Sold

Plan incliné

\

Déflecteur",fh- - - - --a

H

-,

1. Galilée avait montré

que la vitesse va étaitproportionnelle à Vh.On considère un mou·vement de translationsans frottement de la.

-<. bille, le long du planincliné et du déflec·

''''. teur: établir la relation

_, entre va et Vii enappliquant la conser·vation de la somme de

l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur.

Cette relation se généralise au mouvement de roulement de labille. On cherche à justifier théoriquement le bien-fondé de laméthode de Galilée, grâce à la deuxième loi de Newton.

2. Exprimer la durée de la chute libre de la bille en fonctionde H.

3. Galilée a calculé les valeurs de d en fonction de la première

valeur dl obtenue pour hl' Établir la relation d/dl = ~pour une même valeur de H.

4. En faisant varier la valeur de H, Galilée a établi expérimen·

talement que les trajectoires de la bille en chute libre étaient

des paraboles. La valeur de h étant fixée, montrer que pour

deux valeurs Hl et H2 de H, dl/d2 = YH1/H2•

s. Proposer un protocole expérimental permettant d'obtenirles coordonnées de différents points de la trajectoire d'une billeen chute libre, pour une vitesse initiale horizontale donnée.Le matériel sera analogue à celui utilisé par Galilée. Peut-ondéterminer la valeur de 9 à partir de la trajectoire obtenueexpérimentalement? De quel instrument supplémentairefaudrait-il disposer?

Galilée a étudié en détaille mouvement de chute de billes.Il

utilisait un plan incliné fixé sur une table horizontale, à la baseduquel il plaçait un déflecteur. La bille était lâchée sur le planincliné d'une hauteur h par rapport à la table. À la sortie du

déflecteur, elle était animée d'une vitesse horizontale vO' Enmodifiant la hauteur h, Galilée obtenait différentes valeurs de

va' La hauteur de la table est notée H.Galilée a mesuré la distance

horizontale d entre l'impact dela bille sur le sol et la verticale

du point 0, point où elle quittele déflecteur. Il a noté les

valeurs de d pour différentesvaleurs de h, ainsi que cellesqu'il aurait dû obtenir par lecalcul.

. ---,...."-"-",LfU-I'~"'",,- -

~..:t::::"~..i

Par la suite, Galilée a répété cette expérience, en utilisant des

plateaux horizontaux lui permettant de modifier la hauteur H.

Pour chàque valeur de h, il a tracé la trajectoire de la bille enmesurant d pour différentes valeurs de H (voir ci-dessous).

a. Établir l'équation horaire xM(t) du mouvement du point Mdans le repère (0; i, k).b. Calculer la valeur de tM• En déduire la hauteur h du pointd'impact M par rapport au sol.

En *** _ Galilée et les chutes de billes

x

z

1. Établir sous forme littérale les équations horaires x(t) et z(t)du mouvement du gravillon dans le repère (0; i,k) du référentielterrestre. À la date t = 0, le gravillon se trouve au point O.

2. Donner l'allure de la trajectoire en prenant comme échelle1 cm pour 1 m.

3. Une voiture suit le camion à la vitesse constante de

90 km· h-l. Le gravillon heurte le pare-brise de la voiture au

point M à la date tM• À la date t = 0, la voiture est à une dis­tance d = 44 m du point O.

2. En déduire l'équation de sa trajectoire.

3. Soit K la position de G au moment où le skieur retombe surla piste. La dénivellation entre a et K est de 40 m.

a. Calculer la durée tK du saut.

b. En déduire la valeur de la coordonnée xK du point K.

c. Calculer la valeur de la vitesse vK de G à l'instant où il arriveen K, et l'angle de ce vecteur avec l'horizontale.

