Probabilités - Maths-sciences...c) A l’aide d’une phrase, décrire l’issue FF. 3. On effectue...

Probabilités

Activité 1 : Pile ou face 2

Activité 2 : La roulette 4

Activité 3 : Patho pas patho ? 5

Cours 6

Exercices 7

Mathématiques : Probabilités! Statistiques et probabilités

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Activité 1 : Pile ou face

Objectif : Déterminer les issues réalisables d’un événement.

Situation : On lance une pièce de monnaie équilibrée et on observe le résultat. Sophie dit : « Si je lance trois fois cette pièce, je parie qu’elle va tomber 3 fois du même côté ». Adrien lui répond : « Si tu lances trois fois cette pièce, je parie qu’elle va tomber au moins une fois sur pile ».

Adrien et Sophie peuvent-ils gagner leurs paris en même temps ? Peuvent-ils le perdre en même temps ?

1. a) Cette expérience est-elle une expérience aléatoire ? Justifier.

b) Quels sont les résultats possibles ? On les appelle issues de l’expérience.

2. On procède à une nouvelle expérience en effectuant deux lancers consécutifs.a) Compléter le tableau qui permet de définir les différentes issues.

2ème lancer

1er lancerPile Face

Pile

Face

PP

b) Compléter l’arbre qui permet de décrire les différentes issues.

1er lancer 2ème lancer 3ème lancer

Activité 1! Probabilités

2

c) A l’aide d’une phrase, décrire l’issue FF.

3. On effectue maintenant 3 lancers consécutifs.a) Combien d’issues existe-t-il à cette expérience aléatoire ?

b) Indiquer les issues qui réalisent l’événement A : « la pièce est tombée 3 fois du même côté ».

c) Indiquer les issues qui réalisent l’événement B : « la pièce est tombée au moins une fois sur pile ».

4. a) Déterminer l’issue qui réalise à la fois l’événement A et l’événement B. On dit qu’elle réalise l’événement A ∩ B (on dit A inter B).

b) L’événement A ∪ B (A union B) est réalisé lorsqu’un des deux événement A ou B est réalisé (les deux peuvent l’être simultanément). Existe-t-il une issue qui ne réalise pas l’événement A ∪ B ? Que peut-on dire de cet événement ?


3

Activité 2 : La roulette

Objectif : Calculer la probabilité d’une événement.

Situation : Dans un casino, un groupe d’amis a décidé de jouer à la roulette. La roulette comporte des cases numérotées de 0 à 36.Amaury affirme que la boule a une probabilité plus élevée de s’arrêter sur un nombre supérieur ou égal à 25 que sur un multiple de 4.

Amaury a-t-il raison ?

1. a) La sortie d’une nombre est-elle une expérience aléatoire ? Justifier.

b) En probabilité, l’univers Ω (Oméga) est l’ensemble de toutes les issues possibles. Combien d’issues constitue l’univers de cette expérience ?

2. Toutes les issues ont la même probabilité, il y a équiprobabilité.a) Calculer la valeur exacte (en écriture fractionnaire), puis une valeur approchée à 10-3 près,

de la probabilité de sortie du nombre 32.

b) L’événement A est «la boule s’est arrêtée sur un nombre multiple de 4». Indiquer le nombre d’issues qui réalisent A.

3. Retour à la prblématique.a) Déterminer le nombre d’issues qui réalisent l’événement B «la boule s’est arrêtée sur un

nombre supérieur à 25».

b) En utilisant la formule p(B) =nombre d 'issues réalisant Bnombre d 'issues possibles , calculer p(B) à 10-3 près.

c) Répondre à la problématique.


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Activité 3 : Patho pas patho ?

Objectif : déterminer un événement contraire.

Situation : Dans un échantillon de population, les personnes peuvent présenter deux pathologies différentes : la pathologie A et la pathologie B. Certaines personnes ont les deux pathologies.La probabilité qu’une personne, prise au hasard, ait la pathologie A est p(A)=0,07.La probabilité qu’une personne, prise au hasard, ait la pathologie B est p(B)=0,05.

Quelle est la probabilité qu’une personne, prise au hasard, présente les deux pathologies ?

