Xavier D’HOINE HEI 33 Yannick MIOSSEC Groupe CTiphaine GARÇON Binôme n°3

TP DE RDMSCEANCE N°1

TP 3

I. FLEXION PURE

Une poutre est sollicitée en flexion si son mode de charge est tel qu'il apparaît dans les sections droites de la poutre des moments fléchissants. La flexion est dite "pure" si le moment fléchissant dans les sections droites est l'unique action, les efforts tranchants et les efforts normaux n'existant pas.

Les sections dans leur ensemble ne se courbent pas pendant la flexion mais effectuent simplement une rotation (excepté les zones d'application des charges selon le principe de St-Venant).

Par conséquent l'apparition de déformations en flexion pure peut-être considérée comme le résultat de la rotation des sections droites planes les unes par rapport aux autres.

I.1Etude théorique :

On admet que les dimensions de la section droite sont petites devant le rayon de courbure R, que les déformations restent “ petites ” et n’entraînent de dépassement de la limite élastique (loi de Hooke).

1.1.1 - Etude de la contrainte normale dans la section droite :

Les hypothèses nous permettent d'adopter la configuration géométrique de la figure 2.

Expression de l'allongement relatif x:x=NN'/dx

Loi de Hooke:σx=E εx=E NN'/dx

or NN’ = y tan (dα) et dα petit donc tan (dα) # dα ce qui permet d'écrire:

σx=E y (dα/dx) y

I.1.2 - Etude des actions mécaniques de cohésion (intérieures) dans une section droite

On considère une poutre sollicitée en flexion pure. On effectue une “ coupure ” selon une section droite S1. On isole le tronçon I.

On étudie l’équilibre du tronçon I soumis aux actions mécaniques suivantes :

Actions mécaniques extérieures de contact (appliquées dans la section droite S1) :

Nx = 0 effort normal Mx = 0 torsion R Ny = 0 effort tranchant m My = 0 flexion

Tz = 0 effort tranchant Mz 0 flexion

Actions mécaniques intérieures de II sur I dans la section droite S1 :

Fx = .dS FII / I Fy = 0

Fz = 0

I.2-poutre expérimentale   : flexion pure

Poutre rectiligne CD en équilibre sur 2 appuis simples A et B :a = 230 mm section droite b = 30 mml = 260 mm h = 6 mm

IGz = (b.h3 / 12) = 540 mm4

Le chargement symétrique est assuré par 2 supports et des masses additionnelles de 0.3 kg. Un micromètre permet de mesurer la flèche maximale en I, et 6 jauges d’extensomètrie associées à un pont de Wheatstone donnent les déformations relatives en fonction des charges appliquées.

Facteur de jauge : K= 2,03 0,5%

N° de jauge position Direction1 F X2 J X3 H X4 G X5 E X6 I Z

I.3-Etude théorique de la poutre précédente

I.3.1- Calcul de l’expression de la déformée entre A et B

On a: 1/R = -υ" / (1+y'²)3/2

On suppose y'² négligeable devant 1,donc υ"= -1/R

Cherchons une autre expression de 1/R :M = S dS y=E (dφ/dx) y² dS

Or dφ/dx =1/R, R étant le rayon de courbureDe plus y² dS= IGzd'où: 1/R=Mf / (E IGz)

Finalement, on trouve donc:

υ"= -Mf / (E IGz )

NB : expression de Mf :

Soit dS un élément de la surface BC et Mf le moment fléchissant on a :Mf = X . dS. y d'où Mf = (d /dx) . y². E. dSor y². dS = IGz : moment quadratique d'où Mf = (d/dx) . E.IGz or (d /dx ).E = X /y ainsi

Mf = ( IGz .X ) /y

I.3.1- Calcul de la valeur de la flèche en x = a +1

Equilibre statique de la poutre : actions aux appuis

S F/Y = 0 -2.P+RA+RB = 0S M/Z = 0 P.a+2.l.RB-P.(2.l+a) = 0

RB = - P RA = - P

Tronçon CA : x e [0,a]

TCA - P = 0 => TCA = PMCA + P .x = 0=> MCA = -P .x

x = 0 MCA = 0x = a MCA = - P. a

Tronçon AB : x e [a, a+2.l]

