Problème d’acheminement

1

Problème d’acheminementProblème d’acheminement

République Algérienne Démocratique et Populaireet de la recherche scientifique

Université des sciences et de la teMinistère de l’enseignement supérieur chnologie d’Oran Mohamed Boudiaf

- U.S.T.O - MBFaculté des sciences

Département d’InformatiqueSpécialité :I.S.I

Présenté par: LARBI Djamila

BOUCHENAFA Brahim El-Khalil

• Examinateur :Mr.hamdaoui

Projet Recherche Opérationnelle

2

planplan

I. Introduction

II. Problème d’acheminement

III. DFCI

IV. Distribution d’eau potable

V. conclusion

3

IntroductionIntroduction

Définition• “La RO est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de

meilleures décisions. ”

• La RO propose des modèles conceptuels pour analyser des situations complexes et permet aux décideurs de faire les choix les plus efficaces.

Une approche de RO

• Comprendre le problème

• Modéliser le problème

• Proposer des méthodes de résolution, d'aide à la décision

• Tester les méthodes

• Mettre en place les méthodes et les confronter à la réalité

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actuelle

production Transport Aéroportuaire Télécommunication Spatial

futur

extraction de connaissances bioinformatique écologie les grands BDD

Les domaines d’application


5

Les problèmes de sac à dos

Les problèmes d’acheminement

Les problèmes d’affectation

Les problèmes d’ordonnancement

Les problèmes de file d’attente

Les grandes classes de problème


6


Il s’agit de divers problèmes entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités.

• problèmes de chemin optimaux

• Problèmes de distribution sans capacités– problème de transport– problème de transbordement

• Problèmes de distribution avec capacités– Problème de flot maximum– Problème de flot de coût minimum– Problème de multi flots


7

problèmes de chemin optimauxproblèmes de chemin optimaux


Graphe orienté value G=(X,U,C)

on s’intéresse au PCC (plus court chemin).

• Pas de circuit, de coût négatif;

Plusieurs problèmes se distinguent

• Trouver le PCC entre deux nœuds

- Algorithme de Dantzig, Dijkstra, Bellman, etc.

• Trouver un PCC entre un nœud s et tous les autres .

• Trouver le PCC entre tout couple de nœuds,

U l’ensemble des arcs

X l’ensemble des nœuds,

C la fonction de poids ou de coût appliquée aux arcs.

8

Chercher le plus court chemin entre sommet de départ a et sommet d’arrivé b ,

Déterminer pour tout sommet x un nombre W(x) qui donnera la longueur du plus cours

Chemin entre a et x

Arrêt

S’arrêter une fois tous les sommets sont affectés d’un nombre W.


Algorithme de DantzigAlgorithme de Dantzig

9


Algorithme de DijkstraAlgorithme de Dijkstra

Déterminer le plus cours chemin d’un sommet á tous les autre sommets soit P (potentiel) une fonction définie sur les sommets S: source ou sommets de départ.X: ensemble des sommets du graphe.M: ensemble des sommets marqués.

Déterminer le plus cours chemin d’un sommet á tous les autre sommets soit P (potentiel) une fonction définie sur les sommets S: source ou sommets de départ.X: ensemble des sommets du graphe.M: ensemble des sommets marqués.

10


11


Il s’agit de divers problèmes de transport entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités.

• problèmes de chemin optimaux

• Problèmes de distribution sans capacités– problème de transport– problème de transbordement

• Problèmes de distribution avec capacités– Problème de flot maximum– Problème de flot de coût minimum– Problème de multi flots


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problèmes de transportproblèmes de transport

C11 C12……………….........C1n

.

.

.

.

