Réalisation d’un pendule de Foucault

Année Universitaire 2009/2010

Tuteur INSA : M. ELHAMI

MEMOIRE DE PROJET PERSONNEL

AIX Julien

Sommaire

I/ Présentation du problème Page 1

II/ Étude théorique du pendule

1.Explication et étude du mouvement du pendule Page 3

2.Mise en équation de la trajectoire Page 8

3.Simulation de la trajectoire du pendule sous Matlab Page 13

4.Simulation du mouvement du pendule sous Catia Page 15

III/ Construction du pendule

1.Réalisation de la boule Page 16

2.Réalisation de la suspension de la boule Page 17

3.Conception et réalisation de la suspension à la poutre Page 18

4.Expérience réalisée Page 21

Conclusion Page 23

Bibliographie

Annexe

I/Présentation du projet

Pour commencer je vais tout d'abord mettre en situation ce projet. Pour cela je présenterai dans cette première partie Léon Foucault et les travaux qu'il a établit, son pendule plus particulièrement, et pour finir j'exposerai la problématique et l'objectif du projet.

1. Léon Foucault et ses travaux

Jean Bernard Léon Foucault est naît à paris le 18 septembre1819. Lors de son enfance, il se présente comme une personne faible au niveau de la santé et assez paresseux. L'association de ces deux caractères ont fait qu'il quitta le collège Stanislas où sa mère l'avait inscrit, pour finalement prendre des cours privés à domicile. Jusqu'à maintenant rien ne présageait que Léon Foucault allait par la suite s'illustrer brillamment. Pourtant en 1839, il intègre la faculté de médecine de Paris, cependant lors de sa première expérience à l'hôpital il s'évanouit à la vue du sang. C'est alors qu'il réalise qu'il ne fera pas carrière dans le monde médical, n'arrivant pas à contrôler cette phobie. Doué pour la réalisation de machines plutôt sophistiquées il se réoriente vers la physique et invente un système pour prendre des photos au microscope.

En 1850, après avoir pris la succession d'Alfred Donné (un de ses mentors) à l'édition du Journal des Débats, il découvre grâce à un système de miroirs et de lentilles que la lumière se propage plus vite dans l'eau que dans l'air. Il établira par la suite que la vitesse de la lumière est inversement proportionnelle à l'indice de réfraction du milieu qu'elle traverse.

L 'année suivante, après avoir observé que le plan d'oscillation d'une verge dans un tour en rotation restait immobile, il a l'idée d'inventer un pendule qui ce comporterait de la même façon à l'échelle spatiale (l'observateur serait dans l'espace et le tour serait en occurrence la terre).C'est ainsi qu'après avoir réalisé l'expérience avec succès dans sa cave, il expose au monde la preuve de la rotation de la terre.

Il a par la suite l'idée d'inventer un plus petit système démontrant le mouvement de la terre, il crée alors le gyroscope: un disque lancé en rotation qui n'est pas influencé par la rotation de la terre. Ce système est encore utilisé de nos jours, notamment en aéronautique pour l'orientation des avions.

1

Figure 2: Le gyroscope

Le principe est assez simple: le rotor (disque doré) tourne autour de son axe.

Lorsque le cadre argenté bouge (comme un avion pique du nez ou tourne), le disque n'est pas influencé par ce mouvement.

En conséquence par comparaison on peut obtenir une inclinaison.

Figure1

Léon Foucault sera par la suite élevé au rang d'officier de la légion d'honneur par Napoléon III (grand admirateur de la science il a créé spécialement pour Foucault l'observatoire Impérial). C'est ainsi qu'avant de mourir en 1868, Foucault invente plusieurs machines (dont des télescopes) pour assister les astronomes français.

2. Le pendule de Foucault

Comme je l'ai dit précédemment le premier pendule inventé par Foucault fut placé dans la cave de sa maison en janvier 1951 et faisait seulement deux mètres de hauteur. Il répéta par la suite son expérience à l'observatoire de Paris afin d'exposer sa découverte au monde scientifique. L'expérience fut très appréciée par les invités et on peut encore observer ce même pendule construit par Gustave Froment au musée des arts et métiers à Paris.

La grande particularité du pendule de Foucault c'est qu'il ne se comporte pas comme un pendule simple: en plus de son oscillation normale, le plan de ces dernières tournent dans le sens horaire (dans l'hémisphère Nord). En son époque Foucault ne put vraiment expliquer cette rotation (phénomène que l'on appelle précession) et même de nos jours, certaines confusions persistent, c'est pourquoi j'expliquerai dans une partie d'étude théorique la raison de sa rotation.

Cette expérience est restée la plus connue de Foucault et en plus de prouver pour la première fois dans une pièce fermée la rotation de la terre, elle est également le début d'une certaine « science de spectacle » présentée au public.

De nos jours il existe un grand nombre de pendules de Foucault dans le monde et cette expérience à la fois scientifique et artistique c'est développée au cours des années puisque maintenant certains pendules sont autonomes c'est à dire qu'ils marchent sans s'arrêter grâce à un entretient des oscillations électromagnétique.

2

Le troisième pendule de Foucault fut exposé au panthéon, il se compose d'une boule de plomb recouverte de cuivre de

28 Kg suspendue à un fil d'acier de 67mètres de hauteur. Ce pendule fut replacé au même endroit en 1995.

Figure 3

Mouvement de précession du pendule observé du dessus.

