Roger Durand Maths avancées

Maths avancées

Centre scolaire Léo-Rémillard

Préparé par :

Roger Durand

Ce cahier appartient à :

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I. Algèbre linéaire............................................................................................................ 1 A. Les matrices .......................................................................................................... 1

1. Les propriétés des matrices ............................................................................ 1

2. La multiplication par un scalaire ................................................................... 1 3. L’addition de matrices ................................................................................... 1 4. La multiplication matricielle ......................................................................... 1

B. La résolution de systèmes d’équations ................................................................. 1 1. Par substitution .............................................................................................. 1

2. Par élimination ............................................................................................... 1 3. La méthode Gauss-Jordan ............................................................................. 1

C. L’inverse de matrices ............................................................................................ 1 D. Les systèmes d’équations sans solutions .............................................................. 1 E. Le déterminant de matrices ................................................................................... 1

F. La comatrice ......................................................................................................... 1 G. La règle de Cramer ............................................................................................... 1

II. Les coordonnées polaires ............................................................................................. 2 A. La représentation de coordonnées polaires ........................................................... 2

B. La relation entre les coordonnées polaires et cartésiennes ................................... 3 C. La représentation graphique de relations polaires ................................................ 5

Pratique : les coordonnées polaires ....................................................................... 8 III. Les nombres complexes ............................................................................................... 9

A. Historique ............................................................................................................. 9

B. Le plan complexe ................................................................................................ 10 C. Le module ........................................................................................................... 10

D. L’addition de nombres complexes ...................................................................... 11

E. La multiplication de nombres complexes ........................................................... 12

F. Le complexe conjugué et la division de nombres complexes ............................. 13

G. La valeur de 𝒊𝒏 .................................................................................................... 14

H. Les propriétés des nombres complexes .............................................................. 14 I. La résolution d’équations ................................................................................... 15

IV. Les nombres complexes sous forme polaire .............................................................. 16 A. La forme polaire d’un nombre complexe ........................................................... 16 B. Le produit de nombres complexes ...................................................................... 18

C. Le quotient de nombres complexes .................................................................... 19 D. Le théorème de Moivre ....................................................................................... 20

E. La 𝒏𝒆 racine de nombres complexes .................................................................. 21

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V. Les suites et les séries .................................................................................................. 23 A. Les types de suites .............................................................................................. 23

1. Les suites arithmétiques ............................................................................... 23

2. Les suites géométriques ............................................................................... 24 3. Autres types de suites .................................................................................. 25 4. Les suites récurrentes ................................................................................... 25

B. La preuve par induction ...................................................................................... 26 C. Les limites de suites ............................................................................................ 26

D. Les séries ............................................................................................................ 29 1. La notation sigma ........................................................................................ 29 2. La somme avec un intervalle autre que 1 à n .............................................. 31 3. La preuve de sommes .................................................................................. 32

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1

I. Algèbre linéaire A. Les matrices

1. Les propriétés des matrices

2. La multiplication par un scalaire

3. L’addition de matrices

4. La multiplication matricielle

B. La résolution de systèmes d’équations

1. Par substitution

2. Par élimination

3. La méthode Gauss-Jordan

C. L’inverse de matrices

D. Les systèmes d’équations sans solutions

E. Le déterminant de matrices

F. La comatrice

G. La règle de Cramer

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2

II. Les coordonnées polaires On représente parfois des coordonnées à l’aide du système de coordonnées polaires.

Ceux-ci diffèrent du système cartésien qui utilise les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sur deux

axes ainsi nommés. Les coordonnées polaires sont représentées par un rayon (r) et

un angle (𝜃) par rapport à l’angle 0.

Une coordonnée polaire est dénotée : (𝑟, 𝜃)

Un site web avec de l’information sur les coordonnées polaires.

Coordonnées polaires sur Desmos.

A. La représentation de coordonnées polaires

Le rayon indique la distance par rapport au point d’origine. Un rayon positif indique

la direction de l’angle et celui négatif indique le côté opposé de l’angle. Indiqué

différemment, (−𝑟, 𝜃) est équivalent à (𝑟, 𝜃 + 180°) ou (𝑟, 𝜃 + 𝜋).

Exemple

Indique (3, 30°) sur un plan. Indique (−3, 30°) sur le même plan.

L’angle indique l’angle par rapport à l’axe des 𝑥. Un angle positif indique la mesure

de l’angle dans le sens antihoraire et un angle négatif indique la mesure dans le sens

horaire.

Exemple :

Représente les points (2, −45°) et (−3, −7𝜋

6) sur un plan.

Quelles sont les autres façons de représenter le point (3, 60°)?

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3

B. La relation entre les coordonnées polaires et cartésiennes

En utilisant la trigonométrie dans le plan cartésien on en déduit la relation :

Nous pouvons utiliser ce triangle afin de déterminer la relation entre les coordonnées

cartésiennes (𝑥 et 𝑦) et les coordonnées polaires (𝑟 et 𝜃).

cos 𝜃 =𝑥

𝑟 donc, 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

sin 𝜃 =𝑦

𝑟 donc, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

tan 𝜃 =𝑦

𝑥 donc, 𝜃 = tan−1 (

𝑦

𝑥)

Utilisant le théorème de Pythagore,

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ou 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

Nous pouvons donc convertir une coordonnée polaire en coordonnée cartésienne ou

vice versa.

𝑟

𝑥

𝑦

𝜃

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4

Exemple

Quelles sont les coordonnées cartésiennes de la coordonnée polaire (4,3𝜋

4)?

