Janvier 2008Henry THONIER (T6) 1 SOLLICITATIONS. janvier 2008Henry THONIER (T6) 2 Généralités...

janvier 2008 Henry THONIER (T6) 1

SOLLICITATIONS


GénéralitésMéthodes de détermination des sollicitations en fonction du comportement

adopté :

- comportement élastique-linéaire : la « résistance des matériaux » élastique classique (ELS et ELU)

- comportement élastique-linéaire avec redistribution limitée (ELU seulement)- comportement plastique ELU : rotules plastiques et notamment la méthode

des bielles et tirants pour lesquels il est possible d’effectuer des vérifications en ELS (moyennant certaines précautions)

- comportement non-linéaires (ELS et ELU) : par exemple la méthode de calcul au flambement avec effets du 2e ordre

Dans les bâtiments, les déformations dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent ne pas être prise en compte, dans la détermination des sollicitations, si l’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10 % des déformations de flexion

Pour les poutres : OK si hauteur < L/5


CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS [§5.1.3]

Pour les bâtiments, on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables :

• les travées paires chargées• les travées impaires chargées• deux travées adjacentes quelconques chargées

Sinon : lignes d’influence

Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

a)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

c)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

d)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

e)

travées paires

travées impaires

travées adjacentes de l’appui 2




CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS (suite)

• ANF : « les simplifications dans les dispositions de charges à utiliser sont fondées sur le principe suivant : les cas de charge à utiliser sont ceux que l'on utiliserait si les éléments portés reposaient isostatiquement sur les éléments porteurs ; les actions ainsi obtenues sur les éléments porteurs sont forfaitairement majorées ou minorées en fonction de l'hyperstaticité ainsi négligée. »

• En clair, cela permet d'utiliser la méthode simplifiée française qui consiste à majorer forfaitairement les réactions d'appuis sur éléments porteurs de 10 % pour les appuis intermédiaires des poutres continues de plus de 2 travées et de 15 % pour l'appui central d'une poutre de 2 travées.


IMPERFECTIONS GÉOMÉTRIQUES [5.2]

• À ne prendre en compte qu’en ELU.• Valeurs associées à des tolérances normales d’exécution (classe 1 de l’EN 13670)

i

Hi Na

Nb

LNa

Nb

Hi

/2/2

/2

b) Système de contreventement

c1) Plancher de contreventement

c2) Diaphragme de toiture

Retenir : excentricité pour le calcul au flambement des poteaux isolés contreventés par ailleurs : L0/400


MODÉLISATION DE LA STRUCTURE [§5.3]

Définition des éléments [§5.3.1 et §9.6.1]

Poutre si L > 3 h longueur L et hauteur h

Dalle si b > 5 h largeur b et épaisseur h

Poteau si b < a < 4 b et H > 3 b

côtés a et b, hauteur H

Voile si L > 4 h épaisseur h, longueur L

Dalle portant dans deux directions

si 0,5 L1 ≤ L2 ≤ 2 L1 L1 et L2 dimensions horizontales

de la dalle


MODÉLISATION DE LA STRUCTURE (suite)

- Largeurs participantes des tables de compression des poutres en Té

- Distance forfaitaire entre points de moments nuls Lo

Lo = 0,85 L1

L1

Lo = 0,15 L1 + 0,15 L2 Lo = 0,7 L2

L2 L3

Lo = 0,15 L2 + L3

b1 b1 b2 b2

b

bw

beff,1 bw beff,2

beff

Débord participant (efficace) de table :

- à gauche : beff,1 = Min[b1 ; 0,2 b1 + 0,1 Lo ; 0,2 Lo]-à droite : beff,2 = Min[b2 ; 0,2 b2 + 0,1 Lo ; 0,2 Lo]

La largeur participante de la table :

beff = bw + beff,1 + beff,2



Portées de calcul des dalles et poutresLes calculs sont à effectuer avec la portée entre axes des poutres avec un correctif pour le cas des appuis très larges et en tenant compte de la participation du béton de l’appui dans le calcul des aciers nécessaires

Lna1 a2

Leff

Ma1

Ma2

Mn2

Mn1

Moments nuls

Moment max

Pour des poutres ou dalles appuyées sur des éléments en béton (poutre, poteau, voile) qui leur sont liés monolithiquement, on peut considérer l’existence d’une diffusion de l’effort de compression de la partie inférieure (moment négatif) dans l’appui.

