Quelles méthodes pour développer le calcul mental€¦ · Exemple 1 : Multiplication mentale de...

IUFM DE BOURGOGNE

Concours de recrutement : professeur des écoles

Quelles méthodes pour développer le calcul mental ?

VAUTRIN Delphine

Directrice de mémoire : C. CHAMPION

Année : 2006-2007 0501092R

Introduction................................................................................................. 3I. Historique et instructions officielles......................................................... 4

A. Historique.....................................................................................................41/ Avant ......................................................................................................42/ Constats...................................................................................................5

B. Les programmes de 2002..............................................................................7C. Les instructions officielles..............................................................................8

1/ Les documents d'accompagnement............................................................82/ La circulaire n° 2007-051 du 2 mars 2007.................................................. 9

II. Fonctions et place du calcul mental...................................................... 10A. Fonctions du calcul mental...........................................................................10

1/ Un intérêt évident...................................................................................102/ La gestion mentale..................................................................................113/ Les fonctions du calcul mental..................................................................134/ La mémorisation..................................................................................... 14

B. Place du calcul mental.................................................................................161/ Par rapport aux séances de mathématiques..............................................162/ À quel moment de la journée ?................................................................ 17

C. Proposition d'activités..................................................................................18III. Procédés de vérification...................................................................... 19

A. La Martinière...............................................................................................19B. Sur feuille...................................................................................................19C. Jeux ludiques..............................................................................................20

Conclusion.................................................................................................. 26Bibliographie.............................................................................................. 27Annexe....................................................................................................... 28

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IntroductionL'expression de « calcul mental », signifie qu'entre l'énoncé du problème et l'énoncé du résultat, les élèves n'utilisent pas les techniques opératoires posées. Aujourd'hui on parle plus de « calcul réfléchi » ou de « calcul raisonné » plutôt que de « calcul rapide » en usage il y a quelques années. En effet, aujourd'hui les programmes insistent sur la méthode utilisée plutôt que sur la rapidité d'exécution (pour ce qui est des calculs complexes).

On peut résumer les buts à atteindre en deux : les buts utilitaires (aider l'enfant dans sa vie scolaire, connaissance du nombre et des procédés, gymnastique mentale, ...) et les buts éducatifs (développer la mémoire auditive, l'attention, la maîtrise de soi ; déployer une activité synthétique ; garder en mémoire l'ensemble du problème quand on en traite une partie).

J'ai choisi d'étudier ce sujet car je me suis rendue compte dès les premières semaines de stages que ce temps de calcul mental méritait une attention toute particulière de ma part. Par la suite, je me suis rendue compte que c'était également la préoccupation du ministère de l'Éducation Nationale. C'est pourquoi, après de nombreuses recherches, j'ai pu construire avec les deux classes des stages (filé et groupé) des progressions et y faire particulièrement attention.

Au cours du stage filé, je me suis rendue compte que les exercices que je proposais aux élèves étaient trop faciles et pas adaptés à leur niveau. J'entendais très souvent dans les rangs « c'est trop facile ! ». C'est pourquoi j'ai choisi de travailler sur ce thème en particulier. De plus, lors des entretiens avec l'équipe de suivi, il nous est apparu qu'un travail approfondi sur le calcul mental serait bénéfique tant aux élèves qu'à moi-même.

Afin de mieux comprendre les différents problèmes que j'ai pu rencontré, il me semble important de comprendre dans quelles conditions je travaille : j'ai basé mes analyses de pratique sur les deux stages que j'ai fait. Le premier, le stage filé, se déroule à Blanzy dans une classe de CM2. L'école fait parti du réseau Ambition Réussite et se situe en zone urbaine. La classe compte vingt-trois élèves dont sept filles. C'est une classe assez difficile au niveau disciplinaire et comprenant quelques élèves perturbateurs. Le deuxième, le stage groupé, s'est déroulé à Saint Loup de Varennes dans une école rurale. La classe de CP/CE1 comptait vingt-et-un élèves : onze CP et dix CE1. Cette classe était beaucoup plus calme que la classe de CM2. Durant ces deux stages, j'ai pu proposer aux élèves du calcul mental quotidiennement avec les CP/CE1 et j'en propose tous les lundis aux CM2.

C'est ce qui m'amène à problématiser le sujet ainsi : quelles méthodes pour développer le calcul mental ?

À partir du travail fait dans mes classes, j'ai choisi de traiter cette question en trois points. Tout d'abord, je rappellerai l'historique et les instructions officielles qui concernent le calcul mental. Puis, j'aborderai les fonctions et la place du calcul mental à l'école, et enfin, les procédés de vérification qui permettent aux élèves et aux enseignants de voir les progrès et d'adapter le travail.

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I. Historique et instructions officielles

A. Historique

1/ Avant Depuis longtemps, les textes placent le calcul mental comme une compétence nécessaire aux élèves. Il faut apprendre aux élèves à calculer intelligemment. Déjà en 1911, Carlo Bourlet, professeur au Conservatoire des arts et des métiers écrivaient : « Dans tous les degrés de l'enseignement primaire, mais plus particulièrement dans les cours élémentaires et moyens, il faut exercer les enfants à calculer de tête. »1 Il insistait sur l'importance de cette « gymnastique intellectuelle ». Il ajoute que « l'un des grands avantages du calcul mental est d'exciter l'ingéniosité de l'élève, de l'obliger à réfléchir, de le forcer à bien se pénétrer du sens des opérations qu'il fait ; mais cet avantage n'est réel que si on laisse à l'enfant une certaine liberté, si on l'abandonne un peu à lui-même de façon qu'il se crée des petites méthodes personnelles ».2

En 1892, les élèves avaient des problèmes du type : (exemple tiré de deux manuels)

Exemple 1 : Multiplication mentale de deux nombres compris entre 11 et 20

Règle : Pour trouver le produit de deux nombres compris entre 10 et 20, on ajoute les unités du deuxième nombre au premier, on écrit un zéro à la droite du total, et on ajoute à ce total le produit des unités des nombres proposés.

Exemple : pour 13 x 18, on fait 13 + 8 = 21 auquel on ajoute un zéro : 210. 3 fois 8 égal 24. Le résultat est donc 210 + 24 = 234.

Les anciennes méthodes « méprise l'intelligence » : la rédaction même de cette règle sur la multiplication des nombres entre 11 et 19 n'explique rien, se réduit à la description la plus brève. Il est dit, par exemple : « on écrit zéro à la droite du total » et pas : « on multiplie par 10 ». Mais cette forme de rédaction atteint son but (en CM) qui est un moyen rapide d'obtenir le résultat. Et comme elle se présente elle-même comme une méthode de « calcul rapide », il est normal qu'elle n'explique rien car l'utilisation de « l'intelligence » dans ce type de situations réflexes est une perte de temps, une surcharge de l'activité intellectuelle qui rend difficile ou impossible le calcul lui-même. D'autre part, le calcul mental est présenté ici comme une autre technique du calcul écrit qui a ses propres règles qui sont donc exprimées explicitement en tant que règles.

En annexe 1 se trouve une épreuve de calcul mental du CEP (Certificat d'Études Primaires) qui permet de voir à quel point les exercices étaient différents d'aujourd'hui.

C'est pourquoi, au cours de mes stages, les élèves doivent répondre aux questions en un temps donné. Ce n'est pourtant pas le but principal des séances de calcul mental mais les élèves doivent répondre assez vite. En CM2, j'ai d'abord fait travailler les élèves sur des bandes de papier pour aborder les fractions. Nous avons vu ½, ¼

1 article sur les mathématiques du Nouveau dictionnaire de pédagogie

2 article sur les mathématiques du Nouveau dictionnaire de pédagogie

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et les décompositions possibles (¾ dans un premier temps et 7/4 et les fractions supérieures à 1 dans un deuxième temps). Ceci pour que les élèves s'imprègnent des différentes fractions et de leur signification.

Lors de la première phase sur les fractions, les élèves devaient écrire sur leur ardoise des fractions dictées pour se familiariser avec l'oralisation, puis nous avons commencé à travailler sur les bande de papier, les élèves avaient une meilleure vision et le sens des opérations leur été plus accessible. Mais je ne leur ai pas expliqué le détail de ce qu'ils faisaient.

Par exemple, pour additionner ½ et ¼, ils utilisaient la moitié d'une bande u et ¼ de cette même bande. Alors qu'en fait, ils transformaient ½ en 2/4 et ajoutaient ¼ : ce qui donne ¾. Les élèves n'ont donc pas eu l'explication mathématique (car non accessible encore à leur niveau de compétence sur les fractions) mais ils ont pu résoudre l'addition.

Quand on demande aux adultes ce qu'évoque pour eux le calcul mental, ils répondent majoritairement : des souvenirs scolaires (le calcul mental est associé à l'école élémentaire: il s'agissait de compter vite sans écrire autre chose que le résultat en utilisant des procédés répertoriés), un outil très utile pour les quelques privilégiés qui « ont le don ». De ce fait, très peu de gens utilisent le calcul mental quotidiennement car ils se considèrent comme incompétents.

Depuis deux ou trois décennies, les compétences en relation avec le calcul mental sont restées méconnues, mais elles étaient dans les programmes depuis le début du XXème siècle : « Les exercices de calcul mental figureront à l'emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes : aussi bien les avantages du calcul mental ne se bornent pas aux services qu'il rend chaque jour à celui-ci qui s'est familiarisé avec sa pratique ; il constitue une excellent gymnastique pour l'assouplissement et l'adresse de l'esprit aux prises avec des questions mathématiques. »1. Ces compétences sont également reprises à l'époque dites des « mathématiques modernes » : « Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement et par écrit avec aisance et sûreté. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité. »2.

Dans mon entourage, tous ont déjà pratiqué le calcul mental à l'école élémentaire. Ils ont plus ou moins de bons souvenirs mais s'accordent tous à dire que c'est un travail nécessaire et vraiment utile dans la vie de tous les jours.

Ainsi, même si les objectifs en calcul mental ont quelque peu changé au cours du temps, il a toujours été présent.

2/ ConstatsDans les méthodes modernes, on peut constater une grande difficulté à faire du calcul mental. Les élèves ont déjà beaucoup de mal à apprendre leurs tables, les enseignants ne prennent donc pas le temps de leur apprendre les techniques particulières au calcul mental. Les programmes n'indiquent plus que le calcul mental

1 Extrait des programmes de 19092 Commentaires des programmes de 1970

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se sert de techniques particulières. Par exemple, pour diviser par 4, les élèves font la division mentalement alors qu'il est plus facile de diviser deux fois par 2.

Pour calculer 5,4 x 98, il faut considérer que 98 = 100 – 2. La technique à donner à l'élève est la suivante :

5,4 x 100 = 540

5,4 x 2 = 10,8

540 – 10 = 530

530 – 0,8 = 529,2

Les règles qui en ressortent sont :

− Règle 1 : pour multiplier (ou diviser) une somme (ou une différence) par un nombre, on doit multiplier (ou diviser) tous les termes de la somme (ou de la différence) par ce nombre.

