Mécanique Des Fluides Avancée

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REPUBLIQUE DU BENIN Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université d’Abomey Calavi Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi MECANIQUE DES FLUIDES AVANCEE Enseignant : Joël M. ZINSALO 1 e Edition

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REPUBLIQUE DU BENIN

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la

Recherche Scientifique

Université d’Abomey Calavi

Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi

MECANIQUE DES FLUIDES AVANCEE

Enseignant :

Joël M. ZINSALO

1e Edition

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Objectifs

A la fin du cours, l’étudiant doit être capable de :

� Décrire et expliquer la notion de fluide et le comportement des fluides

� Calculer les forces exercées par les fluides au repos.

� Appliquer les équations du mouvement d’un fluide dans des cas

d’écoulement simple.

� Expliquer et calculer les forces générées par le mouvement d’un fluide

� Évaluer l’énergie nécessaire à la mise en mouvement d’un fluide dans les

machines et circuits hydrauliques.

� Faire le dimensionnement des installations de transport des fluides dans

les canalisations libres ou les colonnes garnies et procéder aux choix des

pompes.

Contenu

Théorème de transport de Reynolds et applications.

Hydrodynamique de la Couche limite.

Mode d’évaluation

1 contrôle continu et 1 examen terminal

Bibliographie

1- Mécanique des fluides appliquée de Jean-Paul Beaudry et Jean-Claude

Rolland, 2011.

2- Mini Manuel de Mécanique des fluides : rappels de cours et exercices

corrigés, Arnault Monavon, Dunod, 2010

3- Mécanique expérimentale des fluides, Dunod, 2002, 5ème éd. Tome I :

Statique et dynamique des fluides non visqueux. Tome III : Recueil

d'exercices corrigés avec rappels de cours (Université Pierre et Marie Curie,

Paris).

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Chapitre 1

THEOREME DE TRANSPORT DE REYNOLDS

1. Lois fondamentales de la mécanique des fluides

Les quantités intéressant les ingénieurs sont souvent exprimées en termes

intégrales.

Les quantités intégrales d’intérêt principal en mécanique des fluides sont régies

par trois lois fondamentales : conservation de la masse, première loi de la

thermodynamique et la seconde loi de Newton. Ces trois lois sont exprimées en

fonction d’un système, un ensemble fixé de particules de matériau. Par exemple,

en considérant l’écoulement à travers une tuyauterie, on peut identifier une

quantité fixée de fluide à l’instant t comme le système (voir figure)

Figure 1.1

Ce système pourrait donc mouvoir à la vitesse à la position � + ∆�. Chacun de ces

3 lois peut être appliquée à ce système.

1.1. Conservation de la masse

La loi régissant que la masse doit être conservée est « la masse d’un système reste

constante ».

La masse d’une particule fluide est ��� où �� est le volume occupé par une

particule et � est sa densité. Sachant que la densité peut changer d’un point à un

autre dans le système, la conservation de la masse peut – être exprimée par :

Système à l’instant t

Système à

l’instant � + ∆�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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��� � ���� = 0�1.1� Où

��� est utilisé car on considère un sens spécifique de particules de matériau

que constitue le système.

1.2. Première loi de la thermodynamique

Elle s’énonce comme suit :

« le taux de transfert de chaleur à un système mois le taux auquel le système ne

peut travailler est égal au taux auquel l’énergie du système est changeante. »

Sachant que la densité et l’énergie spécifique peuvent changer d’un point à un

autre dans le système, la première loi de la thermodynamique peut être exprimée

par :

�� − �� = ��� � ���� = 0�1.2� où l'énergie spécifique comporte l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et

l’énergie interne.

1.3. Deuxième loi de Newton

La 2e loi de Newton, appelée aussi l’équation de mouvement, s’énonce comme

suit :

« La force résultante agissant sur un système est égale au taux auquel le

mouvement du système est changeante. »

Le mouvement d’une particule fluide de masse ��� est une quantité vectorielle

donnée par ����; par conséquent la 2e loi de Newton est exprimée par :

� � = ��� � ����� �1.3� ���� � ����� �!"�#�$��&'"��&�#��#()*. &/,-

Sachant que la densité et la vitesse toutes deux changent d’un point à un autre

dans le système. Cette équation se réduit à ∑ � = &. � si � et � sont constantes à

travers tout le système ; � est souvent content mais en mécanique des fluides, le

vecteur vitesse change invariablement d’un point à un autre. De même, �/�� est

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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utilisé pour exprimer le taux de changement, car la 2nde loi de Newton, est

appliquée à un système.

2. Equation « mouvement de moment »

Cette équation résultant de la seconde loi de Newton s’énonce comme suit :

« le moment résultant agissant sur un système est égal au taux de changement

du moment angulaire du système ».

Cette équation est exprimée comme suit :

où / × 1234 représente le mouvement angulaire d’une particule fluide de masse

���. Le vecteur / situe la position de l’élément de volume �� et est mesurée de

l’origine des axes de coordonnées, le point relatif par rapport auquel le moment

résultant est mesuré.

Notes (Remarques) :

1) Dans chacune de ces lois fondamentales, la quantité intégrale est une

propriété extensive du système. On notera 5� pour exprimer cette

propriété extensive ; par exemple 5� peut – être la masse, le mouvement

ou l’énergie du système. Le membre gauche de l’équation (1) et les membres

droites des équations (2), (3) et (4) peuvent être exprimés par :

�5��� �1.5� Où 5� représente une quantité intégrale.

2) Il est aussi utile d’introduire la variable 7 pour la propriété intensive, c’est-

à-dire la propriété du système par unité de masse. La relation entre 5� et

7 est donnée par :

5� = � 7���� �1.6� Comme exemple, la propriété extensive de la 2nde loi de Newton est le

mouvement,

&'"��&�#��è:; = � ����� �1.7�

� = = ��� � / × 1234⬚� �1.4�

@A'�"$�����'A$�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Ici7 = �

Qui est une quantité vectorielle. La propriété intensive correspondante

serait le vecteur V. Donc la densité et la vitesse qui varient d’un point à un

autre dans le système peuvent être une fonction du temps comme dans un

écoulement transitoire.

3. Volume de contrôle

L’intérêt ici est de considérer une région de l’espace dans laquelle le fluide entre

et/ou en sort. Cette région est identifiée à la figure 8.2 suivante :

Figure 1.2

Où, on a montré la différence entre un volume de contrôle et un volume. Cette

figure montre ou indique que le système occupe le volume de contrôle à l’instant � et s’est partiellement déplacé du volume de contrôle à l’instant �� + ���. Puisqu’il est souvent plus convenable de se baser sur un volume de contrôle que

sur un système, la première tâche est de trouver une transformation qui nous

montrera comment exprimer la dérivée totale d’un système en fonction des

quantités relatives au volume de contrôle de sorte que les lois fondamentales

précédemment énumérées puissent être appliquées directement à un volume de

contrôle.

Système et volume de

contrôle identiques à

l’instant �

Système à

l’instant � + ∆� Volume de

contrôle à

l’instant � + ∆�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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4. TRANSFORMATION SYSTEME – VOLUME DE CONTROLE

1. Considérons un élément d’aire �E de la surface de contrôle, l’aire de la surface

qui couvre entièrement le volume de contrôle. Le flux à travers l’aire

élémentaire �E (voir figure 8.3) est exprimé par :

� "Fà�A���A,�E = 7�#HHHI. �HHHI�E�1.8�

Figure 1.3

Où #HI un vecteur normal unitaire à l’élément d’air �E toujours dirigé à l’extérieur

du volume de contrôle.

7 représente la propriété ou grandeur intensive associée à a grandeur extensive

5� L’expression (8.8) donne une valeur négative si elle est relative à un influx (influx

interne) ;

Seule la composante normale #HHHI. �HHHI participe à ce terme de flux. S’il n’y a pas de

composante normale de la vitesse à une aire particulière, comme par exemple, la

paroi d’un tuyau, aucun flux n’apparaît à travers la surface.

- Si #HHHI. �HHHI > 0, alors il y a un flux sortant du volume de contrôle.

- Si #HHHI. �HHHI < 0, alors �HHHI��#HHHI ont des directions opposées, un flux entrant est

noté dans le volume de contrôle.

�HHHI

#HI

#HI #HI

#HI

�HHHI

�HHHI

�HHHI

�E

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Le vecteur vitesse �HHHI peut faire un angle avec la direction de la normale unitaire

#HHHI, le produit vectoriel #HHHI. �HHHI prend en compte la composante appropriée de �HHHI qui

produit un flux à travers l’aire.

La propriété de flux net sortant de la surface de contrôle (s.c.) est obtenue par :

Si le flux net est > 0, le flux sortant est supérieur au flux entrant.

2. Considérons maintenant la dérivée totale de la propriété extensive 5� par

rapport au temps, soit �MNONP��

�5��� = limST→VNXYXT�t + ∆t� − NXYXT�t�∆� �1.10�

Le système est montré à la figure 8.4 aux instants ����� + ∆��. � Volume de contrôle fixé occupe les régions (1) et (2).

� Système à l’instant t occupe les volumes (1) et (2)

� Système à l’instant �� + ∆�� occupe les volumes (2) et (3).

Figure 1.4

Supposons que le système occupe tout le volume de contrôle à l’instant t. ce

volume de contrôle est supposé fixé dans l’espace, et le système se déplace à

travers ce volume de contrôle. Ainsi l’équation (10) devient :

�5��� = lim∆�→V5[�� + ∆�� + 5\�� + ∆�� − 5\��� − 5]���∆�

��] ��\

1

2

3

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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�5��� = lim∆�→V5\�� + ∆�� + 5]�� + ∆�� − 5\��� − 5]���∆�+ lim∆�→V

5[�� + ∆�� − 5]�� + ∆���∆� �1.11� Où, dans cette 2nde expression, on a simplement ajouté et retranché 5]�� + ∆�� au

numérateur, et où par exemple, 5\��� signifie la propriété extensive dans la

région 2 à l’instant t.