1. Si une personne ne présente pas de pathologie A, on di que l’événement contraire de A est réalisé. Il est noté A . Utiliser la propriété p(A) + p A( ) = 1 pour calculer p A( ) .

2. a) Décrire l’événement B .

b) Calculer p B( ) .

3. a) Décrire l’événement A∩ B .

b) Décrire l’événement A∪ B .

c) Si une personne prise au hasard ne réalise pas l’événement A∩ B , peut-on affirmer qu’il réalise l’événement A∪ B ?

d) La probabilité qu’une personne prise au hasard ne présente aucune pathologie est de 0,90. En déduire la probabilité que la personne présente au moins un défaut.

4. On donne la relation suivant : p A∪ B( ) = p(A) + p(B) − p A∩ B( ) En déduire la probabilité qu’une personne prise au hasard présente les deux pathologies.

5. Comment pourrait-on calculer la probabilité que la personne prise au hasard présente une des deux pathologies, mais pas les deux ?


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Cours

I. Définitions

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat.• La fréquence de réalisation d’une issue, lorsqu’une expérience aléatoire est reproduite un très

grand nombre de fois, se stabilise autour d’un nombre p. p est la probabilité de l’issue.• La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.• L’ensemble des issues de l’expérience est appelé univers. Il est noté Ω.• Un événement élémentaire est un événement qui ne comporte qu’une issue.• Lorsque des évènements ont la même probabilité, il y a équiprobabilité.• La probabilité d’un événement A, notée p(A) se calcule :

II. Intersection et réunion, événement contraire, événements incompatibles.

• L’événement A ∩ B (on lit «A inter B») est formé des issues qui réalisent à la fois A et B.

• L’événement A ∪ B (on lit «A union B») est formé des issues qui réalisent A ou B ou les deux à la fois.

• L’événement contraire de A, noté A , est formé des issues qui ne réalisent pas A.

• Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils n’ont aucune issue en commun.

III. Propriétés

p A∪ B( ) = p(A) + p(B) − p A∩ B( )p(A) + p A( ) = 1 donc p A( ) = 1− p(A)Remarques :

• Si A et B sont incompatibles p A∪ B( ) = p(A) + p(B) car p A∩ B( ) = 0• Pour calculer la probabilité d’un résultat final d’un arbre, on multiplie les probabilités de

l’ensemble de la branche de l’arbre.

Cours! Probabilités

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http://maths-sciences.fr Terminale Pro

Cours sur la probabilité 1/2

PPRROOBBAABBIILLIITTÉÉ

I) Vocabulaire Une expérience est aléatoire lorsqu’on n’est incapable de prédire son résultat bien qu’on puisse quand même envisager des résultats possibles. Le lancer d’un dé constitue une expérience aléatoire dans la mesure où le dé est bien équilibré. Le résultat d’une expérience est appelée issue. L’ensemble Ω des issues d’une expérience est appelé univers. Dans le cas d’un lancer de dé à 6 faces : Ω = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Un évènement correspond à une partie de l’univers. P = 2 ; 4 ;; 6 est l’évènement « obtenir un nombre pair ». Pour que l’évènement soit réalisé, il faut que l’issue de l’expérience soit un élément de l’évènement. P est réalisé si l’issue de l’expérience est 2, 4 ou 6. Un évènement élémentaire est un évènement ne contenant qu’un seul élément. E = 6 est l’évènement élémentaire « obtenir 6 ». II) Réunion, intersection, évènements incompatibles, évènements contraires

La réunion de deux évènements A et B est l’évènement constitué des issues qui réalisent l’évènement A ou l’évènement B. On note A B et on lit A union B.

L’intersection de deux évènements A et B est l’évènement constitué des issues qui réalisent l’évènement A et l’évènement B. On note A B et on lit A inter B.

Deux évènements A et B sont incompatibles lorsqu’ils n’ont aucune issue en commun. A B = ( se lit ensemble vide).

