Rapport de Mécanique des Fluides Numérique
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Rapport de Mécanique des Fluides Numérique
Thomas EPALLE
Jerôme VACHER
Ecole Centrale Paris
15 Fevrier 2015
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 1 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Sommaire
1 Projet 1
Présentation du problème
Implémentation numérique
Schémas et Résultats
2 Projet 2
Présentation du problème
Mise en équations du cas 2D
Résultats pour cas 2D
Mise en équations du cas 3D
Résultats pour le cas 3D
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 2 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 3 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Plan
1 Projet 1
Présentation du problème
Implémentation numérique
Schémas et Résultats
2 Projet 2
Présentation du problème
Mise en équations du cas 2D
Résultats pour cas 2D
Mise en équations du cas 3D
Résultats pour le cas 3D
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Présentation du problème
Système Étudié
On considère l'écoulement irrotationnel d'un �uide incompressible
idéal dans la géométrie suivante :
I masse volumique : ρI champ de vitesse : −→u = u−→ex + v−→ey
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Présentation du problème
Évolution du système
La conservation de la masse donne:
∂ρ
∂t= ρ(
∂u
∂x+∂v
∂y)
Soit en régime stationnaire :
ρ(∂u
∂x+∂v
∂y) = 0
On pose Ψ(x , y) tq:
u =∂Ψ
∂y, v = −∂Ψ
∂x
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Présentation du problème
Système d'équations
On obtient donc :∂2Ψ
x2+∂2Ψ
∂y2= 0
Les conditions s'expriment :
I Neumann
Ψ(x ,H) = Ψ(x , 0) = Ψ(0, y) = C1, x ∈ [0; L1], y ∈ [0;H]
Ψ(x , 0) = C2, x ∈ [L1 + L2; L1 + L2 + L3]
I Dirichlet
∂Ψ
∂x(L1 + L2 + L3, y) = 0, y ∈ [0;H]
∂Ψ
∂x(x , 0) = v0, x ∈ [L1; L1 + L2]
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Implémentation numérique
Gestion de la matrice
Discrétisation de l'espace en une matrice de taille NyNx .
Un élement de matrice correspond à la valeur Ψ(j∆X , i∆Y )
Initialisation de la matrice et prise en compte des conditions aux
limites
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Implémentation numérique
Prise en compte des conditions aux limites
I On �xe C1 = 0
I On intègre la condition de Dirichlet pour
x ∈ [L1; L1 + L2], y = 0:
C2 = −v0 ∗ L2I points intermédiaires, en orange :
Ψ[1, j ] = −[(j − 1) ∗∆X − L1] ∗ v0I Diriclet en sortie, (points verts) :
Ψ[:,Nx − 1] = Ψ[:,Nx ]
Ainsi, la relation suivante est respectée :
∂Ψ(L1 + L2 + L3, y)
∂x= 0 ⇐⇒ Ψ[i ,Nx ]−Ψ[i ,Nx − 1]
∆x= 0
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Implémentation numérique
Discrétisation du système
On choisit des schémas centrés d'ordre 1 pour évaluer des dérivées
partielles d'ordre 2.
Développement de Taylor :
∂2Ψ(x , y)
∂x2=
Ψ[i , j + 1] + Ψ[i , j − 1]− 2Ψ[i , j ]
∆x2+ O(∆x2)
∂2Ψ(x , y)
∂y2=
Ψ[i + 1, j ] + Ψ[i − 1, j ]− 2Ψ[i , j ]
∆y2+ O(∆y2)
Remarque : l'adoption de schémas centrés ne pose pas de pas deproblèmes en soi sur les bords puisque les conditions aux limitesdéterminent entièrement les valeurs de Psi en ces points particuliers.
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Méthode 1, Schéma de Jacobi
On obtient :
Ψki ,j =
1
2(XY 2 + 1)[XY 2(Ψk−1
i+1,j + Ψk−1i−1,j) + Ψk−1
i ,j+1 + Ψk−1i ,j−1)]
avec XY = ∆x∆y
I Une fois initialisée, on met à jour la matrice en calculant
chaque élement par itérations successives, pour propager
l'information des limites du système à tout son ensemble.
