cole de technologie suprieure

Mat 165 : Algbre linaire et analyse vectorielle Rsum pour la deuxime moiti de la session

Michel Beaudin 17 avril 2014

Intgrales doubles

1.1 Notations et contexte Si D est un domaine born du plan xy et si f = f(x, y) est un champ scalaire continu sur un ensemble ouvert contenant D, alors lintgrale double de f sur D est souvent dnote par

( , ) .D

f x y dA

Linterprtation dpend du contexte. En particulier, si la fonction z = f(x, y) est positive sur D et dcrit une surface S, la valeur de lintgrale double peut tre assimile au volume du solide situ au-dessus de D et sous la surface S. Ici, dA reprsente un lment daire : on crira dx dy ou dy dx une fois lordre dintgration choisi.

1.2 Dfinitions Laire de D est tout simplement calcule par 1 .D

dA Si D reprsente une plaque

mince avec, au point (x, y) une fonction de densit (x, y) (masse par unit daire), alors les coordonnes ( ),x y du centre de masse de D sont donnes par

1 1( , ) , ( , ) avec ( , ) D D D

x x x y dA y y x y dA M x y dAM M

= = = (la masse totale).

1.3 Calculs dune intgrale double par intgrales itres Lorsquon utilise les coordonnes rectangulaires (cartsiennes), la rgion D est soit dcrite par un rectangle, une rgion de type I ou une rgion de type II. Pour un rectangle { }( , ) : , ,R x y a x b c y d= les 2 ordres dintgration sont utilisables :

( , ) ( , ) ( , ) .b d d b

R a c c a

f x y dA f x y dy dx f x y dx dy= =

Pour une rgion de type I, i.e. { }1 2( , ) : , ( ) ( ) ,D x y a x b g x y g x=

la dernire intgrale se fait par rapport x :

2

1

( )

( )( , ) ( , ) .

g xb

R a g x

f x y dA f x y dy dx=

Pour une rgion de type II, i.e. { }1 2( , ) : , ( ) ( ) ,D x y c y d h y x h y=

la dernire intgrale se fait par rapport y :

2

2

1

( )

( )( , ) ( , ) .

h yd

R c h yf x y dA f x y dx dy=

1.4 Calculs dune intgrale double laide des coordonnes polaires Le changement de variables (coordonnes polaires)

2 2 2cos, tan

sinx r y

r x yy r x

= = + =

=

transforme une intgrale double comme suit :

*

( , ) ( cos , sin )D D

f x y dA f r r r dr d =

o D* est limage de D dans le plan des r.

1.5 Exemple Soit ( )2 2 1D

I x y dA= + o { }2 2( , ) : 6 , 0 .D x y x y x y= +

On peut montrer que 1773 348.13.16

I pi=

En effet, on a ( ) ( ) ( )22

2

3 96 6 32 2 2 2 2 2

Type I Type II0 0 0 3 9

1 1 1 .yx x

D y

I x y dA x y dy dx x y dx dy+

= + = + = +

En coordonnes polaires, on a ( ) ( )2 6cos2 2 4 2 20 0

1 cos sin 1 .D

I x y dA r r dr dpi

= + = +

Intgrales triples

2.1 Notations, contexte et dfinitions Si E est un solide born de lespace xyz et si f = f(x, y, z) est un champ scalaire continue sur un ensemble ouvert contenant E, alors lintgrale triple de f sur E est souvent dnote par

( , , ) .E

f x y z dV

Si f 1, alors cela donnera le volume de E : volume de E = 1 .E

dV Lorsquon dcide dun

ordre dintgration, alors on peut remplacer dV par dx dy dz par exemple. Ainsi, si E peut tre dcrit par un ensemble du type

{ }1 2( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , ) ,E x y z x y D g x y z g x y=

3

alors le volume de E se calcule par ( )2

1

( , )

2 1( , )

1 ( , ) ( , ) .g x y

E D g x y D

dV dz dA g x y g x y dA= =

Et comme lintgrale double qui reste calculer peut se faire par intgrales itres, on en conclut quune intgrale triple se calcule aussi par intgrales itres. Dautres ordres dintgration sont possibles, selon la gomtrie du solide E.

Si, sur le solide E, une fonction (positive) de densit (masse par unit de volume) (x, y, z) est dfinie, alors la masse totale M de E et les coordonnes du centre de masse de E sont obtenues par

[ ]1( , , ) , ( , , ) ou ou . E E

M x y z dV x y z dV x y zM

= = =

2.2 Coordonnes cylindriques Le systme de coordonnes cylindriques est dfini par

2 2 2cos

sin , tan .x r

yy r r x yx

z z

=

= = + =

=

On montre alors quune intgrale triple est transforme comme suit:

( , , ) ( cos , sin , )E E

f x y z dV f r r z r dr d dz

=

o E* est limage de E sous cette transformation.

