Résolution de problèmes : où est le problème? · Manque d’autonomie : « ils ne s’attaquent...
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RÉSOLUTION DE PROBLÈMES : OÙ EST LE PROBLÈME? Dominique VERDENNE IEN Romorantin
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RÉSOLUTION DE PROBLÈMES :
OÙ EST LE PROBLÈME?
Dominique VERDENNE
IEN Romorantin
PROBLÈMES ET MATHÉMATIQUES
« Un chercheur doit savoir sécher une heure, un
jour, ou toute la vie. Il sèche beaucoup plus qu’il ne
trouve, il se pose une série de questions, tâtonne,
avance pas à pas. C’est très difficile; puis à un
moment donné, une certaine illumination vient. Elle
est souvent très brusque, mais c’est le résultat
d’une accumulation énorme de réflexions
infructueuses. »
Laurent SCHWARTZ, mathématicien français, né
en 1915, médaille Fields en 1950 2
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UN EXEMPLE
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Estimez l’aire de
l’Antarctique en
utilisant l’échelle de la
carte.
DEUX POINTS FAIBLES CARACTÉRISTIQUES
« Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d’entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d’utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d’eux-mêmes, même s’ils possèdent la ou les éléments de connaissance correspondants ».
Manque d’autonomie : « ils ne s’attaquent qu’aux questions qu’ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégie pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler … ne font pas partie des modes d’approche possibles ».
Antoine BODIN, « Les mathématiques face aux évaluations », revue Repère (IREM), octobre 2006 4
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LES PROGRAMMES ET LE PROBLÈME
Maternelle
« …les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul …»
Cycle 2
« La résolution de problèmes fait l’objet … »
« …ils apprennent à résoudre des problèmes… »
« … les problèmes de groupement »
« Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur les longueurs. »
Cycle 3
« …l’élève (…) continue à apprendre à résoudre des problèmes
« La résolution de problèmes liés à la vie courante… »
« Les problèmes de reproduction ou de construction … »
« La résolution de problèmes concrets …»
« Les capacités d’organisation et de gestion de données se développent par la résolution de problèmes… »
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LE SOCLE COMMUN ET LE PROBLÈME
La maîtrise des principaux éléments de mathématiques
s’acquiert par la résolution de problèmes, notamment
à partir de situations proches de la réalité .
Socle des connaissances, p.10
Savoir
identifier un problème et mettre au point une démarche
de résolution
identifier, expliquer, rectifier une erreur; […]
distinguer ce dont on est sûr de ce qu’il faut prouver;
mettre à l’essai plusieurs pistes de solutions; […]
développer sa persévérance
Socle de connaissances, p.23 et 246
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QUELQUES DÉFINITIONS
« Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donnent les psychologues, toute application dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse, et de vérification pour produire une solution » (Gérard Vergnaud)
« Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions et d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a que dans un rapport sujet / situation où la solution n’est pas disponible d’emblée mais est possible à construire ». (Jean Brun)
En d’autres termes, une réponse non disponible immédiatement, qui nécessite la construction d’une représentation mentale, un cheminement permettant de coordonner des actions pour parvenir à la réponse .
« Résoudre un problème exige une grande part d’intuition, d’imagination, de combat avec soi-même » (D.Dacunha Castelle, Science et Avenir)
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UN CONTRAT À METTRE EN PLACE
Du côté de l’élève : tâches de résolution en
résolution de problème
Les élèves doivent savoir qu’ils ont à :
Chercher, accepter le fait que résoudre un problème
n’est pas toujours une tâche facile, que cela peut
prendre du temps
Produire une solution personnelle et en laisser une
trace écrite
Formuler une réponse dans les termes du problème
Chercher et vérifier par eux-mêmes leurs solutions
Justifier leurs résultats, essayer d’expliquer leurs
procédures8
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UN CONTRAT À METTRE EN PLACE
Du côté de l’enseignant : faire comprendre (aux élèves) :
Qu’ils peuvent prendre des initiatives personnelles
Choisir leurs méthodes
Faire des essais, recommencer,
Travailler sur leur feuille comme au brouillon : les ratures sont permises
Il ne suffit de formuler aux élèves les éléments de ce contrat.C’est dans la pratique, au quotidien, que celui-ci prend forme… mais à certains moments, il peut être utile d’en élucider quelques aspects. 9
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POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME …
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Connaissances
en lecture
sur le contexte
mathématiques
● sens des notions
● raisonnement
calcul
Connaissances
sur ce qui est attendu
sur ce qui est permis
sur ce qui marche
souvent
sur "l'accueil" des
erreurs
TYPOLOGIE DE PROBLÈMES
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CATÉGORIES DE PROBLÈMES
Classification à partir des énoncés : en fonction de la présentation des données
Énoncés sous forme d’un texte écrit
Une partie des informations présentées sous forme organisée (tableau, diagramme, …)
Énoncés qui associent texte et image (photo, BD, dessin…), l’illustration est source ou non d’informations pour résoudre le problème
Énoncés associant texte et document authentique (publicité, extrait de tarif…)
Autres formes : informations données oralement
Conséquences pour l’élève : stratégies de lecture diverses
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UN EXEMPLE
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CATÉGORIES DE PROBLÈMES
Classification à partir des énoncés : en fonction du
contexte
Trois types de contexte
Contexte dit « de la vie courante », des problèmes
« concrets » qui évoquent des situations familières à
l’élève
Certains problèmes font appel à l’interdisciplinarité
: astronomie, biologie, géographie …
Le contexte est purement mathématique : problème
décontextualisé. Les objets mathématiques
(nombres, figures) interviennent sans relation avec la
réalité extérieure. 14
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CATÉGORIES DE PROBLÈMES
Classification à partir des notions mathématiques
La RdP peut faire intervenir une ou plusieurs notions mathématiques : opérations, mesures, objets géométriques … typologie envisagée par rapport à ces notions
Classification proposée par Vergnaud
● Champ conceptuel des problèmes additifs
Champ conceptuel des problèmes multiplicatifs
Etude des notions en termes de « champs conceptuels »
Permet de tenter un inventaire organisé de tous les types de problèmes qui peuvent être résolus à l’aide de la même notion et de « balayer » tout un espace de problèmes
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CATÉGORIES DE PROBLÈMES
Classification en fonction d’objectifs pédagogiques
Un problème peut ne pas être utilisé avec un même objectif.
