PROPRIÉTÉS OSCILLATOIRES D’UN PENDULE SIMPLE
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Activité de Physique 10a Chapitre n°10 (Systèmes oscillants) PROPRIÉTÉS OSCILLATOIRES D’UN PENDULE SIMPLE Le physicien Galileo Galilei (1564-1642) fut le premier à étudier expérimentalement les pendules. Ses résultats sont le fruit d’une démarche scientifique rigoureuse. Il les consigna avec beaucoup de précisions dans un traité rédigé en 1638. Oscillation d’un pendule Galileo Galilei a étudié le comportement des pendules au début du XVII ème siècle et a décrit ses expériences et ses analyses dans son ouvrage, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles relatives à la mécanique et aux mouvements locaux (1638). « J’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j’ai attaché chacune d’elle à deux fils très fins, longs tous deux de quatre coudées [une coudée équivaut à environ 50 cm] ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps […] ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquière sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n’ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont traversés en des temps égaux ». 1. Galilée a étudié l’influence d’une grandeur physique sur le mouvement des pendules : laquelle ? 2. Les pendules de Galilée sont-ils amortis ? Pour quel pendule les frottements semblent- ils être beaucoup plus faibles ? 3. En étudiant la reconstitution des pendules de Galilée sur la figure ci-contre et en la comparant au dispositif décrit dans le texte, trouver une autre grandeur physique dont Galilée a cherché à mettre en évidence l’influence. 4. Rappeler la définition de la période d’un pendule, étudiée en classe de seconde. Pourquoi Galilée raisonne-t-il sur un grand nombre de périodes ? Expression de la période d’un pendule simple Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de longueur ℓ (ou d’une tige rigide de très faible masse), dont une extrémité est reliée à un axe horizontal, et l’autre à un solide de masse m, de taille négligeable par rapport à la longueur ℓ. Un pendule simple, formé d’un fil de longueur l auquel est attachée une masselotte de masse m, est écarté de sa position d’équilibre d’un angle θ 0 repéré par rapport à la verticale en prenant soin de garder le fil tendu. Il est alors lâché sans vitesse initiale. Après deux ou trois oscillations, un chronomètre est déclenché au moment du passage du solide par sa position d’équilibre, puis arrêté après dix périodes. On appelle ∆t la durée mesurée. L’opération est répétée pour différentes valeurs des paramètres (ℓ, m, θ 0 ). Expérience 1 : ℓ =50 cm, m = 50 g, on fait varier l’angle θ 0 dont est initialement écarté le pendule. θ 0 (°) 5 8 10 15 20 30 40 50 70 ∆t (s) 14,2 14,2 14,2 14,5 14,8 15,2 15,6 15,9 16,8 Expérience 2 : m = 50 g, θ 0 = 5°, on fait varier la longueur ℓ du pendule. ℓ (cm) 40 50 60 80 100 120 ∆t (s) 12,7 14,3 15,5 17,9 20,1 22,0 Expérience 3 : ℓ =50 cm, θ 0 = 5°, on fait varier la masse m du solide. m (g) 50 100 150 200 250 ∆t (s) 14,3 14,2 14,4 14,2 14,3 5. Schématiser le pendule en faisant figurer ses grandeurs caractéristiques ℓ et m, ainsi que l’angle θ 0 . 6. Expérience 1 : calculer la période T du pendule pour chaque amplitude initiale (à partir des valeurs de ∆t), puis tracer la courbe représentative de la fonction T = f(θ 0 ) modélisant les données. Commenter cette courbe. Pour quels angles la période semble-t-elle à peu près constante ? À partir de quelle valeur commence-t-elle à varier ? 7. En déduire la condition d’isochronisme des oscillations (de « isochrone », de même période). 8. Expérience 2 : pourquoi n’est-il pas nécessaire de mesurer très précisément l’angle initial donné au pendule ? Calculer la période T du pendule pour chaque longueur du fil, puis la valeur de T 2 . Tracer la courbe représentative de la fonction T 2 = g(ℓ). Est-ce une droite ? Si oui, calculer son coefficient directeur. Sinon, la décrire d’une phrase. Conclure. 9. Expérience 3 : la période T semble-t-elle constante ? Calculer sa moyenne, ainsi que l’écart-type associé à la série de mesures. Conclure.
