1- La poutre continue abc donnée ci-après repose sur les appuis en a, b et c. la travée ab soumis à

deux charges ponctuelles de 100 KN tandis que la travée bc est chargée uniformément d’une charge

d’intensité de 24 KN/m. La longueur de la travée ab est de 20 m et celle de la travée bc est de 30m.

a) quel est le degré d’hyperstaticité de cette poutre.

b) quel est le nombre de rotules plastiques nécessaire pour ruiner la structure.

c) Déterminer par la méthode cinématique le mécanisme critique de ruine.

d) Tracer le diagramme du moment fléchissant correspondant au mécanisme critique.

e) déterminer la hauteur de l’âme de la section donnée ci-contre permettant d’assurer le

moment plastique Mp calculé.

2- Le portique ABCD est encastré en A et D. les poteaux AB et CD subissent une charge concentré P

tandis que la poutre BC soutient une charge répartie q. Les trois éléments possèdent le moment

plastique Mp. P=qxL.

On donne L=15 m, h=6m, a=4 m.

a) déterminez le degré d’hyperstaticité de ce

portique

b) quel est le nombre de sections potentiellement

critiques. Identifiez ces sections sur la figure.

c) quel est le nombre de mécanismes

indépendants. Donnez schématiquement la

forme de ruine relative à chaque mécanisme.

d) Déterminer par la méthode cinématique, le

mécanisme critique de ruine.

e) Tracer le diagramme du moment fléchissant correspondant à ce mécanisme.

3- Le portique ABCDE est encastré en A articulé en D et simplement appuyé en E. Les poutres ont un

moment de plastification 2 fois plus grand que celui des poteaux.

Le portique soutient une charge ponctuelle H=20.q en tête du poteau ab et une charge répartie

uniformément sur la poutre ce.

a) déterminez le degré d’hyperstaticité de ce portique

b) quel est le nombre de sections critiques.

Identifiez-les sur la figure précédente.

c) quel est le nombre de mécanismes

indépendants. Donnez schématiquement la

forme de ruine relative à chaque mécanisme

d) Déterminer par la méthode cinématique, le

mécanisme critique de ruine.

e) pour le mécanisme retenu comme

mécanisme critique de ruine, établissez les

équations d’équilibre des moments fléchissant dans toutes les sections critiques et vérifiez

que ces moments ne dépassent pas la capacité de résistance de chaque élément.

f) Tracer le diagramme du moment fléchissant correspondant au mécanisme critique.

4- La poutre continue abc donnée ci-après repose sur les appuis en a, b et c. la travée ab est soumise

à une charge répartie uniformément de 15 KN/m tandis que la travée bc est chargée uniformément

d’une charge d’intensité de 30 KN/m. La longueur des deux travées est de 25 m.

Refaire le travail demandé pour la question 1

5- Le portique donné ci-après est encastré en A, B, H et J. les poutres DG et EF soutiennent une

charge répartie q [KN/m].

Les poutres CD et GI sont soumises à des charges ponctuelles d’intensité F1 [KN]. Finalement les

nœuds C et E sont soumis à des charges horizontales d’intensité F2 [KN]. Tous les éléments

possèdent le même moment plastique Mp.

a) déterminez le degré d’hyperstaticité de ce portique.

b) quel est le nombre de sections potentiellement critiques. Identifiez ces sections sur la figure

précédente.

c) quel est le nombre de mécanismes indépendants. Donnez schématiquement la forme de

ruine relative à chaque mécanisme.

6- Le portique ABCDE est encastré en A et en D. il soutient une charge répartie de q [KN/m] sur le

poteau AB et une charge ponctuelle de 6q [KN] au milieu de la poutre BC. Les trois éléments AB, BC

et CD possèdent le même moment plastique Mp.

Refaire le travail demandé en question 2.

7- L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans la base orthonormée (o,

x, y, z) par le tenseur :

[ ]

−=

7600

0100

0150

ττ

σ Avec τ contrainte de cisaillement en MPa.

1. Que représente physiquement le tenseur déviateur σd.

2. Déduisez ce tenseur à partir du tenseur de contrainte σ.

3. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la valeur maximale de τ. Le matériau est

considéré élasto-plastique parfait avec une limite d’élasticité σ0=250MPa.