Deux évènements sont contraires - s’ils n’ont aucune issue en commun - si la réunion de leurs issues constitue

l’univers. On note Ā l’évènement contraire de A. (Ā se lit « A barre »)

A

A

Ω

Ω

A

Ω

B

B

B

A Ā

Ω










A

A

Ω

Ω

A

Ω

B

B

B

A Ā

Ω










A

A

Ω

Ω

A

Ω

B

B

B

A Ā

Ω










A

A

Ω

Ω

A

Ω

B

B

B

A Ā

Ω

p(A) = nombre d 'issues réalisant Anombre d 'issues deΩ

Exercices

Exercice 1 :Dans une classe, on compte des internes, des externes et des demi-pensionnaires.Cocher le graphique décrivant la situation.


Exercices sur les probabilités 2/7

Exercice 3 Dans une classe, on compte des internes, des externes et des demi-pensionnaires. Cocher le graphique décrivant la situation.

Exercice 4 2 310 athlètes ont profité des installations d’une association sportive sur l’année écoulée. Parmi ces 2 310 personnes, certaines ne sont pas adhérentes de l’association. On cherche à faire un bilan sous forme de tableau à la fin de la saison.

Homme Femme Total

Adhérents

Non adhérents

Total

On sait qu’il y a 1 540 adhérents et 462 femmes. 1 694 personnes sont des adhérents ou des femmes. On appelle A l’évènement : « Être adhérent » et B, l’évènement : « Être une femme ». 1) Calculer p(A), la probabilité d’être adhérent. 2) Calculer p(B), la probabilité d’être une femme. 3) On considère l’évènement « Être un adhérent ou une femme ». a) Cocher la probabilité correspondant à cet évènement :

◽ p(A B) ◽ p(A + B) ◽ p(A B) b) Calculer la probabilité de cet évènement. 4) On donne p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B). Calculer p(A B). 5) Compléter les cases du tableau. 6) a) Énoncer l’évènement contraire à « Être un adhérent ou une femme ». b) Calculer la probabilité de cet évènement. c) Vérifier la relation p(Ā) + p(A) = 1 à partir des résultats des questions 6) a) et 6) b).

Externes

Internes

Demi-pensionnaires

Demi -pensionnaires Externes

Internes

Internes Externes

Demi- pensionnaires

Exercice 2 :On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.1. Quel est l’univers Ω de cette expérience ?2. On s’intéresse aux événements : A : la carte tirée est un roi. B : La carte tirée est un pique.

a) Donner les issues correspondants à l’événement A.b) Donner les issues correspondants à l’événement B.c) Donner les issues correspondants à l’événement A ∪ B.d) Donner les issues correspondants à l’événement A ∩ B?e) Compléter le schéma ci-dessous.


Probabilités 6/7

Exercice 6 Sur une route d’agglomération, trois feux tricolores sont indépendants mais avec le même temps de vert (54 secondes), le même temps d’orange (4 secondes) et le même temps de rouge (42 secondes). 1) Calculer la durée du cycle d’un des feux tricolores. 2) Calculer la probabilité d’avoir le premier feu au vert. 3) Calculer la probabilité d’avoir les trois feux au vert en même temps. 4) Un automobiliste malchanceux rencontre un feu rouge sur chacun des trois carrefours. Il calcule cette probabilité en appliquant la formule 1 – p avec p la probabilité d’avoir les trois feux verts en même temps. Il pense qu’il est normal de rencontrer souvent trois feux rouges simultanément. Que pensez-vous de son raisonnement ?

(D’après Les maths au quotidien Ellipses p 253) Exercice 7 On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. 1) Donner l’univers Ω correspondant à cette expérience. 2) On s’intéresse aux évènements : A : la carte tirée est un roi B : la carte tirée est un pique a) Donner les évènements élémentaires correspondant à l’évènement A. b) Donner les évènements élémentaires correspondant à l’évènement B. c) Donner l’évènement correspondant à A B. d) Donner l’évènement correspondant à A B. e) Compléter le schéma ci-dessous.

Exercice 3 : On dénombre 4 groupes sanguins (A, B AB et O) et deux rhésus (- et +). La répartition mondiale est donnée ci-dessous.



