Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71...

Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tl : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71 89 E mail : [email protected] IDENTIFICATION IMA 3 Automatique Algorithme didentif. yr(t) ym(t) + - < adm ? u(t) non oui Modle

2 Chapitre 1 INTRODUCTION

Chap.1 / 3 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION DEFINITIONS ET BUT DE LIDENTIFICATION F Positionnement

Chap.1 / 4 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Modlisation ? F Dfinitions Modlisation ? : Ensemble des procdures permettant dobtenir un modle Modliser un systme = capable de prdire le comportement du systme Subjectivisme de la modlisation : modle = intersection du systme et du modlisateur Modle jamais "exact"? F Importance Outil d'aide la dcision., Support de la simulation, Reprsente 50 % dun projet de commande Perspectives grce l'informatisation F Un modle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prvoir, Commander (dcider).

Chap.1 / 5 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Un modle comment faire ? F 1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, conomiques etc.. Difficults de dcrire fidlement les phnomnes complexes; Hypothses simplificatrices; Dilemme- prcision-simplicit Un modle simple est faux, un modle compliqu est inutilisable. Les paramtres ont un sens physique donc modle commode pour l'analyse. F 2. MODELE DE REPRESENTATION Systme "boite noire"; Exprience active (systme drang) ou passive (alatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramtres du modle n'ont aucun sens physique; Modle de conduite (modle E/S) utile pour la commande; Complment du modle de reprsentation.

Chap.1 / 6 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Classification des modles F selon le caractre des rgimes de fonctionnement statique et dynamique F selon la description mathmatique linaire, non linaire F selon les proprits dynamiques paramtres localiss, paramtres distribus F selon lvolution des paramtres : stochastique, dterministe F selon le nombre de variables : monovariable (SISO), multivariable (MIMO)

Chap.1 / 7 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION tapes de modlisation

8 GENERALITES SUR LIDENTIFICATION

Chap.1 / 9 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Dfinitions de lidentification F Dfinition au sens de Zadeh (1962) : Lidentification dun procd est dfinie comme la dtermination, base sur la connaissance des entres et des sorties du procd, dun modle appartenant une classe spcifie, quivalente au procd. Lidentification dun systme cest la dtermination de son modle mathmatique sur la base des observations exprimentales entres- sorties. Le traitement mathmatique des rponses graphiques du systme est appel IDENTIFICATION. Le modle obtenu est dit de conduite ou de reprsentation F Pourquoi lidentification : importance

Chap.1 / 10 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Mthodologie de lidentification CALCUL DU MODELE Choix de la structure du modle Acquisition de donnes Planification des expriences Utilisation du modle OUI Adquation du modle ? Connaissance priori Choix critre didentit NON

Chap.1 / 11 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Principe de lidentification F Base de lidentification : Exprience Exprience active Exprience passive F Principe 1. tape qualitative : Sur la base dune connaissance priori du systme identifier, on fixe une structure du modle comportant des coefficients inconnus. : Boite grise et boite noire 2. tape quantitative : Elle consiste la dtermination des coefficients inconnus du modle de faon que la diffrence entre les N sorties relles du systme et celles du modle soit minimale selon un critre donn quon rsout par un algorithme didentification

Chap.1 / 12 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Estimation des paramtres du modle Dterminer les valeurs des paramtres du modle sur la base des observation E/S tel que la sortie du modle soit la plus proche du systme rel selon un critre fix. PROCESS Ys(t) Entres Ym(t) x(t) + - MODELE Algorithme didentification a i, b i

Chap.1 / 13 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION F Distance dtat base sur la diffrence entre la sortie du systme et du modle SYSTEME Ys(i) Entres Ym(i) x(i) + - MODELE Critre didentification (i) D( (i))

Chap.1 / 14 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION Distance de prdiction F Distance de prdiction base sur la diffrence entre la sortie du systme et celle que prdit le modle au mme instant Exemple : modle choisi est une quation de 1 er ordre aux diffrences : on utilise linformation linstant ( i-1 ) SYSTEME Ys(i) Entres Yp(i) x(i) + - MODELE Critre didentification (i) D( (i)) Ys(i-j)