« Je veux répartir 756 œufs dans des boîtes de 12 œufs. Combien me faut-il de boîtes? »
CM2 : ce n’est pas un problème, réinvestissement d’une notion connue (division)
CM1 (avant apprentissage division) : les élèves devront imaginer des procédures personnelles (additions itérées, soustractions itérées, …)
CE1, CE2 : problème de partage équitable, les élèves devront imaginer des solutions originales. L’enseignant n’a pas l’intention de faire évoluer les procédures vers l’apprentissage d’une notion spécifique. L’objectif est de favoriser une attitude de recherche. On parle de problème ouvert.
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AUTRE EXEMPLE : QUEL TYPE DE PROBLÈME ?
Euro Maths17
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CATÉGORIES DE PROBLÈMES
Classification en fonction d’objectifs pédagogiques
Problèmes destinés à
construire de nouvelles connaissances : situations-problèmes
utiliser des connaissances déjà étudiées : problèmes de réinvestissement
approfondir une notion déjà étudiée : problèmes de « transfert »
utiliser conjointement plusieurs catégories de savoirs : problèmes complexes
Mettre les élèves en situation de recherche, à développer des attitudes, des méthodes : problèmes ouverts, problèmes pour raisonner
Faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées : problèmes d’évaluation
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TYPOLOGIE DE PROBLÈMES : SYNTHÈSE
Problèmes ouverts Résolution
expérimentale
Indépendant des
apprentissages
notionnelsProblèmes « de
logique »
Résolution par
déduction
Situation problèmes Construction d’une
connaissance nouvelle
Moteur et moyen de
travail du nouvel
apprentissage
Problèmes
d’application
Entraînement sur une
nouvelle notion
Après la phase de
construction
Problèmes de
réinvestissement, de
transfert, complexes
Utilisation dans un
nouveau contexte ou
avec d’autres notions
Extension du sens
Gestion d’une situation
plus complexe19
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EN GUISE DE SYNTHÈSE : TYPOLOGIE ET
PROGRAMMES
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Du côté des textes 2008
Situations d’exploration, de découverte
Apprentissage structuré des automatismes et des savoir-faire instrumentaux
Situations de réflexion sur des problèmes à résoudre
Du côté pédagogique
Des problèmes pour apprendre (les situations-problèmes)
Des problèmes pour s’entraîner (des exercices)
Des problèmes complexes (mobilisation de plusieurs catégories de connaissances)
Des problèmes pour « chercher »
QUELQUES EXEMPLES POUR
ILLUSTRER CETTE TYPOLOGIE
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LES PROBLÈMES OUVERTS
Définition (IREM de Lyon)
Un énoncé court
Un énoncé qui n’induit ni la méthode, ni la solution, sans
question intermédiaire
Une solution qui ne peut se réduire à l’utilisation ou
l’application immédiate des derniers résultats de cours
Un problème qui se trouve dans un domaine conceptuel avec
lequel les élèves ont assez de familiarité (prendre facilement
« possession » de la situation, s’engager dans les essais, les
conjectures…)
Exemples
Je pense à deux nombres qui se suivent. Je les additionne, je
trouve 23. Quels sont ces deux nombres? (cycle 2)
Avec une ficelle de 26 cm de longueur, on veut construire un
rectangle dont l’aire soit la plus grande possible. Quelles sont
les dimensions du rectangle ? (cycle 3)22
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DES SITUATIONS DE RÉFLEXION: LES ENJEUX
POUR LE CP ET LE CE1
Donner aux élèves des occasions de prendre
conscience que les premiers outils
mathématiques dont ils disposent leur
permettent de traiter des problèmes « difficiles »
Être capable progressivement de rendre compte
de la démarche utilisée
Apprendre à repérer les erreurs dans la solution
d’un autre élève, à reconnaître que deux
solutions sont identiques même si elles sont
présentées différemment 23
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DES SITUATIONS DE RÉFLEXION : EN CP
Les tours
Trouver un maximum de tours différentes, de 4 étages, en utilisant les 4 couleurs une seule fois
Recherche de l’exhaustivité
Faire des nombres avec des chiffres
Rechercher les nombres de 3 chiffres que l’on peut écrire avec 1; 3 et 5 (sans utiliser deux fois le même chiffre au sein d’un nombre)
Recherche de l’exhaustivité
Avec des pièces et des billets
Avec des pièces et des billets de 1€, 2 € et 5 €, trouver plusieurs façons de faire 17€ 24
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DES SITUATIONS DE RÉFLEXION EN CE1
Les glaces Trouve tous les mélanges possibles de glaces à trois
boules différentes, avec cinq parfums: citron, vanille, chocolat, fraise, pomme.