PPRROOBBAABBIILLIITTÉÉSS

Exercice 1 On dénombre quatre groupes sanguins (A, B, AB et O) et deux rhésus (+ et –). La répartition mondiale est donnée ci-dessous :

Groupe Rhésus O A B AB

+ 38 % 34 % 9 % 3 %

– 7 % 6 % 2 % 1 %

Données : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_sanguin

1) Donner la probabilité pour qu’un individu soit du groupe O. 2) Donner la probabilité pour qu’un individu ait un rhésus +. On appelle A l’évènement « Être du groupe O » On appelle B l’évènement « Avoir un rhésus + » 3) a) Énoncer l’évènement A B. b) Donner la probabilité p(A B). 4) a) Énoncer l’évènement A B. b) Donner la probabilité p(A B). 5) Calculer p(A B) à l’aide de la relation p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B). Comparer le résultat obtenu à l’aide du résultat de la question 4) b). Exercice 2 Dans une classe on totalise les garçons (groupe A) ainsi que les élèves porteurs de lunettes (groupe B). Dans la classe, on dénombre 4 garçons porteurs de lunettes et 12 qui n’en portent pas. On comptabilise 19 personnes qui sont des garçons ou qui portent des lunettes. 1) Calculer le nombre de filles qui portent des lunettes dans cette classe. ( Rappel : p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) ) 2) En supposant qu’il y a 29 élèves dans cette classe, compléter le schéma ci-dessous.

Ω

1. Donner la probabilité pour qu’un individu soit du groupe O.2. Donner la probabilité pour qu’un individu ait un rhésus +.On appelle A l’événement «être du groupe O»On appelle B l’événement «avoir un rhésus +»3. Enoncer l’événement A ∪ B. Donner sa probabilité.4. Enoncer l’événement A ∩ B. Donner sa probabilité.5. Calculer p(A ∪ B) à l’aide de la relation du cours. Comparer le résultat obtenu à l’aide du

résultat de la question 4.

Exercices! Probabilités

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Exercice 4 :Dans une classe, on totalise les garçons (groupe A) ainsi que les élèves porteurs de lunettes (groupe B). Dans la classe, on dénombre 4 garçons porteurs de lunettes et 12 qui n’en portent pas. On comptabilise 19 personnes qui sont des garçons ou qui portent des lunettes.1. Calculer le nombre de filles qui portent des lunette dans cette classe.2. En supposant qu’il y a 29 élèves dans cette classe, compléter le schéma suivant.



PPRROOBBAABBIILLIITTÉÉSS

Exercice 1 On dénombre quatre groupes sanguins (A, B, AB et O) et deux rhésus (+ et –). La répartition mondiale est donnée ci-dessous :

Groupe Rhésus O A B AB

+ 38 % 34 % 9 % 3 %

– 7 % 6 % 2 % 1 %

Données : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_sanguin

1) Donner la probabilité pour qu’un individu soit du groupe O. 2) Donner la probabilité pour qu’un individu ait un rhésus +. On appelle A l’évènement « Être du groupe O » On appelle B l’évènement « Avoir un rhésus + » 3) a) Énoncer l’évènement A B. b) Donner la probabilité p(A B). 4) a) Énoncer l’évènement A B. b) Donner la probabilité p(A B). 5) Calculer p(A B) à l’aide de la relation p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B). Comparer le résultat obtenu à l’aide du résultat de la question 4) b). Exercice 2 Dans une classe on totalise les garçons (groupe A) ainsi que les élèves porteurs de lunettes (groupe B). Dans la classe, on dénombre 4 garçons porteurs de lunettes et 12 qui n’en portent pas. On comptabilise 19 personnes qui sont des garçons ou qui portent des lunettes. 1) Calculer le nombre de filles qui portent des lunettes dans cette classe. ( Rappel : p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) ) 2) En supposant qu’il y a 29 élèves dans cette classe, compléter le schéma ci-dessous.

