Laproportionnalité - Académie de Grenoble...Les problèmes de proportionnalité simple et directe...

La proportionnalité

G. Martiel -2014

Mise en situation

G. Martiel -2014

La petite géante de ROYAL DE LUXE

• Le spectacle de rue

« ROYAL DE LUXE » a

des marionnettes

géantes.

• Une de ces

marionnettes est « La

Petite Géante »

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Quelle est la taille de La Petite Géante ?

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La Petite Géante

• La Petite Géante mesure 5 mètres de haut.

• Pourquoi, n’avons-nous pas trouvé 5mètres?

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Les différents types de

problèmes

Classer la liste de problèmes

distribuée

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Les différents types de problèmes

Classer la liste de problèmes distribuée

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Problèmes à classer Problèmes classés

Les différents types de problèmes

�La proportionnalité simple et directe

�Recherche de 4ième proportionnelle

- un des nombres est égal à 1

- aucun des nombres n’est égal à 1

�Les problèmes de comparaison

�Problèmes de proportionnalité composée et

multiple

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Les problèmes de proportionnalité

simple et directe

Deux grandeurs sont en relation de proportionnalité si

on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un

même nombre.

Exemple:

Grandeur 1: le nombre d’objets identiques.

Grandeur 2: le prix de ces objets.

Contre exemple:

Grandeur 1: l’âge des humains

Grandeur 2: leur poids

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simple et directe

Les problèmes de quatrième proportionnelle:

on recherche lune des quantités.

4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien

coûtent 14 de ces stylos ?

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Nombre de stylos 4 14

Prix des stylos 2,42 ?

Grandeur 1 a a’

Grandeur 2 b b’

Grandeur 1 a a’

Grandeur 2 b b’


simple et directeLes problèmes de quatrième proportionnelle.

Cas particulier où l’un des nombres est égal à 1.

Pb1: En rangeant ses photos de vacances dans son album, Jean a rempli 12 pages de 8 photos. Combien a-t-il de photos?

Remarques: Le 1 n’est pas explicitement dit dans l’énoncé.

C’est un problème « de multiplication »

Il fait intervenir deux grandeurs

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Nombre de pages 1 12

Nombre de photos 8 ?




Pb2 : Jean a 15 euros et Marc lui dit « j’ai trois fois plus que toi ! ». Quelle somme a Marc ?


C’est un problème « de multiplication »

Il fait intervenir une seule grandeur

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Somme de Jean 1 12

Somme de Marc 8 ?




Pb3: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours le même nombre de photos par page. Il a rempli 12 pages. Combien met-il de photos par page ?


C’est un problème « de division » partition(recherche de la valeur d’une partition)


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Pb 3:


C’est un problème « de division » partition(recherche de la valeur d’une part)


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Pb4: Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages a t-il rempli ?


C’est un problème « de division » quotition(recherche du nombre de parts)

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Nombre de pages ? 1

Nombre de photos 96 8


simple et directe

Les problèmes de quatrième proportionnelle:

Cas où aucun des nombres n’est égal à 1.



G. Martiel -2014

Nombre de stylos 4 14

Prix des stylos 2,42 ?


simple et directe

Les problèmes de comparaison:

Dans la bouteille A je mets 12 verres d’eau et 10

morceaux de sucre. Dans la bouteille B je mets 4

verres d’eau et 2 morceaux de sucre. Quelle

bouteille contient le sirop le plus sucré ?

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simple et directe


G. Martiel -2014

Bouteille A Bouteille B

Nombre de verres

d’eau

12 4

Nombre de

morceaux de sucre

10 2


simple et directe


G. Martiel -2014

Bouteille A Bouteille A Bouteille A

Nombre de verres

d’eau

12

Nombre de

morceaux de sucre

10

Bouteille B Bouteille B Bouteille B

Nombre de verres

d’eau

4 12

Nombre de

morceaux de sucre

2 ?

On se ramène à

un multiple

commun


multiple ou composée

Problèmes dans lesquels une grandeur varie

proportionnellement à deux grandeurs

indépendantes

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Exemples

• Le prix d’une journée au camping est de 10€ par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine?

• 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d’œufs pondent 6 poules en 6 jours?



