Résolution symbolico-numérique dun système déquations algébro-différentielles modélisant la...

Résolution symbolico-numérique d’un système d’équations algébro-

différentielles modélisant la distillation de Rayleigh

Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique scientifique)

Dr. Jean-Pierre Belaud (Maître de conférences ENSIACET)

Pr. Jean-Marc Le Lann (directeur ENSIACET)

Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009 2

AttentesAttentes

ConclusionsConclusions

ApplicationApplication

Distillationde Rayleigh

Distillationde RayleighCalcul symbolico-

numérique

Calcul symbolico-numériqueObjectif

ObjectifContexte scientifique

Contexte scientifique

Plan de l’exposé

– Contexte scientifique

– Objectif:Intégration symbolico-numérique d’équations différentielles algébriques

– Un système de calcul symbolico-numérique: eXMSL

– Un modèle algébro-différentiel de référence: la distillation de Rayleigh

– Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL

– Conclusions, Attentes, Perspectives

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numérique





Département Procédés et Systèmes Industriels

Un département attaché:

– à la qualité des modèles métiers• Simulation moléculaire (Hadj Kali 2004)• Modèle d’affectation des ressources (Edi 2007) • …

– à la structuration des modèles• Simulation suivant une approche modulaire simultanée (Joulia 1987)• Modèle orienté objet de procédés dynamiques (Jourda 1996, Moyse 2000)• Modèle orienté composants pour la simulation (Belaud 2002)• Réseaux de Petri différentiels à objets (Perret 2003)• …

– à la qualité des méthodes de résolution• Homotopie continuation pour la résolution des systèmes non linéaires (Letourneau

1992)• Méthodes de type prédicteur-correcteur pour la résolution d’équations différentielles

algébriques (Le Lann HDR 1999)• Algorithmes génétiques multi-critères pour l’optimisation d’ateliers flexibles (Aguilar

Lasserre 2006)• …

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numérique





2 projets de recherche caractéristiques de notre activitéAD-CAPE:

Applications de la différentiation automatique en simulation séquentielle modulaire de procédés

– Automatic Differentiation for Computer Aided Process Engineering

– Projet Esprit 24023 – Décembre 1997 – Août 1999 – Simulog, ProSim, INPT, elf, BP

Amoco

(GLOBAL) CAPE-OPEN (Support):

Interopérabilité de composants logiciels pour la simulation de procédés

– “Delivering the power of component software and open standard interfaces in computer aided process engineering”

– 3 Projets CEE-IMS– 1997 - 2003– ASPEN Tech., BASF AG, Bayer, BP

International Limited, DTU Lyngby, TOTAL, Hyprotech S.L., ICI, IFP, Imperial College-CPSE, INPT-LGC, Norsk Hydro,...

Augmenter la qualité des modèles et la fiabilité de la simulation de procédés

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numérique





Quelques leçons retenues de ces projets

AD-CAPE:– Intérêt de disposer automatiquement des dérivées « exactes » d’un

modèle– Imbrication forte des modèles et des procédures de résolution

associées: difficultés à dériver des fonctions implicites

(Global) CAPE-OPEN:– Un cadre standardisé et opérationnel pour l’interopérabilité entre

composants logiciels– Une séparation claire des rôles, une spécification précise des

interfaces

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numérique





Plus d’expressions exactes… en cours de simulation!

Obtenir automatiquement les dérivées exactes d’un modèle

(AD-CAPE)(Alloula, Belaud, Joulia 2000)

Obtenir automatiquement les expressions exactes utiles à la

résolution d’un modèle

Faire coopérer des composants logiciels standardisés lors d’une

simulation de procédés

(CAPE-OPEN)(Belaud, Braunschweig 2002)

Faire coopérercalcul formel* et calcul numérique lors d’une simulation numérique

(*) Calcul formel (« computer algebra ») est le nom donné en France à la manipulation sur ordinateur de formules et, plus généralement, d’objets mathématiques (Bulletin INRIA 1991)


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numérique




Axe de recherche

Simulation numérique alternant en cours de calcul étapes d’évaluation numérique et étapes de transformation formelle d’expressions mathématiques

Objectifs visés par la simulation symbolico-numérique:– Fiabilité– Performance– Prise en compte automatique de spécifications de problèmes dans une

syntaxe mathématique…

Faisabilité démontrée.

