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CHAPITRE 1

LES NOMBRES COMPLEXES

L’ensemble N = 1, 2, 3, . . . des entiers naturels est fermé sous l’addition m + n et lamultiplication mn mais pour pouvoir résoudre pour x toute équation du type

x + m = n, m, n ∈ N,

il faut passer aux entiers relatifs Z = 0, ±1, ±2, . . ..Et pour être capable de résoudre pour x toute équation de la forme

px + q = 0, p, q ∈ Z,

il faut aller chercher les nombres rationnels Q =

p

q/ p, q ∈ Z, q 6= 0

. Ce dernier système

est fermé sous les quatre opérations de l’arithmétique mais on ne peut y résoudre pour xtoute équation du type

x2 = a, a ∈ Q.

Les nombres réels R permettent de résoudre certaines de ces équations mais pas toutes.Leur ensemble muni de la valeur absolue | | est un espace métrique qui est de plus completau sens où toute suite (un)n∈N qui satisfait la condition de Cauchy lim

m,n→+∞|xm − xn| = 0

y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une solution de l’équation

x2 + 1 = 0.

Il faut pour cela construire le corps des nombres complexes C.

I. Propriétés algébriques

I.1 Structure

On appelle ensemble des nombres complexes noté C, l’ensemble des couplesz = (x, y) de R2 muni des loisQuels que soient z = (x, y) et z′ = (x′, y′) de C :• z + z′ = (x + x′, y + y′).• zz′ = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).

Définition I.I.1.1.

L3 - Analyse Complexe Fabien PUCCI

6 Les nombres Complexes

⋄ Muni de ces deux lois, C est un corps commutatif : 0 = (0, 0) est l’élément neutrepour l’addition, 1 = (1, 0) est l’élément neutre pour la multiplication et l’inversemultiplicatif de (x, y) 6= (0, 0) est

(

x

x2 + y2,

−y

x2 + y2

)

.

⋄ En identifiant (x, 0) ∈ R2 avec x ∈ R et en posant i = (0, 1),

C = z / z = x + iy avec x, y ∈ R et i2 = −1.

On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres réels en rem-plaçant partout i2 par −1.

⋄ De plus, l’application injective j : R 7−→ C

x (x, 0)plonge R dans C et permet de

voir C comme un R-ev de dimension 2 dont une base est (1, i).⋄ Le nombre réel x est la partie réelle de z, le nombre réel y sa partie imaginaire,

x = Re z, y = Im z.

⋄ Interprétation géométrique : On peut représenter C comme le plan (xOy) munid’une base orthonormée où 1 est le premier vecteur de base et i le second.A chaque nombre complexe z = (x, y) on peut associer le point M de coordonnées(x, y) . On dit alors que z est l’affixe du point M .

1 R

i

iR

x

bM(z)

y

Figure I.1.1 – Le plan complexe

I.2 Module et Argument

⋄ Le nombre complexez = x − iy

est le conjugué de z. Pour tout nombre complexe z1 et z2,

z1 + z2 = z1 + z2 et z1z2 = z1z2.

Fabien PUCCI L3 - Analyse Complexe

I.Propriétés algébriques 7

⋄ On a les formules évidentes mais bien utiles :

Re z =z + z

2et Im z =

z − z

2i.

donc, en particulier :– Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.– Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.

⋄ Interprétation géométrique : Le point d’affixe z est le symétrique du point d’affixez par rapport à l’axe réel.

O

bM(z)

b

|z|

arg z

− arg z

M(z)

Figure I.2.2 – Conjugué d’un nombre complexe

⋄ Le nombre positif|z| =

√

x2 + y2

est le module de z. Pour tout nombre complexe z1 et z2,

|z1z2| = |z1||z2|,∣∣∣∣

z1

z2

∣∣∣∣ =

|z1||z2|

, z2 6= 0 (I.2.1)

et |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|,avec égalité si et seulement si z2 est un multiple réel de z1.

⋄ De (I.2.1), on déduit que l’ensemble des nombres complexes de module 1 est unsous-groupe multiplicatif de C. On note

U = z ∈ C / |z| = 1.

⋄ Interprétation géométrique : Si M est le point d’affixe z, |z| = ‖−−→OM‖.

⋄ On remarque que

zz = |z|2 et1z

=z

|z|2 .

⋄ Les nombres complexes, étant des points du plan, admettent une forme polaire. Siz 6= 0, on peut écrire

z = r(cos θ + i sin θ)

= reiθ (Ce n’est ici qu’une simple définition pratique).



où le nombre r = |z| est le module de z et l’angle

θ = arg z =

arcsiny

|z| si x > 0,

π − arcsiny

|z| si x 6 0, y > 0,

−π − arcsiny

|z| si x 6 0, y 6 0

1 (I.2.2)

est son argument (principal). Donc, par définition,

−π 6 arg z < π.

L’ensemble arg z + 2πZ est l’ensemble des arguments du nombre complexe z.En d’autres termes la fonction θ 7−→ eiθ n’est pas une bijection de R sur le cercleunité et on ne peut donc en définir un inverse continu sur tout ce dit cercle. Lafonction argument définie ici n’est continue que sur C privé de la demi-droite R−

2.Nous reviendrons sur ce problème très important de la définition de l’argumentlorsque nous essaierons 3 de définir la fonction logarithme complexe.L’argument est l’angle formé par la demi-droite réelle R+ et la demi-droite reliantl’origine au point M(z). Le nombre 0 n’a pas d’argument et pour tout z1, z2 ∈ C∗,on a

arg z1z2 ≡ arg z1 + arg z2 (2π).

O

M(z1)|z1|

θ1

M(z2)

|z2|

θ2

M(z1z2)

|z1z2|

θ1 + θ2

Figure I.2.3 – Interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes

Cette représentation des nombres complexes permet une interprétation géométriquedu produit. à l’aide des identités trigonométriques réelles connues. Ainsi, la multipli-cation de deux nombres complexes multiplie les modules et additionne les arguments.

1. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur]

−π

2,

π

2

[

. Elle admet donc une fonction

réciproque strictement croissante

arcsin : ] − 1, 1[ 7−→]

−π

2,

π

2

[

.

Ces fonctions seront définies rigoureusement en III.2 page 1032. Un tel domaine est aussi appelé une coupure de C.3. et nous réussirons !


II.Propriétés topologiques 9

⋄ Pour tout n ∈ Z et t ∈ R, on démontre par récurrence les relations de Moivre :

(cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt.