− Règle 2 : Pour multiplier (ou diviser) un produit par un nombre, il suffit de multiplier (ou diviser) un facteur du produit par ce nombre.

Une progression possible pour l'acquisition de ces deux règles serait : apprendre en CM les deux règles, les pratiquer longuement en calcul mental dans des problèmes incluant la proportionnalité. Puis il faudra introduire une conséquence de la distributivité de la multiplication. La règle de distributivité en tant que règle de calcul algébrique passera d'autant mieux que les élèves maîtriseront bien, depuis longtemps, le calcul arithmétique.

Dans le rapport n°2006-034 de juin 2006, l'Inspection Générale de l'Éducation Nationale constate que le temps de calcul mental dans les classes est massivement estimé inférieur à une heure par semaine. Les observations menées montrent que cette activité de mathématiques n'est pas assez travaillée, que seulement une séance sur trois commence par un temps de calcul mental alors qu'il faudrait que cet entraînement soit quotidien.

Le travail mené par l'Inspection Générale a révélé que 60% des maîtres déclarent consacrer de une à deux heures de calcul mental par semaine. Le tableau ci-dessous montre plus précisément le temps consacré au calcul mental dans les classes.

< 1h 1 < t < 1,5 1,5 < t < 2 2 < t < 2,5 2,5 < t < 3 > 3h Ne peut quantifier

9 % 30 % 30 % 17 % 10 % 2 % 2 %

Durant mon stage filé, je prévoie un quart d'heure de calcul mental tous les lundis en début de séance de mathématiques. Mes séances de calcul mental sont en relation avec ce qui est fait pendant la séance de mathématiques. Il s'agit de dictées de nombres, d'additions de fractions, de décompositions, etc.

Ce taux horaire est assez difficile à tenir car les programme de mathématiques sont lourds, notamment au cycle 3. La mise en place des séances de mathématiques se fait toujours de la même manière : je commence par quinze minutes de calcul mental en rapport avec la séance de mathématiques précédente. Ceci permet aux élèves, après une semaine d'absence, de se remémorer ce qui a été fait et d'ajuster

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ses compétences. Puis nous continuons par la suite de ma progression.

Cette démarche ne me permet pas, étant donné que je m'occupe des fractions, d'aborder les techniques propres au calcul mental. C'est pourquoi, il nous est apparu, avec le directeur d'école, que je m'occupe de ces techniques en juin car je vais revenir après trois semaines de stages et que c'est trop loin des lundis précédents.

Pendant mon stage groupé R1, j'ai fait faire dix minutes de calcul mental par jour au début des séances de mathématiques aux élèves. J'ai élaboré une progression pour que les élèves parviennent à connaître les compléments à 5 et à 10. Au début du stage, les élèves mettaient beaucoup de temps à trouver la solution et à la fin, ils avaient mémorisé les résultats et les réponses devenaient automatiques. En accord avec l'enseignante que je remplaçais, j'ai accentué les séances de calcul mental proposé dans le manuel qu'elle voulait que je suive. Le thème du calcul mental étant les compléments de 5 et de 10, j'ai travaillé avec les élèves à la construction de tableaux récapitulant toutes les décompositions additives de 5 et de 10, puis à l'utilisation et à la mémorisation de ces tableaux.

B. Les programmes de 2002Plusieurs domaines sont à aborder en cycle 2 et 3 : la connaissance des nombres , additionner ou soustraire, multiplier ou diviser, organiser et effectuer des calculs .

Dans les programmes est donnée la définition du « savoir calculer » : c'est être capable de choisir parmi l'un ou l'autre des moyens de calcul : calcul mental réfléchi ou automatisé, calcul exact ou approché et techniques opératoires.

Il est indiqué que le calcul mental est utile car efficace dans la vie quotidienne où les nombres inférieurs à cent sont fréquemment utilisés. Il permet de vérifier la vraisemblance des résultats. Il est également indiqué que le calcul mental doit être abordé avant de voir les techniques du calcul écrit.

Les objectifs des programmes

En grande section d'école maternelle, aucune compétence en calcul mental n'est attendue. Mais selon le travail, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes dans lesquels il faut chercher le résultat d'un augmentation, d'un diminution, le résultat de la réunion de plusieurs collections identiques ou la part de chacun dans un situation de partage et de distribution.

Au cycle 2 et 3, de nombreuses notions sont à aborder. On peut définir quatre catégories d'objectifs : la connaissance des nombres, additionner et soustraire des nombres de plus en plus élevés, multiplier et diviser des petits nombres au début (cycle 2) puis plus grands (cycle 3) et enfin organiser et effectuer des calculs.

En ce qui concerne « la connaissance des nombres », on peut voir trois sous-catégories : écrire des nombres, comparer et ranger des nombres, et donner les compléments à 10. Pour « additionner et soustraire », on peut également dénombrer trois sous-catégories : connaître les tables d'addition, calculer des sommes et des retranchements, et déterminer les compléments à 100. Puis pour « multiplier et diviser », on peut trouver trois sous-catégories : connaître les tables de multiplication, trouver les doubles et les moitiés des nombres inférieurs à 100, et multiplier et diviser par des multiples de 10. Enfin pour « organiser et effectuer des

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calculs », on peut compter quatre sous-catégories : calculer des sommes en lignes, organiser des calculs, évaluer l'ordre de grandeur d'un résultat et résoudre mentalement des problèmes.

Le détail de ces objectifs (cf. annexe 2) à atteindre montre à quel point le travail de l'enseignant est ardu. Il faut ainsi aborder toutes ces notions et les revoir tout au long de l'année afin que les élèves les assimilent correctement et les maîtrisent bien. En annexe 3 se trouve une progression possible pour une classe de CM2 qui permet d'aborder et de revoir des notions tout au cours de l'année.

Dans la classe de CM2, j'ai travaillé sur la désignation écrite et orale des nombres entiers, des fractions et des nombres décimaux et sur l'addition et la soustraction des fractions simples entre elles. Après mon second stage groupé, je travaillerai les techniques de calcul mental comme la multiplication par 11 des nombres à un et deux chiffres.

C. Les instructions officielles

1/ Les documents d'accompagnementLe document d'accompagnement en mathématiques intitulé « Le calcul mental » rappelle les programmes de 2002. Le calcul mental doit être quotidien dès le cycle 2. Une pratique régulière permet de familiariser les élèves avec les nombres et d'approcher certaines propriétés des opérations. Il faut bien sûr distinguer ce qu'il faut mémoriser ou automatiser de ce qu'il faut être capable de reconstruire.

Le 23 janvier 2007, le ministre de l'Éducation Nationale, Gilles de Robien, déclare que « les opération doivent être introduites dès la grande section de maternelle, pour qu'à la fin du CE1, les élèves sachent additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres entiers simples. » La prochaine circulaire sur le calcul à l'école aura pour but de mettre en place « les conditions d'apprentissage plus rigoureux, plus efficace du calcul, mais qui demeure un apprentissage vivant, attractif et ouvert. »1

2/ La circulaire n° 2007-051 du 2 mars 2007La circulaire commence par rappeler les objectifs du calcul : celui-ci doit viser à donner aux élèves des outils qui leur permettent de mieux appréhender le monde, résoudre des problèmes de la vie quotidienne et d'entrer dans l'univers des mathématiques. Le constat fait en sixième montre que les performances en calcul sont trop insuffisantes. Le calcul doit donc placer les élèves dans des situations qui appellent la mobilisation des connaissances, leur entraînement et leur consolidation, leur mise en oeuvre dans des situations nouvelles. L'enseignement du calcul doit associer étroitement la construction du sens des opérations et l'acquisition de diverses techniques opératoires. Ce travail se commencera à l'école pour se poursuivre au collège.

Dès la maternelle, le calcul a sa place. En effet, très tôt, les élèves manifestent des compétences sur les quantités et à leur expression par des nombres. L'acquisition de la suite orale des nombres commence dès la petite section de maternelle. Des

1 discours à l'Académie des sciences sur la place du calcul dans l'enseignement primaire

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activités seront proposées aux élèves pour trouver le nombre d'objets que contiendra une collection après ajout ou retrait. Des problèmes simples pourront aussi les conduire à déterminer combien d'objets il faut ajouter ou retirer pour obtenir un nombre donné. Les situations de partage équitable ou de distribution sont aussi l'occasion d'approcher le sens de la division.

La circulaire rappelle les trois formes de calcul : calcul mental, calcul posé et calcul instrumenté. Il ne faut cependant pas oublier que la résolution de problèmes offre le moyen de s'assurer de l'acquisition du sens des opérations.

Le calcul mental doit faire l'objet d'une pratique de 15 minutes quotidienne dès l'entrée en CP et se poursuivre tout au long de l'école élémentaire. Les élèves doivent parvenir à une parfaite connaissance des tables d'addition et de la table de multiplication. Les enseignants doivent alterner les séances de conception de méthode et les séances d'entraînement. Cette circulaire insiste sur le fait que les élèves doivent comprendre l'intérêt et y prendre du plaisir à apprendre et à constater les progrès.

Cette circulaire rappelle également qu'il faut utiliser le calcul mental dans toutes les disciplines. Ce qui permet aux élèves de consolider leurs connaissances et de se persuader de l'utilité du calcul mental. Il faut les intégrer dans tous ce qui peut le leur montrer (sorties scolaires, fêtes, besoins de la classe, etc.) L'utilisation de jeux mathématiques et de jeux qui sollicitent et stimulent le raisonnement logique, par exemple les échecs, contribue aussi à la formation mathématique des élèves et doit donc être encouragée.

Mon prochain stage se faisant en TPS/PS à Mercurey, je compte travailler avec les élèves sur les nombres de 1 à 3. Pour cela, je souhaite leur faire construire un livre de nombres regroupant les chiffres, les constellations, les doigts et une composition d'objets. Par de multiples jeux, je souhaite les faire travailler, toujours sur les nombres de 1 à 3, sur l'addition et le retranchement de ces nombres.

À l'IUFM, en lien avec ma formation, j'ai suivi le module USEP (union sportive de l'enseignement du premier degré), qui permet de faire participer les élèves à la conception et l'organisation de rencontres sportives et conviviales. Ceci m'a permis de voir tout ce qui peut être fait dans toutes les disciplines grâce à de telles rencontres. Je me suis également engagée à organiser la rencontre des PE2 en fin d'année. Ceci m'a permis de voir à quel point le calcul mental est utile et précieux dans ce genre de manifestation. Bien que contraignant, cette démarche me semble tout à fait appropriée pour montrer aux élèves la nécessité de calculer rapidement un résultat. De plus, ils sont motivés car responsabilisés : ce sont eux qui organisent en presque totalité la rencontre inter école. Néanmoins, si cela n'est pas possible, des rencontres intra école pourraient être organisées de la même façon.

