RUSSIR

LPREUVE

DE MATHMATIQUES

Baccalaurat 2015

Faire rentrer lcole dans lre du numrique

Le mot candidat fait rfrence aux deux sexes (Masculin et Fminin)

Russir lpreuve de mathmatiques au baccalaurat.

1- Dure et coefficient

Lpreuve dure 4 heures, son coefficient est 3 pour les candidats inscrits en philo

C et 2 pour ceux inscrits en A et D.

2- Composition de lpreuve

Lpreuve crite de mathmatiques comporte 3 parties se rapportant tous les

domaines du programme et lune dentre-elles, la premire partie le plus souvent,

est compose dune srie de questions rponses objectives qui englobe tous les

domaines (thmes) du programme.

3- Structure de lpreuve (Philo C-D)

La partie A :

La premire partie note dans le texte dexamen partie A est constitue dune

srie de 10 questions objectives de type : complter ou choisir la bonne

rponse. Cette partie compte pour 30% de la note globale et fait appel aux

capacits du candidat effectuer des calculs sur les fonctions logarithme et

exponentielle surtout (drives, domaine, limite, primitive, intgration ), la

probabilit de ralisation dun vnement au cours dun lancement de d, la

forme matricielle dun nombre complexe, les conditions lies au comportement

dune suite relle, les coordonnes de lisobarycentre dun ensemble de points

du plan, les conditions de supplmentarit de deux sous-espaces vectoriels dun

espace vectoriel donn etc

La partie B :

La partie B galement sur 30% de la note globale, mais obligatoire, se rapporte

la rsolution dun exercice dAnalyse sur les fonctions (logarithmique et

exponentielle par exemple). Le candidat est appel faire ltude de cette

fonction, de la dtermination du domaine de dfinition (sil nest pas donn) la

reprsentation graphique. Le candidat peut ventuellement rpondre dautres

questions se basant sur des inquations, des calculs daire, etc.

La partie C :

La partie C qui traite de la rsolution de deux exercices proposs sur quatre (4),

renvoie des lments de contenus sur les suites numriques, la gomtrie, les

nombres complexes et la probabilit. Le candidat a le choix de traiter deux (2) des

quatre (4) exercices comptant chacun sur 20% de la note globale; ce qui donne

une reprsentation de 40% pour cette partie de lpreuve des mathmatiques.

Structure de lpreuve (Philo A)

Lpreuve crite de mathmatiques en philo A comporte deux parties.

La partie A ou premire partie

La partie A, constitue dune srie de dix (10) questions objectives (analyse, suites

relles, probabilit) comme en philo C-D est compte pour 30% de la note globale avec 3

points par question.

La partie B :

La partie B comptant pour 70% de la note globale, invite le candidat rsoudre

obligatoirement trois (3) exercices portant sur lanalyse, les suites numriques et la

probabilit.

Pour russir les preuves de mathmatiques pour les sections A, C, D et le NS4

(Quelques conseils)

I- Gestion du temps

1.1.Analyser le libell

Le MENFP invite chaque candidat grer son temps en deux (2) tapes.

lire le libell deux fois

faire une lecture intgrale du texte pour voir les concepts du programme

utiliss puis dcrypter le texte.

1.2.Comprendre un exercice.

Un exercice est un tout, les questions sont lies entre elles. Par exemple, quand

une question commence par En dduire que.. , on doit tenir compte de la

question prcdente ou des questions prcdentes.

II- Rponse une question ou rsolution des problmes.

2.1. Le candidat nest pas oblig de rpondre aux questions lune aprs lautre ou de

rsoudre les problmes lun aprs lautre. Il doit dabord rpondre aux questions ou

rsoudre des problmes quil maitrise.

2.2. Un candidat doit garder son calme tout au long de la dure du test. Sil narrive

pas rpondre convenablement une question quil ne se laisse pas dpasser par cette

situation. Il na qu laisser un espace et revenir plus tard l-dessus, si le temps ne lui

fait pas dfaut.

2.3. Mthode lie un exercice.

A chaque fois quun candidat rsoud un exercice; il doit sassurer quon ne lui impose

pas une mthode.

2.4. Les calculs

Un candidat na aucun intrt faire tous ses calculs au brouillon pour des

exercices quil comprend.

Un candidat doit vrifier que ses calculs sont senss; par exemple la probabilit

dun vnement est un nombre compris entre 0 et 1; une distance est un nombre

positif; etc..

Un candidat doit encadrer ses rponses pour faciliter la correction de sa copie.

III- Rdaction

Un candidat doit

1) viter de faire des ratures

2) tre prcis dans ses raisonnements.

3) Sparer les questions en sautant au moins une ligne.

Toutes ces dispositions tendent amliorer grandement la qualit de la rdaction et de la

prsentation de la copie.

CE QUE TOUT CANDIDAT DOIT SAVOIR POUR REUSSIR LEXAMEN DE

MATHMATIQUES

Modules

I.- Suites numriques.

II.- Probabilits

III.- Analyse.

IV.- Gomtrie.

V.- Nombres complexes.

Pr-requis

Notions danalyse combinatoire.

1.- Factorielle.

2.- Arrangement.

3.- Permutation.

4.- Combinaison.

5.- Formule du binme de Newton.

Dfinitions et vocabulaire des vnements.

. Espace probabilis.

. Equiprobabilit

. Probabilit conditionnelle.

. Evnements indpendants.

. Formule des probabilits totales.

. Epreuves de Bernoulli

. Variables alatoires discrtes.

. Variables alatoires Binomiales et de

Bernoulli

Nombres Complexes

Sommaire

1.- Ensemble des nombres complexes.

2.- Oprations sur les nombres complexes.

3.- Conjugu dun nombre complexe.

4.- Module dun nombre complexe.

5.- Forme trigonomtrique dun nombre

complexe.

6.- Forme exponentielle dun nombre

complexe.

7.- Racines carrs dun nombre complexe.

a) Forme algbrique.

b) Forme trigonomtrique.

c) Racines nime dun nombre

complexe.

8.- Equations du 1er

degr dans

a) Equations ne contenant que .

b) Equations contenant et .

9.- Equations du 2nd

degr dans .

a) Equations coefficients rels.

b) Equations coefficients

complexes.

10.- Equations du troisime degr ou plus dans

.

11.- Linarisation.

12.- Similitude

a) Similitude plane directe.

b) Similitude plane indirecte.

ANALYSE

1. Fonctions numriques

Limite.

Continuit

Drivabilit

2. Primitive

3. Intgrale

4. Fonction logarithme nprien.

5. Fonctions exponentielles.

SUITES RELLES

1.- Gnralits.

2.- Suites arithmtiques

- Approche et dfinition.

- Terme gnral dune suite arithmtique.

- Somme de termes conscutifs dune suite

arithmtique.

3.- Suites Gomtriques

- Approche et dfinition.

- Terme gnral dune suite gomtrique.

- Somme des termes conscutifs dune

suite gomtrique.

- Limite dune suite gomtrique de raison

strictement positive.

4.- Suite arithmtico-gomtriques.

GOMTRIE (TERMINALES)

1.- Structure despace vectoriel et sous espace

vectoriel.

2.- Sous-espaces vectoriels supplmentaires.

3.- Applications linaires.

4.- Noyau et Image dune application linaire.

5.- Homothtie vectorielle et translation

vectorielle.

6.- Matrice et oprations sur les matrices.

7.- Projection vectorielle et symtrie

vectorielle.

8.- Espaces Affines.

- Barycentre.

- Applications affines.

- Translation affine,

- Homothtie affine,

- Projection affine,

- Symtrie affine

9.- Affinits

Transformations orthogonales.

10.- Isomtries vectorielles.

11.- Espaces vectoriels euclidien

12.- Isomtries Vectorielles.

Les petits trucs utiles

Rappels : Quel modle choisir? (Probabilit)

Si lnonc contient le mot successif, il faut tenir compte de tous les ordres dans lesquels

on peut obtenir un vnement donn.