2.2.1 Exemple Trouvons le volume du solide born en bas par le parabolode 2 24 4z x y= + , en haut par le plan z = 10 + y et latralement par le cylindre 2 2 4.x y+ =

Alors ce volume vaut2

2 2 10 sin

0 0 41 8 25.13.

r

E r

dV r dz dr dpi

pi+

= =

2.3 Coordonnes sphriques Le systme de coordonnes sphriques est dfini par

( )2 2 2 2cos sinsin sin .cos

x

y x y zz

=

= = + +

=

On montre alors quune intgrale triple est transforme comme suit:

4

2( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ) sin .E E

f x y z dV f d d d

=

o E* est limage de E sous cette transformation.

2.3.1 Exemple Trouvons la masse totale du solide dlimit infrieurement par le cne 6pi = et

suprieurement par la sphre 10cos = , sachant que la densit en un point (x, y, z) est donne par la fonction 2 2 2( , , ) .x y z x y z = + +

Remarquez que lquation de la sphre est donne en utilisant les coordonnes sphriques (de mme que celle du cne) pour la simple et bonne raison que ce systme de coordonnes est tout fait appropri pour cet exemple : on a

6 10cos22 2

0 0 0

23125( , , ) sin 12108.2.6E

M x y z dV d d dpi pi

pi = = =

On peut reprendre le calcul en coordonnes cylindriques genre de choses quon se permet lorsquon dispose dun calculateur symbolique : lquation du cne devient 3z r= et celle de la sphre devient 2 2 10r z z+ = (donc sphre centre en (0, 0, 5) et de rayon 5). lintersection des 2 surfaces, le cercle a un rayon de 5 3

2r = (ce cercle est donc situ dans le plan z = 15/2,

dans lhmisphre nord : par consquent, en rsolvant pour z dans lquation 2 2 10r z z+ = , on prendra le signe + devant le radical):

( )25 3 22 5 25

2 2

0 0 3

23125( , , ) .6

r

E r

M x y z dV r z r dz dr dpi

pi +

= = + =

2.4 Changement de variables quelconques Nous en parlerons plus loin, une fois les matrices et dterminants prsents. De tels changements sont appropris dans des exemples arrangs comme le suivant.

Exemple 2.4.1 Le lecteur intress pourra trouver laire de la rgion du premier quadrant englobe par les droites y = 3x, y = x/3 et les hyperboles xy = 1, xy = 8. Cette rgion doit tre

5

dcoupe puisquelle nest pas, en bloc, ni de type I ni de type II. Mais un changement de variables comme u = xy, v = y/x, peut la transformer en un beau rectangle dans le plan des uv.

Intgrales curvilignes, potentiel, thorme de Green

3.1 Dfinition Soit F un champ vectoriel, donc une fonction de n dans .m Pour le prsent rsum, nous aurons toujours n = m et les valeurs de n = m seront toujours 2 ou 3. Soit C une courbe oriente, paramtre par la fonction [ ]: , , ( )r rna b t t . On appelle intgrale curviligne de F le long de C ou encore intgrale de ligne et on note F r

Cd le nombre suivant

(ceci vient gnraliser la notion de travail dun champ de forces constant F le long du segment PQ

qui est dfini par FW PQ=

) :

( ( )) rF r F rb

C a

dd t dtdt

On peut montrer que la valeur de cette intgrale ne dpend du choix des quations paramtriques ( condition quelles soient bonnes!). Mais elle dpend en gnral du chemin C comme va le montrer lexemple en 3.3.1. Notez labus de notation : il est clair, lorsquon crit F(r(t)), que cette composition est permise en crivant r comme un triplet et non un vecteur

3.2 Exemple de courbes paramtres Un segment de droite, allant dun point A un point B (2 points quelconques du mme espace) peut toujours tre paramtr par

( )( ) , 0 1.r A B At t t= + On a ici utilis labus de notation A OA=

.

3.3 Autre notation pour lintgrale curviligne. En 2D, on crit souvent F(x, y) = [P, Q] o P et Q sont 2 champs scalaires des variables x et y, Alors, puisque dr = [dx, dy], on effectue le produit scalaire et obtient

.F rC C

d P dx Q dy = +

En 3D, on crit souvent F(x, y, z) = [P, Q, R] o P, Q et R sont 3 champs scalaires des variables x, y et z. Alors

.F rC C

d P dx Q dy R dz = + +

3.3.1 Exemple Calculons ( ) ( )2 4xC

I x xy dx e y dy= + + o C est la portion de la parabole

2y x= allant du point (0, 0) au point (2, 4). Si lon pose 2( ) , , 0 2r t t t t = afin de paramtrer le parcours, on a alors

6

[ ] ( )2 23 2 2 3 2 20 0

70, 4 1, 2 2 7 2 8.56.

