Pendule de Foucault

1

PENDULE DE FOUCAULT

Gilbert VINCENT

Février 2004

http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/

Pendule de Foucault

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Plan du pendule fixe par rapport à une étoile

La terre tourne

Plan du pendule fixe par rapport à une étoile

La terre tourne

Dans le repère terrestre,le plan du pendule:

• effectue un tour en 1 journée

• est fixe (plan de l’équateur)

Au pôle

A l’équateur

Plan du pendule fixe par rapport à une étoile

La terre tourne

Plan du pendule fixe par rapport à une étoile

La terre tourne

Dans le repère terrestre,le plan du pendule:

• effectue un tour en 1 journée

• est fixe (plan de l’équateur)

Au pôle

A l’équateur

Pendule de Foucault

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PENDULE DE FOUCAULT "Je vous invite à venir voir tourner la Terre". Non la proposition de Foucault n’était pas d’observer le mouvement des étoiles, mais de s’enfermer dans une pièce et de regarder osciller un pendule. Ceci mérite bien une petite étude que nous allons mener selon l'itinéraire ci-dessous : Le pendule aux pôles et à l'équateur Présentation du problème général Forces appliquées Accélération: repère Galiléen Terre-Etoiles Application du principe fondamental de la dynamique (PXY) Position d'équilibre et simplifications Introduction de la variable complexe Résolution avec conditions initiales Equation du mouvement et conclusion Mouvement dans un repère tournant Autre résolution: coordonnées locales polaires (P, r, α) Le pendule et les pseudo-forces LE PENDULE SIMPLIFIE

LE PENDULE AU POLE NORD (OU SUD) ET A L’EQUATEUR

Aux pôles Un pendule qui serait écarté de sa position d’équilibre, et lâché sans vitesse initiale, au pôle

ne reste pas dans un plan fixe par rapport à l’observateur assis à côté. Il semble faire un tour en 1 journée.

Voici la raison : un pendule lancé au pôle garde une direction constante … PAR RAPPORT AUX ETOILES.

Il n’y a aucune force susceptible de faire tourner son plan d’oscillation avec la terre. Il ne faut pas inventer une force d’ "entraînement" communiquée par l’air ou par tout autre moyen! Si le pendule est mis sous vide, son comportement est inchangé.

Ce plan étant fixe par rapport aux étoiles, c’est la terre qui tourne sous le pendule, en un peu moins de 24h.

NB. Le temps de révolution est de 23h 56min 04,1sec, jour sidéral, période nécessaire pour

retrouver une étoile à la même position. Ce temps est facile à vérifier en observant le lever ou le coucher, ou encore le passage d’une étoile brillante plusieurs jours de suite.

Pendule de Foucault

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Vers Etoile

λ

O

N

P

APoint de fixation du pendule

S

Ω M L

Equateur

Mér

idie

n

Parallèle Ir

Kuur

Eur

JurH

ϕ

Vers Etoile

λ

O

N

P

APoint de fixation du pendule

S

Ω M L

Equateur

Mér

idie

n

Parallèle Ir

Kuur

Eur

JurH

ϕ

Pendule de Foucault

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A l'équateur A l’équateur, le plan d’oscillation est fixe, quelle que soit la direction dans laquelle on

l’écarte avant de le lâcher. Ceci se comprend encore très bien si le pendule est lancé dans le plan de l’équateur : le plan de l’équateur est fixe par rapport aux étoiles, celui du pendule aussi, il n’y a donc pas de rotation du plan du pendule dans le repère local.

Si à l’équateur le pendule est lancé suivant une direction Nord Sud, c’est un peu plus compliqué, mais le physicien dirait que vu la symétrie du problème, il n’a aucun argument pour fixer le sens de rotation dans un sens ou dans l'autre, donc le plan ne tourne pas.

Si la direction du lâcher est quelconque, la discussion se complique, et comme nous ne sommes généralement ni au pôle ni à l’équateur, il est temps de formaliser le problème.

PRESENTATION DU PROBLEME GENERAL La figure pose le problème dans toute sa généralité. Le pendule, supposé ponctuel, repéré

par le point M, est suspendu au point A par un fil de longueur L. La terre est supposée à symétrie sphérique, seule dans l’espace en compagnie d’étoiles

lointaines. Le point P et les axes X ( Ir

), Y ( Jur

), Z ( Kuur

) sont le repère local que l’on pourrait matérialiser dans un amphithéâtre.

La question que l’on se pose est : quelle est la trajectoire du pendule dans le repère local ?

FORCES APPLIQUEES Il n’y a que DEUX forces appliquées à la masse m du pendule :

• l’attraction de la terre • la tension du fil

Le problème du pendule est un trop grand classique pour le reprendre ici et nous allons

simplement utiliser certaines de ses conclusions. Pour des petits mouvements (X ou Y très petits devant L), la résultante de ces 2 forces est

une force proportionnelle à l'écart θ du pendule : F mgθ= − ou ( / )F mg PM L= − Toujours du fait des faibles amplitudes envisagées, la variable Z (altitude) ne sera pas

considérée, et le vecteur PMuuuur

sera repéré par : PM X I Y J= +uuuur r ur

La force résultante (Terre+fil) est alors très bien approchée par l'expression:

( )mgF X I Y JL

= − +ur r ur

ou 20 ( )F m X I Y Jω= − +

ur r ur avec 2

0gL

ω =

Cette force est nulle si M est en P, et proportionnelle à l'écart du pendule par rapport à la droite OA.