Le bras de levier au milieu de l’appui étant alors plus grand qu’au droit de l’appui, la section d’acier nécessaire est la plus grande des deux valeurs. C’est ce qu’admet l’EC2 en permettant de retenir la section d’acier trouvée avec le moment au nu de l’appui.


A défaut d’être monolithe : La réaction d’appui FEd,sup correspond à une charge répartie (uniforme, trapézoïdale ou triangulaire) sur la largeur t de l’appui dont la moyenne vaut :

q = FEd,sup / t.

A toute charge uniforme appliquée sur une longueur t correspond une amplitude de moment :

M = q.t2/8 = FEd,sup . t /8

Cette réduction de moment existe dans tous les cas et est appelée « écrêtage du moment sur appui ».

Ma

Mn

Me

MEd = FEd,sup. t/8parabole

a1a2

arctg(2/3)

t

FEd,sup


Moments aux nus pour une charge uniforme p sur toute la travée :

Mn1 = (1 – 1) Ma1 + 1.Ma2 + 4 1 (1 – 1) . Mo

Mn2 = (1 – 2) Ma2 + 2.Ma1 + 4 2 (1 – 2) . Mo

avec : 1 = a1 / Leff ; 2 = a2 / Leff Mo = p.Leff

2 / 8


Portée utile des poutres et dalles de

bâtiment [§5.3.2.2]

t

h

Ln

Leff

a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]

a) Éléments isostatiques

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

b) Éléments continus

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

c) Appuis considérés commes des encastrements parfaits

t

h

Ln

Leff

a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]

d) Présence d'un appareil d'appui

axe

d'

ap

pui

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

e) Console


CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS DES POUTRES CONTINUES - Équation des trois moments Li

i-1

Li+1

i i+1

dg

Mêmes portées et mêmes inerties.Charges uniformes totales Mi-1 + 4 Mi + Mi+1 = - 0,25 (pi + pi+1) L2

Mêmes inerties.Charges uniformes totales Mi-1 Li + 2(Li + Li+1) Mi + Li+1 Mi+1 = - 0,25 (pi Li

3 + pi+1 Li+13)

Inerties constantes.Charges uniformes totales

(Li / Ii) Mi-1 + 2 [(Li / Ii) +(Li+1 / Ii+1)] Mi + (Li+1 / Ii+1) Mi+1 = - 0,25 [pi.Li

3 / Ii + pi+1.Li+13 / Ii+1]

Inerties constantes.Charges quelconques

(Li / Ii) Mi-1 + 2 [(Li / Ii) + (Li+1 / Ii+1)] Mi + (Li+1 / Ii+1)] Mi+1 = - 6E (Ii g - Ii+1 d)

Inerties variablesCharges quelconques

bi Mi-1 + (ai+1 + ci) Mi + bi+1 Mi+1 = - g + d

ai =

1x

Li

2

.dx

E.Ii(x)0

L i

bi =

x

Li

1x

Li

.

dx

E.Ii(x)0

L i

ci =

x

Li

2

.dx

E.Ii(x)0

L i

d = -

i1(x) 1x

Li1

.

dx

E.Ii1(x)0

L i1

et g = i(x)

x

Li

.dx

E.Ii (x)0

L i


Redistribution des moments (en ELU seulement) [§ 5.5]

- le rapport des portées est compris entre 0,5 et 2- les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux)- le coefficient de redistribution = Maprès/Mavant est fonction de l’état de sollicitation de la section (plus la section est sollicitée, moins on peut redistribuer) par l’intermédiaire de la hauteur comprimée xu

Classe d’acier fck ≤ 50 MPa fck > 50 MPa

A(peu ductile

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/ecu2) (xu/d) ≥ 0,8

B ou C(ductile ou très ductile)

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/ecu2) (xu/d) ≥ 0,7


Redistribution des moments (suite)

avant0,480,372

aciers

comprimés

conseillés

0,294

pas de

redis-

tribution

posible

0,255

après

class

e A (0

,8)

class

es B

et C

(0,7)

