Robot ramasseur de fruits -...

Sciences Industriellesde l'Ingénieur

CI 3 – CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES

CHAPITRE 5 – CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

Activité proposée par F. Mathurin

Robot ramasseur de fruits

On étudie un robot ramasseur de fruits. Il permet à un agriculteur de cueillir, de manière automatique, les fruits mûrs dans

les arbres, et de les mettre dans un conteneur spécifique.

Le bras 1 tourne autour de l’axe (O0,−→z0 ) par rapport au bâti 0. Le bras 2 tourne autour de l’axe (O1,−→z0 ) par rapport à 1. Le

bras 3 tourner autour de l’axe (O2,−→z0 ) par rapport à 2. On pose :

–−−−→O0O1 =R−→x1 ;

–−−−→O1O2 =R−→x2 ;

–−−→O2M = L−→x3 ;

Question 1

Construire les figures planes de repérage/paramétrage puis exprimer les vecteurs vitesse instantanée de rotation−−−−→Ω (1/0),

−−−−→Ω (2/1),

−−−−→Ω (3/2).

2013 – 2014X. PESSOLES – TD de F. Mathurin

1 CI 3 : CIN – TDCh 5 : Cinématique du solide – P


Correction ~x0

~y0

~x1

~y1

~z0 0

1

θ1

θ1

~x1

~y1

~x2

~y2

~z0 1

2

θ2

θ2

~x2

~y2

~x3

~y3

~z0 2

3

θ3

θ3

−→Ω 1/0 = θ1 ~z0

−→Ω 2/1 = θ2 ~z0

−→Ω 3/2 = θ3 ~z0

Question 2

Déterminer−−−−−−−−→V (O1 ∈ 1/0).

Correction

−→V O1∈1/0 =

−→V O0∈1/0+

−→Ω 1/0 ∧

−−−→O0O1

= θ1 ~z0 ∧R ~x1

−→V O1∈1/0 =R θ1 ~y1

Question 3

Déterminer−−−−−−−−→V (O2 ∈ 2/0).

Correction

−→V O2∈2/0 =

−→V O1∈2/0+

−→Ω 2/0 ∧

−−−→O1O2

=−→V O1∈2/1+

−→V O1∈1/0+ (

−→Ω 2/1+

−→Ω 1/0)∧

−−−→O1O2

=R θ1 ~y1+ (θ2+ θ1)~z0 ∧R ~x2

−→V O2∈2/0 =R θ1 ~y1+R (θ2+ θ1)~y2

Question 4

Déterminer−−−−−−−−→V (M ∈ 3/0).

Correction

−→V M∈3/0 =

−→V O2∈3/0+

−→Ω 3/0 ∧

−−→O2M

=−→V O2∈3/2+

−→V O2∈2/0+ (

−→Ω 3/2+

−→Ω 2/1+

−→Ω 1/0)∧

−−→O2M

=R θ1 ~y1+R (θ2+ θ1)~y2+ (θ3+ θ2+ θ1)~z0 ∧ L ~x3

−→V M∈3/0 =R θ1 ~y1+R (θ2+ θ1)~y2+ L (θ3+ θ2+ θ1)~y3




Question 5

Dans la configuration de rapprochement horizontal, (θ2 =π−2θ1 etθ3 = θ1−π

2) montrer que

−−−−−−−−→V (M ∈ 3/0)·−→x0 = 0et déterminer

||−−−−−−−−→V (M ∈ 3/0)||.