II. Propriétés topologiques

Muni de la norme z 7−→ |z|, C est un C-espace vectoriel normé. En particulier, quelsque soient z1, z2 et z3,

|z3 − z1| 6 |z3 − z2| + |z2 − z1|.

O

z1

z2

z3

|z2 − z1|

|z3 − z1|

|z3 − z2|

Figure II.0.4 – Inégalité triangulaire : |z3 − z1| 6 |z3 − z2| + |z2 − z1|

Cette norme permet de définir une distance sur le corps C :

d(z, z′) = |z − z′|, (II.0.3)

qui n’est autre que la distance euclidienne ‖ ‖ dans le plan R2.

II.1 Suites

⋄ Une suite (zn)n∈N de nombres complexes converge vers 0 si limn→+∞

|zn| = 0 c’est-à-dire

∀ε ∈ R∗+, ∃n0(ε) > 0 / n > n0 =⇒ |zn| 6 ε.

On note limn→+∞

zn = 0.

⋄ Une suite (zn)n∈N de nombres complexes converge vers un nombre complexe z si(z − zn)n∈N converge vers 0 c’est-à-dire si

limn→+∞

|zn − z| = 0.

On note limn→+∞

zn = z.



O

bcz

|z|

bcRez

bcImzsup (| Re z|, | Imz| )

|Re z| + | Imz|

Figure II.1.5 – Encadrement de |z|

⋄ En vertu des inégalités sup | Re z|, | Im z| 6 |z| 6 | Re z| + | Im z|, on a

limn→+∞

zn = z si et seulement si(

limn→+∞

Re(zn) = Re z et limn→+∞

Im(zn) = Im z)

.

En conséquence, les règles de calcul concernant la limite d’une somme, d’une diffé-rence, d’un produit ou d’un quotient restent valables.

⋄ Le plan achevé C s’obtient du plan complexe C par adjonction d’un point ∞ àl’infini :

C = C ∪ ∞.

Par définition,

zn −−−−→n→+∞

∞ ⇐⇒ |zn| −−−−→n→+∞

+∞.

Ainsi,

zn −−−−→n→+∞

∞ si et seulement si1zn

−−−−→n→+∞

0.

zn −−−−→n→+∞

∞ et wn −−−−→n→+∞

a implique zn + wn −−−−→n→+∞

∞.

zn −−−−→n→+∞

∞ et wn −−−−→n→+∞

a 6= 0 implique znwn −−−−→n→+∞

∞.

⋄ Toute suite de points de C contient donc une suite partielle convergeant vers unpoint de C. 4

⋄ De plus, muni de la distance 5 définie en (II.0.3),(

C, | |)

est un espace métriquecomplet, c’est-à-dire que le critère de Cauchy est valide :

(zn)n∈N converge si et seulement si limm,n→+∞

|zm − zn| = 0.

4. Par construction C est compact.5. notée encore | |



II.2 Ouverts et Fermés

Un ensemble F ⊂ C est fermé si la limite de toute suite convergente (zn)n∈N depoints de F est dans F .

Définition I.II.2.2 (Fermé).

Exemples:

– Un disque fermé D(a, R) = z ∈ C / |z − a| 6 r est fermé. Un demi-plan ferméz ∈ C / az + az > 0 est fermé.

b

ab

ab

a

r b

O

a

a

az + az = 0

az + az > 0

Figure II.2.6 – Disque et Demi-plan du plan complexe

– Toute intersection, toute réunion finie d’ensembles fermés sont des ensembles fermés.D’une manière générale,

Soit A une partie de C. Les points de E qui sont limites d’une suite de points deA sont dits adhérents à A et leur ensemble, noté A, est appelé l’adhérence de A.

Définition I.II.2.3 (Adhérence d’une partie).

Exemple: L’adhérence d’un disque ouvert de centre a et de rayon r est le disque fermé.Ci-dessous, une conséquence importante de la complétude de C :

Si (Fn)ninN est une suite décroissante pour l’inclusion de fermés non vides de C

telle que limn→+∞

diam(Fn) = 0 alors il existe un z0 ∈ C tel que

⋂

n∈N

Fn = z0.

Théorème I.II.2.4.

Preuve: Notons Γ =⋂

n∈N

Fn. Par la décroissance de la suite des diamètres, Γ est soit vide, soit

réduite à un point. Montrons qu’elle est non vide.Les Fn étant non vides, choisissons pour tout n ∈ N, un point zn ∈ Fn. Comme lim

n→+∞diam(Fn) = 0,



la suite (zn)n∈N est de Cauchy dans C complet donc converge.Comme les Fp sont fermés pour tout p ∈ N et que zn ∈ Fp dès que n > p, la limite z0 de (zn)n∈N

appartient à Fp pour tout p, donc à Γ. Ainsi Γ 6= ∅.

Ce thèorème sera la clé de voûte de la démonstration du théorème V.II.3.17 de Cauchy-Goursat page 138.

Un ensemble U ⊂ C est ouvert si son complémentaire U c = C \ U est fermé.

Définition I.II.2.5 (Ouvert).

Exemples:

– Un disque ouvert D(a, r) = z ∈ C / |z − a| < r est ouvert. Un demi-plan ouvertz ∈ C / az + az < 0 est ouvert.

– Toute réunion, toute intersection finie d’ensembles ouverts sont des ensembles ou-verts.

Soit U ⊂ C. Alors U est ouvert si et seulement si pour tout z0 ∈ U , il existe unr > 0 tel que D(z0, r) ⊂ U . 6

Proposition I.II.2.6.

Preuve: La condition est nécessaire. Si elle n’était pas satisfaite c’est-à-dire

∀n ∈ N, ∃zn ∈ Uc / zn ∈ D(

zn,1n

)

.

On pourrait trouver une suite (zn)n∈N d’élément de Uc convergeant vers z0. Or, U ouvert supposeUc fermé c’est-à-dire z0 ∈ Uc ce qui est absurde.

La condition est suffisante. Soit (zn)n∈N une de points de Uc qui converge vers un point z.Si z ∈ U alors il existe un un petit disque centré en z inclus dans U ne contenant que des pointsde U et la suite ne peut donc converger vers z. Ce-dernier est donc dans Uc qui est donc fermé.Autrement dit, U est ouvert.

