Proposition dune méthode exacte pour loptimisation des coûts dune chaîne logistique élémentaire...

Proposition d’une méthode exacte pour l’optimisation des coûts d’une chaîne logistique élémentaire

S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri

Laboratoire Systèmes et Transports (SeT)Université de Technologie de Belfort-Montbéliard

90010 Belfort FranceMèl. [email protected]

mailto:[email protected]

Journée Bermudes 2

Plan de la présentation.

Introduction

Système étudié

Modèle mathématique et propriétés

Procédure d’optimisation exacte

Résultats expérimentaux

Conclusion et perspectives

Journée Bermudes 3

1. Introduction

Réduction des coûts et délais

Optimisation Optimisation d’une chaîne d’une chaîne logistiquelogistique

Gain pour l’ensemble de

la chaîne

Chaîne logistiqueChaîne logistique

Journée Bermudes 4

Economic Lot and Delivery Scheduling Problem (ELDSP) [Hahm J et al, 1992]

Un seul type de produit fabriqué en lots sur une seule machine chez un

fournisseur et livrés au client par un seul transporteur.

Objectif : Minimiser le coût moyen par unité de temps de la production, du

stockage et de transport.

L’intervalle de production doit être un multiple de l’intervalle de livraison

Modèle continu qui suppose que la production et la livraison des produits se

font périodiquement.

Minimiser les coûtsMinimiser les coûts

Journée Bermudes 5

Single Item Lot-Sizing Problem (SILSP) [Wolsey1994]

Problème de planification dans lequel la demande varie en

fonction du temps sur un horizon T.

Objectif : déterminer les périodes de production et les

quantités à produire pour minimiser le coût global.

La complexité dépend du système étudié.

Beaucoup de variantes : mono produit / multi produits ; avec

ou sans capacité ; …

Journée Bermudes 6

Capacited Single Item Lot-Sizing Problem (CSILSP) [Bitran et al, 1982]

Contrainte : le nombre de produits réalisables pendant une période

est limité par une capacité donnée.

Notation : (coût de réglage, de stockage, de

production et capacité)

Valeurs possibles pour : G, C, ND, NI et Z (Général,

Constant, Non-Decreasing, Non-Increasing et Zero).

Complexité du problème : NP-difficile en général

///

///

Journée Bermudes 7

Discrete Lot-Sizing Problem (DLSP) [Manne 1958]

L’horizon de planification T est discrétisé en périodes

Contrainte : on ne peut produire qu’au plus un produit par période.

Objectif : déterminer la séquence et la taille des lots de différents

types de produits

Complexité du problème : NP-difficile.

Journée Bermudes 8

2. Système étudié

•Capacité limitée du transporteur.

•Aucun retard n ’est permis.

•Temps fixe pour faire un aller retour entre le client et le fournisseur

•Temps fixe pour charger ou décharger un produit.

Contraintes : Contraintes :

Système (un maillon logistique) : Système (un maillon logistique) : •Client : demande des produits à des dates au plus tard.

•Fournisseur : ordonnance des lots pour satisfaire cette demande.

•Transporteur : effectue les livraisons du fournisseur au client.

Journée Bermudes 9

Minimiser le coût global :Minimiser le coût global :

•Coût de stockage chez le client

•Coût de stockage chez le fournisseur

•Coût de transport

Objectif

Variables de sortie du système : Variables de sortie du système :

Nombre de voyages à effectuer.Nombre de produits à transporter dans chaque voyage.Les dates d’arrivée et de départ du transporteur.

Journée Bermudes 10

3. Modèle mathématique

n

iiiF wxC

1

Coût de stockage fournisseur :Coût de stockage fournisseur :

• wi, xi, yri, ydi les dates de fin de production, de chargement (chez le fournisseur), d’arrivée et désirée (par le client) pour le produit numéro i.

• le coût de stockage par unité de temps chez le fournisseur et le client.

• le coût de transport d’un lot de produits

• n le nombre de produits exigés par le client.

,

vCT .Coût de transport :Coût de transport :

n

iiiC yrydC

1

Coût de stockage client :Coût de stockage client :


Formulation du problème d’optimisation général

cijtcijxxji

tdyri,yr

ttxx

tcxxi,

tpwi,w

ydi,yr

yrydvwxz

ij

ii

ii

ii

ii

ii

n

iii

n

iii

).(/, )5(

)4(

différents schargementdeux pour .2

ou chargement mêmeun pour )3(

)2(

)1(

.min

1

1

1

1

11

• tp : temps de production d’un produit

• tc : temps de chargement d’un produit

• td : temps de déchargement d’un produit

• tt : temps pour faire un aller (ou retour) entre le fournisseur et le client (tt>tc)

• c : capacité du transporteur


Une séquence de chargement Une séquence de chargement Une suite qui vérifie :

•Aucun terme n’est nul.

•La valeur maximale que peut prendre un terme de la suite est c.

•La somme de tous les termes est égale à n.

•Le nombre de termes de la suite est

Kpp 1

Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement

pour n’ < n

Définitions

'1

'

kpp

'

1

'n

iii yrydA

L’avance d’une séquence partielle (coût de stockage client) L’avance d’une séquence partielle (coût de stockage client)

K


Considérations

Deux problèmes d’optimisation imbriqués :

Optimisation sur les séquences de chargement

Pour une séquence donnée, optimisation des dates de départ du

transporteur.

Dans le cas d’un seul maillon => la politique du juste à temps

permet d’obtenir pour une séquence donnée, les dates de

départ optimales (faux pour plusieurs maillons)

Hypothèse : le coût du fournisseur est négligeable par rapport

aux autres coûts.