NB: ces approximations poseront un petit problème plus loin (cf. application PFD)

Pendule de Foucault

6

Plan du pendule OAM (ou PAM). Résultats classiques θ petit

Vers centre O de la terre

M

A

P

θ

Kuur

Force résultante

La pesanteur ramène le pendule suivant AP (ou AO)

L

Position dans PXYZ

PM X I Y J≅ +uuuur r ur

20

20

( )RF m X I Y JgL

ω

ω

≅ − +

=

uur r ur

Mouvement suivant Z négligeable

Plan du pendule OAM (ou PAM). Résultats classiques θ petit

Vers centre O de la terre

M

A

P

θ

Kuur

Force résultante

La pesanteur ramène le pendule suivant AP (ou AO)

L

Position dans PXYZ

PM X I Y J≅ +uuuur r ur

20

20

( )RF m X I Y JgL

ω

ω

≅ − +

=

uur r ur

Mouvement suivant Z négligeable

Pendule de Foucault

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ACCELERATION: REPERE INERTIEL TERRE-ETOILES Le repère « amphithéâtre » est insuffisant pour traiter ce problème, car même si son

extension spatiale n’est pas très importante, le temps sur lequel il se déroule exige un repère plus "large". Dans un repère de type local (amphithéâtre), l’application du principe fondamental conduirait au mouvement classiquement établi d’oscillations harmoniques dans un plan fixe, ce qui est contraire à l’observation.

Calculons donc l’accélération dans un repère constitué par le centre de la terre O et des axes

lié aux étoiles : ce repère prend donc bien en compte la rotation que nous caractérisons par le vecteur Ω

ur : suivant l’axe de rotation de la terre, orienté du Sud vers le Nord (voire le tire-

bouchon) dont le module est égal à 2 /86164π rad/s et qui est constant en module, sens et direction.

Position La position du pendule est repérée par :

( )OM RK X I Y J= + +uuuur uur r ur

Rappel : Z est considéré comme négligeable. Pour calculer l'accélération, nous pouvons employer le théorème de composition des

accélérations (voir annexe), mais il est tout à fait possible d’opérer par différentiation, ce que nous allons faire. Nous aurons besoin pour cela des différentielles de vecteurs unitaires, que nous allons établir tout de suite en nous aidant des figures ou mieux d’un globe terrestre.

d I E dλ= − r ur

vecteur dans le plan de rotation (plan du parallèle) sind J I dϕ λ= −

ur r doit faire zéro si 0ϕ = (translation pure)

cosd K I dϕ λ= + uur r

doit faire zéro si 2ϕ π= ( Kuur

tourne sur lui-même) d E I dλ= ur r

vecteur dans le plan de rotation (plan du parallèle) NB: le vecteur E

ur ne fait pas partie de la panoplie ordinaire des trois vecteurs de base des

repères sphériques, mais il est extrêmement utile. Il n’y a plus qu’à calculer la vitesse puis l’accélération.

Vitesse Fort de ces relations, calculons la variation différentielle de la position: dOM Rd K Xd I Yd J IdX JdY= + + + +uuuur uur r ur r ur

Soit, en remplaçant les différentielles des vecteurs par leurs expressions:

[ cos sin ]dOM R I X E Y I d IdX JdYϕ ϕ λ= − − + +uuuur ur ur r r ur

Pour obtenir la vitesse, il faut diviser par dt et, compte tenu de /d dtλ = Ω :

[( cos sin ) ]MdX dYV R Y I X E I Jdt dt

ϕ ϕ= − − Ω + +uur r ur r ur

Ceci est l'expression de la vitesse du pendule dans le repère Galiléen. Dans le repère local, ce serait simplement ( ) ( )dX dt I dY dt J+

r ur.

Expression à vérifier en essayant de visualiser chacun des termes : annuler X et Y, faire 0ϕ = et / 2ϕ π= …

Pendule de Foucault

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Ir

Jur

Vers Nord

Vers Est

P

Kuur

X

Y

Eur

Jur

Vers Nord

Parallèle à l’équateur

P

Kuur

Z

Y

Ωur

Suivant OP(vers le haut)

Coordonnées locales X,Y,Z

Cteϕ = (Latitude)

Plan tangent à la sphère

PS: la direction Z est notée "suivant OP"; il n’est pas écrit "suivant la verticale". Si la verticale est bien définie comme la direction du fil à plomb, OP et la verticale ne sont pas confondus, nous verrons plus loin pourquoi.

Ir

Ir

Jur

Vers Nord

Vers Est

P

KuurKuur

X

Y

Eur

Jur

Vers Nord

Parallèle à l’équateur

P

Kuur

Z

Y

Ωur

Suivant OP(vers le haut)

Coordonnées locales X,Y,Z

Cteϕ = (Latitude)Cteϕ = (Latitude)

Plan tangent à la sphère

PS: la direction Z est notée "suivant OP"; il n’est pas écrit "suivant la verticale". Si la verticale est bien définie comme la direction du fil à plomb, OP et la verticale ne sont pas confondus, nous verrons plus loin pourquoi.

PS: la direction Z est notée "suivant OP"; il n’est pas écrit "suivant la verticale". Si la verticale est bien définie comme la direction du fil à plomb, OP et la verticale ne sont pas confondus, nous verrons plus loin pourquoi.