Soit z0 un un point de C.Une partie de C est appelé un un voisinage (ouvert) de z0 si et seulement si ilcontient un ouvert contenant z0. 7

On note souvent V(z0) l’ensemble des voisinages de z0.

Une partie de C est appelé un voisinage de l’infini si et seulement si son complé-mentaire est borné.

Définition I.II.2.7 (Voisinages).

6. On dit plus couramment que U est un ouvert si et seulement si il est voisin de tous ses points.



Exemples:

– Un ouvert est voisinage de chacun de ses points d’après I.II.2.6. 8

– Une droite ou un segment n’est voisinage d’aucun de ses points dans C. 9

– A = z ∈ C/|z| > 1 est un voisinage de l’infini car son complémentaire C\A = D(0, 1)est borné.

– Une droite (∆) n’est pas un voisinage de l’infini car son complémentaire dans C

n’est pas borné.

A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞) A ∈ V(∞)

Figure II.2.7 – Voisinages de l’infini

La notion de point adhérent sera un outils très utile par la suite ; aussi en voici diversescaractérisations.

Soit A ⊂ C. Pour tout z ∈ C, on a les propriétés équivalentes suivantes :

1. Il existe une suite (zn)n∈N de points de A telle que z = limn→+∞

zn.

2. Tout fermé F contenant A contient z.

3. Pour tout ouvert U contenant z, on a U ∩ A 6= ∅.

Proposition I.II.2.8 (Caractérisation de l’adhérence d’une partie).

L’assertion 2 exprime que l’adhérence d’une partie A est en fait le plus petit fermécontenant A.

Preuve:1 ⇒ 2 : Le fait que z ∈ F est la définition même de F .2 ⇒ 3 : Soit U un ouvert contenant z. Si U ∩ A = ∅, le fermé F = C \ U contient A mais

z 6∈ F ce qui contredit 2.

3 ⇒ 1 : Pour tout entier n ∈ N, le disque ouvert D(

z,1

n + 1

)

contient z donc elle in-

tersecte A et on construit ainsi une suite (zn)n∈N d’éléments de A tels que ∀n ∈ N,

zn ∈ D(

z,1

n + 1

)

∩ A c’est-à-dire convergente vers z.

7. La définition est analogue pour les voisinages fermés.8. Ici, la définition se mord un peu la queue.9. Alors qu’ils le sont dans R. Il est difficile de tracé un disque (de rayon non nul) sur une droite sans

déborder !



Soient A ⊂ C et a ∈ C. On dit que a est un point d’accumulation de A si etseulement si tout voisinage de a rencontre A \ a.Un point de A qui n’est pas un point d’accumulation est dit isolé dans A.

Définition I.II.2.9 (Point d’accumulation).

II.3 Compacité

Un ensemble E ⊂ C est dit borné s’il existe r > 0 tel que E ⊂ D(0, r).

Un ensemble E de C est dit compact si et seulement si il est à la fois fermé etborné.

Définition I.II.3.10 (Compact).

Soit E ⊂ C. Alors E est compact si et seulement si de toute suite (zn)n∈N de pointsde E on peut extraire une sous-suite

(

zϕ(n)

)

n∈Nqui converge dans E.

Théorème I.II.3.11 (Bolzano-Weierstrass).

Preuve: La condition est nécessaire. Comme E est borné, toute suite (zn)n∈N de E l’est aussidonc aussi les suites réelles définies par ses parties réelles et imaginaires. On peut donc extraireune sous-suite convergente de chacune d’elle et former une sous-suite

(zϕ(n)

)

n∈Nconvergent vars

un élément nécessairement dans E fermé.Réciproquement, si (zn)n∈N est suite d’éléments de E convergente vers un élément z alors

toute sous-suite de (zn)n∈N converge vers z et z ∈ E qui est donc fermé. De plus, si E n’étaitpas borné on pourrait construire une suite (zn)n∈N d’éléments de E vérifiant, par exemple,|zn+1| > |zn|+1 qui contredirait l’hypothèse comme quoi on peut extraire une sous-suite conver-gente de (zn)n∈N qui serait nécessairement bornée.

Soit E ⊂ C. Alors E est compact si et seulement si tout recouvrement de E pardes ensembles ouverts

(

Oi

)

i∈Icontient un sous-recouvrement fini. 10

Théorème I.II.3.12 (Heine-Borel-Lebesgue).

10. Cette propriété est en fait la définition générale d’un compact en topologie : un espace est compactsi et seulement s’il est séparé et a cette propriété.


III.Les fonctions complexes 15

Preuve: La condition est nécessaire. Considérons d’abord le cas du carré E = [−r, r] × [−r, r]de côté 2r . S’il existe une famille d’ensembles ouverts

(Oi

)

i∈Irecouvrant E mais dont aucune

sous-famille finie ne recouvre E, l’un des quatre carrés de côté r, [−r, 0] × [−r, 0], [−r, 0] × [0, r],[0, r]× [−r, 0] et [0, r]× [0, r] ne peut pas être recouvert par une sous-famille finie. Par récurrence,on construit ainsi une suite décroissante

(Kn

)

n∈Nde carrés emboîtés de côté

r

2nqui ne peuvent

pas être recouverts par une sous-famille finie de(Oi

)

i∈I. Pour tout n ∈ N, Kn 6= ∅ donc ∀n ∈ N,

∃zn ∈ Kn. Comme limn→+∞

r

2n= 0, la suite (zn)n∈N est de Cauchy dans C complet donc converge

vers un élément z ∈ E et appartenant à tous les Kn (fermés). Il existe donc un ouvert Oiz

c’est-à-dire un (petit) recouvrement fini contenant z et tous les carrés Kn pour n assez grand,en contradiction avec leur définition.

K K1

K2

K3

E

bc z0

bc z1

bc z2

bc z3

bc z

Figure II.3.8 – Propriété de Borel-Lebesgue

Dans le cas général, E est compact donc borné donc contenu dans un carré de la forme[−r, r] × [−r, r] avec r > 0 dont

(Oi

)

i∈I∪ Ec est un recouvrement ouvert. On peut donc en

extraire un sous-recouvrement fini qui recouvre évidemment E.

La condition est suffisante. E ⊂⋃

n∈N

D(0, n), recouvrement de E par des ouverts dont on

peut extraire un recouvrement fini. E est alors contenu dans la boule ouverte de rayon maximal,donc borné.E est fermé car si une suite (zn)n∈N de points de E convergeait vers z 6∈ E, les complémentaires

des ensembles(

D(

z,1n

))

n∈N

constitueraient un recouvrement de E par des ouverts dont on

ne pourrait extraire aucun sous-recouvrement fini.