Ω

Exercice 5 :Dans une classe de première professionnelle de 30 élèves, on dénombre :


Probabilités 5/7

Exercice 4 Un jeu télévisé propose aux candidats trois portes. Derrière une des portes se trouve un chèque d’une valeur de 10 000 €. Derrière les deux autres portes, il n’y a rien… On demande au candidat de désigner une porte. Deux possibilités s’offrent à lui - Il décide de garder son choix. - Il décide de changer son choix : l’animateur lui ouvre alors une des deux portes perdantes

afin qu’il choisisse l’autre porte. 1) Quelle est, selon vous, la possibilité à envisager afin de mettre le maximum de chances de son côté pour repartir avec le chèque ? On pourra ouvrir le fichier exercice-jeu-des-trois-boites-probabilite-terminale-pro.xlsx. 2) On a simulé 100 jeux afin de savoir dans quel cas le candidat avait plus de chances de gagner. On pourra ouvrir le fichier exercice-jeu-des-trois-boites-100-simulations-probabilite-terminale-pro.xlsx. Quelle conclusion peut-on tirer ? 3) En analysant les issues possibles, calculer la probabilité dans chaque cas. Exercice 5 Dans une classe de première professionnelle de 30 élèves, on dénombre :

Titulaires d’un CAP 9 Majeurs 21

(Certains élèves ne sont ni majeurs ni titulaires d’un CAP) 1) Donner la représentation décrivant la situation présentée. 2) a) Calculer la probabilité p(A) de tirer au sort un élève majeur. b) Calculer la probabilité p(B) de tirer au sort un élève titulaire d’un CAP. 3) a) La probabilité de tirer au sort un élève majeur titulaire d’un CAP se note :

p(A B) p(A–B) p(A B) b) Calculer cette probabilité en vous aidant du diagramme de la question 1. 4) a) La probabilité de tirer au sort un élève majeur ou titulaire d’un CAP se note :

p(A B) p(A+B) p(A B) b) Calculer cette probabilité.

9 10 21 15 6 3

9 30 21 9 21

(certains élèves ne sont ni majeurs, ni titulaires d’un CAP.)1. Donner la représentation décrivant la situation présentée.2. Calculer la probabilité p(A) de tirer au sort un élève majeur.3. Calculer la probabilité p(B) de tirer au sort un élève titulaire d’un CAP.4. La probabilité de tirer au sort un élève majeur titulaire d’un CAP se note :


Probabilités 5/7







9 10 21 15 6 3

9 30 21 9 21

Calculer cette probabilité.5. La probabilité de tirer au sort un élève majeur ou titulaire d’un CAP se note :


Probabilités 5/7







9 10 21 15 6 3

9 30 21 9 21

Calculer cette probabilité.

Exercice 6 :Sur une route d’agglomération, trois feux tricolores sont indépendants mais avec le même temps de vert (54s), le temps d’orange (4s) et le même temps de rouge (42s).1. Calculer la durée du cycle d’un feux tricolores.2. Calculer la probabilité d’avoir le premier feu au vert.3. Calculer la probabilité d’avoir les trois feux au vert en même temps.4. Un automobiliste malchanceux rencontre un feu rouge sur chacun des trois carrefours. Il calcul

cette probabilité en appliquant la formule 1-p avec p la probabilité d’avoir les trois feux verts en même temps. Il pense qu’il est normal de rencontrer souvent trois feux rouges simultanément. Que pensez-vous de son raisonnement ?


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Exercice 6 : On considère un couple désirant avoir 4 enfants. L’événement G : 1. Compléter l’arbre des possibilités pour ce couple.



Exercice 7 On considère un couple désirant avoir 4 enfants. 1) Compléter l’arbre des possibilités pour ce couple.

2) Indiquer le nombre d’issues possibles. 3) On s’intéresse au cas particulier d’un couple qui a 4 garçons (évènement A). Préciser comment on peut qualifier cet évènement. 4) Simuler à l’aide d’un tableur 10 000 couples ayant 4 enfants et donner la fréquence d’obtention de 4 garçons. 5) Calculer la probabilité d’avoir 4 garçons et la comparer à la fréquence obtenue à l’aide du tableur. 6) a) Énoncer l’évènement B contraire à l’évènement A : « Avoir 4 garçons » b) Cocher les bonnes affirmations : Ā = B p(Ā) = 1 – p(A) Les évènements A et B sont élémentaires Les évènements A et B sont contraires

7) Calculer la probabilité d’avoir au moins une fille. 8) Calculer les probabilités : a) d’avoir 3 garçons et 1 fille b) d’avoir 2 garçons et 2 filles c) d’avoir 1 garçons et 3 filles d) d’avoir 0 garçon et 4 filles 9) Comparer le total des probabilités de la question 8 avec la probabilité de la question 7.