G. Martiel -2014

Exemples

• Le prix d’une journée au camping est de 10€ par jour et par personne. Combien paie une personne pour 5 jours? Trois personnes pour une nuit? Un couple pour une semaine?

Nombre de jours 1 5 1 7 2

Nombre de

personnes

1 1 3 1 2

Prix en € 10 50 30 70€ 140€



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Exemples

• 3 poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d’œufs pondent 6 poules en 6 jours?

Nombre de

poules

3 3 6 6

Nombre de

jours

3 1 1 6

Nombre

d’oeufs

3 1 2 12

12 oeufs

Les différentes méthodes de

résolution

Pour la recherche de la 4ième

proportionnelle

G. Martiel -2014

Les différentes méthodes de résolution

4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent

14 de ces stylos ?

Trouver toutes les méthodes de résolution

possibles.

G. Martiel -2014

Les différentes méthodes de résolution



Procédure 1+2: linéarité multiplicative et additive.

4 stylos coûtent 2,42€

12 stylos coûtent 3 fois plus 3x2,42= 7,26 €

2 stylos coûtent la moitié de 4 donc 1,21€

14 stylos coûtent 7,26 + 1,21 = 8,47€

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simple et directe



Procédure 3: passage à l’unité ou règle de trois.

4 stylos coûtent 2,42 €

1 stylo coûte 4 fois moins: 0,605€

14 stylos 14 fois plus :14x0,605= 8,47€

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simple et directe



Procédure 4: coefficient de proportionnalité.

G. Martiel -2014

Nombre de personnes 4 14

Nombre de citrons 2,42 ?

X 0,605

14 X 0,605= 8 ,47€


simple et directe

4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent

14 de ces stylos ?

Procédure 5: produit en croix

? = ��×�,��

�= 8,47 €

G. Martiel -2014


Nombre de citrons 2,42 ?

Les problèmes de proportionnalité simple et directe

4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent 14 de ces stylos ?

Procédure 6: résolution graphique

G. Martiel -2014

€-

€2,00

€4,00

€6,00

€8,00

€10,00

€12,00

€14,00

0 5 10 15 20 25

prix

prix

Des productions d’élèves de CM1-

CM2-6ième

G. Martiel -2014

Productions d’élèves de CM1-CM2-6èmeSource : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012

Linéarité additiveG. Martiel -2014


Linéarité multiplicative et additive

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Linéarité multiplicative

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Passage à l’unité

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Coefficient de proportionnalité fractionnaire: sixième?

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Coefficient de proportionnalité : sixième?

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A l’école primaire

Quelles méthodes de résolution?

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simple et directe

Procédures 1 et 2: linéarité multiplicative et additive.

Pour 5 personnes 2 citrons.

Pour 20 personnes 4 fois plus de citrons donc 8 citrons.

Oui est à privilégier!

Remarques:

- il n’est pas utile de faire un tableau, ni dans l’énoncé,

ni dans la résolution.

- cela demande une habileté en calcul mental.

G. Martiel -2014


simple et directe

Procédure 3: passage à l’unité ou règle de trois.Pour 5 personnes 2 citrons.

Pour une personne 5 fois moins de citrons: 0,4 citron.

Pour 20 personnes: 20 fois plus de citrons

20x0,4= 8 citrons.

Oui, mais uniquement si on ne peut pas faire autrement.

Remarques:

- demande une division: pas simple

- le résultat de l’unité peut amener à des arrondis ou des résultats peu élégants.

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simple et directe

Procédure 4: coefficient de proportionnalité.

G. Martiel -2014


Nombre de citrons 2 ?

X 0,4

Oui, parfois quand ce coefficient est simple.

Ici ce n’est pas intéressant. Cela ne serait pas une

méthode très pertinente à l ’école primaire.


simple et directeProcédure 5: produit en croix

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Nombre de citrons 2 ?

Non, en aucun cas à l’école primaire

? = ��×�

�= 8 €

Pourquoi?

- le trait de fraction n’est pas une division à l’école primaire.

- cela devient une technique sans sens derrière

- cela demande aux élèves de savoir dresser un tableau

correct.

