C Bacconnet JFMS08

Présentation des méthodes

GEOSTATISTIQUES

Claude Bacconnet

LAMI-(LGC)

Université Blaise Pascal

C Bacconnet JFMS08

Un peu d’histoire

• Krige Afrique du Sud

– Difficultés de l’estimation minière

• Matheron (1962…)

– Théorie transitive

– Variables régionalisées

• Centre de Géostatistique EMP Fontainebleau

• Applications dans de nombreux domaines

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PieuxZ(x1)

Zv(x0)

Z(x5)

Z(x4)

Z(x3)

Z(x2)

Si Z représente la résistance de pointe

mesurée au pénétromètre

Zv est la charge limite d’un pieu :

Zv(x0) = ?

Avec quelle précision ?

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Position du problème

• Z est une fonction inconnue de l’espace

• Z est connue en x1,…, x5

• Z(x0) est inconnue mais déterministe

• Souvent on a besoin de Zv(x0) où v est un volume d’intégration : changement de support (pénétro – pieu).

• Notion de variable régionalisée– De nature déterministe elle s’appuie sur une

variable aléatoire sous-jacente (choix de méthode)

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Hypothèse

• Stationnarité du second ordre

– E [Z] = m

– VAR [Z] = σ²

– COV [Z(x1), Z(x2)] = C (h) ; h=|x1-x2|

• Hypothèse intrinsèque

– E [Z(x+h)-Z(x)] = 0

– VAR [Z(x+h)-Z(x)] = 2 γ(h)

– La variance de Z peut ne pas être définie!

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Variogramme et covariance

• γ(h) = ½ E [(Z(x+h)-Z(x))²]

• γ(h) = σ² - C(h)

γ(h)

C(h)

σ²

Le variogramme est toujours défini, même si σ² n’existe pas!

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Calcul du variogramme

• γ*(h) = ½ Σ (Z(xi+h)-Z(xi))²/N(h)

– Où N(h) est le nombre de couple de points xi

distants de h

• Unidirectionnel ou omnidirectionnel

• h<D/2 et N(h)>30

• Tolérance de largeur de classe

• Tolérance angulaire

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Définition d’une classe

h moyen

xi points de mesure

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Z(xi)

Z(x

i+h

)

Pour une classe de distance h

Visualiser les couples

Détecter les points singuliers

Nuée variographique

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Notion de continuité

Trois réalisations de champs ayant même loi

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

x

Z(x

)Même loi de distribution

Même moyenne = 5

Même variance = 7

Continuité fonctionnelle forte

Continuité moyenne

Continuité faible (V.A.)

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Notion de continuitéTrois répartitions spatiales

Trois niveaux de continuité

Trois formes de variogramme

Variogramme quadratique en 0

Variogramme linéaire en 0

Variogramme discontinu en 0

Variogrammes des trois champs

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10

h

γ(h

)

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Modélisation• Modèle assurant la positivité des variances

calculées à partir d’un grand nombre de modèles existants

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Palier = σ²

PortéeEffet de pépite

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Barrage homogène

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Analyse structurale du barrage

• Données de résistance de pointe corrélées à Cu

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Variogrammes bruts

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Variogrammes ajusté sur données

écrétées transformées en log

Modèle anisotrope géométrique Sphérique pépite 0,05 palier 0,42 et portées

18m x 5m x 0,18m

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Krigeage

• Estimateur linéaire

• Z*(x0) = Σ λi Z(xi)

• Si E(Z) = m est connu, krigeage simple

– VAR (Z*-Z) minimum

• Si E(Z) est estimé, krigeage ordinaire

– Dans ce cas, Σ λi =1 assure le non biais

– VAR (Z*-Z) + µ (Σ λi -1) minimum

• On aboutit à un système linéaire

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Variance d’estimation d’un volume

V par un volume v

• σ²(V,v)= γ(v,v) + γ(V,V) - 2 γ(v,V)

• avec γ(v,V) = 1/vV ∫v∫V γ(x-x’) dx dx’

• Par extension, la variance de krigeage est

calculée de cette façon avec v={xi}

– dépend du variogramme

– dépend des géométries de v et V

– ne dépend pas des mesures Z(xi)

– simulation de reconnaissance

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Carte de résistances de pointe

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Exemple sur des épaisseurs de

couches

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

87954

87630

8725

6869

05865

7286

257

85915

85555

8527

6849

74846

8284

399840

88837

9583

453830

96827

7982

483

PK [m]

Ep

[cm

]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0

10

20

30

Variogramme exponentiel de portée 1000m

Effet de pépite 7 cm² et palier 18 cm²

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Effet de pépite sur estimation par

krigeage de blocs de 200m

Epaisseur du BS

0

5

10

15

20

25

8228

082

680

8308

083

480

8388

084

280

8468

085

080

8548

085

880

8628

086

680

8708

087

480

8788

0

Pepite 7 Pepite 0 Pepite 18

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Carte de krigeage

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Variance de krigeage d'un segment Lo par 2 points distants de DX-

Modèle exponentiel Portée 1000m sans effet de pépite

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

10 100 1000 10000

Ecart DX (m) entre les 2 Pts de krigeage

Vari

an

ce n

orm

ée

Lo=100m

Lo=200m

Lo=300m

Lo=500m

Lo=1000m

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Simulation conditionnelle

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Bilan

• Statut déterministe conservé

• Structure spatiale respectée

• Conditionnement aux données mesurées

• Evaluation de la variance (qualité)

• Intègre erreurs statistiques et effets de réduction de variance

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En guise de conclusion

• Application à la stabilité du manteau neigeux (J L Burlet)

• Analyse structurale

• Lien avec modèle mécanique

• Simulation de champs aléatoires

• Approche fiabiliste

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Application

x

z

y

100 m

40 m

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z

y

Altitude en m

Abscisse en m

500 kPa

5 kPa

datYdatZ, datC2,( )

z

y

x

Cartographie de la

résistance de pointe

Répartition

relativement bonne

continuité des couches

x

z

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Variabilité spatiale

Estimation de la variabilité

0

100

200

300

400

500

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Pas h en m

gam

ma

(h

) cm

2

Epaisseur 4

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x

y

Discrétisation

horizontale (1m)

Sous - couches

VE j

Couche i

j

j+1

Couche i-1

Couche i+1

Discrétisation

verticale (2 cm)

Volume Elémentaire

10000 points

10000 segments

10000 VE

50 points

48 segments

10 matériaux

50 m de long, six couches

600 VE

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ApplicationIV Risque

Répartition de la cohésion

après un tirage aléatoireHistogramme de F

Ffr

équ

ence

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

Histogramme de F

Ffr

équ

ence

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

Répartition déterministe

de la cohésion

Fmini déterministe

= 2,7

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Krigeage d’indicatrices

• permet d’obtenir la répartition spatiale de la probabilité de dépassement d’un seuil

• application en contrôle