Cm1 Cm2……………….......Cmn

a1

a2

am

- Données:

un ensemble X de m origines avec des disponibilités ai pour chaque produit et un ensemble Y de n destinations avec des demandes bj. Coût unitaire cij.

b1 b2 ………………………..bn

- Objectif: calculer un plan de transport pour minimiser le coût de transport

les biens disponibles i ϵ {1..m}

les biens demandés j ϵ {1..n}les biens demandés j ϵ {1..n}

xij : quantités transportées du i vers j

usines

clients


Σ ai =Σ bj i j

Coût

13


26

Disponibilité

Usines


Demande

Clients

x11

C12

x12

C13

x13

C14

x14

C21

x21

C22

x22

C23

x23

C24

x24

C31

x31

C32

x32

C33

x33

C34

x34

-Modélisation de problème

x11 + x12 + x13 + x14= 9

x21 + x22 + x23 + x24= 10

x31 + x32 + x33 + x34= 7

x11 + x21 + x31 = 6

x12 + x22 + x32 = 9

x13 + x23 + x33 = 8

x14 + x24 + x34 = 3

pour l'usine 2pour l'usine 3

pour l'usine 1

pour le client 1

pour le client 3

pour le client 2

pour le client 4Min Z = c11.x11+c12.x12+…+c34.x34

2a

1a

3a

3b1b 2b 4b

11c

14


-Modélisation de problème

Min Z=ΣΣcijxij I j


Fonction objectif

Contraintes Σ xij = bj pour 1 i n i

i

n

1jij ax

i

n

1jij ax

Σ xij = ai pour 1 j m j

xij 0

de production

de consommation

de signe

15



La solution

coin Nord-Ouest ("hasard") des solution non optimale

Balas-Hammer

12 27 61 49 83 35

23 39 78 28 65 42

67 56 92 24 53 54

71 43 91 67 40 49

73

18

32

14

9 11 28 6 14 5

On choisit le chemin ayant le cout le plus faible et on l’utilise pour transiter le maximum de marchandises.

ici, c’est le chemin (1,1), on y fera passer 9 unités de marchandises.

12

23

67

71

0

912

0

18-9=918-9=9

24 6

0

0

14-6=814-6=8

49

28

24

67

27 99-9=09-9=0

2

24

61 49 83 35

39 32-2=3032-2=30 2

0

40 9

5

49

42

56

43 91 09

8-5=38-5=3

5

0

65

53 5

0

30-5=2530-5=2578

0

0

2500

3

5492 3

Z= 12*9 + 27*9 + 39*2 + 78*25 + 42*5 + 92*3 + 24*6 + 53*5 + 40*9 = 3634Cette solution est optimal

16

DFCI

DFCI

Défense des Forêts Contre

les Incendie

17

est un incendie qui se propage sur une étendue boisée

DFCI

Feu de foret

18

DFCI

Cause inconnue ; Cause naturelle :

imprudences, accidents dus à la circulation en forêt ou en périphérie, lignes électriques, dépôts d’ordures, reprise de feu, etc.

Causes

essentiellement, la foudre ;pyromanie, conflit, intérêt politique ou foncier.Cause humaine involontaire (ou accidentelles) :

Cause humaine volontaire :

19

DFCI

Causes

20

DFCI

Dégâts physiques Algérie : surface brulée est

Dégâts écologiques:

•Pollution de l'air •Pollution photochimique: Les gaz émis interagissent avec les rayons solaires ultraviolets pour produire une pollution dite photochimique.•Gaz à effet de serre

Dégâts

21

DFCI

Les moyens de lutte contre les incendies de forêt en Algérie

La défense contre les incendies

Equipements et infrastructures Nombre

Brigades Mobiles

Postes de Vigie

Chantiers d‘intervention

camions citernes feux de forêts (CCF)

camions citerne grande capacité (CCGC) Camions Ravitailleurs

Points d’eau

522

306

784

212

35

23

1579

22

DFCI

Description de problème

une image satellitaire permet de mieux voire une exemple d’ incendie,Deux forêts brûlent au même temps

23

DFCI

Données 2forêts brûlent : Msila, Merjajou. L’eau nécessaire disponible dans 2 Points d’eau: A et B Graphe orienté value G= (Y, U, C)- Y l’ensemble des nœuds, - Uij l’ensemble des arcs - Cij : la distance entre le points d’eau i et forets j

Xij quelle quantité d’eau envoyé ( points d’eau i aux forets j) et avec quel camions

Msila Merjajou

Points d’eau A X11 X12

Points d’eau B X21 X22


24

DFCI


25

Demande : 800 m³ pour Msila 1600 m³ pour Merjajou

Disponibilités 1000 m³ a A 1500 m³ a B


DFCI

26

objectif

DFCI


objectif

Minimiser les dégâts estimés

(2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles

Comment

Par la Minimisation de temps de parcours entre les points d’eau et les lieux d’incendie