- Basé sur

=�

�⇔ � × � = � × � programme de 4ième

Les problèmes de proportionnalité simple et directe

Procédure 6: résolution graphique

G. Martiel -2014

€-

€2,00

€4,00

€6,00

€8,00

€10,00

€12,00

€14,00

0 5 10 15 20 25

prix

prix

N’est plus au programme de l’école primaire, mais peut-

être amenée

- Pour vérifier s’il y a proportionnalité ou non.

- Pour vérifier un résultat.

- Pour trouver une quatrième proportionnelle.

Une expérience

G. Martiel -2014

Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes

En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout.

Combien consomme-t-elle en 90 heures ?





En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de

mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ?

En quoi ces exercices sont-ils semblables ? En quoi

sont-ils différents ?

G. Martiel -2014

Problèmes posés à des 6ièmes et des 3ièmes









Les classer du plus facile au plus difficile .

G. Martiel -2014

Résultats du tests avec des élèves

Problème posé6ème : 68% réussite

3ème : 107% réussite

En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien

consomme-t-elle en 90 heures ?

18 (26,5%)

71 (66,4%)



48 (78,6%)

101 ( 94,4%)



42 (61,8%)

97 (90,7%)

En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien

consomme-t-elle en 8 heures ?34 (50%)

94 (87,8%)

G. Martiel -2014

Résultats du tests avec des élèves

Problème posé réussite

En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures ? N°4



En 32 heures, une installation de chauffage consomme104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures ? N°3

D’après vous, pourquoi?

G. Martiel -2014

Analyse de ces exercices



Premier au niveau réussite

Temps(heures)

6 18

Consommation.(litres)

78

x 3

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Deuxième au niveau réussite

Temps(heures)

9 108


36x 4

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troisième au niveau réussite

Temps(heures)

32 8


104

: 4

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Quatrième au niveau réussite

Temps(heures)

21 90


7: 3

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Conclusion de l’expérience

• Il est plus facile pour les élèves de trouver

une quatrième proportionnelle en utilisant

une multiplication qu’une division.

• Il est plus facile de trouver une quatrième

proportionnelle en utilisant la linéarité

que le coefficient de proportionnalité

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Difficultés des élèves

Avec la proportionnalité

G. Martiel -2014

Difficultés des élèves que vous avez

repérées

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1) Confusion entre linéarité additive et

addition.

Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012

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2) Proportionnalité, non

proportionnalité


G. Martiel -2014

Source : travaux d’A. Simard, Petit x, n°89-90, 2012G. Martiel -2014

Un problème de CRPE Blanc

Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012

Justine et Hélène courent à une même vitesse autour d’une piste. Justine est partie la première. Au moment où elle a couru 9 tours, Hélène a couru 3 tours. Combien de tours Justine aura-t-elle courus quand Hélène aura couru 15 tours ?

G. Martiel -2014

Un problème de CRPE Blanc: quelques réponses

Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012G. Martiel -2014

Source : travail en temps limité – étudiants préparant le CRPE - 2012G. Martiel -2014

3) Tableaux et proportionnalité

G. Martiel -2014


G. Martiel -2014

4) La confusion entre croissance et

proportionnalité

-

Les élèves considèrent ce tableau comme un tableau de proportionnalité parce que les valeurs de la seconde ligne augmentent régulièrement : « plus on achète, plus c’est cher ».

G. Martiel -2014

Masse (en kg) 3 13 23

Prix (en €) 5 20 35

Conséquences

• Proposer des problèmes de proportionnalité sans tableau.

Proposer des tableaux sans proportionnalité

• Mettre en place « Si j'achète n fois plus je paie n fois plus cher » et travailler le calcul mental.

• Identifier clairement ce qui est de la proportionnalité et ce qui n’en est pas: exemples des deux catégories.

• Faire travailler les élèves sur des agrandissements de puzzles, pour constater que si on ajoute un même nombre à chacune des dimensions des pièces on déforme le puzzle.