IrIr

Plan du parallèle (ou plan équatorial)Attention, ce n’est pas un dessin dans l’espace, mais dans un plan

EurI

r

Vers Est

Parallèle

P

X

Vers étoile λddtλ

= Ω

λ n’est pas la longitude, mais un angle qui repère la rotation du plan méridien par rapport aux étoiles

Parallèl

e

Ir

Vers Est

P X

Ωur

Eur

est normal au plan du parallèle(et à celui de l’équateur)

ΩurPlan du parallèle (ou plan équatorial)

Attention, ce n’est pas un dessin dans l’espace, mais dans un plan

EurI

r

Vers Est

Parallèle

P

X

Vers étoile λddtλ

= Ω

λ n’est pas la longitude, mais un angle qui repère la rotation du plan méridien par rapport aux étoiles

Parallèl

e

Ir

Vers Est

P X

Ωur

Eur

est normal au plan du parallèle(et à celui de l’équateur)

Ωur

Pendule de Foucault

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Accélération Il n’y a plus qu’à recommencer exactement la même gymnastique, et calculer MdV

uurpuis

/MdV dtuur

. Dans MdVuur

, garder ( / )d dX dt (variation de la vitesse suivant X dans le repère local) qui deviendra 2 2( / ) / /d dX dt dt d X dt= . Si vous avez un peu de mal, définissez /XV dX dt= et

/YV dY dt= . Ceci conduit finalement à l’accélération : 2

22

2

2

2 2

[ 2 sin ]

[ 2 sin cos ]

Md X dY X Idt dtd Y Jdt

dX Y R Edt

ϕ

ϕ ϕ

Γ = − Ω − Ω

+

+ − Ω + Ω − Ω

uuur ur

ur

ur

Là encore il est possible de visualiser les composantes. Mais du fait du rassemblement (mathématique) de termes, certaines composantes sont difficiles à "voir" : ce sont notamment les termes Coriolis, qui se distinguent par un facteur 2 et qui sont ici des couplages translation-rotation. NB : il est beaucoup plus facile de visualiser les termes dans MdV

uurque dans MΓ

uuur.

APPLICATION DU PRINCIPE FONDAMENTAL L’application de

MF m= − Γur ur

avec, comme nous l’avons vu pour la force résultante : 20 ( )F m X I Y Jω= − +

ur r ur nous fournit l’équation différentielle vectorielle:

20 ( ) 0M X I Y JωΓ + + =

uuur r ur L'expression de MΓ

uuurn'est pas réécrite ici.

Nous cherchons X et Y. Pour obtenir deux équations scalaires, il faut projeter sur 2 axes. Le plus commode est de projeter sur les axes X et Y, c’est à dire de multiplier scalairement par les vecteurs I

rpuis J

ur. Attention .J E

ur ur n'est pas nul (= sinϕ− ).

22 202 2 sin ( ) 0d X dY X

dt dtϕ ω− Ω + − Ω =

22 2 202 2 sin [ ( sin ) ] sin cosd Y dX Y R

dt dtϕ ω ϕ ϕ ϕ + Ω + − Ω = −Ω

NB: Là se situe le petit problème évoqué au début: l'accélération est valable à 3 dimensions et nous pouvons donc établir une 3ème équation en multipliant par exemple Γ

ur par K

uur

( . cosK E ϕ=uur ur

). Du fait des approximations opérées, cette équation n'a pas de sens.

POSITION D’EQUILIBRE ET SIMPLIFICATIONS

Plaçons nous tout à la position d’équilibre du pendule : X Cte= et Y Cte= . Dans le repère local PXY la vitesse est nulle, ainsi que l’accélération. Les 2 équations conduisent à :

. 0eqX = 2

. 2 20

sin cos( sin )eqY Rϕ ϕ

ω ϕΩ

= −− Ω

Pendule de Foucault

10

P X

Y

Yeq

2

. 2 20

sin cos( sin )eqY R ϕ ϕ

ω ϕΩ

= −− Ω

Position d’équilibre du pendule

Changement d’axe à effectuer pour éliminer le terme constant des équations

2

.1 sin 22eq

RY Lg

ϕΩ≅ −

Pour le pendule classique, Yeq/L est au maximum égal à 0,0017P et P’ sont pratiquement confondus

EQUILIBRE

P’

P X

Y

Yeq

2

. 2 20

sin cos( sin )eqY R ϕ ϕ

ω ϕΩ

= −− Ω

Position d’équilibre du pendule

Changement d’axe à effectuer pour éliminer le terme constant des équations

2

.1 sin 22eq

RY Lg

ϕΩ≅ −

Pour le pendule classique, Yeq/L est au maximum égal à 0,0017P et P’ sont pratiquement confondus

EQUILIBRE

P’

Pendule de Foucault

11

.eqX ne nous surprend pas, mais pourquoi .eqY n’est-il pas nul ? Il suffit de regarder la figure de la présentation du problème pour se rendre compte que du fait de la rotation de la terre, le pendule doit s’écarter le la direction AO. Pour parler "Galilée", le pendule décrivant un cercle, il faut une force pour assurer cette rotation, et c’est ce petit écart

.eqY qui permet à la pesanteur d'assurer cette force. Si cela ne vous convainc pas, pensez à la pseudo force centrifuge … A ce stade, deux réflexions. 1) On peut effectuer un changement de variable très simple .' eqY Y Y= − . C’est une simple translation des axes qui ne change pas les dérivées. Le terme constant de la deuxième équation différentielle disparaît. En réfléchissant on s’aperçoit d’ailleurs que le pendule va "automatiquement" faire ce changement de variable, puisqu'au repos, il va se positionner en .eqY Y= , suivant la verticale du lieu qui n'est donc pas suivant PA (ou OP). 2) Pour notre système, Ω est tout à fait négligeable devant 0ω : les périodes correspondantes sont la journée et quelques secondes: 2 8( / ) 10 àω − −10Ω = 10 Donc nous avons sensiblement :

