Remise à niveau 1 : CALCUL · 2018. 1. 23. · 1 1 12 3 4 5 1 4 3 12 12 12 12 − − = − − =....

____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – Tremplin – Mathématiques – RAN 1 Calcul - ExCorr – Rev2018 – page 1 sur 22

Départements tertiaires

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau 1 : CALCUL ________

CORRIGES DES EXERCICES

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* EX 1.1. Soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ Compléter le tableau suivant :

v.a. par défaut arrondi v.a. par excès

à l’unité 1 2 2

à 0,1 près 1,7 1,7 1,8

à 0,01 près 1,71 1,71 1,72

à 0,001 près 1,714 1,714 1,715

* EX 1.2. QCM : Quelles sont les valeurs approchées à 0,01 près de 11/15 ? a. 0,72 b. 0,733 c. 0,734 d. 1 e. 0,73

* EX 1.3. Encadrer les réels a, b, c sachant que : 5,784 approche a par défaut à 10-3 près. 5,784 ≤ a ≤ 5,785 3,20 approche b par défaut à 5.10-3 près. 3,200 ≤ b ≤ 3,205 2,156 approche c par excès à 4.10-4 près. 2,1556 ≤ c ≤ 2,1560

* EX 1.4. Soit le nombre a = 2,7091. Donnez sa valeur approchée ... a) Par défaut à 0,001 près b) Par excès à 0,01 près c) Par défaut à 0,1 près

2,709 2,71 2,7

* EX 1.5. a) Donner la valeur approchée par défaut de 3,14159265 à 0,01 près. 3,14 b) Donner la valeur approchée par excès de 1,61803399 à 0,001 près. 1,619 c) Donner un encadrement de 1,414213 à 0,0001 près. 1,4142 < 1,414213 < 1,4143 d) Multiplier le nombre donné à la question a) par celui donné à la question c) et donner

l'encadrement du résultat à 0,01 près. 5,08 < 3,14159265 × 1,61803399 < 5,09

* EX 1.6. QCM

1) Le nombre 15

8 : a. est égal à 1,875 b. a pour valeur approchée 1,88 à 0,01 près

c. est égal à 30

16 d. est égal à 1,87500

2) Le nombre 10

3 : a. est égal à 3,333333333 b. est égal à

30

9

c. est égal à 3,333 d. a pour valeur approchée 3,333 à 0,001 près * EX 1.7. QCM

a. Qui est égal à (-2) + (-3) ? -5 5 -1 (-2) – 3 (-2) – (-3) b. Quels calculs ont pour résultat 0 ? 7 – 7 × 0 8 – 4 + 4 6 – 6 × 2 3×(2 – 2) 1 – 1 + 1 – 1

c. Lesquels ont pour résultat 10 ? 2 + 3 × 2 20 – 5 – 5 1 + 3 × 3 8 – 2 + 4 40 ÷ 2 × 2 d. Lesquels sont égaux ? 3×2×(7-3) 4×(7-5)×3 6 + 6 × 2 30 – 4 + 2 24 – (1-1)×2 e. Lesquels sont égaux ? 9 - 2×(3-1) 9-2×3-2 9-2×3+2 (2+7) – 2 × 2 2×(7-2)

f. Lesquels sont égaux ? 7×5-7×2 7×6-7×4 7×(10-7) 40÷(5-3) 7+3×2+8

* EX 1.8. Calculer… a. 6247 divisé par 10 = 624,7 b. 6247 multiplié par 10 = 62470 c. 0,083 divisé par 10 = 0,0083 d. 0,083 multiplié par 10 = 0,83 e. 72 multiplié par 5 = 36×10 = 360 f. 72 divisé par 5 = 144/10 = 14,4 g. 72 multiplié par 0,25 = 72/4 = 18 h. 72 divisé par 0,25 = 72×4 = 288 i. 12 multiplié par 25 = 12/4×100 = 300 j. 12 divisé par 25 = 12×4/100 = 0,48 k. 36 multiplié par 2,5 = 36/4×10 = 90 l. 36 divisé par 2,5 = 36×4/10 = 14,4

* EX 1.9. Convertir… a. 2 h 40 min en heures = 2h + 40/60 h = 2h + 2/3 h = 8/3 h b. 2 h 40 min en minutes = 2×60 min + 40 min = 160 min c. 7 minutes et 40 secondes en minutes = 7 min + 40/60 min = 7 min + 2/3 min = 23/3 min d. 7 min 40 sec en secondes = 7×60 sec + 40 sec = 460 sec


e. 3,75 heures en h-min = 3 h + 0,75×60 min = 3h 45 min f. 140 minutes en heures = 120 min + 20 min = 2 h + 1/3 h = 7/3 h

* EX 1.10. Soit x < y . Compléter par < ou > a. 2x < 2y b. -7x > -7y c. -2x + 5 > -2y + 5

* EX 1.11. QCM a. Lesquels sont entre -3 et -2 ? -2,5 -3,5 -1,5 -2,6 -3,01 b. Si a est négatif, alors a ≤ -a a ≥ -a -a ≤ 0 -a ≥ 0 -(-a) ≤ 0 c. Si a ≤ b, alors -a ≤ -b -a ≥ -b b – a ≥ 0 b – a ≤ 0 a – b ≤ 0 d. 5(3x -2) ≤ x +4 est vrai pour x = 3/4 7/5 -10 1 -1/7 e. -0,5x – 3/2 < x + 5/2 est vrai pour x = 8/3 1 0 -3 -8/3

f. L’intervalle [-2 ; +∞[ représente : 4x ≤ 8 14 + 2x ≥ 7x -2x ≥ 0 6x ≥ 3(2 - x) 2x ≤ 6+5x g. Ces nombres sont-ils solution de 3x-2 > x+4 ? -1 0 3 5 10/3

* EX 1.12.

a. Trouver un encadrement pour x + y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2]. x + y est minimal lorsque x est minimal et y minimal : 4 + 1 = 5 x + y est maximal lorsque x est maximal et y maximal : 6 + 2 = 8 5 ≤ x + y ≤ 8

b. Trouver un encadrement pour x − y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

x − y est minimal lorsque x est minimal et y maximal : 4 – 2 = 2

x − y est maximal lorsque x est maximal et y minimal : 6 – 1 = 5 2 ≤ x − y ≤ 5

* EX 1.13. QCM 1) x étant un nombre réel, si 2x ≥ , alors :

a. 1 1

2x≥

b.

1 1

2x≤ − c.

1 10

2x< ≤ d.

1 1

2x< .

2) x étant un nombre réel, si 4x ≤ − , alors :

a. 2 16x ≤ b. 2 16x ≤ − c. 2 16x ≥ d. 20 16x≤ ≤ .

* EX 1.14. Un agriculteur possède un champ rectangulaire dont il décide de mesurer la longueur L et la largeur l. Il sait que pour chacune de ces deux mesures il aura une incertitude de 1m. Ainsi, il sait que L est comprise entre 245 et 246 mètres, et que l est comprise entre 82 et 83 mètres. a) Donner un encadrement pour la valeur du périmètre de ce champ (somme des longueurs des quatre côtés). au minimum : 245+245+82+82 = 654 m ; au maximum : 246+246+83+83 = 658 m b) Quelle est la valeur de l'incertitude sur la mesure de ce périmètre ? l’incertitude est donc de 4 m. c) Donner un encadrement pour la valeur de l'aire de ce champ, et en déduire la valeur de l'incertitude sur celle-ci. au minimum : 245×82 = 20090 m² ; au maximum : 246×83 = 20418 m². l’incertitude est ici de 328 m².

* EX 1.15. Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne. littérale décimale fractionnaire pourcentage

un dixième

un cinquième

un quart

un demi

deux tiers

trois quarts

un

cinq quarts

0,1

0,2

0,25

0,5

0,66666…

0,75

1

1,25

1

10

1

4

2

3

5

4

1

5

1

2

3

4

10 %

20 %

25 %

50 %

66,67%

75 %

100 %

125 %


* EX 1.16. Traduire les expressions suivantes en un calcul, puis donner le résultat a. Les trois quarts de 10 b. Le quart du tiers c. Les deux cinquièmes de la moitié d. La moitié des deux cinquièmes

a. 3÷4 × 10 = 7,5 b. 1÷3 × 1÷4 = 1÷12 c. 2÷5 × 1÷2 = 1÷5 d. 1÷2 × 2÷5 = 1÷5

* EX 1.17. Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.

