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Problème Dudu Echec et Maths

Sommaire

1. Tableau récapitulatif ..................................................................................................................... 2

2. Enoncé et consigne données aux élèves ....................................................................................... 3

3. Objectifs et analyse a priori .......................................................................................................... 4

4. Scénario de mise en œuvre ........................................................................................................... 7

Ce qui a été fait avant ......................................................................................................... 7

Déroulement de la séance ................................................................................................... 7

Prolongements possibles ..................................................................................................... 8

5. Productions d’élèves ..................................................................................................................... 8

6. Apport des outils numériques et motivation .............................................................................. 18

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1. Tableau récapitulatif

Enoncé

Problème Dudu Echec et Maths

Niveau concerné

Classe de 4ème

Période de l’année

En fonction des chapitres abordés (voir prérequis)

Durée et organisation

Travail en groupe de 2 élèves.

Durée 3h

Prérequis

Mathématiques :

Les opérations (+ ; - ; × ; ÷)

Aire de figures géométriques (6ème

, 5ème

)

Calcul littéral

Narration de recherche

TICE :

Tableur *

Savoir visionner une vidéo et l’utiliser.

Faire une vidéo à l’aide d’une tablette.

Rechercher une information sur internet.

Calculatrice

Objectifs généraux

Objectifs :

Utilisation des TICE :

-Aider à l’appropriation du problème.

-Développer l’autonomie et la prise d’initiative lors d’une

résolution de problème.

Utiliser les connaissances et les capacités attendues

au programme :

-Utiliser les notions du prérequis.

-Découvrir les puissances.

*Tablette : Samsung ; Tableur: Polaris Office

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2. Enoncé et consigne données aux élèves Une vidéo d’1 min est présentée aux élèves

http://mathix.org/linux/problemes-ouverts/les-problemes-dudu

La vidéo est visionnée deux fois en classe entière.

Consignes données aux élèves

La grille d’éléments d’évaluation est fournie aux élèves.

GRILLE D’EVALUATION

Cette grille a été donnée aux élèves au début de l'activité.

Il y a deux parties dans votre travail :

La narration de recherche

La synthèse écrite-orale

Les brouillons sont joints.

Chercher

Analyse de la vidéo, l’élève essaye de comprendre la vidéo. Il établit les

questions que lui suggère la vidéo. Il cherche les informations utiles sur la

vidéo.

Raisonner

L’élève essaye de répondre au problème. Il fait des essais il écrit toutes

ses stratégies même celle qui n’ont pas abouties. Il vérifie ses idées. Les

brouillons sont joints.

Calculer

Il effectue des calculs en liaison avec le problème. Les formules utilisées

sont clairement exposées.

Persévérance

L’élève est persévérant, il essaye de répondre à toutes les questions du

problème. Il explore différente pistes.

Communiquer

1) La narration

Les phrases s’enchainent, les schémas sont clairs. Les différents

essais sont décrits, les changements de stratégie.

L’élève est précis dans son récit, il raconte une histoire.

Communiquer

2) La synthèse écrite-orale

Les moments où la tablette a été utilisée doivent être spécifiés.

Il utilise un support écrit, il peut réaliser des schémas ou autre. Le groupe

filme sa synthèse et apporte des précisions sur son travail à l’oral.

L’élève donne son ressenti de l’activité.

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Les informations suivantes sont données à l’orale :

Vous travaillerez par groupe de deux.

Vous disposez d’une calculatrice, d’une tablette avec accès internet par groupe.

Lisez la grille d’évaluation.

Vous disposez de deux heures pour la recherche et d’une heure pour faire la synthèse vidéo.

3. Objectifs et analyse a priori

Textes de références

Programme de mathématiques du collège (BO du 28 août 2008)

http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf

Documents ressources

Vous pouvez retrouver la vidéo du problème à l’adresse suivante :

http://mathix.org/linux/problemes-ouverts/les-problemes-dudu

Compétences en mathématiques au collège développées dans cette activité

Voici des extraits du BO juillet 2008 :

Les programmes du collège privilégient pour les disciplines scientifiques et la technologie une

démarche d’investigation.