4. En compétition, les valeurs de xK sont supérieures à 100 m:expliquer pourquoi.

À la date t = 0, un skieurémerge d'un tremplin avec

une vitesse va de valeurva = 92 km· h-l, inclinée d'unangle ex= 5° sur l'horizon­tale. On considère le mouve­ment du centre d'inertie Gdu

skieur en ne prenant pas encompte les actions de l'air.

1. Établir (sous forme littérale) les équations horaires para­métriques du mouvement de chute libre de G dans le repère(0; i,k).

lE *** Saut à skis idéal

Et!] *** Projection d'un gravillon

Un gravillon assimilé à son centre d'inertie G est projeté versl'arrière par le pneu d'un camion. Il quitte le pneu à la date

t = 0, avec une vitesse va de valeur va = 12 m· çl et faisantun angle ex= 37° avec l'horizontale. La vitesse va est définiedans le référentiel terrestre lié à la route.

rD** Positions pour une vitesse donnée

À la date t = 0, un projectile est lancé en a avec une vitesse

va de valeur égale à 45 m· çl, faisant un angle de 60° avecl'horizontale.

1. Définir un repère d'espace. Établir les expressions descomposantes de la vitesse en fonction de la date t.

2.a. À quelles dates la valeur de la vitesse sera-t-elle égale à30m·çl?b. Calculer les coordonnées des positions du projectile à cesdates.

176 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

VI

flli

1t

2.Application de la deuxième loi de Newton

1.Fairel'inventaire des forces extérieures appliquées au palet

dansune position quelconque, dans un référentiel terrestresupposégaliléen. Les représenter sur un schéma.

2.Appliquer la deuxième loi de Newton et exprimer le vecteur

accélérationen fonction des forces appliquées et de la massem du palet.

x

\11

Zo

Z

B

G?"n~O(' -v1

~o xo

Situation à l'instant du lancer,choisi comme origine des dates(1=0)

1. Mouvement de la gymnaste

Déterminer l'équation horaire xG(t) du mouvement du centred'inertie G de la gymnaste sur l'axe (0; n.

2. Mouvement du ballon

a. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir les équa­

tions horaires xB(t) et zB(t) du point B.

b. En déduire l'équation de la trajectoire du point B, et tracer

l'allure de cette courbe en y faisant apparaître le vecteur ~.

(D'après Pondichéry, mai 2001, 5 points.)

Document. Extrait de l'ouvrage: Physique pour les sciences dusport (Alain Durey).

Une gymnaste, tout en étant en mouvement, doit lancer unballon en l'air et le rattraper. « On se propose de montrer danscet exercice que pour être au bon moment et au bon endroitpour rattraper un ballon préalablement lancé en l'air, une solu­tion simple pour ta gymnaste consiste à lancer le ballon avec

une vitesse verticale et à continuer son déplacement horizon­tal en gardant une vitesse constante. La coïncidence en tempset en lieu sera ainsi assurée, et cela quelle que soit la valeurde la vitesse verticale donnée au ballon.»

Dans un référentiel lié à la salle de gymnastique, la3Ymnasteest en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse V1.

Dans ce même référentiel, à l'instant du lancer, la vitesse du

ballon est Vo dont la composante horizontale Vox est égale à

V1. Sa composante verticale Voz sera notée V2•

L'instant du lancer est choisi

comme origine des datest = o.Dans le référentiel de la salle,

on considère le repère (0; i,k)défini de la manière suivante:

l'origine 0 est la projection du

centre d'inertie Go de la gym­naste sur le sol horizontal à

l'instant du lancer; l'axe (0; nest horizontal et l'axe (0; k)

vertical ascendant (voir leschéma ci-contre).

Le centre B du ballon se trouve au point Bo de coordonnées(xo' zJ à l'instant du lancer.Dans la salle, le champ de pesanteur uniforme est noté g.Dans tout le problème, on négligera l'action de l'air.

Aucun calcul numérique n'est demandé.

Toutes les réponses seront exprimées en fonction des don­

nées: g, V1, V2, Xo et zoo

3. Projeter la relation obtenue sur le repère (0; i, D, et en

déduire l'expression littérale des composantes ax et ay du vec­teur accélération o. Donner les caractéristiques de ce vecteur.