; , ; , ; ;

,

% % % ; % % % % , ;

% % % , ; % % % ; % % %

1 3 4 1 3 5 9 1 1 2 1 3 3 1 21 0 9 0 75 1

4 4 4 10 10 10 10 2 4 4 4 4 2 2 2

2 1 4 1 50 5

5 10 10 10 10

1 3 1 3 525 75 100 1 10 30 50 90 0 9

4 4 10 10 10

1 1 3 1 2 150 25 75 0 75 150 50 100 1 40 10 50

2 4 2 2 5 10

+ = = + + = = + = + = = − = =

+ = + = =

+ = + = = + + = + + = =

+ = + = = − = − = = + = + = ,

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

0 5

2 6 2 3 6 2 3 27 9 27 2 18 9 183 2 9 3 9 6 2 6

9 9 3 9 9 3 2 2 2 2 3 3 3 3

1 5 31 2 1 5 4 5 3 9 27 3 1 3 11 1 21 2 5 20 31 1 21 2 2 1 4 4 2 2 9 2 9 18 6

2 4 9

=

× = = × = = × = × = × = = × = =

= × = = = × = = = × = = × = =

* EX 1.18. Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est attribué à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?

La part du troisième enfant est, en fraction du tout : 1 1 12 3 4 5

14 3 12 12 12 12

− − = − − = .

Les cinq douzièmes de l’héritage (notons-le x) valent donc 20 000 €.

Traduction : 5

2000012

x = , ce qui donne : 12

20000 48000 €5

x = × = .

* EX 1.19. Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre :

a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?

Oui, on multiplie les valeurs de la première ligne par 12 pour obtenir celles de la deuxième.

b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail. 85,5 × 12 = 1026 €

c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en

heures minutes. 1755/12 = 146,25 h = 146 h 15 min

* EX 1.20. Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.

Calculer la part de chacun.

Paul : 75000 × 94/200 = 35250 € ; François : 75000 × 61/200 = 22875 € ; Marc : 75000 × 45/200 = 16875 €.

* EX 1.21. Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €.

Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.

Temps (h) 1 10 50

Salaire (€) 12 120 600


Chaque vendeur reçoit une certaine fraction k de ses ventes. Prime du vendeur A : k×12000, du vendeur B : k×8000, du vendeur C : k×11000. "le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A" se traduit par " k×12000 = k×8000 + 200", soit : k×4000 = 200, soit : k = 0,05 = 5%. Prime du vendeur A : 600 €, du vendeur B : 400 €, du vendeur C : 550 €

* EX 1.22. Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 49 42 1 7/5 63

10 25 35 30 5/7 1 45

* EX 1.23. Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

Pour les tableaux à quatre cases, on vérifiera si les produits en croix sont égaux.

a. 5×20 = 2×50 = 100 OK b. 2×20 ≠ 1×10 NON c. 34×5,5 = 22×8,5 = 187 OK d. 2×50 = 5×20 = 100 OK

Pour le dernier tableau, on préférera vérifier l’égalité des rapports:

e. 14÷2 = 28÷4 = 70÷10 = 140÷20 = 350÷50 = 7 OK

* EX 1.24. On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux. On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m). a) Quelle sera l'échelle de la maquette ?

0,30 m / 300 m = 1 m / 1000 m. Échelle : 1/1000e

b) Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ?

12 km / 1000 = 12 m

c) Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité

de 55m × 50m × 20m ?

En divisant par 1000, on obtient 5,5 cm x 5 cm x 2 cm.

d) La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et

maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?

Réalité : diamètre = 200 m ; aire = πxr² ≈ 3,14 x 100² = 31 400 m²

Maquette : diamètre = 0,2 m ; aire = πxr² ≈ 3,14 x 0,1² = 0,0314 m² Si les dimensions de la maquettes sont 1 000 fois plus petites que la réalité, on constate que l’aire est un million de fois plus faible. Cela est dû au fait que le calcul d’une aire implique le produit d’une dimension par une dimension (ici : r² = r x r). Le facteur 1 000 est donc lui aussi multiplié par lui-même, et 1 000 x 1 000 = 1 000 000 !

* EX 1.25. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a) Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

Construisons un tableau pour plus de sécurité :

masse (g) 0,45 0,693 Les deux dernières lignes étant proportionnelles, un produit en croix donne la valeur inconnue.

carré de la masse (g²) 0,2025 0,48025

prix (€) 3 000 7114,8

b) Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?

masse (g) 0,45 1,423

carré de la masse (g²) 0,2025 2,025

prix (€) 3 000 30 000


* EX 1.26. Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2006, 2,12 €/kg en 2007, 1,53 €/kg en 2008. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2006, calculer les indices du cours en 2007 et 2008.

On réalise un tableau de proportion, en plaçant la valeur 1000 en face de 1,84 ; ensuite, on calcule les autres indices par produits en croix :

coût (€) 1,84 2,12 1,53

indice 1000 1152,2 831,5

* EX 1.27. Une usine de métallurgie produit les quantités d'acier ci-dessous (en kilotonnes) :

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170

1) Donner les indices de production en prenant pour base 100 celle de 2007.

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

quantité (kt) 850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170

indice 100,0 108,2 129,4 117,6 120,0 141,2 147,1 158,8 152,9 137,6

2) Quels sont les pourcentages de variation de 2007 à 2010 ? de 2010 à 2015 ?

De 2007 à 2010, l’indice a augmenté de 100 à 117,6, soit 17,6% d’augmentation. De 2010 à 2015, la quantité a augmenté de 1000 à 1300, soit 30% d’augmentation.

* EX 1.28. Dans chaque cas, on donne deux points E et F. On donne une coordonnée d’un point M aligné avec E et F, il s’agit de trouver l’autre !

Dans tous les cas, la relation − −=− −

M E F E

M E F E

y y y y

x x x x est valable. Il suffit de l’appliquer.

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?)

8 81 8 7 14 14 108 8

4 2 5 2 2 3 3 3 3

− −− − −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − =− −

M M

M M

y yy y

(on peut remarquer que l’abscisse de M, 4, se trouve aux deux tiers de l’intervalle d’abscisses du segment [EF] : [2 ; 5]. L’ordonnée de M est donc forcément aux deux tiers de l’intervalle d’ordonnées de [EF] : [8 ; 1], dont l’amplitude est 7, c’est à dire yM = 8 – 2/3×7, d’où yM = 10/3)

b. E(-3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6)

36 2 4 2 4 2 63 3 12 9

3 3 3 3 6 4 2

+− −= ⇔ = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =+ + +

M

M M

M M

xx x

x x

(on peut remarquer que l’enchaînement des ordonnées de E, F, M étant 2, 4, 6, soit une variation constant de +2, on doit forcément avoir une variation constante des abscisses dans le même ordre E, F, M. C’est le cas, puisqu’on a -3, 3, 9, soit une variation constante d’abscisses de +6)

c. E(6 ; 1), F(3 ; -8), M(4 ; ?)

1 18 1 93 1 6 5

4 6 3 6 2 3

− −− − −= ⇔ = = ⇔ − = − ⇔ = −− − − −

M M

M M

y yy y

(on peut remarquer que l’abscisse de M, 4, se trouve aux deux tiers de l’intervalle d’abscisses du segment [EF] : [6 ; 3]. L’ordonnée de M est donc forcément aux deux tiers de l’intervalle d’ordonnées de [EF] : [1 ; -8], dont l’amplitude est 9, c’est à dire yM = 1 – 2/3×9, d’où yM = -5)

* EX 1.29. interpolation Le barème de l'impôt sur le revenu pour une famille composée de 2 adultes et de 2 enfants est défini de la façon suivante :

impôt de 0 € pour la tranche de revenu comprise entre 0 € et 20000 €. Puis, pour un revenu allant de

20000 € à 40000 €, croissance linéaire de l'impôt de 0 € à 2000 €. Puis, pour un revenu allant de

40000 € à 80000 €, croissance linéaire de l'impôt de 2000 € à 12000 €.

(ce barème n'est pas réel, il a été simplifié pour la clarté de l'exercice)

1) Représenter graphiquement l'impôt (en ordonnées) en fonction du revenu (en abscisses).


2) Par lecture graphique, donnez le montant de l'impôt pour une famille dont le revenu se monte à

30000 €, puis pour une famille dont le revenu se monte à 50000 €.