3t tI t t e t t dt te t t dt e = + = + =

Si lon utilise le fait que 2y x= , alors dy = 2x dx et on obtient la mme intgrale (en x toutefois!) :

( ) ( ) ( )2 22 2 2 3 2 20 0

704 2 2 7 2 .3

x xI x x x dx e x x dx xe x x dx e= + + = + =

Si lon utilise le fait que x y= (car on reste dans le premier quadrant), alors 2dydx

y=

et on a

( ) ( )4 4 20 0

7 704 2 .2 2 32

y yydy yI y y y e y dy e dy ey

= + + = + + =

La calculatrice vient confirmer le rsultat : nous utilisons ici la fonction int_curv du Kit_ETS_MB qui donne instantanment la rponse (en classe, nous montrerons comment une telle fonction se programme) :

Figure 1

3.3.2 Exemple Calculons ( ) ( )2 4xC

J x xy dx e y dy= + + o C est le segment de droite allant

de (0, 0) (2, 4). On peut paramtrer ce segment par [ ]( ) 2 , 4 , 0 1r t t t t= et on trouverait facilement la valeur 22 26 11.22.J e= On voit quen gnral, la valeur dune intgrale curviligne dpend du parcours. Il serait donc intressant de trouver des champs vectoriels pour lesquels lintgrale curviligne ne dpend pas du parcours mais seulement des points de dpart et darrive du parcours. Remarquons quen vertu de la rgle de drivation des fonctions composes, nous savons que, pour un champ scalaire , on a,

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )) ( ( )) ( ) ( ).rr r r r (r rb b

ba

C a a

d dd t dt t dt t b a B Adt dt

= = = =

Ici C est un chemin paramtr par [ ]: , , ( ),r rna b t t allant du point A au point B et on a encore utilis labus de notation : r(a) = A, r(b) = B. Donc, les intgrales curvilignes des champs de gradient sont indpendantes du parcours. Cela amne la dfinition suivante.

7

3.4 Dfinition Soit F un champ vectoriel continu sur un ensemble ouvert U. On dit que F est conservatif sil existe un champ scalaire tel que = F. On appelle un potentiel de F.

3.4.1 Condition ncessaire pour avoir un potentiel En pratique, les champs F quon va considrer seront de classe 1C , i.e. auront des drives partielles premires continues. Alors, si F

est conservatif, on a = F. En 2D, en posant F = [P, Q], cela signifie que .P Qy x

=

En effet,

par le thorme de Clairault, les drives mixtes de sont gales car est alors de classe 2C :

2 2.

PP Qxy y x x y xQ

y

=

= = = =

Un calcul similaire, en 3D, nous dit quune condition ncessaire pour que F = [P, Q, R ] soit conservatif est que

et et .P Q P R Q Ry x z x z y

= = =

3.4.2 Remarques et dfinitions La dernire condition nest pas suffisante en gnral : nous verrons cela un peu plus loin mais on peut montrer que si F est dfini sur un espace possdant une certaine proprit, alors la condition prcdente est ncessaire et suffisante. Parlons quelque peu de ces espaces. Un sous-ensemble U de n est dit connexe par arcs si 2 points quelconques de U peuvent toujours tre relis par une courbe C qui reste dans U. Si cette courbe peut tre choisie comme tant un segment de droite, on dit que U est convexe. Si toute courbe ferme simple (qui ne se recoupe pas) de U peut se dformer de faon continue pour devenir un point et sans sortir de U, alors on dit que U est simplement connexe par arcs. videmment, si U = n , alors toute ces dfinitions sont satisfaites.

3.4.3 Dfinition et notation Souvent, en physique, on dfinit le rotationnel (en anglais, curl ) dun champ vectoriel F = [P, Q, R ] par

rot , , .R Q P R Q Py z z x x y

=

F

Mais alors, si F est dfini sur tout lespace, une condition ncessaire et suffisante pour quil soit conservatif est que rot .=F 0

Notez aussi quen posant le vecteur symbolique nabla

, ,

x y z =

, on peut crire que rot .= F F

3.4.4 Exemple Vrifions si le champ vectoriel F suivant est conservatif et, si oui, trouvons un potentiel.

8

( ) ( ) ( )2 2 2( , , ) cos( ) 2 cos( ) 3 4 2 .zx y z y xy z x xy y xz e= + + + + +F i j k