On doit souvent multiplier par le nombre dordres possibles le rsultat trouv pour un

ordre dtermin.

Si lnonc contient les mots successif et avec remise, cela signifie que lordre dans

lequel on considre les lments a de limportance et quun lment peut ventuellement

tre rpt.

Le modle mathmatique est la p-liste.

Si lnonc contient les mots successif et sans remise, cela signifie que lordre dans

lequel on considre les lments a de limportance mais que tous les lments considrs

sont distincts (ou quil ny a pas de rptition dlments).

Le modle mathmatique est larrangement.

Si lnonc contient le mot simultanment, cela signifie que lordre dans lequel on

considre les lments na pas dimportance.

Le modle mathmatique est la combinaison.

Il ne sagit que dindications, elles admettent des exceptions.

Comment tudier les limites de fonctions?

Comment trouver la limite dune fonction f en linfini.

On compare la fonction f des fonctions plus simples dont on connait la limite linfini.

On utilise les thormes relatifs la limite dune somme, dun quotient.

Astuce : Penser lors dune forme indtermine, mettre en facteur le terme de plus haut

degr.

Comment interprter la limite dune fonction?

Si Lxfx

)(lim (ou Lxfx

)(lim ) alors la droite dquation y = L est asymptote

horizontale la courbe reprsentative de f.

Si

)(lim xfax

(ou

)(lim xfax

) alors la droite dquation x = a est asymptote

verticale la courbe reprsentative de f.

Si 0)]()([lim

baxxfx

(ou ,0)]()([lim

baxxfx

) alors la droite dquation

y = ax + b est asymptote oblique la courbe reprsentative de f en (ou en ).

Les suites : Fiche Mthode

I- Monotonie

On tudie le signe de nn UU 1 aprs lavoir exprim en fonction de n.

Si Un > 0 pour tout n (et seulement dans ce cas), on peut comparer n

n

U

U 1 1

(mthode conseille lorsque Un scrit sous forme dun produit ou dun quotient).

II- Suites arithmtique

On montre que (Un) est arithmtique en calculant nn UU 1 , et en vrifiant que cette

quantit ne dpend pas de n.

Pour exprimer Un en fonction de n, il est prfrable de retenir la formule

,)( rpnUU pn valable quel que soit le premier terme de la suite arithmtique.

Retenir que la somme les n premiers termes dune suite arithmtique est donne par

Sn = (nombre de termes) x premier terme + dernier terme

2

(tester sur une ou deux valeurs de n en cas de doute)

III- Suites gomtriques

On montre que (Un) est gomtrique en calculant n

n

U

U 1 (si 0nU ) et en vrifiant

que cette quantit ne dpend pas de n.

Retenir que : pnpn qUU

Retenir que si ,1q alors : Sn = (premier terme) x 1 qnombre de terme

1 q

IV- Limites

Si Un scrit f(n), se ramener aux thormes sur les limites de fonctions en .

Comparer le plus souvent possible Un des suites connues, grce aux thormes de

comparaison suivants :

Si, partir dn certain rang, nn VlU et si ,0lim

nn

V alors (Un) converge vers l

et on note : .lim lUnn

- Si, partir dun certain rang, nn VU et si ,lim

nn

V alors .lim

nn

U

- Si, partir dun certain rang, nn VU et ,lim

nn

V alors .lim

nn

U

et du thorme suivant :

Si, partir dun certain rang, nnn WVU et si : ,limlim lWU nn

nn

alors

nn

Vlim

V- Tout ce quil faut savoir sur les nombres complexes

1) Calculer le module et un argument dun nombre complexe crit sous forme algbrique.

2) Donner lcriture trigonomtrique ou lcriture exponentielle dun nombre complexe.

3) Donner le conjugu dun nombre complexe : sous forme algbrique, sous forme

exponentielle.

4) Module et argument dun produit zz et dun quotient .z

z

5) Rsoudre une quation du second degr avec a, b et c rels.

6) Diffrentes caractrisations du fait que z est rel.

a) avec lcriture algbrique.

b) avec largument.

c) Avec le conjugu.

7) Diffrentes caractrisations du fait que z est imaginaire pur.

a) avec lcriture algbrique.

b) avec largument.

c) avec le conjugu.

8) Calculer une longueur avec des complexes : AB =

9) Calculer des angles avec des complexes : );( CDAB

10) Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

11) Montrer que trois points A, B et C sont aligns.

12) Traduire que ABC est rectangle et isocle en B.

13) Traduire que ABC est quilatral.

14) criture complexe des transformations.

a) translation.

b) rotation.

c) homothtie.

Rponse :

1) Calculer le module et largument dun nombre complexe crit sous forme algbrique. z = a + ib (avec a et b deux nombres rels)

22 baz et un argument de z est donn par : 22

cosba

a

z

a

et

22sin

ba

b

z

b

2) Donner lcriture trigonomtrique ou lcriture exponentielle dun nombre complexe.

)sin(cos iz et iez avec z

3) Donner le conjugu dun nombre complexe : sous forme algbrique, sous forme exponentielle.

ibaz et iez

4) Module et argument dun produit zz et dun quotient .z

z

zzzz et z

z

z

z

)2(argargarg zzzz et )2(argargarg zzz

z

5) Rsoudre une quation du second degr avec a, b et c rels.

Soit lquation ,02 cbzaz avec a, b et c rels.

acb 42

si > 0, alors lquation admet deux solutions relles distinctes : a

bz

21

et

a

bz

21

si = 0, alors lquation admet une solution : a

bz

2

si < 0, alors lquation admet deux solutions complexes conjugues : a

ibz

21

et a

ibz

21

6) Diffrentes caractrisations du fait que z est rel :

a) avec lcriture algbrique : z = a (donc b = 0) [ou encore cosz ]

b) avec largument : z (z = 0 ou )(0)arg( z )

c) avec le conjugu :

7) Diffrentes caractrisations du fait que z est imaginaire pur :

a) avec lcriture algbrique : z = ib ou encore sin iz

imaginaire pur Re(z) = 0 ou )(2

arg

z

b) avec largument :

c) avec le conjugu :

8) Calculer une longueur avec des complexes : 22 )()( ABABAB yyxxzzAB

9) Calculer des angles avec des complexes :

)2(arg);( AB

CD

zz

zzCDAB

10) Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Si largument du rapport vaut pi / 2 (mod pi) (ou si le rapport appartient i . ).

On montre que 0CDAB

11) Montrer que trois points A, B et C sont aligns :

Si largument du rapport vaut 0 (mod pi) (ou si le rapport appartient ).

Donc si il existe un rel k tel que ,BCkAB alors les vecteurs AB et BC sont colinaires.

12) Traduire que ABC est rectangle et isocle en B :

On montre que 0BCBA et que BCBA ou encore que 2

i

BC

BA ezz

zz

dans le cas o ABC

est un triangle rectangle direct en B.

13) Traduire que ABC est quilatral :

On montre que ACBCAB zzzzzz ou encore que 3

i

AB

AC ezz

zz

dans le cas o ABC est

un triangle quilatral direct.

14) criture complexe des transformations :

a) Translation de vecteur u non nul, daffixe zz:

b) Rotation de centre (w) et dangle )(: wzewz i ou encore wwzez i )(

c) Homothtie de centre (w) et de rapport k (rel non nul) : )( wzkwz ou encore

wwzkz )(

Consignes : 1. Lusage de la calculatrice programmable est interdit 2. Le tlphone est interdit dans les salles 3. Le silence est obligatoire. 4. Lpreuve comporte deux parties. Dure de lpreuve : 4 heures

5. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non fructueuse, quil aura dveloppe. La qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans lapprciation des copies.

