Proportionnalité : cours de maths en 5ème · On est ici dans un cas de proportionnalité inverse....
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Cours de maths en 5ème
La
proportionnalité
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n°1 n°2 A n°1 n°2 B
n°1 n°2 C n°1 n°2 D
QUESTION DE GOÛT
Dans l'éprouvette n°1, il y a du jus d'orange (100% pur jus).Dans l'éprouvette n°2, il y a de l'eau.On verse le contenu des éprouvettes n°1 et n°2 dans léprouvette n°3.Il s'agit de déterminer quelle boisson, contenue dans chaque éprouvette A, B, C, D est la plus concentrée en jus d'orange.
Mélange A: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange B: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange C: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange D: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Conclusion: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
LA PROPORTIONNALITÉ PARTIE I RECONNAÎTRE LA PROPORTIONNALITÉ
- Dans un problème concret : le TEST du DOUBLE On reconnaît que deux grandeurs sont proportionnelles si, en doublant l’une, on double l’autre. Exemples :
a) Le périmètre d’un carré de 3 m de côté est 12 m. Le périmètre d’un carré de 6 m de côté est le double soit 24 m. Le périmètre d’un carré est proportionnel au côté de ce carré.
b) L’aire d’un carré de 3 m de côté est 9 m². L’aire d’un carré de 6 m de côté est 36 m². L’aire n’est pas proportionnelle au côté.
c) Un abonnement à une revue coûte 20 € pour six mois et 38 € pour un an. Le prix de l’abonnement n’est pas proportionnel à la durée car il devrait coûter 40 € pour le double de six mois !
d) Une douzaine d’œufs coûte 2,80 € Le prix de deux douzaines est 2,80 €2 5,60=× Le prix des œufs est proportionnel au nombre d’œufs.
e) À deux ans, Amélie mesure 80 cm. On ne peut prévoir sa taille à quatre ans ; elle n’est certainement pas 160 cm ! La taille n’est pas proportionnelle à l’âge.
f) Cinq ouvriers font un travail en 18 jours. Dix ouvriers ne mettraient que 9 jours pour effectuer ce travail. La durée du travail n’est pas proportionnelle au nombre de travailleurs. On est ici dans un cas de proportionnalité inverse.
- Dans un tableau de nombres : calcul de QUOTIENTS On reconnaît que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque le COEFFICIENT (opérateur multiplicateur) est le même dans toutes les colonnes du tableau. Exemples :
a) Le montant de la T.V.A.(Taxe à la Valeur Ajoutée) Remarques :
L’opérateur unique est 19,619,6%10
0 960
,1×× = × =
Le montant T.T.C. (toutes taxes comprises) s’obtient en ajoutant le prix H.T. et la T.V.A. Le montant de la T.V.A. est proportionnel au prix H.T.
Prix Hors Taxes (€) 20 30 40
Taux de la T.V.A. 19,6 % 19,6 % 19,6 %
Montant de la T.V.A. 3,92 5,88 7,84
b) La correspondances de températures (°C) et (°F) °C = degrés Celsius °F = degrés Fahrenheit (échelle utilisée dans les pays anglo-saxons)
Températures en°C 20 35 50
Quotient (°F/°C) 3,4 2,7142857… 2,44
Températures en°F 68 95 122
Les quotients ne sont pas identiques. La température en °F n’est pas proportionnelle à la température en °C.
c) L’aire du carré
Côté du carré (m) 1 2 3 4 5
Quotient aire/côté 1 2 3 4 5
Aire du carré m²) 1 4 9 16 25
Les quotients sont différents. On retrouve la non proportionnalité déjà expliquée dans le § .
- Sur une représentation graphique On reconnaît que deux grandeurs sont proportionnelles si la représentation graphique est formée de points alignés. La droite définie par ces points doit passer par l’origine des axes.
a) Le montant de la T.V.A.
Les points sont sur une droite passant par l’origine. Le montant de la T.V.A. est proportionnel au prix H.T.
OPrix H.T.
Montant de la T.V.A.
20 30 40
3,92
5,88
7,84
O 20 35 50
68
95
122
°F
°C
b) La correspondance °C - °F
LIl n’y a pas proportionnalité. RLe tracé de lapar exemple, il gèle à 0°C donc à 32°F.
es points sont alignés mais la droite qu’ils définissent ne passe pas par l’origine.
emarque : droite permet de lire les correspondances °C - °F ;
c) L’aire du carré
Les points ne sont pas alignés. L’aire du carré n’est pas proportionnelle au côté du carré. Remarque : La courbe définie par les points s’appelle une branche de parabole ; elle sera étudiée au lycée. Elle passe par l’origine.