La 1ère limite dans le membre de droite se rapporte au volume de contrôle et on

peut écrire :

�5�Dt = lim∆T→VN_`�t + ∆t� − N_`�t�∆�+ lim∆T→V

N[�t + ∆t� − N]�t + ∆t�∆� �1.12�Le premier rapport du nombre de droite est

aMbca� , ce qui revient à écrire :

�5�Dt = dN_`dt + lim∆T→VN[�t + ∆t� − N]�t + ∆t�∆� �1.13�

A présent, on doit exprimer les quantités extensives 5[�� + ∆�� et 5]�∆� + ��; elles

dépendent des masses contenues dans des éléments de volume montées à la

figure 1.4 et à la figure 1.5 suivante :

��] = −#HHHI. �∆��E]��[ = #HHHI. �∆��E[

Figure 1.5

Notons que le vecteur unitaire #HHHI est toujours à l’extérieur du volume, et donc

pour obtenir un volume différentiel positif, un signe négatif est requis pour la

région 1. De même, le cosinus de l’angle entre le vecteur vitesse et la normale

�E] �E\

#HHHI

�∆� �∆�

#HHHI

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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unitaire est requis, donc la présence du produit vectoriel. Considérant la figure 5,

on a :

5[�� + ∆�� = � 7�#HHHI. �HIΔ��E[fg

5]�� + ∆�� = − � 7�#HHHI. �HIΔ��E]fg�1.14�

Reconnaissant que E] et E[ entourent entièrement le volume de contrôle, on peut

combiner les deux intégrales en une seule. Il vient :

5[�� + ∆�� − 5]�� + ∆�� = � 7�#HHHI. �HIΔ��Eh.i �1.15� Où la surface de contrôle (s.c) est l’aire entourant entièrement le volume de

contrôle. Substituant l’équation (1.15) dans l’équation (1.13), on obtient

l’équation de transformation système – volume de contrôle appelée couramment

le théorème de transport de Reynolds :

�5��� = ��� � 7���j.k + � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.16�

La première intégrale représente le taux de variation de la propriété extensive

dans le volume de contrôle. La seconde intégrale représente le flux de la

propriété extensive à travers la surface de contrôle.

Autre forme de l’équation (1.16) :

�5��� = � ll� �7����j.i + � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.17�

Où on a utilisé mm� puisque � et 7 sont en général dépendantes des variables de

position.

→ Simplifications de la transformation système – volume de contrôle

De nombreux écoulements d’intérêts sont des écoulements permanents, si

bien que mm� �ηρ� = 0, l’équation (8.17) devient :

�5��� = � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.18�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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En outre, il y a souvent une seule aire E] à travers laquelle le fluide entre

dans le volume de contrôle et une aire E\ à travers laquelle le fluide sort du

volume de contrôle. En supposant que le vecteur vitesse est normal à l’aire

(voir figure 1.6).

Figure 1.6

On peut écrire : #]HHHHHI. �]HHHHI � ��] à travers l’aire E] et #\HHHHHI. �\HHHHHI � �\ à travers l’aire E\ .

Alors l’équation (8.18) devient :

�5��� � � 7\�\�\�Efp

� � 7]�]�]�Efq

�1.19� Il y a beaucoup de situations qui sont modélisés en supposant des propriétés

uniformes à chaque aire de plan et donc les équations simplifiées sont :

�5��� � 7\�\�\E\ � 7]�]�]E]�1.20� Où plus généralement :

�5��� � � 7s�s�tHHI. #tHHHI. EsM

su]�1.21�

Où N est le nombre d’aire.

Pour un écoulement transitoire dans lequel les propriétés sont supposées

uniformes à travers le volume de contrôle, l’équation de transformation système-

volume de contrôle prend la forme :

E\

E] #]HHHHI

#\HHHHI

�]HHHI

�\HHHI

Dispositif

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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�5��� � vj.k ��7���� + 7\�\�\E\ − 7]�]�]E]�1.22�

Pour une entrée et une sortie ayant des propositions uniformes.

5. CONSERVATION DE LA MASSE

Un système est un ensemble donné de particules fluides, donc sa masse doit être

fixée :

�w��� = ��� � ���� = 0�1.23� Ici, tout simplement 7 = 1, 5� représentant la masse du système,

5� = � 7����

Où 7 = 1. Donc le théorème de transport de Reynolds devient :

0 = ��� � ���j.k + � �#HHHI. �HHHI�E.k �1.24� 0 = � l�l� ��j.k + � �#HHHI. �HHHI�E.k �1.25�

- Si l’écoulement est permanent, on a :

� �#HHHI. �HHHI�E = 0�1.26� Qui pour un écoulement uniforme avec une entrée et une sortie, devient :

�\E\�\ = �]E]�]�1.27� Où #]HHHHHI. �]HHHHI = −�] et #\HHHHHI. �\HHHHHI = −�\

- Si la densité est constante dans le volume de contrôle, mxm� = 0 même si

l’écoulement est transitoire. L’équation de continuité (1.25) se réduit à :

E]�] = E\�\�1.28� Cette forme de l’équation de continuité est assez souvent utilisée

particulièrement pour l’écoulement des liquides et des gaz à faible vitesse.

Cas où les profils de vitesse à l’entrée et à la sortie ne sont pas uniformes

• Si la densité est uniforme sur chaque aire de surface, l’équation de

continuité devient :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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�] � �]�Efq

� �] � �\�Efp

�1.29� ou

�]�]yyyyE] = �\�\z E\�1.30�

où �]z et �\z sont des vitesses moyennes respectivement aux sections 1 et 2

(voir figure 1.7).

Figure 1.7

• Le flux masse &� ou taux de masse de l’écoulement ou débit masse est :

&� = � ��{�Ef �1.31� En )*/, ; �{ est la composante normale de la vitesse.

• Le taux de l’écoulement Q ou le débit volume de l’écoulement est :

� = � �|f �E�1.32� En &[/, . Le débit masse est souvent utilisé en spécifiant la quantité

d’écoulement d’un fluide compressible et le débit volume pour un fluide

incompressible.

En fonction de vitesse moyenne, on a :

� = E�z �1.33� &� = �E�z �1.34�

Où, pour le débit masse, on suppose un profil de densité uniforme et la

vitesse normale à l’aire.

�\z

�z]

1

2

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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6. EQUATION D’ENERGIE

Pour un système, l’expression de l’équation d’énergie dans un volume de contrôle

est :

�� � �� � ��� � ����

��1.35�

�� représente le taux de transfert d’énergie à travers la surface de contrôle, due à

la différence de température.

�� est le taux de travail

� est l’énergie spécifique :

� = �\2 }~�~�

ks{é�s��;+ *�}~~�~~�

���;{�s;��;+ "� }��

��T����

(8.35) s’écrit encore :

�� − �� = ��� � ����j.k + � ���HHHIk . #HI�E�1.36�

En général, �� est défini par :

�� = � @#HHHI.k . ��E + �� h + �� � + ��;�1.37� Où

� @#HHHI.k . ��E ∶ tauxdetravailrésultantdelaforcedueàlapressionmouvante àlasurfacedecontrôle; onl�appelleaussidébitdetravail.

�� h : taux de travail résultant de la rotation des arbres �� ceux d'une pompe

ou d'une turbine où la puissance électrique équivalente

�� �: taux de travail du à la frontière mouvante

�� � : taux de travail qui apparaît quand le volume de contrôle se déplace par

rapport à une référence fixée.

(8.37) dans (8.36) donne :

�� − �� h − �� � − �� � = ��� � ����j.k + � �� + @��.k �#HI. �HI�E�1.38� Où : (puisque � = �p

\ + *� + "� ) :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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�� � �� h � �� � � �� �� �

�� �  �\2 + *� + "�¡ ���j.k + �  �\

2 + *� + "� + @�¡�#HI. �HI�E.k �1.39� Cette forme générale de l’équation d’énergie est utile pour analyser les problèmes

d’écoulement de fluide qui comportent des effets transitoires et des profils non

uniformes.

• On définit les pertes comme étant la somme des termes représentant les

formes non utilisés de l’énergie :

¢�A��, = −�� + ��� � "£j.k ��� + � "£���.k + � "��#HI. �HI�Ek �1.40� Donc (8.39) s’écrit encore :

�� h − �� � − �� �= ��� �  �\

2 + *�¡ ���j.k + �  �\

2 + *� + @�¡ �#HI. �HI�E.k + ¢�A��,�1.41� Les pertes sont dues aux effets primaires :

1. La viscosité engendre les frottements internes qui se manifestent par

l’accroissement de l’énergie interne (de la température) ou du transfert

de chaleur.

2. Les changements de géométrie engendrent des écoulements séparés qui

nécessitent de l’énergie utile pour maintenir les mouvements

secondaires résultants résultant qui sont générés.

6.1. Ecoulement uniforme en régime permanent

Considérons une situation d’écoulement permanent dans laquelle il y a une

entrée et une sortie avec des profils uniformes. Supposons que �� � = �� � = 0. Pour

un tel écoulement, le terme ¤�p\ + *� + �

x¥ dans l’équation (8.41) est constant à

travers la section car � est constante, le profil de vitesse étant uniforme, et la

somme *� + �x est constant si les lignes de courant à chaque section sont

parallèles. Dans ce cas, l’équation d’énergie (8.41) se simplifie pour donner :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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��� h � �\�\E\  �\\2 + *�\ + @\�\¡ − �]�]E]  �]\2 + *�] + @]�]¡ + ¢�A��,�1.42� Où les indices 1 et 2 sont référés respectivement à l’entrée et la sortie. Le flux

massique est donné par

&� = �]�]E] = �\�\E\ En divisant par &� * on a :

− �� h&� * = �\\ − �]\2* + @\¦\ − @]¦] + �\ − �] + ℎ¨�1.43� Où on a introduit la perte de chargeℎ¨ définie par :

ℎ¨ = − �&� *� + "£\ − "£]* �1.44�

ℎ¨ est souvent exprimé en termes de coefficient de perte de charge par :

ℎ¨ = © �\2* �1.45�

Où V peut – être �] ou �\. Dans sa forme (1.43), l’équation d’énergie est utile dans beaucoup d’applications

et est, parfois la forme la plus souvent utilisée. Si les pertes sont négligeables, s’il

n’y a aucun travail mécanique d’arbre et si l’écoulement est incompressible,

l’équation d’énergie devient l’équation de Bernoulli suivante :

�\\2* + @\¦ + �\ = �]\2* + @]¦ + �]�1.46� L’équation d’énergie (1.41) peut être appliquée à tout volume de contrôle ; par

exemple, en considérant la figure 1.8 :

Figure 1.8

�\

¢] ¢\

�]

3 ,. �

�[

¢[

1 2

Page 17: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 17

L’équation d’énergie pour l’écoulement uniforme, incompressible et permanent à

travers une canalisation en T dans laquelle on note une entrée et 2 sorties peut –

être écrite pour le flux massique qui sort de la section 3 :

�]\2* + @]¦ + �] = �\\2* + @\¦ + �\ + ℎ¨qªp

�]\2* + @]¦ + �] = �[\2* + @[¦ + �[ + ℎ¨qªg �1.47� Où les termes de pertes comportent les pertes entre l’entrée et les sorties

respectives.

Pour une pompe, le terme d’énergie associé «� N:� ¬est appelé la perte de la pompe ­�.