1- On considre la fonction g dfinie par g(x) = ln(lnx). Lensemble de dfinition de la fonction g est :

[,0] [,1[ [,] e [,1]

2- Dans un plan muni dun repre orthogonal ),,;( jiO

si lon prend cmi 3 et ,2cmj alors laire de

la rgion dfinie par 10 x et 20 xy vaut :

2222 cm5cm2cm3cm6

3- Trois nombres 2, a et b sont les termes conscutifs, dans cet ordre, dune suite gomtrique de raison

positive. On sait de plus que : a + b = 84. Nous

dduisons que a et b valent.

56et28 ba 72et12 ba

98et14 ba 96et12 ba

4- On considre une suite numrique (Un) telle que, pour

tout entier naturel ;1n on a .2

0n

U n On peut

affirmer que la suite (Un) est :

dcroissante convergente de limite 0

nn

Ulim aucune des rponses

5- Soit n un entier naturel, le nombre complexe ni )31( est rel si n est gal :

kkkk 632313 (k *)

6- La forme exponentielle du nombre complexe

31

44

i

iz

est :

12

7

22

i

e

12

7

24

i

e

12

7

4

i

e

1222

i

e

7- Soit E un espace vectoriel euclidien rapport une

base orthonorme ),,( kji et soit D une droite

euclidienne engendre par .32 kjia

Lorthogonal de D est :

le plan vectoriel dquation 032 zyx

la droite vectorielle dquation .32

zy

x

la droite vectorielle dquation zyx 32

aucune des rponses

8- Soit E un espace vectoriel de base ).,( ji F, sous-

espace vectoriel de E engendr par jia 2 et G,

sous-espace vectoriel dquation 043 yx

f, symtrie vectorielle de E par rapport F

paralllement G.

Limage du vecteur (4, 3) par f est le vecteur de

composantes :

)3;4()3;4()4;3()1;2(

9- Une exprience alatoire a trois issues possibles :

2; 3 et t (o t est un rel). On sait que ;2

1)2( p

3

1)3( p et ;

6

1)( tp de plus lesprance

mathmatique associe est nulle. On a alors :

612 tt

5 t aucune des rponses

10- Une exprience alatoire est reprsente par larbre

ci-dessous o A et B sont deux vnements, A et

B leurs vnements contraires :

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

MODELE DE TEXTE

PHILO C-D

MATHMATIQUES

Partie A.- Recopier sur la feuille de mise au net la

question accompagne de la rponse juge correcte.

(30 pts : 3 pts / question).

25,0)(1,0)(

24,0)(4,0)(

APAP

APAP

BB

BB

Soit la fonction f dfinie sur [,0] par

xxxxf ln)1ln()(

Soit Cf la courbe reprsentative de f dans un repre

orthonormal ).,;( jiO

1) Donner une criture de f (x) avec un seul symbole ln .

2) Calculer les limites aux bornes de Df. 3) a) Montrer que la droite D dquation y = x est

asymptote oblique la courbe Cf.

b) tudier la position de Cf par rapport la

droite D.

4) tudier les variations de f. 5) calculer f(0,8) et f(0,9). Que peut-on en

dduire?

6) Construire Cf et D dans le repre ).,;( jiO

7) crire lquation de la tangente au point dabscisse x = 5.

1- On dsigne par C le corps des nombres complexes. Soit P la fonction dfinie par :

)1(10)51(2)1()( 23 izizzizP

a) Montrer que lquation P(z) = 0 admet une racine imaginaire pure z0 que lon

prcisera.

b) Dterminer un polynme du second degr Q(z) coefficients complexes sachant que

)()()( 0 zQzzzP

c) Rsoudre lquation P(z) = 0

d) On dsigne par M0, M1 et M2 les images des racines de lquation P(z) = 0.

1) Dterminer les coordonnes du point G du

systme

1,;2,;

2

3, 210 MMMS

2) Calculer les distances : GM0; GM1 et GM2.

3) Donner lensemble des points M du plan affine P rapport un repre orthonorm tels que :

.402

2

3 22

2

1

2

0 MMMMMM

2- Soit la suite numrique (Un) dfinie sur

lensemble des entiers naturels par

n

nn UU

U

5,035

1

2

1

0

1) laide dune calculatrice, recopier et complter ce tableau des valeurs de la suite (Un)

approches 102

prs.

n 0 2 3 4

Un 2

2) En observant ce tableau, noncer une hypothse sur le sens de variation de la suite (Un).

3) a) Dmontrer, par rcurrence, que pour tout

naturel n normal, on a : nnU 54

15

b) En dduire que, pour tout entier naturel n

non nul, .01 nn UU

c) tudier la convergence de la suite (Un).

4) Soit la suite (Vn) dfinie sur par n

nn UV 5,010

a) Dmontrer que la suite (Vn) est une suite

gomtrique de raison .5

1 On prcisera le

1er

terme de la suite (Vn).

b) En dduire Vn et Un en fonction de n.

3- Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur

de base ).,,( kji On considre les sous-espaces

vectoriels F et G tels que :

Partie B.- Obligatoire ( 30 pts).

BA

B

A

B

B

9,0

8,0

4,0

Partie C.- Traiter deux (2) des quatre exercices.

40 pts. 20 pts / exercice.

F : dfini par : 032 zyx

G : dfinie par : 23

zy

x

1) Prciser la nature de F et G. 2) Montrer que F et G sont supplmentaires

dans E.

3) Dfinir analytiquement lendomorphisme f, projection vectorielle de E sur F

paralllement G.

4) a) En dduire lexpression analytique de lendomorphisme g, symtrie vectorielle

de E par rapport G de direction F.

b) Vrifier que A x A = I, o A est la matrice associe g et I, la matrice unit.

4- Dans une ville comportant 12 000 mnages, une enqute portant sur les habitudes des mnages en

matire dcologie a donn les rsultats suivants.

8 400 mnages pratiquent le tri slectif.

parmi les mnages pratiquant le tri slectif, 40% consomment des produits bio.

Parmi les mnages pratiquant le tri slectif, 360 consomment des produits bio.

On choisit un mnage au hasard (tous les

mnages ont la mme probabilit dtre

choisi) et on note T lvnement le mnage

pratique le tri slectif B lvnement le

mnage consomme des produits bio

1) Dterminer :

P(T); )( BTP et )( BTP

2) Justifier que P(B) = 0,31 3) Cette ville dcide de favoriser les

mnages ayant un comportement co-

citoyen. Pour cela, elle donne chaque

mois un chque de $50 aux mnages

qui pratiquent le tri slectif et un

chque de $20 ceux qui consomment

des produits bio (les deux montants

peuvent tre cumuls). Soit S la somme

dargent reue par un mnage choisi au

hasard.

a) Donner les diffrentes valeurs que prendre S.

a) Donner la loi de probabilit de S. b) Calculer lesprance mathmatique de S et

interprter le rsultat.

c) Dterminer et reprsenter la fonction de rpartition de S.

1- Soit g(x) = ln (lnx) g existe ssi lnx > 0 => lnx > ln1 => x > 1

Dg = [,1]

2- 22

1

0

2 2)6(3

1

3

12 cmcmaUxxA

3- 2, a, b tant des termes dune suite gomtrique

qa 2 et b = aq ou b = 2q2. En effet a + b =

84

04208422 22 qqqq

Donc q = 6 ou q = 7. On retient q = 6; ainsi

72et12 ba

4- Soit .2

0n

U n Nous avons 02

lim nn

Daprs le thorme des gendarmes 0lim

nn

U

Donc on peut affirmer que (Un) est une suite

convergente de limite 0.

5- Soit

n

iziz

2

3

2

12)31( 2

n

iz

3sin

3cos2

3sin2

3cos2

3sin

3cos2

ninz

ninz

nn

n

z est rel 03

sin03

sin2

nnn

knkn 33

, (k *)

6- Soit

3sin

3cos2

4sin

4cos24

31

44

i

i

i

iz

3

4sin

3

4cos2

4

3sin

4

3cos24

i

i

z

3

4

4

3sin

3

4

4

3cos22

iz

12

7sin

12

7cos22

iz

127

22

i

ez car iei sincos

7- Soit D une droite euclidienne engendre par

kjia 32

Lorthogonal de D est le plan vectoriel dquation :

032 zyx

8- Limage du vecteur (4, 3) par f est le vecteur de composantes (4, 3).

