Problème PondichéryJuin 2003

• Énoncé

• Corrigé

Madeleine ABRAHAMI

Collège Léon Gambetta 75020 Paris

ÉNONCÉ

Une crèche propose deux tarifs pour la garde  d’un enfant .

Tarif A : pour une fréquentation occasionnelle, 15 € par jour de garde

Tarif B : un forfait mensuel de 80 € plus 5 € par jour de garde

Énoncé : première partie

1. En janvier, Grégoire a fréquenté la crèche 4 jours et Aurélien15 jours. Calculer la dépense pour chacun des deux enfants avec le tarif A puis avec le tarif B.

2. On appelle x le nombre de jours de fréquentation en un mois. Exprimer en fonction de x le prix A(x) payé avec le tarif A et le prix B(x) payé avec le tarif B.

3. Résoudre l’inéquation 5x + 80 < 15x. Interpréter le résultat.

Énoncé : deuxième partieToutes les lectures graphiques seront indiquées par des pointillés.

On considère maintenant les fonctions A et B définies par :

A(x) = 15x et B(x) =5x + 80

1 . Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal. Pour cela, placer l’origine du repère en bas et à gauche ; sur l’axe des abscisses, prendre 1 cm pour une journée de crèche ; sur l’axe des ordonnées, prendre 1 cm pour 10 €.

Construire alors les représentations graphiques des fonctions A et B.

2. Les représentations graphiques se coupent en E.

1. Par lecture graphique, déterminer l’abscisse du point E. Que représente-t-elle ?

2. Quelle est l’ordonnée du point E. Que représente-t-elle ?

Énoncé : deuxième partie.

3. Lire sur le graphique la somme dépensée pour une fréquentation de 12 jours avec le tarif B.

Vérifier par le calcul.

4. Résoudre graphiquement l’équation : A(x) = 90.

Interpréter le résultat.

CORRIGÉ PREMIÈRE PARTIE

4 x 15 = 60 ; 4 x 5 +80 = 100Avec le tarif A Grégoire paie 60 € et avec le tarif B il paie 100 €

15 x 15 = 225 ; 15 x 5 + 80 = 155Avec le tarif A Aurélien paie 225 € et avec le tarif B il paie 155 €

Question 1

Question 2

Avec le tarif A pour x journées on paie A(x) = 15xAvec le tarif B pour x journées on paieB(x) = 5x + 80

Question 3

5x + 80 < 15x on transpose 5x et on obtient : 80 < 15x – 5x soit 80 < 10x.

On divise alors par 10, nombre positif, on garde le sens de l’inéquation soit 8 < x.

Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à 8.

Cela signifie que pour plus de 8 journées de crèche le tarif B est plus avantageux que le tarif A

CORRIGÉDEUXIÈME PARTIE

Question 1

La fonction A est linéaire, la fonction B est affine, leurs représentations graphiques sont donc les droite dA et dB d’équations respectives y = 15x et y = 5x + 80La première passe par l’origine du repère et les points (4 ; 60) et (15 ; 225)La seconde passe par les points (0 ; 80) (4 ; 100) et (15 ; 155)

10

1Jours de crèche

Prix

90

120

140

6 8 12

Question 2

L’abscisse du point E est 8. Elle représente le nombre de jours pour lequel les tarifs A et B sont égaux.L’ordonnée du point E est 120, elle représente le prix payé quel que soit le tarif choisi pour 8 journées de crèche.

10

1Jours de crèche

Prix

90

120

140

6 8 12

Question 3

Pour une fréquentation de 12 jours avec le tarif B on lit 140 € (voir pointillés)Par le calcul B(12) = 5 x 12 + 80 = 60 + 80 B(12) = 140On retrouve donc 140 €.

10

1Jours de crèche

Prix

90

120

140

6 8 12

Question 4

Résoudre graphiquement l’équation A(x) = 90 revient à chercher l’abscisse du point de la droite dA dont l’ordonnée est 90. On lit x = 6L’équation A(x) = 90 a donc pour solution x = 6, cela signifie que pour 6 journées de crèches on paie 90 € avec le tarif A.

10

1Jours de crèche

Prix

90

120

140

6 8 12