Chap.1 / 15 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION F Distance de structure base sur la diffrence entre les paramtres du systme et ceux du modle Remarque : distance de structure non mesurable directement. On se base sur les effets de cette structure sur la sortie Exemple : approximer un modle paramtres distribus par un modle paramtres localiss SYSTEME Entres x(i) + - MODELE Critre didentification s D( s ) m

Chap.1 / 16 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION VALIDATION DU MODELE ERREUR DE MODLISATION Explosion nuclaire Modle de la raction nuclaire Poste de commande Feed back pour la correction du modle Donnes exprimentales Donnes du modle il faut que lerreur soit minimale dans les systmes industriels Processus Modle + X(i) - Y m (i) max Y E (i)

Chap.1 / 17 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F Caractristiques du signal dexcitation Centre : 10% de la consigne Spectre riche : recueillir le max dinformation sur le systme (exciter sur toute la bande de frquence intressante) Dterministe : Physiquement ralisable Amplitude limite : ne pas trop perturber le process, rester en linaire F Quel signal ? : Squence Binaire Pseudo Alatoire SBPA

Chap.1 / 18 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F SBPA et STPA Suite dvnements cre de faon dterministe mais apparaissant alatoire +a -a x(t) t +a -a x(t) t SBPA (2 niveaux) STPA (3 niveaux) 0

Chap.1 / 19 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F 1. Mthode de base Bases sur les rponses graphiques ( indicielles, impulsionnelles..) F 2. Mthodes du modle Ajuster manuellement ou automatiquement la structure ou les paramtres du modle jusqu ce que min. Itrative SYSTEME x(t) + - MODELE algorithme s Paramtres du modle Ajustement ys(t) ym(t)

Chap.1 / 20 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F 3. Mthode statistiques Bases sur les MMC F 4. Thorie de lestimation et filtrage Estimation de ltat du procd partir des E/S. PROCESSUS X(t) x(t) FILTRE Reconstructeur ys(t)

21 Chapitre 2 METHODES DE BASE

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 22 Classification des mthodes de base F Avantages et inconvnients des mthodes de base Avantage : Simplicit, outil mathmatique simple Inconvnient : signaux dentre spcifiques (donc pas toujours ralisables) F Classification des mthodes de base 1.Analyse indicielle 2.Analyse impulsionnelle 3.Analyse harmonique

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 23 Exprimentation dans un SRA - C U TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE REGULATEUR VANNE PROCESSUS PHYSIQUE CAPTEUR DE TEMPERATURE Auto. Manu.. M E x y U SYTEME A COMMANDER M

24 Mthodes de Broda et du 1 er ordre par un exemple

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 25 CAHIER DES CHARGES Ptrole brut Ptrole chauff Ts - Ts-Tc TRC PR Air (O 2 ) FI THS FVC U Conigne Tc AR FR 1 TT 1 1 1 1 1 2 Gaz 1

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 26 Schma fonctionnel, dfinitions des E/S - Tc U Ts 1 TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE REGULATEUR VANNE CONDUITE DE GAZ FOUR CONDUITE DE PETROLE CAPTEUR DE TEMPERATURE Auto. Manu.. x Pr Ts - Qp(t) T

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 27 Rgimes de fonctionnement F Ts(t) - Grandeur de sortie ( temprature la sortie c'est la grandeur rgler ), Valeurs maximales et minimale de la variation de temprature : Tsmax = 170c, Tsmin=20 c ; Tso - Valeur nominale de la temprature le fonctionnement Tso = 80 C F Pg (t) - Grandeur d'entre ( pression du gaz combustible - Grandeur rglante ); Valeurs maximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars, Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ; F Qp - Dbit du ptrole l'entre (perturbation); Dbit nominale du ptrole l'entre : 20 m 3 /s ; Qpmax = 30 m 3 /s bars, Pgmin =10 m 3 /s. Il existe aussi dautres perturbations (pouvoir calorifique du gaz, temprature ambiante etc...) que nous considrons comme constantes. F x : dplacement du clapet de la vanne [0 6mm] F U : sortie du rgulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 28 Bloc diagrammes F 1. En boucle ouverte (sans correction) : Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) - +