O côté du carré
aire du carré
1 2 3 4 5
1
9
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PARTIE II LA RÈGLE DES PRODUITS « EN CROIX »
- La règle
6 2 9 3
Ce tableau représente une proportion car :
9 3 1,56 2= =
Le coefficient de proportionnalité est 1,5
Remarque :
Les produits « en croix » sont égaux 6 3 18
6 3 9 29 2 18× = ⎫
→ × = ×⎬× = ⎭
- Contre-exemple
6 5 9 8
Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité car les quotients 96
et 85
ne sont pas égaux.
Remarque :
Les produits « en croix » ne sont pas égaux
9 5 459 5 6 8
6 8 48× = ⎫
→ × ≠ ×⎬× = ⎭
- Cas général
a c b d
Ce tableau est un tableau de proportionnalité lorsque :
b da c=
ou lorsque : a bd c× = ×
Dans ce cas, le coefficient est :ba
En effet :
bab da c c
a a ba
c d
b
c c d
×× = =
×× = × = =
- Applications
15 120 41 328
Ce tableau est un tableau de proportionnalité car :
15 328 4920donc: 15 328 41 120
41 120 4920× = ⎫
× = ×⎬× = ⎭
6765 109464181 6765
Ce n’est pas un tableau de proportionnalité car les produits « en croix » ne sont pas égaux. Ils n’ont, en effet, pas le même chiffre des unités (5 pour 6765 6765× et 6 pour 4181 )
Attention : les quotients
10946×
41816765
et 6765
10946 ne sont différents qu’au huitième chiffre après la virgule…
- Exercice Sachant que : trouver toutes les proportions que l’on peut écrire avec ces quatre nombres.
Il y en a quatre :
45511 × = 9675×
7575
7
115
115
115
115
45
454
69
69
6969 45
7
55
5
=
=
=
=
On les vérifie en calculant les produits « en croix ».
PARTIE III APPLICATIONS DE LA RÈGLE DES PRODUITS « EN CROIX »
- Recherche de la « quatrième proportionnelle » La majorité des problèmes de proportionnalité consiste à rechercher un nombre inconnu dans une proportion. Ce nombre inconnu est appelé quatrième proportionnelle.
a) Exemple On suppose que les nombres du tableau suivant constituent une proportion.
6 10 21 x
Dans ce cas, les produits « en croix » sont égaux, soit :
21 106
3
21
7 2 52 3
3
0
5
6 1
x
x
x
x× = ××
=
× × ×=
×=
La quatrième proportionnelle est égale à 35. b) Exercice
Une demi-douzaine d’œufs coûte 1,40 €. Quel est le prix de 10 œufs ? On sait que le prix des œufs est proportionnel au nombre d’œufs. On appelle x le prix de 10 œufs.
Nombre d’œufs 6 10 Prix des œufs (€) 1,40 x
1,
1, 4 104 106
2,
6
33
x
x
x
× = ××
=
≈
10 œufs coûtent environ 2,33 €.
- Calculs de pourcentages
a) Intérêt des pourcentages (étude d’un exemple) Dans une classe de 24 élèves, il y a 9 garçons Dans une classe de 30 élèves, il y a 11 garçons. Quelle est la classe où, proportionnellement, il y a le plus de garçons ? Pour simplifier, on cherche le nombre de garçons correspondant, dans les deux cas, à une classe de 100 élèves.
b) Recherche de pourcentages Dans la première classe :
Nombre d’élèves 24 100 Nombre de garçons 9 x
24 9 1009 100
2437,5
x
x
x
× = ××
=
=
Il y a 37,5 % de garçons. Dans la seconde classe :
Nombre d’élèves 30 100 Nombre de garçons 11 y
30 11 10011 100
3036,7
y
y
y
× = ××
=
≈
Il y a environ 36,7 % de garçons. C’est donc dans la 1ère classe qu’il y a la plus grande proportion de garçons.
- Notion d’échelle de représentation
a) Exemples
001
10e = est une échelle de réduction :
1 cm sur le plan représente 1000 cm en réalité. Les dimensions sur le plan sont proportionnelles aux dimensions réelles ; le coefficient de cette
proportionnalité est 1
1000.
013
e = est une échelle d’agrandissement.
10 cm sur le plan représentent 3 cm en réalité.