Pour une turbine, ce terme est noté ­®. Ainsi l’équation d’énergie prend la forme :

­� + �]\2* + @]¦ + �] = ­® + �\\2* + @\¦ + �\ + ℎ¨�1.48� La puissance générée par la turbine de rendement 7® est calculée par :

�� ® = &� *­®7® = �¦­®7®�1.49� De même, la puissance d’une pompe le rendement 7¯ est :

�� ¯ = &� *­¯7¯ = �¦­�7� �1.50�

6.2. Ecoulement non uniforme en régime permanent

Dans ce cas, en pratique, on introduit le facteur de correction ° d’énergie

cinétique, définie par :

° = ± �[�E�y[E �1.51� Où �zest la vitesse moyenne sur l’aire A et donc :

� � �[�Ef = °��y[E�1.52� Avec ce facteur, on peut exprimer les distributions non uniformes de la vitesse en

modifiant l’équation (8.48) comme suit :

­� + °] �]\yyyy2* + @]¦ + �] = ­® + °\ �\\yyyy

2* + @\¦ + �\ + ℎ¨�8.53�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Pour un écoulement avec un profil parabolique dans la canalisation ° � 2. Pour la

plupart des écoulements turbulents internes, cependant le profil est presque

uniforme avec ° = 1,05 ≈ 1.

7. Equation de mouvement

7.1. Equation générale

La seconde loi de Newton appelée souvent l’équation du mouvement s’énonce ou

stipule que la force résultante agissant sur un système est égal au taux de

variation du mouvement du système lorsqu’il est mesuré (ou par rapport) dans le

système de référence inertielle, c’est – à – dire :

� � = ��� � ��HI��� �1.54� En remplaçant dans un théorème de transport de Reynolds 7 par �HHHI, (1.54) il

s’écrit pour un volume de contrôle sous la forme :

� � = ��� � ��HHHI��j.k + � ��HHHI.k ´�HHHI. #HHHIµ�E�1.55�

7.2. Equation de l’écoulement uniforme (application)

L’équation (8.55) se simplifie considérablement lorsqu’elle est appliquée à un

dispositif ayant des entrées et des sorties à travers desquelles la vitesse est

supposée uniforme et si l’écoulement est permanent. Dans ce cas,

� �HHHI = � �sEs . �s´�tHHI. #HHHIµM

sus�1.56�

Où N est le nombre d’aires de section, d’entrée et de sortie d’écoulement

Exemple 1 :

Page 19: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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L’équation de mouvement devient :

� � � �\E\�\�\z � �]E]�]�]z �1.57� En utilisant l’équation de continuité

&� = �]E]�] = �\E\�\�1.58� � � = &� ��\ − �]��1.59�

Notons que l’équation de mouvement est une équation vectorielle. Si en

considérant l’exemple précédent on veut déterminer la composante �¶ de la force

du joint agissant sur le dispositif, ��]�¶ = �] et ��\�¶ = 0 et l’équation du

mouvement dans la direction F devient :

� �¶ = −��¶�·�s{� + @]E] = −&� �]�1.60� De façon similaire, on obtient ´�µ·�s{�.

Exemple 2 : écoulement à surface libre dans un canal rectangulaire est montré à

la figure suivante :

´�µ¸'$#� ´�¶HHHIµ¸'$#�

¹

@]E]

@\E\

º'$#� �

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Force de l’écoulement sur une vanne dans un écoulement à surface libre.

En appliquant l’équation de mouvement, on a :

� �¶ � ��j»{{; + �] � �\ � &� ��\ � �]��1.61� Où �] et �\sont des formes de pression.

7.3. Ecoulement permanent non uniforme

Dans ce cas, on suppose des profils de vitesse uniformes en posant :

� �\�Ef = ¼�\yyyyE�1.62� Où on introduit le facteur de correction du mouvement ¼ défini par :

¼ = ± �\�E�\yyyyE �1.63�

L’équation du mouvement, pour un écoulement permanent, devient :

� � = � �s¼sEs�tHHI��s. #HI�M

su]�1.64�

Pour un écoulement laminaire avec un profil parabolique de la vitesse dans un

canal circulaire, ¼ = 4/3 . Si un profil est donné, cependant il est simplement

habituel d’intégrer en utilisant l’équation (1.55).

7.4. Equation du mouvement appliqué aux propulseurs

Considérons un propulseur illustré par la figue suivante :

�j»{{;

ℎ] ℎ\

�]HHHI

�\HHHI �\HHHI = 12 ¦ℎ\E\

�]HHHI = 12 ¦ℎ\E\

,. �

Page 21: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 21

Figure 1.9 : propulseur dans un écoulement de fluide

L’équation de mouvement appliqué au volume de contrôle large montré sur la

figure donne :

� � &� ��\ � �]��1.65� Si le volume de contrôle est interne au propulseur de sorte que �[ = �½, l’équation

de mouvement donnerait :

� ≠ @[E − @½E = 0�1.66� � = �¢½ − ¢[�E�1.67�

Maintenant puisque les effets de viscosité devraient être assez faibles dans cet

écoulement, l’équation de l’énergie en aval du propulseur et en amont de celui-ci

est utilisé pour donner :

�]\ − �[\2 + @] − @[� = 0�1.68� �½\ − �\\2 + @½ − @\� = 0�1.68�

En combinant ces équations, sachant que @] = @\ = @»�:, on a : �2 ��\\ − �]\� = @½ − @[ En tenant compte de (1.67) dans (1.65), on a :

�[ = 12 ��\ + �]��1.69� Où on a utilisé &� = �E�[ La poussée hydraulique pour produire l’effet que la vitesse de l’écoulement du

fluide en mouvement à travers le propulseur est la moyenne des vitesses amont

�]HHHI �\HHHI �HHHI

�$A�E

¿$*#����'"A�#�

1

2

3 4

Page 22: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 22

et aval est calculé en appliquant l’équation de l’énergie entre les sections 1 et 2

où les pressions sont atmosphériques.

En négligeant les pertes,

�� �a| � �\\ � �]\2 &� �1.70� Le propulseur mouvant a une pression donnée

���|�� = � × �] = &� �]��\ − �]��1.71�

D’où le rendement théorique du propulseur est alors :

7� = ���|���� �a = �]�[ �1.72�

Page 23: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 23

Exercices

Exercice 1 :

De l’eau s’écoule à la vitesse uniforme de 3m/s à travers un tuyau dont le

diamètre est de 10cm à 2cm. Calculer la vitesse de l’eau sortant du tuyau et le

débit volume.

Figure 1.10

Solution : Le volume de contrôle est l’intérieur du tuyau comme indiqué sur la

figure. Le fluide entre dans le volume de contrôle à la section 1 et en sort à la

section 2. L’équation de continuité simplifiée (8.28) est utilisée :

E]�] � E\�\

�\ � �]E]E\

� 3 À�0,1�\/½À�0,02�\/½ = 75&/,

Le débit volume :

� = �]E] = 3 × À × �0,1�\/½ = 0,0236&[/,

Exercice 2 :

De l’eau tiède s’écoule à l’entrée et à la sortie d’un dispositif comme le montre la

figure suivante :

Prendre �] = 0,04&

Á = 10�& Á = 2�& ,. �

�]HHHI �\HHHI

1 2

Page 24: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 24

Figure 1.11

Calculez le taux de variation de la masse d’eau ��&/���dans le dispositif.

Solution

Le volume de contrôle est choisi comme indiqué sur la figure. Pour la surface de

contrôle entourant le dispositif, l’équation de continuité, avec 3 surfaces à travers

lesquelles l’eau s’écoule, s’écrit (équation 1.24).

0 = ��� � ���j.k}~~�~~�:

+ � �7HHHI. �HI�E.k

= �&�� + Â−�]E]�] + �\E\�\}~�~�:�

+ �[E[�[}~�~�Ãg

Ä

Car #]HHHHI. �]HHHI = −�] ; #\HHHHI. �\HHHI = �\ et #[HHHHI. �[HHHI = �[ 0 = �&�� − �]E]�] + &\� + �[�[

⟹ �&�� = �]E]�] − &\� − �[�[ = 1000À�0,02�\�12� − �20� − �1000 × 0,01�

= −14,9)*/,

Donc la masse est décroissante à un taux de 14,9 kg/s.

Exercice 3 :

Un écoulement uniforme se rapproche d’un cycliste tel indiqué à la figure

suivante :

Dispositif �] = 12&/,

7\HHHHHI

7]HHHHHI 1

2

3 �[ = 0,01&[/,

&� \ = 20)*/,

Volume de

contrôle

Page 25: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 25

Figure 1.12

La distribution de la vitesse à la position montrée en amont de la zone de sillage

du cylindre est approximée par :

"�¹� � 1,25 + ¹\4 ,− 1 < ¹ < 1

Où "�¹� est en m/s et y en m. déterminer le flux masse à travers la surface AB

par mètre de profondeur. Utiliser � = 1,23)*/&[.

Solution

Choisissons ABCD comme volume de contrôle. A l’extérieur du sillage (région de

l’écoulement retardé) la vitesse est constante à 1,5m/s. Donc la vitesse normale

au plan AD est 1,5m/s. Visiblement, aucun flux massique ne traverse la surface

CD. En supposant un écoulement permanent, l’équation de continuité devient :

0 = � ��HHHI.k . #HI�E

Du flux massique apparait à travers les surfaces AB, BC et AD. Donc l’équation

de continuité devient :

0 = � ��HHHIfÆÇ

. #HI�E + � ��HHHIfÇÈ

. #HI�E + � ��HHHIfÆÉ

. #HI�E

= &� fÊ + � �"�¹��¹ËV − �­ × 1,5

1,5&/,

1&

Ì

"�¹� #HHHI

Í E

Î

�' "&��� �'#�Aô �

#HHHI

#HHHI

E Í

­

Zone de sillage

1,5&/,

Page 26: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 26

On intègre à l’extérieur de 1m au lieu de Hm, puisque la masse qui entre sur la

surface à gauche de 1m seulement, suivant la surface à droite avec aucun gain

ou aucune perte nette. Donc, posant ­ � 1&, on a :

0 = &� fÊ + � 1,23 1,25 + ¹\4 ¡ �¹ − 1,23 × 1 × 1,5]

V

⟹&� fÊ = 0,205)*/,@�A&è�A�

Exercice 4 :

Déterminer le taux auquel le niveau d’eau (vitesse d’élévation) s’élève dans un

réservoir ouvert si l’eau entrant à travers une canalisation de 0,10&\ à une

vitesse de 0,5&/, et le débit sortant est de 0,2&[/,. Le réservoir a une section

latérale circulaire de 0,5& de diamètre.

Solution

Figure 1.13

En choisissant un volume de contrôle qui s’étend au – dessus de la surface d’eau

comme indiqué à la figure, l’équation de continuité devient :

��� � ���j.k + ��−�]�E] + ��\E\ = 0

⟹ ��� ���� − ��]E] + ��\ = 0

���  �À �\ℎ4 ¡ − ��]E] + ��\ = 0

À�\4 �ℎ�� − �]E] + �\ = 0 ⟹ �ℎ�� = �]E] − �\À�\/4

0,5&/,�\ = 0,2&[/,

,"AÏ����� �'#�Aô �

E] = 0,1&\

Page 27: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 27

Donc

�ℎ�� � �0,5��0,1� − 0,2À × �0,5�\/4 = −0,764&/,

Le signe (-) indique que le niveau d’eau est actuellement en baisse.