9- La loi de probabilit de la variable alatoire X est donne par ce tableau.

Xi 2 3 t

Pi

2

1

3

1

6

1

Nous avons E(X) = 0 =>

03

1i

ii px

1206

1

3

13

2

12

tt

10- Soit )()()( BApBApBp

48,0)( Bp , 25,04

1)( ApB

Solution

1) Donnons une criture de f(x) avec un seul symbole ln .

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

CL DE CORRECTION

PHILO C-D

MATHMATIQUES

Partie B.- Obligatoire ( 30 pts).

1ln)(

ln)1ln()(

x

xxxf

xxxxf

Car b

aba lnlnln

2) Calculons les limites aux bornes

1lnlim)(lim

00 x

xxf car 0

1lim

0

x

x et

xlnlim0

1lnlim)(lim

00 x

xxxf

)(lim0

xf la droite x = 0 est asymptote

verticale Cf .

b)

1lnlim)(lim

x

xxxf car

01ln1

lnlimlnlim1

lnlim

x

x

x

x

x

x

)(lim xf

Montrons que la droite D dquation y = x est

asymptote oblique la courbe Cf.

La droite D est asymptote oblique Cf si

0])([lim

yxfx

1lnlim])([lim

x

xyxf

xx

01lnlnlim])([lim

x

xyxf

xx

Donc D est asymptote oblique Cf en

b) tudions la position de la courbe Cf par rapport

la droite D.

Nous avons x > 0 et x + 1 > 0 :

en ayant x < x + 1 ,01

ln11

x

x

x

x donc

on obtient f(x) y < 0; cela traduit que la droite est

au-dessus de la courbe Cf.

3) tudions les variations de f.

Soit 1

ln)(

x

xxxf

Rappel : V

V

U

U

V

U

ln

)1(

1)(

1

111)(

2

xx

xxxf

xxxf

En effet x > 0 => N = x2 + x + 1 > 0 et

D = x (x +1) > 0, donc le rapport 0D

Nou encore

.0)( xf

Dans ce cas f est strictement croissante sur

lintervalle [.,0] Calculons f(0,8) et f(0, 9)

01,0)8,0(8,0 fx

26,0)9,0(9,0 fx

Voyant que f(0, 8) . f(0, 9) < 0 => lquation

f(x) = 0 a une solution et une seule dans lintervalle

[0, 8; 0, 9]; cest--dire il existe un rel

]9,0;8,0[ tel que f(x) = 0

Dressons le tableau de variation de f

)(xf

x

)(xf

0 8,0 9,0 5

01,0

26,0

82,4

2

5

4

3

2

1

1 3 4 54 3 2 1

fC

D

Exercice 1

a) Montrons que lquation P(z) = 0 admet une racine imaginaire z0 = Bi

0)1(10)51()(2))(1( 23 iBiiBiBii

0101052 233 iBBiBBiB

0)10()1052( 323 iBBBBB

Par identification

)2(010

)1(01052

3

23

BB

BBB

En essayant on trouve B = 2 dans (1). Daprs la

mthode de Horner lquation (1) scrit :

20)5)(2( 2 BBB

ou 5B ou 5B En portant ces trois valeurs

dans (2); on retient que B = 2. Donc la racine

imaginaire est z0 = 2i.

b) Dterminons un polynme du second degr Q(z) coefficients complexes.

Dressons le tableau de Horner.

1 + i 2 i51 10 + 10i

z0 = 2i 2i 2 4 1010 i

1 + i 2i i55 0

Factorisons P(z)

]552)1)[(2()( 2 iizziizzP

Donc le polynme du second degr Q(z)

coefficients complexes est :

iizzizQ 552)1()( 2

a) Rsolvons dans lquation P(z) = 0

0]552)1)[(2(0)( 2 iizziizzP 02 iz ou 0552)1(

2 iizzi

Considrons lquation

0552)1( 2 iizzi

icibia 5521

Calculons

9)55)(1()( 22 iiiacb

.3

Calculons z1 et z2.

a

bz

1 ou

a

bz

2

i

iz

1

31 ou z = 1 2i

Les solutions de lquation P(z) = 0 sont

z0 = 2i ou z1 = 2 + i ou z2 = 1 2i

b) Dterminons les coordonnes du barycentre G

du systme

)1,();2,(;

2

3, 210 MMMS

Nous avons :

M0 image de z0 = 2i => M0 (0, 2)

M1 image de z1 = 2 + i => M1(2, 1)

M2 image de z2 = 1 2i => M2(1, 2)

122

3

)2(1)1(2)2(2

3

122

3

)1(1)2(202

3

210

210

yMyMyMy

xMxMxMx

G

G

3

2,

3

2

3

2

2

9

3

3

2

2

9

3

G

y

x

G

G

2) Calculons les distances mentionnes

3

52

3

22

3

20)()(

0

22

2

0

2

00

GM

yyxxGM GG

3

17

3

21

3

22)()(

1

22

2

1

2

11

GM

yyxxGM GG

3

89

3

22

3

21)()(

2

22

2

2

2

22

GM

yyxxGM GG

Dterminons lensemble des points M tels que :

4022

3 22

2

1

2

0 MMMMMM

Nous avons :

2

0022

0

2

0022

000

2

33

2

3

2

3

2

GMGMMGMGMM

GMGMMGMMGMMGMM

2

1122

1

11

2 GMGMMGMGMM

GMMGMM

2

1122

1 2422 GMGMMGMGMM

2

2222

2

22

2 GMGMMGMGMM

GMMGMM

2

2222

2 2 GMGMMGMGMM

2

2

2

1

2

0

2

2

2

2

1

2

0

22

3

2

9

22

3

GMGMGMMG

MMMMMM

On a 210 243 GMMGGMMGGMMG

.02

2

32 210 GMGMGMMG

Finalement :

172

92

2

3 222

2

1

2

0 MGMMMMMM

Donc nous obtenons

3

46

9

464017

2

9 22 MGMGMG

Lensemble des points M est un cercle de centre G

et de rayon .3

46R

Exercice 2

Thme abord : Suites relles

Solution

1) a) Recopions et complter le tableau propos

n 0 1 2 3 4

Un 2 3,4 2,18 1,19 0,61

2) daprs le tableau prcdent, on peut conjecturer que la suite (Un) est dcroissante

partir du rang 1.

3) Dmontrons, par rcurrence, que pour tout

naturel n non nul, on a : nnU 5,04

15

Soit P(n) la position nnU 5,04

15

a) Initialisation Pour n = 1; on a U1 = 3, 4 et

;875,15,04

15 donc P(1) est vraie.

b) Hrdit Supposons que, pour un certain entier

naturel k non nul, la proposition P(n) est

vraie, cest--dire P(n) : n

nU 5,04

15

c) Dmontrons que la proposition P(n) entraine la proposition P(n + 1); cest--dire

que 1

1 5,04

15

n

nU

tudions la convergence de la suite (Un).

Pour tout n *; on a : 05,04

15 nnU

Cela veut dire que la suite est minore.

La suite (Un) tant dcroissante et minore,

donc elle est convergente.

4) a) Dmontrons que la suite (Vn) est une suite gomtrique.

(Vn) est une suite gomtrique sil existe un rel

q tel que nn qVV 1 ou n

n

V

Vq 1 (1)

1

11 5,0105,010

n

nn

n

nn UVUV

1

1 5,0105,035

1

nn

nn UV

n

nn UV 5,025

11

Portons Vn et Vn + 1 dans (1)

n

n

n

n

n

n

n

n

U

U

qU

U

q05,10

5

5,010

5,010

5,025

1

5

1 q

Donc (Vn) est une suite gomtrique de raison

5

1q

Son premier terme vaut 000 5,010UV

8102 00 VV b) (Vn) tant une suite gomtrique, donc

n

n

n

n VqVV

5

180

Comme nn

n

n

nn UUV 5,0105

185,010

Daprs lhrdit : nnU 5,04

15

Multiplions par 5

1

n

nU 5,04

3

5

1 ajoutons n5,03 chaque membre

nnn

nU 5,035,04

35,03

5

1

n

nU 5,04

151

En effet : 15,05,0 nn on en dduit que :

1

1 5,04

15

n

nU et la proposition P(n) est

hrditaire.