Puisque le domaine de F est tout lespace et puisque rot F = 0 comme un calcul direct le montre, nous allons trouver ( constante prs) un champ scalaire dont le gradient vaut F. Nous devons rsoudre le systme (de 3 quations aux drives partielles) suivant :

2

2

2

cos( ) 2 (1)

cos( ) 3 (2)

4 2 (3)z

y xy zx

x xy yy

xz ez

= +

= +

= +

En intgrant (1) par rapport x, nous trouvons que

2sin( ) 2 ( , )xy xz C y z = + +

avec C une fonction qui ne dpend pas de x mais possiblement de y et z. En drivant cette rponse par rapport y et en comparant avec (2), nous trouvons que

2 33 et alors ( , ) ( ) ( ne dpend que de ).C y C y z y D z D zy

= = +

On sait maintenant que

2 3sin( ) 2 ( ).xy xz y D z = + + +

Il reste seulement dterminer la fonction D(z) et en drivant par rapport z la rponse trouve jusqu prsent et en comparant avec (3), nous dduisons que

2 2( ) 2 ( ) , .z zD z e D z e K K = = +

Ainsi, constante prs, un potentiel de F est donn par

2 3 2( , , ) sin( ) 2 .zx y z xy xz y e = + +

On vrifie la rponse obtenue en calculant le gradient de pour voir que a redonne bien F. On peut aussi trouver en intgrant tout de suite (1) par rapport x, (2) par rapport y et (3) par rapport z et, ensuite, on compare les rponses : on aurait alors

21sin( ) 2 ( , )xy xz C y z = + +

32sin( ) ( , )xy y C x z = + +

2 232 ( , )zxz e C x y = +

9

de sorte que 2 3 2sin( ) 2 , .zxy xz y e K K = + + +

Nous utilisons maintenantNspire CAS et des fonctions du Kit_ETS_MB pour confimer : la fonction potential donne la mme rponse que le ci-haut mais avec la constante K gale 1 :

Figure 2

3.5 Thorme (dmontr en classe) Soit F un champ vectoriel continu, dfini sur un ensemble ouvert U, connexe par arcs. Alors, les conditions suivantes sont quivalentes :

1) F est conservatif; 2) Lintgrale curviligne de F est indpendante du parcours; 3) Si C est un quelconque chemin ferm de U, alors 0.

Cd = F r

3.6 Remarque et notation En prouvant ce dernier thorme, nous verrons que si F est conservatif et si C est un quelconque chemin dans U allant dun point A un point B, alors si est un potentiel de F,

( ) ( ).C

d B A = F r

Cela vient gnraliser le thorme fondamental du calcul intgral pour les champs de vecteurs et nous permet dutiliser la notation suivante : si un champ vectoriel F est conservatif, alors lintgrale curviligne le long dune courbe C allant dun point A un point B est souvent dnote par

.

B

A

dF r

De plus, dans certains espaces, il est facile de voir que la condition ncessaire rot F = 0 nest pas suffisante pour que F soit conservatif. Lexemple 3.8 va illustrer cela. Notons aussi que lorsque le chemin C est ferm et parcouru dans le sens direct (contraire des aiguilles dune montre), on ajoute souvent un petit rond avec la flche sur lintgrale curviligne: .

C

10

3.7 Exemple Soit F le champ conservatif de lexemple 3.4.4. Alors si C est le cercle dfini par les quations paramtriques

{ 2 cos , 3, sin , 0 2x t y z t t pi= + = = (donc le cercle centr au point (2, 3, 0) de rayon 1, dans le plan y = 3), alors il ne sert rien de

calculer lintgrale curviligne de F le long de C : ce sera 0 puisque C est une courbe ferme! Et si C est le demi-cercle obtenu en limitant t lintervalle [0, pi], alors C va du point A = (3, 3, 0) au point B = (1, 3, 0) et alors, en prenant le potentiel trouv 3.4.4., on a

(1,3,0) (3,3,0) sin 3 sin 9 0.271.C

d = = F r

3.8 Exemple En 2D, si C est le cercle unit et si F est le champ dfini en tout point (x, y) sauf en (0, 0) par F(x, y) = [P(x, y), Q(x, y)] avec

2 2 2 2( , ) , ( , ) ,y xP x y Q x y

x y x y= =

+ +

on peut vrifier facilement que

( )2 2

22 2( , ) (0,0).P Q y x x y

y x x y

= =

+

Remarquons que le domaine de F qui est tout le plan sauf le point (0, 0) est connexe par arcs, non convexe, mais surtout non simplement connexe par arcs et en calculant lintgrale curviligne le long de C, nous avons