Correction

θ2 =π−2θ1

θ3 = θ1−π

2(

θ2 =−2θ1

θ3 = θ1

−→V M∈3/0 =R θ1 ~y1+R (θ2+ θ1)~y2+ L (θ3+ θ2+ θ1)~y3

=R θ1 ~y1−R θ1 ~y2+ L (θ1−2θ1+ θ1)~y3

=R θ1(~y1− ~y2)

Or

~y1 = cosθ1 ~y0− sinθ1 ~x0

~y2 = cos(θ1+θ2︸︷︷︸

π−θ1

)~y0− sin(θ1+θ2︸︷︷︸

π−θ1

)~x0

=−cosθ1 ~y0− sinθ1 ~x0

D’où

~y1− ~y2 = 2 cosθ1 ~y0

Ainsi

−→V M∈3/0 = 2R θ1 cosθ1 ~y0

Ce qui prouve que−→V M∈3/0 · ~x0 = 0 et que :

−→V M∈3/0

= 2R θ1 cosθ1

Question 6

Déterminer la valeur numérique de la vitesse maximale (R = 48 cm, L = 72 cm et θ1 = 0, 08t r /mi n ) et conclure quant à la

capacité du robot à satisfaire le critère de vitesse d’approche du fruit du cahier des charges.

Correction

Application numérique :

R = 0.48 m

L = 0.72 m

θ1 = 0, 08 tr/min

= 0, 00838 rad/s




Correction

La valeur maximale de

−→V M∈3/0

est atteinte pour θ1 = 0, ce qui donne :

−→V M∈3/0

= 2R θ1

= 0, 00804 m/s

= 0, 8 cm/s

Le cahier des charges est bien respecté, car

−→V M∈3/0

< 3 cm/s

Manège Magic Arms

La manège Magic Arms dont la modélisation ainsi qu’un extrait de cahier des charges fonctionnel est composé d’une

structure métallique d’environ 12 m de haut avec deux bras mobiles. Les passagers s’assoient sur 39 pièces disposées sur

une plate-forme tournante. Dès que tous les passagers sont assis et attachés, la nacelle tourne autour de son axe, le bras

principal (bras 1) et le bras secondaires (bras 2), liés l’un à l’autre au début du cycle, commencent à tourner. Après 9 secondes,

le maximum de hauteur est atteint et les deux bras se désindexent et se mettent à tourner indépendamment l’un de l’autre.

Tous les mouvements sont pilotés par ordinateur.

Le manège, schématisé ci-dessus, comporte :

– un bras principal 1 assimilé à une barre AO1O2. Il est en liaison pivot parfait d’axe (O1,−→z1 ) caractérisée par le paramètre

α avec le bâti 0. On pose−−−→O1O2 =−l1

−→y1 ;

– un bras secondaire 2 assimilé à une barre B O2O3. Il est en liaison pivot parfait d’axe (O2,−→z2 ) caractérisée par le paramètre

β avec le bras principal 1. On pose−−−→O2O3 =−l2

−→y2 ;




– une nacelle 3 assimilée à un disque de centre O3 et de rayon R . Elle est en liaison parfaite d’axe (O3,−→y2 ) caractérisée par

le paramètre ϕ avec le bras 2. On s’intéresse plus particulièrement à un passager considéré comme un point matériel P

tel que−−→O3P =−R−→z3 .

Question 1

Construire les figures planes associées au schéma cinématique.

Correction

~x0

~y0

~x1

~y1

~z0 0

1

α

α

~x1

~y1

~x2

~y2

~z0 1

2

β

β

~z0

~x2

~z3

~x3

~y2 2

3

ϕ

ϕ

Question 2

Calculer−−−−→Ω (1/0),

−−−−→Ω (2/1) et

−−−−→Ω (3/2).

Correction

−→Ω 1/0 = α~z0

−→Ω 2/1 = β ~z0

−→Ω 3/2 = ϕ ~y2

On admet que−−−−→Ω (3/0) =

−−−−→Ω (3/2) +

−−−−→Ω (2/1)+

−−−−→Ω (1/0).

Question 3

Calculer−−−−→Ω (2/0) et

−−−−→Ω (3/0).

Correction

−→Ω 2/0 =

−→Ω 2/1+

−→Ω 1/0

= (α+ β )~z0

−→Ω 3/0 =

−→Ω 3/2+

−→Ω 2/0

= (α+ β )~z0+ ϕ ~y2

Question 4

Calculer les produits vectoriels suivants : −→z2 ∧−→z3 , −→x3 ∧−→x2 , −→x3 ∧−→z2 , −→z2 ∧−→z1 , −→x2 ∧

−→x0 , −→x3 ∧−→z0 .