0 0,05 0,1 0,150,2 0,25 0,30

0,05

0,15

0,1

0,2

0,25

0,3


Redistribution des moments (suite)

après 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

≤ 0,2 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7

0,21 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7001 0,7024

0,22 0,7046 0,7069 0,7092 0,7115 0,7138 0,7162 0,7186 0,721 0,7234 0,7259

0,23 0,7284 0,7309 0,7334 0,7360 0,7386 0,7412 0,7438 0,7465 0,7492 0,7519

0,24 0,7547 0,7575 0,7603 0,7632 0,7661 0,7690 0,7720 0,7750 0,7781 0,7812

0,25 0,7843 0,7875 0,7907 0,7939 0,7972 0,8006 0,8040 0,8074 0,8109 0,8145

0,26 0,8181 0,8218 0,8255 0,8293 0,8331 0,8370 0,8410 0,8450 0,8492 0,8533

0,27 0,8576 0,8620 0,8664 0,8709 0,8756 0,8803 0,8851 0,8900 0,8951 0,9002

0,28 0,9055 0,9109 0,9165 0,9222 0,9280 0,9341 0,9403 0,9467 0,9533 0,9601

0,29 0,9672 0,9746 0,9822 0,9902 0,9985 1 1 1 1 1

≥ 0,3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

pour fck ≤ 50 MPa


Équation des 3 moments de poutres continues en Té

Clause 5.3.2.1 (4) de l’EC2 : « Pour l’analyse structurale, dans les cas où une grande précision n’est pas requise, on peut admettre une largeur constante sur toute la longueur de la travée. Il convient alors d’adopter la valeur applicable en travée. »

Mais, si l’on veut diminuer les moments sur appui, sans avoir à (ou avant de) procéder à une redistribution, il suffit de calculer les moments avec des sections d’inerties variables : - le moment d’inertie de la section rectangulaire dans les zones de moments négatifs - le moment d’inertie de la section en Té dans les zones de moments positifs

On décompose la longueur L en trois parties :- section rectangulaire entre l’appui gauche et le premier point de moment nul (0,15 L0 ou 0)- section en Té entre les deux points de moments nuls (longueur 0,70 L0 ou 0,85 L0)-section rectangulaire entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit (0,15 L0 ou 0)

1 distance relative entre l’appui gauche et le premier point de moment nul (0,15 ou 0)2 distance relative entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit (0,70 ou 0,85)3 distance relative entre l’appui gauche et le deuxième point de moment nul = 1 – 2 4 distance relative entre le premier point de moment nul et l’appui droit = 1 – 1

I1 moment d’inertie de la section brute rectangulaireI2 moment d’inertie de la section brute en Té


Poutres en Té (suite)

c = IE

dx.

L

xL

0

2

=

1

3

3

10

1

1

2

2

2

1

2

I

d.

I

d.

I

d.

E

L =

1

33

2

31

33

1

31

I

1

IIE3

L

a =

1

34

2

32

34

1

32

I

1

IIE3

L

b =

1

33

23

2

31

21

33

23

1

31

21

I

231

I

2323

I

23

E6

L

g = L

0

323

d).(IE2

Lp =

1

43

33

2

41

31

43

33

1

41

31

3

I

341

I

3434

I

34.

E24

Lp

d = -

1

44

34

2

42

32

44

34

1

42

32

3

I

341

I

3434

I

34.

E24

Lp

I1 : moment d’inertie de la section rectangulaireI2 : moment d’inertie de la section en Tég = rotation à gauche de l’appui



Travée de rive gauche Travée intermédiaire Travée de rive droite 0 0,15 0,15 0,15 0,15 0 0,85 0,85 1 1 0,85 0,85

a

21 I

973,7

I

027,0.

E24

L

21 I

886,4

I

114,3.

E24

L

21 I

913,4

I

087,3.

E24

L

c

21 I

913,4

I

087,3.

E24

L = a

21 I

973,7

I

027,0.

E24

L

b

21 I

757,3

I

243,0.

E24

L

21 I

514,3

I

486,0.

E24

L

21 I

757,3

I

243,0.

E24

L

d

-

21

3

I

988,0

I

012,0.

E24

Lp -

21

3

I

8785,0

I

1215,0.

E24

Lp -

21

3

I

8905,0

I

1095,0.

E24

Lp

g

21

3

I

8905,0

I

1095,0.

E24

Lp = - g

21

3

I

988,0

I

012,0.

E24

Lp



Exemple. Poutre de deux travées symétriques et symétriquement chargée de portée L pour une charge uniforme p, avec h = 0,75 m, d = 0,65 m, b = 1,20 m, bw = 0,30 m, hf = 0,15 m Calcul du moment sur appui d’une poutre de deux travées symétriques

Travée gauche Travée droite 1 0 0,15 2 0,15 0 3 0,85 1 4 1 0,85

I1 = 12

75,03,0 3 = 0,010547 m4 et I2 = 0,018394 m4

a =

21 I

913,4

I

087,3.

E24

L =

E

L325,23

g =

21

3

I

8905,0

I

1095,0.

E24

Lp =

E

Lp45,2 3

L’équation des 3 moments s’écrit : 2 a . M = - 2 g d’où M = - 52,9

L.p 2

au lieu de - 8

L.p 2

si l’inertie avait été prise constante.

On constate que c’est équivalent à une redistribution de moment de 16%.

1,20

0,30

0,15

0,65

As


Analyse plastique des poutres, portiques et dalles

- Les méthodes basées sur l’analyse plastique ne doivent être utilisés qu’en ELU.- On peut utiliser une méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité) ou une méthode statique (borne inférieure de la plasticité).- On pourra négliger les chargements antérieurs et admettre un chargement progressif monotone.- Pour un chargement monotone croissant, la contrainte de l’acier augmente progressivement jusqu’à atteindre so = fyd / Es, seuil à partir duquel la rotule plastique commence à fonctionner.- On devra vérifier que les sections critiques (rotules plastiques) ont une capacité de rotation suffisante pour que le mécanisme envisagé puisse se produire.

Vérification explicite de la capacité de rotation Non requise Requise : s ≤ k . pl,d

Si : d

xu ≤ 0,25 pour fck ≤ 50 MPa

Ou si : d

xu ≤ 0,15 pour fck > 50 MPa

et si les aciers sont de classe B ou C

et si : 0,5 ≤ appui

travée

M

M ≤ 2

Si : 0,25 ≤ d

xu ≤ 0,45 pour fck ≤ 50 MPa

Ou si : 0,15 ≤ d

xu ≤ 0,35 pour fck > 50 MPa


Moment de plastification limite

= d

xu 0,15 0,25 0,35 0,45

= cd

2 f.d.b

M 0,113 0,180 0,241 0,294

Rappel = 0,8 (1 – 0,4 )

s = rotation calculée sur une longueur 0,6 h de part et d’autre de la rotule plastique pl,d = rotation plastique admissible lue sur abaque EC2 k = coefficient de correction dépendant de l’élancement vis-à-vis de l’effort tranchant

k = 3

= distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistribution rapporté

à la distance utile d (que l’on peut prendre, pour simplifier, égal à = d.V

M

Sd

Sd )

Rotules plastiques


Rotules plastiques (suite)

pl,d = dx.d

h6,0

h6,0

sc

.

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,4 0,45

0

5

10

15

20

25

30

35

pl,d (mrad)

xu/d

classe B

classe C

<= C50/60

C90/105

<= C50/60C90/105


Rotules plastiques (suite)

• Rotation calculée s : clause 6.6.3 (3) « Il convient de déterminer s à partir des valeurs de calcul des actions et des propriétés des matériaux et à partir de la valeur moyenne de la précontrainte à l’instant considéré. »

Pour l’appui n° i d’une poutre continue, encadrée par deux travées Li et Li+1, nous supposerons que le moment résistant MRd,i, fonction de la section d’acier qui y a été disposé, est inférieur au moment calculé par l’équation des 3 moments MEd,i.

Soit Mi, la diminution de moment en résultant :

Mi = MEd,i – MRd,i

Pour une section constante, quand on applique un couple C sur l’appui gauche d’une travée simple, la

rotation vaut : = - IE3

LC sur cet appui et

IE6

LC sur l’autre appui.

Ainsi, on peut écrire la rotation s de la rotule sur l’appui i en fonction des diminutions de moments des trois

appuis : s = i

i1i

IE6

LM +

i

ii

IE3

LM +

1i

1ii

IE3

LM

+

1i

1i1i

IE6

LM


Prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant

Clause 5.1.1 (8) : « Dans les bâtiments, les déformations des éléments linéaires et des dalles dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent être négligés lorsque l’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10 % des déformations de flexion. » Équation des trois moments complétée :

(b1 - d1). Mo + (a2 + c1 + d1 + d2) . M1 + (b2 - d2 ) . M2 = -g + d

d1 = 11 'S.G.L

1 et d2 =

22 'S.G.L

1

Poutre continue à un nombre infini de travées identiques. Les coefficients d tous égaux et s’annulent. Il n’y pas d’influence des déformations d’effort tranchant sur le calcul des moments sur appuis.