Exercice 5

Un venturi réduit le diamètre d’une tuyauterie de 10cm à 5cm.

Calculer le débit volume et le flux massique en supposant les conditions idéales.

Figure 1.14

Solution

Calcul du débit volume

eau

Ð � 1,2&

Ñ

­¬

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 28

¢] − ¢\ = ¦Ñ + 13,6 × 1,2¦ − ¦�� + 1,2� � ¦� + 16,32¦ − ¦� − 1,2¦

¢] − ¢\ = 15,12¦ D’après l’équation de continuité :

E]�] � E\�\ ⟹ �\ � �]E]E\

⟹�\ � �]�]\�\\

⟹ �\ � 4�] Equation d’énergie dans les conditions idéales et sans pompes et turbines :

¢] � ¢\¦ + �]\ � �\\2* + �] − �\ = 0'A�] � �\ ⟹ �] � �\ � 0

Donc

¢] − ¢\¦ + �]\ − 16�]\2* = 0 ⟹ 15�]\ = 2* �¢] − ¢\¦ �

Or ¢] − ¢\¦ = 15,12

⟹ �] = Ò2* × 15,1215 = 4,45&/,

­¬

eau ¢\¢]

Ñ

Ñ

0

Page 29: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 29

�] = �]. E] = À�]\4 �] = 3,14 × �0,1�\4 × 4,45 ⟹ � � 0,035&[/,

Flux massique :

&� = �. � ⟹&� � 1000 × 0,035 ⟹ Ó� = ÔÕÖ×/Ø

Exercice 6

De l’eau s’écoule d’un réservoir à travers une canalisation de 0,8& de diamètre à

une turbine et sont dans une rivière qui est 30m au – dessous de la surface du

réservoir. Si le débit est 3&[/, et le rendement de la turbine est 80%, calculer la

puissance de sortie. Prendre le coefficient de perte de charge dans la canalisation

(incluant la sortie) égal à © = 2.

Solution

Le volume de contrôle utilisé s’étend de la section 1 à la section 2. En supposant

les surfaces de l’eau assez larges, les vitesses aux surfaces sont négligeables. La

vitesse dans la canalisation est :

� = �E = 3À × �0,8�\/½ = 5,968&/, Considérons les pressions de jauge (relatives) telles que @] � @\ � 0 . En

considérant le plan de référence à la section 2 la plus basse, c’est-à-dire �\ = 0; les vitesses �] et �\ sont sensiblement petites ou faibles ; © est supposé être basé

sur la vitesse dans la canalisation de 0,8m de diamètre. L’équation d’énergie (14)

devient alors :

­�ÚuV

+ �]\yyyy2*ÚuV

+ @]¦ÛuV

+ �] � ­® + �\\yyyy2*ÚuV

+ @\¦ÛuV+ �\ÛuV

+ © �\2*

30 = ­® + 2 5,968\2 × 9,81 ⟹ ­® = 26,4&

Rivière

Réservoir V

Turbine

�� ®

2

1

Page 30: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 30

L’équation (8.49) s’écrit :

�® = �¦­®7® = 3�9810��26,4��0,8� = 622000�

�® = 622)�

Exercice 7

La distribution de vitesse pour un certain écoulement dans une canalisation est

��A� � �:»¶  1 − A\AV\¡

Où AVest le rayon de la canalisation :

Déterminer le facteur de correction de l’énergie cinétique.

AV ��A� /

AV

�A

�E � 2ÀA�A

A

Page 31: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 31

CHAPITRE 2 :

HYDRODYNAMIQUE DE LA COUCHE LIMITE

L’hydrodynamique de la couche limite traite de l’écoulement au voisinage d’une

paroi pour de grands nombres de Reynolds. Dans de tels mouvements,

l’écoulement peut – être approximativement divisé en deux zones : i) une zone

proche de la paroi, de très faible épaisseur, appelée couche limite, où l’influence

des forces de frottement est importante et ii) une zone éloignée de la paroi,

appelée fluide libre, où l’influence des forces de frottement est négligeable.

Dans ce chapitre, on étudiera les équations de la couche limite. Les conséquences

de la couche limite sur l’écoulement le long d’une plaque sans et avec gradient de

pression y seront également abordées, ainsi que la résistance des obstacles

(objets) de forme différente en mouvement relatif.

1. Description de la couche limite

1.1. Notion de couche limite

Pour un écoulement à nombre de Reynolds important, on peut considérer le

fluide comme étant parfait. Cependant, une telle approximation n’est plus valable

pour un mouvement de fluide au voisinage d’une paroi (rigide).

On a constaté expérimentalement que pour les écoulements à nombre de

Reynolds élevé les effets des tensions totales sont limités à une couche de faible

épaisseur située près de la paroi, appelée couche limite, dont le concept et la

théorie ont été avancés par Prandtl.

La notion de couche limite est développée ici pour le cas d’une plaque ayant un

angle d’attaque nul par rapport à un écoulement de vitesse d’approche, ÜÝ (voir

figure 1 et 2). Il n’y a pas de variation de pression @�F, ��, dans les directions

parallèle ou normale à la plaque.

Dans un écoulement à couche limite, on distingue deux domaines :

Page 32: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 32

i) un domaine où l’influence des tensions totales (voir équation 9.20) est

limitée à une région d’épaisseur Þ proche de la paroi (surface du corps),

qu’on appelle couche limite.

ii) un domaine extérieur à cette couche limite, où se situe l’écoulement du

fluide libre et parfait, dans lequel l’influence des tensions totales est nulle.

Figure 2.1

Dans la couche limite, les tensions totales, ßà¶���, changent rapidement dans le

plan normal à l’écoulement ; la variation de la vitesse, "y���, est importante :

i) elle est égale à zéro à la paroi, "y = 0, - adhérence des particules de fluide-

ii) elle s’approche à une valeur confondue avec la vitesse de l’écoulement à

fluide libre, "y � ÜÝ, à la distance Þ.

Par conséquent, dans la couche limite où a lieu la déperdition d’énergie, le

gradient de vitesse, �"y/��, est élevé et l’écoulement retardé.

L’extension de la couche limite à partir de la paroi est définie par l’épaisseur de

la couche limite, Þ. Il faut cependant signaler que ces domaines ne sont pas

nettement délimités, il y a transition entre eux et le flux de masse est continu.

L’épaisseur de la couche limite, Þ�F�, croît le long de la paroi dans le sens de

l’écoulement du fluide.

Page 33: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 33

L’écoulement dans la couche limite peut aussi bien être laminaire que turbulent.

1.2. Développement de la couche limite

Quand la couche limite se développe (voir figure 9.2) le long d’une paroi, on

constate qu’à partir du bord d’attaque, á, l’écoulement reste laminaire, mais qu’à

partir d’une certaine distance, âk = áá′yyyyy, l’écoulement peut devenir turbulent. Le

passage entre ces deux types d’écoulement se fait dans une zone de transition. A

l’intérieur de l’écoulement turbulent, tout près de la paroi, il subsiste une couche

très mince appelée sous – couche visqueuse.

La distance, âk, sur laquelle la couche limite reste laminaire, est déterminée à

partir d’un nombre de Reynolds critique ainsi défini :

ä�k| = ÜÝâkå ≡ Î���2.1� Pour une plaque plane, on donne :

5.10ç < ä�k| < 3.10è valeur qui dépend du degré de turbulence dans l’écoulement du fluide libre

Le développement de la couche limite le long de deux plaques parallèles ou le long

d’une conduite cylindrique droite (voir figure 9.3) est semblable à son

développement le long d’une seule plaque (voir figure 9.2). a une certaine

distance, appelée longueur d’entrée, ∆ é , les couches limites – laminaires ou

turbulentes se rencontrent. Après cette longueur d’entrée, l’écoulement est

complètement développé.

Page 34: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 34

Figure 2.2

Pour une conduite de section circulaire, on a trouvé expérimentalement pour la

longueur d’entrée :

∆ é �⁄ = 0,06ä�couchelimitelaminaire

50 L ∆ é �⁄ L 100couchelimiteturbulente

où � est le diamètre de la conduite et ä� � ÜÝ� å⁄ un nombre de Reynolds de

l’écoulement.

Pour un écoulement permanent dans une conduite, la région où la couche limite

est complètement développée représente un cas particulier et important.

Page 35: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 35

Figure 2.3

1.3. Variation longitudinale de la pression

Jusqu’ici on a traité du développement d’une couche limite le long d’une plaque

plane (figure 9.2) avec une variation de pression longitudinale nulle :

l@lF = 0

On suppose à présent que la variation des pressions longitudinales est différente

de zéro :

l@lF L 0ou l@

lF K 0�2.2� On admet que (voir équation 9.14) qu’il n’y a pas de variation de pression

perpendiculairement à la plane à travers la couche limite :

l@l� � 0

A noter que la pression dans la couche limite est soumise aux mêmes gradients

de pression que le fluide libre.

La présence d’un gradient de pression, ��@ �F⁄ � ¾ 0 , exerce une influence

importante sur la formation de la couche limite (voir figure 9.15)

Page 36: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 36

Figure 2.4

Le gradient de pression négatif ou favorable, �@/�F < 0 , est accompagné (voir

figure 9.4a) d’une augmentation de vitesse, (écoulement extérieur accéléré)

�ÜÝ/�F K 0, dans le sens de l’écoulement (convergent) selon F. Cela s’explique par

l’équation intrinsèque du mouvement stationnaire du fluide libre (équation 9.3)

selon F : ÜÝ �ÜÝ�F + 1

��@�F � 0 �2.3�

Par conséquent, les profils de vitesse, "y, s’adaptent selon la variation de vitesse,

ÜÝ , dans le fluide libre. L’épaisseur de la couche limite, Þ�F� , laminaire ou

turbulente, augmente moins vite que pour un écoulement avec variation de

pression nulle.

Page 37: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 37

Le gradient de pression positif ou défavorable, �@/�F > 0, est accompagné (voir

figure 9.4b) d’une diminution de vitesse, (écoulement extérieur décéléré)

�ÜÝ/�F < 0, dans le sens de l’écoulement (divergent) selon F (voir équation 9.3).

Une forte décélération dans la couche limite, Þ�F�, laminaire ou turbulente, peut

provoquer un décollement. Près de la paroi, où la vitesse devient très faible,

l’énergie cinétique, usée par le frottement de la paroi, peut devenir insuffisante

pour combler l’augmentation de la pression. Par conséquent, il peut se produire

un renversement de l’écoulement : c’est le décollement. Le point, ì , à partir

duquel, ce phénomène se produit, est appelé point de séparation ou de

décollement. La zone de décollement dite sillage, s’étend souvent, mais pas

toujours, à l’infini. Quand il y a décollement, la notion de couche limite perd sa

signification et l’écoulement ne reste plus parallèle à la paroi.

Le décollement, qui est accompagné d’une formation de tourbillons, joue un rôle

important dans les écoulements importants autour d’obstacles (sphère, cylindre,

etc.) et peut avoir de graves conséquences au point de vue technique, ceci par

une augmentation de la traînée et de la perte.