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II. Fonctions et place du calcul mental

A. Fonctions du calcul mental

1/ Un intérêt évidentLe calcul mental a de nombreux intérêts. Premièrement dans la vie pratique : le calcul mental permet une prévision rapide, chiffrée d'un résultat dans des situations de la vie courante. Il ne s'oppose pas à l'utilisation de calculatrices, les applications étant différentes et complémentaires, le calcul mental est à la base d'un emploi intelligent et sûr des calculatrices.

Deuxièmement pour un renforcement des acquisitions mathématiques : le calcul mental permet la consolidation de la connaissance de la numération, la familiarisation avec le sens des opérations, le renforcement de l'acquisition ou la découverte des propriétés des opérations par leur utilisation.

Troisièmement dans le calcul écrit : le calcul mental est utilisé dans tout calcul écrit à un moment ou à un autre et il permet de prévoir l'ordre de grandeur d'un calcul écrit ce qui est important dans l'utilisation des décimaux ou de la proportionnalité.

Puis il a une valeur intellectuelle : le calcul mental constitue une éducation de l'attention, de la mémoire, de l'esprit d'analyse, de synthèse. Toutes ces activités conduisent à la recherche de procédés économiques, il faut qu'elles soient adaptées aux situations et aux disponibilités intellectuelles.

Enfin, il a un aspect ludique : cet attrait est indéniable et nécessaire dans les jeux actuels tels que « le compte est bon », la construction de carrés magiques ou autres. Le fait que les élèves aient des activités de calcul mental ludiques permet aux élèves en difficulté d'être plus motivés et donc de plus s'impliquer dans l'activité. De plus, il ne faut pas oublier que les élèves doivent comprendre que le calcul mental est utile dans la vie quotidienne ; c'est pourquoi il ne faut pas se limiter uniquement aux activités ludiques.

Au cours de mes stages, je me suis très vite rendue compte de la variabilité de vitesse de travail des élèves. C'est pourquoi, j'ai mis en place des activités ludiques pour les élèves ayant terminés leur travail avant les autres. Ces activités étaient en général liées à la discipline que les élèves étaient en train de faire afin qu'ils restent dans le même type d'activité que leurs camarades. Par exemple, en français, ils avaient des fiches de lecture ou des mots croisés. En mathématiques, ils avaient à leur disposition des jeux mathématiques (cf. annexe 4) comme les carrés magiques où le calcul de sommes nécessitait l'utilisation du calcul mental ; et bien d'autres jeux encore.

Ainsi, les élèves travaillaient au début des séances de mathématiques sur les démarches et les stratégies qui leur montraient l'utilité du calcul mental dans la vie quotidienne et après avoir fini leur travail, ils pouvaient continuer à faire du calcul mental (bien souvent inconsciemment !) de manière bien plus ludique mais nécessaire pour leur faire garder le goût et l'envie de continuer à réfléchir.

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2/ La gestion mentaleL'expérience atteste depuis des dizaines d'années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci peut être dû à un apprentissage trop tôt des techniques écrites. Il faudrait donc travailler en premier temps sur le calcul mental et ensuite, seulement, passer au calcul écrit. Par exemple, calculer mentalement 127 + 16 est plus difficile si on fait la technique écrite que si on ajoute 10 puis 3 + 3. Il faut que les techniques écrites s'appuient sur le calcul mental et non l'inverse.

Il faut arrêter de séparer le calcul réfléchi du calcul mental ou automatique car l'un s'appuie sur l'autre et inversement.

Utiliser son cerveau pour comprendre les mathématiques

De nombreuses recherches menées par des neuroscientifiques montrent la différence de fonctionnement des deux hémisphères cérébraux. Les résultats de ces recherches peuvent donc être une aide précieuse à tout enseignant désireux d'apprendre sur les techniques pédagogiques. Selon ces résultats, l'hémisphère gauche est caractérisé par un traitement analytique, séquentiel, linéaire, temporel et verbal ; il sépare les éléments d'un ensemble. L'hémisphère droit traite, lui, de façon synthétique, globale, spatiale ; c'est la source de l'intuition créatrice ; il rassemble les éléments en un ensemble et s'intéresse aux relations.

Dans l'ouvrage La gestion mentale en mathématiques de A. Geninet, l'auteur expose les recherches de Patricia Davidson du Boston State Collège qui a identifié deux profils d'élèves en mathématiques qui seraient dû à une prédominance de l'utilisation de l'un ou l'autre des hémisphères. Nos traditions pédagogiques accordent une place importante aux processus verbaux, c'est-à-dire à l'hémisphère gauche. L'apprentissage des mathématiques (comme celui de la grammaire) utilise bon nombre de codages, symboles, exercices systématiques, raisonnement hypothético-déductifs. Ce type d'apprentissage néglige l'utilisation de l'hémisphère droit. Linda V. Williams écrit « Le cerveau a deux hémisphères, mais trop souvent le système éducatif fonctionne comme s'il n'en avait qu'un seul. »1 Grâce à ces résultats, l'enseignant peut mieux aider ses élèves en difficultés de compréhension. Linda Williams, dans son livre, propose des outils très efficaces pour enseigner « à droite ». Elle les présente comme des techniques pédagogiques mais aussi comme « les ressources fondamentales de l'écrit » :

− La métaphore permet d'établir une relation entre un élément familier et un élément nouveau. Dans les classes, on se sert de ses doigts, notamment pendant mon stage en cycle 2, le élèves utilisaient beaucoup leurs doigts.

− L'expérience directe qui permet à l'apprenant d'accéder à l'information par l'intermédiaire de tous ses sens et d'utiliser son système personnel d'apprentissage. En classe, plutôt avec les CE1, on faisait de nombreux jeux de manipulation. Par exemple, pour travailler l'addition de nombres inférieurs à 1000, les élèves avaient des jeux de cartes avec lesquelles ils jouaient au Mistigri (une carte représentait une somme et une autre le résultat : il fallait les regrouper). Cela leur faisait manipuler les nombres et amenait un aspect ludique

1 Deux cerveaux pour apprendre (1986)

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au calcul.

− La représentation graphique (schémas, mandalas, etc.) permet à l'élève d'apprendre à gérer son espace; à mettre en relation, à aller d'une idée à l'autre sans que ce cheminement soit obligatoirement linéaire. Il permet de conserver une pensée souple, d'aller à la globalité. Avec la classe de CM2 que je suis hebdomadairement, ils peuvent, une fois leur travail terminé, choisir de faire des mandalas ou des jeux ludiques qui font appel au calcul mental.

− Le voyage imaginaire qui permet à l'apprenant de s'impliquer personnellement dans ses évocations. En CP/CE1, les exercices systématiques ou de découverte sont faits pour exciter l'imagination des élèves. En général, les énoncés mettent en avant un ou deux (voire plus) personnages de leur âge. Par exemple, dans la méthode CAP MATH, avec laquelle je travaillais avec les CP/CE1 les « héros » sont un garçon et une fille de l'âge des élèves : Léo et Léa. Il en est de même pour les autres matières (par exemple : Dagobert, Justine, ...).

Ces outils pédagogiques permettent aux élèves comme à l'enseignant de découvrir des ressources qu'ils ne connaissaient pas encore. Les élèves trouvent beaucoup d'intérêt et sont donc plus impliqués avec ces méthodes.

La représentation des nombres

Certains élèves parviennent facilement à apprendre les tables d'addition, de soustraction et de multiplication. Mais pour d'autres, c'est beaucoup plus difficiles même avec un entraînement régulier ; c'est pourquoi il faut enrichir les évocations mentales des nombres, la compréhension des opérations et l'élaboration progressive des résultats.

Les élèves ont des représentations imagées des nombres comme les constellations (dés, dominos, jeu de cartes, ...) ou les doigts de la main. On trouve beaucoup de ce type de représentation à l'école maternelle. En visitant les autres classes de l'école lors de mon stage groupé, j'ai pu remarquer des frises de nombres avec les constellations associées, les doigts de la main. J'ai pu consulter un livre fait par les enfants de moyenne et grande section où les nombres de 1 à 6 étaient représentés. Sur chaque page, on trouve le nombre en chiffre, le nombre en constellation et le nombre représenté avec les doigts de la main. Ce petit livre pourrait facilement être poursuivi en CP pour les nombres jusqu'à 10. La lecture de livres à compter, qui nous ont été présentés à l'IUFM, pourrait alors permettre à l'enseignant de poursuivre avec les représentations des nombres comme 100, 1000, etc.

Les élèves ont également des représentations symboliques des nombres qui sont liées au codage issu des systèmes de numération, chiffrées ou verbales. Avec la classe de CP que j'ai eu au cours du stage R1, on lisait très fréquemment la frise numérique à l'endroit, à l'envers, en cachant des nombres, etc. Ceci permet aux élèves de s'approprier cette suite de nombres qui est essentielle pour la suite des mathématiques. (Les élèves peuvent commencer à connaître la suite des nombres avec des comptines à l'école maternelle.) Il faut parvenir en début de cycle 3 à ce que les élèves donnent instantanément les nombres qui précèdent et qui suivent.

Ce moment, en début de séance, est très apprécié des élèves. Pour que les élèves puissent tous participer et être attentifs à chaque nombre, les élèves disaient chacun leur tour un nombre que je montrai (qui étaient juste avant ou après le nombre dit).

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Précédemment, je cachais des nombres. Les élèves devaient être très attentifs car la consignes étaient : « Je dis les nombres non cachés. » On faisait un tour de classe dans l'ordre croissant de la frise, puis dans l'ordre décroissant. Puis la consigne devenait : « Je dis tous les nombres, même ceux cachés. » les élèves s'aidaient des nombres affichés pour trouver les nombres cachés. Ensuite, la consigne devenait : « je dis uniquement les nombres cachés. » les élèves devaient alors s'aider des nombres autour du nombre caché pour le trouver sans dire les autres nombres.

Ce temps est extrêmement important pour s'imprégner de la frise numérique et des nombres (ici jusqu'à 59).

3/ Les fonctions du calcul mentalLa fonction sociale

Le calcul mental est tout d'abord un calcul d'usage. Il faut que les élèves parviennent à mettre en place des stratégies efficaces qui leur seront utiles dans la vie courante. Bien que la calculatrice soit de plus en plus utilisée, il est néanmoins nécessaire de savoir faire un calcul approché qui permette de vérifier s'il n'y a pas eu erreur (frappe de touche par exemple).