2

. 20

sin coseqY R ϕ ϕωΩ

= − soit 2

.1 sin(2 )2eq

RY Lg

ϕΩ= −

La valeur de eqY est maximum sous 45 degrés de latitude, et pour L=10m, ordre de grandeur des grands pendules de démonstration, 17eqY mm= . Cette correction est donc faible, et on pourrait la négliger, et donc supprimer le terme constant sans autre forme de procès. Nous allons cependant effectuer le changement de variable .' eqY Y Y= − en gardant en mémoire que cette correction est faible et que pratiquement, les déplacements observés vérifient Y', donc la valeur que nous allons calculer, et non pas Y. Les deux équations s'écrivent finalement, en négligeant 2Ω devant 2

0ω : 2 '

2

2 '

20

20

'2

2 sin 0

2 sin 0

d X dY Xdt dt

d Y dX Ydt dt

ϕ ω

ϕ ω

− Ω + =

+ Ω + =

En supprimant la rotation de la terre ( 0Ω = ), les équations deviennent de très classiques équations harmoniques indépendantes. Cette rotation couple donc X et Y, de manière assez symétrique, par un terme de dérivée première.

INTRODUCTION DE LA VARIABLE COMPLEXE ZC En posant

'CZ X iY= + et sinS ϕΩ = Ω

Les 2 équations se résument à une seule:

Pendule de Foucault

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Ir

Jur

Vers le Nord

Vers l’EstP’

X

Y’

2Xinit

(Ωsinϕ).t

Trajectoire du penduledans P’XY’1/ Oscillations harmoniques de pulsation ω02/ Rotation du plan d’oscillationSi ϕ>0, sens horaireSi ϕ<0, sens trigonométrique

CONCLUSION

Pendule de Foucault

13

2202 2 0C C

S Cd Z dZi Zdt dt

ω+ Ω + =

Un deuxième changement de variable

0 exp[ ]C C SZ Z i t= Ω ou 0 exp[ ]C C SZ Z i t= − Ω ( sinS ϕΩ = Ω ) reporté dans l'équation en ZC conduit à:

22 200 02 [ ] 0C

S Cd Z Z

dtω+ + Ω =

qui compte tenu des valeurs respectives de 0ω et ( sin )S ϕΩ = Ω se simplifie sous la forme: 2

200 02 0C

Cd Z Z

dtω+ =

Nous ne pouvions pas rêver beaucoup plus simple! C'est l'équation d'une évolution harmonique de pulsation 0ω . Sans aller plus loin dans les calculs, nous pouvons donc décrire le mouvement:

• c'est une oscillation harmonique de pulsation 0ω , traduite par l'équation 2 2 2

0 0 0 0C Cd Z dt Zω+ = • le plan de l'oscillation tourne avec une vitesse - SΩ : c'est le sens de l'équation

0 exp[ ]C C SZ Z i t= − Ω

RESOLUTION AVEC LES CONDITIONS INITIALES

La solution de l'équation en 0CZ s'écrit:

0 0 0exp( ) exp( )CZ A i t B i tω ω= + − Soit en en revenant à CZ :

0 0exp( )[ exp( ) exp( )]C sZ i t A i t B i tω ω= − Ω + − Fixons nous des conditions initiales. Par exemple:

' '.0, , 0, / 0, / 0initt X X Y dX dt dY dt= = = = =

Appliquons ces conditions à la variable complexe CZ et à sa dérivée: 0 0exp[ ( ) )] exp[ ( ) ]C s sZ A i t B i tω ω= − Ω + − + Ω

0 0 0 0/ ( ) exp[ ( ) )] ( ) exp[ ( ) ]C s s s sdZ dt i A i t i B i tω ω ω ω= − Ω − Ω − + Ω − + Ω Les deux inconnues A et B doivent vérifier:

. ( 0)init C tX Z A B== = + 0 0 00 ( / ) ( ) ( )C t s sdZ dt i A i Bω ω== = − Ω − + Ω

d'où: .

0

.

0

(1 )2

(1 )2

init S

init S

XA

XB

ω

ω

Ω= +

Ω= −

Pendule de Foucault

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TRAJECTOIRE LOCALE DU PENDULE

1/ Hémisphère Nord. 2/ Le rapport Ω/ω0 est très exagéré (10-1)

par rapport à celui du pendule de Foucault (10-4)

Conditions initiales:• X=Xinit• vitesse nulle

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Y’/Xinit.

X/Xinit.

P’

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Y’/Xinit.

X/Xinit.

P’ EstOuest

Nord

Pendule de Foucault

15

La fonction CZ s'écrit donc: ' . .

0 00 0

(1 )exp[ ( ) )] (1 ) exp[ ( ) ]2 2init S init S

C s sX XZ X iY i t i tω ω

ω ωΩ Ω

= + = + − Ω + − − + Ω

En identifiant les termes réels et imaginaires: .

0 00 0

' .0 0

0 0

(1 )cos[( ) ] (1 )cos[( ) ]2

(1 )sin[( ) ] (1 )sin[( ) ]2

init S Ss s

init S Ss s

XX t t

XY t t

ω ωω ω

ω ωω ω

Ω Ω= + − Ω + − + Ω

Ω Ω

= + − Ω − − + Ω

Soit encore, en utilisant les lois d'additions de la trigonométrie:

. 0 00

'. 0 0

0

[cos( )cos( ) sin( )sin( )]

[ cos( )sin( ) sin( ) cos( )] .sin

Sinit s s

Sinit S s S

X X t t t t

Y X t t t t

ω ωω

ω ω ϕω

Ω= Ω + Ω

Ω= − Ω + Ω Ω = Ω

Voir la figure "trajectoire locale du pendule" pour illustration. Pour avoir une idée approchée (mais attention, ceci déforme les trajectoires) en négligeant

0/s ωΩ , les expressions deviennent très simples:

. 0

'. 0

'

cos( ) cos( )

cos( )sin( )

( ) .sin

init s

init S

S S

X X t t

Y X t t

Y tg tX

ω

ω

ϕ

= Ω

= − Ω

= − Ω Ω = Ω

Cette dernière relation a une signification très claire. Pour résumer: Le pendule effectue un mouvement harmonique de pulsation 0ω telle que 2

0 /g Lω = Le plan du pendule effectue un mouvement de rotation dans le sens trigonométrique dans

l'hémisphère Sud et dans le sens horaire dans l'hémisphère Nord (l'équateur est l'équivalent d'un miroir).

