Présentation des nouveaux programmes de sixième

B. Jauffret et C. Roncin

IA IPR de mathématiques.

Extrait de l’introduction générale des programmes du collège

« A l’école primaire, une proportion importante d’élèves s’intéresse à la pratique des mathématiques et y trouve du plaisir. Le maintien de cet intérêt pour les mathématiques reste une préoccupation du collège… »

Extrait de l’introduction générale des programmes du collège

« Il est possible de se livrer, à partir d’un nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre.

Une telle activité, accessible aux élèves, a une valeur formatrice évidente et leur permet d’acquérir les savoirs et savoir-faire qui leur seront nécessaires. »

CYCLE 3 DE L’ECOLE COLLEGE

Exploitation de données numériques

Organisation et gestion de données, fonctions

Connaissance des nombres entiers naturels

Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux

Calcul

Nombres et calculs

Espace et géométrie Géométrie

Grandeurs et mesure Grandeurs et mesure

Organisation des programmes

Objectifs de chaque champpour la classe de sixième

Organisation et gestion de données, fonctions.

Mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité Proportionnalité

Initier à la représentation de données sous diverses formes (tableaux, graphiques,…) Gestion de données : organisation et représentation.

Nombres et calcul conforter et étendre les connaissances sur

les décimaux : désignation, ordre, calcul Nombres entiers.

mettre en place une nouvelle signification de l’écriture fractionnaire (quotient de deux entiers) Fraction et quotient

développer le calcul mental et l’utilisation rationnelle des calculatrices Deux questions

Géométrie compléter la connaissance des propriétés de

certaines figures planes et du parallélépipède rectangle, les reconnaître dans une configuration complexe.

utiliser les propriétés de la symétrie axiale, reliées aux notions de médiatrice d’un segment et de bissectrice d’un angle.

maîtriser l’usage de techniques de construction et l’utilisation des instruments adaptés.

À l ’école…

L’une des finalités du travail relatif à la géométrie à l’école élémentaire est d’amener les élèves à passer d’une reconnaissance perceptive des objets mathématiques du plan et de l’espace à une connaissance de ces objets appuyée sur certaines propriétés, vérifiées à l’aide d’instruments.

Cette géométrie est donc essentiellement expérimentale, même si quelques questions nécessitant des déductions doivent déjà être proposées. Elle est organisée autour de cinq grands types de problèmes: reproduire, décrire, représenter, construire, localiser.

(extrait du doc. d’accompagnement des nouveaux programmes de l’école primaire)

(extrait du doc. d’accompagnement des nouveaux programmes de l’école primaire)

En sixième, où la géométrie occupe une place nettement plus importante qu’à l’école primaire (environ un tiers du temps au collège contre un cinquième du temps dédié aux mathématiques à l’école primaire), les élèves ne travaillent pas sur des objets nouveaux. Les travaux conduits à ce niveau doivent prendre en compte les acquis antérieurs, évalués avec précision et se fixer de nouveaux enjeux.

Les activités conduites doivent viser en particulier à stabiliser les connaissances des élèves, à les structurer, et peu à peu à les hiérarchiser… avec notamment, un objectif d’initiation à la déduction.

En sixième…

Géométrie à l’école et au collège Validation :

appui sur le dessin

Objets:

reconnaissance de forme (perception, intuition, utilisation des instruments)

Validation :

appui sur le texte qui définit la figure

Objets:

- les solides sont définis par leur forme

- les quadrilatères changent de statut

Exercice de passage      

D

EA B

C

4

7

Calculer EB

Grandeurs et mesure Compléter les connaissances relatives aux

longueurs, masses et durées Consolider la notion d’angle, à partir des

premières expériences de l’école primaire Assurer la maîtrise de la notion d’aire (distinguée

de celle de périmètre) et celle du système d’unités de mesure des aires

Mettre en place la notion de volume et commencer l’étude du système d’unités de mesure

Objectifs généraux

Objectifs visés Consolider, enrichir et structurer les acquis

de l’école primaire Préparer à l’acquisition des méthodes et

des modes de pensée caractéristiques des mathématiques

développer la capacité à utiliser les outils mathématiques dans différents domaines (vie courante, autres disciplines)

Prise en compte des connaissances antérieures des élèves mettre en valeur des points forts et repérer

des difficultés de chaque élève à partir d’évaluations diagnostiques

faire fonctionner les notions et « outils » déjà étudiés dans de nouvelles situations, autrement que par des révisions

Activité mathématique de l’élève

Elle doit être essentiellement orientée vers : la résolution de problèmes la modélisation de quelques situations l’apprentissage progressif de la démonstration

Lire, écrire, parler en mathématiques. Lire : s’entraîner à mieux lire et mieux comprendre

un texte mathématique Ecrire : - écrits « de recherche » - écrits destinés à être communiqués et discutés qui

doivent faire l’objet d’un souci de lisibilité et d’explicitation

- écrits « de référence » destinés à être conservés (cours, corrigés)

Lire, écrire, parler en mathématiques. Parler :

- articuler et formuler les différentes étapes d’un raisonnement 

- communiquer, argumenter à propos de la validité d’une solution

- améliorer la précision du langage pour se faire comprendre des autres lors d’un débat argumentatif

Travail personnel des élèves Il est indispensable pour que les élèves

parviennent à consolider leurs connaissances et à acquérir une certaine autonomie, tant en classe que hors de la classe.