Les technologies de l’information et de la communication sont présentes dans tous les aspects de la

vie quotidienne : une maîtrise suffisante des techniques usuelles est nécessaire à l’insertion sociale et

professionnelle. Les mathématiques, les sciences expérimentales et la technologie contribuent, comme

les autres disciplines, à l’acquisition de cette compétence. Elles offrent, avec les outils qui leur sont

propres, de nombreuses opportunités de formation aux différents éléments du référentiel du B2i

collège, et participent à la validation.

Au collège, les mathématiques contribuent, avec d’autres disciplines, à entraîner les élèves à la

pratique d’une démarche scientifique. L’objectif est de développer conjointement et progressivement

les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique. Elles

contribuent ainsi à la formation du futur citoyen.

Les mathématiques participent à l’enrichissement de l’emploi de la langue par les élèves, en

particulier par la pratique de l’argumentation. Avec d’autres disciplines, les mathématiques ont

également en charge l’apprentissage de différentes formes d’expression autres que la langue usuelle

(nombres, symboles, figures, tableaux, schémas, graphiques) ; elles participent ainsi à la construction

de nouveaux langages. L’usage largement répandu des moyens actuels de traitement de l’information

et de communication exige une bonne maîtrise de ces formes variées d’expression.

En mathématiques, les élèves sont conduits à utiliser la langue ordinaire en même temps qu’un

langage spécialisé.

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Dans le prolongement de l’école primaire, la place accordée à l’oral reste importante. En particulier,

les compétences nécessaires pour la validation et la preuve (articuler et formuler les différentes étapes

d’un raisonnement, communiquer, argumenter à propos de la validité d’une solution) sont d’abord

travaillées oralement en s’appuyant sur les échanges qui s’instaurent dans la classe ou dans un

groupe, avant d’être sollicitées par écrit individuellement.

Cette grille est à l'usage du professeur pour aider à l'évaluation.

Compétences travaillées Critères d’évaluation et indicateurs de réussite

Communiquer

Comprendre un énoncé. L’élève se pose des questions sur l’énoncé et il

essaie d’y répondre. Rédiger un texte bref.

L’élève maîtrise les techniques usuelles de l’information et de

communication. L’élève doit bien résumer, il fait la synthèse de ses

travaux. Le texte doit être compréhensible. Il organise un document et

sa présentation.

Chercher

Analyser un problème. L’élève fait des essais. Il cherche le nombre de

case sur un échiquier, la superficie de la France, la superficie de la

terre, le rayon d’une pièce de 1centime, l’aire d’une pièce de 1 centime.

Extraire, organiser et traiter l’information utile. Emettre une conjecture.

Avoir l’esprit critique, vérifier ses idées.

Calculer

Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument.

L’élève calcule le nombre de pièces sur chaque case de l’échiquier.

L’élève utilise le calcul littéral : calculs d’aire d’une pièce de 1

centime.

Effectuer des conversions monétaires, des conversions d’aires.

Raisonner

L’élève s’engage dans une démarche, il argumente.

Notion du programme de mathématiques travaillées dans cette activité

Nombres et Calculs :

- La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction

(calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) permet la maîtrise des

procédures de calcul effectivement utilisées, l’acquisition de savoir-faire dans la comparaison des

nombres ainsi que la réflexion et l’initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant

la situation. Le calcul littéral qui a fait l’objet d’une première approche en classe de cinquième, par le

biais de la transformation d’écritures, se développe en classe de quatrième, en veillant à ce que les

élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulier par l’utilisation de

formules issues des sciences et de la technologie.

- Poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté. Organiser

des calculs ou créer un graphique avec un tableur.

Grandeurs et mesures :

Cette rubrique s’appuie notamment sur la résolution de problèmes empruntés à la vie courante et aux

autres disciplines. Comme dans les classes précédentes, l’utilisation d’unités dans les calculs sur les

grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens.

- Se familiariser avec l’usage des grandeurs les plus courantes (longueurs, angles, aires, volumes,

durées).