Les impôts lus graphiquement se montent respectivement à 1000 € et 4500 €.

3) Déterminer les deux impôts précédents par le calcul, sans utiliser le graphique.

Utilisons le point de départ d'une tranche considérée, puis la pente à l'intérieur de cette tranche, c’est-à-dire le taux d'augmentation de l'impôt en fonction de l'augmentation du revenu : Pour un revenu de 30000 €, la tranche est [20000 ; 40000], dont le point de départ est un impôt de 0 € pour un revenu de 20000 € et dont la pente est de 2000 € d'impôt supplémentaire pour 20000 € de revenu supplémentaire, soit une pente de 0,1 € d'impôt par € de revenu supplémentaire. L'impôt sur un revenu de 30000 € est alors égal à 0 € + 0,1 × 10000 € = 1000 € (les 10000 € représentent le passage de 20000 € à 30000 €). Pour un revenu de 50000 €, la tranche est [40000 ; 80000], dont le point de départ est un impôt de 2000 € pour un revenu de 40000 € et dont la pente est de 10000 € d'impôt supplémentaire pour 40000 € de revenu supplémentaire, soit une pente de 0,25 € d'impôt par € de revenu supplémentaire. L'impôt sur un revenu de 50000 € est alors égal à 2000 € + 0,25 × 10000 € = 4500 € (les 10000 € représentent le passage de 40000 € à 50000 €).

* EX 1.30. extrapolation Laëtitia Assamémèr a reçu deux factures téléphoniques : une première facture se montant à 45 € pour 10 heures de communications ; une deuxième facture se montant à 85 € pour 30 heures de communications ;

Elle sait que depuis, elle a téléphoné 40 heures en tout et voudrait connaître le montant de sa future facture. 1) Le montant de la facture est-il proportionnel au temps passé en communications téléphoniques ? Non, les listes (10, 30) et (45, 85) ne sont pas proportionnelles. Plus concrètement : elle a passé trois

fois plus de temps dans la seconde période que dans la première, mais elle n’a pas payé trois fois

plus cher.


2) Représentez graphiquement les informations données par les deux premières factures. On appellera x - en abscisses - les temps de communication, en heures ; échelle : 1 cm pour 4 heures. On appellera f (x) - en ordonnées - les montants des factures, en € ; échelle : 1 cm pour 10 €.

3) Soit l'information suivante : l'augmentation du montant de la facture est proportionnelle à

l'augmentation du temps de communications. Ainsi, le montant de la facture croît linéairement en fonction de la durée totale de communications. a. Compléter alors la représentation graphique précédente. voir droite b. Lire sur le graphique le montant de la future facture de Laëtitia. 105 € c. Proposer une méthode pour calculer ce montant.

Analysons les différences entre les deux premières factures : de l’une à l’autre, elle a utilisé son téléphone pendant 20 heures de plus, et elle a payé 40 € de plus. On en déduit que le coût de la communication se monte à 2 € / heure. Pour 40 heures de communication, le temps dépasse de 10 heures celui de la dernière facture, soit d'un montant de 20 €. 85 + 20 = 105. On peut aussi déterminer une formule générale permettant de calculer directement le montant f (x) de la facture quelle que soit la durée x de communication : on sait déjà que le coût de la communication est de 2 € / heure. Retirons donc 20 € au montant de la première facture (donc ses 10 h de communication) ; il reste un montant de 25 €, qui est donc un tarif fixe hors communication. Ainsi, f (x) = 2x + 25.

* EX 1.31. Calculer :

a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. 25/30 × 100 ≈ 83,33 b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50. 30/50 × 100 = 60 c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. 25/50 × 100 = 50 d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25. 30/25 × 100 = 120

* EX 1.32. Lu dans la presse... où tout est relatif... Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de

22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population Niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?

66,3% de 22,71% des Niçois inscrits, soit 0,663 × 0,2271 ≈ 0,1506 = 15,06%


* EX 1.33. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?

Notons S la masse de matière sèche du champignon, invariable. Lorsque l’eau ne représente que 30% de la masse, les champignons pèsent 1,5 kg. Donc S représente 70% de 1,5 kg, soit 1,05 kg. Lorsque les champignons sont frais, S représente seulement 10% de la masse totale. Cette dernière vaut donc 10 × 1,05 = 10,5 kg.

* EX 1.34. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'œuvre et 40 % pour le tissu et les boutons. Pour cette nouvelle année, la main d'œuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %. a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? L’augmentation totale vaut 10% de 60% de l’ancien prix, plus 30% de 40% de l’ancien prix, soit 6%+12% = 18% de l’ancien prix. b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ? Partons d’un prix de base de 100 €, dont 60 € de main d’œuvre et 40 € de matériaux. Après variation, la main d’œuvre revient à 1,10 × 60 = 66 € et les matériaux à 1,30 × 40 = 52 €, pour un prix total de 66 + 52 = 118 €. Le nouveau taux de la main d’œuvre est alors 66/118 = 55,93 % et celui des matériaux 44,07 %.

* EX 1.35. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€) 0,68 0,48 1,44 1,12 0,56

a) Compléter ce tableau de valeurs grâce au pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de

proportionnalité.

Oui, avec un coefficient de 0,8 de la première vers la deuxième ligne

c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce

tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.


d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux

questions suivantes :

d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ? 0,8 €

d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ? 1,25 €

* EX 1.36. Calculer les taux de variation dans les cas suivants :

prix initial prix après variation Taux

taux de variation =

variation / valeur initiale

120 € 114 € -5 %

120 € 126 € +5 %

120 € 60 € -50 %

120 € 240 € +100 %

* EX 1.37. QCM : 1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :

a. On multiplie les anciens par 15/100 FAUX b. On soustrait 15/100 aux anciens prix FAUX c. On multiplie les anciens prix par 0,85 VRAI

2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :

a. On multiplie les anciens par 15/100 FAUX b. On ajoute 15/100 aux anciens prix FAUX c. On multiplie les anciens prix par 1,15 VRAI

* EX 1.38. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine

bimensuel (deux éditions par mois) : Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €. Deuxième

formule : Abonnement d'1 an pour 43 €. Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 3 €,

calculer les taux de réduction consentis dans ces deux formules.

Première formule : 24 € au lieu de 3 € × 12 numéros = 36 €. Taux réduction = -12 / 36 = -33,33 %. Deuxième formule : 43 € au lieu de 3 € × 24 numéros = 72 €. Taux réduction = -29 / 72 = -40,28 %.

* EX 1.39. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la

période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même

quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

Notons Q la quantité vendue et P le prix de vente à l'unité, hors soldes. On a : Q×0,8P = 15000.

Donc le chiffre d'affaires qu'il aurait réalisé sans soldes, Q×P, vaut 15000÷0,8 = 18750 €. Si les soldes avaient été de 30% : Q×0,7P = 0,7×18750 = 13125 €.

* EX 1.40. Une marchandise dont le prix est 1600 € subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

Prix final : 1 600 × 1,15 × 1,05 = 1 932 €. Taux de variation : 332 / 1 600 = 20,75 %.

* EX 1.41. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez TOTO

Ici, 20 % de produit en

plus !

Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ? On suppose que, hors promotion, les prix pratiqués sont les mêmes d’un magasin à l’autre. Soit P le prix unitaire (par exemple : au kg) pratiqué hors promotion. Traduisons ce que disent les affichages : Chez Jules, pour P €, on peut acheter 1,2 kg. La marchandise revient donc à P/1,2 €/kg. Chez Toto, 1 kg coûtera 0,8×P €. Le kg de marchandise sera moins cher chez Toto. En effet : 0,8P < P/1,2 (tout simplement parce que 0,8 < 1/1,2 !).


* EX 1.42. Production d'olives 25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive. a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ? Oui, on peut supposer que le double d’olives donnera le double d’huile d’olive…

b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de proportionnalité. Pour 1 kg d’olives, on fabrique 17,5 / 25 = 0,7 litre d’huile

La récolte a été cette année de 125 kg d'olives. c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ? 0,7 × 125 = 87,5 litres d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ? 5 e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ? oui : 87,5 / 17,5 = 5 L'année suivante, la récolte est de 150 kg. f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile. Produit en croix : 17,5 × 150 / 25 = 105 litres ; avec le coefficient : 150 × 0,7 = 105.

g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ? 125 / 150 = 83,33 %

h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ? variation / valeur initiale = 25 / 125 = 20 %

* EX 1.43. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

La quantité a été multipliée par 1,4 et le prix unitaire par 0,7. Le CA a donc été multiplié par 1,4×0,7 = 0,98. Il y a eu une perte de 2 % du chiffre d’affaires.

