Propriétés des déterminantsDonner un libelle pour chacune des proprietes

Document№1

Élise Desgreniers

Professeure de mathématique

Département de mathématiques

Collège Lionel-Groulx

Elise.Desgreniers@clg.qc.ca

Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC

Financé par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS)

du Québec dans le cadre du Programme d’arrimage universités-collèges

Financé par le ministère de l‘Économie, de l’Innovation et des Exportations (MEIE)

du Québec dans le cadre du Programme NovaScience – Volet Soutien aux projets: réseau scolaire

Mise en contexte

But: Donner un libellé approprié pour chacune des propriétés des déterminants

relatives aux lignes ou aux colonnes d’une matrice.

Note: Afin d’alléger le document, le travail ne portera que sur les propriétés

relatives aux lignes d’un déterminant. Les résultats dégagés s’appliqueront de

manière analogue aux colonnes des déterminants.

Propriété 1

Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu

et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé

pour la propriété 1.

A)

∣∣∣∣0 03 4

∣∣∣∣ = 0

B)

∣∣∣∣a b0 0

∣∣∣∣ = 0

C)

∣∣∣∣∣∣0 0 04 5 63 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

D)

∣∣∣∣∣∣1 b 10 0 03 2 c

∣∣∣∣∣∣ = 0

Libellé de la propriété 1

Propriété 2

Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu

et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé

pour la propriété 2.

A)

∣∣∣∣1 21 2

∣∣∣∣ = 0

B)

∣∣∣∣∣∣1 2 13 1 53 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 0

C)

∣∣∣∣∣∣1 2 12 5 61 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

D)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 45 3 1 62 8 −3 71 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Libellé de la propriété 2

Propriété 3

Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu

et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé

pour la propriété 3.

A) |A| =∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣3 41 2

∣∣∣∣ = 2.

B) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =

∣∣∣∣∣∣3 1 54 5 61 2 1

∣∣∣∣∣∣ = −4.

Propriété 3

C) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =

∣∣∣∣∣∣4 5 61 2 13 1 5

∣∣∣∣∣∣ = −4.

D) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =

∣∣∣∣∣∣4 5 63 1 51 2 1

∣∣∣∣∣∣ = −4.

Libellé de la propriété 3

Propriété 4

Pour chaque paire de déterminants, identifier la différence entre les

déterminants, comparer leurs valeurs (réponses), dégager la propriété à l’œuvre,

puis rédiger un libellé pour la propriété 4.

A) |A| =∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣2 43 4

∣∣∣∣ = −4.

B) |A| =∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣−1 −23 4

∣∣∣∣ = 2.

Propriété 4

C) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 69 3 15

∣∣∣∣∣∣ = 12.

D) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 41 1 3

∣∣∣∣∣∣ = −8 et |B| =

∣∣∣∣∣∣2 4 26 −3 121 1 3

∣∣∣∣∣∣ = −48.

Libellé de la propriété 4

Propriété 5

Pour chaque paire de déterminants, une ou plusieurs opérations ont été

effectuées sur les lignes. À partir des opérations effectuées et des valeurs

(réponses) des déterminants, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un

libellé pour la propriété 5.

A) |A| =∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣1 20 −2

∣∣∣∣ = −2,

où B a été obtenu par l’opération élémentaire L2 → L2 − 3L1 à partir de A.

Propriété 5

B) |A| =∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣7 103 4

∣∣∣∣ = −2,

où B a été obtenu par l’opération élémentaire L1 → L1 + 2L2 à partir de A.

C) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 6−5 −9 −7

∣∣∣∣∣∣ = 4,

où B a été obtenu par l’opération élémentaire L3 → L3 − 2L2 à partir de A.

Propriété 5

D) |A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 41 1 3

∣∣∣∣∣∣ = −8 et |B| =

∣∣∣∣∣∣1 2 16 7 80 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = −8,

où B a été obtenu par les opérations élémentaires L2 → L2 + 4L1 et

L3 → L3− L1 à partir de A.

Libellé de la propriété 5

Résumé

Conception du contenu

Élise DesgreniersCollège Lionel-Groulx

Elise.Desgreniers@clg.qc.ca

Julie TremblayPierre-Olivier Rathé

Révision du contenu

France CaronChristian Larouche

france.caron@umontreal.cachristian.larouche@cegep-lanaudiere.qc.ca

Direction de projet

Samuel Bernard

Bruno Poellhuber

Conception graphique

Christine Blais

Production des modèles en LaTeX

Nicolas Beaucheminnicolas.beauchemin@bdeb.qc.ca

Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence

Creative Commons internationale 4.0

Paternité / Pas d’utilisation commerciale / Partage dans les mêmes conditions

Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à

Mathema-TIC.ca

Production

Samuel Bernard Bruno Poellhuber