I Arret des itérations si
εk = |Ψk −Ψk−1| < ε, ε ∈ <+
On choisit le résidu εk :
|Ψk −Ψk−1| =∑i ,j
(Ψki ,j −Ψk−1
i ,j )2
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Résultats
Avec un schéma de Jacobi et les paramètres suivants :
H = 5, L1 = 1m, L2 = 1m, L3 = 3m, v0 = 2m/s
Nx = 100, Ny = 100, ε = 0, 0001
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Les lignes de courants obtenues traduisent une solution dont la
physique semble pertinente :
I Pas de lignes de courants rentrant dans les parois
I Une forme satisfaisante en entrée et en sortie du système
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Méthodes 2 et 3, Schémas de Gauss Seidel (GS) et de GSrelaxé
I Gauss Seidel :
Ψki,j =
12(XY 2 + 1)
[XY 2(Ψk−1
i+1,j + Ψki−1,j) + Ψk−1
i,j+1+ Ψk
i,j−1)]
avec XY = ∆x∆y
.Proche de celui de Jacobi à la di�érence près qu'il utilise les pointsde l'itération actuelle k qui sont déja disponibles.
I Gauss Seidel avec relaxation :
Ψki,j =
ω
2(XY 2 + 1)[XY 2(Ψk−1
i+1,j+Ψki−1,j)+Ψk−1
i,j+1+Ψk
i,j−1)]+(1−ω)Ψk−1
i,j
avec ω ∈ [1; 2]I Mêmes résultats avec les trois schémas, on s'intéresse donc à
leurs performances en terme de rapidité de convergence.I Optimisation de ω dans le cas de la relaxation avant étude
comparative.
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Optimisation de la valeur du paramètre oméga du schémaGS relaxé
On étudie l'évolution du résidu εk au cours d'itérations succesives.
εoptimal ≈ 1.8, on a�ne alors l'étude.
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Optimisation 2/3
εoptimal ≈ 1.96, on a�ne encore l'étude.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 16 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Optimisation 3/3
On obtient :
εoptimal = 1.97
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Comparaison de la rapidité de convergence entre les troisschémas numériques
On compare :
I Jacobi
I Gauss Seidel non relaxé
I Gauss Seidel relaxé, omega = 1.8
I Gauss Seidel relaxé, oméga = 1.97 (valeur optimale)
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 19 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Schémas et Résultats
Conclusions
On observe :
I Le schéma de Jacobi converge plus rapidement que celui de
Gauss Seidel non relaxé lors des premières itérations,
cependant cette situation s'inverse au bout d'un certains
nombre d'itérations (au dela de 1000) dans notre cas.
I Le schéma de Gauss Seidel relaxé est celui le plus performant,
cepedant cette rapidité de convergence est hautement
in�uencée par le choix du paramètre oméga qui intervient dans
sa formulation.
I Avec le paramètre oméga optimal, le schéma de Gauss Seidel
relaxé est de loin le plus permormant. En 100 itérations, il
atteint une valeur du résidu que le schéma de Jacobi n'atteint
qu'après plus d'un millier d'itérations.