Figure 4

3. Problématique et objectif du projet

Comme je l'ai mentionné dans la partie précédente, la construction de pendules de Foucault c'est totalement démocratisée. En effet on en trouve dans des écoles, des entreprises, ou encore des musées. Entreprendre la conception d'un pendule de Foucault n'est pas une tâche facile mais largement faisable. Le principal enjeu de ce projet sera de concevoir un pendule capable d'effectuer un tour complet de précession. En effet les pendules qui ont été construit ne peuvent généralement effectuer que moins de la moitié d'un tour du fait de la conception de la fixation ( je développerai cette idée dans une prochaine partie).

En revanche par expérience on dit que plus le pendule est fixé haut, plus la garantie d'observer le phénomène de précession est grande. Étant donné que je n'ai pas à ma disposition de chariot élévateur ou autre, je me contenterai d'un escalier de plus de trois mètres pour fixer le pendule.

J'effectuerai tout d'abord une étude théorique du pendule afin de mieux en comprendre le fonctionnement et d'obtenir des résultats théoriques qui pourraient éventuellement être vérifiés par une expérience. De plus afin d'en faciliter la conception je ferai une représentation et une simulation du pendule sous Catia, de cette manière il sera possible d'anticiper certain éventuels problèmes dans la conception des pièces du pendule.

Pour finir, étant donné que la boule du pendule sera relativement lourde, il faudra porter une attention particulière à la solidité des fixations et des différentes pièces du pendule.

3

II/Étude théorique du pendule

Cette deuxième partie sera consacrée à une étude approfondit du pendule de Foucault. Tout d'abord j'effectuerai une étude du mouvement du pendule en prenant en compte les forces qui agissent sur ce dernier, avant de mettre en équation sa trajectoire puis enfin de le représenter sous Catia afin de simuler son mouvement.

1. Explication et étude du mouvement du pendule

Même si ce type de pendule possède une configuration plutôt simple, son mouvement de précession n'est pas évident à expliquer et il faut prendre en compte plusieurs principes de base qui influencent le mouvement du pendule.

Pour prendre en compte ces principes, le mieux est de considérer deux configurations particulières du pendule : la première lorsqu'il va d'ouest en est et la deuxième lorsqu'il va du sud vers le nord. Mais tout d'abord il est nécessaire d'énumérer les différentes forces qui s'appliquent au pendule lorsqu'il est au repos.

a. Pendule au repos

Les deux forces majeures s'appliquant à la boule du pendule sont la pesanteur g et la tension du câble auquel il est suspendu. Cependant ce ne sont pas elles qui expliquent la précession du pendule mais des forces qui s'appliquent plus généralement à n'importe quel corps étant sur Terre.

4

Figure 5

La pesanteur est en fait la somme vectorielle de l'attraction newtonienne et de la force centrifuge, si la terre était parfaitement ronde N serait normale à la surface mais g aurait une composante orientée vers l'équateur qui attirerait tout corps présent sur terre. En revanche avec une forme légèrement ellipsoïdale (rayon polaire inférieur d'une vingtaine de kilomètres au rayon équatorial), la pesanteur est toujours normale à la surface permettant ainsi à tout corps d'être en équilibre.

Légende:

N Gravitation Newtonienne

N h Projection de N sur l'horizontale

g Pesanteur

F cForce Centrifuge

P Point représentant le pendule

λ Latitude du point P

Comme on peut le voir représenté sur la figure ci dessus, la force de gravitation newtonienne notée N comporte une composante horizontale à la surface notée N h (due à la forme légèrement ellipsoïdale de la terre) dirigée vers le pôle nord dans notre cas. Cette force ne s'applique pas seulement sur notre pendule mais sur l'ensemble des corps sur terre qui sans elle seraient attirés vers l'équateur à cause de la force centrifuge F c qui résulte de la rotation de la terre.

L'expression de cette force centrifuge s'écrit comme suit:

(1)

De là on peut en déduire sa composante horizontale qui équilibre le pendule au repos soumis à la force N h :

(2)

b. Mouvement de l'ouest vers l'est

Lorsque le pendule oscille vers l'est sa vitesse par rapport à un référentiel galiléen augmente car il faut rajouter à la vitesse de la surface de la terre (due à sa rotation) la vitesse du pendule. En conséquence la force centrifuge augmente, or la force N h ne dépend pas de la vitesse du pendule et ne peut donc pas compenser l'augmentation de la force centrifuge qui va alors faire varier la trajectoire initialement ronde du pendule vu d'un référentiel galiléen. Cette première constatation nous permet de contredire certaine déclarations selon lesquelles la trajectoire du pendule ne serait soumise à aucune forces terrestres.

Inversement lorsque le pendule oscille vers l'ouest, la force centrifuge appliquée à ce dernier diminue et c'est alors la force F c qui a tendance à attirer le pendule vers le nord augmentant ainsi la perturbation de trajectoire sur un aller retour du pendule.

c . Mouvement du nord vers le sud

Dans cette configuration les forces N h et F c n'ont plus aucune influence sur la précession du pendule étant donné qu'elles sont situées dans le plan des oscillations. C'est un autre principe qui va modifier la trajectoire du pendule : la conservation du moment cinétique.

