Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

Résolution par méthodes algébriques:

méthode de comparaison

méthode de substitution

méthode de réduction

Remarque: Tu devrais visionner « Systèmes d’équations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.

Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes.

La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations:

y1 = ax + b

y2 = ax + b

La méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation:

ax + by1 + c = 0

y2 = ax + b

La méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée :

ax + by1 = c

ax + by2 = c

Par résolution algébrique:

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ( $ )

121110

9876543210

à ce point précis,

en utilisant cette égalité , on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

les deux équations sont égales;

La méthode de comparaison

Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2

alors 3x + 2 = 2x + 5

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

On compare ainsi les deux équations.

On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations: y1 = 3 x + 2

y2 = 2 x + 5

3x + 2 = 2x + 5

La méthode de substitution

On utilise la méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation:

Exemple:

ax + by1 + c = 0

y2 = ax + b

Dans le plan cartésien, on trace deux droites d’équations:

On voudrait connaître les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

4x + 2y1 – 8 = 0

y2 = x – 2

( )

Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On substitue dans la 2e équation la variable par l’expression qui lui est égale.

y2 = x - 2

4x + 2 y1 - 8 = 0

x - 2

4x + 2(x - 2) - 8 = 0

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

4x + 2x - 4 - 8 = 0

6x - 12 = 0

6x = 12

x = 2

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle des deux équations.

x = 2

y = x - 2

0 = 2 - 2

Validation:

4x +2y – 8 = 0

4 X 2 + 2 X 0 – 8 = 0

Couple-solution: ( 2 , 0 )

On valide en vérifiant avec l’autre équation.

donc x = 2 et y = 0

Problème

Quel est le couple solution du système suivant ?

x =

y + 3 - 20 = 0x

y - 8

( )

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On peut alors isoler y pour trouver sa valeur.

y + 3(y - 8) - 20 = 0

y + 3(y - 8) - 20 = 0

y + 3y - 24 - 20 = 0

4y - 44 = 0

4y = 44

y = 11

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle des deux équations.

y = 11

Validation:

Couple-solution: ( 3 , 11 )

On valide en vérifiant avec l’autre équation.

donc x = 3 et y = 11

x = y - 8

y + 3x – 20 = 0

x = 11 – 8

x = 3

11 + 3 X 3 – 20 = 0

La méthode de réduction

On utilise la méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée :

ax + by1 = c

ax + by2 = c

Exemple 1: 2x + 3y = 13

x - 2y = - 4

On crée un système équivalent.

Démarche:

1) On multiplie, l’une des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.

2x + 3y = 13

x - 2y = -4

2x + 3y = 13

x - 2y = -4 X -2 -2x + 4y = 8

Nouveau système : 2x + 3y = 13

-2x + 4y = 8

2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.

+2x + 3y = 13

-2x + 4y = 8

7y = 21

3) On peut alors isoler la variable : y = 3

( ) =

4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle des deux équations.

2x + 3y = 13

x - 2y = -4

x - 2 X 3 = -4

x - 6 = -4

5) Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation.

x = 2

y = 3

2 X 2 + 3 X 3 = 13

Couple-solution: ( 2 , 3 )

donc x = 2 et y = 3

Exemple 2: On doit trouver le couple solution du système suivant:

5x + 8y = 29

3x + 6y = 21

( 5x + 8y = 29 )

( 3x + 6y = 21 )

X 3

X -4

= 15x + 24y = 87

= -12x – 24y = -84

Nouveau système: 15x + 24y = 87

-12x – 24y = -84

1) On multiplie, l’une des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.

2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.

+ 15x + 24y = 87

-12x – 24y = -84

3x = 3

3) On peut alors isoler la variable : x = 1

4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle des deux équations de départ.

3x + 6y = 21

3 X 1 + 6y = 21

3 + 6y = 21

6y = 18

y = 3

5) Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation.

Donc x = 1 et y = 3

5x + 8y = 29

5 X 1 + 8 X 3 = 29

Couple-solution: ( 1 , 3 )

Remarque: On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales.

Donc avec l’une ou l’autre des 3 méthodes, on peut travailler, en premier, soit avec x soit avec y.

Problème 1

En 1996, la population de Saint-Jérôme, dans les Laurentides, comptait près de 25 600 habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devraitcroître de 1 000 personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait 32 400 la même année. On envisageait un tauxd’accroissement de 600 personnes par année.

1ère étape:

x : le nombre d’années écoulées depuis 1996

y : le nombre de personnes

2e étape:

Identifier les variables:

Établir le système: y1 = 1 000 x + 25 600

y2 = 600 x + 32 400et

C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?

B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ?

A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?