4. En déduire, à l'aide de la mesure de a4 de la partie 1, lavaleur de l'angle exen degré (g = 9,81 m· ç2).

El] Lancer de ballon en GRS(Gymnastique Rythmique et Sportive)

• G17

G18........•

X

1: = 60 ms

G G76 •• • •

Gs • G8 G9 •G •4

G •3.

y

G2.G1

r~o T

1.Exploitation du document

1.Déterminer les mesures V3 et Vs des vecteurs vitesse ins­tantanéedu centre d'inertie aux points G3 et Gs'

2.Construire, avec l'origine au point G4, les vecteurs V; et - V3.

Échelle:0,2 m· çl sera représenté sur la figure par un vecteur

delongueur égale à celle de i(ou D.

3. Construire le vecteur !'J.V = V; - V3 avec l'origine au point

G4, et détermin~ à l'aide de l'échelle précédente la mesure6.V du vecteur !'J.V.

4. Déterminer la mesure a4 du vecteur accélération du centred'inertieau point G4, et construire le vecteur 04'

Échelle:0,2 m· ç2 sera représenté sur la figure par un vecteur

delongueur égale à celle de i (ou D.

5. Endéduire la valeur des coordonnées de 04 dans le repère(0; i, D.

Et] Étude d'un mouvement parabolique

(D'aprèsAntilles, septembre 1995, 6 points.)

Unpalet est mis en mouvement, sans frottement, sur une tableà coussin d'air inclinée d'un angle exsur le plan horizontal.

À l'instant t = 0, le paletest lancé vers le haut,dans le plan de la table.Son centre d'inertie G est

alors en 0, origine durepère cartésien (0; i, Dtel que Ox soit horizontal

etOy parallèle aux lignes de plus grande pente du plan incliné.

Le~cteur vitesse ~ de G à cet instant t = 0 est tel que l'angle(i, VJ est compris entre ° et n/2.Lecentre d'inertie du palet décrit une parabole. À l'aide d'undispositif approprié, on a enregistré les positions du centred'inertie G à des dates régulièrement espacées d'une duréeconstante 't = 60 ms. Sur la figure ci-dessous, les longueursdejet de j représentent 2 cm sur le plan incliné. La premièreposition sur le document correspond au point 0 (t = 0), la der­nièreau point 0' (t = 18't).

lesH.en

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Il

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ser­~de

9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 177

1. Tir vertical

Le canon du pistolet est vertical; son

extrémité est située au point M2 tetque d2 = 1,70 m.Frédéric tire vers le haut et constate

que la flèche touche le sol 2,205

après son départ de M2,

Calculer la valeur Vo de la vitesse ini­tiale en utilisant les équations éta­blies dans la première partie.

i x

y

y

J3

l

2. Tir horizontal

Pour tirer horizontalement, Frédéric

abaisse le pistolet. Le canon de celui·ci est maintenant horizontal; son

extrémité est située au point M) telque d3 = 1,20 m.Frédéric tire et constate que la flèchetouche le sol en un point B qui setrouve sur la même horizontale que0, à une distance égale à 4,9 m.

Calculer la valeur de la vitesse initiale en utilisant les équa­tions établies à la première question.

2. Détermination expérimentale de la valeur Vo

Pour déterminer expérimentalement la valeur vO' Frédéric faitdeux essais.

c. La trajectoire passe par le point M, situé à 15,0 cm au­

dessus de (F) et dans son plan. Quelle est la valeur Vo de lavitesse initiale de la balle? Quand la balle est en M, quelle estla direction de son vecteur vitesse?

1. Étude théorique du mouvement de la flèche

1. Dans le repère (0; i, D (cf. schéma ci-dessous, a étant tepoint du sol se trouvant à la verticale de M), établir sous formelittérale les équations horaires du mouvement de la flèche aprèsson lancement. En déduire l'équation de la trajectoire et sanature. L'instant choisi comme instant initial est celui où ta

flèche se trouve au point M.