𝑟 = 4

𝜃 =3𝜋

4

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

𝑥 = 4 cos (3𝜋

4) 𝑦 = 4 sin (

3𝜋

4)

𝑥 = 4 ⋅ (−√2

2) 𝑦 = 4 ⋅ (

√2

2)

𝑥 = −2√2 𝑦 = 2√2

(𝑥, 𝑦) = (−2√2, 2√2)

Quelles sont les coordonnées polaires de la coordonnée cartésienne (1, √3)?

Quelles sont les coordonnées polaires du point (−2, −4)?

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5

C. La représentation graphique de relations polaires

Pour dessiner un graphique polaire, nous devons avoir une relation où 𝑟 est la

variable dépendante et 𝜃 la variable indépendante. On remplit un tableau de valeur

avec une multitude d’angles et dessinons le graphique correspondant.

Exemple

Dessine le graphique de 𝑟 = 2 cos 3𝜃.

Remplissez le tableau avec des valeurs de 𝑟 et calculez 𝜃 à l’aide de la fonction.

Dessinez les points selon les coordonnées du tableau.

Tracez le graphique une fois que le tableau est rempli.

𝑟 𝜃

0° 2

10° 1,73

20° 1

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

100°

110°

120°

130°

140°

150°

160°

170°

180°

Vérifiez vos valeurs et votre graphique à l’aide de cette animation.

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6

Exemple

Dessinez le graphique de la fonction 𝑟 = 1 − sin 𝜃 et 𝑟 = 1 − 2 sin 𝜃.

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7

Il est aussi possible de changer une fonction polaire en fonction cartésienne ou vice

versa. Il suffit de substituer comme on a fait pour les coordonnées.

Exemple

Quelle est la fonction 𝑦 = 𝑥2 sous forme polaire.

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 et 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

Substituons dans 𝑦 = 𝑥 et isolons 𝑟 :

𝑟 sin 𝜃 = (𝑟 cos 𝜃)2

𝑟 sin 𝜃 = 𝑟2 cos2 𝜃

sin 𝜃 = 𝑟 cos2 𝜃

𝑟 =sin 𝜃

cos2 𝜃

Vérifie que ces fonctions sont équivalentes en utilisant Desmos.

Note : si on écrit « theta » dans Desmos, il transforme ce texte à 𝜃.

Exemple

Transforme la fonction 𝑦 = √𝑥 en forme polaire.

Exemple

Transforme la relation 𝑟 =2

1−sin 𝜃 en fonction cartésienne.

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8

Pratique : les coordonnées polaires

1. Place les points suivants sur un plan cartésien :

a. (4, 0°) b. (-5, 90°) c. (2, π/2)

d. (3, -π/4) e. (-3, 300°) f. (3, 390°)

2. Transforme les points en coordonnées cartésiennes.

a. (5, 180°) b. (6, π/6) c. (-2, 3π/2)

d. (7, 45°) e. (-5, 135°) f. (-3, π)

3. Transforme les points en coordonnées polaires avec r ≥ 0 et 0 ≤ θ ≤ 2π

a. (7, 0) b. (2, 2) c. (-4, -4)

d. (1, -3)

4. Trouve la relation entre P(r, θ) et les points suivants :

a. Q(r, -θ) b. R(-r, θ) c. S(r, π – θ)

d. T(-r, π + θ)

5. Exprime les équations suivantes sous forme d’équations polaires.

a. 3 5 0x y b. 4xy c. 2 2 25x y

d. 2 4 0y x e. 2 24 4x y

6. Exprime les équations suivantes sous forme d’équations cartésiennes.

a. 3cosr b. 2sinr c. 2 2 sinr r

d. 1 cosr e. 1 4cosr

7. Trace les graphiques polaires des équations suivantes :

a. 4r b. 45 c. 3(1 cos )r

d. 4sin 3r e. 4

1 cosr

f.

5

3 2cosr

g. 3

2 4cosr

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9

III. Les nombres complexes A. Historique

Bel article expliquant les nombres complexes.

De façon concise, l’article explique le pourquoi des nombres complexes et comment

les approcher. Dans le passé, il n’existait que les nombres naturels (les entiers

positifs). Un jour quelqu’un a demandé : « Qu’arrive-t-il si on soustrait 3 − 4? ». Son

ami a répondu « Impossible ». Par contre, les gens ont continué de poser cette

question et y sont arrivés à plusieurs explications possibles :

- une dette

- glisser vers la gauche sur une droite numérique

- avoir une mesure plus petite que zéro (comme la température)

- faire une réflexion sur une droite numérique (Cette façon de penser explique

pourquoi un nombre négatif multiplié par un nombre négatif est un positif. Le

nombre négatif est réfléchi vers le côté positif de la droite numérique)

On peut faire la même chose pour les nombres complexes. Cette fois la question

était : « Quelle sont les solution de 𝑥2 = −1? ». Originalement, les gens disaient :

« Impossible ». Cependant, si on ne se limite pas et on dit : « Et si c’était possible,

qu’est-ce que ça aurait l’air? Qu’est-ce que ça veut dire? ».

La solution est :

𝑥2 = −1

𝑥 = √−1

Qu’on a simplifie tout simplement à 𝑖. Donc, 𝑖 = √−1. Parfois, on voit 𝑖2 = −1.

Ce nombre, 𝑖, est nommé imaginaire même s’il est un vrai nombre. Comme −2 ou

√3 ou 𝜋. Personne ne juge ces nombres sur leur réalité alors on ne devrait pas le faire

pour les nombres latéraux. Ceci est le nom que Gauss a donné pour 𝑖 en revanche à

René Descartes (rendu fameux pour la découverte du plan cartésien) qui les avait

nommé imaginaire, de façon dérogatoire.