O.C.C.E Aube, « Les écoles qui mathent », mai 1998
Les croquettes 100 croquettes ont été réparties dans 5 assiettes. Dans
la 1ère et la 2ème assiette, ensemble, il y a 52 croquettes. Dans la 2ème et 3ème assiette, ensemble, il y a 43 croquettes.Dans la 3ème et 4ème assiette, ensemble, il y a 34 croquettes.Dans la 4ème et 5ème assiette, ensemble, il y a 30 croquettes.Combien de croquettes, y a-t-il dans chaque assiette?
2è rallye mathématique normand, 1994
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AUTRE SITUATION DE RÉFLEXION EN CE1 :
AUTOUR DU CARRÉ
Voici un assemblage de 3 « carrés ». Deux carrés se touchent toujours par un côté.
Trouve un assemblage de quatre « carrés » se touchant par un côté.
Il y a plusieurs assemblages de quatre « carré »s.
Trouve tous assemblages que l’on peut faire avec 4 « carrés ».
Cap Maths CE126
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SITUATION DE RÉFLEXION EN CE1 : ENCORE DES
CARRÉS !
Avec trois petits « carrés », on peut faire un escalier à deux marches:
Avec six « carrés », on peut faire un escalier à trois marches:
De combien de « carrés » a-t-on besoin pour faire un escalier à six marches?
Cap Maths CE1
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SITUATION-PROBLÈME
Caractéristiques
Elle vise l’acquisition d’une connaissance nouvelle
Les élèves peuvent facilement s’approprier le problème
Imaginer une solution
S’engager dans la résolution avec des connaissances antérieures
Leurs connaissances sont insuffisantes ou inadaptées pour résoudre le problème
La situation leur permet d’en prendre conscience
Les élèves ont les moyens de valider leurs productions
Par le milieu
Par la confrontation avec les autres
La connaissance visée est la SEULE adaptée à la résolution du problème
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EXEMPLES DE SITUATIONS-PROBLÈMES : CM2
L’agrandissement du puzzle en CM2 (Ermel)
Agrandir ce puzzle: 4 cm sur le petit puzzle correspond à 6 cm sur le grand puzzle, « 4 devient 6 »
1ère phase: agrandir, ce n’est pas ajouter le même nombre
2ème phase: agrandir, c’est multiplier par un même nombre: « 4 devient 12 »
3ème phase: agrandir, c’est garder la même forme 29
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EXEMPLES DE SITUATIONS-PROBLÈMES : CPR
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Préparer juste ce qu'il faut de boutons pour
réparer le robot
Un type de problème à faire vivre
en maternelle, au CP
D’après Cap maths CP
Le nombre, comme
mémoire des quantitésUn problème de référence
PROBLÈMES DE TRANSFERT OU DE
RÉINVESTISSEMENT : UN EXEMPLE FIN CP, CE1
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DES PROBLÈMES DE RÉINVESTISSEMENT OU
DE TRANSFERT : UN EXEMPLE EN CE2
1ère phase« Un livre a 78 pages. De combien d’étiquettes de chiffre « 2 » doit-on disposer pour numéroter ces 78 pages? »
2ème phase
« De combien d’exemplaires du chiffre « 1 » doit-on disposer pour numéroter les 182 pages d’un livre? »
3ème phase
De combien d’exemplaires du chiffre « 4 » doit-on disposer pour numéroter les 500 pages d’un livre? »etc…
Entraînement« Où en serai-je quand j’aurai utilisé 26 étiquettes « 2 »? » 32
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DES PROBLÈMES COMPLEXES EN CM
Le mobilier de l’école (Ermel, CM2)
Une entreprise expédie trois chargements de 300 kg chacun pour équiper en mobilier une école.
Le premier chargement comprend 15 tables et 30 chaises.Le second chargement contient 25 tables.Le troisième contient 10 tables, 20 chaises et 5 armoires.Combien pèse une chaise, une table, une armoire?
Le magasinier (Ermel CM1)
Dans un supermarché, le magasinier range les bouteilles. Il y a 16 caisses contenant chacune 10 bouteilles d’eau et 12 caisses contenant chacune 15 bouteilles de jus de fruit.
Le matin, 40 bouteilles d’eau et 75 bouteilles de jus de fruit sont vendues. L’après-midi, 55 bouteilles d’eau et 75 bouteilles de jus de fruit sont vendues.Combien reste-t-il de bouteilles d’eau, à la fin de la journée?