G. Martiel -2014

G. Martiel -2014

Une progression possible

I. Résoudre des problèmes en « fois plus, fois moins »

II. Situations de proportionnalité: résolution par linéarité

III. Reconnaître une situation de proportionnalité

IV. Autres méthodes: passage à l’unité - règle de trois

V. Exercices avec choix de la méthode

VI. Applications : des problèmes de la vie courante


• En CE2 et repris dans les autres classes,

résoudre des problèmes :

- De multiplication :

Sens produit de mesures

Sens additions réitérées

Posés en « fois plus, fois moins »

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• En CE2 et repris dans les autres classes,

résoudre des problèmes :

- De division :

Sens groupements (quotition)

Sens partage (partition)

Posés en « fois plus, fois moins »

G. Martiel -2014

G. Martiel -2014

II. Situations de proportionnalité:

résolution par linéarité

RECETTE DES BANANES AU FOUR

20 grammes de beurre

4 bananes

10 grammes de sucre

Questions:

1) pour 120g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?

2) Pour 10g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?

2) Pour 50g de beurre, combien de bananes? Quelle quantité de sucre?

Un problème introductif qui servira de référence

G. Martiel -2014



Pour 20 grammes de beurre, il faut 4 bananes

Pour 6 fois plus de beurre, il faut 6 fois plus de bananes.

On dit que le nombre de bananes est proportionnel à la quantité de beurre

Une « définition » à partir de cette introduction

G. Martiel -2014



• Pour les élèves:

Ce n’est pas le tableau qui va leur permettre de

résoudre le problème

C’est uniquement le sens de la situation qui va

les guider

Ils vont se poser la question:

« si j’ai deux fois plus de l’un, est-ce que j’ai

deux fois plus de l’autre? »

G. Martiel -2014



Des exercices d’entraînement qui se résolvent par linéarité.

1) Darius a pesé ensemble 10 feuilles de papier. Il a trouvé 60g.

Combien pèsent 5 feuilles identiques à celle-ci?

2) Une personne a acheté 4 places de cinéma, elle a payé 20€. Une

autre a payé 40€. Combien a-t-elle acheté de places?

3) Marc range 280 pêches dans 8 cageots et 420 pêches dans 12

cageots. Combien de pêches range-t-il dans 20 cageots

G. Martiel -2014



Une fois la linéarité acquise, on peut donner une

représentation en tableau.

G. Martiel -2014


Une idée du site « Comment aider les élèves »

Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la

question posée.

9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de

toile ?

Longueur de toile en m. 0 9 150

Coût en euros de cette

longueur.

0 105 ?

G. Martiel -2014


Une idée du site « Comment aider les élèves »

Faire un long tableau et avancer petit à petit vers la question posée.

9 mètres de toile coûtent 105 euros, que coûtent 150 mètres de

toile ?

Longueur de toile en m. 0 9 90 60 54 144 3 6 150


longueur.

0 105 1050 630 1680 35 70 1750

Longueur de toile en m. 0 9 90 150


longueur.

0 105 1050 ?

III. Reconnaître une situation de

proportionnalité

Poser aux élèves des situations de non-

proportionnalité, de manière à ce qu’ils se

posent la question de savoir s’il y a

proportionnalité ou non.

G. Martiel -2014Cap maths CM1

G. Martiel -2014

III.Reconnaître une situation de proportionnalité

Cap maths CM1


proportionnalité

G. Martiel -2014

Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la

proportionnalité.

1) Quand j’achète 5 gâteaux, le prix est 12€Quand j’achète 10 gâteaux, le prix est 24€Quand j’achète 25 gâteaux, le prix est 60 €Le prix des gâteaux est-il proportionnel au nombre de

gâteaux?

2) Quand Alim a 10 ans, Karim a 14 ansQuand Alim a 20 ans , Karim a 24 ansL’âge de Karim est-il proportionnel à l’âge d’Alim?


proportionnalité

G. Martiel -2014

Résoudre des problèmes qui ne relèvent pas tous de la

proportionnalité.

3) Un carré de 1cm de côté a une aire de 1cm2

Un carré de 2 cm de côté a une aire de 4 cm2

Un carré de 4 cm de côté a une aire de 16cm2

L’aire du carré est-elle proportionnelle à son côté?

4) L’épaisseur d’une pile de 7 revues identiques est 3 cm et l’épaisseur d’une pile de 14 revues est 6 cm.

L’épaisseur de la pile de revues est-elle proportionnelle au nombre de revues?