(1) les demandes sont satisfaites

(3) quantités envoyées > 0

27

DFCI

Modélisation de problème

(2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles

(1) les demandes sont satisfaites

(3) quantités envoyées > 0

X11+X21>=800 X12+X22>=1600

X11+X12<=1000 X21+X22<=1500

Xij >0

La fonction objectif:La fonction objectif: Min Z= X11U11+X12U12+X21U21+X22U22

28

DFCI


ConclusionUne lutte efficace contre les incendies passe par la mise à disposition

des pompiers d’une quantité d’eau suffisante et toujours disponible. C’est une obligation dont la responsabilité incombe aux maires,

quelle que soit la nature de l’environnement.Si les choses semblent assez faciles en milieu urbain,

elles sont parfois plus difficiles à réaliser en milieu rural. Souvent, la solution de facilité consiste à surdimensionné les réseaux

d’alimentation en eau des communes.

29

les biens demandés j ϵ {1..n}

DFCI

La formule générale

les biens disponibles i ϵ {1..m}

la distance entre i et j

xij : quantités transportées du i vers j

C11 C12……………….........C1n

.

.

.

.

Cm1 Cm2……………….......Cmn

b1 b2 ………………………..bn

a1

a2

am

Points d’eau

forêts

30

Problème de distribution d’eau potable

Définition du problème de flot maximal sur un réseau1) Définition d'un réseau

Un graphe G = (X, U) est un réseau si :- il est connexe - il possède deux sommets particuliers s et p.- les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et

supérieures Cu avec Bu≤ Cu.- graphe sans boucle.

2) Définition du problème du flot maximalLe problème du flot maximal est celui de la

détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible.

Introduction:

D’après ce que a était présenté par Melle LARBI Djamila on peut estimé que l’eau le moyen le plus important pour gérer DFCI Dans le but d’amélioré le rendement de la distribution et de réfléchir à des solutions pour mieux gérer l’eau qui est un bien commun et une ressource indispensable à la vie en fait appel a la recherche opérationnelle qui vat nous permettent de traité de différent problèmes .

• Maximisation du flot dans un réseau hydraulique.• Minimisation des couts de distribution .







De la source aux consommateurs

Barrage d’eau les château d’eau

les robinets les poteaux d'incendie







Le problème est de déterminer s'il est possible de satisfaire à travers un réseau la demande des différentes villes et comment ???

Pour résoudre ce problème il faut dans un premier temps le modéliser.

Pour cela, nous introduisons un nouveau problème standard qui est celui du flot maximal sur un réseau.

Problème du flot maximal sur un réseau.

Présentation du problème :






Définition du problème de flot maximal sur un réseau

1) Définition d'un réseau

Un graphe G = (X, U, C, s, p) est un réseau si :- il est connexe - il possède deux sommets particuliers s et p.- les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et


2) Définition du problème du flot maximalLe problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot

sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible.








déterminer un flot maximal sur G, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible.

– Respectant les capacités (1)– Conservation de flots (2)

– Valeur de flot à maximiser (3)

FMax

Fij Cij (i,j) ϵ∀ U (1)

Σ Fij = Σ Fij i,j ϵ∀ N i,j≠ s, p. (2)j succ s j pred p

Σ Fij = Σ Fij =F (3)j succ s j pred p

Fonction objectif

Contraintes

Objectif:

Un réseau G = (X, U, C, s, p)Un flot est une application F de U dans |N.







Exemple d’étude

Un graphe représente un système de distribution de l’eau


Données

Graphe orienté value G= (X, U, C, B, ):

Demande50 000 m³ pour la ville 1.40 000 m³ pour la ville 2.80 000 m³ pour la ville 3.

DisponibilitéDeux châteaux d'eau ont une capacité = 100 000 m³



Objectif

Maximiser la quantité d'eau qui doit être distribuer à la population

Comment

Par la détermination d’un flot max sur G, et dont le flot F sur l’arc de retour u est le plus grand possible,

mais on:

1) Respectant les capacités.