Combien reste-t-il de bouteilles de jus de fruit, à la fin de la journée?
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DES PROBLÈMES POUR LE CYCLE3, UN OUTIL
POUR COMPRENDRE LE MONDE
M.Pomme, D.Valentin, « Des problèmes pour le cycle 3 », Hatier34
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DES PROBLÈMES COMPLEXES
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RÉSOLUTION PROBLÈMES NUMÉRIQUES
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ETAPES DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME
1 Enoncé, consignes: prise informations Lire, c’est comprendre
2 Elaboration d’une représentation de la
situation
Situation telle que l’élève l’interprète:
informations retenues, but à
atteindre
3 Recherche / élaboration d’une
procédure de résolution
Choix d’une procédure, élaboration
d’une procédure nouvelle
4 Instanciation de la procédure Application de la procédure aux
données particulières du problème
5 Exécution de la procédure Effectuation des calculs (par ex)
6 Interprétation du résultat
7 Communication de la réponse
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DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE : REPRÉSENTATION,
APPROPRIATION DU PROBLÈME
Surcharge de la mémoire de travail
1 Lecture non automatisée qui
concentre toute l’attention de l’élève
-Développer ses compétences en
lecture
-Lui lire plusieurs fois l’énoncé, sans
insister sur les indices
-Présenter le problème sous forme de
dessin, à l’aide de matériel
2 L’élève ne parvient pas à discerner
quelles sont les informations
pertinentes, essaie de tout mémoriser
-(Faire schématiser par l’élève l’énoncé)
-Lire l’énoncé et demander de noter les
informations
-Demander de raconter l’histoire
-Placer la question en début d’énoncé
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DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE : FAVORISER
L’APPROPRIATION DU PROBLÈME
Trois objets dans la boîte: 1; 2; 3
Quatre objets dans la boîte: 1; 2; 3; 4
On ferme la boîte…
Combien?39
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REEL / ANTICIPATION
Réel
Favorise l’appropriation
de la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience
mentale
Permet la validation de la
réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des
procédures
DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE : REPRÉSENTATION
DU PROBLÈME (SUITE)
Contexte du problème trop éloigné
du vécu de l’élève
-Ménager un temps d’appropriation de
l’énoncé
-Questionner sur la compréhension du
vocabulaire, de la situation
Taille des nombres trop importante -Proposer l’usage de la calculette
-Inviter l’élève à réfléchir avec des
nombres plus petits (calcul mental)
-Ne pas oublier la résolution de
problèmes lors du calcul mental où l’on
privilégie trop souvent le seul travail
sur les nombres
Ces courtes situations renforce la
connaissance du sens des opérations
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REPRÉSENTATION DU PROBLÈME (SUITE) :
PRÉGNANCE DE CERTAINES RÈGLES DU CONTRAT
Prégnance de certaines règles du contrat didactique
L’âge du capitaine : « Dans un bateau, il y a 25 chèvres et 12 moutons.
Quel est l’âge du capitaine? »
Réponse : 37 ans!
Prégnance de certaines règles du
contrat
Casser ces règles, en proposant …
Repérage des seuls indices
numériques : les règles du contrat
didactique deviennent des obstacles
Attention : Cette règle du contrat est
renforcée par certaines pratiques de
manuels …
Proposer des problèmes :
-sans solution
-avec de nombreuses données, sans
données,
-qui n’utilisent pas la dernière opération
étudiée,
-pour lesquels les élèves doivent
chercher des informations
complémentaires …
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REPRÉSENTATION DU PROBLÈME ET DIFFICULTÉS
(SUITE) : PRÉGNANCE DES MOTS INDUCTEURS
Paul est chargé de ranger 80 bouteilles dans des casiers. Chaque casier
peut contenir 12 bouteilles. Combien de casiers seront nécessaires pour
que Paul puisse ranger toutes les bouteilles?
Réponse :80 x 12 = 960
Sont nécessaires 960 casiers
Certains élèves, lors de la lecture des premiers mots de l’énoncé, se
construisent une représentation qu’ils ont beaucoup de peine à faire
évoluer.
Je possède 137 billes, j’en ai 42 de plus que mon frère. Combien mon frère
en possède-t-il?
Réponse : 137 + 42 = 179 Mon frère possède 179 billes
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REPRÉSENTATION DU PROBLÈME ET DIFFICULTÉS
(SUITE) : PRÉGNANCE DES MOTS INDUCTEURS
Prégnance de certaines règles du
contrat
Casser ces règles, en proposant …
Présence de mots inducteurs et
mobilisation des opérations en fonction
de la présence de certains mots: total,
reste, plus, chaque…
La recherche systématique comme
proposée dans certains manuels ne
pourra pas produire les résultats
escomptés :
parfois, le mot sur lequel l’élève va
fonder son calcul permet de répondre
correctement mais parfois, il va s’ériger
en obstacle (piège pour l’élève).
Cette méthodologie n’est donc pas
pertinente.
-Aider à la prise de conscience que ces
mots ne sont pas de bons indices
-Développer le contrôle du résultat
-Une alternative : la théorie des
champs conceptuels de G.