TAB +RA-P = 0 => TAB = 0MAB + P .x - RA.(x - a) = 0 => MAB = -P . a

Tronçon BD : x e [a+2.l, 2a+2l]

TBD+RA+RB-P = 0 => TBD = -PMBD + P .x -RA( x - a)-RB.(x-a-2.l) = 0 => MBD = P.x-2.P.(a + l)

Les modes de sollicitation sont les suivants :

Zone CA : flexion simple car l'effort tranchant et le moment fléchissant ne sont pas nuls

Zone AB : flexion pure car il existe un moment fléchissant mais l'effort tranchant est nul

Zone BD : flexion simple (idem zone CA)

La contrainte maximale en fonction de P est :

aX = Mmax . v / IGz avec v : distance de l'axe neutre à la fibre la plus éloignée IGz = (b.h3)/12 Mmax = a .P soit :

6.a.P

X = ______

b .h²

Exprimons l'équation de la flèche y = f(x) à partir de l'équation différentielle de la déformée pour le tronçon AB puisque c'est dans celui-ci que se trouve la flèche maximale.

Tronçon ABE.IGz.y" = P .a E.IGz.y' = P. a . x +C1 E.IGz.y = P. a .x²/2 +C1 .x +C2

y(a) = 0 y(a+2.l) = 0 C2 = -(P.a3)/2-C1 C2 = -P.a(a+2.l)²/2-C1.(a+2.l)En égalisant ces deux expressions, on trouve la valeur de C1 soit C1 =-P .a.(a + l)En remplaçant C1 par sa valeur dans l'une des deux expressions de C2 on a C2 =P .a².(a/2 + l)d'où l'équation de la flèche est :

1 y(x) = _____ .(P . a .x²)/2-P.a.(a + l). x + p . a².(a/2+l) E.IGz

et y'(x) =(1/(E.IGz)).(P . a . x -P . a.(a + l) )d'où y'(x) = 0 pour x = a + lla position de la flèche maximale est donc à x= a + lsa valeur est :

vI = -P . a .l²/(2.E.IGz)

II. FLEXION SIMPLE

II.1 - ETUDE THEORIQUE DE LA FLEXION SIMPLE

II.1.1 - Equations d'équilibre générales d'un tronçon de poutre limité par une section droite S quelconque

(1) S x.dS = Nx (4) S (-xz.y + xy.z).dS = Mtx

(2) S xy.dS = Ty (5) S x. z .dS = -MFy

(3) S xz.dS = Ty (6) S x. y .dS = MFz

II.1.2 - Hypothèses

a) Sur la poutre Celles des poutres rectilignes en RdM. Gx, Gy et Gz sont axes principaux d'inertie.

b) Sur les charges

On considère une flexion simple dans le plan Gxy, d'axe Gz.NX = 0 Effort normal à la section droite.T 0 Effort tranchant selon y dans le plan de section droiteTY = 0 Effort tranchant selon z dans le plan de section droiteMtX = 0 Moment de torsion d'axe GxMFY = 0 Moment de flexion dans le plan Gxy selon GyMFZ 0 Moment de flexion dans le plan Gxy selon Gz

II   .2- Poutre expérimentale   : flexion simple

Poutre console   : E-105F

Caractéristiques de la poutre : E = 71000 N/mm²h = 3 mmb = 25 mm

IGz = 56.25 mm4

Jauges Facteur K Position1 2.095 C2 2.095 D3 2.095 E

II   .3 - Etude théorique de la poutre précédente

II   .2.1- Calcul de la déformée entre A et B

II.2.2 - Valeur de la flèche en B

II.2.3 – Relation entre effort tranchant et fléchissant

II.2.4 – relation entre moment fléchissant et contrainte normale

L'équation des moments par rapport à Gz est: sX. y .dS = MfzEn multipliant chaque membre par y, on obtient :

X . .y ². dS = MfZ.y or y ². dS = IGz

d’où :