2 2

2 2 2 20 0

sin cos( sin ) (cos ) 1 2 0.cos sin cos sin

F rC C

t td P dx Q dy t dt t dt dtt t t t

pi pi

pi

= + = + = = + +

Puisque F est continu sur son domaine et que C est un chemin ferm, alors F nest pas conservatif daprs le thorme 3.5 (mme si la condition ncessaire est satisfaite). Mme si un potentiel nexiste pas, il devient intressant de tenter den trouver un! En essayant de rsoudre le systme

2 2

2 2

(1)

(2)

yx x y

x

y x y

= +

=

+

on va voir que cela est impossible. En effet, en intgrant (1) par rapport x et (2) par rapport y, on trouve que

1 1( , ) tan ( ) et ( , ) tan ( ).x yx y C y x y D xy x

= + = +

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Chacune de ces 2 rponses renferme une information intressante : on ne doit pas croiser les axes! Et ces 2 rponses seront compatibles si lon reste dans un mme quadrant cause de lidentit gnrale suivante :

1 1tan tan sign( ).2

x yxy

y xpi

+ =

Donc, si notre courbe avait t situe compltement dans le premier quadrant par exemple, alors un potentiel aurait pu tre

1( , ) tan2

xx y

ypi =

et lintgrale aurait t nulle.

3.9 Thorme de Green-Riemann Soit U un ouvert simplement connexe par arc, soit C un parcours ferm simple dans U, bornant une rgion D. Soient P et Q 2 champs scalaires de classe C1 dfinis sur U. Alors

.

C D

Q PP dx Q dy dAx y

+ =

3.10 Exemple Trs souvent, on utilise la formule de Green pour calculer une intgrale curviligne sur un chemin (dun champ non conservatif!) qui comporte plusieurs cts (un triangle par exemple) puisque le calcul de lintgrale double est alors plus rapide. On peut aussi utiliser la formule de Green pour calculer laire dune rgion plane (dont la frontire est souvent donne par des quations paramtriques) puisque, en choisissant P = y/2 et Q = x/2, on a

11 aire de .2D D C

Q P dA dA D x dy y dxx y

= = =

3.11 Remarque La formule de Green peut aussi tre rcrite sous la forme suivante si lon pose F = [P, Q, 0], n =[0, 0, 1] = k et si lon se sert de 3.4.3 :

rot .C D

d dA = F r F n

Cette dernire formule nous amnerait au cas gnral dune intgral curviligne sur une courbe ferme C simple dans lespace, englobant une rgion S. Lintgrale double serait alors une intgrale de surface et la formule serait plutt crite sous la forme du thorme de Stokes : soit F un champ vectoriel de classe C1 dfini sur un ouvert U, soit S une surface bord , contenue dans U, dont la frontire est la courbe ferme simple C, soit n le vecteur unitaire perpendiculaire S. Alors

rot .C S

d dS = F r F n

12

Finalement, si lon avait un solide E dont la surface ferme le dlimitant serait dnote par S (par exemple une sphre S englobant la boule intrieure E), alors le lien entre les diffrentes intgrales serait donn par le thorme de la divergence (thorme de Gauss) :

divS E

dS dV = F n F

o div F est le champ scalaire appel la divergence de F et dfini par, posant F = [P, Q, R],

div .P Q Rx y z

= + + =

F F

Matrices et systmes dquations linaires

4.1 Contexte et dfinition Dans un systme dquations linaires, on a A une matrice de format m n, qui est la matrice des coefficients du systme (en gnral des nombres rels ou complexes), on a X = [ ]1 2 Tnx x x

la matrice n 1 des inconnues et K = [ ]1 2 Tmk k k la matrice m 1 des constantes (le ct droit dans le systme dquations : X et K sont souvent appels des vecteurs colonnes). Si K = 0, le systme est dit homogne.

4.2 Rappels et exemple Un systme dquations linaires scrit sous la forme AX = K cause du produit matriciel. En effet, si A est de format m n, si B est de format n p, alors on dfinit

la matrice produit de A et B par C = AB, de format m p, o 1

n

ij ik kjk

c a b=

= .

Ainsi, le systme de 2 quations linaires 3 inconnues x, y et z

2 4 15 3

x y zx z

+ =

+ =

peut se reprsenter par AX = K avec 2 1 4 1

, , .

1 0 5 3A X K

x

yz

= = =

Le produit matriciel nest pas en gnral commutatif mme dans le cas o A et B sont carres de mme ordre. Par contre, il est associatif : D(EF) = (DE)F o D est de format m n, E de format n p et F de format p q. Rappelons aussi que si B est de format m n, la notation BT signifie la matrice transpose de la matrice B on intervertit lignes et colonnes de B et donc la nouvelle matrice est de format n m.