III. Les fonctions complexes

Les propriétés des fonctions continues de C vers C sont analogues à celles des fonctionscontinues de R vers R. La plupart de ces dernières admettent d’ailleurs une extensionsimple à des fonctions de la variable complexe.



III.1 Fonctions continues

Soient E ⊂ C un ensemble, z0 ∈ E un de ses points et f : E 7−→ C une fonction.Les énoncés suivants sont alors équivalents :

1. Pour toute suite (zn)n∈N de points de E convergeant vers z0, la suite(

f(zn))

n∈Nconverge vers f(z0).

2. ∀ε > 0, ∃η(ε, z0) > 0 tel que

|z − z0| < η =⇒ |f(z) − f(z0)| 6 ε.

3. L’image réciproque de tout ouvert C par f est un ouvert de C.

Lorsqu’ils sont satisfaits, la fonction f est dite continue en z0. Elle est continue surE si elle est continue en tout point de E.

Si le nombre η(ε, z0) peut être choisi indépendamment de z0, on dit que f estuniformément continue sur E.

Définition I.III.1.13.

Une fonction complexe est donc continue si et seulement si sa partie réelle et sa par-tie imaginaire le sont toutes les deux. Ainsi, sommes, différences, produits, quotients etcompositions de fonctions continues (lorsqu’elles sont définies) sont continues. De même,toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

III.2 Les grands théorèmes

Une fonction continue sur un ensemble compact y est uniformément continue.

Théorème I.III.2.14 (Heine).

Preuve: Soient E ⊂ C un ensemble compact et f : E 7−→ C une fonction continue.Soit ε > 0. Pour tout z ∈ E, il existe un réel positif ηz > 0 tel que

∀z′ ∈ E, |z − z′| < ηz =⇒ |f(z) − f(z′)| 6 ε

2.

On peut donc recouvrir E par la famille d’ouverts(

D(

z,ηz

2

))

z∈E

. Comme E est compact,

il existe une partie finie J de E telle que E ⊂⋃

z∈J

D(

z,ηz

2

)

. Comme J est fini, on peut poser

η = minz∈J

ηz strictement positif.

Soient alors z et z′ deux éléments de E tels que |z − z′| <η

2. Il existe z0 ∈ J tel que

z′ ∈ D(

z0,ηz0

2

)

d’où |z − z0| 6 |z − z′| + |z′ − z0| 6 ηz puis |f(z) − f(z0)| 6 ε

2.

On obtient alors|f(z) − f(z′)| 6 |f(z) − f(z0)| + |f(z0) − f(z′)| 6 ε.


III.Les fonctions complexes 17

f est donc uniformément continue sur E.

L’image d’un ensemble compact par une fonction continue est un ensemble com-pact.

Théorème I.III.2.15.

Preuve: Soient K un ensemble compact de E et(Ui

)

i∈Iun recouvrement d’ouverts de f(K).

Comme f est continue,(f−1(Ui)

)

i∈Iest un recouvrement de K par des ouverts dont on peut

extraire un recouvrement fini(f−1(Ui)

)

i∈JJ fini

par compacité de K.(Ui

)

i∈JJ fini

est alors un recouvrement fini de f(K) qui est donc compact (dans f(E)).

Sur un ensemble compact, le module, la partie réelle et la partie imaginaire d’unefonction continue atteignent une valeur minimum et une valeur maximum. 11

Corollaire I.III.2.16 (Théorème des valeurs intermédiaires).

Preuve: Soit f : E 7−→ R l’une des applications citées dans le corollaire avec E un compact deC.D’après I.III.2.15, f(E) est compact donc borné et fermé. Comme f(E) est borné il existe α etβ dans E tels que α = inf f(E) et β = sup f(E). Comme E est fermé α, β ∈ E.

Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine.On dit que C algébriquement clos.

Théorème I.III.2.17 (D’Alembert-Gauss).

Preuve: Soit P ∈ C[X] de degré p ∈ N∗ c’est-à-dire P = apXp + . . . + a1X + a0 avec ap 6= 0.considérons A = |P (z)| / z ∈ C. A est une partie non vide et minorée (par 0) de R donc elleadmet une borne inférieure α = inf A. Le but de cette démonstration 12 est de montrer que cetteborne est atteinte puis que α = 0, ce qui suffira.

– ∀z ∈ C, on peut écrire apzp = P (z) −p−1∑

k=0

akzk. Si |z| > 1 alors

|apzp| 6 |P (z)| +p−1∑

k=0

|ak||zk| 6 |P (z)| + pM |z|p−1 où M = max06k6p−1

|ak|.

Par suite, |P (z)| > |ap|z|p − pM |z|p−1 −−−−−→|z|→+∞

+∞. L’ensemble des z ∈ C tel que

|P (z)| 6 α + 1 est borné.

11. On dit plus couramment qu’une fonction continue (à valeurs réelles) sur un compact atteint sesbornes.

12. Il en existe bien d’autres !



– Par définition de la borne inférieure, on peut considérer une suite (zn)n∈N à valeurs com-plexes telle que P (zn) −−−−−→

n→+∞α. Cette suite est bornée donc, d’après le théorème de

Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente(zϕ(n)

)

n∈N. Notons ω sa

limite.Par continuité de P , on a P (ω) = α.

– Il ne reste plus qu’à montrer α = 0. Supposons le contraire et, par exemple, α > 0. De

plus, quitte à considérer le polynômeP (X + ω)

α, on peut supposer :

ω = 0 et α = minz∈C

|P (z)| = 1 = a0.

et écrire :

P = 1 + aqXq +p∑

k=q+1

akXk, où q est le premier indice tel que aq 6= 0.

Soit aq = ρeiθ sous sa forme polaire et considérons z = rei θ+π

q , r > 0. On a :

P (z) = 1 − ρrq +p∑

k=q+1

akrkei θ+π

q

|P (z)| 6 |1 − ρrq| +p∑

k=q+1

|ak]rk.

Pour r suffisamment petit, on obtient :

|P (z)| 6 1 −

ρrq +p∑

k=q+1

|ak]rk

︸︷︷︸

∼r→0

ρrq>0

.