Vergnaud
-Travailler sur les classes de
problèmes des structures additives,
multiplicatives
-Les problèmes et leur niveau de
difficulté sont envisagés selon les
structures mathématiques sous-
jacentes et non selon les opérations à
convoquer
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A PROPOS DE CERTAINS ÉNONCÉS DE
PROBLÈMES
Considérons les deux énoncés suivants:
Jean a gagné 3 billes. Maintenant, il a 5 billes.
Combien Jean avait-il de billes au départ?
Jean avait quelques billes. Il a gagné 3 billes.
Maintenant, il a 5 billes. Combien avait-il de billes
au début?
Taux de réussite en CP version 1 : 13 %
version 2 : 33 %
Taux de réussite en CE1 version 1 : 61 %
version 2 : 79 %
(problème d’inférence, Richard et Porcheron)45
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THÉORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS DES
STRUCTURES ADDITIVES (VERGNAUD)
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Structure
mathématique
exemples
Transformation d’états
T +/-
Ei Ef
Un pion est sur la case 19, le dé indique 5.
Sur quelle case doit-on placer le pion?
(contexte cardinal)
Combinaison de 2 étatsE1
E
E2
On met bout à bout 2 bandes, l’une mesure
12cm, l’autre 9 cm. Quelle est la longueur de
la nouvelle bande?
(contexte de la mesure)
ComparaisonE1
C +/-
E2
Marc à 38 €, il en a 7 de plus que Pierre.
Combien Pierre a-t-il d’euros?
Composition de
transformations
T1 T2
T
Jean joue aux billes. Le matin, il gagne 8
billes, il en perd 10 l’après-midi. Quel est le
bilan de la journée?
(contexte cardinal)
THÉORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS DES
STRUCTURES MULTIPLICATIVES
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Structure mathématique Exemples
Relation multiplicative de
comparaison
Jean a 15 billes dans une boîte. Emile en a 3 fois plus (3 fois
moins) . Combien de billes a Emile?
Relation entre deux espaces
de mesures, une des quatre
quantités est égale à1
1 Multiplication
2 Division : recherche de la
valeur d’une part
3 Division: recherche du nombre
de parts
1 Dans une barquette, il y a 6 pommes. Combien de pommes
dans 2 barquettes?
2 La directrice a commandé 60 crayons, elle reçoit 5 boîtes de
cayons. Combien y a-t-il de crayons par boîte?
3 Le cuisinier de la cantine a reçu 50 pommes, il prépare des
corbeilles de 8 pommes chacune. Combien de corbeilles
peut-il préparer?
Produit de mesures
1 Multiplication
2 Division
1 Pour s’habiller, le clown a le choix entre 3 sortes de gilet et
5 sortes de pantalon. De combien de façons différentes peut-il
s’habiller?
2 Trouver l’une des mesures des côtés d’un rectangle
connaissant l’autre mesure et l’aire du rectangle.
Proportionnalité Lorsque je fais de la mousse au chocolat pour 9 personnes,
j’utilise 6 œufs. Quand, je fais de la mousse pour 15
personnes, j’utilise 10 œufs. Combien faudra-t-il d’œufs pour
faire une mousse pour 24 personnes? Pour 30 personnes?
Proportionnalité complexe
Double proportionnalité ou
composée
3 poules pondent 3 œufs en 3 jours? Combien pondent 6
poules en 6 jours?
DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE : ÉLABORATION ET
EXÉCUTION DE LA PROCÉDURE (3, 4, 5)3 Faiblesse du nombre de
connaissances mémorisées
Problèmes de référence et schémas
généraux de procédure (cf travaux
JULO)
-Sélectionner les problèmes qu’on
propose en fonction de leur aptitude à
devenir des problèmes de référence
-aider à la mémorisation pour que le
problème devienne un problème de
référence : importance de la
verbalisation après résolution
Problème du sens des opérations Demander d’écrire des énoncés de
problèmes dont la résolution passe par
l’utilisation d’une opération donnée ou
à partir d’un texte
3 Manque de maîtrise de certaines
techniques de calcul qui conduit au
rejet d’une procédure
-Mettre la calculatrice à disposition
-Entraîner aux techniques opératoires
-Aider à la mémorisation de certains
résultats (tables)
4 Erreur d’instanciation de la
procédure
Conception erronée d’une opération
Ex: « On ne peut diviser par un nombre
plus grand »
Proposer des situations où cette
conception est mise en défaut48
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A PROPOS DES RÉFÉRENCES ET DES
SCHÉMAS GÉNÉRAUX DE PROCÉDURES…
Prenons l’exemple suivant :
Il s’agit de calculer à chaque fois, le nombre d’arbres:
Il y a 25 arbres et un peu plus loin 60 arbres;
Il y a 25 rangées d’arbres et une rangée contient 60 arbres;
Il y a 60 plantations, des arbres et des buissons, il y a 25 buissons.
Informations numériques identiques
Comment l’adulte sait-il immédiatement comment calculer le nombre d’arbres?
Il interprète le contexte sémantique et grâce à ses connaissances, associe instantanément un traitement pertinent, différent de chaque texte. 49
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DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE : LES PROBLÈMES
DE RÉFÉRENCE
Problème de référence
J’ai 135 billes que je répartis équitablement dans des sacs de 15 billes. Combien puis-je faire de sacs?