* EX 1.44. Calculer sans calculatrice :

a. (2) + (-5) - 6 - (-12) = 3 b. (4 - 7)×(-3) + (-2+1)×(-1+2) = 8 c. , ,

,

2 2 3 3

4 4

+ ,1 25=

* EX 1.45. Donner l'écriture littérale, pour deux nombres a et b, de : a) La somme de leurs doubles : 2a + 2b b) Le double de leur somme : 2(a + b) c) La différence de leurs carrés : a² - b² d) Le carré de leur différence : (a – b)²

* EX 1.46. Calculer sans calculatrice, puis avec :

a. 5 + 3×4 = 17 b. 4 – 2×3 = -2 c. 4×(3 + 2) = 20 d. ++

3 5

7 3 = 0,8 e. 2×5² = 50

* EX 1.47. On donne l'expression suivante : A = (a - 1)×(-3a + 5). a. Calculer A pour a = -2, puis pour a = 3, pour a = 0 et pour a = 10. dans l'ordre : -33, -8, -5, -225 b. A augmente-t-il… : - Lorsque a augmente ? Lorsque a diminue ? ni l'un ni l'autre

* EX 1.48.

a. Calculer A = 2a + 1

a +

a

2a + 1 lorsque a =

2

3

A = (4/3 + 1)/(2/3) + (2/3)/(4/3 + 1) = (7/3)×(3/2) + (2/3)×(3/7) = 21/6 + 6/21 = 159/42

b. Calculer B = 4a - 3 × 3a + 5

2 - a lorsque a = -2

B = -8 - 3×(-1)/4 = -8 + 3/4 = -29/4

* EX 1.49. QCM : si =−3

5m

m, alors…

a. − = −5 3m m b. − =5

3m

m c. = −3 5m m d. m = 6 e. − = 3

5mm

* EX 1.50. Le volume d’un tonneau est donné approximativement par la formule : 2

V4 2

h D dπ + =

où h est la hauteur du tonneau, d le diamètre de ses bases et D celui de son milieu (D > d).


1) Calculer le volume (en litres) d’un tonneau dont les dimensions sont :

h = 80 cm ; D = 60 cm ; d = 40 cm

Un volume s’obtient en litres (L) si les dimensions sont données en décimètres (dm), car 1L = 1 dm3.

,2

28 6 4V 2 5 2 25 50 157 08 L

4 2

π + = = π× = π× = π ≈

2) Proposer des valeurs pour les diamètres D et d d’un tonneau dont la hauteur h vaut 1 mètre et

dont la contenance est 200 litres.

On veut :

( ) ( ) ( ) , ,

2 2 2

22 2

10V 200 10 800 80

4 2 2 2

80 320 101 86 10 14

D d D d D d

D dD d D d D d

π + + + = = ⇔ π = ⇔ π =

+⇔ π = ⇔ π + = ⇔ + ≈ ⇔ + ≈

On peut alors proposer D = 6 dm = 60 cm avec d = 4,1 dm = 41 cm.

* EX 1.51. Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous

a. 3 + (x + 5) = 3 + x + 5 = x + 8 b. 5x × (3x+4) = 15x² + 20x c. (x+4) × 5 = 5x + 20 d. - ( a + b ) = -a – b e. ( - b ) - a = -b – a = -a – b f. - ( - a ) + ( - b ) = a – b g. ( - a ) × b + ( - 2 ) = -ab – 2 h. A = (a - b)(b - c) - 2(b - a)(c + b) - (-a - b)(c + b) = ab – ac – b² + c – 2bc – 2b² + 2ac + 2ab + ac + ab + bc + b² = -2b² + 4ab + 2ac – bc + c i. 4x – (5x-2) = 4x – 5x + 2 = -x + 2 j. (3x - 5)(2x + 1) - 2(x + 1)(-x + 3) = 6x² + 3x – 10x – 5 + 2x² - 6x + 2x – 6 = 8x² - 11x – 11 k. (2x + 1)(x - 2)(x - 7) = (2x + 1)(x² - 7x – 2x + 14) = 2x3 – 18x² + 28x + x² - 9x + 14 = 2x3 – 17x² + 19x + 14 l. 3(x + 2y - 5z) - 2(4x - y - 3z) = 3x + 6y – 15z – 8x + 2y + 6z = -5x + 8y – 9z

* EX 1.52. Calculer la valeur numérique pour x = -2 de : A = 2(x + 1)(-2x + 3) - 3(x + 1)(4x - 2) A = 2×(-1)×7 - 3×(-1)×(-10) = -14 – 30 = -44 Effectuer le même calcul en utilisant la forme développée, réduite et ordonnée de A. Conclusion.

A = 2(x + 1)(-2x + 3) - 3(x + 1)(4x - 2) = -4x² + 6x – 4x + 6 – 12x² + 6x – 12x + 6 = -16x² - 4x + 12

Pour x = -2, A = -16×2² - 4×(-2) + 12 = -64 + 8 + 12 = -44. On retrouve notre résultat.

* EX 1.53. Soient les polynômes P(x) et Q(x) définis par : P(x) = x² + 3x - 5 et Q(x) = 3x³ - 4x² + 2x - 7.

Déterminer P+Q et 2PQ.

P+Q(x) = 3x³ - 3x² + 5x - 12. 2PQ(x) = 2(x² + 3x - 5)( 3x³ - 4x² + 2x - 7) = 2(3x5 – 4x4 + 2x3 – 7x² + 9x4 – 12x3 + 6x² - 21x -15x³ + 20x² - 10x + 35)

* EX 1.54. Factoriser les expressions suivantes : a. (x – 3)(x + 7) – (2x – 7)(x – 3) = (x – 3)[(x + 7) – (2x – 7)] = (x – 3)(x + 7 - 2x + 7) = (x – 3)(-x + 14) b. -5x + 2x² = x(-5 + 2x) c. x(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x - 2) d. (x - 1)(3x + 2) + 2x(1 - x) = (x - 1)(3x + 2) - 2x(x - 1) = (x - 1)(3x + 2 - 2x) = (x - 1)(x + 2) e. (x + 3)(x + 2) + x² - 9 = (x + 3)(x + 2) + (x + 3)(x - 3) = (x + 3)(x + 2 + x - 3) = (x + 3)(2x - 1)

* EX 1.55. QCM : a étant un nombre réel, 2

32

a +− =

a. 3 a− b. 5

2

a− c. 1

2

a− d. 4

2

a− e. 4

2

a− f. 22

a−

* EX 1.56. QCM : a étant un nombre réel, 2

83

a a× =

a. 16

3a b. 210

3a c.

26

3a d. 216

3a e. 216

24a


* EX 1.57. QCM : a et b étant deux nombres réels tels que 1

3b ≠ − ,

3 6

3 9

a

b

+ =+

a. 2

3

a

b b.

1 2

1 3

a

b

++

c. 3

4

a

b d.

21

3

a

b+ e.

9

12

a

b

* EX 1.58. QCM

a. Si x ≤ x', alors � x2 ≤ x'2 � x2 ≥ x'2 � on ne sait pas b. Pour x = -3, le nombre -2x² vaut � -12 � -18 � 18 c. L'équation x² = 1/x a pour solution � x = 1 � x = 2 � x = -1

* EX 1.59. Traduire des phrases par des expressions littérales : a. Le carré de tout nombre est égal à celui de son opposé. x² = (-x)² b. Quel que soit le nombre x, son carré lui est supérieur. x² ≥ x c. Quel que soit le nombre n, son cube est supérieur à son carré n3 ≥ n²

* EX 1.60. Un article est vendu au prix de 8 € l’unité. Combien peut-on en acheter avec 120 € ?

Notons n le nombre demandé. Alors 8 × n = 120, soit n = 120/8 = 15

* EX 1.61. Un panier rempli d’œufs est vendu 15 €. Les œufs seuls seraient vendus 6 € de moins que le panier seul. Combien coûtent les œufs ?

Notons x le prix des œufs seuls. Le panier seul coûte donc x + 6. Prix du panier rempli d’œufs : x + x + 6 = 2x + 6.

