves rpondent la question laide du matriel, ils ne font pas de mathmatiques. Cest la ncessit davoir construire la rponse, sans disposer du matriel, qui conduit lactivit mathmatique. Aprs rsolution et dbat entre les lves, une solution peut tre valide en faisant tous les groupes possibles avec le matriel.

Quel droulement pour le travail sur un problme ouvert ?

Le plus souvent, un problme ouvert gagne tre rsolu en petites quipes, aprs un temps dappropriation individuel.

Phase de rechercheElle est labore sur une feuille part ou sur le cahier de brouillon. Cela permet aux lves de se sentir libre dexplorer une piste, puis une autre, sans se soucier de faire juste et propre du premier coup avant mme davoir commenc chercher.

Phase dexploitationLes productions des lves sont tout dabord une source dinformation pour lenseignant, en observant quelles connaissances et quelles stratgies les lves mobilisent pour chaque problme. Pour ces problmes, une mise en commun est prfrable une correction. Il sagit alors, avec les lves, dexaminer diffrentes productions pour discuter la validit des procdures utilises, pour identifi er les erreurs et pour mettre en relation des procdures de rsolution diffrentes.

Ce travail sur les solutions des lves est un des moyens de les faire progresser, en montrant quil y a rarement une seule faon de rsoudre un problme et en leur permettant de sapproprier dautres procdures que celles quils ont utilises.

Faut-il une synthse et une trace crite lissue du travail sur un problme ouvert ?

1. Une synthse est toujours ncessaire. Elle peut, selon les problmes, porter sur des points diffrents, par exemple :

sur les comportements attendus dans ce type dactivit : on peut ne pas trouver tout de suite, au brouillon, on peut essayer, barrer, recommencer ;

sur les modalits du travail en quipes : scouter, proposer, suivre une piste, en dbattre, choisir une solution ;

sur les rsolutions valides et leur mise en relation ;

sur une stratgie particulire : faire un essai et en tenir compte pour lessai suivant ; organiser un inventaire des possibilits ; dterminer des tapes possibles ;

sur des erreurs caractristiques.

2. Dans certains cas, une trace crite peut tre juge utile.Elle peut, dans ce cas, prendre diffrentes formes :

trace crite collective (avec diffrentes solutions valides) au tableau, sur affi che, sous forme de document projetable (TNI, par exemple) et pouvant tre utilise comme source dinformation par les lves ;

document photocopi remis aux lves et contenant diffrentes solutions valides ;

trace crite personnalise, chaque lve recopiant lune des solutions quil pense avoir comprise et quil pense pouvoir utiliser dans un problme voisin qui lui sera effectivement propos prochainement.

XXVIII

COMMENT UTILISER LES PAGES PROBLMES

Pour chaque srie, les problmes sont varis : ils sont, le plus souvent, situs dans un mme contexte, ce qui contribue maintenir lintrt des lves et leur permet de se concentrer davantage sur les questions poses ; ils ne relvent pas tous du mme domaine mathmatique, de manire favoriser la rfl exion quant au choix des procdures de rsolution ; les donnes sont fournies par des supports divers : dessin, texte, schma.

Chaque lve ne traitera pas obligatoirement lensemble des problmes. Le choix, lutilisation et la mise en uvre de ceux-ci sont laisss linitiative de lenseignant. Certains problmes peuvent tre proposs en rsolution individuelle. Dautres sont rsolus en quipes, soit directement, soit aprs une phase de rsolution individuelle.

La recherche se fait dabord au brouillon, sur une feuille part. Ensuite, les lves peuvent consigner leurs rponses dans le fi chier.

Lexploitation prend souvent la forme dune mise en commun au cours de laquelle sont examines diffrentes productions pour discuter la validit des procdures utilises, pour identifi er les erreurs et pour mettre en relation des procdures de rsolution diffrentes.Ce travail sur les solutions des lves est un des moyens de les faire progresser, en montrant quil y a rarement une seule faon de rsoudre un problme et en leur permettant de sapproprier dautres procdures que celles quils ont utilises.

PRINCIPALES OCCASIONS DE TRAVAIL SUR LA RSOLUTION DE PROBLMES

Le tableau suivant ne recense que les occasions de travailler spcifi quement sur telle ou telle comptence mthodologique. Dune part, celles-ci peuvent tre luvre dans beaucoup dautres situations. Dautre part, un problme pouvant toujours tre rsolu de plusieurs manires, il est possible que, dans un problme, des lves mobilisent dautres comptences que celles qui sont nonces ci-dessous.

Activits dapprentissage Pages Problmes

Grer des essais Unit 1 Units 1, 2, 3, 7, 8, 10

Prendre de linformation sur diffrents supports

Unit 3 : tableauUnit 4 : texte, illustration

Unit 4 : tableauUnits 5 et 6 : texte et illustration

Procder par inventaire Unit 6 Units 8 et 9

Dterminer des tapes Unit 7 Units 4 et 7

XXIX


Programme pour le cycle 2Les lves enrichissent leurs connaissances en matire dorientation et de reprage. Ils apprennent reconnatre et dcrire des fi gures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des fi gures planes. Ils utilisent un vocabulaire spcifi que.

Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est capable de : Situer un objet par rapport soi ou un autre objet, donner sa position et dcrire son dplacement ; Reconnaitre, nommer et dcrire les fi gures planes et les solides usuels ; Utiliser la rgle et lquerre pour tracer avec soin et prcision un carr, un rectangle, un triangle rectangle ; Percevoir et reconnaitre quelques relations et proprits gomtriques : alignement, angle droit, axe de symtrie, galit de longueurs ; Reprer des cases, des nuds dun quadrillage ; Rsoudre un problme gomtrique.

Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages (CE1) Reprer des cases, des nuds dun quadrillage ; Dcrire, reproduire, tracer un carr, un rectangle, un triangle rectangle ; Utiliser des instruments pour raliser des tracs : rgle, querre ou gabarit de langle droit ; Percevoir et reconnaitre quelques relations et proprits gomtriques : alignement, angle droit, axe de symtrie, galit de longueurs ; Connaitre et utiliser un vocabulaire gomtrique lmentaire appropri ; Reconnaitre, dcrire, nommer quelques solides droits : cube, pav...

Les principaux objectifs dapprentissage viss au CE1 sorganisent au tour de deux grands axes :

le renforcement des comptences spatiales qui concerne plus particulirement le reprage et lorientation.

la construction de connaissances et de comptences gomtriques : cest au CE1 que sinitie le passage dune gomtrie de la perception, o les formes sont reconnues vue et les actions sont contrles perceptivement, une gomtrie instrumente, o les actions se font laide des instruments et o la reconnaissance des fi gures et le contrle des productions sont guids par les proprits.


I. LE RENFORCEMENT DES COMPTENCES SPATIALES

Les connaissances spatiales sont celles qui permettent lenfant de contrler ses rapports usuels avec lespace : savoir prendre, mmoriser, communiquer des informations spatiales pour se reprer, se dplacer, pour localiser, mais aussi pour reconnatre ou construire des objets. La plupart des comptences spatiales se construisent spontanment, mais certains apprentissages spatiaux doivent tre pris en charge par lcole.

Les comptences vises en fi n de cycle 2 sont dans la continuit de celles attendues en fi n de cycle 1 :

matrise des indicateurs spatiaux du langage ;

capacit se dcentrer sur le point de vue dun autre observateur.

Lorientation dans diffrents types despace doit tre travaille, ces espaces se diffrenciant par : leur dimension ; les systmes de repres qui peuvent y tre utiliss ; le vocabulaire qui permet de sy reprer :

Espace et gomtrie

XXX

Lespace qui nous entoure Dans cet espace qui a trois dimensions, un objet peut tre repr :

par rapport lobservateur (en haut, en bas, devant, derrire, gauche, droite).

par rapport une autre personne ou objet orient (devant, derrire, la gauche de, la droite de). Exemple : La plante est devant le cheval et le seau est sa gauche.

par rapport un autre objet non orient (devant, derrire, gauche de, droite de). Exemple : La plante est gauche du panier et le seau est devant le panier.

Dire alors que le saut est devant le panier , ou que le panier est derrire le seau , signifi e que le seau est dans un premier plan.

Il va de soi que les apprentissages spatiaux lis lespace qui nous entoure ne peuvent se raliser que dans cet espace.

Lespace de la feuille de papierCet espace, comme le plan vertical du tableau, a une orientation conventionnelle et les mots haut, bas, droite et gauche permettent de sy reprer. Le basculement du plan du tableau celui de la feuille ne va pas de soi : le haut de la feuille pour lobservateur correspond la partie de la feuille qui est la plus loigne de lui.

Sur une ligne orienteCest un vocabulaire temporel qui permet le reprage : dbut, fi n, avant, aprs. Exemple : Sur la bande numrique le chiffre 5 est aprs le chiffre 4.

Dans un quadrillageOn va, pour reprer une case ou un nud, utiliser des nombres :

Pour reprer un nud relativement un autre nud :Exemple : Le point vert est 2carreaux droite et 3 carreaux en dessous du point rouge.

Pour reprer une case, un systme de repre tant donn.Exemple : Ltoile est dans la case (e, 3).

a b c d e f g

1

2

3 H4

II. LA CONSTRUCTION DES CONNAISSANCES GOMTRIQUES

Les connaissances gomtriques sont issues dun savoir organis en une thorie labore au cours de lhistoire. Elles permettent de rsoudre des problmes de lespace physique rencontrs dans le cadre de pratiques professionnelles, sociales et culturelles. Cest au cours du CE1 que les lves en font une premire approche.

Notions dalignement, dangle droit, daxe de symtrie La comprhension de ces proprits gomtriques va de pair avec lutilisation dinstruments : la rgle, le gabarit dangle droit.

tude de quelques fi gures planes et solidesLtude des fi gures les plus usuelles permet une premire mise en vidence de quelques-unes de leurs proprits.Depuis la Grande section, les lves savent reconnaitre perceptivement certaines fi gures et les nommer : triangles, carrs, rectangles. Pour ces fi gures et dautres, le travail conduit au CP les a amens une conception plus analytique: un carr et un rectangle ont 4 cts et 4 sommets, un triangle en a 3. Ils ont

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