Les dimensions sur le plan sont proportionnelles aux dimensions réelles ; le coefficient est 103
.
b) Recherche d’une échelle
Sur une carte, deux villes A et B sont distantes de 8 cm. En réalité, la distance AB est 16 km.(soit 1 600 000 cm) On cherche l’échelle de cette carte.
1200000
× Dimension réelle (cm) 1 600 000 x
Dimension sur la carte (cm) 8 1
1600000
82000
160008 0 1
0
0
0
x
x
x
×
=
=
× =
1 cm sur la carte représente 200 000 cm en réalité.
L’échelle est donc 1
200000
- Notion de vitesse moyenne
a) Exemple de vitesse moyenne Un avion parcourt 1440 km en 2 heures Bien que son mouvement ne soit pas « uniforme » (toujours à la même vitesse), on dit qu’il parcourt 720 km par heure. Sa vitesse moyenne est 720 km/h. b) Recherche d’une vitesse moyenne En 40 minutes, j’ai parcouru 70 km. Il s’agit de trouver ma vitesse moyenne (en km/h) On suppose que la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. On recherche la distance parcourue en une heure, soit en 60 minutes.
Durée du parcours (min) 40 60 Distance parcourue (km) 70 x
7
40
0 660
40
0
1 5
7
0
x
x
0x× = ××
=
=
En 60 minutes, j’ai parcouru 105 km. Ma vitesse a été 105 km/h.
Proportionnalité ? I Peux-tu répondre aux questions suivantes ? Oui Non
1°) À 1 an, Jean mesure 0,60 m. Combien mesurera-t-il à 2 ans ? 2°) 10 L d’essence coûtent 11,90 €. Combien coûtent 20 L ? 3°) 2 paquets de sucre coûtent 2,30 €. Quel est le prix de 3 paquets ? 4°) J’ai payé 2,10 € pour 7 tomates ; quel est le prix d’une courgette ? 5°) Un abonnement à un journal coûte 39,00 € pour trois mois et 75,00 € pour six mois. Quel est le prix d’un abonnement d’un an ?
6°) Un enfant met 20 secondes pour parcourir 100 m ; à la même allure, quel temps devrait-il mettre pour parcourir 150 m ?
7°) 3 baguettes coûtent 1,50 € ; quel est le prix de 2 baguettes ? 8°) Cinq vaches mangent une meule de foin en 6 jours. Combien de temps auraient mis quinze vaches ?
9°) Un pêcheur attrape 4 poissons en 1 heure ; combien de poissons attrapera-t-il en 3 heures ?
10°) 20 pièces de 2 € pèsent 120 g ; Combien pèsent 40 pièces de 1 € ? II Écris (dans la case « OUI ») la solution de chaque exercice auquel tu as répondu “ oui ”. III Pour chaque exercice auquel tu as répondu « NON », essaye de justifier ta réponse. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………..
Exercices 1 PROPORTIONS
- Règle des « produits en croix »
a) Les nombres représentés dans les tableaux suivants constituent-ils des proportions ? Justifie.
..................................................................... .....................................................................
15
27
33
59
..................................................................... .....................................................................
38
53,2
25
35
16
17
23
24
..................................................................... .................................................................
..................................................................... .................................................................
7843
3844
11603
5687
b) Vérifie que : 54 57 36 85 5× = × ,
...........................................................................................................................................................................................................................
Trouve les quatre proportions que l’on peut en déduire.
...........................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................... - Recherche de la quatrième proportionnelle.
Trouve x dans chacun des cas suivants :
x 11 100 7,5 5 x 21 x 6,9 0,23 x 9 11 5 x 18 7 8 6 100 x x 4 x
- Marie a payé un coupon d’étoffe 23,80 €. Ce coupon mesure 8,5 m. Quelle somme doit-elle demander à Claire si elle veut lui céder 4 m de cette étoffe ?
.................................................................................................... Longueur d’étoffe (m) Prix du coupon (€)
......................................................................................................
- Un pot de moutarde de 245 g vaut 0,95 €. Quel est le prix du kilogramme ?
.................................................................................................... Masse de moutarde (g) Prix de la moutarde (€)
......................................................................................................
- Un centre de vacances prévoit, par jour, 3 kg de pain pour 16 enfants. Quelle est la quantité de pain nécessaire pour alimenter 120 enfants pendant 15 jours ?
.................................................................................................... Nombre d’enfants
Masse de pain (kg) ......................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
Exercices 2 LES POURCENTAGES
- On a obtenu 520 kg de fer en traitant 1350 kg de minerai. Quel est le pourcentage de fer ?