On peut donc distinguer trois types d'objectifs :

− automatisation des calculs simples, pour avoir le résultat immédiatement

− avoir plusieurs stratégies pour résoudre des calculs plus complexes

− première maîtrise du calcul approché

Les mathématiciens ne sont pas d'accord sur l'usage de la calculatrice à l'école. Le mathématicien français René Thom qui a reçu la médaille Fields en 1958 rejoint certains maîtres qui considèrent que la calculatrice est un handicap pour les élèves dans le savoir calculer : « En autorisant l'usage de la calculette dès l'âge de six ou sept ans, on aboutit à une connaissance moins intime du nombre que celle à laquelle nous accédions grâce à la pratique du calcul mental. » Quant à lui, Stanislas Dehaene, membre de l'Académie des Sciences depuis 2005 et auteur de la bosse des maths, affirme que « l'usage raisonné de la calculatrice en libérant l'enfant des aspects fastidieux et mécaniques du calcul peut lui permettre de se concentrer sur le sens ».

Dans mes différents stages, la calculatrice n'est pas utilisée. Avec les CP/CE1, nous travaillons sur des nombres inférieurs à 60 pour les CP et inférieurs à 500 pour les CE1. Ces nombres doivent être connus et maîtrisés par les élèves. C'est pourquoi, la calculatrice n'avait pas sa place. Dans la classe de CM2, je travaille avec les élèves sur les fractions, je n'ai donc pas la possibilité d'intégrer la calculatrice car celles des écoles ne sont pas programmées pour travailler sur les fractions. Cependant, la manipulation de la calculatrice est à travailler. Il existe de nombreux jeux (cf. annexe 5) qui permettent aux élèves de manipuler et de comprendre le fonctionnement des calculatrices. Il existe aussi des exercices (cf. annexe 6) qui permettent aux enfants de voir que la calculatrice n'est pas forcément rapide. On peut donc faire des concours de vitesse pour voir qui est le plus rapide dans certains calculs (entre l'élève et la calculatrice).

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La fonction pédagogique

Le calcul mental joue également un rôle très important pour les autres compétences mathématiques :

− construire et renforcer les premières connaissances de la structuration arithmétique des nombres entiers naturels

− première compréhension implicite des propriétés des opérations

− premières manipulations des notions mathématiques en maternelle avec des jeux de manipulations sur les additions et les soustractions.

− l'élaboration de stratégies originales permet aux élèves de développer leur capacité de raisonnement. Pour chaque nouvelle notion de calcul, l'enseignant doit veiller à introduire dans sa séquence des moments de recherche de stratégies. Les élèves les exposent et ont ensuite le choix de la stratégie qu'ils utiliseront par la suite.

− la résolution de problème devient plus claire pour les enfants qui pratiquent le calcul mental car il apporte une aide dans la résolution.

Le calcul mental, comme le pensent certains maîtres, permet de vérifier les résultats en trouvant l'ordre de grandeur d'un résultat. En ce qui concerne la division exacte, en faisant la multiplication adéquate, l'exercice permettra d'atteindre le sens de ces deux opérations inverses l'une de l'autre.

Le calcul mental nécessite une intuition des nombres et de faire des choix. Il permet d'enraciner l'ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

4/ La mémorisationLes élèves ont beaucoup de difficultés à mémoriser les tables. C'est pourquoi il faut parvenir à les mettre dans des conditions de mémorisation optimales. On peut définir cinq conditions pour que la mémorisation soit optimale :

− La première condition réside dans la compréhension des opérations en jeu. Pour les tables d'addition, les élèves voient dans leur tête des objets qu'on ajoute, ou la frise numérique du tableau ; c'est une première étape de mémorisation. Il ne faut néanmoins pas que lors du calcul mental, les enfants puissent regarder la frise numérique du tableau ou avoir à leur disposition des jetons, car ce n'est plus du calcul mental. Les enfants peuvent néanmoins s'aider de leurs doigts, il ne faut ni l'encourager, ni l'interdire car dans ce cas, les élèves seraient dans l'incapacité de résoudre les problèmes proposés.

Dans ma classe de CP/CE1, je travaillais avec les CP sur les compléments de 5 et de 10. Pour commencer, nous avons répertorié les différentes décompositions que nous avons affichées au mur. Les élèves n'utilisaient que leurs doigts. Par la suite, certains élèves ont utilisé ces décompositions pour répondre plus rapidement. En leur faisant expliciter la procédure utilisée, ils permettaient aux autres élèves d'avoir les stratégies les plus rapides. À chaque nouveau calcul, les élèves explicitaient comment ils avaient trouvé le résultat grâce aux décompositions. Mais mon stage s'est terminé. Je n'ai pas pu continué la

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progression que j'avais en tête. Si j'avais continué, j'aurai petit à petit enlevé les décompositions afin que les élèves les mémorisent mieux.

− La deuxième condition est la prise de conscience nécessaire de l'intérêt qu'il peut y avoir à connaître un répertoire de résultats. Il peut être très intéressant dans un premier temps de noter les résultats au fur et à mesure des séances (les élèves peuvent s'y référer facilement). Quand la liste deviendra trop longue, il faudra organiser ces résultats et les compléter.

L'utilisation de la fiche permet ainsi aux élèves de se convaincre de l'utilité du calcul mental.

− La troisième condition veut que les élèves se rendent compte qu'ils mémorisent un répertoire de résultats.

C'est pour cela qu'il faut enlever progressivement (d'abord le retourner, puis les ranger à côté du tableau puis définitivement) les répertoires de résultats construits. Lorsque les élèves recherchent le résultat, ils se rendent plus ou moins compte qu'ils cherchent dans leur tête.

− La quatrième condition réside dans le fait que les élèves manipulent les résultats qu'ils connaissent déjà pour en trouver de nouveaux. Par exemple, 4 + 3 c'est 1 de plus que 3 + 3, etc. La mise en place de ces points d'appui est essentielle dans la suite de la mémorisation des répertoires additifs, soustractifs et multiplicatifs. De plus, certaines propriétés permet d'économiser le nombre de résultats d'opérations à retenir ; par exemple, 7 x 4 est comme 4 x 7.

Pour les tables d'addition et de soustraction que les élèves doivent apprendre, ils doivent utiliser progressivement des points d'appui que leur fournit l'enseignant : en s'aidant de la frise numérique, des doubles connus (5 + 4 c'est 1 de plus que 4 + 4), de la commutativité de l'addition (2 + 9 c'est comme 9 + 2), du passage par la dizaine supérieure (pour calculer 8 + 5, on ajoute d'abord 2 à 8 puis 3 à 10).

C'est pourquoi il faut faire expliciter aux élèves les plus rapides comment ils ont trouvé le résultat. C'est sûrement qu'ils avaient des stratégies plus efficaces que les autres.

− La cinquième condition montre la nécessité de s'entraîner le plus souvent possible pour favoriser la mémorisation. La répétition permet de donner un résultat sans avoir à réciter toute la table dans sa tête. Ce type d'exercice sera efficace si l'enseignant interroge les élèves dans un autre ordre que l'ordre croissant ou décroissant.

C'est pourquoi dans une séquence de calcul mental, il faut consacrer plusieurs séances à l'entraînement. La mise en place des stratégies prend une à deux séances tandis que l'entraînement nécessite bien cinq séances afin que tous les élèves aient mémorisé les résultats.

Il ne faut pas oublier que même si les élèves connaissent très bien leurs tables, il ne suffit pas qu'ils sachent que 5 + 8 = 13, il faut également qu'ils puissent donner rapidement le résultat d'opérations telles que 5 + 18 ou « combien de 5 pour aller à 18? ».

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Ceci fait parti de l'entraînement, mais à la fin de la séquence : c'est un prolongement nécessaire.

Pour les tables de multiplication, la reconstruction des résultats après avoir fait de nombreux jeux pour les construire est beaucoup plus difficile. Il faut parvenir avant la fin du cycle 3, à une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation (savoir répondre à la question « combien de fois 8 dans 72? »). Là encore, l'enseignant peut donner des points d'appui pour les apprendre : en s'aidant des résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5, du sur comptage, des carrés connus, de la commutativité de la multiplication, sur le fait que multiplier par 4 c'est multiplier deux fois par 2 ou que multiplier par 6 c'est tripler puis doubler, sur d'autres particularités des différentes tables.

Lors de la construction de la table de Pythagore, les élèves peuvent expliciter ces stratégies. Si elles n'apparaissent pas, l'enseignant se doit de donner ces stratégies très efficaces. Les stratégies doivent être écrites au tableau afin que tous les élèves (auditifs et visuels) puissent les assimiler.

Pendant ma formation à l'IUFM, nous avons pu nous rendre compte que la mémorisation des tables de multiplication (particulièrement difficiles à apprendre pour les élèves) peut être aidée par des jeux (cf. annexe 7 « jeu de Pythagore »). Ils permettent de voir les tables dans un ordre tout à fait aléatoire et dans les deux sens (42 c'est ... x ... mais est-ce le seul produit possible ? Ou alors 6 x 7 = ... et 7 x 6 = ...).

B. Place du calcul mental

1/ Par rapport aux séances de mathématiquesLe calcul mental est un moyen efficace de calculer, il a donc sa place dans toutes les matières de l'école car il faut que les élèves comprennent que calculer rapidement est un atout dans la vie quotidienne. C'est pourquoi, pour chaque élève, il faut une imprégnation forte c'est-à-dire utilisé dans toutes les disciplines.

Dès le CP, il faut que le calcul mental soit quotidiennement présent. Il faut aménager un temps pour le pratiquer. Ces temps serviront à s'entraîner, à entretenir et contrôler la mémorisation des résultats, à automatiser les procédures. Ces temps sont relativement courts, entre 5 et 10 minutes. Ces temps peuvent se faire en classe entière ou par groupe de 8 à 10 élèves. Afin de mettre les élèves dans l'activité, il est intéressant de faire une quasi-ritualisation qui permet de fixer l'attention. Pour ce qui est du calcul mental réfléchi, les séances peuvent être légèrement plus longues, d'un quart d'heure à une demi heure. Pour chaque question posée, il faut laisser un certains temps aux élèves pour réfléchir. Ces temps sont limités par des tops ou autres signaux sonores. Après l'exposition des résultats, les élèves explicitent les procédures et les stratégies mises en oeuvre. Les élèves démontrent quelle stratégie a été la plus rapide, la plus rentable, etc. L'enseignant termine par une brève synthèse. Néanmoins, les élèves gardent le choix de la procédure qu'ils préfèrent utiliser.

Les séances de calcul mental peuvent précéder ou suivre les séances de mathématiques ou encore être totalement décrochées. Dans le cas où la séance de

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calcul mental précède la séance de mathématiques, elle peut être un moyen de rappeler ce qui a été vu la séance précédente de mathématiques. Dans ce cas-là, le calcul mental est un moyen de contrôler ce qui a été acquis la séance de mathématiques précédente. C'est aussi un moyen d'amener un problème qui sera traité lors de ladite séance de mathématiques.

C'est ce que je fais avec les CM2. Il est nécessaire que le travail fait la semaine précédente soit revu afin d'avancer dans la séquence sans perdre trop de temps.

