Université Abdelmalek Essaadi

Faculté des sciences et techniques

Tanger

Travaux Pratiques

De RDM

Sujet TP :

Torsion De Barres Cylindrique

Réalisé par (groupe 6) : Encadré par :

Omari Anass Mlle. Fakri Nadia

El Hilali Hamza

Chaouki Hassan

Kasmi Youssef

2

REMERCIEMENT

Nous vous remercions Madame pour tous les conseils, les idées, et le bon

traitement, et nous espérons être au niveau requis.

Merci !

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SOMMAIRE

Essai de torsion P 4

Description de l’appareillage P 5

But de manipulation P6

Procédure de manipulation P6

La relation entre le moment de la torsion et l’angle de torsion d’une barre :

Les relations et les données P6

Tableaux des valeurs relevées et calculées P7

Diagramme de variation de Mt en fonction de ϴ P8

Calcul de la pente k et de l’incertitude Δk P9

Détermination de module d’élasticité transversale en torsion :

Tableaux des valeurs relevées et calculées P10

Calcul des grandeurs demandées et exploitation des résultats P10

4

Essai de torsion :

On considère une éprouvette cylindrique encastrée à une extrémité. A l’autre extrémité, on

exerce un moment de torsion Mt.

La génératrice AB située à une distance r de l’axe de l’éprouvette, est déformée en AB’.

ϴ: L’angle de rotation de la génératrice AB, est appelé « Angle de torsion de la barre ».

On démontre que :

Mt/I0=G (ϴ/L)

Mt : Moment de torsion appliqué.

G : Module d’élasticité en torsion.

I0 : Moment quadratique polaire de la section.

ϴ : Angle de torsion de la barre.

Et on définit :

I0= (π.d4)/ 32

Avec d: Diamètre de la section.

5

Description de l’appareillage :

1 : levier de fixation.

2 : bloc d’encastrement de position réglable.

3 : barre cylindrique graduée.

4 : mandrine.

5 : mandrine libre.

6 : bras de torsion.

7 : volant pour changement de déchargement.

8 : peson à ressort descend lors de l’application de la charge.

9 : écrou graduée en Kg.

10 : comparateur.

L’éprouvette (3) est placée entre les mandrines (4) et (5).

On applique la charge à l’aide du volant (7) en lisant la valeur de la charge sur l’écrou (9).

Le comparateur (10) permet la lecture du déplacement dû à la torsion.

6

But de manipulation :

Etudier les caractéristiques de torsion de barre cylindrique :

Détermination expérimentale de la relation entre le moment de la torsion et l’angle de

torsion d’une barre.

Détermination expérimentale de la relation entre la langueur de fixation et l’angle de

torsion.

Détermination expérimentale du module d’élasticité en torsion de l’aluminium.

Procédure de manipulation :

Insérer la barre d’essai en aluminium et choisi une longueur d’essai L= 300 mm.

Serrer la barre en place.

Faire varier le moment de torsion.

La relation entre le moment de la torsion et l’angle de torsion d’une barre :

Les relations et les données

Mt(N.m) = relevé de peson x 9.81 x 0.1

ϴ (rad) = relevé de comparateur x 0.02

Mt/I0=G (ϴ/L)

I0= (π.d4)/ 32

K= (k1 + k2)/2

Δϴ = Δϴop + Δϴcomp avec : Δϴop = sup | ϴmoyenne - ϴi |

ΔMt = ΔMtpeson

On donne :

Δpeson = 50g ;

Δecomp = 0.005 ;

G = 0.4E ;

E = 7000 daN/mm2

d = 8 mm

L = 300 mm

7

Tableaux des valeurs relevées et calculées :

- Tableau des valeurs relevées :

peson à ressort en

(Kg)

Comparateur (mm)

Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3

0.5 0.69 0.73 0.70

1 1.41 1.46 1.45

1.5 2.24 2.19 2.21

2 2.96 3.03 3.01

2.5 3.78 3.71 3.76

3 4.56 4.55 4.57

- Tableau des valeurs calculées :

peson à

ressort en

(Kg)

Moyenne

Comparateur

(mm)

Mt(N.m) ΔMt(N.m) ϴ (rad) Δϴ (rad)

0.5 0.7 0.49 0.049 0.014 3.10-4

1 1.44 0.98 0.049 0.029 9.10-4

1.5 2.21 1.47 0.049 0.044 3.10-4

2 3 1.96 0.049 0.060 9.10-4

2.5 3.75 2.45 0.049 0.075 9.10-4

3 4.56 2.94 0.049 0.0912 3.10-4

Mt(N.m) = relevé de peson x 9.81 x 0.1

ϴ (rad) = relevé de comparateur x 0.02

ΔMt = ΔMtpeson = (50.10-3

) x 9.81 x 0.1 = 0.049 = constante

Δϴcomp = Δecomp x 0.02 = 0.005 x 0.02 = 10-4

= constante

Δϴ = Δϴop + Δϴcomp Δϴop = sup | ϴmoyenne - ϴi |

Δϴ1 = [0.014 – (0.69 x 0.02)] + 10-4

= 3.10-4

Δϴ2 = [0.029 – (1.41x 0.02)] + 10-4

= 9.10-4

Δϴ3 = [0.044 – (2.19x 0.02)] + 10-4

= 3.10-4

Δϴ4 = [0.060 – (2.96x 0.02)] + 10-4

= 9.10-4

Δϴ5 = [0.075 – (3.71x 0.02)] + 10-4

= 9.10-4

Δϴ6 = [0.0912 – (4.55x 0.02)] + 10-4

= 3.10-4

8

Diagramme de variation de Mt en fonction de ϴ :