La vitesse angulaire SΩ de cette rotation est égale à sinϕΩ , liée à la latitude ϕ et à la vitesse de rotation de la terre Ω . Elle est nulle à l'équateur et égale à Ω aux pôles. La période en un lieu donné est T=1 jour/sinϕ

C'est le génie du pendule de Foucault: enfermé dans une cave, on peut affirmer que la terre

tourne, et même déterminer la latitude si la période de rotation de la terre est supposée connue. Attention, ces conclusions sont sensiblement différentes lorsque Ω n'est pas négligeable

devant ω0. C'est notamment le cas lors d'expériences en laboratoire ou Ω est simulé avec une table tournante.

Il existe une explication simplifiée pour expliquer la période de rotation du plan du pendule sous une latitude quelconque. Basée sur la différence des vitesses de la terre au point extrême atteint par le pendule, elle marche lorsque le plan d’oscillation est Nord-Sud, mais reste muette pour une orientation Est-Ouest: elle est présentée en fin de document.

A titre d’exercice, une approche avec des coordonnées locales polaires est maintenant proposée.

Pendule de Foucault

16

y

xXinit.

(Ω.sinϕ/ω)Xinit.

Mouvement dans l’espace ZC’Le système d’axes P’xy tourne à la vitesse –ΩS

par rapport au système local P’XY

Ellipse extrêmement aplatie, rapport des axes ~10-4

A ne pas confondre avec la trajectoire réelle du pendule (cf. figure précédente)

P’

X

St−Ω

Trajectoire du pendule

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Trajectoire dans le plan P’XY d’un pendule lancé avec vitesse initiale

négative suivant Y.

Pendule de Foucault

17

MOUVEMENT DANS UN REPERE TOURNANT

Nous venons de voir que dans notre repère P’XY, fixe par rapport au sol, le mouvement du

pendule a une allure en "étoile".

Il est beaucoup plus simple dans un repère tournant à la vitesse S−Ω . C’est en fait le repère de la variable complexe 0CZ , dans lequel le mouvement a été trouvé égal à :

0 0 0exp( ) exp( )CZ A i t B i tω ω= + − En reprenant les conditions initiales précédentes (lâcher sans vitesse initiale le long de l’axe

X), nous avons montré que les constantes A et B respectent :

.

0

.

0

(1 )2

(1 )2

init S

init S

XA

XB

ω

ω

Ω= +

Ω= −

Appelons x et y les variables du repère 0CZ . Nous avons en développant les exponentielles imaginaires :

. .0 0 0 0 0

0 0

(1 )[cos sin ] (1 )[cos sin ]2 2init S init S

CX XZ x iy t i t t i tω ω ω ω

ω ωΩ Ω

= + = + + + − −

D’où, en identifiant les termes réels et imaginaires :

. 0

. 00

cos

sin

init

Sinit

x X t

y X t

ω

ωω

=Ω

=

Ceci est l’équation d’une ellipse, très aplatie puisque 0S ωΩ est faible, parcourue en un temps

02T π ω= , période du pendule

NB : La littérature traite très généralement le cas du lâcher sans vitesse initiale. La trajectoire

observée doit donc être celle de la figure "Trajectoire locale du pendule" : à chaque demi-période, le pendule s’immobilise. Or on trouve souvent dans cette littérature des courbes aussi esthétiques que fantaisistes, qui correspondent en fait à des lâchers avec une vitesse tranversale.

Dans le repère 0CZ que nous venons d’étudier, lorsque le pendule arrive à une extrémité (x=Xinit par exemple), il est très facile de montrer que le pendule a une vitesse dy/dt =XinitΩS, qui est égale et opposée à la vitesse d’entrainement du système d’axes Xinit(-ΩS) : le pendule est bien immobile.

Pendule de Foucault

18

Coordonnées locales polaires

Ir

Jur

Vers Nord

Vers Est

P

Kuur

X

Y

Plan tangent à la sphère

Murw

ur

θ

r

Coordonnées locales polaires

Ir

Jur

Vers Nord

Vers Est

P

KuurKuur

X

Y

Plan tangent à la sphère

Murw

ur

θ

r

Pendule de Foucault

19

PENDULE DE FOUCAULT: COORDONNEES POLAIRES

Accélération D'après la relation de composition des accélérations (Annexe 1)

2 [ ]M P R RdV PM PMdtΩ

Γ = Γ + Ω ∧ + Ω ∧ Ω ∧ + ∧ + Γur

uuur uur ur uur ur ur uuuur uuuur uur

RVuur

et RΓuur

sont la vitesse et l'accélération dans le repère dit relatif PXY

En supprimant le terme en [ ]PMΩ ∧ Ω ∧ur ur uuuur

, négligeable (voir paragraphes précédents), et le terme d dtΩ

ur qui est nul:

2M P R RVΓ ≅ Γ + Ω ∧ + Γuuur uur ur uur uur

Dans la suite, comme précédemment, nous négligerons aussi la composante Z (altitude).