G. Martiel -2014

Comment décider si une situation est « de proportionnalité ou non ?

1er cas:

•Décision arbitraire, par référence à une pratique sociale- 6 objets coûtent 15€, combien coûtent 9 objets?

- pour 50g de chocolat, il faut 10 g de sucre et pour100g de chocolat, il faut 20g de sucre; combien faut-il de sucre pour 325g de chocolat?

C’est aussi ce que nous avons fait avec La Petite Géante

La relation de proportionnalité entre les deux grandeurs est alors implicite.


G. Martiel -2014


2ième cas:

• A partir de données expérimentales, qui laissent penser que le modèle proportionnelle est plausible dans certaines conditions

C’est ce que vous avez fait avec « La bougie »


G. Martiel -2014


3ième cas:

•A partir d’une formule établissant une relation entre les deux grandeurs.

Exemple : longueur de la diagonale d’un carré en fonction de la longueur c du côté (elle est égale à , en vertu du théorème de Pythagore)c2



• Résolution d’un problème facilité par la recherche du coefficient de proportionnalité ou la règle de 3.

G. Martiel -2014

Trois livres coûtent 12 € . Combien coûtent 7 livres?


Résolution d’un problème facilité par la recherche du coefficient

de proportionnalité ou le passage à l’unité.

G. Martiel -2014

Trois livres coûtent 12 € . Combien coûtent 7 livres?

• 3 livres coûtent 12€, un livre coûte 3 fois moins donc 4 €

• 7 livres coûtent 7 x 4 = 28 €

Le terme ‘coefficient de proportionnalité est au programme

de sixième


1) 2 billes ont une masse de 30 grammes. Quelle est la masse de 3 billes?

1) Jérémie achète 5 kg de pêches au prix de 13€. Combien coûtent 7kg de pêches?

G. Martiel -2014


G. Martiel -2014


1) Lors de l’essorage, le tambour d’une

machine à laver effectue 5 700 tours en 6

minutes. Combien de tours fait ce tambour

en 5 minutes?

2) Jia Li achète 4 bandes dessinées de son

héros favori. Elle paye 13,00€. Combien

coûtent 3 de ces bandes dessinées?

G. Martiel -2014


3) Michel achète 4 croissants pour 3,80€. Combien va-t-il payer pour 7 croissants?

4) Sarah fabrique des coupelles en terre. 24 coupelles ont une masse de 1,32 kg. Quelle est la masse de 16 coupelles?

5) Pour fabriquer un collier, Aude achète 35 perles pour un prix de 6,30€. Il lui manque 15 perles pour terminer son collier. Combien va-t-elle payer ces 15 perles?

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VI. Applications : des problèmes de la vie courante

• La bougie: voir séance d’hier

• Dominique Valentin

• ERMEL

• La longueur du cercle

G. Martiel -2014

Longueur du cercle

1) Expérimentation

- Mesure du diamètre

- Mesure du périmètre

Tableau des résultats

G. Martiel -2014

Longueur du cercle2) Questions à poser aux élèves:

Si le diamètre est de 16 cm , quel sera

le périmètre ?

Si le périmètre est de 60 cm, quel est le

diamètre?

G. Martiel -2014

Réponses possibles:

Faire un graphique pour voir

Supposer un proportionnalité et regarder si la

linéarité est vérifiée, puis déduire.

Une curiosité• Vous prenez une balle de ping pong, dont le diamètre

fait 4 centimètres.

A l'aide d'une ficelle, vous vous en faites exactement le

tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficelle, et

vous écartez le tout pour former un nouveau cercle

parfait centré sur votre balle.

schéma

• De quelle distance la ficelle s'écarte-t-elle de la balle ?

G. Martiel -2014

Une curiosité

2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateur avec une ficelle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra un diamètre de 12 756 km. Vous ajoutez un mètre à votre ficelle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre.

De quelle distance votre ficelle s'écarte-t-elle de la surface de la Terre ?

G. Martiel -2014

Monter une séquence sur la

proportionnalité pour votre classe

Plan de séquence;

Choix des problèmes et activités;

G. Martiel -2014

Fin

G. Martiel -2014

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