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 29 Bloc diagrammes F 2. En boucle ferme (avec correction) Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) (+) C(p) Tc(p) (-)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 30 LogistiqueLogistique Auto. - Tc U Ts 1 C(p) Wv(p) Wcg(p) Wz(p) Wct(p) Manu.. x Pr Qp Ts - + Wf(p) U(p) Wv(p) Wcg(p) Wf(p) Wct(p) Ts(p) U(p) G(p) Ts(p) ? Wz(p) ? Ts(p) Qp(p)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 31 PrparationPrparation F Mthodologie 1. Correcteur mis en fonctionnement manuel, systme stabilis 2. On applique un signal en chelon de + ou - 10% de la valeur nominale Rponse enregistre la sortie du transmetteur Le modle de conduite ( ou la fonction de transfert ) dterminer du traitement de la rponse graphique dcrit l'ensemble des systmes ( vanne, objet, capteur, transmetteur)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 32 ExprimentationExprimentation F Vue global PROCESS VANNE CAPTEUR TRANSMETTEUR SYSTEME A IDENTIFIER SALLE DE CONTROLE C 10 % REGULATEUR

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 33 Identification de la fonction de transfert par rapport la perturbation F Identification de Wz(p) : Exprimentation Wz(p)) Ts(p) Qp(p) ? 05 10 1520253035 80 85 90 95 Ts(t) [c] t (main.) T=10 Qp(t) [m 3 /s] t 23 20

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 34 Identification de la fonction de transfert par rapport la perturbation F 1. tape qualitative : structure du modle F 2. Etape quantitative : calcul des paramtres du modle gain relatif

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 35 3. Vrification du modle 3. Vrification du modle 95 05101520253035 80 85 90 Ts(t) Tm(t) Ts(t) Emax=0.83/15 =5.53% Sortie du modle Vrification

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 36 Mthode de Broda : Identification de la dynamique du four F 1. Identification de G(p) : Exprimentation Ts U t 60% 0% 50% 100% 0,68bar 1 bar 0,6bar 0,2bar Us(t) U G(p) Ts 80 1020304050607080 Ts(t) 84 88 92 96 100 t1t1 t2t2 t (min.) courbe exprimentale Ts(t)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 37 Principe de la mthode Broda F principe La mthode de Broda est une mthode d'identification en boucle ouverte d'une rponse indicielle exprimentale qui consiste a assimiler la fonction de transfert d'un systme d'ordre n celle du premier ordre affecte d'un retard pur F Le problme d'identification : dterminer les paramtres suivants T, Constante du temps (sec.), : Temps de retard pur (sec.) :

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 38 Calcul des paramtres du modle de Broda F Mthodologie Broda fait correspondre la rponse indicielle identifier et la fonction de transfert du 1er ordre affecte d'un retard en deux points t 1 et t 2 d'ordonnes correspondant 28% et 40% de la valeur finale de la sortie du systme.

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 39 Calcul des paramtres du modle F Paramtre du modle F Modle final

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 40 Modle du systme global commander - Tc(p) U(p) Ts(p) - + Qp(p) 50% 60% U Systme rel 020406080100 0 100% Tm(t) : Sortie modle Ts(t) : Sortie systme Ts(t) Tm(t) Ts(t) Tm(t) U(t)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 41 Synthse du systme de rgulation continue F Schma fonctionnel du systme rguler - Tc(p) U(p) Ts(p) + + Qp(p) PID

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 42 METHODE DE STREJC METHODE DE STREJC Principe La mthode d'identification de STREJC est base sur les proprits gomtriques de la rponse indicielle d'un systme d'ordre n de fonction de transfert Paramtres identifier