4.3 Exemple Une formule comme 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + nest plus vraie pour les matrices. Le mieux quon pourra crire sera, pour des matrices A et B carres de mme ordre,

2 2 2( ) .+ = + + +A B A AB BA B

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4.4 Exemple : matrice de rotation autour de laxe des z On considre le cercle de rayon 1, centr au point (2, 0, 0) dans le plan des xz, cercle quon peut paramtriser par

2 cos0 0 2 .sin

x t

y tz t

pi

= +

=

=

Et si on fait tourner ce cercle autour de laxe des z, on obtiendra un tore :

Des quations paramtriques de ce tore peuvent tre obtenues en effectuant un produit matriciel :

cos sin 0 2 cos cos (cos 2sin cos 0 0 sin (cos 2) .

0 0 1 sin sin

s s t s t

s s s t

t t

+ +

= +

En classe, nous introduirons la matrice de rotation (en 2D)

cos sin.

sin cos

4.5 Dfinitions Si A est une matrice de format m n, une opration lmentaire de ligne sur A consiste en lune des 3 oprations suivantes : intervertir 2 lignes, multiplier la ligne i par le scalaire c (non nul) et, la ligne i, ajouter c fois la ligne j. La matrice B obtenue (aprs un certain nombre doprations de lignes) est dite ligne-quivalente A. On notera par A B pour indiquer cette quivalence (et il sera utile dcrire chacune des oprations qui ont procur ce rsultat). Remarquons que chacune de ces oprations est inversible.

4.6 Dfinition et thorme Soit A une matrice de format m n. On dit quune matrice R de format m n est l-rduite-chelonne si R satisfait aux 4 conditions suivantes :

1) Toutes les ligne nulles (sil y en a) sont en-dessous des lignes non nulles. 2) Dans chaque ligne non nulle, le premier lment non nul est un 1.

La colonne o ce 1 apparat est dite colonne pivot de la ligne.

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3) Dans la colonne pivot dune ligne, tous les lments des autres lignes sont 0. 4) Les colonnes pivots apparaissent en ordre croissant.

On peut montrer que, pour une matrice A de format m n, il existe une et une seule matrice l-rduite-chelonne R. Sut la calculatrice symbolique TI, la commande rref nous la donne dun seul coup. Le nombre de lignes non nulles de R est appel le rang de A, not r(A). videmment, on a r(A) m mais comme il y a autant de lignes non nulles que de colonnes pivots, on a aussi r(A) n. Donc r(A) min{m, n}.

4.7 Dfinitions Lorsquune opration de ligne est applique la matrice identit dordre m, la matrice obtenue est dite lmentaire. On peut montrer que si L est une opration de ligne applique sur A qui nous amne la matrice B quon dnotera par L(A), alors L(A) = EA o E = L(I). Une bonne faon de travailler en faisant des oprations de lignes est donc daugmenter la matrice A de la matrice I (dordre m). Ainsi, si lon a effectu k oprations de lignes afin de passer de A B, alors

[ ] [ ] =A I B P B PA . Avec ( )1 2 1 1 2 1 .k k k k mL L L L = =P E E E E I

4.8 Dfinition Une matrice carre A est dite inversible si lon peut trouver une matrice de mme format B telle que AB = BA = I (lidentit dordre n, lordre de A). On dnote alors cette matrice B par 1.A

4.8.1 Exemple Vrifions si la matrice A suivante est inversible :

1 2 33 2 8 .

3 7 6

=

A

On a [ ]1 2 3 1 0 0 1 0 0 44 41 9 41 10 413 2 8 0 1 0 0 1 0 42 41 3 41 17 41

3 7 6 0 0 1 0 0 1 27 41 1 41 8 41A I

=

do A

inversible et 144 9 10

1 42 3 17 .41

27 1 8

=

A

4.9 Voici une premire mthode pour rsoudre un systme dquations linaires AX = K. Ici A est une matrice dont les entres sont relles (ou complexes), de format m n (on peut avoir m = n ou non). La mthode est gnrale et est base sur les oprations de lignes.

4.10 Algorithme de Gauss-Jordan On augmente la matrice A de la matrice K, obtenant ainsi une matrice de format m (n + 1). Les oprations de lignes crent un systme quivalent (qui possde le mme ensemble-solution) BX = J o [ ] [ ].A K B J Il reste interprter lensemble-solution et 3 cas diffrents peuvent se prsenter :

15

[ ]( )[ ]( )[ ]( )

r r ( ) ("systmeincompatible")r r ( ) infinitdesolutionsr r ( ) solution unique

A K A

A K A

A K A

n

n

> = <

= =

4.10.1 Exemple Rsolvons les 3 systmes AX = K o

[ ] 1 22 1 4 3 0 1 22 1 5 4 , , 0 ou 2 ou 6 .