Un nombre complexe, 𝑧, consiste d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 où 𝑎 est la partie réelle et 𝑏 est la partie imaginaire

On voit parfois 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 et 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.

Vidéos expliquant les nombres imaginaires latéraux.

Partie 1 Partie 2 Partie 3 Partie 4 Partie 5 Partie 9 Partie 10

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10

B. Le plan complexe

Continuation des vidéos Partie 6

Lorsqu’on apprend initialement au sujet des nombres, on les place sur une droite

numérique. Ainsi, on apprend à additionner et à soustraire des nombres

horizontalement.

Cette droite démontre les nombres réels. Le plan complexe ajoute un axe vertical

pour les nombres imaginaires.

Les nombres complexes peuvent donc être représentés par une coordonnée sur ce

plan.

Exemple

Place les nombres complexes −3 + 2𝑖 et 1 − 3𝑖 sur le plan complexe.

C. Le module

Le module est la distance du nombre complexe jusqu’à l’origine du plan complexe.

Il est dénoté par |𝑧| et peut être calculé utilisant le théorème de Pythagore.

Exemple

Quel est le module du nombre 𝑧 = 3 + 2𝑖?

|𝑧| = √32 + 22 = √13

Quel est le module de 4 − 𝑖 et de −2 + 5𝑖?

𝐼𝑚

𝑅𝑒

𝑅𝑒

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D. L’addition de nombres complexes

Lorsqu’on additionne des nombres complexes, les parties réelles s’additionnent

ensemble et les parties imaginaires s’additionnent ensemble. On traite 𝑖 comme une

variable.

Exemple

Quelle est la somme des nombres complexes 𝑧1 = 3 + 2𝑖 et 𝑧2 = −4 + 3𝑖?

𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 2𝑖 + (−4 + 3𝑖)

𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 2𝑖 − 4 + 3𝑖 𝑧1 + 𝑧2 = −1 + 5𝑖

Que représente l’addition par un nombre complexe?

Il s’agit d’un mouvement par rapport à un autre nombre. Lorsqu’on fait 4 + 2, on

commence à 4 et on se déplace de 2 à la droite. C’est la même chose pour les

nombres complexes sauf qu’on se déplace aussi verticalement. C’est comme

l’addition vectorielle, où on additionne les composantes verticales et horizontales.

Desmos

Exemple

Fais les opérations suivantes étant donné 𝑧1 = 5 + 𝑖 et 𝑧2 = 2 − 4𝑖

𝑧1 + 𝑧2

𝑧2 − 𝑧1

3

2𝑖

−4

3𝑖

−1 + 5𝑖

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E. La multiplication de nombres complexes

Les mêmes règles de multiplication s’appliquent aux nombres réels qu’aux nombres

complexes.

On peut multiplier un nombre complexe par un nombre entier.

Exemple

Effectue l’opération 3(−2 + 4𝑖).

3(−2 + 4𝑖) = −6 + 12𝑖

On peut multiplier un nombre complexe par un autre nombre complexe.

Exemple

Multiplie 𝑧1 et 𝑧2 de l’exemple précédent.

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (3 + 2𝑖)(−4 − 𝑖)

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = −12 − 3𝑖 − 8𝑖 − 2𝑖2

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = −12 − 11𝑖 − 2(−1)

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = −10 − 11𝑖

Que représente la multiplication d’un nombre complexe?

La multiplication par un entier : Lorsqu’on multiplie par un entier, chaque partie du

nombre complexe (réelle et imaginaire) subit un étirement. C’est comme si on

additionne le nombre complexe le montant de fois qu’on l’a multiplié

Desmos

La multiplication par 𝑖 : Lorsqu’on multiplie un nombre par −1, il s’agit d’une

réflexion sur la droite numérique (ou une rotation de 180°). Lorsqu’on multiplie par

𝑖, c’est une rotation de 90° sur le plan complexe.

Multiplication par un nombre complexe : Il s’agit d’une rotation par l’angle que

forme le nombre complexe avec l’axe des 𝑥 ainsi qu’un étirement.

Desmos

Exemple

Multiplie le nombre complexe 6 − 2𝑖 par −4.

Multiplie les nombres complexes −4 + 3𝑖 et −2 − 5𝑖.

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F. Le complexe conjugué et la division de nombres complexes

Il n’est pas vraiment possible de diviser par un nombre complexe. Il faut plutôt

utiliser le complexe conjugué pour transformer une fraction ayant un nombre

complexe au dénominateur.

Si un binôme est 𝑎 + 𝑏, alors son conjugué est 𝑎 − 𝑏. Pour un nombre complexe 𝑧 =𝑎 + 𝑏𝑖, son complexe conjugué est dénoté par z barre, 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖.

Exemple

Le conjugué de −3 + √14 est −3 − √14. Seul le signe entre les termes change.

Le conjugué de 4 − 𝑖 est 4 + 𝑖.

Qu’arrive-t-il si on multiplie un nombre par son conjugué?

(−3 + √14)(−3 − √14)

9 + 3√14 − 3√14 − 14

−5

Dans le cas d’un binôme contenant un radical, la racine devient un nombre entier.

(4 − 𝑖)(4 + 𝑖)

16 + 4𝑖 − 4𝑖 − 𝑖2

16 + 4𝑖 − 4𝑖 − (−1)

17

Dans le cas des nombres complexes, la partie imaginaire devient réelle. XKCD

Pour faire une division, nous transformons la fraction utilisant le complexe conjugué.

Exemple

Simplifie 3−2𝑖

−2+3𝑖.