On peut donc trouver des z ∈ C tels que |P (z)| < 1 = minz∈C

|P (z)| ce qui contredit la

définition de α.

Quels que soient les nombres complexes a0, a1, . . . , an 6= 0, une équation polyno-miale de degré n,

a0 + a1z + . . . + anzn = 0,

admet exactement n racine complexes.

Corollaire I.III.2.18.


IV.Connexité 19

IV. Connexité

IV.1 Ensembles connexes

On dit qu’un ensemble E ⊂ C est connexe s’il vérifie l’une des propositions équi-valentes suivantes :

1. Il n’existe pas de partition de E en deux ouverts disjoints non vides.

2. Il n’existe pas de partition de E en deux fermés disjoints non vides.

3. Les seules parties ouvertes et fermées de E sont ∅ et E.

4. Toute application continue de E dans 0, 1 est constante.

Définition I.IV.1.19.

Intuitivement un espace topologique est dit connexe s’il est « d’un seul morceau ».

Exemples:

– C est connexe.– Un disque ouvert ou fermé, un demi-plan sont des sous-ensemble connexes de C.– Un segment [z1, z2] =

z ∈ C / z = (1 − λ)z1 + λz2, 0 6 λ 6 1

est connexe.– Les connexes de R sont les intervalles.

Preuve:

1 ⇒ 2 : Si F , F ′ état une partition de E en deux fermés, alors E \ F et E \ F ′ formeraient unepartition de E en deux ouverts, ce qui contredirait 1.

2 ⇒ 3 : S’il existait une partie A on vide, différente de E ouverte et fermé alors A et E \ Aformeraient une partition de E en deux fermés.

3 ⇒ 4 : Soit f : E 7−→ 0, 1 une application continue. Supposons par exemple qu’il existe z ∈ Etel que f(z) = 0. Alors f−1(0) est un ouvert, fermé et non vide. Donc f−1(0) = E, d’après3 et f est constante.

4 ⇒ 1 : Si E n’est pas connexe. Il existe alors des ouverts U et V non vides et disjoints tels queE = U ∪ V. Alors l’application f : E 7−→ 0, 1 définie par

∀z ∈ E, f(z) =

1 si z ∈ U0 si z ∈ V

est non constante car U et V sont non vides et pourtant,

f−1(0, 1) = E (ouvert) f−1(1) = U (ouvert)f−1(∅) = ∅ (ouvert) f−1(0) = V (ouvert),

c’est-à-dire que l’image réciproque de tout ouvert de 0, 1 est un ouvert de E, donc f estcontinue, ce qui contredit 4

Voici une rapide propriété des connexes qui servira pour la suite, notamment enV.III.1.22 page 145 :



Toute application continue localement constante sur un connexe E est constantesur E.

Corollaire I.IV.1.20.

Exemple: Une fonction continue sur un espace connexe à valeurs dans Z discret est, àfortiori, localement constante donc constante partout d’après I.IV.1.20.

Preuve: Soit z0 ∈ E. On pose Ω = z ∈ E / f(z) = z0 = f−1z0.Comme f est continue et que z0 est un ouvert, Ω est ouvert.De plus, Ωc =

⋃

z∈E\z0

f−1z est ouvert comme réunion d’ouverts, donc Ω fermé.

Ω est donc ouvert et fermé dans un connexe. D’après 3, Ω = E.

Soit A une partie connexe de C. Alors toute partie B telle que A ⊂ B ⊂ A, estconnexe.En particulier A est connexe.

Proposition I.IV.1.21.

Preuve: Si B n’est pas connexe, on peut trouver deux ouverts U et V de C tels que

B ⊂ U ∪ V, B ∩ U 6= ∅, B ∩ V 6= ∅ et B ∩ U ∩ V = ∅.

U V

ABA

Figure IV.1.9 – L’adhérence d’une partie connexe est connexe

D’après I.II.2.8.3, on a donc aussi A ∩ U 6= ∅, A ∩ U ∩ V 6= ∅ et A ∩ U ∩ V = ∅ avecA ⊂ B ⊂ U ∪ V. Donc A n’est pas connexe.

Ce résultat est faux pour l’intérieur d’une partie. L’intérieur d’une partie non videA étant définit comme la réunion de tous les ouverts contenus dans A ou de manièreéquivalente comme le plus grand ouvert contenu dans A.

L’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe.



IV.Connexité 21

A A

Figure IV.1.10 – L’intérieur d’une partie n’est pas connexe

Preuve: Soient E un ensemble connexe et f : E 7−→ C une application continue.Il suffit alors de considérer g : f(E) 7−→ 0, 1 une quelconque application continue. Alors, g f

est continue de E connexe dans 0, donc constante d’après I.IV.1.19. 4, c’est-à-dire que g estconstante sur f(E) qui est donc connexe.

IV.2 Composantes connexes

Soit (Ci)i∈I une famille de parties connexes de C telle que

∃i0 ∈ I, ∀i ∈ I, Ci0∩ Ci 6= ∅.

Alors C =⋃

i∈I

Ci est connexe.

Lemme I.IV.2.23.

Preuve: Soient ci0∈ Ci0

et f : C 7−→ 0, 1.

C1

C2

C3

Ci0

Figure IV.2.11 – Réunion de connexes

Pour tout i ∈ I, la restriction f|Cide f à Ci connexe, est continue donc constante nécessai-

rement égale à f(ci0). D’où, f est constante sur C qui est connexe.

Le lemme I.IV.2.23 permet de définir un outils très important pour la suite :



Pour tout z ∈ E ⊂ C, on appelle composante connexe de z, la réunion des partiesconnexes de E contenant z.On la note C(z).

Définition I.IV.2.24 (Composante connexe).

A

B

Figure IV.2.12 – A et B connexes, A ∪ B non connexe. A et B sont les deux compo-santes connexes de A ∪ B

De la définition découlent immédiatement quelques propriétés évidentes mais qu’il estimportant de garder à l’esprit :

– D’après I.IV.1.21, les composantes connexes sont fermées.– Les composantes connexes d’un ensemble E forment une partition de E sur lequel

on peut définir une relation d’équivalence R définie par :

zRz′ ⇐⇒ z′ ∈ C(z).

– Pour tout z ∈ E, C(z) est la réunion de tous les connexes contenant z donc unecomposante connexe est connexe d’après I.IV.2.23.

– Un sous-ensemble de C est connexe si et seulement si il ne contient qu’une seulecomposante connexe.