Etendre l’expérience acquise à:– d’autres classes de problèmes– d’autres méthodes de résolution


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numérique




La simulation numérique implique déjà plusieurs systèmes de calcul interagissant:

– Le calcul formel fait usage des outils et des méthodes du calcul numérique (Maple et Nag - Trefethen 2000) (Mathematica – « Symbolically enhanced numerical computing »)

– Le calcul formel synthétise des codes de calcul numérique dans des langages compilés (Mathematica - Alfradique 2005)

Eléments scientifiques (1)

Proposition 1: Formaliser et généraliserla notion de système de calcul et

l’interaction entre systèmes de calcul


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numérique





« Spécification du problème » et « spécification de la solution » sont souvent entremêlées!

Ces spécifications interdépendantes sont « des types de description différentes », qui devraient « être construites explicitement et séparément. » (Zualkernan 1988; Houstis 2000)

Des efforts de représentation des modèles indépendante des langages de modélisation existent (Chernukhin 2005; Pop 2005)

Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification

commune du problème


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numérique





Un besoin accru de précision:– Nombre d’opérations considérable sur les modèles (Revol 2007)

– Qualité des dérivées exigées par les méthodes d’ordre 1 ou supérieur

Des réponses actuelles:– Calcul à précision multiple (iRRAM, MPFR)

– Arithmétique stochastique et contrôle de l’exactitude (Cestac-CADNA)

– Arithmétique à intervalles (intpakX, MPFI)

– Arithmétique réelle exacte (Ménissier-Morain 2005)

– Représentation des nombres algébriques (Rioboo 2003)

– Transformations formelles préalables, puis évaluations numériques• différentiation automatique, calcul formel

Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul


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numérique





Les méthodes numériques « récentes » décrivent des étapes de transformations formelles au milieu d’étapes d’évaluation numérique:– Majoration de l’index d’un système algébro-différentiel (Campbell 1996)

– Construction d’un système triangulaire par regroupement de variables et d’équations (Pryce 2001)

– Calcul de séries majorantes pour les fonctions analytiques…

Proposition 4: Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes »

de résolution d’équations différentielles algébriques


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numérique




Propositions

Proposition 1: Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et l’interaction entre systèmes de calcul

Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification

commune du problème

Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul

Proposition 4 (PEPS LEDA):Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution d’équations différentielles algébriques


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numérique




Cadre de l’étude

Simulation d’un système physico-chimique décrit par un système d’équations algébro-différentielles: la distillation de Rayleigh

Environnements commerciaux de résolution de problèmes:– MATLAB

– Maple

– Mathematica

– IMSL

Bibliothèque mathématique propriétaire de calcul symbolico-numérique– eXMSL

Outils et techniques du calcul formel et du calcul numérique


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numérique




Transformations formelles déjà mises en oeuvre (1/2)

Classe de modèlesTransformation

formelleExpression initiale Résultat

Equations non linéairesEquations différentielles

algébriques

Calcul de fonction résidu

Transformation d’inéquations en

équations

Equations non linéaires saturées, sur ou sous

déterminées

Formulation généralisée du schéma de Newton

(Dedieu 2006)

Formulation différentielle du schéma de Newton

généralisé

(Hirsch 1979)

Equations différentielles algébriques

Détermination de conditions initiales

cohérentes

Système EDA 1er ordre,index 1

Valeurs initialesdes variables dépendantes

et de leurs dérivées

8

)ln(

321

21321

xxx

xxxxx

8

)ln()(

321

21321

xxx

xxxxxxF

8

)ln(

321

21321

xxx

xxxxx

8

)ln(

3212

21321

xxx

xxxxx

8

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321

21321

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xxxxx

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1

kT

kkk

kk

xFxFxFxF

xx

))(())(()( txFtxFtx


AttentesAttentes





numérique




Transformations formelles déjà mises en oeuvre (2/2)

Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat

Equations non linéairesEquations différentielles

algébriques

Optimisation sous contraintes non linéaires

Définition d’une fonction implicite

Fonction explicite

Calcul d’une matrice Jacobienne

Calcul d’une dérivée directionnelle

Fonction implicite

Calcul d’une matrice Jacobienne

Calcul d’une dérivée directionnelle

8

)ln(

321

21321

xxx

xxxxx

8

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321

21321

312

xxx

xxxxxquetel

xxxf

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0),(: yxFquetelyxf

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0)(),(),(

)(

21

xfyxFDyxFD

quetelxf

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)(

21

dxfyxFDdyxFD

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AttentesAttentes





numérique




Cas d’utilisation de la bibliothèque mathématique eXMSL

basic user

model builder

model developer

eXMSL FORTRAN 90 Library<<bibliothèque>>

modélise son problème

+programme le modèle()

crée un programme F90 dédié

+compile()+génére un exécutable()

exécute le programme

eXMSL on the Web<<composants>>

model editor

se connecte au système

+entre l'URL()

gère un modèle math.