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 43 METHODE DE STREJC F Mthodologie En se basant sur la rponse indicielle, on tablit : t( sec.) yIyI 1 TATA TUTU I Rponse indicielle dun modle de Strjc

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 44 METHODE DE STREJC F Tableau de Strejc

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 45 Paramtres du modle de STREJC F A. Dtermination de K Le coefficient de proportionnalit K est dtermin des conditions d'expriences comme le rapport de l'amplitude du signal de sortie celui d'entre. F B. Dtermination de n On trace le mieux possible la tangente au point d'inflexion de la rponse indicielle La tangente dcoupe un segment T A sur l'axe des temps au bout d'un certain temps T U ( comportant un temps de retard inconnu ). On calcule le rapport T U / T A et on choisira du tableau, la valeur de T U / T A qui correspond une valeur de n entier, immdiatement infrieure. A titre dexemple, si TU=3S, TA=11, alors TU / TA = 3/11=0,27 ; La valeur de n entier la pus proche infrieure sera gale n=3.

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 46 Paramtres du modle de STREJC F C. Dtermination de la constante de temps T Connaissant la valeur de n, T A (ou T U ), on dtermine la constante du temps T l'aide de l'une des deux dernires colonnes du tableau. Dans notre cas, pour n= 3, TA / T = 3,695 alors T= TA /3,695 = 3,2sec. F D. Dtermination du temps de retard fictif Afin de compenser l'erreur due la dtermination du point d'inflexion, on introduit un retard fictif =T UR -T UT F T UT : dtermine du tableau de Strjc. T UR : Valeur relle de la grandeur T U fixe sur la rponse indicielle. Dans l'exemple T UR = 3sec., alors T UT / T A =0,218 (pour n=3) do T UT =0,218* T A =0,218*11=2,4sec. Alors = 3-2,4=0,6s F Si est 1, Structure du " title="Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 97 1. cas multivariable F K>1, Structure du ">

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 97 1. cas multivariable F K>1, Structure du modle F Calcul des paramtres Processus alatoire : la sortie est affecte d'un bruit V(t) : Ralisation de N expriences

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 98 F 1. Systme non bruit V=0 Cas dterministe, si H est inversible, alors : Cas non raliste F 2. Systme bruit V#0

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 99 Estimation des paramtres F 2 types derreurs : Erreurs d'observation : Erreurs destimation : F Estimateur optimal Critre doptimalit Conditions d'optimalit Conditions d'observabilit : H T non singulire et N > K

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 100 Biais de l'estimateur F Biais de lestimateur b b=0 : Estimateur non biais ( pas d'erreur d'estimation); Densit de probabilit centre sur la valeur cherche b # 0 : Estimateur biais V et H squences corrles ( hypothses de rgression); V est de moyenne non nulle

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 101 Simulation sur Matlab home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') % VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6]; pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n= n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION') pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]); ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n') F 1. Cas monovariable

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 102 Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:') disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:') y=[5 13 9 4 11 12 23]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE') ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2 pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE') Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D') plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modle, Exprimentale');

103 INDENTIFICATION DES MODELES DYNAMIQUES Identification des modles paramtriques discrets par la MMC

104 objectifobjectif tude des mthodes didentification de modles paramtriques discrets sur la base des E/S chantillonnes au mme instant

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 105 PrincipePrincipe F Motivations Utilisation des PC pour la commande numrique des procds fournit des sorties chantillonnes Intrt dutiliser ces sorties chantillonnes pour lidentification par la MMC F Avantages Simple a mettre en uvre Implmentation en temps rel sur calculateur sous forme rcursive

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 106 MMC cas continu et cas discret Systme identifier CAN Modle prdictif A.A.P. y(k) Paramtres du modle E(k) Systme identifier Modle continu Algorithme u(t) y(t) Paramtres du modle CAN S.B.P.A u(t) t Cas continu : se base sur lerreur dobservation Cas discret : se base sur lerreur de prdiction