Pour retarder voire supprimer un décollement, il existe des remèdes :

i) Eviter une forte décélération quand l’angle d’attaque demeure ° ≤ 7°, ii) Provoquer artificiellement par la mise en place d’un petit obstacle une

couche limite turbulente, reconnue pour se décoller moins facilement

que la couche limite laminaire, ou

iii) Aménager dans les parois une série de trous ou de fentes, par lesquels

on aspirera la couche limite.

2. Epaisseur de la couche limite

Pour l’étude d’un écoulement à couche limite, la définition de son épaisseur, Þ,

joue un grand rôle. Il est devenu courant de la définir de la façon suivante :

a) Þ ≡ ÞÝ épaisseur conventionnelle

b) Þ ≡ Þ∗ épaisseur de déplacement

c) Þ ≡ ð épaisseur d’impulsion ou de quantité de mouvement

Page 38: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 38

On définit également un facteur de forme de la couche limite qui est donné par le

rapport :

­ = Þ∗/ð

Chacune de ces épaisseurs a un sens physique et on constate que ÞÝ > Þ > ð

Les expériences montrent que l’épaisseur de la couche limite, Þ (voir figure 9.2),

est proportionnelle à la distance du bord d’attaque, F , et au coefficient de

viscosité, ñ (ou de coefficient de mélange, ò), et inversement proportionnelle à la

vitesse à l’infini, ÜÝ, et à la masse volumique, �. On écrit :

Þ ∝ ñ. F�. ÜÝ �2.4� et, avec des considérations dimensionnelles, on trouve :

ÞF ∝ ÒåFÜÝ ∙ 1F = Ò åÜÝF�2.4�� Cette relation peut être généralisée comme suit :

ÞF = õ ∙ 1ä�¶: �2.5� avec ä�¶ = ÜÝF/å; õ est un coefficient de proportionnalité et & est une constante,

les deux dépendant du type d’écoulement, laminaire ou turbulent, et du gradient

de pression selon l’équation (2.4a), l’épaisseur relative, Þ/F, de la couche limite

est d’autant plus grande que le nombre de Reynolds, ÜÝF/å, est petit.

Si l’on admet une épaisseur de Þ ≡ ÞÝ , on pourra donner & et õ pour les

écoulements uniformes laminaire (voir équation 2.33) et turbulent (voir équation

2.43) respectivement :

&� = 12 ; õ� = 5,0 &� = 15 ; õ� = 0,37

Page 39: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 39

En général, l’épaisseur d’une couche limite turbulente est plus importante que

celle d’une couche limite laminaire.

L’épaisseur conventionnelle, ÞÝ, est la hauteur à laquelle la vitesse, "y, atteint 99%

de la vitesse de l’écoulement libre, ÜÝ ; par conséquent, "y = 0,99ÜÝ (voir figure

2.5).

Figure 2.5

L’épaisseur de déplacement, Þ∗ , est la hauteur à laquelle il faut déplacer

fictivement la paroi pour maintenir le flux de masse. Ainsi, on écrit (voir figure

2.5) :

�ÜÝÞ∗ � � � �ÜÝ � "y���ÝV

L’épaisseur de déplacement est donnée par :

Þ∗ � 1ÜÝ � �ÜÝ � "y���Ý

V� � �1 � "y

ÜÝ� ��ÝV

�2.6�

L’épaisseur d’impulsion ou de la quantité de mouvement, ð , est la hauteur à

laquelle il faut déplacer fictivement la paroi pour maintenir le flux de quantité de

mouvement. Ainsi, on écrit :

�ÜÝ\ ð � � � �ÜÝ � "y� "y ��ÝV

Page 40: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 40

L’épaisseur de l’impulsion , ð, est donné par :

ð = � "yÜÝ �1 − "yÜÝ� ��ÝV �2.7�

Ainsi, l’épaisseur d’impulsion, ð , exprime la perte de quantité de mouvement

nécessaire pour surmonter les forces de frottement dans la couche limite.

3. Equation hydrodynamique de la couche limite

3.1. Etablissement des équations

Le mouvement du fluide dans la couche limite, � < Þ, et celui du fluide libre,

� K Þ, sont étroitement liés.

Supposons que l’écoulement laminaire dans la couche limite soit permanent,

l/l� = 0 , et bidimensionnel, �HI�", 0, ö� , et que le fluide soit incompressible. La

couche limite se développe le long d’une plaque plane. L’écoulement du fluide

libre est donné par la vitesse libre, ÜÝ, et par la pression @ = @Ý.

L’écoulement est décrit par :

i) Les équations de Navier–Stokes , selon F et �

ii) L’équation de continuité.

Pour un écoulement à couche limite, certaines approximations sont justifiées.

On propose d’introduire pour les directions selon F et � les grandeurs

caractéristiques suivantes (voir figure 2.6) :

i) longueurs caractéristiques : ¿ et Þ

ii) vitesses caractéristiques :ÜÝ et �÷

iii) pressions caractéristiques : ∏ ¶ et ∏ à

L’épaisseur de la couche limite étant mince par rapport aux distances

longitudinales, la longueur caractéristique Þ selon � est d’un ordre de grandeur

inférieure à la longueur caractéristique ¿ selon F; on écrit :

Þ¿ ≪ 1�2.8�

Page 41: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 41

On considère ensuite pour chacune des équations de Navier – Stokes et de

continuité l’ordre de grandeur de chaque terme.

Figure 2.6

L’équation de continuité est donnée par :

l"lF � löl� = 0�2.9� ÜÝ¿ �÷Þ

L’ordre de gradient de ces deux termes doit être le même ; par conséquent, on

écrit :

�÷ ~ÜÝÞ¿ �2.10�

Dans cette équation, étant donné que �Þ/¿� ≪ 1 , on a ��÷ ÜÝ⁄ � ≪ 1 . Par

conséquent, l’écoulement dans la couche limite est presque parallèle à la paroi.

L’équation de Navier–Stokes selon F, est donnée par :

" l"lF + ö l"

l� � �1�l@lF + å  l\"

lF\ + l\öl�\ ¡�2.11�

ÜÝ\¿ �÷ÜÝÞ ~ ÜÝ\¿ ∏¶�¿ νÜÝ¿\ νÜÝÞ\

Page 42: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 42

a) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même ordre

de grandeur.

b) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur

différent, étant donné que �Þ ¿⁄ � ≪ 1 ; donc le premier terme peut être négligé

par rapport au deuxième.

c) L’ordre de grandeur des termes d’inertie et des termes de frottement implique

que :

ÜÝ\¿ ~νÜÝÞ\ L’épaisseur peut être alors estimée ainsi :

Þ ∝ ¿üä�¨ ; ä�¨ = ÜÝ¿ν

qui confirme bien la relation donnée par l’équation (9.4a), où F = ¿.

d) Etant donné la faible épaisseur relative, Þ/¿, de la couche limite (voir équation

9.8), le nombre de Reynolds de l’écoulement est très grand.

L’équation de Navier–Stokes selon �, en négligeant la gravité est donnée par :

u lwlF � w lwl� = −1� l@l� � ν  l\wlF\ �l\wl�\ ¡�2.12� ÜÝ�÷¿ ~ÜÝ\¿\ �÷\Þ ~ ÜÝ\ Þ¿\ ∏à�Þ ν�÷¿\ ~ νÜÝÞ¿[ ν�÷Þ\ ~ νÜÝ¿Þ

i) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même de

grandeur ; étant donné que �Þ/¿� ≪ 1 (voir équation 9.8) tous les deux sont

très petits.

ii) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur

différent ; le premier terme peut être négligé par rapport au deuxième, mais

le dernier est très petit également.

Dans les deux équations (2.11 et 2.12), on constate que les termes de pression

doivent être du même ordre de grandeur que les autres termes les plus

importants, donc :

∏¶�¿ ~ÜÝ\¿ ~νÜÝÞ\

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 43

∏à�Þ ~ÜÝ\ Þ¿\ ~νÜÝ¿Þ

et par conséquent on écrit :

∏à∏¶ ~Þ\¿\ �2.13�

Etant donné que �Þ/¿� ≪ 1, il est évident que ∏à ≪ ∏¶; la variation verticale de la

pression est donc négligeable et l’équation de Navier – Stokes selon �; équation

2.12, s’écrit :

0 = − 1� l@l� �2.14� La pression reste constante à travers la couche limite et sa valeur est la même

que celle dans le fluide libre, @ = @Ý. Ceci est une conclusion importante de la

théorie de la couche limite.

En résumé, les équations de Navier – Stokes et de continuité s’écrivent ainsi :

þ�þ�� � ��þ

�� = −�2���� � ���þ��� ��.�Õ� = −�2���� ��.�Õ� �þ�� � ���� = ��.���

Telles sont les équations hydrodynamiques de la couche limite laminaire

bidimensionnelle, ou équations de Prandtl, valables dans la couche limite, � < Þ,

avec les conditions aux limites suivantes :

" = ö = 0@'"A� = 0�2.17� " = ÜÝ�F�@'"A� = Þ�� → ∞�

On remarque que l’écoulement permanent dans le fluide libre, � K Þ, est décrit par

l’équation intrinsèque selon F, (voir équation 9.3) :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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ÜÝ �ÜÝ�F � 1��@Ý�F = 0�2.18� et après intégration, on obtient l’équation de Bernoulli :

� ÜÝ\2 � @Ý = Î���2.18�� Dans le fluide libre, il n’y a évidemment pas de variation de la pression selon �. La

pression, @Ý, reste constante, @ = @Ý, et s’imprime à travers la couche limite.

En remplaçant l’équation 2.18 dans l’équation 2.15, les équations de la couche

limite s’écrivent :

" l"lF � ö l"l� = ÜÝ �ÜÝ�F � ν l\"l�\ �2.19� l"lF � löl� = 0�2.16�

Les caractéristiques du mouvement bidimensionnel et permanent d’un fluide

incompressible dépendent de deux inconnues, " et ö; donc les deux équations,

équations 2.19 et 2.16, sont suffisantes pour les résoudre. La vitesse libre, ÜÝ,

est donnée par l’équation 2.18a.

3.2. Ecoulement turbulent

Les équations de la couche limite, équations 2.19 et 2.16, sont valables pour un

écoulement laminaire, où les tensions visqueuses sont données par l’équation

(2.19b). on peut aussi écrire l’équation 2.15 ainsi :

l"lF � löl� = − 1�l@lF � ll� �ß�� �2.19�� Où ß = ßà¶, défini par :

ßච= ñ l"l� �2.19Ð� Pour un écoulement turbulent, les tensions tangentielles totales sont donnés par :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 45

ßච= ñ l"yl� − ��"�ö�yyyyyy��2.20� on peut alors écrire les équations de la couche limite ainsi :

"y l"yl� � öz l"yl� = − 1�l@̅lF � å l\"yl�\ − ll� �"�ö�yyyyyy��2.21� 0 = − 1�l@̅l� �2.14��

l"yl� �lözl� = 0�2.22� où "y et öz ainsi que @̅ sont des vitesses et des pressions moyennes temporelles et

�´"�ö′yyyyyyµ représente les tensions de Reynolds.