Il n’est pas forcément écrit : cette habitude de travail hors de la classe peut être prise très tôt dans la scolarité.

Proportionnalité« La résolution de problèmes de proportionnalité, déjà

travaillée à l’école primaire, se poursuit avec des outils nouveaux », il s’agit de :

Traiter les problèmes de proportionnalité en utilisant des raisonnements appropriés (passage à l’unité, rapport de linéarité, coefficient de proportionnalité) ;

Reconnaître si une situation relève ou non de la proportionnalité ;

Appliquer un taux de pourcentage.Organisation et gestion de données, fonctions

Gestion de données : organisation et représentation.

A l’entrée en sixième, les résultats des évaluations nationales montrent que les élèves sont capables de lire les informations à partir d’un tableau ou d’un graphique.

Il s’agit de les amener à organiser eux-mêmes des données en choisissant un mode de représentation adapté (pour les tableaux) et de poursuivre l’interprétation des autres types de graphiques.

Nombres et calcul

Nombres entiers.Pour les nombres entiers naturels, les connaissances relatives : à la désignation orale, littérale ou

chiffrée à l’ordre

sont attendues et indispensables à la poursuite des apprentissages au collège.

Nombres décimaux.En s’appuyant sur le travail fait à l’école, il s’agit de : connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de

leur rang dans l’écriture d’un entier ou d’un décimal associer diverses désignations d’un nombre décimal

(écriture à virgule, fraction décimale) comparer des nombres, les ranger, les placer sur une droite

graduée, intercaler un nombre entre deux autres les règles utilisées doivent être justifiées en s’appuyant sur la signification des écritures décimales

donner des valeurs approchées et rechercher des ordres de grandeur

• Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple) 

Extraits de la conférence de Roland Charnay aux journées IG-IPR de mathématiques de Lyon le 18 mai 2004

• Du côté du collège, une reprise est nécessaire, sans refaire ce qui a été fait à l’école primaire, mais en sollicitant en permanence la compréhension des écritures décimales… et donc en évitant d’aller trop rapidement vers l’utilisation de techniques non justifiéesNombres et calcul

Écritures décimales

Fraction et quotient« La notion de quotient occupe une place centrale en

sixième sous ses différentes significations : quotient euclidien, décimal, fractionnaire ».

Il s’agit donc de mettre en place une nouvelle signification de l’écriture fractionnaire en interprétant le quotient de deux entiers a et b comme le nombre qui, multiplié par b, donne a.

Deux constructions d'un segment ayant pour longueur cm.

12

7

Construction sollicitant l'aspect “fraction” et l'expression

“Douze septièmes”

Construction sollicitant l'aspect “quotient” et l'expression

“Le septième de 12 cm”

Les deux segments obtenus ont-ils bien la même longueur ?

1,00 cm

Fractions ou quotient d’entiers ?

Depuis l'école, on sait que 14, c'est 2 fois 7, ce qu'on écrit : 7 2, et que 12 n'est pas égal à un nombre entier de fois 7. En revanche, les exemples traités précédemment dans le cadre des mesures de longueur donnent du sens à l'énoncé suivant : « 12, c'est fois 7 » , ce que l'on note :

Autrement dit, est le nombre qui, multiplié par 7, donne 12.

7

12

12

7

1277

12

127

127

Les fractions sont des nombres.

77

12ou

7

127

Nombres : changement de point de vue

: douze septièmes

1,2 : une unité et deux dixièmes

712 : septième de douze

1,2 : dixième de 12

712

Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité

Des entiers naturels aux décimaux : renoncer à l’idée de nombres qui se suivent accepter l’intercalation "sans fin"

Passage aux fractions quotients :accepter qu’un nombre ne s’exprime pas nécessairement

par une suite de chiffres

Passage aux négatifs : renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la

mesure d’une grandeur Nombres et calcul

Deux questions

Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ?

Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ?

Apprendre à calculer pour… apprendre à rendre calculables des situations

par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes)

apprendre à traiter des calculsde façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché

apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine

(Cf. initiation à l’usage du tableur au collège)

Calcul mental

Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire  Indispensable pour le calcul posé Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul Indispensable à l'acquisition de nouvelles

connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à

un cas qui peut être traité mentalement

Calcul instrumenté

l’utilisation d’une machine ou d'un logiciel doit être contrôlée

la calculatrice est une aide dans la résolution de problèmes

l’apprentissage de certaines fonctionnalités peut être un objectif

l’utilisation de la machine ou du logiciel fournit des problèmes

Calcul posé : recentrage dans deux directions

Bonne maîtrise des techniques dans des cas dits « simples »

Compréhension et justification de ces techniques

L'extension du calcul aux décimaux suppose des restructurations de connaissances

Sens de la multiplication liée, pour les entiers, à l'addition itérée

Sens de la divisionliée, pour les entiers, au partage

La multiplication d’un nombre décimal par un entier est un acquis du cycle 3.

La multiplication de deux nombres décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique posée.

La multiplication

La divisionAu cycle 3, des problèmes mettant en œuvre des divisions euclidiennes ont été résolus par les élèves à l’aide de  procédures personnelles. 

En sixième, il s’agit de  reconnaître des situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une division euclidienne et d’interpréter les résultats obtenus : on attend la mise en place d’une procédure experte.

Les élèves doivent savoir calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d’un décimal par un entier, dans des cas simples Géométrie