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 107 Particularit par rapport au MMC simple F Les mthodes des MMC dans ce chapitre appels Mthodes bases sur lerreur de prdiction Considre que lerreur dquation E(k) dit rsidu est un bruit de mesure entre la sortie relle y(k et la sortie prdite du modle (alors que MMC simple erreur entre systme relle et le modle F Objectifs de ce chapitre tude des principales mthodes des MMC bases sur lerreur de prdiction Identification tems rel Mthodes rcursives Mthodes fentre glissante Mthodes pondres

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 108 Caractristiques des mthodes paramtriques statistiques F liminent les dfauts mentionns prcdemment F algorithmes non rcursifs MMC simple F (rcursifs (Traitement pas pas des donnes), permet suivi des paramtres en temps rel F oprant avec des signaux dexcitation extrmement faibles (SBPA de faible niveau) F permet de modliser les perturbations et bruits capteurs (et supprimer) F traitement ais du signal (analyse spectrale) Comment commence t on? On choisit une structure procd+perturbation pour l identification une structure non adapte entrane un biais Et ensuite?

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 109 Reprsentations des modles chantillonns F 1. MODELE ARMA (Auto Rgressif Moyenne Mobile Soit un signal y(t) gnr par un signal dentre u(t) u(t) et y(t) sont reprsents par leur chantillons des instants k, 0 1 2 .k u(k) PROCESSUS 0 1 2 .k y(k)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 110 Modle ARMA : reprsentation temporelle F Modle dcrit par un modle ARMA dordre (n,m): Intrt dune telle reprsentation A une infinit dchantillons pour reprsenter un signal on a un nbre fini de paramtres pour reconstituer le signal Schma bloc du modle ARMA + - u(k) Si a 0 =0, le modle est non causal

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 111 Reprsentation ARMA : cas gnral F Connaissant les sorties du systme chantillonn y(k), on calcule la sortie prdite: y(k-1), .y(k-n) : chantillons dun signal analogique de sortie y(t) aux instant k, k-1,.k-n u(k-d),u(k-m-d) : chantillons de lexcitation dentre u(t) qui a gnr y(t) d : retard pur multiple de la priode dchantillonnage Te compt en nombre entier de Te K : temps discret normalis (temps rel) divis par la priode dchantillonnage : k=t/Te bj et ai : paramtres du modle

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 112 Modle ARMA : reprsentation frquentielle F Introduisons loprateur retard Z -1

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 113 Transforme en Z du modle ARMA F Transforme en Z F Le modle ARMA est donc un filtre dE/S u(Z) y(Z)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 114 Modle AR (Auto regressif F Cas : b j =0 (i=1,m) F Le modle est dit : TOUT POLES

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 115 Modle MA (Auto regressif F Cas : a i =0 ( i > 0 ) F Le modle est dit : TOUT ZERO

116 CALCUL DES PARAMETRES DES MODELES DISCRETS 1. MMC SIMPLE

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 117 Systme bruit F Soit le systme dynamique bruit F Soit E vecteur des erreurs de modlisation + +

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 118 Dtermination des paramtres F Ralisons N expriences Les valeurs y(1),y(n) et les entres correspondantes sont connues : conditions initiales Cond. Initi. N exp.

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 119 F criture matricielle du systme dexpriences F Rsolution du problme au sens des MMC Conditions dexpriences : N >= n+m

120 METHODE DES MMC GENERALISEES 1. LIMITES DE LA MMC SIMPLE

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 121 LIMITES DE LA MMC SIMPLE F Proprits statistiques de lestimateur Lestimateur est une variable alatoire car elle dpend de y(K) : La valeur moyenne (Esprance mathmatique ) de E( ) sera

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 122 F Dfinitions : Biais de lestimateur Un estimateur correct (sans biais) impose : F Conditions pour avoir un estimateur sans biais Un estimateur est sans biais ssi on a:

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 123 F On peut crire : F sont des fonctions de corrlation Alors (le coef. de corrlation est nulle sil ny a pas de corrlation) : Bruit non corrl avec les donnes dexpriences : Ce sont justement les hypothses pour construire un modle de rgression ssi