- Connaître et utiliser les périmètres, aires et volumes des figures planes et des solides étudiés.

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Compétences TICE

- Organiser des calculs avec un tableur.

-Visionner une vidéo sur la tablette, faire une vidéo sur la tablette.

Détails des objectifs de cette activité

J’ai trouvé cette vidéo intéressante pour plusieurs raisons :

Les collégiens n’ont pas l’habitude d’un problème présenté sous la forme de vidéo. Cela rend le

problème plus attrayant. Le problème a l’air simple au premier abord, cela met l’élève en confiance.

Certains élèves ont tendance à se décourager facilement. Finalement lorsque l’élève commence à

s’investir dans l’activité, il doit faire appel à ses connaissances mathématiques mais aussi à celles

utilisées en histoire-géographie et celles concernant le B2i. Cela lui permet de faire le lien entre les

matières et de voir l’utilité des mathématiques. La situation est concrète : un jeu d’échec, des pièces de

monnaies, la France, la Terre. L’élève peut s’impliquer facilement dans l’activité. Les élèves ont

beaucoup de mal à voir l’intérêt des mathématiques dans la vie courante et ce problème leur marquera

l’esprit. Les élèves sont autonomes et prennent des initiatives, ils vont faire des mathématiques tout en

s’amusant. Cette activité permettra de donner du sens à la notion de puissances d’exposant entier.

Il y a plusieurs problèmes à l’intérieur de la vidéo.

-Savoir combien de pièces il faut pour recouvrir les cases de l’échiquier si on double à chaque fois le

nombre de pièces. Est-ce que 100 euro en pièces de 1 cm suffisent ? L’élève pourra commencer par

des essais à la main, il pourra ensuite utiliser sa calculatrice et ensuite se rendant compte que les

calculs se ressemblent, utiliser le tableur. Il devra aussi convertir 100 euro en centimes.

- Savoir si on peut recouvrir la superficie de la France avec les pièces de 1 centime de la dernière case.

Ils devront chercher la superficie de la France, il peut utiliser internet pour trouver cette information.

Calculer l’aire d’une pièce de 1 cm. Il pourra peut-être penser à l’aire du carré au lieu de l’aire du

disque. Effectuer des conversions d’aires pour comparer les nombres.

-Savoir si on peut recouvrir la surface de la Terre avec les pièces de la dernière case. Là aussi des

notions d’aire sont en jeu. En 4ème

, la sphère n’est pas abordée. Ils peuvent trouver l’information sur

internet ou assimiler la terre à une sphère et faire des recherches sur ce solide. Cela participe au

développement de la culture mathématique.

Cette activité est comme un jeu, elle invite l’élève à la curiosité. Elle l’encourage à se poser des

questions et à y répondre.

Les élèves travaillent par groupe de deux, ils sont plus autonomes et sont plus actifs au sein de

l’activité que lorsqu’ils travaillent en groupe de quatre. Ils devraient avancer plus vite dans leur

recherche. Ils devront être persévérants car les questions s’enchaînent dans le problème. Ils devront

s’écouter, faire la recherche ensemble, confronter leurs idées. Pour la synthèse, ils pourront prendre

des initiatives : utiliser le tableau blanc et les outils numériques qui se trouvent en classe, ceux qui

préfèrent pourront utiliser la version papier.

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4. Scénario de mise en œuvre

Ce qui a été fait avant

Nombres et calculs : les élèves ont étudiés les opérations (+ ; - ; × ; ÷)

Aire de figures géométriques (6ème

, 5ème

) : des exercices ont été faits en classe et à la maison.

Calcul littéral : expressions littérales, simplifier une expression, développer et réduire une expression.

Calculer une expression littérale pour une valeur donnée.

TICE : des séances de tableur et de narration de recherche ont déjà été pratiquées. Notamment des

tests d’égalités pour résoudre une équation, des exercices de dénombrement. Une séance d’initiation

au tableur de la tablette a été pratiquée une semaine avant l’activité.