Lorsque la séance de calcul mental suit la séance de mathématiques, elle peut alors servir à appliquer mentalement ce qui a été vu au cours de la séance de mathématiques. Elle peut amener la séance de mathématiques suivante ou encore, elle permet à l'enseignant de faire le point sur ce que ses élèves savent et l'aidera à adapter le travail en fonction des résultats des élèves. Elle peut également servir à proposer d'autres procédures possibles pour des nombres plus simples.

Enfin, lorsque la séance de calcul mental est complètement décrochée, elle sera alors utile pour apprendre des techniques de calcul (comme par exemple, apprendre à multiplier par 11). Ces séances permettront également de s'occuper d'un groupe plus restreint d'élèves en difficulté en calcul mental pendant que les autres pourront faire des jeux de calcul mental individuellement.

Avec les CP/CE1, le calcul mental était une activité décrochée qui n'était pas en lien direct avec les activités propres aux séances de mathématiques. Néanmoins, il était plus simple et plus logique pour les élèves de faire du calcul mental pendant la séance de mathématiques. De plus le calcul mental est une manière de recentrer l'attention des élèves et de les amener, par une courte transition à une séance de mathématiques.

De toute façon, toutes ces plages de calcul mental ont leurs avantages. Durant l'année scolaire, il faudra les trouver toutes les trois.

2/ À quel moment de la journée ?Les travaux publiés dans le TESTU (qui est un journal mensuel d'information générale du Cantal) en 1994 montrent qu'au cours de la journée, il y a deux alternances de temps forts et de temps faibles dans l'attention et la capacité du traitement de l'information. Les résultats montrent que les élèves sont de plus en plus attentifs et concentrés au fil de la matinée, suivie d'une chute après le déjeuner puis à nouveau une progression de la vigilance au cours de l'après-midi.

Pour un éveil entre 6h30 et 7h et une entrée en classe à 8h30, on voit plusieurs phases d'attention. Vers 8h30 – 9h, le niveau de vigilance est faible (bâillements, étirements, affalements, calme). Après 9h, on observe une augmentation de la vigilance et du pourcentage d'élèves mobilisant leurs processus cognitifs (maximum de capacités intellectuelles).

Entre 13h et 15h, on observe un maximum d'élèves peu attentifs. C'est un moment de faible vigilance. Après 15h, on observe à nouveau une augmentation du niveau de vigilance.

Le calcul mental demande une attention importante et une forte concentration de la part des élèves. C'est pourquoi, en ce basant sur les travaux du TESU, les moments

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de calcul mental devrait se faire en fin de matinée et en fin d'après-midi.

Avec les CM2, les séances de calcul mental se font vers 9h15 – 9h30. J'ai choisi le créneau 9h15 – 10h avant la récréation pour faire les mathématiques car cela coupe deux séances de français (littérature et ORL). Avec les CP, ils avaient un créneau de mathématiques en début d'après-midi. Le matin était réservé à la lecture et à l'écriture, les débuts d'après-midi aux mathématiques, et pour terminer la journée par des activités avec les CE1. Cela pour que les deux niveaux soient coordonnés. Avec les CE1, ils avaient une séance de mathématiques avec moi en fin de matinée, ce qui est en accord avec les recherches faites. En début d'après-midi, ils avaient une autre séance de mathématiques en autonomie où ils faisaient des exercices d'application de ce qui avait été vu le matin.

C. Proposition d'activitésIl existe de nombreux exercices pour améliorer les capacités des élèves en gestion mentale. Par ces activités (cf. annexe 8), les élèves travaillent leur mémoire, les acquisitions, les propriétés des opérations. Elles peuvent prendre plusieurs formes :

− exercices de pur contrôle d'acquisition : exercices rapides, systématiques, mécaniques (écriture, lecture de nombres, dictée de nombres), contrôle des tables. Ces exercices n'utilisent pas (ou peu) les procédures de calcul mental mais on peut quand même, à l'occasion d'erreur, analyser comment retrouver un résultat oublié. (par exemple : 9 x 8, c'est (10x8) – (1x8) ou encore (9x4x2).

− Calcul mental « occasionnel » : il peut s'utiliser constamment, même lors d'autres activités, il permet de nombreux exercices de ce type. On peut aussi profiter de la correction collective d'exercices ou de problèmes pour mettre l'accent sur ce mode de calcul (au lieu de « reposer » l'opération.)

− Exercices plus systématiques : des séances spéciales peuvent être réservées au calcul mental, elles seront plus ou moins longues suivant que l'on fera des exercices de découvertes (manipulations, recherche, analyse des différentes méthodes, schématisation, réutilisation) ou que l'on contrôlera le savoir faire.

− Exercices de consolidation : ces exercices se font plutôt quand les élèves ont terminé un travail. Néanmoins, tous les élèves, surtout les élèves les plus en difficultés, doivent les faire, c'est pourquoi, il faudra aménager des temps pour ce type d'exercice.

III. Procédés de vérification

A. La MartinièreDispositif

Ce procédé est fortement conseillé par les programmes. Le maître pose les questions à l'oral et les élèves répondent à l'oral ou à l'écrit.

L'enseignant pose la question, les élèves réfléchissent en s'aidant ou non de leur ardoise, puis l'enseignant indique un « top » pour écrire le résultat et un second « top » pour montrer le résultat.

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Intérêt

Ce procédé permet de faire un contrôle rapide des élèves qui réussissent et de ceux qui sont en difficultés. L'enseignant peut alors demander les procédés utilisés et ainsi aider ceux qui sont le plus en difficulté.

Le fait que les élèves effacent leur ardoise et ne gardent pas trace de leurs erreurs permet de leur donner une autre chance. Il n'y a pas trace des erreurs. Dans certaines classes (notamment dans ma classe de CP/CE1), les élèves inscrivaient un point sur leur ardoise quand ils répondaient correctement, puis à la fin de la séance de calcul mental, ils comptaient les points. Cette manière de faire ne permet plus aux élèves s'étant trompés d'« oublier » leurs erreurs. Durant mon stage, je n'ai pas obligé les élèves à ne pas compter les points, mais je ne faisais pas de tour de classe, qui permet aux élèves de se situer, car les élèves ayant le plus de difficultés seront toujours les mêmes. Et ce n'est pas le but recherché. Le fait de ne pas garder trace des erreurs ne doit pas être remplacé par un classement des élèves. Le moment d'évaluation se fait plus tard, lorsque les élèves font le calcul mental sur feuille.

B. Sur feuilleDispositif

L'enseignant pose les questions. Les élèves réfléchissent et notent sur leur feuille le résultat. L'enseignant passe à la question suivante quand les élèves ont répondu. Les questions sont posées les unes après les autres.

Intérêt

Ce procédé permet à l'enseignant d'avoir une trace écrite de ce que les élèves ont fait. Il permet un contrôle des acquisitions des élèves. La place de ce procédé est à la fin d'une suite de séances sur un thème. Dans une classe de CM2 observée durant mes études, j'ai remarqué que l'enseignante faisait travailler un point particulier de calcul mental chaque semaine grâce au procédé La Martinière puis, le vendredi, les élèves étaient interrogés sur feuille.

Cette méthode est un procédé d'évaluation. Durant mon stage en CP/CE1, je n'ai pas eu le temps de faire cette partie de séquence. Néanmoins, grâce au procédé La Martinière, j'ai rapidement pu voir les élèves qui avaient encore des difficultés. Dans ma classe de CM2, j'ai pu en faire quelques unes après avoir fini de travailler sur une notion. Cette évaluation a permis aux élèves de voir où ils en étaient et de se situer dans l'acquisition de cette notion. Par la suite, j'ai pu ainsi mieux adapter mes séances de calcul mental et voir si les élèves pouvaient passer à la notion suivante.

C. Jeux ludiquesLes jeux ludiques permettent aux élèves de faire du calcul mental sans s'en rendre vraiment compte. C'est une motivation pour les élèves de « faire un jeu ».

Il existe une multitude de jeux qui abordent les objectifs du calcul mental. De plus les élèves ne sont pas pressés par le temps, ils peuvent réfléchir autant qu'ils veulent pour répondre à une question.

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Durant mes stages, tous les jeux étaient regroupés dans une corbeille. Une fois leur travail terminé, ou je précisais et mettais sur le dessus de la corbeille les jeux que les élèves devaient faire, ou ils choisissaient le jeu qu'ils préféraient. Ceci permet aux élèves de faire du calcul mental sans s'en rendre vraiment compte. Pour eux, c'est surtout un jeu. Ce côté du calcul mental permet donc aux élèves de ne pas voir le calcul mental comme trop contraignant. La classe de CM2 que je suis étant une classe qui a du mal à aimer travailler, ce principe est donc un atout majeur pour faire avancer les élèves. En annexe 9, j'ai ajouté toute une série de jeux plus ou moins difficiles. Ces jeux sont tirés de 101 jeux de nombres et de 123 jeux de nombres. Les dessins rappellent plus ou moins l'univers des élèves et les incitent donc à en faire. Ces jeux permettent aux élèves de jouer avec les nombres et de comprendre, d'une manière différente, ce qui est fait en classe.

Jeux de dominos

Les jeux de dominos permettent aux élèves de consolider leurs connaissances sur les égalités qu'il existe entre les nombres. Il existe également d'autres jeux de dominos qui appellent d'autres compétences comme les compléments à 10 ou à 20.

Voici un exemple de jeu pour les compléments à 10 :

9 + 1 5 + 5 4 + 6

Et un exemple de jeu pour les compléments à 20 :

17 + 3 8 + 12 10 + 10

Les élèves jouent et s'autocorrigent. Le positionnement des dominos est validé par les autres joueurs. Si les élèves ne se mettent pas d'accord, c'est l'enseignant qui fera la vérification.

Les jeux de dominos ne sont pas à utiliser en majorité dans les séances de calcul mental. C'est surtout un jeu que les élèves aiment faire et voient vraiment comme un jeu. À côté des boites de dominos, l'enseignant peut mettre plusieurs fiches de jeux qui permettra aux élèves de travailler sur ces notions sans l'aide de l'enseignant.

Jeux de dés

Les as

Ce jeu se joue avec 3 à 7 élèves. Le premier à jouer est celui qui fait le plus grand nombre de points au premier lancer de dés (les élèves doivent alors additionner les points des dés).

Il lance les 5 dés. Puis il place le ou les 1 au milieu de la table, donne le ou les 2 à son voisin de gauche, le ou les 5 à son voisin de droite et rejoue les dés restant. C'est-à-dire ceux qui indiquaient 4, 3 ou 6.

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Il continue ainsi à jeter les dés tant qu'il ne fait pas un as, un 2 ou un 5, puis c'est au joueur placé à sa gauche de jouer (celui qui a reçu les dés qui faisaient 2).Le gagnant est celui qui place le dernier 1 au milieu.