MfZ

X = ____.y IGz

II.2.5 – Relation entre contrainte normale et déformation longitudinale

II.2.6 – relation entre effort tranchant et déformation longitudinale

On sait que:X = E . X Loi de HookeX = Mf/IGz.yTY = dMf/dx d'où :

E . X = Mf.y/IGz

Mf = (IGz.E . X)/y

d ( ( IGz.E .X) / y )

TY = ___________________ ______

dx

IGz.E / y dX TY = ___________________

dx

dX

Finalement, on a: TY = K1. ______ avec K1 = IGz.E/Ydx

TP 4

TP4 Etude d’un treillis

But du Tp   :

Etudier le treillis ci-dessous lorsque celui-ci est chargé successivement en 1, 2 et 3.

Etude théorique   :

Cas 1   : Charge P appliquée au nœud 1.

N17 = 2 P barre tendueN12 = - P barre compriméeN76 = P barre tendueN72 = - P barre compriméeN26 = 2 P barre tendueN23 = - 2P barre compriméeN63 = - P barre comprimée

N65 = 2P barre tendueN35 = 2 P barre tendueN34 = - 3P barre comprimée

Cas 2   : Charge P appliquée au nœud 2.

N17 = N12 = N76 = N27 = 0N26= 2 P barre tendueN23 = - P barre compriméeN63 = - P barre compriméeN65 = P barre tendueN35 = 2 P barre tendueN43 = - 2P barre comprimée

Cas 3   : Charge P appliquée au nœud 3.

N12=N17=N76=N26=N23=N36=N65=N27= 0 N35 = 2 P barre tendueN34 = -P barre comprimée

Ces résultats nous permettent de remplir le tableau suivant :

Barre L (cm) P=1 aunœud 1

P=1 aunœud 2

P=1 aunœud 3

1-2 30 -1 0 02-3 30 -2 -1 03-4 30 -3 -2 -15-6 30 2 1 06-7 30 1 0 01-7 42,42 1,41,411 0 02-7 30 -1 0 02-6 42,42 1,41 1,41 03-6 30 -1 -1 03-5 42,42 1,41 1,41 1,41

2) Mesures   :

On applique, la charge P aux nœuds 1 puis 2 puis 3 et on note les déformations des barres 3-6 (déformations mesurées par 3 et 4), 2-6 (déformations mesurées par 1 et 2), 6-7 (déformations mesurées par 7 et 8) et 3-2 (déformations mesurées par 5 et 6).

On trouve les résultats suivants :

Déformations (µm/m)

1 2 3 4 5 6 7 8

P1 21 26 -20 -18 -42 -36 20 22P2 22 20 -20 -20 -20 -20 0 0P3 0 0 0 0 0 0 0 0

3) Interprétation des résultats   :

Pour chaque charge appliquée, on calcule les valeurs moyennes des déformations.

On calcule la contrainte normale ainsi que l’effort normal dans les différents cas de la charge P.

On applique la loi de Hooke

avec : E = 7,5.106 N/cm² = Valeur donnée par la jauge x 10-6 x Longueur de la barre (en m)

et la formule

avec S = Section de la barre en cm² = 0,63 cm²

Ces résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

P en 1 P en 2 P en 3Barre i

(µm/m)i

(N/cm²)Ni

(N)Ni théo

(N)i

(µm/m)i

(N/cm²)Ni (N)

i i (N/cm²)

Ni

(N)2-3 -78 -175,5 221,13 -200 -40 -90 113,4 0 0 03-6 -38 -85,5 107,7 -100 -40 -90 113,4 0 0 06-7 42 94,5 119,0 100 0 0 0 0 0 02-6 47 149,5 188,4 141 42 133,6 168,3 0 0 0

Remarque   : Dans le tableau ci dessus, P est une force de 100 N

Conclusion   :

Nous avons pu étudier en pratique au cours de ce tp le cas d’un treillis après en avoir fait l’étude théorique.

Les résultats pratiques sont un peu différents des résultats théoriques attendus. Néanmoins ils demeurent homogènes par rapport à la théorie.

Ces écarts de valeurs entre la théorie et la pratique peuvent s’expliquer par la grande sensibilité des appareils ou encore par les placements des jauges sur les barres qui peuvent influer sur ces résultats.