3 − 2𝑖

−2 + 3𝑖

3 − 2𝑖

−2 + 3𝑖⋅

−2 − 3𝑖

−2 − 3𝑖

−6 − 9𝑖 + 4𝑖 + 6𝑖2

4 − 9𝑖2

−6 − 13𝑖 − 6

4 + 9

−12 − 13𝑖

13

−12

13− 𝑖

On multiplie par une fraction composée par le

complexe conjugué du dénominateur.

Ceci change la forme de la fraction sans changer

sa valeur.

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G. La valeur de 𝒊𝒏

On peut déterminer la valeur de n’importe quelle puissance de 𝑖.

𝑖0 = 1

𝑖 = √−1

𝑖2 = −1

𝑖3 = 𝑖2 ⋅ 𝑖 = −1 ⋅ √−1 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 ⋅ 𝑖2 = −1 ⋅ −1 = 1

C’est cyclique. Si on prend la puissance et qu’on la divise par 4, le reste nous

donnera la valeur. Ceci est puisque chaque 𝑖4 qu’on peut factoriser est équivalent à 1.

Exemple

Quelle est la valeur de 𝑖6?

𝑖6 = 𝑖4 ⋅ 𝑖2 = 1 ⋅ 𝑖2 = −1

Ou en divisant l’exposant par 4 :

6 ÷ 4 = 12

4 ou 1 reste 2

Le reste devient l’exposant qu’on utilise pour déterminer la valeur : 𝑖2 = −1

Exemple

Détermine la valeur de 𝑖543.

543 ÷ 4 = 1353

4

Le reste est 3 alors ceci devient l’exposant : 𝑖3 = −𝑖.

H. Les propriétés des nombres complexes

Voici quelques propriétés des nombres complexes :

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 𝑧1

𝑧2= (

𝑧1

𝑧2)

𝑧 ⋅ 𝑧 = |𝑧|2 |𝑧| dénote le module et non la valeur absolue

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I. La résolution d’équations

Lorsqu’on résout des équations avec des nombres complexes, la partie réelle est

égale à la partie réelle et la partie imaginaire est égale à la partie imaginaire.

Par exemple, dans 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖, 𝑎 = 𝑐 et 𝑏 = 𝑑

Alors, si 3 + 𝑥𝑖 = 𝑦 − 2𝑖, 𝑦 = 3 et 𝑥 = −2

Exemple

Résous les équations suivantes :

3 − 𝑥𝑖 = 3 + 5𝑖 𝑐 + 6𝑖 = 4 − 𝑑𝑖

𝑥 = 5 𝑐 = 4 6 = −𝑑

𝑑 = −6

𝑛 − 4 + 2𝑖 = 5 − (𝑚 + 1)𝑖 3𝑚 − 2 − 2𝑖 = 7 + (𝑚 + 𝑛)𝑖

𝑛 − 4 = 5 2 = −(𝑚 + 1) 3𝑚 − 2 = 7 −2 = 𝑚 + 𝑛

𝑛 = 9 −2 = 𝑚 + 1 3𝑚 = 9

𝑚 = −3 𝑚 = 3 −2 = 3 + 𝑛

𝑛 = −5

4𝑚 + 2𝑛 − 9𝑖 = 6 + (𝑚 − 𝑛)𝑖 4𝑚 + 2𝑛 = 6 −9 = 𝑚 − 𝑛

𝑚 = 𝑛 − 9

4(𝑛 − 9) + 2𝑛 = 6

4𝑛 − 36 + 2𝑛 = 6

6𝑛 = 42

𝑛 = 7 𝑚 = 7 − 9

𝑚 = −2

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16

IV. Les nombres complexes sous forme polaire A. La forme polaire d’un nombre complexe

Étant donné qu’on peut représenter les nombre complexes sous forme de coordonnée

sur le plan complexe, on peut faire de même sous forme de coordonnée polaire.

Pour convertir le nombre complexe, 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, sous forme de coordonnée polaire

on utilisera la partie réelle comme composante horizontale et la partie imaginaire

comme composante verticale.

Les formules de conversions sont les mêmes que pour une coordonnée cartésienne

sauf 𝑥 = 𝑎 et 𝑦 = 𝑏 :

Pour déterminer la longueur 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 qui est le module alors |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2.

Pour déterminer l’angle : tan 𝜃 =𝑎

𝑏

Pour convertir de coordonnée polaire au nombre complexe :

𝑎 = 𝑟 cos 𝜃 et 𝑏 = 𝑟 sin 𝜃

Qu’on peut simplifier à 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟𝑖 sin 𝜃 ou 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃). Cette forme

est parfois raccourcie à 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃.

Exemple

Convertis le nombre complexe 𝑧 = 3 + 4𝑖 sous forme polaire.

Une autre façon de représenter les nombres complexes polaires est en utilisant 𝑒.

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 ou 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) ou 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃

Cette forme sera plus intuitive lors de calcul comportant les nombres complexes

étant donné les lois des exposants.

𝑧 = 3 + 4𝑖

ℝ

𝕀

4

3

𝑟 = |𝑧| = √32 + 42 = 5

𝑟

𝜃

𝜃 = tan−1 (4

3) = 53°

𝑧 = 5(cos 53° + 𝑖 sin 53°)

𝑧 = 5𝑐𝑖𝑠53°

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17

Exemple

Convertis le nombre complexe 𝑧 = −2 + 5𝑖 sous forme polaire.

Exemple

Convertis le nombre 𝑧 = 2𝑐𝑖𝑠 (5𝜋

4) sous la forme 𝑎 + 𝑏𝑖.

Exemple

Convertis le nombre 𝑧 = 6 − 3𝑖 sous la forme 𝑟𝑒𝑖𝜃.