8- On considère une poutre simple de section rectangulaire (bxh) soumise à une charge concentrée

au milieu comme la montre la figure ci-dessous. Le matériau qui la constitue est élastique

parfaitement plastique avec une milite d’élasticité σ0. Le moment fléchissant le plus grand se trouve

sous la charge et sa valeur vaut WL/4 tandis que l’effort tranchant vaut W/2 en valeur absolue.

a-Calculer le moment élastique, Mel, que peut supporter la poutre et la charge élastique Wel

correspondante.

b-Calculer le moment plastique, Mp, que peut supporter la poutre et la charge plastique Wpl.

c- Si W=Wpl, à quelle distance, de chaque appui, se trouvent les sections où M=Mel

d- Qu’appelle-t-on la zone comprise entre Mel et Mp ? Déterminer sa largeur.

e- Exprimer la variation du moment fléchissant M dans cette zone en fonction de z et h0 l’épaisseur

du corps élastique.

f- tracer la courbe force-flèche pour cette poutre.

g- calculer les contraintes résiduelles si l’on effectue une décharge élastique.

9- Pour la section donnée ci-après ,

a) Calculer, Zp, le module plastique de la section.

b) Calculer le moment plastique Mp que peut soutenir cette section sachant que la limite élastique

du matériau utilisé est de 450 MPa.

c) par la méthode cinématique (travail virtuel), la charge critique, P, que l’on peut soumettre à la

poutre représentée ci-dessous.

d) pour le mécnisme de ruine, calculer la flèche sous la charge

P

Dimensions en mm.

10- Le portique donné ci-dessous est hyperstatique de degré 6 et constitué des éléments ayant la

même capacité (même Mp). On s’intéresse par l’étude de sa rupture plastique. Pour ce faire :

1- Identifier les sections critiques

2- Déterminer le nombre de rotules plastiques nécessaire afin de ruiner la structure.

3- Déterminer le nombre de mécanisme possible.

4- Quel est le nombre de mécanismes indépendants

et quels sont ces mécanismes.

5- Pour chacun de ces mécanismes indépendants,

calculer, par la méthode cinématique, la charge F

puis choisissez le mécanisme le plus critique parmi

ceux-ci.

11- pour la section donnée ci-contre :

1- Déterminer le module plastique Zp. On donne a=140 mm, b=410 mm et c=360 mm.

2- Calculer le moment plastique Mp sachant que la limite élastique du matériau utilisé est de

355 MPa.

3- Si le facteur de forme f est égale à 1.264,

calculez le moment élastique Me.

4- déterminer par la méthode cinématique

la charge de ruine Pcr que l’on peut

appliquer à la poutre suivante en

utilisant la section étudiée.

5- déterminer la largeur de chacune des

rotules plastiques formées en A et en B

dénotées respectivement Xp1 et XP2.

6- Juste avant la ruine, déterminer la flèche sous la charge p.

12- La poutre donnée ci-après en encastrée en a et en c et simplement appuyée en b. La travée ab

supporte une charge uniformément répartie d’une intensité de 3.6 KN/m, tandis que la travée bc

soutient une charge concentrée en son milieu de 50 KN. Le moment plastique est constant le long de

la poutre et le matériau utilisé est elasto-plastique parfait d’une limite élastique de 500 MPa.

a) Relever les sections potentiellement critiques puis déterminer le nombre de mécanismes

possibles de ruine.

b) Déterminer, parmi les mécanismes possibles, le mécanisme critique puis en retenez la valeur

critique de MP.

c) Déterminer la hauteur de l’âme de la section donnée ci-contre

permettant d’assurer le moment plastique Mp calculé

précédemment.

d) Pour le mécanisme partiel de la travée ab déterminez la flèche

en son milieu.

13- Le portique ABCD est articulé en A et encastré en D. le moment plastique des poteaux est le

double de celui de la poutre BC.

1) relever les sections critiques puis calculer le nombre total des mécanismes possibles.

2) Nous identifions pour cette structure trois mécanismes indépendants qui sont le mécanisme

de la poutre AB et celui de la poutre BC ainsi qu’un mécanisme de panneau et qui sont numérotés

respectivement 1, 2 et 3. De plus, deux autres mécanismes résultent d’une combinaison linéaire

entre les mécanismes indépendants 1+3 et 2+3 peuvent être critiques. De ces cinq mécanismes

retenez le mécanisme réel de ruine puis donnez la valeur du coefficient de charge .