Déroulement de la séance

Matériel – logiciel :

En classe, utilisation de tablette avec wifi.

Logiciel : tableur, lecture vidéo

Durée :

Deux heures pour les recherches.

1h pour faire la synthèse de groupe

0,5h pour la synthèse générale, exposer des solutions.

Organisation :

8 groupes de 2 élèves et 3 groupes de 3 élèves.

Phases et timing :

Projection de la vidéo en classe entière : 5 min.

Présentation des objectifs et de la grille d’évaluation : 10 min

Recherche en groupe :

a) Première phase de recherche en groupe : 40 min (fin de la première heure de cours).

b) Puis ils poursuivent la recherche : 55 min de cours.

c) Etablir la synthèse du groupe et faire un film court pour expliquer les recherches : 55 min

d) Restitution de 3 ou 4 groupes en classe. Je projette leurs vidéos et le débat s’engage en classe.

Les différentes aides éventuellement données :

- Expliquer les notations scientifiques de la tablette.

- Une pièce peut être assimilée à un disque.

- Attention aux unités pour comparer des nombres.

- Aider à utiliser le tableur de la tablette.

- Est-ce que tu as répondu à toutes les questions du problème ?

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Prolongements possibles

1) J’ai utilisé la synthèse des élèves pour introduire la notion de puissance entière. Certains élèves ont

utilisés la notation de puissance 642 dans leur travail. Je suis partie de leur travail pour introduire cette

notation. Des élèves ont utilisé des écritures avec des puissances de 10 qu’ils avaient obtenues sur leur

calculatrice. J’ai pu faire le lien avec l’écriture de la tablette ou le 10 n’apparait pas.

2) Cette activité m’a permis de montrer encore une fois l’intérêt du tableur. La rapidité des calculs : un

seul groupe n’a pas pensé au tableur et a fait tous les calculs à la main !

5. Productions d’élèves Lors de cette première phase, les groupes commencent par visionner la vidéo. Ils notent les questions

que la vidéo soulève. Tous les groupes se sont posés la question du nombre de pièces par case. Ils ont

commencé par des calculs à la main.

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Des groupes ont utilisés la calculatrice et la plupart ont pensé au tableur. Certains groupes ne savaient

plus copier une formule sur la tablette. Pourtant on avait fait une séance d’initiation la semaine

précédente. Mais cela n’a pas suffit. Je les ai aidés à utiliser le tableur de la tablette.

Une tablette. La formule en cellule A2 est « =A1*2 ».

Ensuite ils ont copié cette formule jusqu’en A64.

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Certains groupes ont écrit quelques phrases pour expliquer leur recherche.

Deux groupes ont cherché la superficie de la France et celle du monde.

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Lorsque les élèves ont vu des nombres comme 9,223 E + 18, ils ont été assez surpris. Certains ont

comparé avec le résultat de la calculatrice. Ils m’ont demandé ce que cela signifiait. Ils n’avaient

jamais vu ça ! Je leur ai expliqué qu’il fallait décaler la virgule de 18 rangs vers la droite, que cela

signifiait que l’on multipliait 9,223 par 10 en 18 fois.

Ils ont écrit le nombre entier qui correspondait à l’écriture scientifique.

Lors de la deuxième heure de recherche, tous les groupes ont trouvé une superficie pour la France.

Ils n’ont pas tous trouvé le même nombre : certains ont regardé dans leur agenda et ont trouvé 552 000

km² ; d’autres ont cherché sur internet et ont trouvé 640 679 km².

La différence correspond à la superficie des Dom-Tom.

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Puis, ils se sont posés des questions sur la pièce de 1 centime. Là aussi les groupes n’ont pas trouvé les

mêmes informations. Certains ont mesuré le diamètre d’une pièce de 1 centime et ils ont trouvé 1,5

cm, d’autres ont cherché sur internet et ils ont trouvé 1, 65 cm.

Ensuite ils ont calculé l’aire de la pièce à l’aide de la formule : π×R×R

Certains n’ont pas tout de suite pensé au disque. Je leur ai dit qu’une pièce de 1 centime avait une

forme bien connue. Un groupe a confondu rayon et diamètre.