Conclusion : La proposition P(n) est initialise et

hrditaire, elle est donc vraie pour tout n *.

b) Dduisons que : 01 nn UU ( n *)

Soit 1

1 5,04

15

n

nU

n

n

nnn

n

nn

UUUU

UU

5,035

1

5,035

1

1

1

n

n

nn UUU5

45,031

n

n

nn UUU 5,04

15

5

41

01 nn UU car n

nU 5,04

15

Exercice 3

Mthode

1- lquation dun plan vectoriel scrit sous la

forme ,0 czbyax o 0a ou 0b ou

0c

On crit lquation dune droite vectorielle

sous forme dgalits ,p

z

n

y

m

x o (m, n, p)

reprsente les composantes du vecteur base.

2- La dimension de E est 3.

On montre que G ninclut pas dans F, puis on conclut que F et G sont supplmentaires

dans E.

3- On choisit un vecteur quelconque non nul u de

E et on calcule son image ).(ufu

Le couple ),( uu vrifie :

,

Guu

Fu puis on en dduit la dfinition

analytique de f.

Solution

F : sous-espace vectoriel dfini par :

032 zyx

G : sous-espace vectoriel dfini par :

23

zy

x

1- Nature de F et G

F est un plan vectoriel

G est une droite vectorielle engendre par un vecteur de composantes (3, 1, 2)

2- Montrer que F et G sont supplmentaires dans E.

Les composantes du vecteur a de G ne

vrifient pas lquation de F, donc .FG

On conclut que F et G sont supplmentaires

dans E.

3- Dfinir analytiquement lendomorphisme f, projection vectorielle de E sur F //G.

Pour tout vecteur ),,( zyxu de E dimage

),(),,( ufzyxu on a :

Fu et Guu

032 zyxFu (1)

tGuu tel que atuu cest-

-dire

tzz

yyy

txx

t

zz

yy

x

2

3

2

1

3

(2)

Cherchent t en remplaant x, y et z dans (1). On a :

02)(3)3(2 tztytx

)32(

7

1732 zyxttzyx

Remplacer t dans (2)

)964(7

1

)42(7

1

)39(7

1

)32(7

2

)32(7

1

)32(7

3

zyxz

zyxy

zyxx

zyxzz

zyxyy

zyxxx

Telle est la dfinition analytique de f, projection

vectorielle de E sur F // G.

4- a) On crit la relation entre une projection et une symtrie vectorielles de directions

diffrentes :

Symtrie = Identit 2 (projection).

On en dduit lexpression analytique de la

symtrie vectorielle g.

b) On crit la matrice A associe la symtrie g. On

calcule le produit A x A, puis on vrifie que

A x A = I, matrice unit.

Solution

4- a) En dduire lexpression analytique de

lendomorphisme g, symtrie vectorielle de E par

rapport G de direction F.

f : projection vectorielle de E sur F // G

g : symtrie vectorielle de E par rapport

G // F

La relation est :

Symtrie = Identit 2 (projection) cest--dire :

fIdg 2 et ,Eu

)(2)(2)()( ufuufuIdug

zyx

zyx

zyx

z

y

x

964

42

39

7

2

,

11128

42

6185

7

1)(

zyx

zyx

zyx

ug

telle est lexpression analytique de g, symtrie

vectorielle de E par rapport G de direction F.

4-b) Vrifier que A x A = I, o A est la

matrice associe g.

11128

214

6185

7

1

11128

214

6185

7

1A

49

1212448

49

13212144

49

88484049

22224

49

24172

49

1642049

663630

49

721890

49

487225

AA

.

100

010

001

IAA

Exercice 4

Reprsentons cette situation par un arbre pondr

Soit T lvnement le mnage pratique le tri

slectif.

7,0)(12000

8400)(

TP

card

cardTTP

Soit BT lvnement le mnage ne pratique

pas le tri slectif, mais consomme des produits

bio

03,0)(

3600

360

12000

3600)()()(

BTP

BPTPBTPT

Soit BT lvnement le mnage pratique le

tri slectif et consomme des produits bio

28,0)(

28,08400

36007,0)()()(

BTP

BPTPBTP T

Prouvons que P(B) = 0,31.

Nous avons parmi les mnages qui pratiquent le

tri collectif, 3 360 qui consomment des produits

bio, ensuite parmi les mnages ne pratiquant pas

le tri, 360 consomment des produits bio.

On a CardB = 3 360 + 360 = 3 700

Card

CardBBP )(

Donc P(B) = 0,31.

3) a) Toute observation de larbre permet de

comprendre quun mnage peut recevoir

$ 0 (pas de tri et pas de consommation bio)

$ 20 (Pas de tri, mais consommant des produits

bio)

$ 70 (pratiquant le tri et consommant des

produits bio)

Donc lensemble des valeurs prises par S est

{0, 20, 50, 70}

b) Donnons dabord la loi de probabilit de la

variable alatoire S.

si 0 20 50 70

P(S = si) 0,27 0,03 0,42 0,28

c) Calculons lesprance mathmatique de la

variable alatoire S.

44332211

4

1

)( PsPsPsPsPsSE ii

i

2,41)(

28,07042,05003,02027,00)(

SE

SE

Dfinissons une fonction F o pour tout rel s; on

a : F(s) = )( sSP

Pour s < 0 : on a

0)()()()( PsFsSPsF

Pour 200 s

on a

27,0)()0()()()( sFSPsFsSPsF

Pour :5020 s

on a

)20()0()()()( SPsPsFsSPsF .

30,0)(03,027,0)( sFsF

Pour :7050 s on a

)50()20()0()()()( sPsPsPsFsSPsF

72,0)(42,003,027,0)( sFsF

Pour :70s on a )()( sSPsF

)70()50()20()0()( SPSPSPSPsF

1)(28,042,003,027,0)( sFsF Graphe de la fonction de rpartition F.

)00012(V

)4008(T

)3603(B

)0405(B

)360(B

)2403(B

)6003(T

2,0

4,0

6,0

8,0

1

0 20 50 70

Consignes : 1 . Lusage de la calculatrice programmable est interdit 2. Le tlphone est interdit dans les salles 3. Le silence est obligatoire. 4. Lpreuve comporte deux parties. Dure de lpreuve : 4 heures

5. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non fructueuse, quil aura dveloppe. La qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans lapprciation des copies.

1- Soit la fonction f dfinie par ).1ln()( 2xxf On

note Cf la courbe reprsentative de f dans un

repre orthonorm.

Le point A dabscisse 2

1 a pour ordonne :

2

1ln

4

1ln1ln 2ln23ln

Aucune des rponses

2- La somme des 10 premiers termes dune suite gomtrique de premier terme V0 = 2 et de raison

3 quivaut 1031 103 1031

aucune des rponses

3- A et B sont deux vnements indpendants et on sait que p(A) = 0,5 et p(B) = 0,2.