L’énoncé est mémorisé avec procédure de résolution : 135 : 5
Résolution du problème suivant
J’ai 276 œufs à mettre dans des boîtes de 12. Combien me faut-il de boîtes?
Identification des œufs avec les billes, de 12 avec 15, des boîtes avec les sacs. La procédure est « plaquée »: 135 : 5
276 : 12
Schéma général de procédure
Les énoncés sont oubliés pour n’en retenir que la structure du problème : le problème de partage se résout en effectuant une division.
Une piste : le travail à partir des structures additives et multiplicatives (Vergnaud) qui vont permettre la construction de ces références.
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DIFFICULTÉS ET PISTES D’AIDE :
L’INSTANCIATION D’UNE PROCÉDURE
Conception erronée d’une opération
Douze stylos coûtent 4 €. Quel est le prix d’un stylo?
Reconnaissance du fait que le problème relève de la division
Deux calculs possibles
12 : 4
4 : 12
L’erreur d’instanciation consiste à choisir : 12 : 4
Origine de l’erreur : quand on travaille avec des nombres entiers, la plupart du temps, on divise le plus grand nombre par le plus petit.
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ANALYSE D’ERREURS
« Julie a acheté : deux tablettes de chocolat à 3 €chacune, quatre bouteilles de limonade à 2€ chacune et un sac de brioches. Elle a payé 18 €. Quel est le prix du sac de brioches? »
Réponse : 3 € x 2 € = 6 € ; le prix du sac de brioche est 12 €
L’élève a calculé le coût du chocolat et de la limonade, puis retrancher cette somme au coût total
Hypothèses : instanciation erronée du fait de la
présence du mot inducteur : « chaque » qui induit la multiplication
prégnance des règles du contrat didactique : utiliser les écritures chiffrées des nombres (rejet des écritures littérales)
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DES PISTES DE TRAVAIL
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VIGILANCE À PROPOS DE CERTAINES
PROPOSITIONS DE MANUELS …
« A chacun sa place
Damien, Franck, Isabelle, Nathalie, Raphaël et Simon ont posé pour une photo souvenir. Les indices suivants permettent de retrouver la place de chacun.
Toutefois, certains indices sont inutiles. Lesquels?1 Damien et Raphaël n’ont qu’un seul voisin.
2 Les filles ne sont pas côte à côte.3 Franck est le plus petit des garçons.
4 Franck est cependant plus grand qu’Isabelle, qui est à sa gauche.
5 Damien et Isabelle portent des lunettes.
6 Si Nathalie tourne la tête vers la gauche, elle peut voir tous ses camarades, sauf Damien.
7 Franck est le seul à avoir deux voisines. » 54
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TRI D’INFORMATIONS, DONNÉES UTILES, INUTILES
On ne peut trier que lorsqu’on a résolu ou qu’on est très avancé dans la résolution. Le tri d’informations est lié à la résolution effective et à la disponibilité des connaissances mathématiques adaptées.
« Thierry vient de jouer deux parties de billes. A la seconde partie, il a perdu 7 billes. Quand il compte ses billes à la fin, il s’aperçoit qu’il a gagné en tout 5 billes. Que s’est-il passé à la première partie? »
En quoi, le tri d’informations peut-il aider les élèves dans ce problème?
Ce problème se résout par une SIMPLE addition!
Il met en échec 75 % des élèves de 6ème…
Il existe des problèmes difficiles à résoudre mais simples du point de vue des informations fournies par l’énoncé.
Lire « Le pétrolier fait-il fausse route? », Cahiers Pédagogiques, Julo, 1993
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ENVISAGER LA DIFFÉRENCIATION
La différenciation par les procédures
La différenciation par les ressources disponibles et
les contraintes imposées
La différenciation par la tâche
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Extrait
Cap maths CE1
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CINQ CATÉGORIES DE SOLUTIONS
A
B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C D E
25 + 5 = 30 + 30 = 60 25 60 – 25 = 35
5 + 30 = 35 + ..
60 58
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CORRECTION OU MISE EN COMMUN?
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Aboutir au corrigé,
à LA solution
Conséquence :
« résolution » unique
dont il faut s’approcher
le plus possible
Inventorier les
« résolutions »
Débattre de leur
validité
Les comparer
Conséquence : la
diversité est possible
Correction Mise en commun
LA DIFFÉRENCIATION PAR LES RESSOURCES
DISPONIBLES ET LES CONTRAINTES IMPOSÉES
Varier la taille des nombres, la nature des nombres
(entiers, décimaux)
Prendre en charge une partie de la tâche (noter ou
organiser les résultats intermédiaires par exemple)
Autoriser ou non certains outils : calculette, matériel
permettant les simulations ..