Les composantes connexes d’un ouvert de C sont des ouverts.


Preuve: Soient U un ouvert de C et z ∈ U . comme U est ouvert, d’après I.II.2.6, il contientun disque centré en z de rayon non nul. Ce disque est connexe donc inclus dans la composanteconnexe contenant z qui est ipso facto ouverte.


IV.Connexité 23

IV.3 Connexité par arcs

Un ensemble E ⊂ C est connexe par arcs si deux quelconques de ses points, z0

et z1 peuvent être joints par une courbe continue entièrement contenue dans Ec’est-à-dire qu’il existe une fonction continue γ : [0, 1] 7−→ E telle que γ(0) = z0 etγ(1) = z1.


La notion de connexité par arcs correspond à l’idée intuitive de connexité : un espaceest connexe, c’est à dire « d’un seul morceau » si on peut joindre deux quelconques de sespoints par une ligne continue. 13

b a

γ

bz0

bc z1

E E

b z0

bcz1

γ

Figure IV.3.13 – Ensembles connexes par arcs

Exemple:

– Un convexe est connexe par arcs. 14

– Un disque ouvert ou fermé est connexe par arcs (car convexe).– Une couronne Cr,R(a) =

z ∈ C/r < |a−z0| < R

,même coupée, comme représentéeen IV.3.13 est connexe par arcs.

Soit A une partie de C.

1. Si A est connexe par arcs alors A est connexe.

2. Si A est connexe est ouvert alors A est connexe par arcs.

Théorème I.IV.3.27.

Preuve:

1. Soit z0 ∈ A. Pour tout z ∈ A il existe une application continue γz : [0, 1] 7−→ A telleque γz(0) = z0 et γz(1) = z. Comme [0, 1] est connexe et γ continue, d’après I.IV.1.22,

13. Notre intuition fonctionne en imaginant des parties de R ou de C et plus généralement pour desouverts de Rn où l’on peut démontrer que les notions de connexité et de connexité par arcs coïncidentmais en général, un espace connexe n’est pas toujours connexe par arcs comme le montre le graphe de la

fonction x 7−→ 1sin x

dont l’adhérence est connexe sans être connexe par arcs.

14. La notion de connexité par arcs généralise celle de convexité puisque l’on n’impose plus que lespoints soient reliés par des segments.



l’ensemble Az = γ([0, 1]

)est aussi connexe et contient z0 et z.

En écrivant A =⋃

z∈E

Az, réunion de connexes d’intersection non vide, A est connexe

d’après I.IV.2.23.

2. « Réciproquement », supposons A ouvert et connexe, z0 ∈ A et posons

Γz0=z ∈ A / il existe un arc γz de A joignant z0 à z

.

Γz0est non vide car il contient z0. Il suffit alors de montrer que Γz0

est ouvert et fermédans A.– Soit donc z ∈ Γz0

et D(z, r) un disque ouvert de A centré en z. Un disque étant convexe,il contient tous les segments issus de z. Tout point x ∈ D peut donc être joint à z0 parl’arc γz ∪ [z, x] c’est-à-dire D ⊂ Γz0

qui est ouvert.

z0

Γz0bc

bc

bc

bcz

bc x

A

Figure IV.3.14 – Γz0est ouvert

– Soit maintenant z ∈ Γz0. Comme A est ouvert, il existe encore un disque ouvert centré en

z de rayon non nul. Par définition de l’adhérence, cet ouvert rencontre Γz0. En prenant

x ∈ Γz0un élément de cette intersection, z peut être relié à z0 via le chemin γx ∪ [x, z]

et z ∈ Γz0qui est fermé.

z0

Γz0bc

bc

bc

z

bcz

bcx

A

Figure IV.3.15 – Γz0est fermé


IV.Connexité 25

Γz0est un ouvert-fermé non vide de A connexe, il est donc égal à A tout entier qui est,

par conséquent, connexe par arcs.

Remarque: d’une manière générale, soit z0 un point fixé d’un ensemble E,

Γz0=

z ∈ E / il existe un arc de E joignant z0 à z

est connexe par arcs par définition. C’est la composante connexe par arcs contenantz0.

L’équivalence du théorème I.IV.3.27 va donner toute sont importance à une familled’ouverts : les domaines.

Un domaine D ⊂ C est un ensemble ouvert et connexe de C.

Définition I.IV.3.28 (Domaine).

Exemples:

– Les pavés ouverts, les ouverts convexes sont des domaines.– Le disque unité D(0, 1) est un domaine borné.– La couronne illustrée en IV.3.13 est un domaine.– Le demi-plan droit

z ∈ C / Re z > 0

est un domaine non borné.

A

B C

Figure IV.3.16 – A et B sont des domaines. C n’est pas connexe

Comme tout connexe, un domaine est « d’un seul tenant » c’est-à-dire que l’on peut sepromener à l’intérieur sans traverser de frontière. Par contre il eut y avoir des « trous ».

Soit U ⊂ C. On appelle trou de U toute composante connexe bornée de C \ U .

Définition I.IV.3.29 (Trou).

Un connexe sans trou sera dit simplement connexe.

D’après I.IV.1.22, on sait que l’image d’un domaine par une fonction continue estconnexe par contre ce n’est pas nécessairement un ensemble ouvert 15 donc un domaine.

15. Il suffit de penser à une fonction constante.



On verra cependant que pour les fonctions holomorphes, l’image d’un domaine est soit undomaine, soit réduite à un point.

Le théorème I.IV.3.27 nous donne immédiatement une propriété importante pour lasuite :

Tout domaine de C est connexe par arc.

Corollaire I.IV.3.30.

On peut même améliorer un peu ce résultat :

Tout domaine de C est connexe par arcs C1 par morceaux.