2x + 6 = 15 ⇔ 2x = 9 ⇔ x = 4,50 € (Les œufs coûtent 4,50 €, le panier seul 10,50 € et le tout coûte en effet 15 €)

* EX 1.62. C'est à l'âge de 22 ans, 24 ans et 27 ans qu'une mère, actuellement âgée de 30 ans, a eu chacun de ses trois enfants. Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges des trois enfants ?

Notons x le nombre d’années cherché. Les enfants ont actuellement 8, 6 et 3 ans. Dans x années, l’âge de la mère sera égal à 30 + x et ceux des enfants seront 8 + x, 6 + x et 3 + x. L'âge de la mère sera égal à la somme des âges des trois enfants lorsque 30+x = 8+x + 6+x + 3+x,

soit : 30 + x = 8 + 6 + 3 + 3x ⇔ 30 + x = 17 + 3x ⇔ 13 = 2x ⇔ x = 6,5. Dans 6 ans 1/2, l’âge de leur mère sera la somme des âges des enfants : 36,5 = 14,5 + 12,5 + 9,5.

* EX 1.63. Un fermier plante des pommiers. Pour les protéger du vent, il plante des conifères tout autour. Le schéma ci-dessous illustre la façon dont il décide de s’y prendre, en fonction du nombre de rangées de pommiers qu’il décidera de planter.

1) Compléter le tableau :

n nombre de pommiers

nombre de conifères

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

2) Déterminer, en fonction de n, le nombre de pommiers et le nombre de conifères. Le nombre de pommiers est clairement n². Les conifères doivent border un carré, dont chaque côté contient deux fois le nombre de pommiers, plus un (ex : pour n = 2, le côté supérieur du carré contient 2×2+1 = 5 conifères). En parcourant les quatre côtés du carré, on rencontre donc 2n + 2n + 2n + 2n = 8n conifères. 3) Déterminer la valeur de n telle que le nombre de pommiers soit égal au nombre de conifères.

Pour n = 8, il y a 64 pommiers et 64 conifères.

* EX 1.64. Dans un grand demi-cercle de diamètre [AB], dont le diamètre mesure 10 cm, on inscrit deux demi-cercles plus petits, dont la somme des diamètres vaut également 10 cm (voir figure). Leurs dimensions peuvent être choisies comme bon nous semble, moyennant la contrainte précédente.


On s’intéresse en particulier aux points C et D, respectivement sommets des demi-cercles de gauche et de droite.

A B

1) Si on note x le rayon du demi-cercle de gauche, donner l’expression de la pente du segment [CD]

par rapport au segment [AB] considéré horizontal.

Le rayon du demi-cercle de gauche est x ; celui de droite a donc un rayon égal à 5 - x. Dans un repère d’origine A et d’axes horizontal et vertical, les coordonnées de C sont ainsi (x, x) et celles de D sont (2x + 5 – x, 5 – x), soit (x + 5, 5 – x). La pente du segment [CD] est (yD – yC)/( xD – xC) = (5 – 2x)/5 = 1 – 2x /5.

2) a. Quelles sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette pente ?

x variant de 0 à 5, 1 – 2x /5 varie de 1 à -1.

b. Comment choisir x pour que le segment [CD] ait une pente nulle ?

Il faut que 1 – 2x /5 = 0, soit x = 5/2. On remarque alors que le diamètre du premier demi-cercle vaut 5 cm et est donc égal au diamètre du second demi-cercle.

* EX 1.65. Résoudre les inéquations et présenter les solutions sous forme d’intervalles :

a. 8x – 5 > 2x + 7 ⇔ 6x > 12 ⇔ x > 2 b. 10 – 3x ≤ -7x + 4 ⇔ 4x ≤ -6 ⇔ x ≤ -1,5

c. 3(2 – x) + 1 > 13 ⇔ -3x > 6 ⇔ x < -2

d. , ,61 4 1

3 1 8 3 2 5 0 4 0 42 6 3 2

x xx x x x x

×− ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤

* EX 1.66. Retrouver les équations des droites

d1 : pente = -1, b = 2. équation : y = -x + 2 d2 : pente = 2, b = 0. équation : y = 2x d3 : pente = 0,5, b = -1. équation : y = 0,5x - 1

* EX 1.67. Dans chaque cas, retrouvez l’équation de la droite contenant les deux points donnés (on

calculera d’abord le coefficient directeur, puis on résoudra une équation pour déterminer l’ordonnée à

l’origine).

a. A(-2 , 6) et B(4 , 0) a = -6/6 = -1. équation : y = -x + b ; avec les coordonnées de B : 0 = -4 + b, soit b = 4. y = -x + 4 b. C(1 , 10) et D(4 , 16) a = 6/3 = 2. équation : y = 2x + b ; avec les coordonnées de C : 10 = 2 + b, soit b = 8. y = 2x + 8 c. E(-2 , 2) et F(4 , 5) a = 3/6 = 0,5. équation : y = 0,5x + b ; avec les coordonnées de F : 5 = 2 + b, soit b = 3. y = 0,5x + 3 d. G(-3 , -6) et H(2 , 4) a = 10/5 = 2. équation : y = 2x + b ; avec les coordonnées de H : 4 = 4 + b, soit b = 0. y = 2x e. A(-1 , 5) et B(3 , 5) a = 0/4 = 0. équation : y = b ; avec les coordonnées de A : 5 = b, soit b = 5. y = 5


* EX 1.68. Trouver les équations de chaque droite selon les critères indiqués :

a) Elle contient A(-1 , 7) et B(2 , 1). a = -6/3 = -2. équation : y = -2x + b ; avec les coordonnées de B : 1 = -4 + b, soit b = 5. y = -2x + 5 b) Elle contient M(3 , 1) et est parallèle à (Ox). a = 0. équation : y = b ; avec les coordonnées de M : 1 = b, soit b = 1. y = 1 c) Elle contient P(-1 , 2) et est parallèle à la droite d'équation y = 2x + 5. a = 2. équation : y = 2x + b ; avec les coordonnées de P : 2 = -2 + b, soit b = 4. y = 2x + 4 d) Elle contient Q(2 , -1) et est perpendiculaire à la droite d'équation y = 0,5x + 2. (deux droites sont

perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut -1) a = -2. équation : y = -2x + b ; avec les coordonnées de Q : -1 = -4 + b, soit b = 3. y = -2x + 3

* EX 1.69. Résoudre les équations suivantes.

a. x + =2 31

5 5 Multiplions par 5 : 2x + 5 = 3, ce qui donne x = -1

b. x + =1 11

6 3 Multiplions par 6 : x + 2 = 6, ce qui donne x = 4

c. x + =2 1 7

3 4 2 Multiplions par 3 :

3 212

4 2x + = , puis par 4 : 8x + 3 = 42, ce qui donne x = 39/8

* EX 1.70. Mon oncle, qui est pêcheur et bricoleur, veut se fabriquer une boîte pour

son petit matériel, ayant les caractéristiques suivantes : 14 cases carrées identiques

pour les hameçons, disposées en deux rangées comme le montre le dessin ci-contre.

Il veut que sa boîte soit carrée; quelle taille doit-il donner aux 14 cases?

Notons x le côté d’une case. La largeur de la boîte est donc 7x + 2 et sa hauteur est 2x + 8. Si on veut que la boîte soit carrée, on doit avoir 7x + 2 = 2x + 8, soit 5x = 6 et donc x = 6/5 = 1,2 cm.

* EX 1.71. Résoudre les équations suivantes.

a. 3 2

41

x

x

− =+

( )x x x x x⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − =3 2 4 1 3 2 4 4 6

b. x x

=+ −1 1

1 3 2 /x x x x⇔ + = − ⇔ = ⇔ =1 3 2 3 2 3 2

c. x x

=+ −2 5

1 3 2 ( ) ( )x x x x x⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ =5 1 2 3 2 5 5 6 4 9

* EX 1.72. Un carré a pour côté x cm. Si on augmente chaque côté de 2 cm, son aire augmente de 40 cm².

Quel est le côté x de ce carré ?

L’aire du carré est x². L’aire du carré agrandi est (x + 2)² = x² + 4x + 4. La différence vaut 4x + 4. Ainsi, 4x + 4 = 40, soit x + 1 = 10 et donc x = 9 cm. (aires : 81 cm² et 121 cm²).