3.3. Ecoulement uniforme

Les équations de la couche limite sont simplifiées pour un écoulement à vitesse,

ÜÝ, constante et l’équation �9.18� donne :

�ÜÝ�F = 0et �@̅�F = 0

Les équations �9.21� et �9.22� se réduisent donc à :

"y l"yl� � öz l"yl� = ll� �ßà¶� ��2.23� l"yl� �lözl� = 0�2.22�

Lorsqu’on a affaire à un écoulement le long d’une plaque à incidence nulle, ces

équations sont utilisées avec l’équation �2.19Ð� ou l’équation �2.20� , selon que

l’écoulement considéré est laminaire ou turbulent.

4. Equation intégrale de Karman

4.1. Etablissement de l’équation

Le calcul de la couche limite à l’aide des équations différentielles données par les

équations �2.21� et �2.22� est en général peu commode et assez long.

Page 46: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 46

On propose donc de trouver une solution globale en prenant l’intégrale des

équations différentielles, ce qui donne une méthode approximative pour le calcul

de la couche limite. Une relation utile entre la tension de frottement sur la paroi,

ßV, et la répartition de la vitesse longitudinale, "y, peut ainsi être établie.

Les équations de la couche limite pour un écoulement bidimensionnel permanent

et incompressible, équation �2.21� et �2.22� seront intégrées par rapport à �, entre

� = 0 et � = ℎ, où ℎ ≥ Þ. On les écrit respectivement comme suit :

� �"z l"yl� � öz l"yl� − ÜÝ �ÜÝ�F � ���

V=� ll� �ßà¶� ����

V �2.24�

öz = � �lözl� � ���

V= − � �l"yl���

V���2.25�

La substitution de l’équation �2.25� dans l’équation �2.24� donne :

� �"z l"yl� −l"yl� � �l"yl���

V�� − ÜÝ �ÜÝ�F ����

V= − ßV� �2.24��

où la tension de frottement sur la paroi, ßV est obtenue par :

� lßà¶l� ���

V= (0 −ßV-

En intégrant par partie le deuxième terme dans la parenthèse, on obtient :

��l"yl� � l"ylF ���

V����

V=ÜÝ � l"ylF ���

V− � "y l"ylF ���

V

et ensuite on récrit l’équation �2.24�� comme suit :

� �2"y l"ylF − ÜÝ l"ylF −ÜÝ �ÜÝ�F ����

V= − ßV� �2.24Ð�

Cette relation peut aussi être écrite ainsi :

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Page 47

��F � "y�ÜÝ − "y����

V� �ÜÝ�F ��ÜÝ − "y����

V=� ßV� �2.26�

Dans les deux intégrales, il est possible de prendre ℎ → ∞ du fait que l’intégrant

s’annule en dehors de la couche limite.

En utilisant les définitions d’épaisseur d’écoulement, Þ∗ , données par l’équation

�2.6� et d’épaisseur d’impulsion ð , donnée par l’équation �2.7� on peut écrire

l’équation �2.26� ainsi :

ßV� = ��F �ÜÝ\ ð� � Þ∗ÜÝ �ÜÝ�F �2.27� Telle est l’équation intégrale de Karman, ou équation globale de la quantité de

mouvement dans la couche limite, applicable aux écoulements laminaires ou

turbulents.

Pour pourvoir utiliser l’équation intégrale de Karman, équation �2.27� , il faut

connaître au préalable les répartitions de la vitesse longitudinale, "y, à travers la

couche limite.

L’équation �2.27� peut aussi s’écrire comme suit :

ßV�ÜÝ\ = �2ð � Þ∗� 1ÜÝ�ÜÝ�F � �ð�F �2.28�

ou encore

ßV�ÜÝ\ = ð�­ � 2� 1ÜÝ�ÜÝ�F � �ð�F �2.28��

où ­ = Þ∗ ð⁄ est le facteur de forme de la couche limite.

Au lieu de ßV = �"∗\ , on utilise souvent une définition du coefficient de frottement

global sur la paroi, telle que :

�� = ßV�ÜÝ\ /2 = 2 "∗\ÜÝ\ �2.29� qui est un nombre adimensionnel

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 48

4.2. Ecoulement uniforme

Pour un écoulement permanent, uniforme et sans gradient de pression (voir

équation �2.18�), on a :

�ÜÝ�F � 0�� �@Ý�F � 0

Ensuite l’équation 2.27 se réduit à :

ßV� � ÜÝ\�ð�F �2.30�

Le taux de variation de l’épaisseur d’impulsion, ð, suffit alors pour déterminer les

tensions de frottement sur la paroi, ßV. La croissance de l’épaisseur d’impulsion, ð , peut être calculée avec l’équation

2.30 où

�ð�F = ßV��ÜÝ\ � = ��2 �2.31� L’équation 2.31 met en évidence que la variation de l’épaisseur d’impulsion, Þ ≡ ð,

diminue le long d’un écoulement à couche limite (voir figure 2.7) ; l’épaisseur Þ,

elle – même croît ; et que la tension de frottement sur la paroi, ßV , diminue

également.

Figure 2.7

Page 49: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 49

4.3. Ecoulement à gradient de pression

En utilisant l’équation 2.18 selon x :

ÜÝ �ÜÝ�F = − 1� �@̅�F �2.18� On écrit l’équation 2.27 ainsi :

� ��F �ÜÝ\ ð� = ßV �1 � Þ∗ßV�@̅�F��2.27��

On définit :

Þ∗ßV �@̅�F = ¼ comme étant le paramètre d’équilibre de Clauser, qu’on utilise pour paramétriser

un écoulement avec gradient de pression longitudinale.

5. Ecoulement sans gradient de pression

On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure

et de longueur L, infinies. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse d’approche,

ÜÝ, est nul.

Dans ce cas, la vitesse d’écoulement du fluide libre est constante partout,

ÜÝ = �'#,�; aucune variation de pression n’a lieu. On écrit (voir équation 2.18b) :

�ÜÝ�F = 0�� �@Ý�F = 0 Les équations de couche limite prennent alors la forme suivante :

"y l"ylF � öz l"yl� = ll� �ßà¶� ���'$Aé!"��$'#�2.23�� l"yl� �lözl� = 0��'$Aé!"��$'#�2.22��

Avec les conditions aux limites :

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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"y = öz = 0@'"A� = 0 "y =ÜÝ@'"A� = Þ�2.17��

Les tensions tangentielles totales sont données par :

ßච� ñ l"yl� � ��"�ö�yyyyyy��2.20�

valables pour les écoulements turbulents et laminaire si les tensions de Reynolds,

��"�ö�yyyyyy�, sont négligeables.

5.1. Couche limite laminaire (figure 9.8)

Pour un écoulement laminaire, les tensions tangentielles totales, ßà¶,données par

l’équation �2.20�, sont confondues avec les tensions dues à la viscosité, donc :

ßච� ñ l"l� �2.19Ð�

Figure 2.8 :

On obtient une solution aux équations de la couche limite équation 2.23 et

équation 2.19b avec équation 2.22, en prenant les hypothèses de Blasius :

i) Les profils de vitesse sont auto-similaires ou affines le long de la plaque ;

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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ii) La répartition de vitesse est donnée par :

"ÜÝ = �� ¤�Þ¥ �2.32� où ����/Þ� est la même fonction quelle que soit sa position F, le long de la

plaque.

Pour l’écoulement laminaire, l’épaisseur de la couche limite, Þ, est donnée par :

Þ ∝ Fä�¶] \⁄ �2.4�� avec ä�¶ = ÜÝF �⁄ . Donc l’équation (2.32) peut être écrite comme suit :

"ÜÝ = �� ¤�F ä�¶] \⁄ ¥ �2.32�� La solution théorique proposée par Blasius, ainsi que des résultats

expérimentaux sont donnés à la figure 2.9 pour les composantes de vitesse selon

Fet�, donc pour u et w.

L’épaisseur conventionnelle de la couche limite, ÞÝ, est donnée par la relation :

ÞÝ ≅ 5 Füä�¶ ,ð = 0,992�2.33� Les épaisseurs de déplacement, équation (2.6) et d’impulsion équation (2.7) sont

calculés respectivement par les relations :

Þ∗ = 1,73 Füä�¶ ,ð = 0,664 Füä�¶ �2.34� et ­ = Þ∗ ð⁄ = 2,59.

On remarque que : 0 < Þ∗ < ÞÝ.

La couche laminaire se développe donc selon une parabole à partir du bord

d’attaque (voir figure 9.8) donc Þ ∝ √F.

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 52

Figure 2.9

Sur la figure 2.9, on constate aussi que :

�ÜÝ = 0,86üä�¶ à "ÜÝ = 0,992 Par cette frontière, où � ≥ ÞÝ, le fluide pénètre dans la couche limite.

La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :

ßV = ��ÜÝ\ � �ð�F �2.30� En utilisant l’équation �2.34�, et après différentiation, on obtient :

ßV = 12 ∙ 0,664üä�¶ ��ÜÝ\ �

qui montre que ßV ∝1 √F⁄ (voir figure 2.8). avec la définition du coefficient de

frottement local sur la paroi, (équation �2.29�), on a :

�� � ßV� ÜÝ\ 2⁄ � 0,664üä�¶ �2.35�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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où ä�¶ = ÜÝF å⁄ .

On peut en déduire que la force de frottement moyenne s’exerçant sur une face

de la plaque de longueur ¿ et de largeur Ð est :

�� = Ð � ßV�F��F¨

V=  1,328üä�¨¡�ÜÝ

\2 �п��9.36� où ä�¨ = �ÜÝ¿/å� et �п� est une surface sur laquelle ßV�F� est intégré.

Utilisant la relation générale pour la force hydrodynamique due au frottement, on

écrit :

�� = Î��п�� ÜÝ\2 �2.37� où �п� est la surface pour une plaque mouillée sur une seule face ; pour une

plaque mouillée sur les deux faces, on prendra �2п�. Î� représente le coefficient

de frottement moyen sur la plaque ; on le définit ainsi :

Figure 2.10

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 54

Î� = 1¿ � ���F¨

V

donnée ici par :

Î� = 1,328üä�¨ �2.38� A la figure 2.10, l’équation �2.38� est comparée avec des données expérimentales.

La loi de frottement, équation �2.38� est valable en écoulement laminaire,

ä�¨ < 5. 10ç (figure 2.13). on constate une bonne concordance pour ä�¨ K 5. 10[ .

une déviation par rapport à la théorie est évidente pour de faibles ä�¨. Les erreurs

introduites par l’intégration de ßV�F� peuvent expliquer cette déviation.

5.2. Couche limite turbulente

A partir d’une certaine distance, âk , du bord d’attaque O, de la plaque (voir

équation 2.1) l’écoulement laminaire devient turbulent.

En mouvement turbulent les tensions totales tangentielles, ßචsont données par :

ßච= ñ �"y�� − ��"�ö�yyyyyy��2.20� Une solution aux équations de la couche limite, donnée par les équations 2.23 et

2.20, était possible pour une couche limite laminaire (paragraphe 5.1) mais elle

est impossible pour une couche limite turbulente. On est alors obligé d’utiliser

des méthodes approximatives en faisant l’hypothèse d’une répartition de vitesse.

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est développée en détail

au chapitre FR3 ; elle est donnée par :

i) les relations "y"∗ = �"∗å ; "y"∗ = 5 ln ¤�"∗å ¥ ; Ü:»¶ − "y"∗ = 1� ln �Þ�� � Π� �2 − ö� ¤�Þ¥�

ii) la relation empirique proposée par Prandtl.

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 55

Figure 2.11

Cette relation empirique, encore appelée loi de puissance est donnée par

l’expression :

"yÜÝ = ¤�Þ¥]/� �2.39� qui est valable pour ä�¶ < 10�, aussi bien pour une plaque lisse que pour une

plaque rugueuse. Mais cette relation n’est pas valable au voisinage de la paroi, où

une autre relation de Prandtl donnée sous la forme :

ÜÝ"∗ � 8,74 �Þ"∗å �]/� �2.40� peut être proposée ; elle est valable pour de faibles nombres de Reynolds.

Dans la relation (2.40), "∗ est la vitesse de frottement et vaut "∗ � üßV �⁄ .

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent (2.39) peut être comparée

avec celle pour un écoulement laminaire, équation (2.32), comme le montre la

figure 2.12.

La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :

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Page 56

ßV = ��ÜÝ\ � �ð�F �9.30�

Figure 2.12

avec la définition de l’épaisseur d’impulsion :

ð = � "yÜÝ �1 � "yÜÝ� ���2.7�Ý

V

Puis on écrit une expression pour ßV � �"∗\ en utilisant l’équation �2.40�: ßV � 0,0225��ÜÝ\ ��å ÞÜÝ⁄ �]½�2.30��

La substitution de l’équation (2.7) dans l’équation (2.30) tout en utilisant

l’expression de la répartition de vitesse, équation (2.39), donne :

ßV = ��ÜÝ\ �� ��F � ¤�Þ¥]� �1 � ¤�Þ¥]�� ��Ý

V �2.41�

Après intégration et en l’égalant à l’équation �9.30��, on obtient :

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772 �Þ�F = 0,0225 � åÞÝÜÝ�]/½ �2.42� où Þ ≡ ÞÝ. Après séparation des variables et intégration, on obtient l’expression

pour l’épaisseur conventionnelle de la couche limite turbulente :

ÞÝ = 0,37 Fä�¶]/ç �2.43� A noter que la couche limite turbulente croît selon F½/ç (voir figure 2.11), donc

plus rapidement que la couche limite laminaire qui se développe suivant F]/\

(équation �2.33�). Les épaisseurs d’impulsion et de déplacement sont données par :

ð = 772 ÞÝ; Þ∗ = 18ÞÝ; ��­ = Þ∗ ð⁄ = 1,28 L’équation �2.42� permet de calculer le coefficient de frottement local sur la paroi,

soit :

�� = ßV��ÜÝ\ � 2⁄ = 0,045 � åÞÝÜÝ�]/½ �2.42�� qui devient en utilisant l’équation (2.43) :

�� = 0,0576ä�¶!] ç⁄ �2.42Ð� où ä�¶ = ÜÝ F å⁄ .

La force de frottement qui s’exerce sur une face de la plaque, de longueur ¿, et de

largeur Ð, est calculée à partir de :

�� = Î��п�� ÜÝ\2 �2.37� et avec le coefficient de frottement moyen de la plaque :

Î� = 0,074ä�!̈] ç⁄ �2.44� où ä�¨ = ÜÝ ¿ å⁄ .

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 58

Il faut cependant noter que l’équation (2.39), donc l’équation (2.44) également,

n’est pas valable pour ä�¨ K 10�, mais qu’il est possible d’utiliser une relation de

Schlichting en remplacement :

Î� = 0,455�logä�¨�!\.ç#�2.44�� Cette équation a été obtenue en admettant une répartition logarithmique de

vitesse ; rappelons que pour obtenir l’équation �2.44�, on a admis une relation

exponentielle (2.39).

Les deux relations pour l’écoulement turbulent équations (2.44) et (2.44a) sont

représentés à la figure 2.13, ainsi que l’équation (2.38), pour l’écoulement

laminaire. On note ici que le coefficient de frottement de la couche limite

laminaire est inférieur à celui de la couche limite turbulente, d’où l’intérêt de

maintenir autant que possible un écoulement laminaire.

Si la plaque de longueur ¿ , se trouve dans une couche limite laminaire et

turbulente (figure 2.11), le coefficient de frottement, � , englobe la fraction

laminaire de áâkyyyyy, plus la fraction turbulente de âk¿yyyyy. Le coefficient de frottement

de la plaque, Î�, est moins important que son estimation avec l’équation �2.44� ou

l’équation �2.44�� . une formule pour la zone de transition est donnée par

Schlichting :

Î� = 0,455�logä�¨�!\,ç# −E ä�¨⁄ �2.45� où la contrainte A, est donnée par :

ÜÝâk/å 3.10ç 10è 3.10è

E 1050 3300 8700

Cette relation, équation (2.45) est aussi indiqué à la figure 2.13.

On voit cependant à la figure 2.13 qu’au – delà de ä�¨ > 3. 10� la couche limite est

presque totalement turbulente, la contribution de la fraction laminaire étant

négligeable. La relation donnée par l’équation (2.44) est alors valable quelle que

soit la longueur de la plaque.

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Dans la couche limite turbulente, tout près de la paroi, il existe une très mince

couche appelée semi – couche visqueuse. Son épaisseur est exprimée par :

Ш = 5 å"∗

En utilisant l’équation �2.29�, on peut écrire :

Þ¨ � 5å 1ÜÝ Ò2��

Où �� est le coefficient de frottement local donné par l’équation �2.42��.

Figure 2.13

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Figure 2.14

La rugosité de la surface d’une paroi exerce une grande influence sur les

caractéristiques de la couche limite, donc sur la référence.

En partant des études de Nikuradse, Schlichting a proposé des valeurs de

coefficient de frottement moyen de la plaque, Î�, qui sont représentées à la figure

2.14, où chaque courbe correspond à une valeur constante de la rugosité relative,

) ¿⁄ . La rugosité est donc paramétrisée par une rugosité relative ) ¿⁄ , où ) est la

rugosité standard, considérée comme la rugosité de grain de sable selon

Nikuradse, et ¿ est la longueur de la plaque. Des valeurs de rugosité standard,), utilisées habituellement pour les surfaces (conduites) industrielles sont données

au chapitre PP.2.4 (voir Tableau PP.2.)

La figure 2.14 montre une relation de la forme suivante :

Î� = Ï�ä�¨ ,¿ )⁄ '" ÜÝ) å⁄ ��2.46�

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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où la ligne pointillée délimite (à droite la région où l’écoulement est pleinement

rugueux et où le coefficient de frottement, Î�, ne dépend que de l’inverse de la

rugosité relative, ¿ )⁄ ; Schlichting propose la relation suivante :

Î� = $1,89 + 1,62 log � ¿)�%!\,ç# �2.47� qui est valable pour 10\ < �¿/)� < 10è. A noter que la figure 2.14 est établie pour

une couche limite turbulente commençant instantanément au bord d’attaque,

donc OO′yyyyy = zéro (voir figure 2.11)

6. Ecoulement avec gradient de pression

On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure

et de longueur, ¿, infinies, (voir figure 2.4) soumis à un gradient de pression

longitudinal.

Dans ce cas, la vitesse de l’écoulement du fluide libre varie le long de la plaque. Il

est rappelé que l’équation intrinsèque d’un mouvement stationnaire s’écrit

comme suit :

ÜÝ �ÜÝ�F + 1� �@̅�F = 0 �2.18� Pour simplifier, on néglige le poids du liquide ; mais on peut toutefois en tenir

compte en substituant @̅ ∗ = �@̅ + �*�� pour @̅.

Ensuite on distingue deux cas :

a) l’écoulement accéléré : la vitesse augmente, �ÜÝ �F⁄ > 0, et par conséquent

la pression diminue, �@̅ �F⁄ < 0 ; dans le sens de l’écoulement ;

b) l’écoulement décéléré : la vitesse diminue, �ÜÝ �F⁄ < 0, et par conséquent la

pression augmente, �@̅ �F⁄ > 0 ; il peut y avoir décollement.

Les deux types d’écoulement sont décrits un peu plus haut. (paragraphe 1.3) et

représenté à la figure 2.4

Page 62: Mécanique Des Fluides Avancée

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Page 62

Les équations pour l’écoulement dans la couche limite selon F sont représentés

par :

"y l"yl� � öz l"yl� = ÜÝ �ÜÝ�F � ll� �ßà¶� � �2.21� l"ylF � lözl� = 0�2.22�

avec les conditions aux limites suivantes :

"y = öz = 0@'"A� = 0 "y = ÜÝ@'"A� = Þ�2.17��

Les tensions tangentielles totales sont données par :

ßච= ñ l"ylF − ��"�ö�yyyyyy��2.20� valables pour l’écoulement turbulent et pour l’écoulement laminaire où les

tensions de Reynolds, �´"′ö′yyyyyyµ, sont négligeables.

La vitesse du fluide libre le long de la plaque peut être donnée sous la forme

d’une simple fonction de puissance :

ÜÝ�F� = ÎF:�2.48� où Îet& sont des constantes. Pour & K 0 il y a écoulement accéléré et pour

& < 0 il y a écoulement décéléré le long de la plaque ; pour & = 0, l’écoulement

reste uniforme.

A la figure 2.15, on représente schématiquement la répartition de vitesse dans

une couche limite pour les écoulements suivants :

a) uniforme, avec �@̅�F = 0��& = 0 b) accéléré, avec �@̅�F < 0��& K 0

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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c) décéléré, avec �@̅�F K 0��& < 0

Par rapport à l’écoulement uniforme, l’écoulement accéléré a un profil de vitesse

avec un plus grand coefficient de remplissage, l’écoulement décéléré, par contre,

présente un profil de vitesse avec un coefficient de remplissage plus petit.

Figure 2.15

La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :

ßV�ÜÝ\ � �ð�F � ð�­ � 2� 1ÜÝ �ÜÝ�F �2.28�� ou

ßV�ÜÝ\ = �ð�F � ð�­ � 2� 1�ÜÝ\ ���@̅�F� �2.28Ð� où ­ � Þ∗ ð⁄ est un facteur de la forme de la couche limite.