Exemple

Convertis le nombre −4𝑒5𝜋

6𝑖 sous forme 𝑎 + 𝑏𝑖.

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18

B. Le produit de nombres complexes

Partie 7

Étant donné 𝑧1 = 𝑟1𝑐𝑖𝑠𝛼 et 𝑧2 = 𝑟2𝑐𝑖𝑠β, quel est le produit de ces deux nombres?

𝑧1 ⋅ 𝑧2

𝑟1𝑐𝑖𝑠𝛼 ⋅ 𝑟2𝑐𝑖𝑠𝛽

𝑟1 ⋅ 𝑟2(𝑐𝑖𝑠𝛼 ⋅ 𝑐𝑖𝑠𝛽)

𝑟1 ⋅ 𝑟2(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼)(cos 𝛽 + 𝑖 sin 𝛽)

𝑟1 ⋅ 𝑟2(cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖 cos 𝛼 sin 𝛽 + 𝑖 sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝑖2 sin 𝛼 sin 𝛽)

Étant donné que 𝑖2 = 1 :

𝑟1 ⋅ 𝑟2(cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝑖(cos 𝛼 sin 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽))

Utilisant les identités trigonométriques :

𝑟1 ⋅ 𝑟2(cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 + 𝛽))

Ou plus simplement :

𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑟1 ⋅ 𝑟2 𝑐𝑖𝑠(𝛼 + 𝛽)

Pourquoi additionner les angles?

Mettons plutôt les nombres sous forme 𝑒𝑖𝜃. Alors, 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝛼 et 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝛽.

𝑟1𝑒𝑖𝛼 ⋅ 𝑟2𝑒𝑖𝛽

𝑟1 ⋅ 𝑟2(𝑒𝑖𝛼𝑒𝑖𝛽)

Utilisant la loi des exposants :

𝑟1 ⋅ 𝑟2(𝑒𝑖𝛼+𝑖𝛽)

𝑟1 ⋅ 𝑟2 ⋅ 𝑒𝑖(𝛼+𝛽) ou 𝑟1 ⋅ 𝑟2 𝑐𝑖𝑠(𝛼 + 𝛽)

On voit alors la raison pour laquelle on additionne les angles.

Exemple

Évalue les produits suivants :

(4 − 6𝑖)(−2 − 𝑖) −2𝑐𝑖𝑠(37°) ⋅ 7𝑐𝑖𝑠(142°)?

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19

C. Le quotient de nombres complexes

Puisqu’il est plus facile de faire la preuve avec la forme 𝑟𝑒𝑖𝜃, déterminons le

quotient de nombres complexes.

Détermine le quotient 𝑧1

𝑧2 étant donné 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝛼 et 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝛽.

𝑟1𝑒𝑖𝛼

𝑟2𝑒𝑖𝛽

𝑟1

𝑟2𝑒𝑖𝛼−𝑖𝛽

𝑟1

𝑟2𝑒𝑖(𝛼−𝛽)

Alors,

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2𝑒𝑖(𝛼−𝛽) ou

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2𝑐𝑖𝑠(𝛼 − 𝛽)

Exemple

Évalue les quotients suivants :

7−2𝑖

−2+3𝑖

15𝑐𝑖𝑠(7𝜋

6)

−3𝑐𝑖𝑠(𝜋

4)

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20

D. Le théorème de Moivre

On utilise ce théorème lorsqu’on veut augmenter un nombre complexe à une

puissance ainsi qu’une variante de celui-ci pour déterminer des racines.

Étant donné 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃, quel est la valeur de 𝑧𝑛?

(𝑟𝑒𝑖𝜃)𝑛

𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖𝜃

Alors,

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖𝜃 ou 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑐𝑖𝑠(𝑛𝜃)

Exemple

Quelle est la valeur de (3 + 𝑖)6 et de (−2𝑐𝑖𝑠(40°))5?

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21

E. La 𝒏𝒆 racine de nombres complexes

Partie 8

Supposons que nous voulons trouver la solution à 𝑥2 = 4. Nous avons 2 solutions,

soit 𝑥 = 2 et 𝑥 = −2. Il y a deux racines puisque le polynôme est de degré 2. De

même que 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 a aussi deux racines. C’est le théorème fondamental de

l’algèbre. Le nombre de solutions d’une équation polynomiale correspond au degré

du polynôme.

Prenons 𝑥2 + 1 = 0. Il y a aussi deux solutions :

𝑥2 = −1

𝑥 = ±√−1 ou 𝑥 = ±𝑖

Selon ce raisonnement 𝑥3 = 8 devrait posséder trois solutions. Par contre, nous en

connaissons qu’une seule, 𝑥 = 2. Il y a donc une solution réelle et deux solutions

imaginaires.

Essayons de résoudre 𝑥3 − 8 = 0

(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 0

Utilisons la formule quadratique pour résoudre le facteur de degré 2.

𝑥 =−2±√22−4⋅4

2

𝑥 =−2±√−12

2

𝑥 = −1 ± 𝑖√3

Placez ces racines sur un plan complexe. Que remarquons-nous?

Desmos

Les racines sont tous séparées par 120°

(ou 360° divisé en trois parties égales).

On peut aussi le considérer comme

prendre la première racine et faire une

rotation de 120°, deux fois.

Une fois qu’on a trouvé la première

racine, les autres racines ne sont qu’une

rotation par 360° divisé par la racine

qu’on prend.

Si on prend la 5e racine d’un nombre, il

faut faire la rotation à chaque 360°

5= 72°.

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22

Étant donné le théorème de Moivre, nous pouvons appliquer celui-ci aux 𝑛𝑒 racines

d’un nombre complexe.