Par exemple, le premier joueur obtient les dés suivants :

Ce jeu est très intéressant pour apprendre à reconnaître 1, 2 et 5, sa droite et sa gauche. Pour gagner il ne faut pas compter que sur sa chance, les élèves doivent trouver des stratégies pour gagner.

Les jeux de dés peuvent être mis à côté des jeux de dominos, avec le même principe, les règles de jeux étant à disposition des élèves. Ces jeux permettent aux élèves de manipuler les constellations des nombres jusqu'à 6 et de travailler la comparaison et l'addition de nombres simples.

Le Marathon

Ce jeu se joue en cycle 3, il faut au moins 2 joueurs et 4 dés. Un marathon c'est la distance olympique qui correspond à 42,195 mètres. C'est aussi cette distance que les élèves vont devoir parcourir avec les dés.

Le premier joueur à commencer la course lance les 4 dés et les place de la manière qu'il veut pour composer un nombre de 4 chiffres. Par exemple il lance les dés et obtient 4.3.2.1, il peut choisir d'annoncer qu'il a déjà couru 4,321 mètres ou 3,241 mètres ou 1,234 mètres ou... tout autre combinaison de ces 4 dés.

Puis c'est au joueur suivant de procéder de la même façon.

À chaque tour on additionne les nombres retenus.

Lorsqu'un joueur n'a plus que 999 mètres à parcourir, il ne lance que 3 dés.

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À chaque tour il n'y a qu'un jet de dés mais les joueurs peuvent refuser d'additionner le nombre obtenu s'ils pensent qu'aucune des combinaisons n'est bonne à prendre. On annonce: "je reste sur place" ou "je passe".

Le premier joueur qui atteint 42,195 mètres est le vainqueur!

Ceux qui dépassent les 42,195 mètres sont éliminés. S'il ne reste qu'un seul joueur à ne pas être éliminé on peut aussi le déclarer gagnant. Sur ce même principe on peut faire varier la distance à accomplir.

Ce jeu fait manipuler les nombres décimaux : les comparer, les additionner, chercher les compléments. Ce jeu étant quelque peu complexe, il me paraît nécessaire de faire un apprentissage de la règle en groupe classe. Ce jeu permet aussi d'aborder les notions d'addition par la nécessité qu'implique le jeu.

Je n'ai pas encore eu l'occasion de faire ce jeu en classe avec mes élèves de CM2, néanmoins, je compte le faire à la fin de la séquence sur les nombres décimaux et avant d'aborder l'addition de ces nombres. Pour cela, je les ferai travailler en groupe de 6 à 8 joueurs pendant que d'autres sont en phase de recherche. Puis, je ferai tourner les groupes afin que chaque groupe ait pu faire l'apprentissage de la règle.

Ce jeu est un moyen de faire du calcul mental avec les nombres décimaux.

Il existe de nombreux autres jeux de dés qui travaillent différentes compétences en calcul mental.

Jeux de cartes

Au cycle 2, pour travailler sur les compléments à la dizaine. Il existe beaucoup de jeu.

Pour travailler les compléments à 10, l'enseignant propose une carte et les élèves doivent trouver le complément à 10.

=> L'élève répond 3

Pour travailler les compléments à la dizaine supérieure, l'enseignant propose deux cartes (une grisée qui représente les dizaines et une blanche qui représente les unités). Les élèves doivent trouver le complément à la dizaine supérieure.

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=> Pour aller à 60, il manque 7.

Jeu pour le cycle 2

Pour travailler l'addition de deux nombres, le jeu se joue à deux joueurs. Ils disposent de 10 cartes chacun. Un joueur tire deux cartes dans la pioche. L'autre joueur doit abattre le même nombre avec une ou deux cartes. Le vainqueur est celui qui s'est débarrassé de toutes ses cartes.

Jeu pour le cycle 3

Au cycle 3, on garde les cartes de 1 à 10. Le jeu se joue à deux joueurs ou plus. Les élèves commencent par tirer deux cartes qui donnent la cible (7 et 3 : la cible est 73). Ils tirent ensuite cinq cartes. À partir de ces cartes, ils doivent, en utilisant les signes +, -, x, se rapprocher le plus possible de la cible en un temps prédéterminé. Le gagnant est celui qui s'en approche le plus.

Les jeux de cartes tout comme les dominos et les dés sont à mettre dans un même coin de la classe avec les différentes règles de jeu mises en place avec la classe. Ces jeux permettent de travailler les comparaisons, les compléments, voire les additions.

Coloriages magiques

Il existe de nombreux coloriages magiques qui permettent de travailler différentes notions. Il en existe pour tous les cycles. (cf. annexe 10)

Les coloriages magiques sont très prisés par les élèves. Durant mes stages, je mettais des coloriages magiques dans la corbeille prévue aux exercices de calcul mental décrits plus haut. En CP/CE1, j'ai beaucoup utilisé les coloriages magiques faisant travailler les additions des nombres simples. En CM, je les ai fait plutôt travailler sur la recherche du bon nombre, sur le labyrinthe de nombres, etc. Quand les élèves ont terminé, je leur fais choisir parmi ceux que j'ai et que j'ai choisi en fonction de la notion récemment travaillée.

Pour que les élèves ne choisissent pas uniquement des coloriages magiques ou des mandalas ou d'autres jeux, je fais un tableau. Les jeux sont regroupés par type (coloriages, labyrinthe de nombres, problèmes, mandalas, ...). Pour chaque jour ou chaque lundis (avec les CM), les élèves savent ce qu'ils peuvent faire.

Nom des élèves Lundi Mardi Jeudi Vendredi Samedi

Mandalas Coloriages magiques

Labyrinthe ... ...

Il faut également intégrer les activités que les élèves peuvent faire dans les autres matières.

Je vérifie l'exactitude des jeux mais ne les note pas.

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Autres jeux

Ils existent un grand nombre d'autres jeux, que je n'ai pas pu essayer, en voici quelques uns.

- Jeux de loto

Les enfants disposent de cartons où sont inscrits les opérations que l'enseignant veut travailler. Dans un panier se trouvent les résultats de toutes les opérations des cartons. L'enseignant ou un autre élève pioche un résultat. Les élèves doivent ensuite trouver quelle opération correspond. Puis comme au jeu de loto, quand un élève a rempli une ligne ou son carton, il a gagné. Ce jeu permet de travailler sur la reconnaissance des nombres.

- Carrés magiques

Au cycle 2, les élèves doivent trouver les paires de nombres dont la somme est 10. Les élèves doivent trouver le nombre qui reste.

Au cycle 3, les élèves doivent trouver les paires de nombres dont la somme est 25. Ils doivent trouver le nombre qui reste.

Ce jeu a pour but d'aider les élèves à mémoriser les pairs utilisées le plus souvent et de les reconnaître de plus en plus rapidement.

- Autres jeux

Le quinze vainc est un jeu pour le cycle 3. Les deux joueurs disposent d'une piste de neuf cases, de trois jetons blancs et de trois jetons noirs. Chaque joueur, à tour de rôle, pose un pion sur une case libre. Le but est de totaliser 15 en additionnant les nombres associés à ses trois pions. Si personne n'a gagné lorsque les six pions sont posés, chaque joueur à tour de rôle, déplace un de ses pions vers une case libre, jusqu'à e qu'un des joueurs obtienne le total 15.

On peut changer la cible pour faire travailler les décompositions additives des nombres les plus fréquents (5, 10, 20, ...). Comme beaucoup de jeux, celui-ci

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nécessite une phase collective.

Jeux utilisant la calculatrice

Par exemple, le but du jeu serait de passer d'un nombre à un autre sans effacer le nombre inscrit sur la calculatrice. Un premier nombre est affiché sur l'écran (par exemple 146). Sans éteindre la calculatrice, les élèves doivent obtenir le nombre 366 en tapant sur un nombre minimum de touches. Pour répondre, l'élève doit remarquer que le nombre de centaines à avancer de 2 et qu'il faut donc ajouter 2 centaines, etc. pour cela l'élève utilise plusieurs connaissances : repérage des chiffres, valeur des chiffres en fonction de sa position, équivalence entre 2 centaines et 200.

Certains de ces exercices peuvent être proposés très tôt :

faire afficher 25 : sans effacer, faire afficher 26, etc.




Le but « tant toujours d'essayer de minimiser le nombre de touches frappées et de discuter des différentes méthodes utilisées.

La calculatrice étant un outil très controversé, je la ferai apparaître dans des jeux au début. Puis grâce à de tels jeux, les élèves ne s'en serviraient plus uniquement pour éviter de poser une opération ou calculer mentalement un résultat. Ces jeux nécessitent une réelle réflexion de la part des élèves.

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ConclusionNous avons donc vu un historique du calcul mental ainsi que la composition des programmes et les instructions officielles. Le calcul mental a toujours été pratiqué à l'école. Aujourd'hui, le ministère de l'Éducation Nationale indique que le calcul mental est à travailler dès l'école maternelle. Puis nous avons vu les fonctions du calcul mental et la place que celui-ci doit prendre dans la vie des élèves. Le calcul mental doit être un outil pour les autres matières mais nécessite un réel apprentissage. Enfin, nous avons abordés les procédés de vérification possibles. Bien que le procédé La Martinière soit très répandu et conseillé par les instructions officielles, il en existe beaucoup d'autres, comme les jeux.

Le calcul mental doit améliorer la fiabilité des résultats en laissant une large part à la réflexion et en amenant les élèves à prévoir, à organiser, à contrôler mentalement leur calcul écrit. En outre c'est l'occasion de convaincre les élèves que l'on peut faire des choses sur les nombres sans papier ni crayon. Ce point est important si l'on veut que les élèves assimilent les « nombres de l'école » et les « nombres du dehors » et qu'ils réinvestissent, à chaque fois que l'occasion s'en présentera, les compétences acquises en classe. Entraîner les élèves au calcul mental c'est leur donner un certain état d'esprit de vigilance, de critique par rapport à ce qu'ils font, c'est en somme les aider à atteindre leur autonomie.

Ce travail m'a beaucoup aidé dans mes classes. Par les recherches et la pratique, j'ai pu adapter mon travail en fonction des élèves et de leur niveau et les faire évoluer. Pour moi, le travail de calcul mental est une aide précieuse pour toutes les autres matières. En CM2, je l'ai beaucoup utilisé pour asseoir les compétences dans les autres notions de mathématiques, notamment les fractions. Il m'est apparu que le calcul mental, surtout lors de mon stage groupé en CP/CE1 mais aussi avec les CM2, avait sa place bien avant le calcul écrit. Les difficultés, révélées par les évaluations d'entrée en 6ème, des élèves sont peut-être dues au fait que les élèves ne font plus assez de calcul mental avant de faire les calculs écrits. De ce fait, quand ils doivent résoudre un calcul mentalement, ils utilisent la technique de l'écrit qui est très difficile à faire mentalement car ils ne connaissent pas les techniques de résolution rapide.