........................................................................................... Masse de minerai (kg) 100 Masse de fer (kg) x
........................................................................................... - Sur son salaire brut de 1200 €, Jean doit payer 72,60 € de Sécurité Sociale. Quel pourcentage du salaire brut représente cette cotisation ?
............................................................................................. Salaire brut (€) 100 Cotisation S.S. (€) x
............................................................................................
- Un article de 660 € subit une baisse de 5%.
Quel est son nouveau prix ?
............................................................................................ Prix avant la baisse (€) 100 Prix après la baisse (€) 95 x
............................................................................................
- Un article vient de baisser de 12% ; il coûte maintenant 264 €. Quel était son ancien prix ?
............................................................................................. Ancien prix (€) 100 x Nouveau prix (€) 88
............................................................................................ - La population d’une ville est passée, en dix ans, de 7880 à 7369 habitants. Quel est le pourcentage de diminution ?
............................................................................................ Nb d’habitants avant 100
Nb d’habitants après x ............................................................................................
- Un article vient d’être augmenté de 4%. Il coûte actuellement 260 €. Combien coûtait-il avant l’augmentation ?
............................................................................................ .............................................................................................
Prix avant l’augmentation
100 x
Prix après l’augmentation
104
- Le prix d’un article vient de passer de 400 € à 420 €. Quel est son pourcentage d’augmentation ?
............................................................................................ Ancien prix (€) 100 Nouveau prix (€) x
.............................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
Exercices 3 ÉCHELLE ET VITESSE
- L’échelle d’une carte est parfois représentée par un segment gradué. Trouve l’échelle de chacune de ces deux représentations :
.........................................................................................................................................................
..............................................................................................................
- Quelle est l’échelle du plan de cette maison ? (Effectue la mesure nécessaire)
dimension sur le plan (cm) dimension réelle (cm)
............................................................................................................ ............................................................................................................ - Convertis en km/h : 37 m/s........................................................8 km/s................................................................32 m/h................................................................ Convertis en m/s : 90 km/h....................................................3 km/s.................................................................120 m/min........................................................ - Une voiture effectue 82 tours d’un circuit de 4 km de long et roule pendant une heure et demie. Quelle est sa vitesse moyenne ? Distance totale parcourue (km) :....................................................................................... Durée du parcours (h) :...........................................................................................................
..................................................................................... Durée du parcours (h)
Distance parcourue (km) .....................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
- La vitesse de la lumière est environ 300 000 km/s.
Quelle est la distance de la Terre au Soleil sachant qu’un rayon de soleil met 8 min 20 s pour arriver sur la Terre ? Durée de la propagation d’un rayon solaire (s) :...................................................................................................................................
.................................................................... Durée de la propagation (s) Distance parcourue (km)
...................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
- Un escargot a parcouru 60 cm en 12 minutes. Quelle a été sa vitesse moyenne (en m/h) ?
................................................................... Durée du trajet (min)
Distance parcourue (m) ...................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
LES POURCENTAGES
- Une réduction de 15%. Une remise de 15% sur 86 €, c’est :
86 15% 86− de 86 = 86 - 15100
× = ........................................................................................................................................
Reprends ce même calcul en mettant 86 en facteur commun :
86 1 15100
× −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= .............................................................................................................................................................................
Réduire de 15%, c’est donc multiplier ce prix par le nombre à virgule .......................................................... - Une augmentation de 19,6% (C’est le taux de la T.V.A.) Le prix T.T.C. sur un prix H.T. de 530 € est : ............................................................................................................................................................. 530 19,6% de 530+ = Reprends ce même calcul en mettant 530 en facteur commun :
...................................................................................................................................................................................................................
Augmenter un prix de 20,6%, c’est le multiplier par ................................................................................................ - Le prix d’une voiture
M. Catroux achète une voiture dont le prix H.T. est 15 000 €. Le vendeur lui propose une réduction de 8%. M. Catroux se demande alors si la réduction est calculée sur le prix H.T. ou sur le prix T.T.C.
(prix TTC =prix H.T. + T.V.A. de 19,6% du prix H.T.) Il préférerait d’ailleurs que ce soit sur le prix T.T.C. A-t-il raison ?
Première possibilité :
Prix H.T. + 19,6% du prix H.T. = Prix T.T.C.