14- pour la section donnée ci-contre.

a- Déterminer le moment élastique de la section.

b- Déterminer le moment plastique de la section et le facteur de forme

c- Déterminer puis tracer la relation moment-courbure.

d- Si la section précédente est utilisée pour construire la poutre donnée ci-après, déterminez la

charge critique de ruine Pcr

e- Déterminer la largeur de la rotule plastique puis calculer la flèche.

f- Tracer la relation force-flèche et repérez sur la courbe établie les trois zones : élastique,

elasto-plastique et plastique.

g- Avant la ruine on effectuer une décharge élastique. Calculer et tracer les contraintes

résiduelles

15- refaire la question 14 en utilisant la section suivante

16- en utilisant la section de la question 15 refaire l’exercice pour la poutre suivante

17- pour la poutre double encastrés ABC :

1- Déterminer la charge de ruine P.

2- Déterminer la largeur des zones plastiques xp1, xp2 et xp3 sachant que le moment résistant

plastique est de 360 KN.m et que le facteur de forme est de 1,2.

3- Au moment de la ruine calculez la flèche sous la charge P.

18- refaire l’exercice 17 en utilisant la section suivante :

19- la structure ABC donnée ci-contre est soumise à une charge ponctuelle P appliquée en A. les

deux barres AB, et BC sont constituées d’une section rectangulaire 200x450 mm. La limite élastique

du matériau utilisé est de 350 MPa. Déterminer la charge critique P que peut soutenir le poteau BC

a) En négligeant l’effet de l’effort axial sur la capacité porteuse

b) An tenant compte de l’effet de l’effort normal sur cette capacité.

c) Commentez les résultats.

20-refaire l’exercice 19 pour la structure donnée ci-suivante

21- La poutre suivante est initialement soumise à une charge P=10 KN. L=12 m, Mp =27 kNm.

a) Déterminez α au moment de la ruine de cette poutre.

b) Calculer la flèche en B.

22- refaire l’exercice 21 pour la poutre suivante. On donne MP=80 KN.m

23- refaire l’exercice 21 en adoptant les données suivantes

24- la poutre ABC est articulée en A et simplement appuyée en B et C.

a) Relever les sections potentiellement critiques puis déterminer le nombre de mécanismes

possibles de ruine.

b) Pour le mécanisme critique déterminez le facteur de charge λ puis calculer la flèche au milieu

de la travée BC. On donne MP=100 KN.m

25- pour le portique suivant refaites le travail demandé en question 2.

26- On considère le système suivant composé de deux barres OB et OC reliées à un solide

indéformable auquel est appliquée une force W.

a) Déterminer la valeur de W=W1 la force à partir de

laquelle il y a le début de la plastification puis W=W2

au début de la ruine.

b) Tracer l’évolution de ces forces en fonction du

déplacement.

Les deux barres ont les mêmes caractéristiques mécaniques

(E, σp) et nous supposons que le matériau est parfaitement

pastique.

27- refaire l’exercice 21 en utilisant la section suivante

28- pour la structure suivante

a) Relever les sections potentiellement critiques puis déterminer le nombre de mécanismes

possibles de ruine.

b) Déterminer, parmi les mécanismes possibles, le mécanisme critique puis en retenez la valeur

critique de Wc.

c) Calculer la flèche au milieu de la travée BC lorsque celle-ci ruine suite à la formation de trois

rotules plastiques en B, C et sous la charge 1.5 Wc.

29- refaire l’exercice 28 pour la structure suivante

30- pour le portique suivant refaites le travail demandé en question 2 afin de déterminer λ .

31- Pour le portique suivant refaites le travail demandé en question 2. V=2 H.

32- pareil que 30.

33- pareil que 30.

34- pareil que 30.

35- pareil que 12

36- pareil que 12

37- pareil que 2.

38- pareil que 2.

MP= const. h=L ; a=0.25L

39- pareil que 2.

Portique encastré en A, articulé en D.

Mp BC= 2MPAB. MPAB= MPCD. L=2h.

40- pareil que 2.

Portique encastré en A, articulé en D.

Mp BC= 2MPAB. MPAB= MPCD. L=2h. P=2qL.

41- pareil que 2.

Portique encastré en A et en D.

Mp BC= 2MPAB. MPAB= MPCD. L=h. P=0.5qL.

42- pareil que 12

43- pareil que 30. MP=250 KN.m

44- pareil que 2.

45- pareil que 2.

46- pareil que 2. MP=const

47- pareil que 10.

48- déterminer λ puis calculer la flèche au milieu de la travée bc.

On donne a=140 mm, b=410 mm et c=360 mm. Fy=400 MPa.

49- pareil que 2

50- pareil que 2

N.B : l’étudiant peut supposer les données qui manquent.

Si la limite élastique n’est pas donnée, elle est prise égale à 400 MPa.

George WARDEH.