+charge()+modifie()+enregistre()

évalue un modèle math.

modélise son problème

+construit le modèle()

(Alloula 2004)


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numérique




eXMSL FORTRAN 90 Library

Définition du facteur de compressibilité comme une fonction implicite

Dérivation formelle par rapport à la température

Intégration formelle par rapport à la température

Calcul de propriétés thermodynamiques par applicationde l’équation d’état SRK


AttentesAttentes





numérique




Architecture d’eXMSL on the Web

Standards: MathML, DOM, Service Web (SOAP, TCP/IP), CAPE-OPEN

Plates-formes: FORTRAN 90, Java, MS COM, .NET

Outils: WebEQ Design Science Inc., IMSL FORTRAN 90 Library

(Belaud 2001)


AttentesAttentes





numérique




eXMSL Model Editor

Edition du problème d’optimisation

))()1((min 222

),( 2xykx

yx

Demande d’évaluation de l’expression saisie

Résultat du problème d’optimisation spécifié


AttentesAttentes





numérique




Distillation de Rayleigh - Présentation

Un modèle continu par morceaux…

vu comme un modèle unique sous contrainte

)()()(;,...,1

)()()()()(

)()()()(;,...,1

)()(

txtKtyNi

thUtHtVtQ

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l

ili

l

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tytxtPtTmKtKNi

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iiinerte

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11

)()()(

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)(tV

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)(tV

)(tQ )( )( )( txtUtT l

y(t)tP )(

0)( tyinerte


AttentesAttentes





numérique




-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1000 2000 3000 4000

Temps (s)

Fra

ctio

n m

ola

ire

Fraction molaire de gazinerte

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL


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numérique





Modélisation

Formulation dans une syntaxe voisine du texte mathématique (conditions initiales, contrainte)

Compétence métier :– (normalisation des modèles d’enthalpie)– Initialisation des fractions molaires vapeur

Pas de formalisme supplémentaire pour la gestion du changement d’état


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numérique





Résolution

Algorithme numérique: Petzold-Gear BDF (IMSL)

Etapes de transformations formelles:– Détermination d’un jeu d’équations suffisant pour obtenir des conditions

initiales cohérentes – Calcul formel des résidus– Calcul formel de la matrice Jacobienne– …

Gestion de l’événement d’état:– Arrêt de l’intégration du modèle en phase liquide: pas minimal de la variable

indépendante ou Jacobien du système singulier– Reprise de l’intégration du modèle en phase di-phasique avec calcul de

nouvelles conditions initiales cohérentes– Intervention dans le processus de résolution!?


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numérique





Résultats obtenus

Résultats très cohérents: comparaison avec le point de bulle du système ternaire obtenu par ailleurs

Temps de calcul trop importants, à comparer avec ceux obtenus dans un environnement de calcul interprété (MATLAB, Maple, …)

Degré de généralité de la méthode insuffisant:– Que faire pour des systèmes d’index supérieur à 1?– Le changement d’état est correctement traité ici… par hasard!– Quelles connaissances métier doit-on apporter pour le calcul de CIC?


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numérique




Conclusions

Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé

– Automatiquement par un système de calcul symbolico-numérique

– Très précisément

– Dans un temps inférieur à celui obtenu avec un environnement de calcul interprété et une méthode similaire

Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé

– Après des efforts de modélisation (degrés de liberté, formulation unique, …)

– Très correctement lors d’un changement d’état bien particulier

– Dans un temps très supérieur à celui obtenu avec un code de calcul compilé et une méthode similaire


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numérique




Attentes par rapport au projet LEDA

Par ordre d’importance décroissante

1. Calcul fiable de conditions initiales cohérentes (théorèmes quantitatifs liés à la méthode de Newton)

2. Traitement systématique de certaines singularités

3. Système « minimal » caractérisant les conditions initiales cohérentes

4. Possibilité de passage à l’échelle (cf. complexité de la méthode de Pryce)

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