................................................................................................................................................................................................................... Prix T.T.C. - 8% du prix T.T.C. = Prix T.T.C. avec remise. .................................................................................................................................................................................................................... Deuxième possibilité : Prix H.T. - 8% du prix H.T. = Prix H.T. avec remise. .................................................................................................................................................................................................................... Prix H.T. avec remise + 19,6% du prix H.T. avec remise = Prix T.T.C. avec remise. .................................................................................................................................................................................................................... Conclusion : ....................................................................................................................................................................................................................
Devoir 1 date :………………………….…… NOM Prénom :…………………………………………………………………. Les tableaux ci-dessous représentent-ils des relations de proportionnalité ? Justifie les réponses dans chaque cas. Indique dans chaque bulle le procédé de calcul (coefficient) permettant de passer de la première ligne à la seconde ligne du tableau Tableau 1 :
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Tableau 2 : ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Tableau 3 :
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Tableau 4 : ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
5 4 6
10
2 1,6 2,4 4
5 4 6
10
7 6 8 12
1 5 3
4
1 25 9 16
10 6 100
50
13 7,8 130 65
Fais ci-dessous la représentation graphique du tableau n° 1 Prends1 cm pour 1 en abscisse et 2 cm pour 1 en ordonnée.
Devoir 2 Prénom NOM:………………………………………………
Date:……………………………………………… Plusieurs garagistes proposent des voitures d'occasion; un expert a examiné ces voitures et a déterminé le nombre de bonnes voitures. Quel est le garage qui a la plus grande proportion de bonnes voitures? Classe ces six garages. Utilise la dernière ligne du tableau pour effectuer les calculs nécessaires
Garage A Garage B Garage C Garage D Garage E Garage F
Nombre de voitures en vente 20 25 10 50 70 40
Nombre de bonnes occasions 13 18 8 30 49 30
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
- Rouler à la vitesse moyenne de 90 km/h, c'est parcourir 90 km en une heure. Complète le tableau ci dessous (on suppose que la vitesse moyenne est toujours 90 km/h)
Durée du parcours (h min)
Distance parcourue
(km)
1 h 90
2 h
30 min
135
2 h 30 min
Représente graphiquement la distance parcourue en fonction de la durée du parcours en utilisant toutes les données du tableau. La distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée du parcours? ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. …………………………………………………………..
Devoir 3 - Julie achète 4,850 kg de bœuf à braiser. Elle paie 22 €. Marie en achète 970 g.
Combien doit-elle ?
- .Un cycliste parcourt 48 km en 1 h 25 min. a) Exprime en minutes la durée du parcours du cycliste b) Calcule la distance parcourue en 60 min et déduis-en sa vitesse moyenne en km/h.
- Étienne représente un terrain de 50 m de côté par un carré de 4 cm de côté.
Quelle est l’échelle de son plan ? - Un client d’une boulangerie hésite entre les trois propositions suivantes :
• 20% de réduction sur le prix des croissants. • 1 € de réduction sur un sac de croissants marqué 5 €.
Écris cette réduction en pourcentage du prix marqué. • Cinq croissants pour le prix de quatre, soit un croissant gratuit pour quatre croissants achetés.
Écris cette réduction en pourcentage du nombre de croissants achetés. Quelle proposition peux-tu lui conseiller?
La calculatrice est autorisée.
Devoir 4 NOM Prénom :……………………………………….…………………………….. date : …………………………………… Exercice 1: Complète les 4 tableaux de proportionnalité suivants, après avoir justifié tes calculs: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2,8 3,9 7,3 4,2 3,4 z = t = 8 2,1 x = y = 6,51 2,4 1,5 4,5 2,5
Exercice 2: Un pantalon qui coûtait 60 € ne coûte plus que 48 €. Calcule le pourcentage des soldes que fait le magasin …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Exercice 3: Pour 3,40 € j’ai acheté 5 baguettes de pain. Pour 4,76 €, j'aurais 7 baguettes. Sans chercher le prix d’une baguette, calcule :
a) Le prix de 12 baguettes.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
b) Le prix de 2 baguettes.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
c) Le prix de 3 baguettes.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
d) Le prix de 15 baguettes.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Devoir 5
- Sur une carte routière, la distance Montbard-Auxerre est 24 cm. La distance réelle (à vol d’oiseau) étant 60 km, quelle est l’échelle de cette carte ? - Par la route, la distance Montbard-Auxerre est en réalité 77 km. Pour se rendre à Auxerre, Joseph a mis 1 h 10 min. a) Exprime la durée du parcours en minutes. b) Calcule la vitesse moyenne de Joseph en km/h. - Malheureusement, le circuit de refroidissement de la voiture de Joseph est percé ! Au départ, il contenait 5 litres d’eau et à l’arrivée à Auxerre, il n’en contenait plus que 3,6 litres. Quel a été le débit de cette fuite d’eau ? (donne le résultat en L/h)
- Pendant son retour d’Auxerre et après avoir fait réparer le circuit de refroidissement, Joseph s’est amusé à compter le nombre de voitures grises.