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Activité de Physique 10a Chapitre n°10 (Systèmes oscillants)
PROPRIÉTÉS OSCILLATOIRES D’UN PENDULE SIMPLE
Le physicien Galileo Galilei (1564-1642) fut le premier à étudier expérimentalement les pendules. Ses résultats sont le fruit d’une démarche scientifique rigoureuse. Il les consigna avec beaucoup de précisions dans un traité rédigé en 1638. Oscillation d’un pendule
Galileo Galilei a étudié le comportement des pendules au début du XVIIème siècle et a décrit ses expériences et ses analyses dans son ouvrage, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles relatives à la mécanique et aux mouvements locaux (1638). « J’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j’ai attaché chacune d’elle à deux fils très fins, longs tous deux de quatre coudées [une coudée équivaut à environ 50 cm] ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps […] ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquière sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n’ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont traversés en des temps égaux ». 1. Galilée a étudié l’influence d’une grandeur physique sur le mouvement des pendules :
laquelle ?
2. Les pendules de Galilée sont-ils amortis ? Pour quel pendule les frottements semblent-ils être beaucoup plus faibles ?
3. En étudiant la reconstitution des pendules de Galilée sur la figure ci-contre et en la comparant au dispositif décrit dans le texte, trouver une autre grandeur physique dont Galilée a cherché à mettre en évidence l’influence.
4. Rappeler la définition de la période d’un pendule, étudiée en classe de seconde. Pourquoi Galilée raisonne-t-il sur un grand nombre de périodes ?
Expression de la période d’un pendule simple
Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de longueur ℓ (ou d’une tige rigide de très faible masse), dont une extrémité est reliée à un axe horizontal, et l’autre à un solide de masse m, de taille négligeable par rapport à la longueur ℓ.
Un pendule simple, formé d’un fil de longueur l auquel est attachée une masselotte de masse m, est écarté de sa position d’équilibre d’un angle θ0 repéré par rapport à la verticale en prenant soin de garder le fil tendu. Il est alors lâché sans vitesse initiale. Après deux ou trois oscillations, un chronomètre est déclenché au moment du passage du solide par sa position d’équilibre, puis arrêté après dix périodes. On appelle ∆t la durée mesurée. L’opération est répétée pour différentes valeurs des paramètres (ℓ, m, θ0).
Expérience 1 : ℓ =50 cm, m = 50 g, on fait varier l’angle θ0 dont est initialement écarté le pendule. θθθθ0 (°) 5 8 10 15 20 30 40 50 70
∆∆∆∆t (s) 14,2 14,2 14,2 14,5 14,8 15,2 15,6 15,9 16,8
Expérience 2 : m = 50 g, θ0 = 5°, on fait varier la longueur ℓ du pendule.
ℓℓℓℓ (cm) 40 50 60 80 100 120
∆∆∆∆t (s) 12,7 14,3 15,5 17,9 20,1 22,0
Expérience 3 : ℓ =50 cm, θ0 = 5°, on fait varier la masse m du solide. m (g) 50 100 150 200 250
∆∆∆∆t (s) 14,3 14,2 14,4 14,2 14,3
5. Schématiser le pendule en faisant figurer ses grandeurs caractéristiques ℓ et m, ainsi que l’angle θ0.
6. Expérience 1 : calculer la période T du pendule pour chaque amplitude initiale (à partir des valeurs de ∆t), puis tracer la courbe représentative de la fonction T = f(θ0) modélisant les données. Commenter cette courbe. Pour quels angles la période semble-t-elle à peu près constante ? À partir de quelle valeur commence-t-elle à varier ?
7. En déduire la condition d’isochronisme des oscillations (de « isochrone », de même période).
8. Expérience 2 : pourquoi n’est-il pas nécessaire de mesurer très précisément l’angle initial donné au pendule ? Calculer la période T du pendule pour chaque longueur du fil, puis la valeur de T2. Tracer la courbe représentative de la fonction T2 = g(ℓ). Est-ce une droite ? Si oui, calculer son coefficient directeur. Sinon, la décrire d’une phrase. Conclure.
9. Expérience 3 : la période T semble-t-elle constante ? Calculer sa moyenne, ainsi que l’écart-type associé à la série de mesures. Conclure.
Activité de Physique 10b Chapitre n°10 (Systèmes oscillants)
ÉTUDE DE L’AMORTISSEMENT D’UN PENDULE PESANT
Un système oscillant abandonnée à lui-même finit toujours par s’arrêter, du fait des frottements exercés par le milieu extérieur. Le pendule non amorti est donc un modèle qu’il faut confronter à l’expérience. Lorsque cet amortissement est faible, il est possible de décrire le mouvement du pendule grâce à de nouvelles grandeurs comme la pseudo-période.