C'est pourquoi, il est important de faire du calcul mental très tôt et de le poursuivre tout au long de la scolarité des élèves.

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éducation, 1998

• BRASSEUR Gérard, 101 jeux de nombres pour les enfants de 5 à 8 ans, accès édition, 1999

• BRASSEUR Gérard, 123 jeux de nombres pour les enfants de 8 à 13 ans, accès édition, 1997

• Ministère de l’Education Nationale, Qu’apprend-on à l’école élémentaire?, 2002

• Ministère de l'Education Nationale, Mise en oeuvre du socle commun de connaissances et des compétences : l'enseignement du calcul, Bulletin officiel n°10 du 8 mars 2007

• CRDP Caen, Le calcul mental à l'école élémentaire, 1982• GENINET Armelle, La gestion mentale en mathématiques, Retz, 1980• Inspection générale de l'éducation nationale, L'enseignement des

mathématiques au cycle 3 de l'école primaire, Rapport n°2006-034, juin 2006

• Ministère de l'éducation nationale, documents d'accompagnement, le calcul mental

• mathsdossierspe2.creteil.iufm.fr/documents/FS_CALMENT.pdf• http://www.sauv.net/delord/calcul/5_ancien-moderne.html

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Annexe

ANNEXES

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Sommaire des annexes

Annexe 1 : épreuve de calcul mental aux CEP de 1930 et 1979

Annexe 2 : objectifs des programmes de 2002

Annexe 3 : progression possible pour une classe de CM2

Annexe 4 : jeux mis à la disposition des élèves de mes stages

Annexe 5 : jeu utilisant la calculatrice

Annexe 6 : fiche permettant de mesurer la rapidité

Annexe 7 : jeu avec la table de Pythagore

Annexe 8 : exercices possibles de calcul mental

Annexe 9 : jeux ludiques

Annexe 10 : coloriages magiques

I

ANNEXE 1

Voici un exemple d'épreuve de calcul mental proposé aux élèves au CEP.

En 1930 :

1/ J'ai deux achats : l'un de 490 F, l'autre de 105 F. Je paie avec un billet de 1000 F. Combien doit-on me rendre ?

2/ Combien pour 29,50 F aurai-je d'oranges à 50 centimes l'une ?

3/ Quel est, en un trimestre, l'intérêt de 1200 F à 6 % ?

4/Quel est le prix de 19 cahiers à 95 centimes le cahier ?

5/ Quel est le prix de 1,55 m de toile à 24 F le mètre ?

En 1979 :

1/ Quel est le poids de 11 caisses pesant chacune 63 kg ?

2/ Je donne un billet de 100 F pour payer un achat de 49,50 F. Que doit-on me rendre ?

3/ Un camion roule à la vitesse moyenne de 64 km/h. Quelle distance parcourt-il en 1 h ½ ?

4/ Combien rapportent annuellement 10 000 F placés à 6 % ?

5/ Quel est le prix de 1,5 kg de viande à 36 F le kg ?

II

ANNEXE 21/ Les objectifs du cycle 2

En élémentaire, en ce qui concerne le domaine de l'addition et de la soustraction, les élèves devront :

− ajouter ou retrancher 1 sur des nombres inférieurs à 20. Il faut que les élèves comprennent que c'est avancer ou reculer dans la frise numérique.

− Ajouter ou retrancher 2 et 5 sur des nombres inférieurs à 20. Pour ce qui concerne 2, il faudra distinguer les nombres pairs et les nombres impairs. Ces suites de nombres pourront être apprises dès la deuxième année du cycle 2. Pour 5, il faudra distinguer si le nombre de départ est multiple de 5 ou non. Le comptage de 2 en 2 et de 5 en 5 est donc un point d'appui important pour cette compétence.

− Ajouter ou retrancher 10 puis 100. Les élèves s'appuient sur le comptage de 10 en 10 et de 100 en 100.

− Connaître les compléments à 10, à 20 puis à la dizaine supérieure. Cette compétence est importante pour élaborer par la suite des stratégies de calcul. Un entraînement régulier est donc nécessaire pour parvenir à un résultat rapide et sûr.

− Décomposer des nombres inférieurs à 10 à l'aide du nombre 5 et décomposer des nombres inférieurs à 20 en s'aidant du nombre 10. Ce type de travail permet aux élèves d'avoir une meilleure représentation mentale des nombres.

− Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10 et décomposer un nombre inférieur à 10 sous forme additive. Ce travail est une première étape vers la construction du répertoire additif.

− Maîtriser le répertoire additif : somme de deux nombres inférieurs à 10, compléments, différences.

− Calculer des sommes, des différences du type 20 + 7, 27 – 7, etc. Ces exercices permettent d'améliorer la compréhension du répertoire additif.

− Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants. (20 + 30 par exemple)

− Ajouter ou retrancher un nombre à un chiffre à un nombre inférieur à 100, puis à 1000.

− Ajouter ou retrancher un nombre entier de dizaines ou de centaines à un nombre de 2 ou 3 chiffres.

− Ajouter ou retrancher deux nombres.

− Calculer des écarts ou des compléments. Dans des cas simples comme aller de 13 à 35, les élèves en fin de cycle peuvent parvenir au résultat mentalement.

− Identifier les nombres dont la somme est un « nombre rond » et les utiliser pour calculer des sommes de plusieurs nombres. Par exemple, le calcul de 12 + 9 + 8 + 31 peut être facilité en rapprochant 12 de 8 et 9 de 31.

− Adapter les stratégies utilisables pour soustraire. Pour faire 38 – 5, les élèves peuvent choisir d'enlever 5 à 38 ou de reculer de 5 cases sur la frise numérique.

III

En ce qui concerne le domaine de la multiplication et de la division :

− Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes. Connaître ces doubles et moitiés est un point d'appui pour la construction d'autres résultats.

− Connaître les doubles et moitiés de nombres clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25. Cette compétence est à viser en fin de cycle.

− Connaître les tables de multiplication par 2 et par 5. La régularité des résultats favorise la mémorisation.

− Multiplier par 10 et par 100.

− Calculer les doubles de nombres inférieurs à 50. Commencer par les doubles de nombres se terminant par 5 peut servir de point d'appui pour construire d'autres résultats.

− Calculer les moitiés de nombres inférieurs à 100 : nombres entiers de dizaines, nombres pairs. Il faudra privilégier les relations entre 5 et 10, entre 25 et 50, entre 50 et 100, etc.

− Calculer le produit de deux nombres inférieurs à 10. Dès la fin du cycle 2, les élèves doivent être capables de reconstruire les résultats.

− Utiliser un produit connu pour calculer un « produit voisin ». Pour calculer 7 x 6, c'est 7 x 5 plus 7 x 1.

Ces compétences sont à répartir sur les 3 années du cycle en sachant qu'en grande section de maternelle, il n'y a pas de compétences spécifiques. Les élèves doivent manipuler les nombres par des jeux avec des objets pour qu'arrivés en CP, ils puissent entrer plus facilement dans le calcul mental grâce à des représentations imagées qu'ils auront assimilées. En CP et CE1, une programmation sera nécessaire afin que des liens avec les séances de mathématiques soient clairs pour les élèves.

2/ Les objectifs du cycle 3

En ce qui concerne le domaine de l'addition et de la soustraction :

− Maîtriser le répertoire additif (tables d'addition) : somme de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associées. En cycle 3, les élèves stabilisent leurs connaissances des tables.

− Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers... ; calculer les compléments correspondants. Pour calculer 5000 – 2000, les élèves doivent s'appuyer sur leur connaissance de 5 – 2.

− Calculer, avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270 – 70, etc. Ce type de calcul nécessite une bonne connaissance de la numération chiffrée.

− Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) d'unités, de dizaines, de centaines, de milliers... à un nombre quelconque, dans des cas avec ou sans retenues.

− Calculer les compléments d'un nombre entier à la dizaine supérieure. Cette compétence est à retravailler en début de cycle 3 pour asseoir les connaissances des élèves.

IV

− Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure pour des nombres entiers dont le chiffre des unités est 0.

− Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000. C'est par exemple savoir que 75 = 50 + 25.

− Calculer certaines sommes de deux nombres décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier, ajouter un entier à un décimal.

− Décomposer un nombre décimal en utilisant l'entier immédiatement inférieur. Cette compétence est en lien direct avec la connaissance du système de l'écriture à virgule.

− Calculer les compléments à l'unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule. Il faut commencer par connaître les compléments à 1 des nombres à virgule comme 0,3 ou 0,5. Puis continuer en trouvant le complément comme 7,5 à 8 ou 9,5 à 10.

− Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux. Par exemple, 2,5 + 2,5 = 5 ; 1,5 + 1,5 = 3, etc.

− Ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds (10, 20, 30, ...). Savoir que 9, 19, 21 sont des nombres proches des dizaines ou des centaines entières peut être très pratique pour résoudre des problèmes.

− Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers en regroupant des termes « qui vont bien ensemble ». Les élèves doivent reconnaître rapidement les nombres qui dans une addition « vont bien ensemble » et donc faciliteront le calcul.

− Calculer des sommes et des différences de nombres entiers de 2 chiffres. Il faut faire attention à ne pas poser des calculs trop compliqués qui seraient plus rapidement résolus avec une calculatrice ou en posant l'addition ou la soustraction. Il faut se restreindre à des opérations tels que : 36 + 45, 65 – 13, 540 – 130, etc. Les élèves peuvent mettre en place plusieurs procédures qui seront efficaces pour ces types de calculs.

− Calculer des sommes ou des différences de nombres décimaux dans des cas simples. Cette compétence permet de conforter la compréhension de la valeur positionnelle des chiffres dans l'écriture d'un nombre.

− Calculer le complément d'un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur. Cette compétence est liée à la connaissance des compléments à 100 des nombres entiers à deux chiffres.

− Évaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : somme de deux ou plusieurs nombres entiers ou décimaux, différences de deux nombres entiers ou décimaux. Le calcul approché est une compétence nécessaire au calcul. Dans la vie quotidienne, on est plus souvent amené à faire des calculs approchés que des calculs exacts.

En ce qui concerne le domaine de la multiplication et de la division :

− Maîtriser le répertoire multiplicatif : produits de deux nombres inférieurs à 10, recherche de facteurs, quotients et décompositions associées. La stabilisation complète du répertoire multiplicatif nécessite au moins deux années de travail. Le repérage de régularités ou de particularités sur la table de Pythagore peut constituer une aide à la

V

mémorisation.

− Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des questions du type « combien de fois 8 dans 50 ? » ou « Diviser 50 par 8. » Ce type de calcul se travaille mentalement pour faciliter ensuite le calcul posé.

− Situer un nombre entre deux résultats d’une table de multiplication. Il s'agit de faire des encadrements du type : 4 x 5 < 22 < 5 x 5.

− - Multiplier et diviser par 10, 100, 1000... sur les nombres entiers. Diviser 250 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 250.