Supposons que 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃

Alors, 𝑧1/𝑛 = 𝑟1/𝑛𝑐𝑖𝑠 (𝜃

𝑛)

Par contre, ceci nous donne seulement une seule racine. Nous devons avoir le même

nombre de racines que la racine dont nous prenons.

Finalement,

𝑧1/𝑛 = 𝑟1/𝑛𝑐𝑖𝑠 (𝜃

𝑛+

2𝑘𝜋

𝑛) où 𝑘 = 0 à 𝑛 − 1

Ou en degrés,

𝑧1/𝑛 = 𝑟1/𝑛𝑐𝑖𝑠 (𝜃

𝑛+

360°𝑘

𝑛)

Approfondissement :

Partie 11 Partie 12 Partie 13

Exemple

Quelles sont les 4e racines de −12 + 7𝑖?

Quelles sont les valeurs de √120𝑐𝑖𝑠5𝜋

4

5 sur l’intervalle 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋?

Roger Durand Maths avancées

23

V. Les suites et les séries Une suite est une liste ordonnée de nombres suivant une régularité quelconque.

Un terme nous dit quelle position dans la liste se trouve le nombre. Le 3e terme est le 3e

nombre dans la liste, par exemple. On dénote les termes par 𝑐1 pour le premier terme, 𝑐2

pour le deuxième terme, 𝑐𝑛 pour le 𝑛𝑒 terme.

Il existe plusieurs types de suites :

A. Les types de suites

1. Les suites arithmétiques

Une suite est arithmétique si la différence entre chaque terme successif est égale.

𝑐𝑛+1 − 𝑐𝑛 = 𝑑

Un exemple de suite arithmétique est la suivante :

2, 5, 8, 11, …

Dans ce cas,

𝑐2 − 𝑐1 = 5 − 2 = 3

𝑐3 − 𝑐2 = 8 − 5 = 3

𝑐𝑛+1 − 𝑐𝑛 = 3

La formule générale d’une suite arithmétique est :

𝑐𝑛 = 𝑐1 + (𝑛 − 1)𝑑

Exemple

Écris la formule générale de la suite −6, −2, 2, 6, 10, …

Quel est le 51e terme de la suite 1

2,

5

6,

7

6, …?

Roger Durand Maths avancées

24

2. Les suites géométriques

Une suite est géométrique si chaque rapport entre deux termes successifs est

égal.

𝑐𝑛+1

𝑐𝑛= 𝑟

Un exemple d’une suite géométrique est la suivante :

3, 6, 12, 24, …

Dans ce cas, 𝑐2

𝑐1=

6

3= 2

𝑐3

𝑐2=

12

6= 2

𝑐𝑛+1

𝑐𝑛= 2

La formule générale d’une suite géométrique est la suivante :

𝑐𝑛 = 𝑐1 ⋅ 𝑟𝑛−1

Exemple

Écris la formule générale de la suite 1

3,

1

4,

3

16, …

Quel est le 12e terme de la suite −2, 1, −1

2, −

1

4, …?

Roger Durand Maths avancées

25

3. Autres types de suites

Certaines suites sont un mélange de suites arithmétiques et géométriques ou

aucune des deux.

a. Les suites ni arithmétiques, ni géométriques

La suite 3, 6, 11, 20, … en est un exemple. Quoiqu’il y a une régularité qui

peut être exprimée par rapport à 𝑛. Il s’agit de 𝑐𝑛 = 2𝑛 + 𝑛.

b. Les suites affectées par une autre fonction

Une suite telle √4, √7, √10, … n’est pas une suite arithmétique quoique les

radicandes le sont. On peut écrire la formule générale arithmétique avec la

racine carrée : 𝑐𝑛 = √4 + (𝑛 − 1)3

c. Les suites qui possèdent deux types de suites

Les suites suivantes possèdent deux différentes suites :

2

5,

5

7,

8

9, …

3

15,

9

17,

27

19, …

La première suite possède une suite arithmétique au numérateur qui

augmente de 3 et le dénominateur est une suite arithmétique qui augmente

par 2. La formule générale peut donc être décrite par 𝑐𝑛 =2+(𝑛−1)3

5+(𝑛−1)2.

La deuxième comporte une suite géométrique au numérateur et une suite

arithmétique au dénominateur. La formule générale est 𝑐𝑛 =(3𝑛)

15+(𝑛−1)2.

4. Les suites récurrentes

Une suite récurrente en est une où un ou plusieurs termes précédents sont inclus

dans la formule. Dans ce type de suite, il faut aussi nommer le premier terme.

𝑐𝑛 = 2 + 𝑐𝑛−1, 𝑐1 = 3

Si on veut trouver les autres termes, nous devons avoir le terme précédent.

Si on cherche le 2e terme, où 𝑛 = 2, on substitue dans la formule

𝑐2 = 2 + 𝑐2−1 = 2 + 𝑐1 = 2 + 3 = 5

Ou le 3e terme (𝑛 = 3) :

𝑐3 = 2 + 𝑐3−1 = 2 + 𝑐2 = 2 + 5 = 7

On peut voir que la suite est arithmétique puisqu’on additionne 2 à chaque terme

successif.

Exemple

Décris la suite de Fibonacci sous forme récurrente. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … )

Roger Durand Maths avancées

26

B. La preuve par induction

Ce type de preuve est utilisé lorsqu’on a une suite de termes et qu’on veut prouver sa

validité. Cette preuve repose sur deux points :

a. On doit démontrer que le premier terme est vrai

b. On suppose que le 𝑛𝑒 terme est vrai et on démontre que le (𝑛 + 1)𝑒 terme

est aussi vrai

Si ces deux points sont vrai, on peut conclure que 𝑐𝑛 est vrai pour n’importe quel

terme.