Force résultante Comme nous l’avons vu, la force résultante s'écrit:

20F m PMω≅ −

ur uuuur

Application du PFD L’équation du PFD MF mΓ=

ur uuur

s’écrit finalement: 20 2 0R P RPM VωΓ + + Γ + Ω ∧ =

uur uuuur uur ur uur r

Avec:

2( cos )P R EϕΓ = − Ωuur ur

car le point P décrit un cercle (un parallèle) de rayon cosR ϕ , et les relations classiques des coordonnées polaires: PM ru=uuuur r

Rdr dV u r wdt dt

θ= +

uur r ur

2 22

2 2[ ( ) ] [2 ]Rd r d dr d dΓ r u r r wdt dt dt dt dt

θ θ θ= − + +

uur r ur

Ecrivons tout de suite deux équations scalaires en projetant l'équation du PFD sur u

ret wur

. (Se rappeler qu'un produit vectoriel impliquant u

r est obligatoirement perpendiculaire à u

r !)

22 2 2

02 ( ) ( cos ) . 2 ( ). 0d r d dr r R E u r w udt dt dt

θ θω ϕ− + − Ω + Ω ∧ =ur r ur ur r

2

22[2 ] ( cos ) . 2 ( ). 0dr d d drr R E w u w

dt dt dt dtθ θ ϕ+ − Ω + Ω ∧ =

ur ur ur r ur

Avec: . (cos sin ).(cos sin ) sin sinE u K J I Jϕ ϕ θ θ ϕ θ= − + = −

ur r uur ur r ur

. (cos sin ).( sin cos ) sin cosE w K J I Jϕ ϕ θ θ ϕ θ= − − + = −ur ur uur ur r ur

( w ).u w u ) K ) .sinϕΩ ∧ = Ω.( ∧ = Ω.(− = −Ωur ur r ur uuurr ur uur

( u ).w u w ) K ) .sinϕΩ ∧ = Ω.( ∧ = Ω.( = Ωur r ur ur uuurur ur uur

Pendule de Foucault

20

Jean-Bernard-Léon Foucault : Paris,

1819 - Paris, 1868

Pendule de Foucault

21

Les deux équations scalaires deviennent donc:

22 2 2

02[ ( ) ] sin cos sin 2 sin 0d r d dr r R rdt dt dt

θ θω ϕ ϕ θ ϕ− + + Ω − Ω = 2

22[2 ] sin cos cos 2 sin 0dr d d drr R

dt dt dt dtθ θ ϕ ϕ θ ϕ+ + Ω + Ω =

Au repos (r et θ constants), nous obtenons:

• de la deuxième équation cos 0θ = donc 2θ π= ± • de la première équation:

2 2. 0sin coseqr R ϕ ϕ ω= Ω

qui est l'équivalent du .eqY de l'approche XY, en prenant 2θ π= −

Nous négligerons le terme 2 sin cos sinR ϕ ϕ θΩ dans la suite (voir discussion .eqY ).

En posant ddtθϖ = :

2202 [2 sin ] 0d r r r

dtω ϖ ϕ ϖ+ − Ω + =

2 2 sin 0d dr drr

dt dt dtϖ ϖ ϕ+ + Ω =

La deuxième équation conduit à: 2 [ sin ] 0rd drϖ ϖ ϕ+ + Ω = => 2 0

sindr dr

ϖϖ ϕ

+ =+ Ω

=> 2[ sin ]r Cte Cϖ ϕ+ Ω = =

Qui est une relation ressemblant à la loi des aires de Képler. En reportant ce résultat dans la première équation, nous obtenons :

2202 2 2[ sin ][ sin ] 0d r C Cr r

dt r rω ϕ ϕ+ − − Ω + Ω =

2

2 202

C[ ( sin ) ] 0d r rdt r

ω ϕ2

3+ + Ω − = dans laquelle 2 20 ( sin )ω ϕ+ Ω se résume à 2

0ω . Finalement:

2202

C 0d r rdt r

ω2

3+ − =

2 sinCr

ϖ ϕ= − Ω

Il ne reste plus qu’à résoudre et à mettre en musique les conditions initiales …! Fixons nous tout d’abord deux conditions initiales pour y voir un peu plus clair : pendule écarté, immobile dans le repère local.

0r r= 0 0ϖ =

Pendule de Foucault

22

FORCE DE RAPPEL ET PSEUDO-FORCES

20 2R P Rm m PM m m VωΓ ≅ − − Γ − Ω ∧

uur uuuur uur ur uur

Ir

Jur

Vers EstPX

Y

2Xinit

Force rappel =>oscillations harmoniques de pulsation ω 0

Centrifuge =>écart équilibre / OA

Coriolis =>Rotation du plan

L’interprétation de la rotation du plan à partir de Coriolis n’est pas aussi simple qu’il n’y paraîtcar VR change de sens à chaque ½ période!Il faut bien observer la trajectoire pour comprendre

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Aux extrema, la vitesse est nulle, • il n’y a pas de pseudo-force de Coriolis, • le mobile se dirige vers la position d’équilibre P’sous l’effet de la force de rappel (poids)

Lorsque la vitesse augmente,la pseudo-force de Coriolis agit et incurve la trajectoire

Y’/Xinit.

X/Xinit.

P’

Conditions initiales• X=Xinit• dX/dt=0• dY/dt=0

Le pendule a une vitesse nulle

Pendule de Foucault

23

422 2002

r ( sin ) 0d r rdt r

ω ϕ3+ − Ω =

202[ 1] sinr

rϖ ϕ= − Ω La vitesse de rotation d dtϖ θ= s’annule chaque fois que 0r r= . Il est aussi possible d’éliminer le temps pour obtenir l’équation différentielle en r et θ , en

remarquant que d’après l’équation 2 sinCr

ϖ ϕ= − Ω :

2 sinddt

C rθ

ϕ=

− Ω Ce qui conduit finalement à :

22 2 2

02 3

C C 2 C[ sin ] [ ] [ sin ] 0d r dr C rd r d r r r

ϕ ϕ ωθ θ

2

2 2 3− Ω − − Ω + − =

A ce stade il faut se tourner vers une solution numérique …

LE PENDULE ET LES PSEUDO FORCES Repartons de l'application du principe fondamental dans un repère Galiléen (cf. ci dessus), en utilisant uniquement les deux forces en présence: tension du fil et pesanteur.