Ils ont ensuite multiplié leur résultat par le nombre de pièces de la 64ème

case. Tous ont utilisé la

calculatrice, ils ont tapé les 19 chiffres ou 16 chiffres pour ceux qui n’avaient pas bien compris la

notation scientifique.

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Certains ont utilisé 2264 ; ils ont utilisés des écritures avec des puissances entières.

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Les groupes ont essayé de convertir les aires. Il y a eu des erreurs.

On voit des erreurs de conversions. Et une confusion entre aire de la pièce et diamètre de la pièce.

Pour la superficie du monde, les groupes ont cherché sur internet.

Et ils ont utilisé l’aire des pièces de la 64ème

case trouvée précédemment. Un groupe a confondu rayon

et superficie du monde : il a utilisé la formule 4πR². Des groupes ont trouvé que c’était possible,

d’autres que c’était impossible. Il y a eu des erreurs dans les calculs et dans les interprétations des

nombres.

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Lors de la troisième heure, seulement 3 groupes ont fini leur synthèse et la vidéo. Les autres groupes

ont eu du mal à mettre en forme la synthèse. Et ils ont perdu beaucoup de temps. Ils se sont concentrés

sur la forme écrite de leur travail et n’ont pas fait la vidéo.

Deux groupes ont filmé leur texte en rajoutant des explications à l’oral. Un groupe a filmé le tableur et

leur feuille pour la synthèse. Voir Vidéo :"Audio 2" ," Nathan et Steven".

J’ai photographié tous leurs travaux à l’issue des 3h. Et j’ai donné à la maison la préparation de la

synthèse pour le cours suivant. La vidéo se ferait ensuite en classe. J’ai insisté sur le fait que tous les

groupes devaient me rendre une synthèse-vidéo de leur travail, même s’il n’avait pas pu finir leur

recherche. Cela faisait partie du critère d'évaluation communiquer (page 3). L'élève doit être capable

de s'exprimer à l'oral et de rendre compte de ses travaux, cela participe à l'apprentissage des savoirs.

Lors de la quatrième heure. Tous les groupes ont produit une vidéo à l’issue de cette heure. Des

groupes n’ont pas traité les trois questions, mais une synthèse a été réalisée. Deux groupes avaient

préparé une synthèse sur une affiche, les autres ont utilisé des feuilles de classeur.

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Synthèses sous forme d’affiche. Voir vidéo "Anna et Mélanie"

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Ensuite j’ai sélectionné plusieurs vidéos d’élèves que j’ai projetées à la classe. On a expliqué pourquoi

les groupes n’avaient pas abouti aux mêmes conclusions. Les problèmes de conversions, les oublis de

zéros au passage à l’écriture entière (voir vidéo Hazade Sloan et Audio 2), la confusion entre rayon et

diamètre, comparer des puissances de 10 (vidéo Nathan et Steven), confusion diamètre d'une pièce et

sa superficie (vidéo Hazade et Sloan). J'ai terminé par la projection de la vidéo d'Anna et Mélanie qui

avaient des réponses correctes.

Ensuite, j’ai rendu la grille d’évaluation que j’avais complétée par DA, EA, PA, A.

Ces sigles signifient: DA (début d'acquisition), EA (en cours d'acquisition), PA (presque acquis), A

(acquis). J'ai utilisé les critères de la grille d’évaluation citée en page 3. Tous les élèves ont eu au

moins DA car tous ont essayé de produire quelque chose. EA a été mis lorsque les réponses étaient

incomplètes, que des questions n'avaient pas été traitées. PA a été mis lorsqu'il y avait très peu

d'erreurs: par exemple pour la compétence calculer, lorsque l'élève avait trouvé les bons calculs, mais

qu’il les avait effectués avec une ou deux erreurs.

Finalement l’activité en classe a pris plus de temps que prévu.

La préparation de l’activité est assez rapide, il suffit de prévoir la vidéo du problème et la grille

d’évaluation.