Sciences Industriellesde l'IngénieurCorrection

~z2 ∧ ~z3 = sinϕ~y2

~x3 ∧ ~x2 =−sinϕ~y2

~x3 ∧ ~z2 =−sinπ

2+ϕ

~y2

=−cosϕ~y2

~z2 ∧ ~z1 = ~0

~x2 ∧ ~x0 =

cosβ ~x1+ sinβ ~y1

∧ ~x0

=−cosβ sinα~z0− sinβ sinπ

2+α

~z0

= (−cosβ sinα− sinβ cosα)~z0

=−sin(β +α)~z0

~x3 ∧ ~z0 =−sinπ

2+ϕ

~y2

=−cosϕ~y2

Question 5

Calculer−−−−−−−−→V (O2 ∈ 2/0),

−−−−−−−−→V (O3 ∈ 3/0) et

−−−−−−−→V (P ∈ 3/0).

Correction

−→V O2∈2/0 =

−→V O2∈2/1+

−→V O2∈1/0

=−→V O1∈1/0+

−→Ω 1/0 ∧

−−−→O1O2

= α~z0 ∧ (−l1 ~y1)−→V O2∈2/0= l1α ~x1

−→V O3∈3/0 =

−→V O3∈3/2+

−→V O3∈2/0

=−→V O2∈2/0+

−→Ω 2/0 ∧

−−−→O2O3

= l1α ~x1+ (α+ β )~z0 ∧ (−l2 ~y2)−→V O3∈3/0= l1α ~x1+ l2(α+ β )~x2

−→V P∈3/0 =

−→V O3∈3/0+

−→Ω 3/0 ∧

−−→O3P

= l1α ~x1+ l2(α+ β )~x2+

(α+ β )~z0+ ϕ ~y2

∧ (−R ~z3)−→V P∈3/0= l1α ~x1+ l2(α+ β )~x2−R sinϕ(α+ β )~y2−R ϕ ~x3

On donne l’évolution des vitesses angulaires des moteurs du manège en fonction du temps.




Question 6

Déterminer les valeurs des paramètres α, β et ϕ puis l’expression analytique des positions angulairesα(t ) etβ (t ) etϕ(t ) dans

l’intervalle de temps [17; 27] secondes en sachant qu’à l’instant t = 17 s , on a α= 10, 5 r a d , β = 3, 76 r a d et ϕ =−10, 676 r a d .

Correction

Dans l’intervalle de temps compris entre 17 et 27 secondes, les vitesses angulaires sont constantes.

α= 0, 84 rad/s

β= 0, 94 rad/s

ϕ=−0, 628 rad/s

Ainsi, par intégration :

α(t )−α(17) =

∫ t

17

αdτ

Question 7

Déterminer les valeurs numériques à l’instant t1 = 19, 8 s de α, β et ϕ.

Correction

Pour t = 19, 8 s,

α= 0, 84× (19, 8−17) +10, 5= 12, 85 rad

β = 0, 94× (19, 8−17) +3, 76= 6, 39 rad

ϕ =−0, 628× (19, 8−17)−10, 676= 12, 43 rad




Question 8

On pose−−−−−−−→V (P ∈ 3/0) =Vx 2

−→x2+Vy 2−→y2 +Vz 2

−→z2 . Déterminer les expressions littérales de Vx 2, Vx 2, Vz 2 puis les valeurs numériques

de à t1 = 19, 8 s . (On donne : l1 = 3, 9 m , l2 = 2, 87 m , R = 2, 61 m .)

Correction

Il s’agit de projeter le vecteur−→V P∈3/0 dans la base (~x2, ~y2, ~z0). En effet, le vecteur ~z2 est identique au vecteur ~z0.