La probabilit de lvnement BA est gale :

1,0 7,0 6,0

aucune des rponses

4- Dans , lquation 05 xe admet pour solution :

5e 5ln e5 aucune des rponses

5- On considre la suite gomtrique (Un) de raison positive q (q > 0) telle que U0 = 256 et U8 = 1, la

raison q de cette suite est

2

1

2

32

2

1

6- Voici la loi de probabilit dune variable alatoire X.

xi 10 0 10

Pi 0,2 0,3 0,5

3)( XE 3)( XE

0)( XE aucune des rponses

7- Soit g la fonction dfinie sur [,2] par

).63ln()( xxg Pour tout [:,2] x

63

1)(

xxg

)63ln(

3)(

xxg

2

1)(

xxg aucune des rponses

8- On considre la suite numrique (Un) dfinie

pour 0n par .51 nn UU On peut conclure

que la suite (Un) est :

arithmtique gomtrique

arithmtico-gomtrique

aucunes des rponses

9- A et B tant deux vnements indpendants associs une exprience alatoire tels que

0)( AP et2

1)( BP

)()()( BPAPBAP

)()()( BPAPBAP

2

1)( BPA

aucune des rponses

10- x est un rel strictement positif. La limite de xx ln1 en 0+ est :

1- On considre la fonction f dfinie sur [,0]

par 2)( x

exf

x

1) Calculer )(xf et tudier son signe.

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

TEXTE MODELE

PHILO A

MATHMATIQUES

Partie A.- Recopier sur la feuille de mise au net la

question accompagne de la rponse juge correcte.

(30 pts : 3 pts / question).

1

aucune des rponses

Partie B.- Obligatoire ( 70 pts).

2) Donner le tableau de variations de f pour

.3,4

1

x

3) crire lquation de la tangente au point dabscisse x0 = 2.

4) Tracer la courbe C reprsentative de f pour

3,

4

1x dans un repre orthonorm dunit

2 cm. (30 pts)

2- Une urne contient 10 boules : cinq vertes, trois rouges et deux noires. Un joueur tire

successivement, avec remise, deux boules de

lurne. Sil obtient deux boules vertes, il gagne 4

gourdes. Sinon, il perd 2 gourdes pour deux

boules rouges, 5 gourdes pour deux boules

noires et 1 gourde pour deux boules de couleurs

diffrentes.

On note G la variable alatoire qui indique le

gain algbrique du joueur.

1) Dfinir la loi de probabilit de G. 2) Calculer lesprance et lcart-type de G. Ce

jeu est-il quitable?

3) Dfinir la fonction de rpartition de G. (20 pts)

3- Soit (Un) et (Vn) les suites dfinies, pour toute

entier naturel n, par : U0 = 9, 32

11 nn UU et

.6 nn UV

1) a) Montrer que (Vn) est une suite gomtrique termes positifs.

b) Calculer la somme nn VVS ...0

en fonction de n et en dduire la

somme ....0 nn UUS

2) On dfinit la suite (Wn) par Wn = lnVn pour tout entier n.

Montrer que (Wn) est une suite arithmtique.

Calculer nn WWS ...0 en fonction de n.

3) Calculer nn VVVP ...10 en fonction de n.

(20 pts)

1- Le point A dabscisse 2

1 a pour ordonne :

2ln23ln

2- La somme des 10 premiers termes dune suite gomtrique de premier terme V0 = 2 et de raison 3

quivaut 1031

3- La probabilit de lvnement BA est gale 0,7

4- Dans , lquation 05 xe admet pour

solution 5ln

5- La raison q de cette suite est 2

1

6- 3)( XE

7- 2

1)(

xxg

8- On peut conclure que la suite (Un) est gomtrique.

9- 2

1)( BPA

10- La limite de xx ln1 en 0+ est

Exercice 1

1) a) Calculons la drive premire

2

2

1)()(

0)()(

)(2)(

x

exexf

x

exxexf

x

exf

xx

xxx

Donc 2

)1()(

x

exxf

x

b) tudions le signe de la drive

Pour tout [,0] x on a ex > 0 et x

2 > 0;

donc )(xf est du signe de x 1.

Commentaires

1) 0)( xf pour [1,0]x

2) 0)( xf pour [,1] x

3) 0)( xf pour x = 1

Donnons le tableau de variations de f pour

3,

4

1x

Soit 2)( x

exf

x

14,3242

4

14

14

14

1

e

ef

72,0221

)1(1

ee

f

70,423

)3(3

e

f

crivons lquation de la tangente au point x0 = 2.

)())(( 000 xfxxxfy (1)

Cherchons )2(f et f(2)

85,14

1

2

)12()2(

)1()( 2

2

2

2

e

ef

x

exxf

x

7,122

)2(2)(2

e

fx

exf

x

Revenons dans (1)

7,170,385,17,1)2(85,1 xyxy

Donc y = 1,85x 2

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

CL DE CORRECTION

PHILO A

MATHMATIQUES

Partie B.- Obligatoire ( 70 pts).

x

1x

10

0

x

)(xf

14

1

3

0

f 24 41

e 23

3

e

2e

Traons la courbe (C ) reprsentative de f pour

3,

4

1x

Exercice 2

Mthode

1- On dfinit lunivers associ ce modle de tirage. Les choix chaque tirage sont trop

nombreux pour que lon dessine un arbre.

On utilise alors le systme des cases.

On vrifie lquiprobabilit des vnements lmentaires.

On dtermine les valeurs prises par G.

On dnombre les issues qui ralisent lvnement G = 4

On calcule p(G = =4)

On dtermine de mme les probabilits des autres vnements.

On dfinit la loi de probabilit de G. 2- On calcule lesprance et lcart-type

21

2

1

)()(;)( GEpgGVpgGEk

i

ii

k

i

ii

3- On dfinit la fonction de rpartition [0; 1]

)()(: gGpgFgF

Solution

1) Loi de Probabilit de G : Urne : 10 boules. 5 v, 3r, 2 noires

1re

boule 10 choix. 2me

boule 10 choix

Cest lensemble des couples (gi, pi) avec

)( ii gGpp

Une issue est un couple de boules donc, lunivers contient 10 x 10 = 100 issues,

card = 100.

Les boules sont tires soient quiprobables.

G prend les valeurs : 4, 2, 5, et 1

2v 2R 2N 2 boules couleurs diffrentes

p(G = 4) correspond la probabilit de lvnement V : 2 boules vertes

Donc V contient 5 x 5 = 52 = 25 issues

favorables. Card V = 25

Do 25,0100

25)4( Gp

De mme, 09,0100

3)2(

2

Gp et

04,0100

2)5(

2

Gp

Les issues favorables lvnement deux

boules de couleurs diffrentes sont-elles qui

nont pas encore t comptabilises.

Do 62,0100

)235(100)1(

222

Gp

Do la loi de probabilit de G :

Ga . ngi 5 2 1 4

)( ii gGpp 0,04 0,09 0,62 0,25

2) Esprance de G

)65,0(4)62,0)(1(

)09,0)(2()04,0(5)(4

1

i

ii pgGE

E(G) = 0, le jeu est quitable

Variance de G

2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

95,5)(4

1

2

i

i

i pgGVar

Do 45,2)()( GVarG gourdes

3) Fonction de rpartition de G :

)()( gGpGF

125,075,0)4(75,0)(,4

75,062,013,0)1(13,0)(,41

13,009,004,0)2(04,0)(,12

04,0)5()(,25

0)(,5

GpGFg

GpGFg

GpGFg

GpGFg

GFg

La fonction de rpartition F est rsume par le

tableau suivant :

g 5 2 1 4

F(G) 0 0,04 0,13 0,75 1

Modle de tirage; Avec remise

Pour dnombrer les issues possibles : dessiner un arbre ou utiliser le systme par

cases.

Thmes : variable alatoire, Esprance Variance cart-type

Loi de probabilit Fonction de rpartition

Exercice 3

Mthode

1- a) On utilise la dfinition de la suite gomtrique, on exprime Vn + 1 en fonction de Vn, puis on en

dduit la raison q.

On calcule le 1er

terme V0. On remarque V0 et

q sont tous deux positifs, donc, pour tout entier

naturel n , Vn > 0.

b) On crit la formule donnant la somme des

(n + 1) premiers termes dune suite gomtrique,

puis on effectue.

On exprime le terme gnral de la suite (Un) en

fonction de celui de la suite (Vn), puis on dduit la

somme des (n + 1) premiers termes de la suite

rcurrente (Un).

2- On utilise la dfinition de la suite arithmtique. On utilise les proprits du logarithme, puis on

en dduit la raison r.