9

Calcul de la pente k et de l’incertitude Δk :

- La valeur expérimentale de k :

Pour la droite D1 :

K1 = [(2.989)-(0.441)] / [(0.0907)-(0.0143)]

K1 = 33.35 N.m

Pour la droite D2 :

K2 = [(2.891)-(0.539)] / [(0.0913)-(0.0137)]

K2 = 30.309 N.m

Donc la valeur de k est :

k = (k1+k2) / 2 = (33.35+30.309) / 2

k = 31.83 N.m

- L’incertitude Δk :

Δk = | k1 - k2| / 2 = | 33.35 – 30.309 | / 2

Δk = 1.52 N.m

D’où [k expérimentale = (31.83 ± 1.5) N.m]

- La valeur théorique de k :

On a: Mt/I0 = G (ϴ/L) <=> Mt/ϴ = G. (I0 / L)

k = G. (I0 / L)

I0= (π.d4)/ 32 = (π.8

4)/ 32 = 402.12 mm

4

G = 0.4E = 0.4 x 7000 = 2800 daN/mm2

= 28000 N/mm2

Alors: k = G. (I0 / L) = 0.4 E. (I0 / L) = 28000 x (402.12/300)

k = 37531.2 N.mm

[k théorique = 37.53 N.m]

- Comparaison de la valeur théorique et la valeur expérimentale de k :

k expérimentale = (31.83 ± 1.5) N.m et k théorique = 37.53 N.m

D’où K théorique > k expérimentale

Et ça du a cause des incertitudes de mesures et la fatigue des instruments de TP.

10

Détermination de module d’élasticité transversale en torsion :

Tableaux des valeurs relevées et calculées :

- Tableau des valeurs relevées :

peson à ressort en

(Kg)

Comparateur (mm)

Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3

1 1.41 1.46 1.45

2 2.96 3.03 3.01

3 4.56 4.55 4.57

- Tableau des valeurs calculées :

peson à

ressort en

(Kg)

Moyenne

Comparateur

(mm)

Mt (N.m) ϴ (rad) Mt / ϴ ΔMt Δϴ

1 1.44 0.98 0.029 33.8 0.049 9.10-4

2 3 1.96 0.060 32.66 0.049 9.10-4

3 4.56 2.94 0.0912 32.23 0.049 3.10-4

La moyenne 32.9 N.m 0.049 7.10-4

Calcul des grandeurs demandées et exploitation des résultats :

- On déduit la valeur de G :

Mt/ϴ = 32.9 N.m = 32900 N.mm

G = Mt.L / ϴ. I0 = (Mt/ϴ) x (L/I0) = (Mt/ϴ) x (32.L/π.d4)

G = 32900 x (32.300/π.84)

G = 24544.67 N/mm2

[G experimental = 2454.46 daN/mm2]

- Calcule des incertitudes de mesure (ΔG/G) :

G = Mt.L / ϴ. I0 = (Mt/ϴ) x (L/I0)

Log G = Log ((Mt/ϴ) x (L/I0)) = Log (Mt/ϴ) + Log (L/I0)

= Log Mt - Log ϴ + Log L - log I0

d (Log G) = dG/G= d (Log Mt) – d (Log ϴ) + d (Log L) – d (log I0)

= (dMt/Mt) – (dϴ/ϴ) + (dL/L) – (dI0/I0)

dG/G = (dMt/Mt) – (dϴ/ϴ) (car: L et I0 sont des constantes)

ΔG/G = |1/Mt|.ΔMt + |1/ ϴ|.Δϴ

11

Valeur moyenne de : ΔMt = 0.049 N.m

Δϴ = 7.10-4

rad

ΔG/G = |1/Mt|.ΔMt + |1/ ϴ|.Δϴ

ΔG/G = |1/1.96| x 0.049 + |1/ 0.06| x 7.10-4

[ΔG/G = 0.036]

ΔG = 0.036 x G = 0.036 x 2454.46 = 88.36 daN/mm2

[ΔG = 88.36 daN/mm2]

Donc :

[G expérimental = (2454.46 ± 88) daN/mm2]

- Comparaison de la valeur théorique et la valeur expérimentale de G :

On a :

[G expérimental = (2454.46 ± 88) daN/mm2]

[G théorique = 2800 daN/mm2]

Alors :

G expérimental < G théorique

Et ça du a cause des incertitudes de mesures et la fatigue des instruments de TP.