Cours n°9 : Dipôles RC et RL...

Dr A. Sicard CapeSup Grenoble

Cours n°9 : Dipôles RC et RL

Introduction

Au chapitre précédent, nous avons étudié le comportement général d’un circuit et également le comportement des conducteurs ohmiques. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser au comportement de deux nouveaux dipôles : le condensateur et la bobine.

1) Le condensateur

1.1) Définition et propriétés

Définition

Par définition, un condensateur est un dipôle constitué par deux plaques conductrices en regard, les armatures, séparées par un isolant, le diélectrique (de l’air, du mica,…). Les condensateurs diffèrent par leur géométrie. Effectivement, les armatures peuvent avoir plusieurs formes. Dans la pratique, on trouve principalement des condensateurs plans et cylindriques. Lorsque les armatures sont planes, on parle de « condensateur plan ».

Charge par influence

L’apparition d’une charge aux bornes d’un condensateur va entraîner l’apparition d’un champ électrique autour d’elle. Au niveau de l’autre armature, il y a mise en mouvement des électrons libres

par l’action de la force électrostatique , jusqu’à l’apparition d’une charge – sur l’autre armature. Ce mouvement de charges est un courant induit par le champ électrique à travers le diélectrique. Ce courant s’appelle courant de déplacement.

Relation entre charge et tension

On peut montrer qu’aux bornes d’un condensateur, la charge est proportionnelle à la différence de potentiel qui existe entre ses armatures. On a :

diélectrique

+++++++++++

+++++++++++

- - - - - - - - - - -


Où s’appelle la capacité du condensateur et vaut pour un condensateur plan :

avec la permittivité du diélectrique , la surface des armatures et l’épaisseur du diélectrique. La capacité est caractéristique du condensateur considéré et s’exprime en Farads de symbole , avec en .

: permittivité diélectrique du vide.

: permittivité diélectrique relative de l’isolant (grandeur sans dimension)

1.2) Le dipôle condensateur

Inséré dans un circuit électrique en reliant chaque armature à une borne, le condensateur devient un dipôle.

Modélisation

Le condensateur est symbolisé par deux traits parallèles de la manière suivante en convention récepteur :


Avec un générateur de courant, l’intensité est constante. On a alors avec :

Association de capacités idéales

- Condensateurs en série : plusieurs condensateurs en série se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente telle que :

Pour deux condensateurs et en série :

- Condensateurs en parallèle : plusieurs condensateurs en parallèle se comportent comme un

unique condensateur de capacité équivalente telle que :

Pour deux condensateurs et en parallèle :

1.3) Energie emmagasinée

L’énergie totale emmagasinée dans un condensateur vaut :

étant la tension aux bornes du condensateur de capacité .

Cette énergie est stockée sous forme d’énergie potentielle électrostatique. On sait que donc :

!


1.4) Réponse du dipôle RC à un échelon de tension

1.4.1) Echelon de tension

Une source idéale de tension délivre un échelon de tension si la tension qu’elle produit est de la forme :

La tension va passer instantanément de la valeur à la valeur . Cela se produit notamment lorsque l’on bascule l’interrupteur à . Ainsi, pour l’étude du dipôle RC, on utilisera le circuit suivant :

1.4.2) Charge du condensateur à travers une résistance

Le condensateur est initialement déchargé . L’interrupteur est basculé en position . On a alors :


Aux bornes des différents dipôles, on a :

- générateur en convention générateur

- résistance en convention récepteur

- condensateur en convention récepteur

La loi des mailles nous donne :

Résolution de l’équation

On a une équation différentielle du premier ordre de solution :

A , donc

En posant , on obtient :


La tension aux bornes du condensateur est donc donnée par :

Aux bornes de la résistance, on a

donc

est appelée constante de temps du dipôle RC.

C’est un temps caractéristique d’évolution du système.

On est en régime permanent à partir de


Au moment où l’on ferme l’interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est nulle et il

s’établit un courant .