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 124 F Analyse de la condition du biais F Lestimateur optimal est sans biais : 1.si le bruit E(k) est une squence non corrls avec H(k) 2.ou E(k) est un bruit centr

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 125 ConclusionsConclusions F Le biais serait nul si : Le bruit auquel est assimil lcart (modle systme rel) tait blanc Le bruit E et la matrice des expriences H ne sont pas corrls F Quel sens ? La valeur exacte recherche du vecteur paramtre serait gal la moyenne de tous les vecteurs optimaux obtenus en rptant N fois les expriences Lestimation est alors biais si les observations ont affectes dun bruit corrl avec les mesures F Que faire alors si les observations ont affectes dun bruit corrl avec les mesures ?

126 2. ESTIMATION DES PARAMTRES DE MODLE AFFECT DUN BRUIT CORRELES

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 127 Principe de la mthode MCG (GLS) F Objectifs Obtenir une estimation optimale non biaise dans le cas dune observation avec un bruit corrl Mots clefs : Blanchissement du rsidu F Modle ARMA bruit Montrons que mme si le bruit de mesure est un bruit blanc non corrl, lestimation est biais (car la structure ARMA modifie le bruit de mesure en une squence corrle)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 128 Notion de rsidu F Soit un modle ARMA non bruit F Systme affect dun bruit v(k) lentre et la sortie ARMA + + +

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 129 Rsidu corrl F Pourquoi le bruit v(k) devient un rsidu r(k) corrle ? F Si le bruit agit lentre on obtient : RSIDU : est un bruit corrl

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 130 F Mthodologie Soit Sous forme frquentielle (en introduisant Z -1 ), elle devient : Supposons que le rsidu r(k) est gnr par un bruit blanc v(k) travers un filtre :

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 131 Mthode de Clarke (1967) F On a vu : la structure du modle introduit bien un bruit corrl Comment alors obtenir un bruit blanc ou qui ses approche F Mthode de Clarke (1967) ou mthode GLS : Elle consiste transformer par filtrage successif les donnes exprimentales pour obtenir un cart (modle - systme) qui devient un bruit blanc

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 132 F Analyse, lexpression obtenu est un modle : Sur ce modle agit un bruit blanc v(k), les E/S sont : On peut alors noter ce nouveau modle Quel est le sens physique de cette expression ? Yr(k) Ur(k)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 133 Le modle en terme de schma bloc PROCESSUS +- Bruit blanc Si lon filtre les donnes y(k) et U(k) on obtient lerreur dquation qui sera un bruit blanc (sortie Ur et y r. Ces sorties Ur et y r sont traites alors par lamthode MMC simple avec un estimateur sans biais des coeff. de A(Z -1 ) et B(Z-1) ALORS IL FAUT DETERMINER LE FILTRE C(Z -1 ) ???? ERREUR GENERALISEE

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 134 Estimation des coefficients de v(k) F Si C(Z -1 ) est connu alors on peut estimer Mais : la dynamique du bruit C(Z -1 ) nest pas connu Comment calculer les paramtres de C(Z -1 ) ? F Estimation de C(Z -1 ) Dans le domaine frquentiel on a: En traduisant dans le domaine temporel v(k) on a : Le problme revient alors estimer par la MMC les paramtres de v(k)

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 135 F Mthode MMC appliqu r(k) Relevons les mesures effectues de p N. On peut crire : Nous sommes en prsence de modle classique o V est un bruit blanc, C : le vecteur des paramtres dterminer R : tant la matrice dobservations des erreurs inconnues C : Vecteur des erreurs inconnus

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 136 F Comment calculer C ? On ne connat ni la matrice R ni le vecteur r F Alors on les dtermine dune faon itrative 1. Soit donn :

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 137 F 1. Estimation du vecteur des paramtres F 2. Calcul des rsidus F 3. On construit le filtre C(Z -1 ) partir du rsidu r F 4. On filtre les donnes y et U pour obtenir yr et ur