−→V P∈3/0 =Vx 2 ~x2+Vy 2 ~y2+Vz 2 ~z0

Vx 2 =−→V P∈3/0 · ~x2

=

l1α ~x1+ l2(α+ β )~x2−R sinϕ(α+ β )~y2−R ϕ ~x3

· ~x2

Vx 2= l1αcosβ + l2(α+ β )−R ϕ cosϕ

Vy 2 =−→V P∈3/0 · ~y2

=


· ~y2

Vy 2=−l1αsinβ −R sinϕ(α+ β )

Vz 2 =−→V P∈3/0 · ~y2

=


· ~z0

Vz 2=R ϕ sinϕ

Valeurs numériques à t = 19, 8 s :

Vx 2 = 3, 9×0, 84× cos(6, 39) +2, 87× (0, 84+0, 94) +2, 61×0, 628× cos(12, 43)

= 9, 99 m/s

Vy 2 =−3, 9×0, 84× sin(6, 39)−2, 61× sin(12, 43)× (0, 84+0, 94)

= −0, 28 m/s

Vz 2 =−2, 61×0, 628× sin(12, 43)

= −0, 22 m/s

Question 9

Calculer−−−−−−−→Γ (P ∈ 3/0).




Correction

−→Γ P∈3/0 =

d−→V P∈3/0

dt

0

=d

dt


0

= l1α ~x1+ l1α

d~x1

dt

0︸︷︷︸

α ~y1

+l2(α+ β )~x2+ l2(α+ β )

d~x2

dt

0︸︷︷︸

(α+β )~y2

−R ϕ cosϕ(α+ β )~y2

−R sinϕ(α+ β )~y2−R sinϕ(α+ β )

d~y2

dt

0︸︷︷︸

−(α+β )~x2

−R ϕ ~x3−R ϕ

d~x3

dt

0

d~x3

dt

0=

d~x3

dt

3+−→Ω 3/0 ∧ ~x3

=

(α+ β )~z0+ ϕ ~y2

∧ ~x3

= (α+ β )cosϕ~y2− ϕ ~z3

D’où :

−→Γ P∈3/0 = l1α ~x1+ l1α

2 ~y1+ l2(α+ β )~x2+ l2(α+ β )2 ~y2−2R ϕ cosϕ(α+ β )~y2

−R sinϕ(α+ β )~y2+R sinϕ(α+ β )2 ~x2−R ϕ ~x3+R ϕ2 ~z3

Question 10

Calculer−−−−−−−→Γ (P ∈ 3/0) dans l’intervalle de temps [17; 27] secondes pour lequel les vitesses angulaires sont constantes.

Correction

Dans le cas ou les vitesses angulaires sont constantes, les accélérations angulaires α, β , et ϕ sont nulles.

L’expression de−→Γ P∈3/0 se simplifie donc :

−→Γ P∈3/0= l1α

2 ~y1+ l2(α+ β )2 ~y2−2R ϕ cosϕ(α+ β )~y2+R sinϕ(α+ β )2 ~x2+R ϕ2 ~z3

Le graphe ci-dessous, obtenu par simulation numérique, présente le module de la vitesse du passager P par rapport au

bâti 0 ainsi que le module de l’accélération du passager P par rapport au bâti 0 en fonction du temps.




Question 11

Comparer les résultats obtenus à la question 6 à ceux du graphe pour le temps t1 = 19, 8 s ..

Correction

Le graphe montre qu’à t = 19, 8 s, l’intensité du vecteur−→V P∈3/0 vaut 10 m/s. Or d’après la question 8,

−→V P∈3/0

=Ç

V 2x 2+V 2

y 2+V 2z 2

=p

9, 992+0, 282+0, 222

= 10 m/s

On constate que le calcul littéral nous donne le même résultat que l’exploitation de la courbe.

Question 12

Relever l’accélération maximale subie par le passager et conclure vis-à-vis du CdCF.

Correction

D’après la courbe de l’accélération (en pointillés), la valeur maximale de l’accélération subie par le passager vaut

17,5 m/s2. Le cahier des charges exige que l’accélération maximale ne dépasse pas 2,5 g , soit 24,5 m/s2. Le cahier des

charges est donc respecté.



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