Expression des dates de départ et d’arrivée des produits

Pour déterminer le coût d’une séquence partielle, il faut

calculer pour chaque produit :

sa date de fin de production,

sa date de chargement,

sa date de déchargement.

Utilisation de l’algèbre max-plus pour déterminer les

dates au plus tard d’arrivée des produits [Elmahi,2002]


Exemple de calcul de dates FOURNISSEUR

Dates de départ

Dates d’arrivée

Dates dues

CLIENT

Séquence : 2-3

t

5 produits à livrer

1011

13

16

212223

21

23

27

Avance = (13-10)+(16-11)+… =13


Expression des dates d’arrivée des produits du dernier lot

Date d’arrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence Date d’arrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence

tdiydyr ini

n K

K

K

min1

1

tdiyryriKK ninK 1,

Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :

Notations:

ydi : date due du produit i

yri : date d’arrivée du produit i

td : temps de déchargement d’un produit du transporteur

Kpp 1


Expression des dates d’arrivée des produits d’un autre lot

Kpp 1Date d’arrivée du 1er produit du lot k pour une séquence Date d’arrivée du 1er produit du lot k pour une séquence

tdiyryriKK ninK 1,

Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :

Notations:

tc : temps de chargement d’un produit dans le transporteur

tt : Temps d’un voyage entre le client et le fournisseur

tcttyrdtiydyr kiii

ii k

k

..2,min min111

1

0

K

kjjni 11Indice du 1er produit du lot k : Indice du 1er produit du lot k :


Définitions

On définit l’ensemble des solutions Un,c

On définit l’ensemble des séquences complètes construites à partir de

On note la séquence appartenant à dont le coût est le plus

faible.

iKiKcn KiINiU

,,/ *,

*

zz *,


Exemple

2311

3,10

cn

600

350

220

450

)4(

)3(

)2(

)1(

2311111

231112

231121

23113

231121*


Proposition

Soient deux séquences partielles et pour le même nombre de produits.

Si :

Alors domine :

Kpp 1

Kpp 1

KK

tcyrtcyr

AA

.. 11,11,

**

PropositionProposition


Procédure d’optimisation exacte

Programmation dynamiqueProgrammation dynamique

Méthode de résolution exacte.

Trouver la solution optimale en se basant sur des sous – solutions du problème.

Réduire l’espace de recherche

Gain en temps de calcul.

Étapes de la procédure : Établir une propriété récursive qui donne la solution optimale à une instance du problème.

Construire une table qui contiendra les solutions optimales aux sous – problèmes intermédiaires.

Construction ascendante de la solution optimale => problèmes simples vers problèmes complexes.


Arborescence des solutions

Présentation sous forme d’arborescence : chaque nœuds correspond à un lot de produits transporté.

Le premier niveau correspond au derniers lots.

On associe les coûts des séquences partielles à chaque nœud.


Dénombrement des solutions

On note Un,c l’ensemble des solutions pour n produits et une capacité c.

Proposition : Nombre de solutions pour n produits et capacité n : |Un,n| = 2n-1

Proposition : |Un,n| = |Un,n-1| + 1

Proposition :|Up+c,c| = |Up,c| + |Up+1,c| + |Up+2,c| + … + |Up+c-1,c|

C=2 : |Up+2,2| = |Up,2| + |Up+1,2| (suite de fibonacci)

C=3 : |Up+3,3| = |Up,3| + |Up+1,3| + |Up+2,3| (suite de fibonacci généralisée)


Construction du tableau des sous – solutions.

n’ Solutions dominantes

1 1

2 1-1 , 2

…

k-c+1

…

k-1

k

k+1

…

n Solution optimale

Proposition

Avance

Date d’arrivée du premier produit

Nombre de voyages

. . .

. . .

+1

+2

+c

0 0

. . .


Coupe classique

La proposition est efficace dans le cas où le coût de stockage chez le client est équivalent ou prépondérant à celui du transporteur.

Construire une bonne solution de départ.

À chaque niveau du tableau, prendre la solution dont le coût est le plus faible

Si le coût d’une solution partielle est supérieur au coût de la solution trouvée, elle sera éliminée du tableau.

Réduction de l’espace de recherche


Solution de départ

n’ Solutions dominantes

. . .

. . .

+1

+2

+c

0 0

1

2

…

k-c+1

…

k-1

k

k+1

n Solution optimale

. . . . . .


5. Résultats expérimentaux

n Minimum Moyenne Maximum

100 15.0 29.1 78.0

200 15.0 47.5 234.0

300 15.0 81.56 1094.0

400 15.0 254.08 1703.0

500 16.0 829.04 3719.0

600 31.0 1566.58 8610.0

700 171.0 3664.77 10109.0

800 47.0 6822.16 31172.0

900 109.0 12731.54 82265.0

1000 125.0 14929.24 66219.0

1100 187.0 15610.64 87500.0

1200 206.0 26476.06 131391.0

•50 exécutions pour chaque n

•Pentium 4 à 2,66 Ghz

•512 Mo de Ram

•Unité de temps = ms


6. Conclusion

• Ordonnancer les livraisons de produits entre deux sites d’une chaîne logistique.

• Optimiser le coût global de transport et de stockage

• Des résultats mathématiques intéressants ont contribué largement à la procédure d’optimisation exacte.

• Une procédure performante même pour des problèmes de taille importante

Objectifs :Objectifs :

Résultats :Résultats :


7. Perspectives

• Améliorer la procédure d’optimisation en envisageant un traitement particulier aux cas extrêmes qui la ralentissent.

• Généralisation du modèle à :

plusieurs transporteurs

plusieurs types de produits

Une chaîne logistique entière.

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