2) Respectant la loi de Conservation de flot.

3) Valeur de flot á maximisé.



on introduit deux sommets :

s avec deux arc (s,C1) et(s,C2)

p avec trois arc (V1,p);(V2,p) et (V3,p)

on introduit un arc de retour :•Représente le flot du réseau.



170

1) A chaque arc on a les flot inferieur a la capacité:

pour l arc (s ,c1) : 90 100

pour l arc (s ,c2) :80 100

pour l arc (c1, v1) :30 30

pour l arc (c1, p1) :60 60

pour l arc (v2, p) :40 40

pour l arc (v3, p) :80 80

2) La loi de conservation est vérifier à chaque nœud:

Pour c1 on 90=60+30,

Pour c2 on 80=50+30,

Pour p1 on 60+50=20+40+30+20,

Pour p2 on 20+30=50

3) La loi de conservation est vérifier á s et p

80+90=50+40+80 =F



170

30

90

80

50

40 40

50

30

30

2 0

2060

8050

La fonction objectif : Max F

Formule générale

FMax

Fij Cij (i,j) ϵ∀ U (1)

Σ Fij = Σ Fij =F (3)j succ s j pred p

Σ Fij = Σ Fij i,j ϵ∀ N i,j≠ s, t. (2)j succ i j pred I


Pour une solution optimale au problème en fait appel a l’algorithme de Ford-Fulkerson .






Algorithme de Ford-Fulkerson

principe:Fin := FAUXPartir d'un flot initial compatible avec les capacitésTANTQUE fin = FAUX Effectuer la procédure de marquage à partir du flot courant Si p est non marqué ALORS poser fin:= VRAI {le flot SINON Modifier le flot à partir d'une chaîne améliorante μ de s vers P dans G. FINTANTQUE FINL’augmentation du flot δ est donnée par:δ = min{(Cij-Fij)(i,j) μ−, Fij(i,j) μ+}∈ ∈

Propriétés : Le flot maximum est égal à la valeur de coupe minimale

Notion de coupes:

Une coupe est une partition de nœuds Z=(S,P) avec s S et p P. La∈ ∈capacité de la coupe est la somme des capacités des arcs de S vers P.



Application de l’algorithme sur le réseau de distribution d'eau:

1ere itération de l’algorithme:

• Marquage de la source S (+).

• pour l’arc (s, c1) :90 < 100 (+).

• pour l’arc (c1, c2) :30= 30 on ne peut marqué .

•pour l’arc (s, c2) :80 < 100 (+).

• pour l’arc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marqué .

• pour l’arc (c2, p2) :30 < 40 (+)

•pour l’arc (p2, p1) :20 >0 (-).

•pour l’arc (p1, v1) :20 <30 (+).

• enfin le sommet P marqué (+).

170

30

90

80

50

40 40

50

30

30

20

2060

8050

Alor on a donc mis en évidence une chaîne améliorante S C2 P2 P1 V1 p qui permet d'augmenter le flot.Le long de cette chaîne on peut envoyer 10 unités supplémentaires.

+

+

+

2eme itération de l’algorithme:

• Marquage de la source S (+).

•pour l’arc (s, c1) :90 < 100 (+).

•pour l’arc (c1, v1) :30= 30 on ne peut marquer.

•pour l’arc (s, c2) :90 < 100 (+).

•pour l’arc (c2, p1) :40= 40 on ne peut marquer.

•pour l’arc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marquer.

La procédure de marquage permet de marquer s, puis C1 puis C2. On ne peut rien marquer d'autre,tous les arcs issus de C1 ou C2 ayant leur capacité saturée. Donc le flot actuel est maximal. On ne peut donc envoyer aucune quantité supplémentaire.Valeur de coupe minimale = F = 180 000 m³.

Conclusion

En réalité En Algérie (ou pays en développement) l’intégration de la recherche

Je propose un exemple (avec reportage) d’un système d’optimisation de la distribution de l’eau potable d’ans un pays développer (France) qu’il a totalement

des différentes techniques et objectifs .

opérationnelle dans différent domaine (en précision Optimisation de la distribution d'eau potable) est Loin des aspirations .


Problème d’acheminement

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