Solution

(Un) : U0 = 9, 32

11 nn UU et

nUVV nnn ,6:)(

1) a) Montrer que (Vn) est une suite gomtrique termes positifs.

(Vn) suite gomtrique ssi q * tel

que n , nn qVV 1

32

163

2

1611 nnnn UUUV

nnn VUV2

1)6(

2

11

On en dduit que .2

1q

Exprimons Vn en fonction de n.

,2

1150

n

n

n

n VqVV

(car 15600 UV )

V0 > 0 et q > 0

n , Vn > 0 Donc, la suite (Vn) est une suite gomtrique de

premier V0 = 15 > 0 et de raison 02

1q

Les termes de la suite (Vn) sont tous positifs.

b) Expression de la somme nn VVS ...0

2

11

2

1115

1

)(1

1

1

0

n

n

nq

qVS

...2

1530

2

11530

2

1

2

1130

nn

nn

S

Expression de Sn = U0 + +Un

On a : 66 nnnn VUUV

n

i

nni

n

n

n

i

i

n

i

i

SnU

n

nSVU

0

00

.....2

15624

662

1530

)1(66

2) (Wn) est tel que : Wn = lnVn, n Montrer que (Wn) est une suite arithmtique

(Wn) suite arithmtique ssi r tel que

n : rWW nn 1

On crit la formule donnant la somme des (n + 1) premiers termes dune suite

arithmtique et, on effectue.

On exprime V1, V2, , Vn en fonction du premier

terme V0 et de la raison q. On groupe et, on dduit

lexpression de Pn en fonction de n.

)ln( 11 nn VW

La diffrence : )ln()ln( 11 nnnn VVWW

2ln2

1ln)ln(ln 11

q

V

VWW

n

nnn

(Wn) est une suite arithmtique de raison 2lnr

et de premier terme .15lnln 00 VW

Expression de nn WWS ...0 en fonction de n

2

)1)(2ln15ln2(

2

)1)(( 0

nnnWW

S nn

3) Calculer nn VVVP ...10 en fonction de n

nn qVqVqVVP 02

000 ...

2

)1(

1

0

...211

0

nn

nnn qVqV

2

)1(

1

2

115

nn

n

nP

Consignes : 1. Lusage de la calculatrice programmable est interdit 2. Le tlphone est interdit dans les salles 3. Le silence est obligatoire. 4. Lpreuve comporte deux parties. Dure de lpreuve : 4 heures

5. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non fructueuse, quil aura dveloppe. La qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans lapprciation des copies.

1- Linquation :)3ln(ln)2ln()2ln( xxx

est dfinie sur [2;2]

na pas de solution

a pour ensemble de solutions ]1;0]

aucune des rponses

2- On considre le nombre complexe j tel que .32

i

ej

La forme algbrique de 2007j est :

11 ii

3- Lespace est muni dun repre orthonormal direct

).,,;( kjiO Soit les points )2,2,1(),1,6,4( BA

et ).3,4,1(C

Laire du triangle ABC est :

15 2

15 30

2

45

4- Un vhicule cote 15 000 en 2009. Il se dprcie de 10% par an (cest--dire son prix de revente baisse de

10% par an). Sa valeur la vente au bout de 5 ans sera

de :

7 500 5 000 8 857,35 aucune des rponses

5- Un capital de 5000 gourdes est plac au taux annuel de 3,5% intrts composs. On note C0 le capital

initial et Cn celui disponible au bout de n annes. Le

terme Cn en fonction de n est gal : Cn = 5000 + 1,035n Cn = 5000 (1,035)

n

Cn = 5000n aucune des rponses

1- A. f est la fonction dfinie sur [;0] par :

x

xxf

ln1)(

a) Calculer la drive de f et tudier le signe de cette drive.

Dresser le tableau de variation de f sur ]5;0]

b) Rsoudre lquation f(x) = 0

c) En dduire le signe de f(x) sur ]5;0]

B. Un entreprise qui fabrique des ustensiles de

cuisine sait quelle peut en produire jusqu 5 000

par jour et que son bnfice exprim en milliers par :

,ln1

10)(q

qqB

o q est le nombre dunits

produites en milliers.

a) Dterminer le nombre minimal dunits produire pour que lentreprise atteigne le seuil

de rentabilit.

b) Dterminer le nombre dunits produire pour que lentreprise obtienne un bnfice

maximum, ainsi que la valeur de ce bnfice

en dollars

2- Le secteur de production dune entreprise est compos de trois catgories de personnel : les

ingnieurs (I), les techniciens de production (T)

et les agents de maintenance (M).

Il y a 8% dingnieurs et 82% de techniciens de

production. Les femmes (F) reprsentent 50%

des ingnieurs, 25% des agents de maintenance

et 60% des techniciens de production.

On interroge au hasard un membre du

personnel de cette entreprise.

a) Construire un arbre pondr qui reprsente cette exprience.

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

CL DE CORRECTION

FIN DTUDES SECONDAIRES

MATHMATIQUES

Partie A.- Obligatoire (40 pts: 8 pts / question)

Recopier sur la feuille de mise au net la question

accompagne de la rponse juge correcte en la

justifiant.

Partie B.- (20 pts / problme)

Traiter trois (3) des cinq (5) problmes.

b) Quelle est la probabilit que la personne interroge soit un homme?

c) Si la personne est une femme, quelle est, 10

2 prs, la probabilit quelle soit ingnieur?

3- Soit (E) lquation diffrentielle 052 yyy

a) Rsoudre (E) sur . b) Trouver la solution de (E) vrifiant y(0) = 1

et 3)0( y

c) Dmontrer que, pour tout rel x,

42cos2)(

xexy x

4- n est un entier naturel non nul. On pose

)5( 2 nna

a) Dmontrer que, pour tout entier naturel n non nul, a est divisible par 3.

b) Dterminer les entiers n pour lesquels a est divisible par 7.

5- On considre la srie double statistique suivante :

xi 2 3 5 1 4

yi 4 9 11 3 8

a) Reprsenter le nuage de points associs la srie statistique double (xi, yi) dans un

repre orthogonal adapt aux donnes.

b) Dterminer le point moyen de ce nuage de points.

c) Calculer : 1) la covariance de y et x. 2) la variance de x. d) Dterminer une quation de la droite de

rgression de y en x

1- Linquation )3ln(ln)2ln()2ln( xxx a

pour ensemble de solutions ]0, 1].

2- Soit 32

i

ej ; la forme algbrique de 2007j est 1.

3- Laire du triangle ABC est 7,5 U.A

4- Sa valeur la vente au bout de 5 ans sera de 7 500

5- Le terme Cn en fonction de n est gal Cn = C0(1 + I)n

ou Cn = 5000 (1,035)n

A- Mthode

1- On utilise la drive de la fonction ,V

Ux

la drive de la fonction xx ln

On tudie le signe de la drive qui est celui de lnx sur [,0] .

On dresse le tableau de variation sur ]0, 5].

On rsoud lquation f(x) = 0 cest--dire le signe de f(x) sur lintervalle

considr.

Solution

A- f dfinie sur [,0] par :

x

xxf

ln1)(

1) Drive de f.

2)()(

V

UVVUxf

V

Uxf

1

1ln1

VxV

xUxU

22

ln11

)(

)ln1(1)(1

)(xx

xxxxf

2

ln)(

x

xxf

Signe de la drive

Dnominateur : x2 > 0

Num = 0 lnx = 0 => x = 1

Tableau de la drive.

x 0 1 +

xln + 0

x2

+ +

)(xf + 0

0)(,1

0)(,10

xfx

xfx

Tableau de variation de f sur ]0, 5].

0,)(lim0

xxf est (AV) Cf.

52,05

5ln1)(lim

5

xf

X = 1 => f(x) = 1, la courbe (C) de f admet

au point dabscisse 1 un maximum gal 1.