3e étape: Résoudre le système:

y1 = 1 000 x + 25 600

y2 = 600 x + 32 400

Ici, la méthode de comparaison est préférable.

1 000 x + 25 600 = 600 x + 32 400

400 x = 6 800

x = 17

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation:

4e étape:

y1 = 1 000 X 17 + 25 600

y1 = 42 600

y1 = 1 000 x + 25 600

5e étape: Valider la solution avec l’autre équation:

Ensemble-solution: ( 17, 42 600 )

y2 = 600 x + 32 400

y2 = 600 X 17 + 32 400

y2 = 42 600

A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?

x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 =

Réponse: en l’année 2 013

B) Combien d’habitants compteront alors chacune de ces municipalités ?

Réponse: 42 600 personnes

17 ans

C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?

Il n’est pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question.

Il suffit de calculer le nombre d’années écoulées depuis 1 996 :

puis, utiliser l’équation représentant l’augmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer:

y1 = 1 000 x + 25 600

y1 = 1 000 X 14 + 25 600

y1 = 39 600

Réponse: 39 600 personnes

2 010 – 1996 = 14 ans

Problème 2

L’assistance à un match de baseball est de 45 000 personnes. On constate qu’il y a 8 fois plus de partisans et partisanes de l’équipe locale que de l’équipe adverse.

Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?

1ère étape:

x :

y : le nombre de partisans de l’équipe adverse

2e étape:

Identifier les variables:

Établir le système: x = 8y

le nombre de partisans de l’équipe locale

Attention: Les partisans de l’équipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de l’équipe adverse.

Pour créer l’égalité,

Exemple: Si x = 16 et que y = 2 alors

16 = 8 X 2

x = 8y

il faudra multiplier par 8 le nombre departisans de l’équipe adverse.

x + y = 45 000et

2e étape: Établir le système: x = 8y

3e étape: Résoudre le système:

Ici, la méthode de substitution est préférable.

x + y = 45 000

x = 8y

x + y = 45 000

9y = 45 000

y = 5 000

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle équation.

4e étape:

x = 8y

x = 8 X 5 000

x = 40 000

x = 8y8y

5e étape: Valider la solution avec l’autre équation:

Ensemble-solution: ( 40 000, 5 000 )

x + y = 45 000

40 000 + 5 000 = 45 000

Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?

Réponse: 40 000 partisans et partisanes

Problème 3

Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme qu’il a amassée, il constate qu’il possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00$ et 2,00$ pour un total de 51,00$.

Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ?

1ère étape:

x : le nombre de pièces de 1,00$

y : le nombre de pièces de 2,00$

2e étape:

Identifier les variables.

Établir le système: x + y = 38 pièces

1x + 2y = 51 dollars et

cette équation ne tient compte que des pièces.

cette équation tient compte de la valeur des pièces.

3e étape: Résoudre le système:

Ici, la méthode de réduction est préférable.

x + y = 38

1x + 2y = 51

x + y = 38

1x + 2y = 51

X -1 - x - y = - 38

Nouveau système: - x - y = - 38

1x + 2y = 51

On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec uneseule variable.

- x - y = - 38

1x + 2y = 51 +

y = 13

=( )

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle équation.

4e étape:

x + y = 38

x + 13 = 38

x = 25

5e étape: Valider la solution avec l’autre équation:

Ensemble-solution: ( 25, 13 )

1x + 2y = 51

1 X 25 + 2 X 13 = 51

Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ?

Réponse: 13 pièces

y = 13

Remarque: Dans ce problème, x + y = 38

1x + 2y = 51

On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution:

y = 38 – x

1x + 2y = 51 1x + 2( 38 – x ) = 51

On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison:

y = 38 - x

y = -x + 512 2

2 238 – x = -x + 51

La méthode à utiliser dépend de l’écriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail.

N’importe quelle méthode est bonne.

Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers.

Exemple

Dans le système suivant :

y = 2x + 3

y = 2x + 5 y2 = 2x + 5

13

0 1 2 3 4 5

121110

9876543210

y2 = 2x + 3

Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes.

Les droites sont donc parallèles.

Elles ne se rencontreront jamais.

Ensemble-solution: aucun

Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers.

Exemple

Dans le système suivant :13

0 1 2 3 4 5

121110

9876543210

y2 = 2x + 4

y = 2x + 4

2x – y + 4 = 0

Il y aura une infinité de solutions.

En effet, si on ramène la 2e équation sous la forme fonctionnelle:

2x – y + 4 = 0

y = 2x + 4

On constate que les taux de variation et les ordonnées à l’origine sont les mêmes.

Les droites sont donc confondues.

2x – y + 4 = 0

Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.