4 2 9 7 0 1 4A X K 0 K KTx y z w

= = = = = =

Il ne sert rien daugmenter A de 0. Puisque

[ ]1 22 1 4 3 1 2 1 1 2 0 1 2 0 172 1 5 4 2 6 0 0 1 1 0 8 ,

4 2 9 7 1 4 0 0 0 0 1 0A K K

=

1on voit que est incompatible (on a trouvque0 1).AX=K = Les variables libres sont y et w puisque la premire et la troisime colonnes sont des colonnes

pivots. Posons donc y = s et w = t, des paramtres rels. Alors, pour AX = 0, on a x = 1/2s + 1/2t et z = t. Donc, lensemble solution du systme AX = 0 sera

1 2 1 2 1 2 1 21 0

, , .

0 10 1

s t

ss t s t

t

t

+ = = +

hS

2 2

170

Et en posant et en dnotant par l'ensemble solution de ,on a80

= =

p S S AX K 2 .= +h pS S S

4.10.2 Remarque Plus gnralement, si pS est une solution particulire dun systme dquations linaires AX = K, alors toute autre solution S de ce systme peut sexprimer sous la forme = +h pS S S

o hS est une solution du systme homogne correspondant AX = 0.

4.11 Mthode de la matrice inverse Voici une seconde mthode pour rsoudre un systme linaire AX = K carr (i.e. on a un systme dquations linaires avec autant dquations que dinconnues) o, en plus, A est suppose inversible. Alors lunique solution au systme AX = K peut sexprimer par 1 .X A K=

4.11.1 Remarque On peut alors se demander sil existe une formule directe donnant linverse dune matrice carre inversible, sans avoir augmenter la matrice de la matrice identit et

16

dappliquer les oprations de ligne. La rponse passe par lintroduction du dterminant dune matrice carre.

4.12 Dterminant dune matrice carre. Matrices dordres 2 ou 3 La motivation provient dune matrice 2 2. En effet, rappelons (premire partie de la session) que laire du paralllogramme engendr par les vecteurs [a, b] et [c, d] est donn par la norme du produit vectoriel de ces 2 vecteurs, ce qui vaut, signe prs, ad bc. Mais alors, si ,A

a bc d

=

nous

poserons det(A) = ad bc, quon appelle le dterminant de A. On note aussi ( )det .A a bc d

=

En 3D, supposons que lon a 3 vecteurs u, v et w : [ ] [ ] [ ]11 12 13 21 22 23 31 32 33, , , , , , , , .u va a a a a a w a a a= = =

Nous avons vu, au dbut de la session, que le volume du parralllpipde engendr par les 3 vecteurs est, signe prs, le produit mixte de ces 3 vecteurs, savoir

( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( )11 12 13 22 33 23 32 23 31 21 33 21 32 22 31

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

, , , ,u v w a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

=

= +

( )11 12 13 11 12 13

22 23 21 23 21 2221 22 23 21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 3231 32 33 31 32 33

Alors,si ,det .A Aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a a a a

a a a a a aa a a a a a

= = = +

On comprend maintenant pourquoi, dans certains livres, on utilise la dfinition suivante pour le produit vectoriel de 2 vecteurs u et v :

1 2 3

1 2 3

.

i j ku v u u u

v v v

=

4.13 Remarque. Il est clair que si une matrice carre dordre 2 a une ligne nulle ou si une ligne est un multiple de lautre, aucun paralllogramme nest engendr et le dterminant vaut 0. De mme, si, dans une matrice dordre 3, une ligne est combinaison linaire des 2 autres, alors aucun solide nest engendr et le volume (dterminant) est nul. Le fait quun dterminant dordre 3 se ramne au calcul de 3 dterminants dordre 2 nous amne la dfinition gnrale suivante.

4.14 Dfinitions Soit A une matrice carre dordre n. La sous-matrice (carre dordre n 1) obtenue en enlevant la ligne i et la colonne j (1 i, j n) est dite mineur, not Mij et le nombre

( )( 1) det Mi jij ij += est dit cofacteur de A dindice (i, j). Lorsquon transpose la matrice des cofacteurs, on obtient la matrice adjointe de A, dnote adj A.

17

4.15 Exemple Soit 1 2 33 2 8 .

3 7 6A

=

Il sagit de la matrice de lexemple 3.8.1. Par exemple

2 511 32

2 8 1 3( 1) 12 56 44; ( 1) (6 9) 3,.......7 6 3 6

= = = = = = Et on trouverait que

44 42 27 44 9 10adj 9 3 1 42 3 17 .