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 138 F 5. Connaissant yr et Ur on forme un nouveau vecteur H pour calcule de nouveau et on ritre lopration F 6. Quand sarrter ? Critre de convergence Soit S : le nombre ditrations C i (Z-1) : le filtre obtenu au ime pas de calcul Le filtre global sera alors : Si n est lordre de chaque filtre Ci, lordre du filtre global C(Z-1) est nS Si on veut avoir un filtre qui ne dpend que du nombre ditrations on fixe n=1

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 139 Solutions pour la convergence F On fixe le nbre ditrations priori Procdure arbitraire F Arrt du programme quand les paramtres C du filtre deviennent petits Difficile prciser numriquement F Arrter quand On sarrte quand la diminution du critre nest plus significative en gnral : J/J < 1%

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 140 Algorithme MCG Dbut Lecture des donnes H N (0)= H N, y N (0)= y N, i=0, Calcul de lestimateur Calcul des rsidus Calcul du critre doptimalit Calcul des paramtres du filtre Filtrage des donnes oui Non

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 141 tape de filtrage : 2 manires F 1. Filtre dordre constant en filtrant tj le mme jeu de donnes Problme : choix de lordre de C(Z -1 ) F 2. Filtre dordre variable en filtrant les donnes prcdemment filtres Cette approche consiste mettre en srie i filtres Ci(Z -1 ) sur les donnes initiales Problme : coteuse car on aura n mesures supplmentaires chaque pas

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 142 ConclusionsConclusions F Inconvnient Introduction dun grand nbre de donnes la fois Ncessite linversion de la matrice C (de grandes dimensions) F Avantages Performante surtout dans le cas dun signal riche (SBPA) Si les paramtres statistiques du bruit sont connus, le filtre C(Z -1 ) est parfaitement dtermin : on a alors directement un estimateur sans biais des coefficients de A(Z -1 ) A(Z -1 ), C(Z -1 ) et B(Z -1 )/ C(Z -1 ) donc des coefficients de la FT du modle

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 143 Diffrents types de modle F 1. Modle ARX (AutoRgressive Entre Exogne) Modle utilis pour la MMC simple. quation de rcurrence Paramtres dterminer : na : nbre de ples, nb-1: nbre de zros d : le retard pur

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 144 Diffrents types de modle F 2. Modle ARMAX (AutoRgressive Moyenne Ajuste et entre exogne) quation de rcurrence Paramtres dterminer : na : nbre de ples, nb-1: nbre de zros d : le retard pur nc : ordre du modle de la dynamique du filtre

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 145 Diffrents types de modle F 3. Modle OE (Output-Error) bas sur lerreur de sortie quation de rcurrence Paramtres dterminer : nb, d, et nf

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 146 Diffrents types de modle F 4. Modle BJ (Box Jebkins) Modle utilis pour distinguer la dynamique du modle et du gnrateur du rsidu Paramtres dterminer : nb, nf, nc, nd et d

147 METHODES RECURSSIVES

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 148 F Limites de la MMC simple F Principe de la RLST Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 149 F Le stimateur de la nouvelle mesure F Le gain dadaptation ou facteur de pondration de la mise jour apporte par la nouvelle mesure

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 150

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 151 INITIALISATION DE L'ALGORITHME F P(0) = diag(1000); 0)=0. F PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN F Inconvnient de la RLST

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 152 MMC AVEC FENETRE GLISSANTE F PRINCIPE : Tronquer les observations travers une FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et mesure que les chantillons arrivent

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 153 F Estimateur optimal La formule met en vidence la contribution dans la nouvelle estime de l'enrichissement d l'observation l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N ime observation qui doit tre retranche d'autre part de l'estimation prcdente. F Limite de la mthode

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 154 MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION F Princiope CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei Pondration des erreurs

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 155 F Choix de la pondration On recommande progression gomtrique < 1 : Favorise les premires mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernires mesures par rapport aux premires F Critre doptimalit

Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 156 F RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION

Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71...

Documents

Transcript of Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71...