Preuve: Soit A un domaine. A est ouvert et connexe, donc il est connexe par arcs d’aprèsI.IV.3.27. Soient z0 et z1 deux points de A, et γ : [0, 1] 7−→ A un chemin continu qui joint z0 àz1.Comme A est ouvert et γ

([0, 1]

) ⊂ A, pour tout t ∈ [0, 1], on peut trouver un disque Dt centréen γ(t) et inclus dans A quitte à réduire le rayon de chaque disque. On a alors

γ([0, 1]

) ⊂⋃

t∈[0,1]

Dt,

recouvrement de γ([0, 1]

)par des ouverts. Or, [0, 1] est compact donc son image par γ continue

est aussi compact dans A d’après I.III.2.15. On peut donc extraire un recouvrement fini

⋃

i∈II fini

Dti,

de γ([0, 1]

). Quitte à ajouter les disques D0 et D1 à ce recouvrement, en joignant les centres

bcz0

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc bc

bc

bcz1

A

γ

Figure IV.3.17 – Un domaine est connexes par arcs


IV.Connexité 27

des disques (par des segments), on obtient un chemin C1 par morceaux joignant z0 à z1. 16

Attention, ce résultat est faux en dehors d’un espace métrique. Considérons, par

exemple, la fonction f : x ∈]0, 1] 7−→ sin1x

et l’ensemble

A =(

x, f(x))

/ x ∈]0, 1]

∪(

0 × [−1, 1])

.

Alors A est connexe car A = ϕ(

]0, 1])

est l’adhérence de l’image du connexe ]0, 1] parl’application continue ϕ : x 7−→ (x, f(x)) pour x ∈]0, 1].

0

1

−1

1x

y

f(x) = sin1x

bc

bc

z1(1, sin 1)

Figure IV.3.18 – Un connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs en dehorsd’un espace métrique

Mais A n’est pas connexe par arcs car z0(0, 0) et z1(1, sin 1) appartenant tous deux àA ne peuvent être joints par un chemin continu.

IV.4 Ouverts étoilés

Un ouvert U est dit étoilé si il existe z0 ∈ U tel que pour tout z ∈ U le segment[z0, z] est entièrement inclus dans U .Le point z0 est alors appelé un centre de U .


C’est donc une notion plus générale que la convexité : un ouvert (ou un ensemble) estdit convexe si il contient le segment [z0, z1] dès qu’il contient ses extrémités. Alors quepour un ouvert étoilé on demande seulement qu’il existe un certain z0 tel que cela soitvrai pour tous les z1.

Exemples:

– Tout espace convexe est étoilé.– Un disque ou un demi-plan est convexe (et donc aussi étoilé).– L’ouvert C\R∗

− n’est pas convexe mais il est étoilé en prenant pour centre n’importequel réel positif.

– Tout ouvert étoilé est connexe par arcs.

16. Il est même affine par morceaux.



bz0

b

z0

b

z1

Figure IV.4.19 – Ouverts étoilés

V. Suites et Séries de fonctions

V.1 Convergence d’une suite de fonctions

Pour n ∈ N, soit fn : D 7−→ C une fonction d’une variable complexe à valeurs dans C.On désigne par

(

(fn(z))

n∈Nune suite de fonctions. On distingue alors plusieurs forme de

convergence en désignant (lorsqu’elle existe) f : D 7−→ C la fonction limite.

On dit que (fn)n∈N converge ponctuellement a sur D vers f si pour tout z ∈ D, lasuite (fn(z))n∈N converge vers f(z) c’est-à-dire :

∀ε ∈ R∗+, ∀z ∈ D, ∃η(z, ε), ∀n > η,

∣∣∣fn(z) − f(z)

∣∣∣ 6 ε. (V.1.4)

a. ou simplement

Définition I.V.1.33 (Convergence ponctuelle).

On dit que (fn)n∈N converge uniformément sur D vers f si pour tout z ∈ D, lamajoration dans (V.1.4) est indépendante de z ∈ D c’est-à-dire :

∀ε ∈ R∗+, ∃η(ε), ∀n > η, sup

z∈D

∣∣∣fn(z) − f(z)

∣∣∣ 6 ε.

Définition I.V.1.34 (Convergence uniforme).

Remarque: La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse 17

La convergence uniforme est intéressante pour les propriétés topologiques et différen-tielles qu’elle permet de transmettre de la suite de fonctions à la fonction limite. Elle estcependant souvent trop contraignante sur l’ensemble tout entier voire impossible à obte-nir. Continuité et différentiabilité notamment étant des propriétés locales, on se contentesouvent d’une forme plus faible de convergence :

17. Considérer la suite (zn)n∈N sur le disque fermé de centre O et de rayon 1


V.Suites et Séries de fonctions 29

On dit que (fn)n∈N converge uniformément sur tout compact de D si pour toutcompact K de D, elle convergence uniformément sur K.

Définition I.V.1.35 (Convergence uniforme sur tout compact).

Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur un ensemble D et à valeurs dansC.Si la suite (fn)n∈N converge sur tout compact de D vers f alors f est continue surD.

Théorème I.V.1.36.

Preuve: Soient z0 ∈ D et ε > 0. Montrons que f est continue en z0.Soit z ∈ D et K un compact contenant z0 et z 18. On a :

|f(z0) − f(z)| 6 |f(z0) − fn(z0)| + |fn(z0) − fn(z)| + |fn(z) − f(z)|6 2 sup

z∈K|f(z0) − fn(z)| + |fn(z0) − fn(z)|.

D’une part, par convergence uniforme de (fn)n∈N sur K, ∃N(ε, K) ∈ N tel que

n > N =⇒ supz∈K

|f(z0) − fn(z)| 6 ε

4.

D’autre part, par continuité des fn en z0, ∃η(ε, z0) > tel que

|z − z0| < η =⇒ |fn(z0) − fn(z)| 6 ε

2.

Pour n > N et |z − z0| < η, on obtient finalement |f(z0) − f(z)| 6 ε. La fonction limite est donccontinue en z0 choisi quelconque dans D donc elle est continue sur D.

Une suite de fonctions (fn)n∈N d’un ensemble D ⊂ C vers C converge uniformémentsur D si et seulement si

∀ε ∈ R∗+, ∃η(ε), ∀p > η, ∀q > η, ∀z ∈ D,

∣∣∣fp(z) − fq(z)

∣∣∣ 6 ε.

Proposition I.V.1.37 (Critère de Cauchy uniforme).

Preuve: La condition nécessaire est immédiate.Réciproquement, pour tout z ∈ D, la suite

(fn(z)

)

n∈Nest de Cauchy dans C qui est complet

donc elle converge vers une limite notée f(z). On définit, ainsi une fonction f : D 7−→ C.Montrons que la convergence est uniforme sur D.Soient ε > 0 et η ∈ N tels que :

18. Par exemple, le disque de centre z0 et de rayon |z0 − z| + 1



∀p, q > η, ∀z ∈ D,∣∣fp(z) − fq(z)

∣∣ 6 ε.