10 17 8 27 1 8A

T

= =

4.16 Calcul du dterminant : dveloppement de Laplace Soit A une matrice carre dordre n. Alors on obtient le dterminant de A en dveloppant selon une quelconque ligne i : on effectue le produit scalaire de la ligne i avec le vecteur des cofacteurs correspondants.

1det( ) (1 )

n

ij ijj

a i n=

= A

Cela possde linconvnient de ncessiter n! multiplications Par consquent, il peut tre utile de se servir de certaines proprits des dterminants, dont une liste est donne en 4.18.

4.17 Exemple Pour quelles valeurs de k le systme dquations linaires dinconnues x, y, z admet-il une solution unique? Aucune solution? Une infinit de solutions? Le systme est :

111

kx y zx ky zx y kz

+ + =

+ + = + + =

Il faut surtout viter dutiliser la commande rref sur la matrice augmente certaines valeurs de k procurant lune des situations pourraient ne pas tre visibles! (vrifiez ce qui se passe si vous appliquez la commande rref sur votre TI symbolique la matrice augmente ci-haut). Puisque le dterminant de la matrice des coefficients sannule pour les valeurs de k gales 1 ou 2 (vrifiez), on sait quil y aura une solution unique pour toute autre valeur de k. Si k = 1, alors l on peut utiliser Gauss-Jordan :

Si k = 2, alors encore avec Gauss-Jordan, on trouve

2 1 1 1 1 0 1 01 2 1 1 0 1 1 0 .1 1 2 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 0 infinit de solutions.1 1 1 1 0 0 0 0

18

Donc, en rsum, le systme ci-haut admet une solution unique ds que k est diffrent de 1 et de 2. Pour k = 1, on a une infinit de solutions et aucune solution pour k = 2. Regardons tout cela avec Nspire CAS :

Figure 3

4.18 Quelques proprits des dterminants Soit A carre dordre n, de mme que B.

1) Le dterminant est invariant sous lopration de ligne la ligne i, ajouter c fois la ligne j . 2) Lopration intervertir 2 lignes change le signe du dterminant. 3) Lopration multiplier la ligne i par le scalaire c produit cet effet sur le dterminant. 4) Si A est triangulaire suprieure ou infrieure (en particulier diagonale), alors det(A) = produit des lments de la diagonale principale. 5) Si A a une ligne nulle, alors det(A) = 0. 6) A est inversible si et seulement si det(A) 0. 7) ( )det( ) det .A AT= Donc, on peut dvelopper le dterminant selon les colonnes aussi.

8) det(AB) = det(A) det(B). Par consquent, ( ) ( ) ( )det det( ) .A A kk k =

9) A adj A = det(A) I. Mais alors, si det(A) 0, on a une formule explicite pour linverse : 1 adj

.

det( )AAA

=

19

4.19 Exemple Soit une matrice A, carre dordre 4 dont le dterminant vaut 6. Alors, le dterminant de la matrice 5A vaut 45 6 3750. = Le dterminant de 1A vaut 1 6.

4.20 Rgle de Cramer Voici une troisime mthode pour rsoudre un systme linaire carr AX = K ans le cas o A est carre et inversible. Posons [ ]1 2 , alors pour1 ,X Tnx x x i n=

( )( )

deto matriceobtenuede en remplaant la colonne par .

detA

A A KA

ii ix i= =

4.21 Retour au changement de variables dans une intgrale multiple Soit calculer une intgrale double ( , )

D

I f x y dx dy= o le domaine D est compliqu (ni type I, ni type II dun

seul bloc) et supposons quun changement de variables appropri du type ( , )( , )x u v

y u v

=

=

transformerait la figure D en une belle figure simple D* du plan des uv. Alors, si ce changement de variables est une bijection entre D et D*, on a la formule suivante :

( , ) ( ( , ), ( , )) .D D

I f x y dx dy f u v u v J du dv

= =

Ici, J est le dterminant de la matrice jacobienne (on dit le jacobien)

.

u v

u v

Notez quon prend la valeur absolue de ce dterminant. Le rsultat se gnralise pour une intgrale triple : on peut dailleurs calculer les jacobiens des changements de variables coordonnes polaires, cylindriques et sphriques et on verra apparatre le r dans les 2 premiers cas et le 2 sin dans le troisime cas (mais nous navions pas besoin de ce rsultat pour trouver ces valeurs : gomtriquement, on y arrivait).

4.22 Exemple On montrera que le centre de masse dune plaque dont la forme est celle du domaine du premier quadrant born par les droites y = 3x, y = x/3, les hyperboles xy = 1, xy = 8, avec comme densit au point (x, y) la fonction x2y2 est le point (2.55136, 2.55136) (quon a approxim pour des raisons de commodit) :