2. Indiquer le nombre d’issues possibles.

3. On s’intéresse au cas particulier d’un couple qui a 4 garçons (événement A). Comment peut-on qualifier cet événement ?

4. Calculer la probabilité p(A) d’avoir 4 garçons.

5. Décrire l’événement A .

6. Calculer la probabilité d’avoir au moins une fille.

7. Calculer les probabilités :a) d’avoir 3 garçons et 1 fille.b) d’avoir 2 garçons et 2 filles.c) d’avoir 1 garçon et 3 filles.d) d’avoir 4 filles.

8. Comparer le total des probabilités de la question 7 avec la probabilité de la question 6.


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Exercice 7 : Le directeur d’une société fait une enquête auprès de ses clients pour savoir s’ils sont satisfaits de deux abonnements A et B qui leurs sont proposés.Sur les 2000 clients que compte l’entreprise, 1414 sont satisfaits de leur abonnement.Parmi les clients qui ont opté pour l'offre B d’abonnement, 448 sont non-satisfaits. Sur les 200 clients, 600 ont opté pour l’offre A.1. A l’aide des informations données, compléter le tableau ci-dessous.



Exercice 9 Le Directeur d’une société fait une enquête auprès de ses clients pour savoir s’ils sont satisfaits des deux abonnements A et B qui leurs sont proposés. Sur les 2 000 clients que compte l’entreprise, 1 414 sont satisfaits de leur abonnement. Parmi les clients qui ont opté pour l’offre B d’abonnement, 448 sont non-satisfaits. Sur les 2 000 clients, 600 ont opté pour l’offre A d’abonnement. 1) À l’aide des informations données ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous :

Satisfaits Non Satisfaits Total Adhérents offre A Adhérents offre B

Total 2) Calculer la fréquence de personnes satisfaites de leur offre d’abonnement. 3) Compléter l’arbre de probabilité suivant :

4) Si on choisit au hasard un client de cette entreprise, donner la probabilité pour qu’il soit satisfait de l’offre B. 5) Le directeur de l’entreprise souhaiterait qu’au moins 75 % des clients adoptent l’offre B. Préciser en justifiant votre réponse si ce critère est respecté.

S

S

NS

NS

A

B

0,68

0,3

2. Calculer la fréquence de personnes satisfaites de leur offre d’abonnement.

3. Compléter l’arbre suivant :



Exercice 9 Le Directeur d’une société fait une enquête auprès de ses clients pour savoir s’ils sont satisfaits des deux abonnements A et B qui leurs sont proposés. Sur les 2 000 clients que compte l’entreprise, 1 414 sont satisfaits de leur abonnement. Parmi les clients qui ont opté pour l’offre B d’abonnement, 448 sont non-satisfaits. Sur les 2 000 clients, 600 ont opté pour l’offre A d’abonnement. 1) À l’aide des informations données ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous :

Satisfaits Non Satisfaits Total Adhérents offre A Adhérents offre B

Total 2) Calculer la fréquence de personnes satisfaites de leur offre d’abonnement. 3) Compléter l’arbre de probabilité suivant :

4) Si on choisit au hasard un client de cette entreprise, donner la probabilité pour qu’il soit satisfait de l’offre B. 5) Le directeur de l’entreprise souhaiterait qu’au moins 75 % des clients adoptent l’offre B. Préciser en justifiant votre réponse si ce critère est respecté.

S

S

NS

NS

A

B

0,68

0,3

4. Si on choisit au hasard un client de cette entreprise, donner la probabilité pour qu’il soit satisfait de l’offre B.

5. Le directeur de l’entreprise souhaiterait qu’au moins 75% des clients adoptent l’offre B. Préciser en justifiant si ce critère est respecté.


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