5

Avec:

m Masse du pendule

V t Vitesse transversale du pendule par rapport aux référentiel galiléen

D Distance du point P à l'axe de rotation de la terre

Figure 6

Trajectoire du pendule par rapport à un référentiel galiléen:

1 est la trajectoire du pendule lorsqu'il n'a pas de mouvement relatif, 2 lorsqu'il va d'est en ouest, et 3 d'ouest en est

F c=m×V t

2

D

F c=m×V t

2

D×sin

Ce dernier s'exprime comme suit:

(3)

Lorsque notre pendule se dirige vers le sud la distance entre lui et l'axe de rotation de la terre augmente, étant donné que le moment reste constant, la vitesse transversale du pendule doit en conséquence diminuer. Comme la vitesse du pendule est moins importante lorsque ce dernier va vers le sud, son plan d'oscillation tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.

A partir de ces deux configurations on peut généraliser le mouvement du pendule qui va se traduire dans n'importe quelle orientation du plan d'oscillation par une rotation dans le sens horaire.

d . Cas particuliers

Pour un pendule qui se situerait à l'équateur les forces N h des deux pôles s'annuleraient dans son mouvement d'ouest en est et ne modifieraient pas en conséquence le mouvement du pendule. De plus la distance entre l 'axe de rotation de la terre et du pendule allant du nord vers le sud serait exactement la même de part et d'autre de l'équateur et le moment cinétique ne nécessiterait donc pas de variation de vitesse pour se conserver. En conséquence on peut dire que le pendule conserverait son plan d'oscillation d'origine et la précession ne serait pas observée.

Concernant un pendule qui se situerait au niveau du pôle nord (ou sud), la force N h tendrait à amortir l'oscillation du pendule mais n'entrainerait pas sa précession, en revanche les vitesses du pendule de part et d'autre du pôle étant opposées (tout comme les distances avec l'axe de rotation de la terre) on peut montrer que le pendule mettrait exactement 24h pour que son plan d'oscillations revienne dans la configuration initiale. On pourrait dans ce cas considérer que ce n'est pas le pendule qui tourne mais la terre en dessous de ce dernier et qu'il ne serait soumis qu'à son mouvement d'origine qu'il conserve dans un référentiel galiléen. En d'autres mots son plan d'oscillation est fixe par rapport aux étoiles, ce qui n'est pas vrai lorsque le pendule est situé autre part sur la terre.

e. Calcul de la période du pendule

Prenons le pendule dans la configuration nord-sud dans deux positions différentes, la première à une latitude λ (position 1) et la deuxième à une latitude λ-dλ (position 2).

Dans le premier cas la vitesse du pendule est de:

(4)

Dans le second:

(5)

6

M=V t×D

V t=×Rcos

Figure 7

V t=×Rcos −d =×R×cos cos d sin sind ≈Rcos d sin

Soit une différence de vitesse de:

(6)

Si l'on considère que dans n'importe quelle configuration on aurait la même augmentation de vitesse (à savoir que la vitesse de rotation du plan du pendule est constante) on peut calculer la période du pendule, c'est à dire le temps qu'il mettrait pour faire un tour:

(7) Avec r la longueur d'une demi période du pendule.

Or on peut considérer que:

(8)

Et en considérant dλ petit on obtient pour r:

(9)

En remplaçant r et dV dans (7) on peut simplifier T:

(10)

Cette période ne dépendrait en conséquence que de la latitude à laquelle on fixe notre pendule.

Application numérique:

Prenons:

=224

rd /h=7,272 .10- 5rd.s- 1

Et

=49,433O Pour la ville de Rouen

On obtient:

T= 2×7,272 .10- 5sin 49,433

=113737,188 s=31h 35min 37s

7

dV =R d sin

T=2 rdV

sin d 2= r

R

r= Rd 2

T= 2Rd R d sin

≈ 2sin

On peut également calculer l'angle parcourut par le pendule en une heure:

360°×3600 sT

=11,3947 °

2. Mise en équation de la trajectoire

On cherche à présent à obtenir une équation qui caractériserait la trajectoire du pendule. Pour cela on se met dans la configuration suivante:

Soit O le centre de la terre et M le centre de la boule du pendule. On prend X vecteur unitaire dirigé vers l'est et

tangent au parallèle, Y tangent au méridien et orienté vers le nord, et enfin Z orienté verticalement dans le

prolongement de la droite OM.

L'étude de la trajectoire du pendule se fera dans le plan Oxy, c'est à dire vu du dessus du pendule.

a . Pendule simple

Pour commencer on part du cas d'un pendule simple.On a:

• P=m×g le poids de la boule du pendule• T la tension du fil sur la boule• l'angle formé avec la verticale (l'axe Z )• l la longueur du fil• g l'accélération de la pesanteur

On néglige de plus les forces de frottement avec l'air.