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Plan
1 Projet 1
Présentation du problème
Implémentation numérique
Schémas et Résultats
2 Projet 2
Présentation du problème
Mise en équations du cas 2D
Résultats pour cas 2D
Mise en équations du cas 3D
Résultats pour le cas 3D
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 21 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Présentation du problème
Système considéré
On considère l'établissement d'un écoulement dans les
con�gurations suivantes pour t ≥ 0:
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 22 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Présentation du problème
Cas de l'étude
I On adopte les hypothèses suivantes:• Fluide incompressible de masse volumique ρ, de viscosité
cinématique ν• Pas de forces volumiques• Écoulement parallèle : −→u = u(x , y , z , t)−→ex• −→u0 =
−→0 pour t < 0
I Système invariant par translation selon −→ex :• Grandeurs du système indépendantes de x• −→u = u(y , z , t)−→ex
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Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 2D
Équation de Navier Stockes
Cas 2D, −→u = u(z , t)−→exL'évolution du champ de vitesse est donnée par :
∂tu = ν∂2zu
Avec comme conditions :u(z , t < 0) = 0
u(z = 0, t ≥ 0) = u0u(z = H, t ≥ 0) = 0
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 24 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 2D
Discrétisation du problème
On discrétise en :
II temps: itérations de pas ∆t d'indice n
I espace: N points espacés de ∆Z , indice i
On utilise un schéma semi-implicte, avec :
I nombre de Fourier :
F =∆t ν
∆Z 2
I indice de semi-implicité : β
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 25 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 2D
Système d'équations discrétisées
Pour n ≥ 1, soit t ≥ 0 :
I Condition à la limite inférieure :
Un+11 = u0
I Champ intérieur, 2 ≤ i ≤ N − 1 :
−Fβ Un+1
i−1+ (1 + 2Fβ) Un+1
i − Fβ Un+1
i+1=
(1− β)F Uni−1
+ (1− (1− β)2F ) Uni + (1− β)F Un
i+1
I Condition à la limite supérieure :
Un+1
N = 0
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 26 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 2D
Méthode de résolution
Pour résoudre l'équation :
I On pose U0 = 0
I On résoud le système précédent pour obtenir Un+1 à partir de
Un
I On continue tant que ||Un+1 − Un||2 > ε (critère d'arrêt)
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 27 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour cas 2D
Évolution temporelle du pro�l de vitesse
Fig.1 -Évolution du pro�l de vitesse au cours du temps
Transfert de quantité de mouvement par di�usion de plus en plus de lent.Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 28 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour cas 2D
Analyse Linéaire de stabilité de Neumann
Dans le schéma utilisé, l'ampli�cation d'une perturbation
Uni = un expjik∆z est :
A = 1− 2F (1− cos(k∆z))
1 + 2Fβ(1− cos(k∆z))
Un schéma stable |A| < 1 impose :
I F quelconque si β ≥ 12: on retrouve le cas implicite si β → 1
I F ≤ 12(1−2β) si β < 1
2: cas explicite si β → 0
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 29 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour cas 2D
Cas de convergence pour β ≥ 12
Fig.2 - Évolution du pro�l de vitesse au cours du temps
On a bien convergence comme on s'y attendait si β ≥ 1
2, pour F = 0.24
pour la Fig. 1 ou pour F = 10 dans le cas de la Fig. 2.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 30 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour cas 2D
Cas de convergence pour β < 12
On choisit β = 0.25, ainsi Flim = 1:
Fig.3 -Évolution du pro�l devitesse pour β = 0.25 et
F = 0.25
Fig.4 -Évolution du pro�l devitesse pour β = 0.25 et
F = 1.0
On remarque qu'il y a bien convergence dans les deux cas.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 31 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour cas 2D
Résultats dans la zone instable
On prend β = 0.25 et F = 0.75:
Fig.5 - Cas de non convergence du schéma numérique
Oscillations sans sens physique caractéristiques d'un schéma instable
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 32 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 3D