Pour des sections rectangulaires, L2 / h2 > 19,2 (1 + ) → L / h arrondi à 5


Prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant (suite)

Poutre de 2 travées identiques Premier membre : M1 . (2 a + 2 d) au lieu de M . (2 a) avec l’équation simple car c1 = a2 = a et d1 = d2 = d.

Le moment sur appui est donc multiplié par = da

a

=

k1

1

avec k = a

d =

L

I.E3.

'S.G.L

1 =

'S.L

)1.(I62

Pour une section rectangulaire : k = )1.(L

h.6,0

2

2

Exemple : poutre-cloison h = L / 2

- moment sur appui sans tenir compte des déformations d’effort tranchant : 8

L.p 2.

En tenant compte des déformations dues à l’effort tranchant :

8

L.p 2 .

k1

1

avec k = 0,6 x 0,25 = 0,15 (avec h = 0,5 L et = 0),

soit -0,87 8

L.p 2

(-13 %)


Pour = 0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7L/h

j

Poutre-cloison : L/h < 3

Coefficient réducteur du moment sur appui : 2 pour 2 travées, 3 pour 3 travées identiques

Déformations non prises en compte si j < 0,10

Prise en compte des déformations dues à l’effort

tranchant (suite)


Comment réduire les moments

sur appuis des poutres en TéL’équation des 3 moments est démontrée en supposant les matériaux élastiques (rotations

élastiques et moments d’inertie)

Les moments sur appuis obtenus sont généralement supérieurs (en valeur absolue) aux moments maximaux en travée et conditionnent le dimensionnement des sections des poutres. Il en est a fortiori pour les poutres en Té

Si l’on veut limiter la hauteur des poutres pour des raisons de coût ou de gain de hauteur sur le bâtiment, on essaye de diminuer les moments sur appuis. On peut utiliser les méthodes suivantes :

• a) prise en compte des déformations d’effort tranchant § 5.1.1 (8) de l’EC2 • b) prise en compte des inerties variables des sections en Té en travées et des

sections rectangulaires dans les zones d’appui § 5.3.2.1 (4) de l’EC2• c) redistribution limitée des moments § 5.5 de l’EC2• d) méthode des rotules plastiques § 5.6 de l’EC2

Les méthodes a) et b) sont cumulables avec la méthode c) ou la méthode d).


Comment réduire les moments sur appuis des poutres en Té

(suite)Exemple. Poutre en Té de 2 travées identiques et identiquement chargées

Donnéesb = 3 mbw = 0,35 mh = 1,40 mhf = 0,15 mportée entre axes : L = 6 mcharge uniforme en ELU pEd = 680 kN/mbéton : fck = 25 MPa et acier : fyk = 500 MPabeff = 1,90 m : largeur efficace de table bw + 2 bi,eff

moment d’inertie de la section en Té : 0,14206 m4

d = 0,9 h = 1,26 mM0 = -p.L2 / 8 = -3,06 MNm : moment sur appui de base0 = M0 / (b.d2.fcd) = 0,330 : moment réduit correspondant

Redistribution impossible car o > 0,294


Comment réduire les moments sur appuis des poutres en Té

(suite)Moment sur appui en tenant compte des inerties différentes sur appui et en travée et des

déformations d'effort tranchantI1 = bw.h3 / 12 = 0,08003 m4 : inertie de la section rectangulaireI2 = 0,14206 m4 : inertie de la section brute en Té

Équation des 3 moments : (b1 – d1) . M1 + (a2 + c1 + d1 + d2) . M2 + (b2 – d2) . M3 = - g + d avec

a2 = c1 = L / (24E) . (3,087 / I1 + 4,913 / I2) = 18,289 pour E = 1b1 = b2 = 0d1 = d2 = 1 / (L.G.S’) = 2,76 / (bw.h.L.E) = 0,939

g = -d = p.L3 / (24E) . (0,1095 / I1 + 0,8905 / I2) = 46,735D’où : 2 (18,289 + 0,939) . M2 = -2 46,735 et M2 = -2,431 MNm

(diminution de 21 % du moment sur appui).Redistribution de moment selon EC2 § 5.5 : = 0,44 + 1,25 xu/davant = M / (bw.d2.fcd) = 2,431 / (0,35 1,262 16,7) = 0,2625 < 0,292 : on peut redistribuer

Tableau donne la valeur de en fonction du avant : = 0,8277D’où après = 0,8277 x 0,2625 = 0,2172

Maprès = après . bw . d2 . fcd = 2,012 MNm

Soit 66% du moment d’origine

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