− Calculer des produits du type 30 x 4, 400 x 8, etc. Ce type de calcul permet d'étendre la connaissance de la table de multiplication.

− Connaître et utiliser les relations entre des nombres « repères » : 100, 1000 et 60 et leurs diviseurs. Ces relations doivent être du type double, moitié, quart, quadruple, etc.

− Multiplier et diviser par 10, 100... dans l'ensemble des nombres décimaux. Cette compétence est à la frontière entre calcul automatisé et calcul réfléchi.

− Connaître les relations entre certains nombres décimaux comme 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1.

− Calculer les doubles et les moitiés des nombres entiers inférieurs à 100 ou de nombres plus grands. L'appui sur les doubles et les moitiés est un point intéressant.

− Calculer les quadruples et quarts des nombres inférieurs à 100 ou de nombres plus grands (le calcul doit rester simple). Par exemple les élèves doivent trouver la moitié de la moitié de 360.

− Multiplier et diviser par 5, par 20, par 50. Il peut être intéressant de faire remarquer au élève que 5 est la moitié de 10 et que 50 est la moitié de 100.

− Multiplier un nombre par des nombres comme 11, 12, 9, 19, 21, etc. Il faut insister sur la variété des procédures. Plus généralement, on travaille grâce à la décomposition des nombres. 15 x 14 peut être résolu en ajoutant les résultats de 15 x 10 et de 15 x 4 ; en ajoutant les résultats de 15 x 10 et de 5 x 14 ; en calculant 15 x 7 puis en multipliant le résultat par 2 ; en multipliant 14 par 30 et en divisant le résultat par 2.

− Décomposer un nombre sous forme de produits de deux ou plusieurs facteurs. Les élèves doivent aller plus loin que les tables de multiplication. Par exemple 36, c'est 6 x 6 mais c'est aussi 18 x 2, 4 x 9, etc.

− Calculer mentalement un quotient et un reste entier dans des cas simples de division d'un nombre entier par un nombre entier.

− Évaluer l'ordre de grandeur d'un produit ou d'un quotient par un calcul approché. Si on souhaite une valeur approchée de 114 x 23, on peut calculer 100 x 20 qui fournit un ordre de grandeur acceptable.

− Utiliser la connaissance des tables pour calculer des produits simples d'un nombre décimal par un nombre entier. Au cycle 3, on se limitera à 0,8 x 7 ou 0,3 x 5, etc.

VI

ANNEXE 3Progression possible pour une classe de CM2

Période 1 :

Tables (addition et soustraction) dans l'ordre, à l'envers, au hasard.

Ajouter un nombre de 2 chiffres à un nombre de 1 chiffre sans retenue, la somme des unités étant 10.

Compter de k en k (2<k<11)

Ajouter deux nombres de 1 chiffre, puis en augmentant d'une dizaine le premier nombre.

Ajouter un nombre rond à un nombre rond.

Ajouter un nombre entier de centaines.

Ajouter 2 nombres terminés par 5.

Compter de 25 en 25.

Ajouter un nombre à 3 chiffres.

Période 2 :

Compléter un nombre rond immédiatement inférieur, supérieur.

Compléter un nombre rond.

Rendre la monnaie.

Additions successives.

Soustraire un nombre à 1 chiffre sans retenue, avec retenue.

Compter de k en k en rétrogradant (2<k<11).

Soustraire un nombre de 1 chiffre d'un nombre rond, soustraire un nombre rond.

Compter de k en k en rétrogradant (20<k rond<90).

Enlever un nombre de 1 chiffre d'un nombre qu'on augmente de 10 en 10 (3 ôté de 8, de 18, de 28, ...)

Soustraire 2 nombres dont les unités sont identiques.

Ajouter et retrancher 9, ajouter un nombre terminé par 9.

Période 3 :

Ajouter et retrancher 8, un nombre terminé par 8.

Soustraire un nombre de 2 chiffres sans retenue, avec retenue aux unités.

Soustraire un nombre de 2 chiffres d'un nombre de 3 chiffres avec retenue.

Soustraire un nombre de 3 chiffres.

Tables (multiplication) dans l'ordre, à l'envers, au hasard.

Tables de multiplication par 11, 12 et 15.

VII

Période 4 :

Multiplier par 10, 100, 1000.



Multiplier par 5, 50, 500 ... un nombre impair, pair.

Multiplier un nombre entier de dizaines, de centaines, de mille par un nombre de 1 chiffre.

Multiplier des nombres entiers de dizaines.

Multiplier un nombre de 2 chiffres par un nombre de 1 chiffre, un nombre rond, un nombre exact de centaines.

Multiplier deux nombres de 2 chiffres.

Multiplier par 9, 19, 8, 18.

Période 5 :


Divisibilité par 2, 5, 10, 25.

Divisibilité par 3, 9.

Diviser par 2, 4, 8.

Diviser par 10, 100, 1000.



Multiplier par 0,5 ; 0,25 ; 0,125.


Diviser par 25, 250.

Diviser par 3, par un nombre à un chiffre.

VIII

ANNEXE 4Voici quelques jeux que je mettais à disposition des élèves de CP/CE1 quand ils avaient fini leur travail.

IX

Voici le type de jeux que je mettais à disposition des élèves de CM2 quand ils avaient fini leur travail. (N'ayant qu'une photocopie par jour et par élève, il m'est difficile de leur en proposer beaucoup.)

X

ANNEXE 5Ce jeu ludique permet aux élèves de se familiariser avec la calculatrice.

XI

ANNEXE 6Prénom : ...............................................

Calcul mental – CalculatriceJour : ..................

Calcul Ton résultatPlus vite

que la calculatrice ?

Correction

Nombre de réponses justes : ....................... sur 10

Nombre de réponses justes trouvées plus vite que la calculatrice : ................. sur 10

Les élèves ont une feuille comme celle-ci chaque fois qu'ils font cet exercice. Quand un élève a la calculatrice, il note le nombre de fois où il s'est trompé (erreur de frappe, ...)

XII

ANNEXE 7Les élèves ont à leur disposition la table de Pythagore (ci-dessous) qu'ils auront construites avec l'enseignant et des jetons (représentant les résultats de la table).

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

Un élève tire au hasard 3 cartons et les place. Puis chaque joueur tire un certain nombre de jeton. Le but du jeu est de poser tous ses jetons. Pour cela, chacun leur tour, ils doivent placer un jeton dans une case adjacente par un côté à une case déjà occupée. Si le joueur ne peut pas jouer, il pioche un jeton. Si un joueur pose un jeton dans une case grisée, il peut se débarrasser d'un jeton.

Ce jeu permet aux élèves de revoir les multiplications dans un ordre tout à fait aléatoire.

XIII

ANNEXE 8Quelques exercices possibles

a) Exercices pour travailler la mémoire :

Les élèves doivent parvenir à se souvenir des données des problèmes. Pour cela, on peut faire avec eux des exercices du type « jeux de Kim ».

− L'enseignant dispose des nombres au tableau selon une configuration, il cache le modèle et redemande les nombres de certains points de la configuration.

− Copier rapidement des grands nombres qu'on ne sait pas lire.

− Restituer dans une liste donnée, les nombres dans le nom desquels on entend un certain phonème.

− Restituer un nombre, en fonction d'un critère, dans une liste donnée (donner le plus grand, le plus petit, ...)

b) Exercices en liaison avec la numération :

− L'ordre : le calcul mental s'appuie beaucoup sur la connaissance de la numération écrite et orale. Il est donc nécessaire d'accorder de l'importance à la notion d'ordre des nombres naturels.

c) Les opérations et leurs propriétés :

− l'addition : la commutativité est découverte en CP pour répertorier les écritures additives d'un nombre. Les élèves peuvent utiliser plusieurs procédés :

− s'appuyer sur l'algorithme écrit (qui est peu économique),

− s'appuyer sur l'ordre et la décomposition additive :

128 + 75 = 128 + (70 + 5)

(125 + 3) + 75

− utiliser les opérateurs : ajouter 9, c'est ajouter 10 et retrancher 1.

− La soustraction : quel que soit le type de problème, les élèves sont amenés à calculer l'écart entre deux nombres. L'initiation peut s'appuyer sur la demi-droite numérique.

− Exercices de « complémentation » : Paul a 87 billes, 49 sont vertes, les autres sont jaunes. Combien a-t-il de billes jaunes ?

− Paul a 87 billes, Pierre en a 49. Qui en a le plus ? Combien ?

− Paul a 87 €, il a dépensé 49 €. Combien lui en reste-t-il ? (l'écart apparaît sur la demi-droite numérique).

La recherche d'un écart pourra être traitée de différentes façons :

XIV

Cet exemple s'inscrit dans une démarche générale orale de « complémentation » sans rapport avec l'algorithme écrit.

− La multiplication :

− Jeu de consolidation : multiplication par 10, 100, 1000

− Pour commencer à apprendre les résultats des tables de multiplication, on peut faire des jeux à partir de la table de Pythagore. Par exemple, chaque joueur possède un certain nombre de pions représentants les résultats des multiplications. Les joueurs doivent placer chacun leur tour un pion dans une case adjacente à une case déjà occupée. Les élèves doivent pour cela connaître les résultats des tables. Après plusieurs tours de jeu, les élèves connaîtront de mieux en mieux leurs tables.

− La division :

− Diviser un nombre par 2, 4, 8 en tenant compte de la décomposition additive ou multiplicative des nombres

(par exemple : 1832 : 8 = (1600 + 200 + 32) : 8

= (1600 : 8) + (200 : 8) + (32 : 8)

− Diviser un nombre par 5, 50 ou 25 : Multiplier par 5 c'est multiplier par 10 et diviser par 2)

d) exercices de consolidation :

− On donne 4 nombres, un moule de calcul et le résultat.

Il faut trouver comment sont placés les 4 nombres dans le moule, changer un des nombres pour que le résultat augmente d'au moins 50, ajouter 10 à l'un des nombres, prévoir le nouveau résultat.

XV

ANNEXE 9101 jeux de nombres, accès édition (pour les 5 - 8 ans)

XVI

123 jeux de nombres, accès édition (pour les 8 – 13 ans)

XXI

ANNEXE 10Coloriages magiques

Pour le cycle 1

Pour le cycle 2

XXVIII

Pour le cycle 3travailler les multiplications

travailler les différentes opérations

XXIX

Quelles méthodes pour développer le calcul mental ?

Résumé : Le calcul mental est une discipline des mathématiques qui est nécessaire dans la vie quotidienne. Afin d'aider les élèves à mieux comprendre cette utilité, il faut, de la part de l'enseignant, diversifier et rendre ludique cette activité.

Mots clefs : mathématiques : disciplines, calcul mental, nombre, autonomie

IUFM de Bourgogne, centre de Mâcon

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Quelles méthodes pour développer le calcul mental€¦ · Exemple 1 : Multiplication mentale de...

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