Do le tableau de variation sur ]0; 5]

x 0 1 5

)(xf + 0

)(xf

1

0,52

2) Rsoudre lquation f(x) = 0

eeS

eex

xxf

1,

1

0ln10)(

11

3) Signe de f(x) sur ]0; 5]

MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE

CL DE CORRECTION

FIN DTUDES SECONDAIRES

MATHMATIQUES

Partie B.- (20 pts / problme)

Traiter trois (3) des cinq (5) problmes.

x 0

)(xf

)(xf

e

1

1 5

0

0

1

52,0

e

xqdxf1

0,0)(

.51

,0)( xe

qdxf

B- Mthode

1) Lentreprise atteint le seuil de rentabilit

pour q = 5 000.

2) On calcule la drive du bnfice pour

obtenir le nombre dunits et le bnfice

maximum sen dduit.

Solution

,ln1

10)(q

qqB

q nombre dunits produites

en milliers.

1) Nombre minimal dunits produire Pour cela lentreprise atteigne le seuil de

rentabilit, elle doit produire au minimum

5 000 units.

2) Nombre dunits produire pour obtenir un bnfice maximum.

10)1(

1

0ln100)(

ln10)(

2

B

q

qqB

q

qqB

Pour obtenir un bnfice maximum,

lentreprise doit produire 1000 units. Le

bnfice correspondant est de 10 000 dollars.

Exercice 2

Mthode

1- On traduit lnonc en reprant les probabilits conditionnelles.

On utilise la rpartition du personnel : p(I) + p(M) + p(T) = 1

On utilise la loi des nuds.

Lors de la ralisation de larbre, les probabilits sur les branches du deuxime niveau sont des

probabilits conditionnelles. Pour dmarrer

larbre, deux choix sont priori possibles : la

catgorie ou le sexe or, on connat la

probabilit de chaque catgorie, donc on

dmarre par I, M et T.

2- On repre tous les chemins qui mnent la ralisation de cet vnement.

3- On utilise la dfinition de la probabilit conditionnelle dun vnement.

On applique la loi des chemins.

Solution

1) Construisons un arbre pondr On note H lvnement la personne est un

homme . Daprs lnonce.

p(I) = 0,08 et p(T) = 0,82, donc .1,0)()(1)( TpIpMp

25,0)(5,0)( FpFp MI et

;6,0)( FpT donc

75,0)(,5,0)( HpHp MI et

4,0)( HpT

Do larbre pondr reprsentant

lexprience :

10

)(qB

q0

q 08,0

1,0

82,0

M

I

T

5,0

5,0

F

H

25,0 F

H75,0

6,0

H

F

4,0

2) Probabilit que la personne interroge soit un homme.

On calcule p(H).

Trois chemins I H, M H, T H mnent

H, donc p(H) est la somme des probabilits

des vnements associs ces chemins.

)()()()( HTpHMpHIpHp

4,082,075,01,05,008,0

)()()()()()(

HpTpHpMpHpIp TMI

Donc, p(H) = 0,443

3) Il sagit de calculer )(

)()(

Fp

FIpIpF

Or, ;HF do p(F) = 1 p(H)

p(F) = 0,557

De plus, 04,05,008,0)( FIp

Donc, 072,0557,0

04,0)( IpI

Thmes : Probabilits conditionnelles

Loi des nuds

Formule des probabilits totales

Loi des chemins.

Exercice 3

Mthode

a) On cherche lquation caractristique de (E) et on calcule son discriminant.

< 0, les solutions de (E) sont les fonctions

)sincos(: xxexy x b) On utilise les conditions imposes pour

trouver et . On drive y(x). On trouve

donc et . On crit la solution particulire

de (E).

c) On utilise une autre expression des solutions ( < 0) :

RxRexy x ,,),cos(: et sont

des constantes relles.

22 R

On divise : )2sin2cos()( xxexy x par

.22 On en dduira la forme demande.

Solution

)(052 Eyyy

a) Rsoudre (E) sur Cherchons lquation caractristique :

0522 rr

Calcul du discriminant : 016204

Une racine carre de est 4i. Les solutions de lquation caractristique

sont : ir 211 et ir 212 (2 racines

complexes conjugues)

Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme :

)sincos(: xxexy x

Pour 1 et ,2 on a :

)2sin2cos()( xxexy x

b) Solution de (E) vrifiant y(0) = 1 et

3)0( y

Il sagit de trouver et .

)0sin0cos(11)0( 0 ey

1

Dcrivons y(x)

xxexy x 2sin)2(2cos)2()( 1,233)0( y

La solution particulire vrifiant les conditions est :

)2sin2(cos)( xxexy x

c) Dmontrer que, x ,

.4

2cos2)(

xexy x

< 0, une autre expression de y(x) est

)cos()( xRexy x

2)1()1(,1 22 R

En divisant )2sin2(cos)( xxexy x par

,2 on a : )2sin2(cos22

)(xx

exy x

xxe

xxe

x

x

2sin4

sin2cos4

cos

2sin2

12cos

2

1

42cos

2

)( xe

xy x

Do

42cos2)(

xexy x

2,2 R et .4

Thme : quations diffrentielles Complexes

quations trigonomtriques

Exercice 4

Mthode

1- On souhaite montrer que ).3(mod0a

Donc, on sintresse aux restes de la division

euclidienne de n par 3.

On dresse le tableau des restes dans la congruence modulo 3. On applique les

rgles de calcul sur les congruences.

On conclut.

2- Comme dans le cas prcdent, on sintresse aux restes de la division de n par 7, et on dresse le

tableau des restes dans la congruence modulo 7.

Dans le tableau, on identifie les cas pour lesquels )7modulo(0a

On conclut.

Solution

1) Dmontrons que, n *, a est divisible par 3.

Les restes de la division euclidienne de n par 3 sont : 0, 1 ou 2. Donc

)3(mod1),3(mod0 nn ou

)3(mod2n

Dressons un tableau des restes dans la congruence modulo 3.

n 0 1 2

2n 0 1 14

52n 25 06 06

)5( 2nn 0 0 0

Pour tout entier naturel n non nul :

),3(mod)5( 2 nn donc 3 divise a ou a est

divisible par 3.

2) Dterminons les entiers n pour lesquels a est divisible par 7.

Dans la division euclidienne de n par 7, les

restes possibles sont :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do :

n 0 1 2 3 4 5 6

2n 0 1 4 2 2 4 1

52n 5 6 2 0 0 2 6

)5( 2nn 0 6 4 0 0 3 1

Daprs ce tableau : )7(mod0a ssi

)7(mod0n ou )7(mod3n ou

)7(mod4n

Donc les entiers n cherchs sont les entiers : n = 7k, n = 7k + 3, n = 7k + 4

avec k *.

Thme : Congruence

Entiers congrus modulo m

Proprit des congruences.

Exercice 5

Solution

1) Le nuage des points correspondant est reprsent par le graphique ci-dessous :

10

5

0 1 2 3 4 5 6

2) Dterminons le point moyen de ce nuage de points.

Soit ),( yxG ce point

Nous avons :

)831194(5

1)(

5

11

)41532(5

1)(

5

11

54321

5

1

54321

5

1

yyyyyyn

y

xxxxxxn

x

i

i

i

i

;7

3

y

x donc G (3, 7)

3) a) Calculons la covariance de y et x.

cov(x, y) = yxyxn

n

i

ii 1

1

cov(x, y) =

yxyxyxyxyxyx )(5

15544332211

cov(x, y) =

73)84311159342(5

1

cov(x, y) = 4

b) Calculons la variance de x.

n

i

i xxn

xV1

2)(1

)( ou

5

1

2)(5

1)(

i

i xxxV

2524232221 )()()()()(5

1)( xxxxxxxxxxxV

22222 )34()31()35()33()32(5

1)( xV V(x) = 2

4) dterminons une quation de la droite de rgression de y en x.

baxy (1)

Le coefficient directeur a est donn par la formule : 22

4

)(

),cov( a

xV

yxa

Lordonne lorigine quivaut 1327 bbxayb

Do y =2x + 1