Un pendule pesant est constitué d’un solide mobile autour d’un axe horizontal ∆, ne passant pas par le centre de gravité du solide (un pendule simple est donc un modèle idéalisé du pendule pesant où l’on considère que toute la masse est concentrée au centre d’inertie du pendule).
Le dispositif utilisé dans cette expérience est constitué d’un support et d’une tige métallique de masse faible, mobile autour d’un axe. Un solide de masse M et de centre d’inertie G est fixé à cette tige. On note ℓ la distance variable entre l’axe et le centre d’inertie du solide, et O le projeté orthogonal de G sur ∆.
Le mouvement du pendule est repéré par l’abscisse angulaire θ(t), défini comme l’angle
( , ( ))eOG OG t����� ����
où Ge est la position de G à l’équilibre. Des capteurs permettent d’enregistrer θ(ti) à
des instants ti réguliers et assez rapprochés.
Il est possible de fixer sur la partie supérieure de la tige un système d’amortissement, sous la forme d’ailettes de masse négligeable et de surfaces différentes. Ces ailettes permettent d’amortir le mouvement du pendule, par action de contact de l’air sur leur surface. Plus la surface de l’ailette est importante plus l’amortissement est important.
On écarte de sa position d’équilibre la tige dépourvue d’ailette, d’un angle de 5° environ. On enregistre l’abscisse angulaire θ(t) de la tige. On refait les mêmes opérations en fixant des ailettes de différentes surfaces sur la tige. On obtient les courbes suivantes : Courbes θ = f(t) sans amortissement, avec un amortissement faible et avec un amortissement très important. 1. Mesurer sur les courbes la période du pendule pesant non amorti. Cette période est appelée période propre.
2. Lorsque le mouvement du pendule est faiblement amorti, on définit une pseudo-période. Proposer une définition de la pseudo-période et mesurer sa valeur dans le cas où le pendule subit un amortissement faible.
3. Lorsqu’on augmente fortement la surface de l’ailette, le pendule n’oscille presque plus. Peut-on déterminer une période de ces « oscillations » ? Comment qualifier ce mouvement ?
Activité de Physique 10c Chapitre n°10 (Systèmes oscillants)
OSCILLATIONS D’UNE MASSE ATTACHÉE À UN RESSORT On enregistre l’élongation en fonction du temps du dispositif solide-ressort par rapport à sa position d’équilibre. On utilise un ressort idéal de constante de raideur k et une masselotte m de centre d’inertie G. Étude de la position d’équilibre
On repère la position de l’extrémité du ressort à vide, puis en charge. Lorsque la valeur de la masse est doublée (respectivement triplée), l’allongement du ressort à l’équilibre double (respectivement triple). Voir la figure ci-contre. Étude du mouvement
On écarte verticalement le solide de sa position de repos, puis on le lâche sans vitesse initiale. On enregistre les variations de l’élongation (écart à l’équilibre), notée a, au cours du temps (voir la figure ci-contre). On fait varier successivement différents paramètres, on obtient les graphes I, II et III. 1. Retrouver les caractéristiques de la force exercée par un ressort à partir de la première étude. En cas de trou de mémoire, se
référer au cours de physique de 1ère S.
2. En analysant les graphes, préciser et justifier si les propositions suivantes sont vraies : a. Le graphe débute au moment où on abandonne le pendule. b. Le graphe débute au moment où le pendule passe par sa position d’équilibre en montant. c. Le graphe débute au moment où le pendule passe par sa position d’équilibre en descendant.
3. Sur le graphe I, on a écarté la masse de sa position d’équilibre de trois valeurs différentes. La période du mouvement dépend-elle de cette condition initiale ? Donner sa valeur.
4. Sur le graphe II, on fait varier la valeur de la masse m en conservant le même ressort. Comment varie la période du
mouvement lorsque m augmente ? T est-elle proportionnelle à m, 1
m, m ou
1
m ?
5. Sur le graphe III, on a utilisé des ressorts de raideurs k différentes en conservant la même masse. Comment varie la période
du mouvement lorsque k augmente ? T est-elle proportionnelle à k, 1
k, k ou
1
k ?
6. Conclure.