Sur 125 voitures qu’il a croisées, Joseph en a dénombré 35. Exprime en pourcentage le nombre de voitures grises.
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10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
5 ml
10 ml
15 ml
20 ml
25 ml
n°1 n°2 A n°1 n°2 B
n°1 n°2 C n°1 n°2 D
QUESTION DE GOÛT
Dans l'éprouvette n°1, il y a du jus d'orange (100% pur jus).Dans l'éprouvette n°2, il y a de l'eau.On verse le contenu des éprouvettes n°1 et n°2 dans léprouvette n°3.Il s'agit de déterminer quelle boisson, contenue dans chaque éprouvette A, B, C, D est la plus concentrée en jus d'orange.
Mélange A: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange B: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange C: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Mélange D: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Conclusion: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8 mL pour un total de 20 mL soit 40 mL pour 100 mL donc une concentration de 40 %
7 mL pour un total de 20 mL soit 35 mL pour 100 mL donc une concentration de 35 %
9 mL pour un total de 25 mL soit 36 mL pour 100 mL donc une concentration de 36 %
6 mL pour un total de 24 mL soit 1 mL pour 4 mL soit 25 mL pour 100 mL donc une concentration de 25 %
C'est le mélange A qui a la plus forte concentration en pur jus d'orange (40% > 36 % > 35 % >25 %)
Proportionnalité ? I Peux-tu répondre aux questions suivantes ? Oui Non
1°) À 1 an, Jean mesure 0,60 m. Combien mesurera-t-il à 2 ans ? NON
2°) 10 L d’essence coûtent 11,90 €. Combien coûtent 20 L ? 23,80 €
3°) 2 paquets de sucre coûtent 2,30 €. Quel est le prix de 3 paquets ? 3,45 €
4°) J’ai payé 2,10 € pour 7 tomates ; quel est le prix d’une courgette ? NON
5°) Un abonnement à un journal coûte 39,00 € pour trois mois et 75,00 € pour six mois. Quel est le prix d’un abonnement d’un an ? NON
6°) Un enfant met 20 secondes pour parcourir 100 m ; à la même allure, quel temps devrait-il mettre pour parcourir 150 m ? 30 s
7°) 3 baguettes coûtent 1,50 € ; quel est le prix de 2 baguettes ? 1 €
8°) Cinq vaches mangent une meule de foin en 6 jours. Combien de temps auraient mis quinze vaches ? 2 jours
9°) Un pêcheur attrape 4 poissons en 1 heure ; combien de poissons attrapera-t-il en 3 heures ? NON
10°) 20 pièces de 2 € pèsent 120 g ; Combien pèsent 40 pièces de 1 € ? NON
II Écris (dans la case « OUI ») la solution de chaque exercice auquel tu as répondu “ oui ”. III Pour chaque exercice auquel tu as répondu « NON », essaye de justifier ta réponse. La taille de Jean ne peut pas doubler ! Si c’était le cas, Jean mesurerait 1,20 m à 4 ans, 2,40 m à 8 ans… !!! Les courgettes ne sont pas au même prix que les tomates ! Le prix de l’abonnement ne double pas alors que la durée de l’abonnement a doublé. Il s’agit d’un tarif dégressif ; on ne peut pas deviner le prix d’un abonnement de douze mois. Rien n’indique que les poissons vont mordre de la même façon pendant les deux heures suivantes ! On n’a aucune indication sur la masse d’une (ou plusieurs) pièce (s) de 1 € ! Remarque : La réponse concernant la nourriture des vaches est différente des autres réponses : Trois fois plus de vaches mettront trois fois moins de temps pour manger la meule de foin !