Étant donné que le premier terme est vrai et que le prochain terme (𝑐𝑛+1) l’est aussi,

alors 𝑐𝑛+2 l’est aussi et ainsi de suite.

C. Les limites de suites

Certaines suites semblent converger vers une valeur. On appelle ces suites

convergentes.

Prenons 𝑐𝑛+1 =2

3−𝑐𝑛, 𝑐1 = 0.

𝑐1 = 0

𝑐2 =2

3 − 0=

2

3

𝑐3 =2

3 −23

=6

7

𝑐4 =2

3 −67

=14

15

Cette suite semble converger vers 1. Comment peut-on le démontrer?

Pour qu’une suite possède une limite, elle doit être :

- monotone : croissante (𝑐𝑛+1 > 𝑐𝑛) ou décroissante(𝑐𝑛+1 < 𝑐𝑛)

- bornée : il semble avoir une valeur maximum ou minimum

Roger Durand Maths avancées

27

Utilisons la preuve par induction pour démontrer ces deux conditions :

Est-ce que la suite est croissante.

Vérifions pour 𝑛 = 1 :

𝑐2 =2

3−𝑐1=

2

3 𝑐2 < 𝑐1

Supposons que c’est vrai pour 𝑛 (𝑐𝑛+1 > 𝑐𝑛), démontrons que c’est vrai pour 𝑛 + 1 (𝑐𝑛+2 > 𝑐𝑛+1).

𝑐𝑛+1 > 𝑐𝑛 est vrai

−𝑐𝑛+1 < −𝑐𝑛 change le signe puisqu’on a multiplié par −1

3 − 𝑐𝑛+1 < 3 − 𝑐𝑛 additionner 3 de chaque côté ne change pas l’inéquation 1

3−𝑐𝑛+1>

1

3−𝑐𝑛 inverser l’inéquation change le signe

2

3−𝑐𝑛+1>

2

3−𝑐𝑛 multiplier par 2 ne change pas l’inéquation

𝑐𝑛+2 > 𝑐𝑛+1 nous avons donc démontré que la suite est croissante

Est-ce que la suite est bornée? Utilisons la preuve par induction encore une fois.

Choisissons une limite supérieure et vérifions si toutes les valeurs sont plus petites

que celle-ci.

La limite semble tendre vers 1 alors prenons une valeur légèrement plus élevée, 1,2.

Démontrons que c’est vrai pour le premier terme :

𝑐1 = 0 < 1,2 oui, c’est vrai pour le premier terme

Supposons que c’est vrai pour le 𝑛𝑒 terme, démontrons que c’est vrai pour le (𝑛 + 1)𝑒 terme :

𝑐𝑛 < 1,2 suppose que c’est vrai pour 𝑛

−𝑐𝑛 > −1,2

3 − 𝑐𝑛 > 3 − 1,2 1

3 − 𝑐𝑛<

1

1,8

2

3 − 𝑐𝑛<

2

1,8

𝑐𝑛+1 < 1,11 < 1,2 𝑐𝑛+1 est aussi plus petit que 1, 2

Puisque la suite est monotone et bornée, la suite possède une limite.

𝑐𝑛+1 =2

3 − 𝑐𝑛

lim𝑛→∞

𝑐𝑛+1 = lim𝑛→∞

2

3−𝑐𝑛

lim𝑛→∞

𝑐𝑛+1 =2

3− lim𝑛→∞

𝑐𝑛 d’après les propriétés des limites

𝐿 =2

3−𝐿 puisque la limite de 𝑐𝑛+1 est la même que celle de 𝑐𝑛

Roger Durand Maths avancées

28

Nous n’avons qu’à résoudre cette équation.

𝐿 =2

3 − 𝐿

𝐿(3 − 𝐿) = 2

−𝐿2 + 3𝐿 − 2 = 0

𝐿 =3

2± √

9

4− 2

𝐿 =3

2± √

1

4

𝐿 =3

2±

1

2

𝐿 = 2 𝐿 = 1

Pourquoi le 2?

3Blue1Brown – toute la vidéo est intéressante mais la partie qui nous intéresse

pour cette question est de 3:43 à environ 8:00. La limite de 2 est un point fixe

instable tandis que celle de 1 est un point fixe stable.

Essaie la même suite mais avec 𝑐1 = 2. Qu’arrive-t-il?

Si on prend une valeur initiale très près de 2, comme par exemple, 𝑐1 = 1,9999.

On peut voir qu’en débutant près du point fixe instable que la suite reste près de

cette valeur avant de retourner vers la limite de 1.

𝑐1 0

𝑐2 0.66666667

𝑐3 0.85714286

𝑐4 0.93333333

𝑐5 0.96774194

𝑐6 0.98412698

𝑐7 0.99212598

𝑐8 0.99607843

𝑐9 0.99804305

𝑐10 0.99902248

𝑐11 0.99951148

𝑐12 0.9997558

𝑐13 0.99987791

𝑐14 0.99993896

𝑐15 0.99996948

𝑐1 1.9999

𝑐2 1.99980002

𝑐3 1.99960012

𝑐4 1.99920056

𝑐5 1.9984024

𝑐6 1.99680989

𝑐7 1.99364007

𝑐8 1.98736052

𝑐9 1.97503657

𝑐10 1.95128913

𝑐11 1.90710333

𝑐12 1.82999917

𝑐13 1.7094005

𝑐14 1.54966742

𝑐15 1.37899405

Roger Durand Maths avancées

29

D. Les séries

1. La notation sigma

Une série est la somme des termes d’une suite. Si une suite est 1, 3, 5, 7, … alors

une série est 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯.