Absence ou non de questions intermédiaires
60
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LA DIFFÉRENCIATION PAR LES PROCÉDURES
Exploiter la diversité des procédures et mettre en
place les conditions d’un contrat
Favoriser la diversité
Exploiter cette diversité
Aider au progrès des élèves
Ne pas engager trop rapidement les élèves vers les
procédures canoniques : résolution formelle et non
formatrice 61
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UN EXEMPLE EN CM1 (ERMEL)
Un club sportif effectue le montage des vélos de course et des
VTT à partir de pièces détachées (roues, cadres,
équipements) qu’il commande à une usine :
Une roue de vélo de course coûte 100 €
Un cadre de vélo de course coûte 500 €
Une roue de VTT coûte 175 €
Un équipement complet coûte (dérailleur, frein …)
pour un vélo de course ou pour un VTT coûte 200 €
Le club sportif dispose de 50 000 €. Il commande les pièces
nécessaires pour 20 vélos de course. Combien de peut-il
acheter de VTT?
Quelle différenciation peut-on envisager? 62
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LA MULTIPRÉSENTATION
Il s’agit de donner un même problème
structure mathématique semblable
(éventuellement) données numériques semblables
Avec des habillages ou des contextes différents
L’élève a donc plusieurs problèmes à résoudre et il
doit choisir le problème qu’il veut résoudre en
premier
Les performances sont améliorées63
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ÉCRIRE DES ÉNONCÉS AVEC DES
CONTRAINTES …
…pour améliorer ses connaissances concernant
certaines opérations
La soustraction (ou toute autre opération)
Ecrire un énoncé utilisant l’addition, la soustraction …
Ecrire un énoncé utilisant les nombres 57 et 172 et l’une des
deux expressions suivantes « de plus que » et « de moins
que »
La multiplication
Ecrire un énoncé dont la solution est du type : a x b x c (a, b, c
sont donnés)
Les valeurs numériques et la nature des nombres (naturels,
décimaux) peuvent constituer une variable :
● 3x7x6; 34x12x16; 6x4,5x18 127x99x7 64
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ÉCRIRE DES ÉNONCÉS AVEC DES
CONTRAINTES …
…pour améliorer ses connaissances concernant
certaines opérations
À partir d’une ou plusieurs écritures mathématiques
Ecrire un énoncé à partir de ces écritures
(25 – 9) ou (16 + 21)
● (150 x 7) + 13
● (120 x 13) – 45
(6 x 10) – 5
(120 x 3) – (15 x 2) …
… pour améliorer la connaissance des nombres
Imaginer un énoncé dont la solution conduit au calcul :
1/3 + ¼ + 1/6 (« Maths et clic, Bordas, 6ème) : à adapter pour
l’école!65
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A PARTIR D’UN PRODUIT, PRODUIRE PLUSIEURS
ÉNONCÉS …
Cap maths CM1
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À PARTIR D’UNE QUESTION, PRODUIRE UN
ÉNONCÉ
Aider à la représentation d’un problème
Combien ai-je de billes maintenant?
Ai-je assez d’argent pour acheter ce jeu vidéo?
Combien maman va-t-elle payer?
Combien y a-t-il de voyageurs à l’arrivée du train à
Paris?
Quelle est la durée du vol en avion?
…67
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A PARTIR D’UN ÉNONCÉ, PRODUIRE DES
QUESTIONS
Aider à la représentation du problème
Le train (Ermel CP)
Un train avec 4 wagons arrive en gare. On indique
que chaque wagon peut contenir 50 voyageurs et
que, par exemple, dans le premier wagon, il y a
déjà 23 voyageurs installés, 18 dans le deuxième,
42 dans le troisième et que le dernier wagon est
encore vide. Sur le quai, 86 voyageurs attendent.
Questions formulées par les élèves. Les nombres
peuvent être modulés en fonction des élèves. Une
simulation peut être envisagée. 68
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A PARTIR D’UN ÉNONCÉ, PRODUIRE DES
QUESTIONS (SUITE)
Mardi, il y avait 23 élèves à la cantine. Il y en a 5 de plus que lundi.
Aujourd’hui, à la cantine, il y a 12 garçons et 18 filles.
Hier, le marchand de ballons a vendu 45 ballons. Il a vendu 12 ballons jaunes, 13 ballons bleus. Tous les autres ballons étaient rouges.
Dans le car, il y a 45 personnes. Le car s’arrête. Cinq personnes descendent et huit montent.
Cap maths, CP 69
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A PARTIR D’UN DESSIN, PRODUIRE DES
ÉNONCÉS
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TRAVAILLER AUTOUR DES VALEURS
NUMÉRIQUES
Compléter un énoncé à l’aide de valeurs numériques
Il faudra mettre en cohérence valeurs numériques et
informations de l’énoncé.
Maman a des billets et des pièces dans son porte-
monnaie. Elle a 2 billets de … euros, 6 pièces de …
euros et 3 pièces de … euros. Cela suffira-t-il pour
m’acheter une robe qui coûte … euros?
Au jeu de l’oie, Béatrice est sur la case …, Hervé a
parcouru 3 cases de … que Béatrice. Sur quelle case
est-il?
Anne et Louis jouent avec un jeu électronique. Louis
marque … points, Anne marque … points. J’ai gagné,
dit Anne, j’ai marqué … points de plus que toi!71
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TRAVAIL AUTOUR DES DONNÉES NUMÉRIQUES
(CM1)
25 18 33 22
On allume à h une bougie qui mesure cm de hauteur.Le même jour, on éteint la bougie à h, elle ne mesure plus que cm .