* EX 1.73. L'âge d'un homme est le quadruple de celui de son fils. Dans 14 ans, il ne sera plus que le

double. Quels sont leurs âges ?

Soit x l’âge du fils aujourd’hui. L’âge du père aujourd’hui est donc 4x. Dans 14 ans, l’âge du fils sera x + 14 et celui du père 4x + 14, qui est censé être le double du précédent. Ainsi, 4x + 14 = 2(x + 14), soit 4x + 14 = 2x + 28, donc 2x = 14 et x = 7 ans. Aujourd’hui, le fils a 7 ans et le père 28 ans. Dans 14 ans, le fils aura 21 ans et le père 42 ans.

* EX 1.74. Soit une parcelle rectangulaire de 60 m × 40 m. On désire la partager

en une parcelle triangulaire et une parcelle trapézoïdale selon le schéma ci-

contre. Quelle doit être la distance AM pour que l'aire du triangle soit trois

fois moindre que celle du trapèze ?

Aire du triangle : x×40/2 = 20x. Aire du trapèze : ( )xx

− + × = −60 6040 20 120

2.

Si la seconde doit être le triple de la première, alors il faut 120 – x = 3x, soit x = 30.


* EX 1.75. Trouver dans chaque cas les coordonnées du point d'intersection de D et D' :

a) D : y = 2x + 1 et D' : y = -x + 2 2x + 1 = -x + 2 ssi 3x = 1 ssi x = 1/3 ; puis, y = 2x + 1 = 2/3 + 1 = 5/3 b) D : x + y = 1 et D' : x - y = 1 D : y = 1 – x et D’ : y = x – 1. 1 – x = x – 1 ssi 2 = 2x ssi x = 1 ; puis, y = 1 – x = 1 – 1 = 0 c) D : y = 3x + 2 et D' : y = 3x – 2 3x + 2 = 3x – 2 ssi 0 = -4, impossible. Ces deux droites n’ont pas de point d’intersection (leurs équations montrent en effet qu’elles ont la même pente, 3, donc elles sont parallèles, et que leurs ordonnées à l’origine sont distinctes, donc que ces deux droites ne sont pas confondues).

* EX 1.76. Une entreprise française A de transports achemine des produits vers l'Angleterre. Elle dispose

pour cela de camions qui empruntent le tunnel sous la Manche. La société B qui gère le tunnel fait

payer des taxes de passage qui se calculent pour chaque camion comme suit : 150 € pour la prise en

charge du camion plus 8 € par tonne de marchandises présentes dans le camion.

On appelle x le nombre de tonnes de marchandises chargées dans un camion, et y les taxes que

l'entreprise A devra payer pour le passage d'un camion par le tunnel.

1) Exprimer y en fonction de x par une équation simple.

y = 150 + 8x

2) a. Combien paiera-t-on pour un camion dont la charge est 22,6 tonnes ?

y = 150 + 8×22,6 = 330,8 €

b. Quelle est la charge d'un camion pour lequel on a payé 294 € ?

294 = 150 + 8x ssi 8x = 144 ssi x = 18 tonnes

3) A chaque charge x (en tonnes) est associée un prix y (en euros). On décide de représenter dans un

repère orthogonal l'ensemble des points M(x , y) dont l'ordonnée y est calculée à partir de leur

abscisse x suivant l'équation trouvée à la question 1).

a. D'après la forme de cette équation, quelle sera la forme de la courbe engendrée par cet

ensemble de points M ?

Toute forme y = ax + b se traduit graphiquement par une droite.

b. Tracer cette courbe dans un repère aux échelles bien choisies, pour x ∈ [0 ; 35].

(en rouge)


4) a. Quel est l'ensemble des charges correspondant à un coût inférieur ou égal à 310 € ? Par lecture graphique : de 0 à 20 tonnes

b. Quel est l'ensemble des coûts correspondant à une charge comprise entre 15 et 25 tonnes ? Par lecture graphique : de 270 à 350 € 5) Une société C propose à l'entreprise A de transporter ses camions par la mer. Les taxes imposées

par C sont : 200 € de prise en charge + 6 € / tonne de marchandises pour un camion. a. Donner, pour cette société C, l'équation de y en fonction de x. y = 200 + 6x b. Représenter graphiquement ce nouvel ensemble de points P(x , y) sur la figure précédente. (en vert) c. Dire graphiquement à partir de quelle charge x le bateau est plus avantageux que le tunnel pour

un camion de l'entreprise A. À partir de 25 tonnes, le graphique montre que les coûts du bateau sont inférieurs. d. Retrouver le résultat par le calcul en posant une inéquation. 200 + 6x < 150 + 8x ssi 50 < 2x ssi 2x > 50 ssi x > 25

* EX 1.77. Omer SIBIEN vend ses pommes de terre 0,8 € le kg si on achète moins de 10 kg ; il accorde une

remise de 15 % pour 10 kg et plus, et les vend 0,5 € le kg pour 50 kg et plus.

a. Représentez graphiquement le prix p(x) de x kg, pour x variant de 0 à 80. Écrire p(x) en fonction de x.

x ∈ [0 ; 10] : p(x) = 0,8x ; x ∈ [10 ; 50] : p(x) = 0,68x ; x ∈ [50 ; +∞[ : p(x) = 0,5x

b. Son voisin, Oscar NAGE, qui veut lui faire de la concurrence, les vend à 0,6 € le kg, quelle que soit la quantité achetée, pour la même qualité. Quel commerçant pratique les prix les plus intéressants pour un achat de 40 kg de pommes de terre ?

Le premier les vendra à 0,68 €/kg et le second à 0,6 €/kg. c. Quel commerçant choisir selon la quantité achetée ? Ce n’est qu’à partir de 50 kg que le premier vend ses pommes de terre moins cher. d. Retrouver ces résultats sur le graphique. La courbe du montant pour le second vendeur est représentée en vert.

* EX 1.78. Résoudre les équations suivantes :

7x² + 4x – 3 = 0 : ∆ = 16 + 84 = 100. Il y a deux solutions réelles : 4 10 4 10 3

1 et14 14 7

− − − += − =

2x² - 5x – 3 = 0 : ∆ = 25 + 24 = 49 = 7². Il y a deux solutions réelles : 5 7 1 5 7

et 34 2 4

− − += =

x² + 6x + 9 = 0 : ∆ = 36 – 36 = 0. Il y a une seule solution : 6

32

− = −


-0,2x² + 3x – 1 = 0 : ∆ = 9 - 0.8 = 8.2. deux solutions réelles :

.. . . .

.

3 8 2 205 2057 5 14 66 et 7 5 0 34

0 4 2 2

− − = + ≈ − ≈−

9x² + 6x + 2 = 0 : ∆ = 36 – 72 = -36. Il n’y a pas de solution.

* EX 1.79. On a une corde de 50 cm de longueur, avec laquelle on doit former un rectangle. Quelles sont

les proportions à donner à ce dernier pour qu’il couvre la plus grande aire possible ?

Notons x et y les dimensions de ce rectangle. Périmètre : 2x + 2y = 50, soit y = 25 – x. L’aire du rectangle est : xy = x (25 – x) = -x ² + 25x. Ce polynôme du second degré a un premier coefficient négatif ; il admet donc un maximum. L’extrémum de ax ² + bx + c est atteint lorsque x = -b/2a. Ici : x = -25/(-2) = 12,5. Il faut donc choisir x = 12,5 cm (et donc y = 12,5 cm : on doit former un carré) pour que ce rectangle ait la plus grande aire possible.

* EX 1.80. Le drapeau danois est un rectangle de 1,50 m sur 1 m. Il comporte une croix blanche sur fond

rouge (une bande blanche verticale, sur toute la hauteur, une bande blanche horizontale, sur toute la

largeur). Quelle doit être la largeur des bandes pour que l'aire de la surface blanche soit égale à celle de

la surface rouge ?

Notons x cette largeur de bande. Les bandes couvrent une aire de 1,5x + 1x, moins l’aire x² où les deux bandes se croisent. Donc, l’aire blanche vaut 2,5x – x². Il faut que cette aire soit égale à la moitié de l’aire totale du drapeau, qui vaut 1,5m fois 1m = 1,5 m², soit 2,5x – x² = 0,75. On réorganise : x² - 2,5x + 0,75 = 0.