220 R P R-m PM=mΓ mΓ m Vω + + Ω ∧uuuur uur uur ur uur

Cette équation se réécrit:

22R 0 P RmΓ =-m PM mΓ m Vω − − Ω ∧

uur uuuur uur ur uur

Dans cette équation de type m ForcesΓ = Σ

ur uuuuuuuur (voir figure)

RΓuur

est l'accélération dans notre repère local, qui conditionne le mouvement que nous observons. En ce qui concerne les forces :

20- m PMωuuuur

est la force classique de rappel du pendule

PmΓ−uur

est la pseudo-force centrifuge qui écarte le pendule de l'axe de la terre 2 Rm V− Ω ∧ur uur

est la pseudo-force de Coriolis qui fait tourner le plan d'oscillation A propos de le pseudo force de Coriolis 2 Rm V− Ω ∧

ur uur

• elle est maximum au pôle car Ωur

et RVuur

sont toujours perpendiculaires. • en s'éloignant du pôle son efficacité diminue • à l'équateur, la force a pour direction K

uur (et ici, comme aux pôles, la verticale et K

uur sont

confondus) et elle ne donne aucune contribution à une rotation.

Pendule de Foucault

24

Foucault Léon Foucault Paris 1819-1868

Pendule de Foucault

25

ANNEXE:

CALCUL DE L'ACCELERATION PAR LES THEOREMES GENERAUX

Rappel de la relation de composition des accélérations. Voir : http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/ Mécanique /changement de repère. Elle fournit l'accélération MΓ

uuurdans un repère A lorsque:

• la position PMuuuur

, la vitesse RVuur

et l'accélération RΓuur

sont connus dans un repère R, • et que l'on dispose des deux caractéristiques du mouvement du repère R par rapport

au repère A : l'accélération PΓuur

de l'origine du repère R, et vecteur rotation Ωur

.

2 [ ]M P R RdV PM PMdtΩ

Γ = Γ + Ω ∧ + Ω ∧ Ω ∧ + ∧ + Γur

uuur uur ur uur ur ur uuuur uuuur uur

Relation dont la démonstration utilise largement la recette qui permet d'obtenir la dérivée

d'un vecteur unitaire ur

: du dt u= Ω ∧r ur r

Application au pendule de Foucault. La terre et des étoiles constituent le repère A et PXYZ le repère R. Le vecteur Ω

ur, est le vecteur rotation de la terre sur elle-même.

En négligeant la variable Z, nous obtenons.

2 2

2 22 ( ) [ ( )] ( )M PdX dY d d X d YI J X I Y J X I Y J I Jdt dt dt dt dt

ΩΓ = Γ + Ω ∧ + + Ω ∧ Ω ∧ + + ∧ + + +

uruuur uur ur r ur ur ur r ur r ur r ur

La vitesse de rotation étant constante, le terme /d dtΩur

disparaît. L'accélération du point P est très facile à exprimer puisque le point P décrit un cercle de rayon cosR ϕ :

2( cos )P R EϕΓ = − Ωuur ur

Le travail n'est pas terminé pour autant! Il faut effectuer les produits vectoriels. Ce qui donne:

I EΩ ∧ = −Ωur r ur

sinJ IϕΩ ∧ = −Ω

ur ur r

E IΩ ∧ = −Ωur ur r

Il ne faut plus qu'un peu de patience pour reporter tout cela dans MΓ

uuur.

Pendule de Foucault

26

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figures à gauche et texte à droite

PENDULE DE FOUCAULT

Approche simplifiée

- par la vitesse différentielle

- par la force de Coriolis (qualitative)

Gilbert VINCENT

Université Joseph Fourier, Grenoble

Janvier 2007

http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/

Pendule de Foucault

27

PENDULE DE FOUCAULT

Approche simplifiée

- par la vitesse différentielle

- par la force de Coriolis (qualitative)

Gilbert VINCENT

Université Joseph Fourier, Grenoble

Janvier 2007

http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/

Pendule de Foucault

28

ϕ

Nord

r

Y

aO

B

AEquateur

H

L’angle OBHest égal à ϕ

Lorsque la Terre tourne, la vitesse du point A est supérieure à celledu point B

X (Est)

Y (Nord)

A

O

B

a

Trajectoiredu pendule

a

Dans le plan horizontal

X

Y

2 rJπ

A

O

B

2 ( sin )r aJ

π ϕ+

2 ( sin )r aJ

π ϕ−

a

a

Vitesses (m/s)

Pendule de Foucault

29

Démonstration simplifiée de la période de rotation Première démonstration, vitesse différentielle : Nous n’utiliserons pas ici les vitesses angulaires de rotation, mais les périodes. La terre tourne sur elle-même en un temps J Lâchons le pendule, sans vitesse initiale, depuis un point A situé au sud du point O d’équilibre, à une distance a. Il oscille avec une période T, et une amplitude 2a. La vitesse vers l’Est, liée à la rotation de la terre est, en désignant par r le rayon parcouru par le point O : 2 ( sin )r a

Jπ ϕ+ au point A

2 ( sin )r aJ

π ϕ− au point B

Au bout d’une demi-période, le pendule arrive au point septentrional (au Nord) de sa trajectoire. Comme il a conservé sa vitesse du point A, il aura parcouru vers l’Est une distance de : 2 ( sin )

2r a T

Jπ ϕ+

Le repère OXY, se sera lui déplacé vers l’Est de : 2

2r T

Jπ .