2. Johann se trouve sur le sol (hori- y

zonta!) à 15 m à droite du point O. Lataille de Johann est de 1,20 m.

Risque-t-il de recevoir la flèche si lcelle-ci est tirée du point Ml tel que d

dl = 1,50 m, avec une vitesse initiale 11égale à 10 m· çl, l'angle ex étant égalà 45°? (On modélisera Johann par unsegment vertical.)

œ Frédéric et son pistolet à flèches

(D'après Polynésie, septembre 2000.)

Frédéric décide d'utiliser ses connaissances en mécaniquepour étudier la flèche tirée par son pistolet.Négligeant l'action de l'air et prenant la valeur g = 10 m·ç)pour la pesanteur, il considère la flèche A comme un objet

ponctuel de masse m = 50 g et de vitesse initiale vo.La flèche est tirée d'un point M, à la distance d au-dessus du

sol, avec une vitesse Vo inclinée d'un angle ex par rapport à

l'horizontale.

x

M

Filet F

0'

12,5 m

z

P ­k

o -:­1

P'

2. Un joueur de tennis effectue un service (voir schémaci-dessous). Il lance d'abord la balle verticalement, vers le

haut, depuis le point Ptel que OP = 1,50 m.La balle atteint, sansvitesse, le point P' situésur la même verticale

(OP' = h = 2,20 m).

Lorsque la balle est en P',le joueur la frappe avecsa raquette. Elle partalors horizontalement,

avec la vitesse vO' dans le plan de figure.

La balle passe au-dessus du filet vertical (F), distant du joueurde 00' = 12,5 m. La hauteur du filet est de 0,90 m.

a. Avec quelle vitesse VI le joueur a-t-il lancé la balle vertica­lement en P?

b. Dans le repère (0; i, k) de la figure où (0; k) est orientévers le haut, quelle est l'équation de la trajectoire de la balleaprès l'impulsion communiquée par la raquette?

Dans cet exercice, on ne tient pas compte de l'action de l'airsur la balle de tennis de masse m. Vitesse et position de laballe désignent la vitesse et la position de son centre d'inertie,

1. On lâche la balle depuis le parapet d'un pont, sans vitesseinitiale: elle tombe en chute libre.

a. Montrer que sa trajectoire est rectiligne et verticale.b. Établir l'équation horaire z(t) du mouvement de la balle.L'origine de l'axe (0; k) est le point de départ de la balle, etl'axe est orienté selon le champ de pesanteur 9 supposé uni­forme.

c. Pour quelle valeur de z la balle atteint-elle la vitesse de15 m·çl?

4. À propos du texte introductif

a. Dans l'extrait de l'ouvrage cité en début d'exercice, deuxvitesses sont mentionnées, Dans quel référentiel chacuned'elle est-elle définie?

b. Justifier la dernière phrase de l'extrait: «La coïncidence entemps ... vitesse verticale donnée au ballon ».

3. Rattraper du ballon par la gymnaste

a. La gymnaste récupère le ballon lorsque le centre B de ce

dernier repasse à l'altitude zoo

Déterminer le «temps de vol» tv du ballon (durée séparant lesinstants du lancer et du rattraper). Comment la gymnaste peut­elle augmenter ce «temps de vol»?

b. Déterminer la distance parcourue par le centre B du ballonsuivant l'axe horizontal (0; n pendant le «temps de vol».

c. De quel(s) paramètre(s) dépend cette distance?

d. Montrer que la distance parcourue par le centre d'inertie Gde la gymnaste pendant ce «temps de vol» est la même.

c. Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse du pointB au sommet de sa trajectoire?

Quelle est la hauteur maximale atteinte par le point B?

œ Mouvements d'une balle de tennis

178 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME