Mécanique Numérique des Fluides Compressibles Anthony CLAUDE Génie...

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  • Mcanique Numrique des Fluides Compressibles Anthony CLAUDE Gnie Mcanique Semestre 7 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Dr. A.Drotz Analyse numrique dun coulement dans un tube choc
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  • 2 1.Introduction -le tube choc, dfinition du problme -Equation dEuler 1D -Cas tests 2.Rsolution -Schma explicite de MacCormack -Schma TVD de Yee symtrique 3.Analyse des rsultats, comparaisons 4.Conclusion et question(s) Sommaire LIN Laboratoire dIngnerie Numrique
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  • 3 1. Physique du problme LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Hypothses: - fluide non visqueux (hyp. gaz parfait) - pas de force volumique - pas de transfert de chaleur Solution exact peut tre trouve en rsolvant les quations dEuler
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  • 4 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Euler: - conservation de la masse: - conservation de la quantit de mouvement: - conservation de lnergie: Avec U et F les vecteurs des variables conservatives et de flux dfinis par: 1. Physique du problme
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  • 5 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Le problme tant monodimensionnel, le systme se rduit : avec Gaz considr parfait - quations dtat: 1. Physique du problme
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  • 6 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Question de discrtisation: Exemple de lquation donde scalaire: Discrtisation: Rarrangement des termes: Avec C le nombre de Courant: stabilit pour centr 2me ordreProgressif 1er ordre 1. Physique du problme
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  • 7 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Proprits lies lordre de discrtisation: 1er ordre 2me ordre - Monotone (pas doscillations)- Non monotone (oscillations) - Faible prcision - Meilleure prcision - Dissipatif- Dispersif Objectif: Obtenir la meilleure solution possible, ce qui passera normalement par un schma du 2me ordre pour lequel on essaiera de rduire au maximum les oscillations prs des forts gradients 1. Physique du problme
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  • 8 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Cependant, numriquement, on rsout lquation modifie et pas lquation exact. On ajoute les termes de dissipation et de dispersion numrique Les termes dordre pair reprsentent les termes allant entraner de la dissipation Les termes dordre impair reprsentent les termes allant entraner de la dispersion Termes dissipatifs Termes dispersifs 1. Physique du problme
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  • 9 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Le tube choc: Configuration initiale Rupture du diaphragme p L p R Diffrence de pression de chaque ct de la paroi. La rupture entrane la propagation dune onde de choc et dune onde de dtente 1. Physique du problme
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  • 10 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique 1 4 5 zones distincts: 1. Droite du choc, plus basse pression 2. Zone avant le choc 3. Zone avant la surface de sparation 4. Gauche de la dtente, plus haute pression 5. Zone de dtente 1. Physique du problme
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  • 11 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique - Le cas du tube choc est un problmes instationnaires - Gnralement les donnes sont les rapports de pression ou de densit De ce code, nous pouvons obtenir les courbe pour tout point du tube pour: - Le nombre de Mach - La pression - La densit - Lentropie - Lerreur de dbit - la vitesse 1. Physique du problme
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  • 12 2. Rsolution LIN Laboratoire dIngnerie Numrique a. Schma explicite de MacCormack -Formulation, particularits -Utilisation dans le cas du tube choc -Influence des divers paramtres et de la viscosit artificielle b. Schma TVD de Yee symtrique -Formulation, particularits -Utilisation dans le cas du tube choc -Influence des divers paramtres et de la viscosit artificielle
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  • 13 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Solution attendue pour un tube choc: 3 zones sensibles 2. Rsolution
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  • 14 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Problme de Riemann - discontinuit avec v L > v R : londe de choc Valeurs de vitesse constantes gauche et droite avec un importante discontinuit entre les deux Les caractristiques de la partie gauche vont plus vite que les caractristique de la partie droite (v L > v R ) Les conditions dentropie sont respectes, pas de discontinuit. Le problme se traduit par un choc 2. Rsolution
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  • 15 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Problme de Riemann - discontinuit avec v L < v R : Valeurs de vitesse constantes gauche et droite avec un importante discontinuit entre les deux Les caractristiques sloignent du choc, solution non physique et instable car elle viole le second principe de la thermodynamique comment remdier cela? 2. Rsolution
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  • 16 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Problme de Riemann - discontinuit avec v L < v R : londe de dtente 2. Rsolution
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  • 17 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Capture de choc Capter automatiquement les chocs quations conservatives. Les relations de Rankine Hugoniot sont satisfaites Unicit condition dentropie 2. Rsolution
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  • 18 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Mthode de Godunov Formulation intgrale conservative Introduction de valeurs constantes par morceau. Dtermination de flux sur chaque interface Problme de Riemann rsoudre. Discontinuit physique: le choc conserver Discontinuit due la modlisation numrique par volumes finis viter ou liminer 2. Rsolution
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  • 19 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique a)Le schma explicite de MacCormack - formulation Schma comportant deux pas de temps: le pas prdicteur : le pas correcteur : ou Schma centr du deuxime ordre 2. Rsolution
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  • 20 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun point sonique: MacCormack - sans viscosit artificielle: 2. Rsolution
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  • 21 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun point sonique: MacCormack, viscosit artificielle de Jameson ( 1 = 1, 2 = 0.05) MacCormack, viscosit artificielle de Jameson ( 1 = 0.1, 2 = 0.05) 2. Rsolution
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  • 22 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun point sonique: MacCormack, viscosit artificielle TVD Damping (limiteur vanLeer) MacCormack, viscosit artificielle de TVD Damping (Limiteur Minmod 3) 2. Rsolution
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  • 23 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun choc faible: MacCormack, sans viscosit artificielle 2. Rsolution
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  • 24 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun choc faible: MacCormack, viscosit artificielle TVD Damping (limiteur vanLeer) MacCormack, viscosit artificielle de Jameson ( 1 = 1, 2 = 0.05) 2. Rsolution
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  • 25 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique b)Le schma TVD de Yee symtrique - formulation: Schma TVD (Total Variation Diminishing) - principe: On veut construire des schmas non linaires et non oscillants Les schmas TVD prservent obligatoirement la monotonie (donc pas doscillations) Les limiteurs: Introduit dans les schmas, ils limitent les gradients et rduisent donc les oscillations. Leur action senclenchent dans ces zones et ils restent inactifs autrement. 2. Rsolution
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  • 26 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Formulation TVD de Yee symtrique: - Formulation explicite avec = 0: - Formulation implicite avec = 1: 2. Rsolution
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  • 27 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun point sonique: Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Limiter van Albada Yee TVD symtrique - Implicite (theta = 1) - Limiter van Albada 2. Rsolution
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  • 28 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun point sonique: Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Limiter Minmod (3 variables) Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Limiter Minmod (2 variables) 2. Rsolution Oscillations Dissipation numrique
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  • 29 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Explication possible - problme d au pas de temps Yee TVD explicite - pas de temps = 10 Yee TVD explicite - pas de temps = 40 2. Rsolution
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  • 30 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun choc faible: Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Limiter van Albada Yee TVD symtrique - Implicite (theta = 1) - Limiter van Albada Dissipation numrique 2. Rsolution
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  • 31 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun choc faible Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Minmod (3 variables) - 1 stage Yee TVD symtrique - Implicite (theta = 0) - Minmod (2 variables) - 1 stage 2. Rsolution
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  • 32 LIN Laboratoire dIngnerie Numrique Rsultats - prsence dun choc faible Yee TVD symtrique - Explicite (theta = 0) - Minmod (3 variables) - 5 stages Yee TVD symtrique - Implicite (theta = 1) - Minmod (2 variables) - 5 stages 2. Rsolution
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  • 33 3. Conclusion LIN Laboratoire dIngnerie Numrique