On peut écrire :

ßV � Ï � "yÜÝ , �@̅�F� La forme de cette fonction sera donnée ci – après.

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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6.1. Couche limite laminaire

Pour une méthode approximative de calcul de la couche limite laminaire, donnée

par les équations (2.19) et (2.16) est proposée par Pohlhausen, en supposant que

la répartition de la vitesse est donnée par :

"ÜÝ�F� = �� ¤�Þ¥ � Λ)� ¤�Þ¥�2.49� où ��et)�sont des polynômes de 4e degré, et ensuite Λ étant le facteur de forme

de Pohlhausen ainsi défini :

Λ = ÞÝ\å ∙ �ÜÝ�F �2.50� Pour une valeur donnée de Λ , on obtient une répartition de vitesse comme

indiquée à la figure 2.16.

Le domaine de validité est :

−12 < Λ < �12 Si Λ < −12, un décollement se produit (figure 9.4) ; si Λ K �12, on a " ÜÝ⁄ K 1, ce

qui est exclu pour un écoulement stationnaire.

Pour un écoulement uniforme, ÜÝ = Î�� et �@ �F⁄ = 0 , la valeur de Λ devient : Λ = 0

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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Figure 2.16

On écrit alors la répartition de vitesse donnée par l’équation (2.49) comme suit :

"ÜÝ =�� ¤�Þ¥ ≡ �� ¤�Þ¥ qui est une expression qu’on utilise pour remplacer celle de Blasius, ��, donnée

par l’équation (2.32).

Avec la répartition de vitesse de l’équation (2.49), on peut calculer :

i) l’épaisseur de déplacement donnée par l’équation �2.6�: Þ∗ÞÝ � 310 � Λ120 �2.51� ii) l’épaisseur d’impulsion donnée par l’équation (2.7)

ðÞÝ � 37315 − Λ945� Λ\9072�2.52�

A noter que les valeurs obtenues pour Λ � 0 sont comparables aux valeurs

données par les équations �2.33� et �2.34�.

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La tension due au frottement à la paroi, ßV = ñ�l" l�⁄ �àuV , et le coefficient de

frottement, ��, sont donnés respectivement par :

ßV = ÜÝÞÝ ñ �2 � Λ6� �2.53� ��2 = ßV�ÜÝ\ = � �ÞÝÜÝ� �2 � Λ6�

Il existe un autre facteur de forme tel que :

© = ð\å �ÜÝ�F

où ð est l’épaisseur d’impulsion. On écrit également :

© = Λ � ðÞÝ�\ en utilisant l’équation �2.50�. Le facteur de forme de Pohlhausen, équation �2.50� , est une quantité

adimensionnelle qui peut être aussi écrite ainsi :

Λ = ÞÝ\å �ÜÝ�F = ÞÝ\ñÜÝ �−�@�F� = ÞÝßV �−�@�F��2.50�� Avec ßV = ñ�ÜÝ ÞÝ⁄ � comme tension de frottement sur la paroi.

Λ est interprété comme le rapport entre les forces dues aux pressions et celles

dues aux viscosités, ou encore comme le rapport du gradient longitudinal des

forces de pression au gradient transversal des forces de viscosité.

6.2. Couche limite turbulente

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est donné par la loi

vitesse déficitaire selon Coles :

ÜÝ − "y"∗ = 1� ln �Þ�� � Π� �2 − ö� ¤�Þ¥� �2.54�

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Cette relation est valable à travers toute la couche limite, à l’exception de la

couche visqueuse, donc dans la zone délimitée par 0,01 < ��/Þ� < 1,0. On a défini

la fonction de sillage de Coles par :

ö� ¤�Þ¥ ≅ 2 sin\ ¤À2 �Þ¥ �2.54�� où Π est une constante qui dépend du gradient de pression longitudinal ; n peut

donc écrire :

Π = Ï ��@̅�F� �2.55� Le gradient de pression adimensionnel suivant est ainsi proposé (paragraphe

4.3) :

¼ = Þ∗ßV �@̅�F �2.56� On l’appelle paramètre d’équilibre de Clauser, où ßV est la tension de frottement

sur la paroi et Þ∗ l’épaisseur de déplacement. Pour un écoulement en équilibre, la

valeur de ¼ doit rester constante.

Le paramètre de Clauser, ¼, qui donne le gradient de pression adimensionnel,

représente un rapport entre les forces dues à la pression et celles dues au

frottement. Pour l’écoulement turbulent, on paramétrise le gradient de pression

par ¼, et pour un écoulement laminaire par Λ (voir équation (2.50a)) ; les deux

peuvent être comparés.

Ensuite une expression empirique proposée par White pour les écoulements en

équilibre mais valables approximativement aussi pour ceux en non – équilibre est

donnée par :

Π ≅ 0,8�¼ � 0,5�V,�ç�2.57� D’où l’on tire les conclusions suivantes :

a) Pour les écoulements sans variations de pression :

�@̅�F = 0; ¼ = 0; ��Π ≅ 0,5

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b) Pour les écoulements avec augmentation de pression :

�@̅�F K 0; ¼ K 0��Π K 0,5 c) Pour les écoulements avec diminution de pression :

�@̅�F < 0; ¼ < 0��Π < 0,5 A noter que pour ¼ = −0,5 on obtient Π = 0; donc le terme de sillage dans

l’équation (2.54) va disparaître.

Il faut signaler que l’influence due à un gradient de pression, �@̅ �F⁄ ,

i) est en général limitée à la zone extérieure de la couche limite,

ii) peut-être remarquée dans la zone intérieure, où s’applique la loi

logarithmique – à noter qu’avec une forte diminution du gradient de

pression une tendance à une diminution de la turbulence (laminarisation)

se manifeste –,

iii) est sans influence sur la région visqueuse.

La répartition de vitesse pour des surfaces lisses et rugueuses, selon l’équation

(9.54), est représentée à la figure 9.17 pour des variations longitudinales de

pression. On constate :

a) ¼ = 0

Π ≅ 0,55

dans le cas d’un écoulement à couche limite

sans gradient de pression, déterminés à partir

des données de Zippe et Graf et de Klebanoff ;

b) ¼ K 0

Π K 0,55

dans le cas d’un écoulement à couche limite

avec gradient de pression positif, déterminés à

partir des données de Clauser �¼ ≅ 2��¼ ≅ 7�; c) ¼ < 0

Π < 0,55

dans le cas d’un écoulement à couche limite

avec faible gradient de pression négatif,

déterminés à partir des données de Herring et

Norbury �¼ = −0,35��¼ = −0,53�;

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Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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et dans le cas d’un écoulement dans les canaux,

déterminés à partir des données de Reichardt

�¼ < 0�.

Figure 2.17

Le coefficient de frottement est donné par (voir équation (2.28.a)) :

��2 � ßV�ÜÝ\ � �ð�F � ð�­ � 2� 1�ÜÝ\ �� �@̅�F� �2.28Ð� Qualitativement, on voit que :

i) pour �@̅ �F⁄ � 0, on a ¼ � 0 et le coefficient de frottement, �� ≅ ��� , est

donné par :

��V = 0,0225 �ÜÝÞÝå �!]/½ �2.42�� puis avec �ð ÞÝ⁄ � = 7 72⁄ , on obtient :

��� = 0,0126 �ÜÝðå �!]/½ �2.58� ii) pour �@̅ �F⁄ K 0, on a ¼ K 0 et selon l’équation (2.28b), le coefficient de

frottement, ��*, est :

��* < ��� iii) pour �@̅ �F⁄ < 0, on a ¼ L 0 et on obtient l’inverse, donc :

��! K ���

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Il n’existe actuellement pas de relation entre la répartition de vitesse, équation

(2.54), et le coefficient de frottement ��, mais on dispose de différentes relations

empiriques :

i) Schlichting propose d’utiliser le coefficient de frottement, ��, de la même

façon que pour un écoulement sans gradient de pression, mais pour

une vitesse d’approche variable, ÜÝ�F� ; donc l’équation (2.40a) ou

plutôt de l’équation (2.58).

ii) A partir de résultats expérimentaux, Ludwieg et Tillmann proposent la

relation empirique suivante :

��2 = ßV�ÜÝ\ = 0,123 . 10!V,è�#Ë �ÜÝðå �!V,\è# �2.59� où ­ = Þ∗/ð est un facteur de forme qui est :

��@̅ �F⁄ � < 0 ­ < 1,4 accélératif ��@̅ �F⁄ � = 0 ­ ≅ 1,4 '" �1,27� ��@̅ �F⁄ � > 0 ­ > 1,4 décélératif

L’équation (2.59) est valable pour 1,2 < ­ < 2,4 et devient l’équation (2.58) pour

­ ≅ 1,36.

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Exercices

Exercice 1

Une plaque plane lisse de 15 m de long et de largeur unitaire se trouve immergée

dans un écoulement d’eau à 20°C. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse

d’approche est nul. Il s’établit un courant parallèle à la plaque.

i) Déterminer la vitesse d’approche pour que la couche limite reste laminaire

sur toute la longueur de la plaque.

ii) Calculer et tracer l’épaisseur de la couche limite, laminaire ou turbulente,

le long de la plaque pour une vitesse d’approche de 0,5 m/s supérieure à

celle déterminée au cas ($). iii) Quelle est la répartition des tensions de frottement le long de la plaque, ßV,

pour le cas (i) ?

iv) Quelle est la force hydrodynamique de frottement, ��, sur la plaque lisse

pour le cas (ii) ?

On donne å = 1,004.10!è &\ ,⁄ .

Exercice 2

Une plate–forme sous–marine carrée de 80m de côté est immergée en mer. Sa

rugosité relative est estimée à �) ¿⁄ � = 2.10!ç. i) Déterminer la force de frottement exercée sur la plate – forme pour un

courant marin moyen de 1cm/s.

ii) Pendant une tempête, le courant est multiplié par le facteur 100. Quelle

est alors la force de frottement en résultant ?

iii) Pour quelle vitesse de courant l’influence de la rugosité est – elle

négligeable ?

iv) Un caisson de 5m de haut est placé au centre de la plate – forme. Est –

il entièrement compris dans l’épaisseur de la couche limite dans les

conditions (i) et (ii)

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Exercice 3

Un fluide incompressible se déplace le long d’une plaque poreuse avec une vitesse

U dans la zone à l’extérieur de la couche limite. Une partie de ce fluide pénètre

dans le milieu poreux à une vitesse uniforme �V telle que �V ≪ Ü . Trouver la

relation intégrale de quantité de mouvement ("intégral momentum relation") pour

ce cas spécial de couche limite.

Exercice 4

Une bonne approximation de la distribution de vitesse dans une couche limite

laminaire pour un écoulement incompressible sur une plaque plane est :

" ÜÝ⁄ = �7 + Ð7\ + �7[; 'ù7 = ¹/Þ

a) Ecrire les conditions aux frontières.

b) Trouver les constantes a, b, et c.

c) Calculer Þ∗, ð, ßV,��Þ.

Ü

" Þ