∆ = 2,5² - 4×1×0,75 = 3,25 et les solutions sont 0,3486 m et 2,1514 m. On retiendra uniquement la solution inférieure à 1 m (la bande blanche ne peut être plus large que le drapeau !) : les bandes doivent avoir une largeur de 34,86 cm.

* EX 1.81. Un article coûtait 2 500 € ; il a augmenté de p% puis a diminué de 2p%. Son nouveau prix est

de 2 448 €. Calculer le pourcentage p.

Le prix a été multiplié par 1+p%, puis par 1-2p%, donc globalement par (1+p%)(1-2p%).

2500 �1 + �� 1 −

�� = 2448 ssi �1 + �

� �1 −�� = 0,9792

ssi 1 − �� +

�� −

�� = 0,9792 ssi 10000 − 200� + 100� − 2�² = 9792

ssi −2�² − 100� + 208 = 0 ∆ = 100² -4.(-2).208 = 11 664 d’où les deux solutions p’ = 2 et p’’ = -52 (celle-ci ne convient pas au problème : la première phrase de l’énoncé induit que p est positif). Donc p = 2. (mais avec la solution p = -52, on pourrait réécrire l’énoncé : « baisse de p% puis hausse de 2p% » et constater qu’une baisse de 52% suivie d’une hausse de 104% amène bien 2500 à la valeur 2488)

* EX 1.82. Le père Galion a un jardin carré. Il double la longueur de deux côtés opposés et réduit d’un

mètre la longueur des deux autres côtés opposés. L’aire du jardin a alors augmenté de 80 m². Trouver

le côté du carré initial.

Soit x le côté du carré initial. Son aire vaut x². L’aire du jardin modifié vaut 2x (x – 1) = 2x² - 2x. Ainsi, par différence, 2x² - 2x – x²= 80, soit x² - 2x – 80 = 0.

∆ = 2² - 4×1×(-80) = 324 et les solutions sont -8 et 10. On retiendra uniquement la solution positive : le carré mesurait 10 m de côté (on vérifie que son aire vaut 100 m², que le rectangle formé par la suite a des dimensions de 20 m × 9 m pour une aire de 180 m²).

* EX 1.83. J'ai gagné 300 € en travaillant quelques heures. Tu as travaillé 5 heures de moins en étant payé

1 € de moins par heure et tu as gagné 220 €. Quel est ton salaire horaire ? Quel est le mien ?

Notons x mon salaire horaire et q le nombre d’heures que j’ai effectuées. qx = 300. Pour toi, le calcul précédent devient : (q - 5)(x – 1) = 220. En développant : qx – q - 5x + 5 = 220, et comme qx = 300, cela donne q + 5x – 85 = 0. L’égalité qx = 300 nous autorise à remplacer q par 300/x : 300/x + 5x – 85 = 0. Enfin, en multipliant cette égalité par x : 5x² - 85x + 300 = 0.

∆ = 85² - 4×5×300 = 1225 et les solutions sont 5 et 12.


Il y a deux solutions : * soit je gagne 5 €/h et j’ai travaillé 300/5 = 60 h (et on vérifie que tu as gagné 4 €/h, travaillé 55h et donc gagné 220 €) ; * soit je gagne 12 €/h et j’ai travaillé 300/12 = 25 h (et on vérifie que tu as gagné 11 €/h, travaillé 20h et donc gagné 220 €).

* EX 1.84. On achète pour 60 € d'essence à une pompe. On s'aperçoit qu'à une autre pompe le prix du

litre est inférieur de 0,07 €. On aurait pu ainsi avoir 3,1 litres de plus pour le même prix.

Quel était le prix de l'essence à la première pompe et combien en avait-on pris ?

Nous sommes sur la même logique que celle de l’exercice précédent : Notons x le prix de l’essence à la première pompe et q la quantité achetée. qx = 60. A la deuxième pompe, le calcul précédent devient : (q + 3,1)(x – 0,07) = 60. En développant : qx – 0,07q + 3,1x – 0,217 = 60, et comme qx = 60, cela donne -0,07q + 3,1x – 0,217 = 0. L’égalité qx = 60 nous autorise à remplacer q par 60/x : -0,07×60/x + 3,1x – 0,217 = 0. Enfin, en multipliant cette égalité par x : 3,1x² - 0,217x – 4,2 = 0.

∆ = 0,217² - 4×3,1×(-4,2) = 52,127 et les solutions sont approximativement -1,13 et 1,20. On retiendra uniquement la solution positive : à la première pompe, le prix du gasoil était de 1,20 €/L ; la quantité achetée était de 60/1,2 = 50 litres (et on vérifie qu’à la deuxième pompe, un prix de 1,13 €/L et une quantité de 53,1 litres nous donnent bien un montant total de 60 €).

* EX 1.85. 2³ × 3³ = 63 = 216 (2×3)³ = 63 = 216 4² + 5² = 16 + 25 = 41 (4+5)² = 9² = 81

(2²)³ = 43 ou encore 26 = 64 3

25 22 8 3

2 2

2 5 52 2 256 2 8 1,5625

2 4 4

= = = = = =

−− −

−

× + += = × = × = = =

× = × = × = =

2 4 2 4 22

5 3 3

4 27 2 7 4 3

3

5 25 5 3 5 3 625 9 6345 3 5 9 45

2 32 5 5 125 125

2 42 4 2 2 2 8

2

* EX 1.86. QCM : pour tout réel a :

a. a3 + a5 = a8 b. a3 × a5 = a8 c. a3 × a5 = a15 d. a3 + a5 = 2a8

* EX 1.87. QCM : (-3a)² est égal à…

a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²

* EX 1.88. Écrire en chiffres : 10², 10³, 106, 10-3, 10-6.

10² = 100, 10³ = 1 000, 106 = 1 000 000 10-3 = 0,001, 10-6 = 0,000001

* EX 1.89. Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la

calculatrice)

2300 = 2,3×103 55000 = 5,5×104 0,02 =2×10-2 0,00015 =1,5×10-4

* EX 1.90. Calculer : 105×102 ; 105:102 ; 10-3×106 ; 10-4×10-2

105×102 = 107 105:102 = 103 10-3×106 = 103 10-4×10-2 = 10-6

* EX 1.91. Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :

a. 2,5×103 + 3×102 = 2500 + 300 = 2800 = 2,8×103 b. (2,5×103) × (3×102) = 2,5×3×105 = 7,5×105 c. 2,5×103 - 3×102 = 2500 - 300 = 2200 = 2,2×103

d. (2,5×103):(3×102) = , 3

2

2 5 10 510 8,333

3 10 6× = × ≈

* EX 1.92.

a. La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a". a = 150 000 000 × 1 000 m = 1,5×1011 m


b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b". b = 0,2×10-3 m = 2×10-4 m

c. Calculer en utilisant seulement a et b le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

Nombre de feuilles : a/b = 1,5×1011 ÷ 2×10-4 = 0,75×1015 = 7,5×1014 (750 000 milliards).

* EX 1.93. La mésaventure du souverain indien Chiram

Ce souverain a promis de verser à l'un de ses compatriotes une quantité de grains de riz acceptable.

L'indien lui montra un échiquier et lui dit : "Versez donc un grain sur la première case, deux sur la

deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en multipliant par deux en utilisant toutes les

cases." Le souverain se mit à rire, croyant faire une bonne affaire, et accepta le marché.

Combien de grains dut-il ainsi donner ? (un échiquier comporte 64 cases)

1 grain sur la première case, 2 grains sur la case 2, 4 grains sur la case 3, 8 grains sur la case 4, etc. Le nombre de grains croît selon une suite géométrique de raison 2 (c’est-à-dire qu’il faut multiplier par deux pour passer d’un terme au suivant). On se rend compte que sur la case n°k doivent être placés 2k-1 grains de riz (exemple pour la case 4 : 23 grains de riz). Sur la dernière case, la 64ème, il faudra donc 263 grains, soit environ 9 223 372 036 854 780 000 grains (9 milliards de milliards). De plus, il faut ajouter à cela les grains de riz présents sur les autres cases ! Dans la suite du document se trouve un rappel sur les suites géométriques, contenant la formule suivante permettant de calculer la « somme des n+1 premiers termes » d’une suite géométrique :

.1

00

1

1

+

=

−=−∑

nn

k

k

qu u

q

Ici, le premier terme u0 vaut 1, n vaut 63 et la raison q vaut 2 : 6463

64

0

2 12 1 18446744 073709551615

2 1=

−= = − =−∑ k

k

u (18 milliards de milliards)

(pour information, il s’agit de 720 milliards de tonnes, soit environ 1500 ans de production mondiale actuelle de riz)

* EX 1.94. Simplifier : a. log10(1000) = log10(103) = 3 log10(10) = 3 b. log10(0,01) = log10(10-2) = -2 log10(10) = -2

c. log2(5) + log2(0,6) = log2(5×0,6) = log2(3) d. log10

3

100 = log10(3) - log10(100) = log10(3) - 2

e. log10(0,07) = log10(7) - log10(100) = log10(7) - 2 f. 8×log10 ( )5 = 8×log10(51/2) = 4 log10(5)

g. 8×ln ( )5 = = 8×ln(51/2) = 4 ln(5)

* EX 1.95. Calculer la valeur acquise par un capital de 5 000 € placé au taux annuel de 4,75 % pendant 5

ans. En déduire le montant de l’intérêt.

