Répartition de la dissipation Répartition de la dissipation visqueuse visqueuse dans un distributeur constructaldans un distributeur constructal

Daniel Tondeur, Lingai LuoDaniel Tondeur, Lingai LuoLSGC NancyLSGC NancyLOCIE ChambéryLOCIE Chambéry

ContenuContenu Répartition de la dissipation visqueuse Répartition de la dissipation visqueuse

dans un distributeur fractal dans un distributeur fractal dichotomique dichotomique (invariant d’échelle)(invariant d’échelle)

Equipartition d’échelleEquipartition d’échelle La notion de La notion de distribution constructaledistribution constructale, ,

caractéristique d’une structure multi-caractéristique d’une structure multi-échelleéchelle

Extension à un distributeur Extension à un distributeur quadrichotomiquequadrichotomique  invariant d’échelle  invariant d’échelle

Généralisation aux structures Généralisation aux structures «« covariantes d’échelle » covariantes d’échelle »

Un distributeur fractal

Les relations constitutives

Loi de perte de charge dans un canal de génération k

Dissipation totale dans la structure

Volume poreux

m

kkktot rlV

1

2

m

kp

rk

qkk

m

kkk

ktot r

lfapfD1

1

1

22

pk

rk

qk

k rlfap

Division des débits 2/1 kk ff

Longueur des canaux

m

kktot lL

1

OptimisationOptimisation On recherche une distribution optimale de diamètres On recherche une distribution optimale de diamètres

des canauxdes canaux

Des lois d’échelle constructales sont obtenues:Des lois d’échelle constructales sont obtenues:- en minimisant (par rapport aux rayons des canaux) - en minimisant (par rapport aux rayons des canaux) une fonction objectif (e.g., la dissipation totale) une fonction objectif (e.g., la dissipation totale)- sous contraintes de finitude (e.g., de volume - sous contraintes de finitude (e.g., de volume poreux total et de longueurs des canaux)poreux total et de longueurs des canaux)- puis en exprimant les rapports de grandeurs aux - puis en exprimant les rapports de grandeurs aux échelles successiveséchelles successives

Méthode des multiplicateurs de LagrangeMéthode des multiplicateurs de Lagrange

tottottotktottottot LVDrMinLetVàsujetDMin 21/)(

Cas particuliers

si r =1 : la loi d’échelle des rayons devient indépendante de la loi d’échelle des longueurs si r=1 et q=(p-1)/3 p.ex.Poiseuille (p=4, q=1)

31

1

2k

k

rrLoi de Murray (1926)

p

k

k

r

k

kq

k

k

k

k

rr

ll

DD

pp

1111

2

21

1

21

1

2

pr

k

kpq

k

k

ll

rr

Solutions explicites exprimées à l’aide de la « distribution constructale » (m

)(22

mLVr

kb

tot

totk

)()(8)(2

3

02/

21

0 PoiseuilleV

LfVLfAP

tot

totp

tot

p

totqtot

)21(212122)( )(

1

)1(

bmmm

m

k tot

kbk

Llm

Exemple de la forme de la distribution constructale dans le cas d’invariance d’échelle des rapports de longueurs:

21

te

k

k Cll

)(32

212 Poiseuille

pqb

La distribution constructaleLa distribution constructale (m)(m) Toutes les grandeurs caractérisant la structure Toutes les grandeurs caractérisant la structure

optimiséeoptimisée s’expriment à l’aide de cette s’expriment à l’aide de cette distribution adimensionnelledistribution adimensionnelle

Elle regroupe tous les termes qui dépendent de Elle regroupe tous les termes qui dépendent de l’indice d’échelle kl’indice d’échelle k

Leur sommation (série géométrique) conduit à Leur sommation (série géométrique) conduit à une fonction discrète (distribution) du nombre une fonction discrète (distribution) du nombre total d’échelles mtotal d’échelles m

La forme de cette distribution est La forme de cette distribution est caractéristique caractéristique de la topologie de l’arborescencede la topologie de l’arborescence (nombre de (nombre de divisions et facteurs d’échelle des longueurs) divisions et facteurs d’échelle des longueurs) mais les exposants contiennent les exposants mais les exposants contiennent les exposants de la loi d’écoulementde la loi d’écoulement

1111

k

k

k

k

k

k

VV

DD

pp

te

k

k

k

k Crr

ll

11

Equipartitions d’échelle

Cas particulier « fractal »: les rapports d’échelle des rayons et des longueurs

sont invariants et égaux

Les pertes de charge, les dissipations, les volumes sont invariants d’échelle

Un distributeur quadrichotomique

nk = 4k l1 /L= √2/4 lk/lk+1 =2 fk/fk+1 = 4 fk = f0/4k

bpq

k

k

k

k

b

k

kbb

k

k

DD

pp

VV

rr

12

11

12

1

2

1

2

2;24

]12[2212244)(

)21(

)21(

1

2/1)21(

1

2/1)1(

1

)1(4

b

bmm

k

bkm

k

kbkm

k

kbk

Llm

2/

21

40

4

2 )(2;4p

tot

p

totqtot

bk

tot

totk V

LfAPL

Vr

tot

tot

k

k

k

k

k

k

k

k

VD

VD

VD

vd

vd

1

1

1

1

La quadrichotomie introduit un facteur 4Il n’y a pas d’invariance

Mais une équipartition plus générale apparaît

3

4 2172.2)(m

PoiseuilleLa distribution constructale joue le même rôle que précédemmentmais est différente

Une arborescence dichotomique non monotone

)(2

)(2

23

22

k impair Ll

k pair L l

kk

kk

22

k

k

ll

nk = 2k

1

23

)1(22

)1(

1

)1( 22222)(m

impairk

kbk

m

pairk

kbk

m

k

kbk

Llm

)21(527.121

2222

121

21

21

21

)21(924.121

2222

121

21

21

21

6

31

31

68

35

6/)8(3/83/73/63/5

6

31

31

66

34

6/)6(3/73/63/53/4

mm

mimpair

mm

mpair

La distribution constructale est constituée de 2 séries géométriquesque l’on peut sommer séparément

Cas de Poiseuille

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 5 10 15 20 25

Représentation de ladistribution constructale en fonction du nombre d’échelles m

)()()(2' 11

mkk

VV

totalporeuxvolumekàjusqucumulévolume b

tot

Distribution de fractions volumiques pour m = 8

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8

Indice d'échelle k

Frac

tion

volu

miq

ue

de la

clas

se k

Distribution des volumes poreux

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Indice d'échelle k

Volu

me c

umul

é

Les distributions de volumes poreux, de perte de charge et de dissipation sont identiques

L’équipartition des dissipations par unité de volume est satisfaite

ConclusionsConclusions Les distributeurs arborescents optimisés Les distributeurs arborescents optimisés

constructalement obéissent à constructalement obéissent à l’équipartition des densités l’équipartition des densités

volumiques volumiques de dissipationde dissipation

Ces structures sont caractérisées par une Ces structures sont caractérisées par une « « distribution constructaledistribution constructale » dont la forme est  » dont la forme est fonction de la topologie et les exposants, de la fonction de la topologie et les exposants, de la loi d’écoulement et de la loi d’échelle des loi d’écoulement et de la loi d’échelle des longueurs de canauxlongueurs de canaux

La distribution constructale permet de La distribution constructale permet de représenter toutes les propriétés de représenter toutes les propriétés de l’arborescencel’arborescence, comme la distribution en , comme la distribution en échelles des volumes poreux et des dissipationséchelles des volumes poreux et des dissipations

FIN DE LA FIN DE LA PRESENTATIONPRESENTATION