1) De combien la bougie a-t-elle diminué ?
2) Quelle est la hauteur de cire consommée en une heure ?
Les réponses seront écrites au stylo, les élèves devront dire pourquoi ils ont barré, raturé, modifié leurs réponses.
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TRAVAIL AUTOUR DES DONNÉES NUMÉRIQUES
Dans le car, il y a … places.
Au départ, … personnes s’installent dans le car. (Il y a
plus de places que de personnes). Combien reste-t-il de
places vides?
25 45
Dans ma classe, il y a … élèves. J’ai apporté un paquet
de … gâteaux. J’en donne un à chaque élève.
Combien me reste-t-il de gâteaux?
24 28
Dans le porte monnaie d’Alex, il y a 3 billets de …
euros. Il achète deux BD qui coûtent … euros chacune.
Combien lui reste-t-il?
5 4 73
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VARIANTES
Jean avait … billes. Il en a maintenant …. .
Choisir des valeurs numériques et dire ce qui s’est
passé?
Choisir parmi les mots suivants: combien, chacun,
ensemble, de plus, de moins, tous les deux, et
compléter l’énoncé.
Deux enfants ont … 27 billes. Marc a 7 billes de …
que Michel. … chaque enfant a-t-il de billes?
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ÉCRIRE DES ÉNONCÉS POUR RÉINVESTIR DES
CONNAISSANCES SUR LES NOMBRES
Inventer des portraits de nombres
Je suis un nombre pair.
Je suis un multiple de 7 (dans la table de 7).
Le nombre qui me précède est multiple de 9 (table de
9).
Je suis entre 1 et 100.
Ecrire des énigmes à la manière de …
J’ai écrit un nombre de quatre chiffres, puis un
autre nombre en inversant l’ordre des chiffres du
premier nombre (comme 7245 et 7542). J’ai
additionné les deux nombres et j’ai trouvé 12 221.
Quel nombre puis-je écrire? Trouve toutes les
solutions possibles. (Cap maths CM1)75
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POUR CONCLURE …
« La résolution n’est pas dissociable de la maîtrise des connaissances mathématiques nécessaires pour les résoudre. Les problèmes numériques dans les champs additifs et multiplicatifs offrent suffisamment d’exemples.
Il n’existe pas de méthodologie générale de résolution, chacun recourt à une mémoire personnelle de problèmes.Cette mémoire des problèmes est une mémoire de « schémas de problèmes » (JULO, 2002); c’est elle qui facilite le processus essentiel de structuration. Elle se forme à partir de différents problèmes que nous rencontrons, des représentations que nous en construisons et des analogies que nous percevons. Encore faut-il que nos élèves aient la possibilité de résoudre, par eux-mêmes, jusqu’au bout, certains problèmes afin de prendre confiance dans leurs capacités à penser. Encore faut-il qu’ils aient des occasions d’échanger, d’argumenter et de justifier ».C.Houdement, «La résolution de problèmes en question » Grand N, n71, 2003
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ELÉMENTS DE BIBLIOGRAPHIE
Descaves (1992), Comprendre des énoncés de problèmes,
Hachette Education
Julo (1993), Le pétrolier fait-il fausse route?, Cahiers
Pédagogiques n 376 (« Français-Mathématiques »)
Ermel, Douaire (dir) (1999), Vrai, faux?...On en débat?, INRP
Gamo, (2001), Résolution de problèmes, Bordas pédagogie
Coppé, Houdement (2002), Réflexions sur les activités
concernant la résolution de problèmes à l’école primaire,
Grand N n 69, IREM
Julo (2002), Des apprentissages spécifiques pour la
résolution de problèmes?, Grand N n 69, IREM
Houdement, (2003), La résolution de problèmes en question,
Grand N n 71, IREM
Monnier (2003), Les schémas dans les activités de résolution
de problèmes, Grand N n 71, IREM77
Réso
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Points de départ, Grand N, n spécial (problèmes ouverts),
IREM de Grenoble
Pomme, Valentin (2003), Des problèmes pour le cycle 3,
Hatier
Arsac, Mante (2007), Les pratiques du problème ouvert,
CRDP académie de Lyon
Blochs, Lalande (2009), Les problèmes sans problèmes,
CRDP Franche Comté (Repères pour agir)
Ouvrages de la série ERMEL, Hatier (de la GS au CM2)
78
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QUELQUES LIENS POUR LES RALLYES
http://www.pedagogie91.ac-versailles.fr/spip.php?article335
http://web17.ac-poitiers.fr/Jonzac/spip.php?rubrique125
http://www3.ac-nancy-metz.fr/IENJarville/spip.php?rubrique25
http://educ73.ac-grenoble.fr/nectar/nectar_enseignant/docs_pedas/rallye_math/index.php?num=655
http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm
http://www.ac-grenoble.fr/occe26/activite/defimat.htm
Le Rallye Mathématique Transalpin, RMT
http://www.rmt-sr.ch
Le Rallye de la Marne
http://www.univ-reims.fr/site/laboratoires/irem/rallyes/gallery_files/site/1/1697/3172/8389/22377.pdf
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