C5 = Cn×(1+t)5 = 5000×1,04755 ≈ 6305,80 € Intérêts : 6305,80 – 5000 = 1305,80 €

* EX 1.96. Quel capital C0 placer pendant 8 ans à 5 % pour avoir une valeur acquise de 14774,55 € ?

C8 = Cn×(1+t)8 , donc 14774,55 = C0×1,058 et donc C0 = 14774,55 / 1,058 ≈ 10 000 €

* EX 1.97. Calculer le taux t auquel il faut placer 20 000 € pendant 10 ans pour obtenir une valeur acquise

de 33 361,92 €.

C10 = Cn×(1+t)10 , donc 33 361,92 = 20 000×(1+t)10 et donc (1+t)10 = 1,668096.

Ainsi, 1+t = 1,6680961/10 ≈ 1,0525. Le taux cherché est 5,25 %.

* EX 1.98. Calculer la durée du placement d’un capital de 3 500 €, placé à 2,1 %, pour obtenir une valeur

acquise de 4 219,88 €.

Cn = Cn×(1+t)n , donc 4219,88 = 3500×1,021n , soit 1,20568 = 1,021n.

Ainsi, n×ln(1,021) = ln(1,20568) et donc n = ln(1,20568) / ln(1,021) ≈ 9. Durée : 9 ans.


* EX 1.99. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1 en

fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de

temps on obtiendra le double du capital de départ.

Cn+1 = Cn×(1+t) = Cn×1,05 ; C10 = C0×1,0510 = 24433,42 € Cn = 2C0 ssi 1,05n = 2 ssi ln(1,05n) = ln(2) ssi n×ln(1,05) = ln(2) ssi n = ln(2)/ln(1,05) = 14,2 ans

* EX 1.100. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux

d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

C7 = C0×(1+t)7 , donc 8569 = 5000×(1+t)7 ssi (1+t)7 = 1,7138 ssi 1+t = 1,71381/7 = 1,08. Le taux d’intérêts annuel est 8%.

* EX 1.101. Vous placez 1000 € le 1er janvier, en intérêts composés, au taux annuel de 6% mais vous

désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

C0,5 = C0×(1+t)0,5 = 1000×1,060,5 = 1029,56.

* EX 1.102. Un pépiniériste achète de jeunes conifères du Japon, mesurant 20 cm.

Ces conifères ont la particularité de voir leur taille augmenter de 20% tous les ans.

1) Remplir le tableau de valeurs suivant.

année année 1 année 2 année 3 année 4

taille (cm) 20 24 28,8 34,56

2) Exprimer, en fonction de n, la taille d'un de ces conifères à l'année n.

Notons Tn la taille à l’année n. On observe que T1 = 20, T2 = 20×1,2, T3 = 20×1,22, T4 = 20×1,23 et d’une manière générale : Tn = 20×1,2n-1.

3) Pour que cet arbre soit vendu, il doit mesurer au moins un mètre. À partir de quelle année pourra-

t-il vendre ses conifères ?

Il faut trouver n tel que 20×1,2n-1 > 100 cm, soit 1,2n-1 > 5 ssi ln(1,2n-1) > ln(5) ssi (n-1)×ln(1,2) > ln(5) ssi n-1 > ln(5)/ln(1,2) ssi n-1 > 8,83 ssi n > 9,83. Il faudra attendre l’année 10.

* EX 1.103. Un commerçant place 10% de ses bénéfices sur un compte rapportant 7% par an. Les

bénéfices annuels se montent à 36000 €, si bien que le commerçant apporte à chaque fin d'année 3600

€ sur son compte. Il retire également ses intérêts, chaque année à la même date.

Le tableau ci-dessous explique le détail de ses opérations et les relevés de son compte.

année 2012 2013 2014 2015

argent placé 3600 3600 3600 3600

intérêts retirés 0 7% de 3600 7% de 7200 7% de 10800

montant du compte 3600 7200 10800 14400

1) Calculer les intérêts retirés au bout de chacune de ces quatre années. Les calculs sont indiqués dans le tableau de l’énoncé ; 0, 252, 504, 756.

2) Calculer les intérêts retirés n années après 2012, en fonction de n. Les intérêts retirés, de même que le montant du compte, sont en progression arithmétique. Intérêts au bout d’un an : 7% de 3600, au bout de 2 ans : 2 fois 7% de 3600, au bout de trois ans : trois fois 7% de 3600, et ainsi de suite. Intérêts retirés n années après 2012 : n×7%×3600 = 252n.

3) En utilisant la formule ( )

...n n

n+

+ + + + =1

1 2 32

, calculer le total des intérêts qu’il aura

récupérés entre 2012 et 2030.

Intérêts retirés au total jusqu’à 18 années après 2012 : 252 + 252×2 + 252×3 + … + 252×18 = 252×(1+2+3+ … + 18) = 252×18×(18+1)/2 = 43092 € 4) Combien possédera-t-il sur son compte en 2030 ?

En 2030, il aura déposé 19 fois 3600 €, soit 68400 €.


* EX 1.104. 1) M.Prévoist dépose 500 € sur un compte rapportant 6% annuels d’intérêts composés. De quelle

somme disposera-t-il cinq ans plus tard ? 500×1,065 = 669,11 €

2) Quelle somme devrait-il déposer aujourd’hui pour pouvoir disposer de 1000 € dans cinq ans ?

Cn = C0×(1+t)n , donc 1000 = C0×1,065 et donc C0 = 1000/1,065 = 747,26.

* EX 1.105. Au 1/01/2015, un employé a un salaire mensuel de 1550 €. L'entreprise qui l'emploie décide

de lui accorder des augmentations au rythme d'une par an, et lui demande de choisir entre deux types

de rémunération :

- une augmentation de 170 € au 1er janvier de chaque année (choix 1)

- une augmentation de 10 % au 1er janvier de chaque année (choix 2)

1) Remplir le tableau ci-dessous en calculant pour les années citées son nouveau salaire mensuel,

considérant les deux types différents.

année 2015 2016 2017 2018

choix 1 1550 1720 1890 2060

choix 2 1550 1705 1875,5 2063,05

2) Donner, pour chaque type d'augmentation, une expression du salaire mensuel de cette personne

lorsque n années se sont écoulées après 2015.

choix 1 : Sn = 1550 + 170n ; choix 2 : Sn = 1550×1,1n

3) Calculer, à l'aide des deux relations précédentes, les deux salaires mensuels différents qu'il

pourrait toucher en 2030.

choix 1 : S15 = 1550 + 170×15 = 4100 ; choix 2 : S15 = 1550×1,115 = 6474,73

* EX 1.106. Une machine perd chaque année 20% de sa valeur. Au bout de combien de temps vaudra-t-

elle moins de 10% de sa valeur de départ ?

Chaque année, la valeur de la machine est multipliée par 0,8 (baisse de 20%). Au bout de n années, elle a donc été multipliée par 0,8n. La question est de savoir à partir de quelle valeur de n le nombre 0,8n devient inférieur à 0,1 (en effet, quand la valeur de la machine sera multipliée par 0,1, elle aura perdu 90% de sa valeur initiale). 0,8n < 0,1 ssi ln(0,8n) < ln(0,1) ssi n×ln(0,8) < ln(0,1) ssi n > ln(0,1)/ln(0,8) ssi n > 10,32. C’est au bout de 11 ans que la machine vaudra moins de 10% de sa valeur de départ.

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