Pour une meilleure gestion du temps en classe, je propose quelques pistes :

- Au bout de deux heures de recherche en classe, on pourrait demander aux élèves de préparer une

synthèse à la maison pour le cours suivant. Les deux heures de recherche en classe me semblent

importantes, elles s’inscrivent parfaitement dans le programme. Ensuite chaque élève réfléchira à la

maison à la synthèse qui pourrait être proposée et lors de la troisième heure, chaque groupe produira sa

synthèse finale.

- Tous les groupes ont produit une vidéo sous différentes formes :

O Un groupe a juste enregistré l’histoire de leur recherche sans montrer les images.

O Plusieurs groupes ont filmé leur trace écrite et lu leur texte écrit.

O Plusieurs groupes ont filmé leur trace écrite et montré en même temps des images de tableur et lu

leur texte écrit.

O Un groupe s’est filmé à tour de rôle pour expliquer les étapes de la recherche.

O Deux groupes ont préparé une affiche comme support pour la synthèse orale, ils ont ensuite expliqué

la recherche tout en filmant leur affiche.

La consigne a été comprise de différentes façons. Il faudrait être plus précis lors de l’explication de la

grille d’évaluation. Bien insister sur le fait que tous les élèves doivent parler lors de la communication

orale et qu’un support écrit est nécessaire.

En ce qui concerne la synthèse en classe, la gestion du temps a été respectée : cela a pris environ une

demi-heure. Les quatre vidéos présentées ont provoqué la fierté des élèves acteurs. On a pu observer

que tous les groupes n’aboutissaient pas à la même conclusion, on a essayé d’expliquer les erreurs.

J’ai pu consacrer les 20 minutes restantes du cours au début de la leçon sur les puissances.

Lors de l’évaluation finale sur les puissances entières, tous les élèves ont eu de meilleurs résultats que

d’ordinaire. Il semblerait que l’utilisation du numérique pour cette partie du programme ait réussi à

motiver davantage les élèves. Certains élèves de la classe m’ont dit qu’ils avaient adoré travailler ainsi.

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6. Apport des outils numériques et motivation

Quel est le rôle des outils numériques ?

Les outils numériques ont permis de motiver les élèves dans la mise en œuvre du problème ouvert.

L’ordinateur a permis de présenter le problème à la classe en projetant la vidéo, les élèves étaient

enjoués par cette nouvelle façon d’introduire un problème de mathématiques. Ils étaient curieux. Ils

voulaient revoir la vidéo.

Ensuite chaque groupe avait une tablette pour analyser la vidéo. Ils pouvaient voir et revoir la vidéo,

faire des pauses, des retours sur la vidéo afin de noter les informations utiles. Ils avaient un tableur

disponible sur la tablette. Les élèves étaient plus autonomes et organisés leur recherche.

Le fait de produire une vidéo à la fin de la séance a rendu l'activité plus ludique et attrayante. Ils ont

fait un film. Les élèves étaient contents de produire un film. C’était une première pour les élèves. Cela

les a motivés pour leur recherche de solution, ils avaient envie de bien faire.

Quelles compétences transversales et disciplinaires ont été développées ? Comment les a-t-on

mises en valeur ? A l’aide de quels outils numériques ?

Cette vidéo a permis de travailler la résolution de problème. Les élèves ont travaillé par groupe de

deux ou trois avec une tablette par groupe. Cela leur a permis de développer des compétences

transversales : communiquer, travailler en équipe, raisonner. A la fin de l’activité, j’avais onze

productions. Cela est intéressant pour l’évaluation : sur huit vidéos, on peut voir que tous les élèves du

groupe ont participé à la synthèse. Les élèves ont été plus actifs au sein du groupe. Ce problème a

permis de travailler sur les notions d’aire qui posent souvent problème aux élèves.

Quelle place accordée à la différenciation ? Sous quelle forme ?

L’enseignant passe dans les groupes et peut apporter son aide suivant l’évolution de la recherche. Les

groupes en difficulté peuvent avoir une aide appropriée de la part de l’enseignant. Les groupes sont

plus autonomes dans leur apprentissage.