Prise en compte d'effets météorologiques dans la méthode d...

N° d'ordre 2000 ISAL 0039 Année 2000

THÈSE

présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

et préparée à

L’ÉCOLE NATIONALE DES TRAVAUX PUBLICS DE L'ÉTAT

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATION DOCTORALE : Acoustique

par

Eric PREMAT

Ingénieur des Travaux Publics de l'État

PRISE EN COMPTE D'EFFETS MÉTÉOROLOGIQUES

DANS UNE MÉTHODE D'ÉLÉMENTS FINIS DE FRONTIÈRE

Jury : MM. Denis DUHAMEL RapporteurKarsten Bo RASMUSSEN RapporteurYannick GABILLET Directeur de ThèseMichel BERENGIERGérard GUARRACINODaniel JUVEJacques ROLANDJean-Louis GUYADER

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Septembre 1998

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur : J.ROCHAT

Professeurs :

S.AUDISIO PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.C.BABOUX G.E.M.P.P.M.*J.BAHUAUD MECANIQUE DES SOLIDESB.BALLAND PHYSIQUE DE LA MATIEREM.BARBIER PHYSIQUE DE LA MATIEREG.BAYADA MOD. MAT. CAL. SCIEN../L.M.C.C.BERGER (Melle) PHYSIQUE DE LA MATIEREM.BETEMPS AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEJ.M.BLANCHARD L.A.E.P.S.I.C.BOISSON VIBRATIONS ACOUSTIQUESM.BOIVIN MECANIQUE DES SOLIDESH.BOTTA EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAING.BOULAYE INFORMATIQUEJ.BRAU CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTM.BRISSAUD GENIE ELECTRIQUE ER FERROELECTRICITEM.BRUNET MECANIQUE DES SOLIDESJ.C.BUREAU THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.P.CHANTE COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSM.CHEVRETON CONT. NON DEST. RAY. ION.B. CHOCAT U.R.G.C. HYDROLOGIE URBAINEB.CLAUDEL L.A.E.P.S.I.M.COUSIN U.R.G.C. STRUCTUREM.DIOT THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEA.DOUTHEAU CHIMIE ORGANIQUEB.DUPERRAY CHIMIE BIOLOGIQUEJ.C.DUPUY PHYSIQUE DE LA MATIEREH.EMPTOZ R.F.V.C.ESNOUF G.E.M.P.P.M.*G.FANTOZZI G.E.M.P.P.M.*J.FAVREL P.R.I.S.Ma.G.FERRARIS-BESSON MECANIQUE DES STRUCTURESY.FETIVEAU GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEL.FLAMAND MECANIQUE DES CONTACTSP.FLEISCHMANN G.E.M.P.P.M.*A.FLORY L.I.S.I.R.FOUGERES G.E.M.P.P.M.*F.FOUQUET G.E.M.P.P.M.*L.FRECON INFORMATIQUER.GAUTHIER PHYSIQUE DE LA MATIEREM.GERY CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTG.GIMENEZ C.R.E.A.T.I.S.P.GONNARD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM.GONTRAND L.C.P.A.G.GRANGE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG.GUENIN G.E.M.P.P.M.*M.GUICHARDANT BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEG.GUILLOT PHYSIQUE DE LA MATIEREA.GUINET P.R.I.S.Ma.J.L.GUYADER VIBRATIONS-ACOUSTIQUED.GUYOMAR GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.M.JOLION R.F.V.J.F.JULLIEN U.R.G.C. STRUCTURESA.JUTARD AUTOMATIQUE INDUSTRIELLER.KASTNER U.R.G.C. GEOTECHNIQUEH.KLEIMANN GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.KOULOUMDJIAN L.I.S.I.M.LAGARDE BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEM.LALANNE MECANIQUE DES STRUCTURESA.LALLEMAND CETHIL/EQ. ENERGETIQUE ET THERMIQUEM.LALLEMAND (Mme) CETHIL/EQ. ENERGETIQUE ET THERMIQUEP.LAREAL U.R.G.C. GEOTECHNIQUEA.LAUGIER PHYSIQUE DE LA MATIERECH.LAUGIER BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