Équation de Navier Stockes
Cas 3D, −→u = u(y , z , t)−→ex
L'évolution du champ de vitesse est donnée par :
∂tu = ν (∂2y + ∂2z ) u
Avec comme conditions :u(y , z , t < 0) = 0
u(y , z = 0, t ≥ 0) = u0u(y , z = H, t ≥ 0) = 0
u(y = −b2, z > 0, t ≥ 0) = 0
u(y = +b2, z > 0, t ≥ 0) = 0
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 33 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 3D
Discrétisation du problème
On discrétise en :
I temps: itérations de pas ∆t d'indice n
I espace selon y : N points, pas ∆Y , indice i
I espace selon z : N points, pas ∆Z , indice j
On utilise une méthode implicite à directions alternées :
I on �ge les gradients selon y pendant un demi pas de temps
pour caluler U∗i ,j
I on �ge les gradients selon x pendant un demi pas de temps
pour caluler Un+1i ,j
I nombre de Fourier, rapport YZ:
F =2∆t ν
∆Z 2, yz =
∆z
∆y
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 34 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Mise en équations du cas 3D
Système d'équations discrétisées
Pour chaque pas de temps :
I On doit d'abord calculer U∗ pour j ∈ 1,N :
U∗i,j = 0
−Fyz2(U∗i,j−1
+U∗i,j+1
)+(1+2Fyz2) U∗i,j = (1−2F )Un
i,j+F (Uni−1,j+Un
i+1,j)
U∗i,N = 0
I On peut en déduire Un+1 pour i ∈ 1,N :
Un+1
1,j = u0
−F (Un+1
i−1,j+Un+1
i+1,j)+(1+2F )Un+1
i = Fyz2(U∗i,j−1
+U∗i,j+1
)+(1−2Fyz2) U∗i,j
Un+1
N,j = 0
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 35 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour le cas 3D
Critères de stabilié
On considère une perturbation de la forme Un = un exp j(ikz∆z + jky∆y)
Le schéma précédant est linéaire donc on choisi d'écrireU∗ = u∗ exp j(ikz∆z + jky∆y), ainsi:
Un+1
Un=
Un+1
U∗U∗
Un
Un+1
Un=
(1− 2F (1− cos(kz∆z)))(1− 2Fyz2(1− cos(ky∆y)))
(1 + 2F (1− cos(kz∆z)))(1 + 2Fyz2(1− cos(ky∆y)))
On montre que
|Un+1
Un| < 1, ∀F
Le schéma est stable.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 36 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour le cas 3D
Exemples de stabilité
On �xe yz2 = 1, et on fait varier F :
Fig.6 - Champ des vitessespour Ttot = 1000s pour
F = 0.01
Fig.7 - Champ des vitessespour Ttot = 1000s pour
F = 0.1
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 37 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour le cas 3D
Exemples de stabilité
Fig.8 - Champ des vitessespour Ttot = 1000s pour
F = 1
Fig.9 - Champ des vitessespour Ttot = 1000s pour
F = 100
I Même champ => pas de problème d'instabilités.
I Fig.9 - Légère di�érence proche des coins inférieurs du au faiblenombre d'itérations (10 pour Ttot = 1000s)
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 38 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour le cas 3D
In�uence de la géométrie
On �xe F = 0.1, Ttot = 100s, yz varie :
Fig.10 - In�uence du rapport de géométrie yz
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 39 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Résultats pour le cas 3D
Analyse des résultats
yz = ∆Z∆Y
et Ny = Nz �xé. Ainsi
yz =H
b
δt : longueur de di�usion pour Ttot
I yz < 1: H < b, le pro�l se rapproche d'un pro�l établi : δt ≈ H
I yz > 1: H > b, le pro�l fortement in�uencé par les conditionslatérales : δt < H => pro�l en triangle
Soit
I Pour les faibles valeurs de yz , la di�usion a pu dans le temps
imparti, homogénéiser une grande partie de l'écoulement.
I Plus yz diminue, plus il est rapide d'obtenir pro�l établi, car il
y a moins de �uide à mettre en mouvement.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 40 / 41
Introduction Projet 1 Projet 2 Conclusion
Conclusion
I Le choix du nombre de Fourier permet de joueur sur la vitesse
de la simulation, car on joue sur le pas de temps ∆t.
Cependant on peut entrer dans un domaine d'instabilité du
schéma.
I On remarque une in�uence forte de la géométrie sur les
résultats de simulation.
I Le choix du schéma numérique conditionne tous les possibles
problèmes d'instabilités. Il faut donc choisir en connaissance
de la situation à traiter.
I Un analyse linéaire de stabilité se révèle déterminante dans le
cas de problèmes linéaires pour pouvoir à l'avance connaitre
les domaines d'instabilités et permettre donc de choisir un
schéma adapté à la situation.
Thomas EPALLE Jerôme VACHER MFN 15 Fevrier 2015 41 / 41