On peut dénoter une série avec la lettre grecque sigma, ∑ .

∑ 𝑓(𝑖)

𝑛

𝑖=1

Seule la formule générale fonctionnera. La formule de suite récursive ne peut être

utilisée avec la notation sigma.

Exemple

∑(2𝑛 + 1)

4

𝑖=1

Cette série nous dit de prendre la somme des 4 premiers termes de la suite 2𝑛 + 1.

∑(2𝑛 + 1)

4

𝑖=1

= (2 ⋅ 1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + (2 ⋅ 3 + 1) + (2 ⋅ 4 + 1)

= 3 + 5 + 7 + 9 = 24

Comment ferions-nous pour calculer :

∑(2𝑛 + 1)

200

𝑖=1

Ce serait long de tout additionner cette série.

Nous avons des formules pour nous aider à calculer les séries.

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

∑ 𝑖2

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

∑ 𝑖3

𝑛

𝑖=1

=𝑛2(𝑛 + 1)2

4

∑ 𝑐

𝑛

𝑖=1

= 𝑐𝑛

∑ 𝑐𝑓(𝑖)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐 ∑ 𝑓(𝑖)

𝑛

𝑖=1

terme initial

terme final formule générale de la suite

dont nous voulons la somme

Roger Durand Maths avancées

30

Exemple

Quelle est la somme des 15 premiers termes de la série 3, 7, 11, 15, …

𝑓(𝑖) = 3 + (𝑖 − 1)4 = 4𝑖 − 1

∑ 𝑓(𝑖)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 4𝑖 − 1

𝑛

𝑖=1

= 4 ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

− ∑ 1

𝑛

𝑖=1

=4𝑛(𝑛 + 1)

2− 𝑛

∑ 4𝑖 − 1

15

𝑖=1

=4 ⋅ 15(15 + 1)

2− 15 = 465

Exemple

Quelle est la formule générale de la série?

∑ 4𝑖 − 2

𝑛

𝑖=1

∑ 4𝑖 − 2

𝑛

𝑖=1

= 4 ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

− ∑ 2

𝑛

𝑖=1

=4𝑛(𝑛 + 1)

2− 2𝑛 = 2𝑛(𝑛 + 1) − 2𝑛 = 2𝑛2

Exemple

Quelle est la somme suivante?

∑ 2𝑖2 + 3𝑖 − 4

𝑛

𝑖=1

Roger Durand Maths avancées

31

2. La somme avec un intervalle autre que 1 à n

Si la somme commence à 1 et se termine à un autre nombre, on peut utiliser les

propriétés et les formules démontrées. Cependant, si l’intervalle est comme la

suivante, on ne peut les utiliser.

∑ 𝑖

10

𝑖=5

On doit utiliser la propriété suivante :

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑖

𝑘−1

𝑖=1

+ ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=𝑘

Nous séparons l’intervalle en deux parties. Puisqu’il y a deux sommes qui

débutent à 1, on peut les mettre sur le même côté afin de déterminer la somme.

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=𝑘

= ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

− ∑ 𝑖

𝑘−1

𝑖=1

Exemple

Quelle est la somme des termes 4 à 12 de la suite 3𝑛 + 2?

∑ 3𝑖 + 2

12

𝑖=4

= ∑ 3𝑖 + 2

12

𝑖=1

− ∑ 3𝑖 + 2

3

𝑖=1

∑ 3𝑖 + 2

12

𝑖=4

= 3 ∑ 𝑖 + 2𝑛

12

𝑖=1

− (3 ∑ 3𝑖 + 2𝑛

3

𝑖=1

)

=3 ⋅ 12(12 + 1)

2+ 2 ⋅ 12 −

3 ⋅ 3(3 + 1)

2− 2 ⋅ 3 = 234

Exemple

Quelle est la somme suivante?

∑ 𝑖2 − 3𝑖 + 2

40

𝑖=25

Roger Durand Maths avancées

32

3. La preuve de sommes

Comment fait-on pour prouver que

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

Nous allons faire une preuve par induction.

Vérifions lorsque 𝑛 = 1 :

∑ 𝑖

1

𝑖=1

=1(1 + 1)

2

1 = 1 C’est vrai pour le premier terme.

Supposons que cette formule est vraie pour 𝑛 :

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

est vrai.

Démontrons que c’est aussi vrai pour 𝑛 + 1 :

Est-ce que

∑ 𝑖

𝑛+1

𝑖=1

=(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

Substituons la notation sigma par la somme :

1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 − 1) + 𝑛 + (𝑛 + 1) =(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

La somme de ces termes est

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

+ (𝑛 + 1) =(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

Cette somme est égale à 𝑛(𝑛+1)

2 :

𝑛(𝑛 + 1)

2+ (𝑛 + 1) =

(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

Il ne reste qu’à démontrer que ces deux côtés sont égaux. C’est une identité alors

on ne veut pas échanger les termes de côté.

Roger Durand Maths avancées

33

Mettons les termes sur un dénominateur commun :

𝑛(𝑛 + 1)

2+

2(𝑛 + 1)

2=

(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

Factorisons le 𝑛 + 1 :

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2=

(𝑛 + 1)((𝑛 + 1) + 1)

2

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2=

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2

Puisque la formule générale fonctionne pour le premier terme et qu’on a

démontré qu’il était vrai pour 𝑛 + 1 supposant qu’il était vrai pour 𝑛, alors

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

est vrai pour toutes les valeurs 𝑛.

Exemple

Démontre que

∑ 𝑖2

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

est vrai pour toutes valeurs de 𝑛.