Pendant la charge, augmente et donc diminuent en régime transitoire. En régime permanent , le condensateur est chargé donc il n’y a plus de mouvement de charges et . On a :

1.4.3) Décharge du condensateur à travers une résistance

L’interrupteur est maintenant basculé en position après avoir initialement chargé le condensateur. Il y a décharge lorsque l’on supprime le générateur une fois le condensateur chargé. Celui-ci peut débiter un courant dans le sens inverse de celui de la charge. Le condensateur se comporte alors comme un générateur. Conditions initiales du problème :


Pendant la décharge, le courant entre par l’armature négative du condensateur, on a donc :

La loi des mailles nous donne :

On a

et

d’où, on obtient :

soit

Résolution de l’équation


Aux bornes du condensateur, on a donc :

Aux bornes de la résistance :

L’intensité du courant est :


La tension aux bornes du condensateur est éteinte après . A l’instant où l’on bascule l’interrupteur , la tension aux bornes du condensateur vaut et il

s’établit un courant .

Pendant la décharge, on est en régime transitoire avec et décroissantes donc décroissante. En régime permanent le condensateur est déchargé et il n’y a plus de mouvement de charges donc la tension et l’intensité s’éteignent. On a :

1.5) Charge à courant constant

On branche un dipôle RC en série avec un générateur de courant délivrant une intensité constante.


La charge du condensateur est :

Si le condensateur est initialement déchargé alors .

La tension augmente linéairement jusqu’à une valeur maximale appelée tension de claquage pour laquelle il se produit un arc électrique entre les deux armatures. Le condensateur est alors définitivement détérioré.

2) Le dipôle RL

2.1) La bobine

Une bobine est un dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur. Quand cette bobine est parcourue par un courant, elle crée un champ magnétique. Lorsque l’intensité varie, le champ magnétique créé varie également et il apparaît alors une force électromotrice auto-induite d’autant plus importante que le courant varie rapidement.


Loi de Lenz :

: inductance de la bobine exprimée en Henry de symbole .

Le signe – dans l’expression de exprime l’opposition de la bobine aux variations de l’intensité électrique. Ainsi, par définition, une bobine est un dipôle s’opposant aux variations d’intensité du courant qui le traverse.

2.1.1) Inductance pure

La tension aux bornes de la bobine est donnée par la relation :

- En régime stationnaire, .

La bobine n’a pas d’effet sur le courant. Elle se comporte comme un fil électrique.

- Si augmente alors .

Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant s’opposant au sens conventionnel du courant et donc à l’augmentation de .

- Si diminue alors .

Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant dans le sens conventionnel et donc s’oppose à la diminution de .

2.1.2) Energie stockée dans bobine

Soit l’énergie stockée dans bobine , on a :

:inductance de la bobine .

: intensité du courant traversant la bobine .


2.1.3) Bobine réelle

En réalité, du fait de la grande longueur de fil bobinée, la bobine possède une résistance interne . Ainsi, une partie de l’énergie reçue par la bobine va être dissipée par effet Joule dans la résistance interne. On peut ainsi modéliser la bobine de la manière suivante en convention récepteur : On a :

d’où

représente la tension aux bornes d’une bobine réelle.

2.1.4) Associations de bobines idéales

Bobines idéales en série :

plusieurs bobines en série se comportent comme une unique bobine d’inductance équivalente telle que :

Pour deux bobines et en série :

Bobines idéales en parallèle :

plusieurs bobines en parallèle se comportent comme une unique bobine d’inductance équivalente telle que :

Pour deux bobines et en parallèle :


2.2) Réponse du dipôle RL à un échelon de tension

Le circuit d’étude comporte un générateur parfait de f.é.m. , un bobine d’inductance et de résistance interne , et une résistance .

2.2.1) Etablissement du courant

A , on bascule l’interrupteur en position . On a alors le circuit suivant : La loi des mailles donne :

soit


On a :


Résolution de l’équation différentielle

En posant

on obtient :

Equation différentielle du premier ordre de solution :

Le courant ne subit pas de discontinuité donc à , car le circuit est initialement ouvert.

d’où

En posant .

On en déduit donc les différentes tensions. Aux bornes de la résistance :

Aux bornes de la bobine :


La bobine va retarder l’établissement du courant dans le circuit par effet inertiel.

2.2.2) Rupture du courant

Un fois le régime stationnaire établi, on bascule l’interrupteur en position . La bobine se comporte alors comme un générateur.

Loi des mailles :


Soit avec :

Résolution de l’équation différentielle

En posant

on obtient :

Equation différentielle du premier ordre de solution :

Le courant ne subit pas de discontinuité donc à ,

Ainsi

On en déduit les différentes tensions : Aux bornes de la résistance :

Aux bornes de la bobine :


La bobine va retarder l’extinction du courant par effet inertiel.

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