8

Figure 8

Figure 9:

Pendule simple

On écrit tout d'abord l'expression de l'énergie mécanique du système:

(11)

Or on a :

V =l×d dt (12)

et :

z=l−l×cos (13)

On obtient donc:

E=12

m l 2mgl×1−cos (14)

Dans le cas de ce pendule, on peut dire que l'énergie mécanique est conservée car P est une force conservative et T est toujours perpendiculaire à la trajectoire du pendule.En conséquence on peut écrire que la dérivée de E par rapport au temps est nulle:

dEdt

=m l 2 mgl sin=0 (15)

On peut aussi l'écrire de la manière suivante:

w02 sin=0 (16)

Avec:

w0= gl

la pulsation propre

On considère maintenant que l'angle est petit à l'échelle de la Terre.Pour revenir au repère d'origine on prend les deux configuration du mouvement indépendantes du nord vers le sud et de l'ouest vers l'est:

Dans le premier cas sin ≃≃ xl (17)

Dans le deuxième cas sin ≃≃ yl (18)

on obtient alors le système d'équations suivant:

(19)

9

xw02 x=0

yw02 y=0

E=E cE p=12

m V 2m g z

b . Cas du pendule de Foucault

Il faut à présent prendre en compte la rotation de la Terre dans le référentiel galiléen que l'on a créé précédemment, pour cela il faut rajouter à nos équations précédentes l'accélération de la force de Coriolis qui influence dans ce cas x et y .

Cette accélération s'écrit:

acc=2v∧k avec - v le vecteur vitesse du pendule (20) - k vecteur unitaire orienté suivant l'axe de rotation de la Terre - vitesse de rotation de la Terre

On a :

Car étant toujours sous l'hypothèse des petit angles, le décollement du pendule suivant zest négligeable et donc la vitesse également.

Avec latitude du point où l'on se trouve, on projette juste k dans notre repère.

On obtient alors acc=2 xyo∧

0cos sin =

2 y sin−2 xsin 2 xcos (21)

Ce que l'on ajoute alors à l'expression (19):

x=−w02 x2 y sin

y=−w02 y−2 xsin (22)

En notant z=xiy on obtient une seule équation:

z=−w02 z2sin y−i x (23)

Soit,

zw02 z2isin z=0 (24)

Cherchons une solution à cette équation sous la forme z=er t

On obtient en remplaçant z l'équation du second degré suivante:

10

v= xy0x , y , z

k=001sphérique

= 0cos sin x , y , z

r 22isin rw02=0 (25)

Équation que l'on peut également écrire sous cette forme:

risin 2−i2 w21sin2 2

w02 =0 (26)

Soit,

risin =±iw02sin22 (27)

En mettant i en facteur et en posant W 0=w02sin 22 on obtient:

r=−i sin ±W 0 (28)

En décomposant cette expression on en déduit la solution générale:

z t =e - i sin t C1e - i W 0 t C2 e i W 0 t (29)

Les constantes C1 et C2 peuvent être déterminées par rapport aux conditions limites:

Notons z 0=z0=C1C2 la position du pendule avant lancement, on a également:

z 0= z0=−ie−isin t C 1e iW 0 t C 2e −iW 0 t −C1 iW 0 e−iW 0 t C2 iW 0 e −iW 0 t =−i sin z0−W 0C1−C 2

la vitesse initiale du pendule.

En résolvant le système on obtient les expressions de C1 et C2 :

C1=i z0− sin z0

W 0 z0−1

C2= z0−i z0− sin z0

W 0 z0−1

On peut maintenant remplacer les constantes dans l'équation (29):

z t =e - i sin t [C1cos −W 0 t i sin−W 0t z0−C1cos W 0 t i sinW 0 t ] (30)

Les cosinus se simplifie :

z t =e - i sin t [−2C1i sin W 0t z0 isin W 0 t ] (31)

11

On obtient l'expression suivante en remplaçant C1 et en factorisant par z0 et z0 :

z t =e −isin t z 0cos W 0t i sinW 0

sinW 0 t z 0

W 0sin W 0 t (32)

Si on considère à présent que l'on lâche le pendule à une position décalée de z0 (par rapport à la position du pendule au repos) à une vitesse z0 nulle, on obtient l'expression suivante:

z t =z0 e - i sin t cos W 0 t i sinW 0

sinW 0 t (33)

On en conclue donc par identification de cette expression que la trajectoire du pendule lâché vers l'est ( z0 réel) dans un repère qui tournerait est une ellipse:

représente une rotation du plan d'oscillation (précession) de vitesse angulaire − sin rd.s-1 , le signe moins indiquant que l'on tourne de l'axe y vers x

( sens horaire, ou de l'ouest vers le nord ).

x t =z0 cos W 0 t la position du pendule à l'instant t suivant l'axe x

y t = z0sin

W 0sinW 0 t la position du pendule à l'instant t suivant l'axe y

Ces deux dernières équations correspondent à une ellipse de petit coté et de grand coté lorsque z0 est réel sinon l'expression est plus compliquée.

On peut alors se rendre compte qu'il s'agit d'une ellipse très aplatie car le rapport du petit coté sur le grand est très petit:

sinW 0

= 7,272.10-5×sin 49,4339,813,5

7,272 ,10-52sin 49,4332=1,915.10 -5

Pour un pendule de 3,5m de hauteur, à une latitude de 49,433° et pour une rotation de la terre de 7,272 .10-5 rd.s-1

Avec W 0= w022sin 2 pulsation propre du pendule de Foucault

et w0= gl

pulsation propre du pendule simple.

Remarque: Le pendule de Foucault a une pulsation propre quasiment identique au pendule simple car le deuxième terme de la somme dans l'expression de W 0 est très petit.

12

e- isin t

z0

z0sin

W 0

On peut également calculer la période d'oscillation du pendule:

T=2w0

=2× 3,59,81=3,75 s

Et on retrouve l'expression de la période de précession 2

sin déjà trouvée précédemment.

3. Simulation de la trajectoire du pendule sous Matlab

Maintenant que l'on a déterminée la position du pendule à chaque instant t, il est intéressant de tracer cette trajectoire. Pour cela j'ai écrit un programme Matlab qui permet de tracer la trajectoire de n'importe quel pendule d'une certaine hauteur, se trouvant à une certaine latitude et étant lancé à vitesse nulle d'un certain point.

Pour cela z0 n'est plus nécessairement un réel et il faut prendre en compte la rotation du plan d'oscillation (forme laissée en exponentielle jusque ici). En conséquence l'expression de la trajectoire se complique un peu, mais on arrive tout de même à extraire les positions x ( partie réelle) et y ( partie imaginaire) en fonction du temps, on obtient:

x t =xo A− yo B (34)

y t = yo Axo B (35)

Avec:

A=−cos sin t cosW o t – sin sint sin W o

sin W ot

B=sin sint cos W o t – cos sin t sin W o

sinW o t

Et xo ; yo les coordonnées du point de lancé du pendule.

On obtient ainsi les graphiques ci dessous:

13

14

Figure 14

Même pendule au bout de 58868 s, soit la moitié de la période calculée précédemment. Les premières oscillations ont étés effacées.

Figure 12

Même pendule lancé à l'équateur, comme prévu le plan d'oscillation ne bouge pas.

Figure 13

Même pendule lancé d'une position différente.

Figure 15

Pendule lancé dans l'hémisphère sud (latitude négative), le sens de rotation change.

Figure 11

Même pendule au bout d'une heure :

On peut vérifier approximativement l'angle parcouru calculé précédemment:

tan -1 0,21

=11,31 ° (on avait trouvé 11,4°)

Figure 10

Pendule lancé à 1m à l'est pendant 11s

On observe les premières oscillations du pendule, et on voit bien que le pendule ne

repasse pas par la même position à l'aller et au retour.

4. Simulation du mouvement du pendule sous Catia

La simulation précédente a bien permis de se rendre compte de la trajectoire du pendule dans plusieurs cas vus du dessus en deux dimensions.

Après avoir conçut le pendule sous Catia j'ai également simulé ce dernier. Le pendule est alors commandé en angles (un pour les oscillations du pendule simple et un pour la précession). J'ai alors facilement traduit des expressions précédentes les valeurs de ces angles au cors du temps:

=tan-1x t

l Pour le premier angle

=tan -1y t x t

Pour le second

L'intérêt de cette simulation est de visionner en temps réel la trajectoire du pendule en trois dimensions, de cette manière on peut également ce rendre compte du décollement du pendule suivant l'axe z.

Pour conclure cette partie théorique je dirais qu'il est possible d'obtenir des bonnes simulations qui représentent bien le mouvement du pendule à condition de manipuler des équations assez lourdes par moment. Cependant on n'a pas pris en compte lors de cette partie les forces de frottement du pendule avec l'air, forces qui amortissent l'oscillation du pendule en quelques heures en réalité.

De plus on peut être amené à se demander quel repère de référence faut-il choisir pour décrire son mouvement. En effet celui que j'ai choisi pour étudier son mouvement est bien pratique parce que la trajectoire du pendule correspond à celle que l'on observe sur terre. Si on avait pris un référentiel lié aux étoiles, la trajectoire obtenue aurait été différente, le plan d'oscillations aurait-il été fixe? La réponse est non mais cela demande de plus amples réflexions.

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Figure 16 Figure 17

III/Conception du pendule

Après avoir fait une étude théorique approfondie du pendule et de son comportement je vais maintenant passer à la conception de ce dernier. Pour cela il est important de prendre en compte toutes les pièces qui composeront le pendule désiré car chacune possède une utilité bien précise dans son fonctionnement. Il faudra donc faire des choix des plus judicieux possibles concernant la forme et le matériau de la pièce à réaliser.

1.Réalisation de la boule

La conception de cette pièce n'est pas très contraignante, mis à par qu'elle doit être assez lourde afin d'entrainer convenablement l'ensemble du pendule, mais pas trop imposante afin d'éviter les frottements avec l'air car lors des oscillations ce sera la pièce qui sera la plus exposée et en conséquence celle qui sera responsable de l'amortissement des oscillations. Il faut donc optimiser taille et poids en choisissant un matériau avec une bonne masse volumique, pour cela le meilleur choix semble être le plomb puisque ce dernier a une masse volumique de 11,34 Kg/L et qu'il est relativement accessible et peu couteux. En revanche le plomb est toxique et c'est pour cela qu'il faut le manipuler avec le plus de précaution possible. Concernant la forme de la boule de ce type de pendule elle est généralement ronde afin de minimiser l'exposition aux frottements tout en choisissant une forme assez commune.

Pour réaliser cette pièce je me suis tout d'abord procurer du plomb de récupération se présentant sous forme de tuyaux, car comme je l'ai déjà dit le plomb est toxique et les canalisations qui en étaient composées ont du être remplacées au profil des tuyaux en cuivre.

Se pose ensuite la question de le mettre sous forme de sphère et là la technique la plus indiquée semble être la fonderie, car en effet le plomb possède une température de fusion facilement accessible qui est de 327,5°C. Pour le moule j'ai choisit d'acheter un ballon rond pyrex d'1L généralement utilisé en chimie car il résiste à des températures élevées et pourra supporter thermiquement du plomb sous forme liquide.

J'ai tout d'abord chauffé les tuyaux de plomb dans une marmite en fonte (bonne conductivité thermique) placée au dessus d'un stérilisateur. Au bout d'un certain temps le plomb c'est totalement liquéfié et seul les dépôts issus des tuyaux flottent en surface, il s'agit donc dans un premier temps de retirer ces dépôts à l'aide d'une louche afin de purifier notre mélange tout en faisant attention aux vapeurs toxiques du plomb lorsqu'il se sublime.

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Figure 18 :

Plomb de récupération sous forme de tuyau

Figure 19 :

Pour remplir l'ensemble du ballon environ 12 Kg de plomb furent

nécessaires

Pb=11,34 Kg.L−1

Un fois cette opération faite, il faut passer au moulage en lui même, le ballon a alors été préalablement réchauffé dans une marmite contenant du sable qui nous permettra de minimiser le retrait du plomb qui apparaît inévitablement lorsque l'on a un gradient de température entre la matière et le moule. Il faut ensuite verser le plomb le plus rapidement possible afin d'éviter que la boule se décompose en plusieurs couches. Il suffit finalement de casser le ballon en verre pour récupérer la boule une fois refroidit.

Étant donné que l'état de surface résultant de cette opération n'était pas spécialement lisse j'ai par la suite poncée la boule afin d'en homogénéiser sa surface.

2. Réalisation de la suspension de la boule

Tout d'abord j'ai du choisir le fil de suspension, ce dernier doit mesurer plusieurs mètres et supporter une charge de plus de 120 N (poids et force cinétique de la boule). Pour cela il existe des fils d'acier couramment appelés cordes à piano et que l'on peut se procurer dans n'importe quel magasin de pêche car en dehors des pianos ces fils sont aussi utilisés pour la pêche. J'ai en conséquence acheté une de ces cordes de 10 mètres de longueur et de 0,7 mm d'épaisseur qui pourra sans problème résister à ce type de charge.

Reste donc à fixer solidement ce fil à la boule, cela aurait pu être réalisé lors de la fonderie mais ça n'aurait pas été facile de centrer le fil. En conséquence j'ai opté pour un autre moyen de fixation qui consiste à tarauder le haut de la boule de plomb afin d'y fixer une vis qui aura était préalablement usiné par électro-érosion. Le but de cet usinage est de pouvoir passer le fil d'acier à l'intérieur de la vis, ce qui n'aurait pas pu être réalisé avec une simple fraiseuse car il n'existe aucune fraise capable de réaliser un trou d'un si petit diamètre sur plusieurs centimètres. Pour finir le fil sera maintenu par un nœud située en dessous de la vis est qui empêchera le fil de se retirer.

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Figure 20 :

Système pour atteindre la température de fusion du plomb,

plusieurs heures ont été nécessaires pour que l'ensemble

du plomb soit liquide

Figure 21 :

Retrait des impuretés présentes dans les tuyaux

Figure 22 :

Installation pour couler le plomb dans le ballon

Figure 23:

Corde à piano dans son emballage d'origine

En plus de fixer la corde à piano à la boule, j'ai également prévu d'y fixer un aimant qui pourrait nous permettre avec un système de bobine d'entretenir les oscillations. Afin que cet aimant soit à niveau j'ai décidé de réaliser un support qui relira la boule à l'aimant. Nous avons effectué cette pièce en plastique avec le tour à commande manuelle de l'atelier et nous l'avons ensuite collée sur le fond de la boule en plomb.

3. Conception et réalisation de la suspension à la poutre

C'est l'une des parties les plus délicates à réaliser étant donné que cette partie fait la liaison entre la poutre, c'est à dire la terre et le pendule. Autrement dit il ne faut pas que le pendule soit influencé par le mouvement (par rapport au référentiel galiléen) de la poutre à laquelle il sera fixé.

Pour cela ce qui ce fait généralement c'est d'adopter un système de cuvette et de pointe afin d'obtenir un contact ponctuel pour établir la liaison la plus libre possible qui permettra au pendule de n'être localement influencé que par son propre mouvement. Évidemment ce type de liaison ne se fait pas sans certaines difficultés puisque elle devra supporter un poids de 12 Kg oscillant pendant une période de plusieurs heures.

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Figure 24 :

Taraudage de la boule

Figure 25 :

Vis usinée par électro-érosion fixée dans la boule

Figure 26 :

Socle pour l'aimant collé sur le bas de la boule

Figure 27

Aperçut du système de fixation et de ses composants

a. Fabrication de la cuvette

La cuvette est la pièce qui permet de faire la liaison entre l'anneau et la partie supérieure de la fixation. Cette pièce est soumise à un certain nombre de contraintes, la principale concerne sa surface: sa dureté doit être maximale. Pour cela j'ai choisi plusieurs pièces brutes qui pourraient potentiellement être usinées et j'ai effectués des essais de dureté sur l'ensemble. De cette manière j'ai sélectionné la pièce la plus dure.

L'importance de cette propriété réside dans le fait que le contact avec la boule du pendule est ponctuelle, impliquant une forte contrainte mécanique en un seul point, d'où l'intérêt d'avoir une dureté élevée pour éviter que la surface ne se détériore et que le contact reste bon.

Il a fallut ensuite donné la forme à la cuvette, pour cela le contour a été découpé à la machine à électro-érosion, les trous percés à la fraiseuse et la forme conique également grâce à un foret de diamètre 14.

b. Fabrication de l'anneau

L'anneau d'origine a été acheté à Castorama, il s'agissait d'une fixation pour attacher les vaches capable en conséquence de résister à de fortes charges. Ces anneaux ne sont généralement pas très rond, c'est pourquoi j'ai choisi celui avec le moins de défauts, avant de le passer dans une presse pour corriger ses défauts de planéité. On y a par la suite percé un trou à la fraiseuse que l'on a taraudé ensuite.

La pointe de cet anneau est composée d'un taraud que l'on a tout d'abord vissé dans le trou prévu à cet effet puis collé avec une colle spéciale pour métaux et enfin découpé. L'intérêt d'avoir choisi un taraud en dehors de sa forme, c'est également car il est composé d'un matériau très dur.

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Figure 28

Cuvette une fois usinée, les trous latéraux ont étés agrandis pour gagner de la place

sur l'étrier

Figure 29

Ensemble anneau-taraud avant son découpage à l'électro-érosion

c. Fabrication de la plaque support

Cette pièce est d'une grande importance car elle va solidariser le roulement, la tige filetée et l'étrier. En revanche à part les difficultés géométriques pour la concevoir il n'existent pas vraiment de contraintes, c'est pour cela que j'ai choisit une plaque en aluminium, matière qui se découpe rapidement à l'électro-érosion. Le contour a donc été fait de cette manière, les trous à la fraiseuse, mais en ce qui concerne le logement pour le roulement, je n'ai pas eu le choix et j'ai du le faire à la fraiseuse à commande numérique. Pour cela j'ai donc écrit un programme (annexe) que j'ai transféré sur la machine pour usiner ce logement correctement.

d. Fabrication de la fixation à la poutre

A l'origine la tige filetée servait à fixer l'ensemble de la suspension en la logeant dans une poutre préalablement trouée et en la serrant avec deux écrous. Malheureusement, le service immobilier n'a pas été d'accord avec cette idée et j'ai en conséquence du concevoir un autre système de fixation.

Je me suis basé sur le fonctionnement d'un étau: étant donné que la poutre était fine (poutre en U d'épaisseur 15mm) on a fabriqué deux plaques que l'on a par la suite trouées puis soudées avec deux boulons pour pouvoir les monter par la suite sur la tige filetée.

e. Assemblage des pièces

Une fois les pièces crées il ne restait plus qu'à les assembler. J'ai rajouté à la fixation d'origine deux cylindres pour faire la jonction entre la cuvette et la plaque support, de cette manière j'ai pu mettre à niveau les deux plaques. Le fil du pendule sera fixé à l'anneau grâce à un serre câble.

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Figure 30

Plaque support une fois usinée

Figure 31

Plaque support et roulement assemblés. Il s'agit d'un roulement à rouleau conique capable de résister à de fortes charges

axiales

Figure 32

Plaques d'acier une fois découpées, trouées, puis soudées avec les boulons

4. Expérience réalisée

Après avoir réalisé l'ensemble des pièces du pendule et réussit à obtenir l'autorisation, j'ai donc fixé le pendule sur la poutre d'un escalier à environ 3m50 de hauteur.

Une fois que j'ai constaté que l'ensemble tenait bien j'ai commencé à lancé le pendule dans une direction quelconque pour voir si la suspension fonctionnait bien. Première mauvaise surprise lorsque le pendule était lancé trop fortement, le roulement bougeait dans son logement faussant ainsi les oscillations. En m'y reprenant plusieurs fois et en lançant le pendule avec plus de délicatesse et dans l'axe de l'anneau, les oscillations était de meilleures qualités. J'ai alors tout d'abord constaté l'ellipse très allongée que formait la trajectoire du pendule sur un allé-retour, puis j'ai vérifiait avec succès la valeur de la période d'oscillation précédemment calculée.

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Figure 33

Aperçut de la première fixation conçue avec Catia

Figure 34

Aperçut de la fixation finale après plusieurs modifications

Figure 35

Suspension Fabriquée

J'ai alors décidé de fixer un feutre sur le socle prévu initialement pour l'aimant afin de tracer au sol sur une feuille une partie de la trajectoire. Après plusieurs réglage j'obtenais un résultat plutôt satisfaisant et j'observais avec satisfaction au bout de plusieurs dizaines de minutes que le plan d'oscillation tournait bien. De plus l'anneau ne changeait pas d'orientation par rapport à la cuvette, signe que seul le roulement tournait entrainant avec lui toute la suspension comme je l'avais espéré.

Ceci dit un petit regret persiste quant à la durée de l'expérience car avec les frottements avec l'air, le pendule n'oscillait presque plus au bout de 2 heures. Ceci aurait pu être rectifié avec une hauteur de pendule plus grande ou encore avec un système d'entretien des oscillations mais j'ai seulement obtenue l'autorisation de le fixer que lorsque j'étais présent et étant donné que je n'ai pas trouvé d'autre emplacement à moins de dix mètres de hauteur (ce qui aurait impliqué une difficulté pour fixer la suspension), je reste plutôt satisfait de cette expérience.

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Figure 36

Tracé de la trajectoire au centre des oscillations

Conclusion du projet

L'objectif au début de ce projet était simple: concevoir un pendule pouvant tourner à 360°. Cela n'a était atteint qu'en partie, le pendule en lui même est capable de tourner pendant un tour mais les frottements avec l'air ne lui permettent pas de le faire. L'entretien des oscillation par électronique aurait permis de compenser ces frottements, mais je n'ai ni eut le temps, ni l'endroit pour le faire. En fait je n'avais pas prévu de passer autant de temps sur la fabrication de la suspension qui a causé pas mal de problèmes, mais le temps passé n'a pas était inutile puisque le système fonctionne.

De plus je n'avais pas non plus prévu de m'attarder sur la simulation du comportement du pendule mais là encore le résultat de ce travail a été largement concluant puisque les deux simulations sous Matlab et sous Catia marchent et fournissent un outil pédagogique intéressant.

En ce qui concerne ce que m'a apporté personnellement ce projet, le résultat est également satisfaisant. En effet il m'a permis de manipuler plusieurs machines de l'atelier que je serais amené à réutiliser ultérieurement. C'est aussi le cas des logiciels Catia et Matlab car j 'ai découvert lors de ce projet des techniques que je ne connaissait pas. De plus le fait de concevoir un système peu conventionnel a été plutôt une bonne idée puisqu 'il m'a confronté à des contraintes peu habituelles tout en mettant en pratique certaines techniques de productions apprises lors de ces dernières années.

Le bilan général de ce projet personnel est donc assez bon et si il y avait quelque chose à ajouter à ce projet, ce serait une partie électronique.

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Bibliographie

http://www.faidherbe.org/~foucault/fichiers/pdf/biographie.pdf

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Foucault.htmlSur la biographie de Foucault

http://www.betrisey.ch/index.htm Sur le réglage des pendules de Foucault

http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/html/peda/scphys/html/foucault/index.htm Sur la réalisation d'un pendule de Foucault

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Foucault Sur la présentation et la mise en équation du pendule de Foucault

http://visite.artsetmetiers.free.fr/pendule_musee.html Sur le pendule de Foucault du musée des arts et métiers à Paris

http://www.smf.asso.fr/Ressources/Phillips34.pdf Sur l'explication de la précession du pendule

http://www.faidherbe.org/~foucault/fr/index.htm

Site consacré au pendule de Foucault

AnnexeProgramme de trajectoire sous Matlab

%programme représentant la trajectoire d'un pendule de Foucault d'une certaine hauteur lancé à une position et à une latitude choisie

clear all

s=43000; %on rentre le nombre de seconde que l'on veut faire tourner le pendule

p=1; %on rentre la précision du tracé

t=[0:p:s]; %vecteur temps

lam=0; %on rentre la latitude en degré

lam=pi*lam/180; %conversion de la latitude en radian

om=7.272*10^-5; %vitesse de rotation de la terre en rad/s

g=9.41; %accélération de la pesanteur

l=3.5; %longueur du fil en mètres

w=sqrt(g/l); %calcul de pulsation propre du pendule simple

wo=sqrt(w^2+om^2*(sin(lam))^2); %calcul de pulsation propre du pendule de Foucault

x=zeros(size(t)); y=zeros(size(t)); e=zeros(size(t)); f=zeros(size(t));

% x(1)=1; %position d'origine xo=1;

% y(1)=0; yo=0;

for i= 1:s/p %défillement du temps e(i)=-cos(om*sin(lam)*t(i))*cos(wo*t(i)) - sin(om*sin(lam)*t(i))*om*sin(lam)/wo*sin(wo*t(i)); f(i)=sin(om*sin(lam)*t(i))*cos(wo*t(i)) - cos(om*sin(lam)*t(i))*om*sin(lam)/wo*sin(wo*t(i)); x(i)=xo*e(i)-yo*f(i); y(i)=yo*e(i)+xo*f(i);

end

% for i= 1:10000 % ci on veut éfacer des trajectoires % % x(i)=0; % y(i)=0; % % end plot(x,y);

Programme de fraiseuse à commande numérique

Ce système permet d'usiner un cylindre non débouchant, les autres trous de la pièces ont été préalablement faits.

%100N10 G0 G40 G80 G90 //initialisation de la machineN20 M6 T8 D8 //changement d'outilN30 M3 S1600 //choix de l'avance de la fraiseN40 G0 X0 Y0 Z100 //la fraise ce met au dessus de l'origine de la pièceN50 G0 Z3 //elle descend dans le trou central préalablement percéN60 G1 X10 F800 //début d'usinage à une vitesse spécifiéeN80 G2 X-10 Y0 R10 //on fait un premier arc de cercleN90 G2 X10 Y0 R10N100 G42 G1 X20 //correction de profilN110 G2 X-20 Y0 R20 //on fait une deuxième passe avec un rayon plus grandN130 G2 X20 Y0 R20N135 G2 X0 Y-20 R20N140 G0 Z100 //dégagementN150 G40 //fin de correction de profilN160 M2 //extinction de la machine

Code de couleur : • vert numéro de ligne • rouge commandes• bleu coordonnées