LES POURCENTAGES
- Une réduction de 15%. Une remise de 15% sur 86 €, c’est :
1586 15% de 86=86- 86100
86 12,90 73,10 €− × = − =
Reprends ce même calcul en mettant 86 en facteur commun :
100 15 8586 86 86 0,85 73,10 €100 100 100
1586 1100
⎛ ⎞× − = ⎛ ⎞× − = × = × =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟⎝
⎜⎠
Réduire de 15%, c’est donc multiplier ce prix par le nombre à virgule 1 0,15 0,85− = - Une augmentation de 19,6% (C’est le taux de la T.V.A.) Le prix T.T.C. sur un prix H.T. de 530 € est :
19,6530 530 530 103,88 633,88 €10
530 19,6% de 5300× + == ++ =
Reprends ce même calcul en mettant 530 en facteur commun :
19,6 100 19,6 119,61 530 530 530 1,196 530 633,88 €100 100 100 100
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × = + × = × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Augmenter un prix de 20,6%, c’est le multiplier par 1 0,196 1,196+ = - Le prix d’une voiture
M. Catroux achète une voiture dont le prix H.T. est 15 000 €. Le vendeur lui propose une réduction de 8%. M. Catroux se demande alors si la réduction est calculée sur le prix H.T. ou sur le prix T.T.C.
(prix TTC =prix H.T. + T.V.A. de 19,6% du prix H.T.) Il préférerait d’ailleurs que ce soit sur le prix T.T.C. A-t-il raison ?
Première possibilité :
Prix H.T. + 19,6% du prix H.T. = Prix T.T.C.
19,615000 15000 15000 17940 €10
,19610
+ × = × =
Prix T.T.C. - 8% du prix T.T.C. = Prix T.T.C. avec remise.
0,92817940 17940 17940 16504,80 €100
− × = × =
Deuxième possibilité : Prix H.T. - 8% du prix H.T. = Prix H.T. avec remise.
0,815 92000 15000 15000 13800 €100
− × = × =
Prix H.T. avec remise + 19,6% du prix H.T. avec remise = Prix T.T.C. avec remise.
1,119,613800 13800 13800 16504,80 €10
960
+ × = × =
Conclusion : Le résultat est le même ! Et pourtant l’acheteur préfère d’abord la remise de 8%.
Exercices 1 PROPORTIONS
- Règle des « produits en croix » a) Les nombres représentés dans les tableaux suivants constituent-ils des proportions ?
Justifie.
Ce n’est pas une proportion car : C’est une proportion car :
15
27
33
59
15 59 885 et 27 33 891× = × = 38 35 25 53,2 1330× = × =
38
53,2
25
35
16
17
23
24
Ce n’est pas une proportion car : Ce n’est pas une proportion :
7843
3844
. 16 24 384 et 17 23 391× = × =
830=
b) Vérifie que : 54 57 36 85 5× = × ,
et 36 85,5 3078× = 45 57× 7
Trouve les quatre proportions que l’on peut en déduire.
855475,5
36= 8557
45,5
36= 36
85,554
57 36
85,5=
5754
Trouve x dans chacun des cas suivants :
=
- Recherche de la quatrième proportionnelle.
- Marie a payé un coupon d’étoffe 23,80 €. Ce coupon mesure 8,5 m. Quelle somme doit-elle demander
à Claire si elle veut lui céder 4 m de cette étoffe ?
4 23,80x8,5×
= =11,20 . Claire doit 11,20 € à
Marie.
- Un pot de moutarde de 245 g vaut 0,95 €. Quel est le prix du kilogramme ? On cherche le prix de 1000 g (=1 kg)
1000 0,95x 3×= ≈ ,88
245.
Un kg de moutarde coûte 3,88 € environ. - Un centre de vacances prévoit, par jour, 3 kg de pain pour 16 enfants. Quelle est la quantité de pain
nécessaire pour alimenter 120 enfants pendant 15 jours ? En 15 jours, 16 enfants ont besoin de : 15 3 45 kg× = de pain.
45 120x 3316
7,50 ×= =
11603
5687
x 11 100 7,5 5 x 21 x 6,9 0,23 x 9 11 5 x 18 7 8 6 100 x x 4 x 5x 11 11= × 7,5x 18 100= × 7x 5 8 = × 6x 21 100 = × 6,9x 0,23x= 2x 4 9 = ×
2x 36= 11 11x5×
=
18 100x7,5×
=
5 8 40x7 7×
= = 21 100x6×
=
x 24,2= x 240= x 5,7≈ x 350=
Ce n’est possible que si
x 0= x 6=
car 26 36=
Longueur d’étoffe (m) 8,5 4 Prix du coupon (€) 23,80 x
Masse de moutarde (g) 245 1000 Prix de la moutarde (F) 0,95 x
Nombre d’enfants 16 120 Masse de pain (kg) 45 x
Les produits n’ont pas le même chiffre des unités
Les 120 enfants ont donc besoin, pour quinze jours, de 337,5 kg de pain.
Exercices 2 LES POURCENTAGES
- On a obtenu 520 kg de fer en traitant 1350 kg de minerai. Quel est le pourcentage de fer ?