Après une demi-période, le pendule sera donc en avance d’une distance égale à la différence, soit: 2 sin

2a TJ

π ϕ

Ceci explique la déviation du plan de rotation. Pour aller un peu plus loin, on peut établir le temps qu’il faut au point B pour effectuer un tour complet, en supposant que la vitesse de rotation est constante. Le périmètre du cercle décrit par les extrémités des oscillations mesure : 2 aπ A raison, pour chaque demi-période, d’une distance 2 sin

2a TJ

π ϕ il faudra :

22 sin ( ) sin ( )

2 2

a Ja T TJ

ππ ϕ ϕ

= demi-périodes pour faire un tour complet, soit un temps

total de

Pendule de Foucault

30

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Aux extrema, la vitesse est nulle, • il n’y a pas de pseudo-force de Coriolis, • le mobile se dirige vers la position d’équilibre Osous l’effet de la force de rappel (poids)

Lorsque la vitesse augmente,la pseudo-force de Coriolis agit et incurve la trajectoire

Y/Xinit.

X/Xinit.

O

Conditions initialesX=XinitdX/dt=0dY/dt=0

Pendule de Foucault

31

( )2 sinsin ( )

2

J T JT ϕϕ

=

La période de rotation du plan d’oscillation est donc : sin

Jϕ

Le problème est que cette approche n’explique pas le comportement du pendule pour des oscillations Est Ouest. Cette démonstration est donc fausse, même si le résultat est exact !

Deuxième démonstration : pseudo-force de Coriolis. Il est possible d’employer le repère local OXY pour exprimer la relation fondamentale de la dynamique, à condition d’ajouter aux forces réelles des pseudo-forces, pour tenir compte du mouvement de ce repère par rapport à un repère considéré comme Galiléen. Pour notre problème ce repère dit inertiel sera le centre de la Terre et des axes liés aux étoiles. Si la terre ne tournait pas, notre pendule oscillerait dans un plan fixe. Ce qui provoque la rotation du plan, c’est la pseudo-force de Coriolis qui s’exprime par (si le produit vectoriel vous est inconnu, allez directement à "plus simplement" ):

. 2CorF m V∧= − Ωuuuur ur ur

Où m est la masse du pendule, Ωur

le vecteur rotation de la terre (= (2 )J nπr

) si nr

est un vecteur unitaire porté par l’axe de la terre, dirigé du Sud vers le Nord, et V

urla vitesse du

pendule dans OXY. Plus simplement, le pendule est soumis à une force toujours perpendiculaire à sa vitesse, et toujours dirigé vers la droite (dans l’hémisphère Nord) dont le module est égal à :

.22 sinCorF m VJπ ϕ=

Cette force est nulle à l’équateur, puis s’inverse dans l’hémisphère Sud où la force est dirigée vers la gauche du mouvement. Ceci explique qualitativement que le pendule, toujours dévié vers la droite de son mouvement ait un plan d’oscillation qui tourne (voir figure).

Pendule de Foucault

32

X

Y

A

O

B

a

Trajectoiredu pendule

Force de Coriolis

a

Pendule de Foucault

33

Quantitativement. Attention, attention Prenons un pendule qui oscille au départ dans un plan Nord Sud, sur une Terre immobile. S’il part du Sud, on peut décrire son mouvement par :

0cos( )Y a tω= − ( 0 2 Tω π= ) et sa vitesse s’exprime par : 0 0sin( )dY a tdt

ω ω=

Maintenant la terre tourne. Lors de la première demi-période, le mouvement reste sensiblement sinusoïdal le long de Y. Il en est de même de la vitesse, et donc durant tout ce temps le pendule est soumis à une force de Coriolis perpendiculaire, dirigée suivant X, égale à :

. 0 02 sin ( ) [2 sin ][ sin( )]CorF m dY dt m a tϕ ϕ ω ω= Ω = Ω Il est donc tentant de calculer le mouvement du pendule suivant X en appliquant .CorF m= Γ , soit :

2

0 02 [2 sin ]sin( )d X a tdt

ϕ ω ω= Ω

Avec la condition initiale 0dX dt = , la vitesse de X est donc donnée par :

0[2 sin ][1 cos( )]dX a tdt

ϕ ω= Ω − (dériver pour vérifier).

Et X, nul au temps t=0, répond finalement à :

0 00

[2 sin ][ sin( )]X a t tϕ ω ωωΩ

= −

Au bout d’une demi période ( 0tω π= ), X est égal à :

0

2 sinX aπ π ϕωΩ

= ou encore :

2 sinTX aJπ π ϕ=

On trouve exactement le double de la bonne valeur (cf. approche par vitesses différentielles), ce qui prouve bien que cette simplification n’est pas valable). La période trouvée serait trop courte d’un facteur 2. Le coin du spécialiste: En fait, dans la direction X, l’équation fondamentale de la dynamique s’écrit, en tenant compte des forces réelles (voir étude complète) et de la force de Coriolis :

2202 2 sind X dYm m X m

dt dtω ϕ= − + Ω

d’où en prenant la vitesse 0 0sin( )dY a tdt

ω ω= que nous avons calculée ci-dessus :

220 0 02 [2 sin ]sin( )d X X a t

dtω ϕ ω ω+ = Ω

Ceci correspond à une résonnance non amortie ! Cette approche est effectivement trop simplifiée !! Conclusion , attention à bien traiter les équatios couplées