A p > η et z ∈ D quelconques et fixés, lorsque q → +∞, on a :

∣∣fp(z) − f(z)

∣∣ 6 ε.

Egalité vraie pour tout p > N et tout z ∈ D. Il y a donc convergence uniforme.

V.2 Séries numériques

Soit (zn)n∈N une suite de complexes. On désigne par∑

zn la série de terme généralzn.

Sn = z0 + z1 + . . . + zn =n∑

k=0

uk,

et la somme partielle de rang n. Lorsque∑

zn converge (en tant que suite), on note

S =+∞∑

n=0

un = limn→+∞

n∑

k=0

uk

sa somme et Rn = S − Sn =+∞∑

k=n+1

uk = zn+1 + zn+2 + . . . son reste de rang n.

Soit∑

un une série de termes complexes. Si la série à termes positifs∑

|un|converge alors il en est de même de la série

∑

un.On dit alors que

∑

un converge absolument.

Théorème I.V.2.38 (Convergence absolue).

Ces deux critères se révèleront d’une grande importance pour déterminer les disquesde convergence des séries entières aux chapitres suivants.

Preuve: sous l’hypothèse de convergence de∑

|un|, il suffit de vérifier que la suite (Sn)n∈N estde Cauchy.Pour tout n, p entiers naturels,

∣∣Sn+p − Sn

∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

uk

∣∣∣∣∣∣

6

n+p∑

k=n+1

∣∣uk

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

|uk|,

par convergence de la série∑

|un|.

Soit alors ε > 0. Comme limn→+∞

+∞∑

k=n+1

|uk| = 0, il existe η(ε) tel que pour n > η,

∣∣Sn+p − Sn

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

|uk| 6 ε.

Le critère de Cauchy est vérifié, la série∑

un est donc convergente.



Soit∑

un une série à termes strictement positifs telle que

limn→+∞

un+1

un

= ℓ ou limn→+∞

n√

un = ℓ, ℓ ∈ R.

(D’Alembert) (Cauchy)

Alors

Si ℓ < 1, la série∑

un converge.Si ℓ > 1, la série

∑

un diverge.Si ℓ = 1+, la série

∑

un diverge.

Proposition I.V.2.39 (Critères de d’Alembert et Cauchy).

Preuve:

1. Critère de D’Alembert :

– Supposons que ℓ > 1 ou ℓ = 1 + (1). Il existe dons un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0(k)au delà duquel

un

un−16 k c’est-à-dire :

un 6 kun−1 6 kn−n0un06 kn ×

(un0

kn0

)

6 Mkn terme général d’une série géométrique convergente.

D’après les critères de comparaison sur les séries à termes positifs,∑

un est doncconvergente.

– Supposons ℓ > 1. Le raisonnement est identique : il existe dons un réel k ∈]1, ℓ[ et unrang n0(k) au delà duquel k 6

un

un−1puis

0 6 kun−1 6 un

0 6 kn−n0un06 un

0 6 kn ×(

un0

kn0

)

6 un

0 6 Mkn6 un.

Les critères de comparaison assurent ici la divergence de la série∑

un.

2. Critère de Cauchy : Le raisonnement est identique à celui du critère de D’Alembert enremarquant que comparer n

√un et un réel k revient à comparer un et kn.

– Si ℓ > 1 ou ℓ = 1 + (1) alors il existe dons un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0(k) au delàduquel 0 6 un 6 kn terme général d’une série géométrique convergente.

– Si ℓ > 1 alors il existe dons un réel k ∈]1, ℓ[ et un rang n0(k) au delà duquel 0 6 kn6 un

terme général d’une série géométrique divergente.Les critères de comparaison assurent respectivement la convergence et la divergence de lasérie

∑

un.

Le théorème I.V.2.38 combiné à la proposition I.V.2.39 fournit une condition suffisantecommode et rapide de convergence :



La série complexe∑

un est (absolument) convergente lorsque

limn→+∞

∣∣∣∣

un+1

un

∣∣∣∣ < 1 ou lim

n→+∞

n

√

|un| < 1.

(D’Alembert) (Cauchy)

Corollaire I.V.2.40.

V.3 Séries de fonctions

On désigne par Sn(z) =n∑

k=0

uk(z) la série partielle de terme général uk(z) où ∀k ∈ N,

uk : D ⊂ C 7−→ C est une fonction de la variable complexe. Les séries de fonctions sontde suites de fonctions donc les théorèmes de convergence précédents restent valides.

Lorsqu’elle existe on note S(z) =∑

n∈N

un(z) sa limite et Rn(z) =+∞∑

k=n+1

uk(z) son reste

de rang n.

On dit que (Sn)n∈N converge absolument sur D vers S si pour tout z ∈ D, la sériede terme général |uk(z)| converge ponctuellement dans D.

Définition I.V.3.41 (Convergence absolue).

Soit (Sn)n∈N une série de fonctions bornées de D dans C.On dit que (Sn)n∈N converge normalement sur D vers S si pour tout z ∈ D, lasérie réelle de terme général sup

z∈D|uk|.

Définition I.V.3.42 (Convergence normale).

Remarque: Il n’est pas toujours facile de calculer supz∈D

|uk|. Par contre, il suffit de trouver

une série∑

αn de R+ convergente, telle que pour tout n ∈ N et tout z ∈ D, |un(z)| 6 αn.Par application des critères de comparaison des séries numériques à terme positifs il

est clair que la convergence normale implique la convergence absolue. Montrons qu’elleentraîne un peu plus que cela.

Une série de fonctions∑

un(z) à valeurs dans C qui converge normalement sur unensemble D ⊂ C converge uniformément sur D.

Théorème I.V.3.43.



Preuve: Il suffit de vérifier le critère de Cauchy uniforme I.V.1.37 pour la suite de fonctions(

Sn(z) =n∑

k=0

uk(z)

)

n∈N

.

Pour tout n, p entiers naturels et tout z ∈ D,

∣∣Sn+p(z) − Sn(z)

∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

uk(z)

∣∣∣∣∣∣

6

n+p∑

k=n+1

∣∣uk(z)

∣∣ 6

n+p∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣,

par convergence de la série∑

supz∈D

|un|.

Soit alors ε > 0. Comme limn→+∞

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ = 0, il existe η(ε) tel que pour n > η,

∣∣Sn+p(z) − Sn(z)

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ 6 ε.

Le critère de Cauchy est vérifié, la série∑

un(z) converge donc uniformément sur D.


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