520 100x 31350
8,5×= ≈ . Masse de minerai (kg) 1350 100
Masse de fer (kg) 520 x Le fer représente 38, % di minerai
- Sur son salaire brut de 1200 €, Jean doit payer 72,60 € de Sécurité Sociale. Quel pourcentage du salaire brut représente cette cotisation ?
72,6 100x 61200
,05×= = Salaire brut (€) 1200 100
Cotisation S.S. (€) 72,60 x Jean paie 6,05 % de Sécurité Sociale
- Un article de 660 € subit une baisse de 5%. Quel est son nouveau prix ? ( )100 5 95− =
660 95x 6100×
= = 27 Prix avant la baisse (€) 100 660 Prix après la baisse (€) 95 x
L’article coûte alors 627 € - Un article vient de baisser de 12% ; il coûte maintenant 264 €.
( )100 12 88− = Quel était son ancien prix ?
264 100x 388
00×= = Ancien prix (€) 100 x
Nouveau prix (€) 88 264 L’article coûtait 300 € avant la baisse.
- La population d’une ville est passée, en dix ans, de 7880 à 7369 habitants. Quel est le pourcentage de diminution ?
7369 100x7880×
= ≈ 93,5 pour 100 habitants Nb d’habitants avant 7880 100 Nb d’habitants après 7369 x
La population a baissé de : ( ) s100 93,5 6,5− = oit de 6,5%
- Un article vient d’être augmenté de 4%. Il coûte actuellement 260 €. Combien coûtait-il avant l’augmentation ? ( )100 4 104+ =
100 260x 2104×
= = 50
L’article coûtait 250 €. - Le prix d’un article vient de
passer de 400 € à 420 €.
Prix avant l’augmentation
100 x
Prix après l’augmentation
104 260
Quel est son pourcentage d’augmentation ?
100 420x 105400×
= = Ancien prix (€) 400 100 Nouveau prix (€) 420 x
Le prix est passé de 100 à 105 € soit une augmentation de 5 € pour 100 € donc de 5 %.
Exercices 3 ÉCHELLE ET VITESSE
- L’échelle d’une carte est parfois représentée par un segment gradué. Trouve l’échelle de chacune de ces deux représentations :
1cm représente 10 km (1 000 000 cm) ; l’échelle est : 1/1 000 000
1 cm représente 250 m (250 000 cm) : 1/25 000.
- Quelle est l’échelle du plan de cette maison ? (Effectue la mesure nécessaire)
dimension sur le plan (cm) 4 1 dimension réelle (cm) 800 x
1 800x 200
4×
= =
1 cm représente 200 cm ; l’échelle est 1200
- Convertis en km/h : 37 m/s = 133,2 km/h 8 km/s = 28 800 km/h 32 m/h = 0,032 km/h Convertis en m/s : 90 km/h = 25 m/s 3 km/s = 3000 m/s 120 m/min = 2 m/s - Une voiture effectue 82 tours d’un circuit de 4 km de long et roule pendant une heure et demie. Quelle est sa vitesse moyenne ? Distance totale parcourue (km) : 4 82 328 km× =
Durée du parcours (h) : 1 31 12 2
+ = = ,5 h
............................................................................................................................................................................................................................................. 1 328x 2
1,5×
= ≈ 18,5 Durée du parcours (h) 1,5 1 Distance parcourue (km) 328 x
218,5 km sont parcourus en une heure ; la vitesse moyenne de la voiture est : 218,5 km/h. - La vitesse de la lumière est environ 300 000 km/s.
Quelle est la distance de la Terre au Soleil sachant qu’un rayon de soleil met 8 min 20 s pour arriver sur la Terre ? Durée de la propagation d’un rayon solaire (s) : ( )8min 20s 8 60 20 s 500s= × + =
500 300 000x 150 000 0001
×= =
Durée de la propagation (s) 1 500 Distance parcourue (km) 300 000 x
La lumière solaire a parcouru 150 000 000 km pour parvenir sur la Terre. La distance Terre-Soleil est : 150 000 000 km.
- Un escargot a parcouru 60 cm en 12 minutes. Quelle a été sa vitesse moyenne (en m/h) ?
1 0,6x 012×
= = ,05
L’escargot parcourt 0,05 m en 1 minute. En une heure, il parcourt donc : 0,05 60 3 m× = ; sa vitesse est : 3 km/h .
Durée du trajet (min) 12 1 Distance parcourue (m) 0,6 x