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P.LEJEUNE G.M.M.I.C.A.LUBRECHT MECANIQUE DES CONTACTSC.LESUEUR VIBRATIONS-ACOUSTIQUEY.MARTINEZ L.3I.C.MARTY C.A.S.M.H.MAZILLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.MERLE G.E.M.P.P.M.*J. MERLIN G.E.M.P.P.M.*J.P.MILLET PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEM.MIRAMOND U.R.G.C. HYDROLOGIE URBAINEN.MONGEREAU (Prof. Emérite) U.R.G.C. GEOTECHNIQUER.MOREL MECANIQUE DES FLUIDESP.NARDON BIOLOGIE APPLIQUEEA.NAVARRO L.A.E.P.S.I.M.OTTERBEIN L.A.E.P.S.I.J.P.PASCAULT MATERIAUX MACROMOLECULAIRESJ.PERA U.R.G.C. MATERIAUXG.PERACHON THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.PEREZ G.E.M.P.P.M.*P.PINARD PHYSIQUE DE LA MATIEREJ.M.PINON L.I.S.I.D.PLAY C.A.S.M.J.POUSIN MODEL.MATH. ET CALCUL SCIEN.P.PREVOT G.R.A.C.I.M.P.R.PROST C.R.E.A.T.I.S. **M.REYNAUD CETHIL/EQ. TRANSFERTS INTERFACES MATERIAUXJ.M.REYNOUARD U.R.G.C. STRUCTURESE.RIEUTORD (Prof. Emérite) MECANIQUE DES FLUIDESJ.ROBERT-BAUDOUY (Mme) G.M.M.I.C.D.ROUBY G.E.M.P.P.M.*J.J.ROUX CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTP.RUBEL L.I.S.I.C.RUMELHART MECANIQUE DES SOLIDESJ.F.SACADURA CETHIL/EQ. TRANSFERTS INTERFACES MATERIAUXH.SAUTEREAU MATERIAUX MACROMOLECULAIRESS.SCAVARDA AUTOMATIQUE INDUSTRIELLED.THOMASSET AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEM.TROCCAZ GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITER.UNTERREINER C.R.E.A.T.I.S.J.VERON L.A.E.P.S.I. ***G.VIGIER G.E.M.P.P.M.*A.VINCENT G.E.M.P.P.M.*P.VUILLERMOZ PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S. :

A.ANKER CHIMIE ORGANIQUEY.BERTIER MECANIQUE DES CONTACTSP.CLAUDY THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEN.COTTE-PATTAT (Mme) G.M.M.I.C.P.FRANCIOSI G.E.M.P.P.M.*M.A.MANDRANT-BERTHELOT (Mme) G.M.M.I.C.M.MURAT G.E.M.P.P.M.*J.F.QUINSON G.E.M.P.P.M.*A.ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

Directeurs de recherche I.N.R.A. :

G.BONNOT BIOLOGIE APPLIQUEEG.FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES.GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEEY.MENEZO BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :

A-F. PRIGENT (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEI.MAGNIN (Mme) C.R.E.A.T.I.S. ***

* * GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE DU SIGNAL

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LISTE DES DEA ou FORMATIONS DOCTORALES

FORMATIONS DOCTORALES RESPONSABLES INSA ADRESSES INSA

Acoustique GUYADER Jean-Louis Bât 303 Tél 80 80

Analyse et modélisation des systèmes biologiques NARDON Paul Bât 406 Tél 80 86

Automatique industrielle SCAVARDA Serge Bât 303 Tél 83 41

Biochimie LAGARDE Michel Bât 406 Tél 82 40

Chimie Inorganique GONNARD Paul Bât 504 Tél 81 58

Conception en bâtiment et techniques urbaines MIRAMOND Marcel Bât 304 Tél 85 56

DEA informatique de Lyon KOULOUMDJAN Jacques Bât 501 Tél 80 99

Dispositifs et électronique intégrée PINARD Pierre Bât 502 Tél 82 47

Génie biologique et médical MAGNIN Isabelle Bât 502 Tél 85 63

Génie civil : sols, matériaux, structure, physique du bâtiment LAREAL Pierre Bât 304 Tél 82 16

Génie Electrique CHANTE Jean-Pierre Bât 401 Tél 87 26

Matériaux polymères et Composites SAUTEREAU Henri Bât 403 Tél 81 78

Mécanique DALMAZ Gérard Bât 113 Tél 83 03

Microstructure et comportement mécanique et macroscopique desmatériaux - génie des matériaux

GUENIN Gérard Bât 502 Tél 82 45

Productique : organisation et conduite des systèmes de production FAVREL Joel Bât 502 Tél 83 63

Sciences des matériaux et des surfaces LAUGIER André Bât 502 Tél 82 33

Sciences et techniques du déchet NAVARRO Alain Bât 404 Tél 84 30

Signal, Image, Parole GIMENEZ GERARD Bât 502 Tél 83 32

Thermique et Energétique LALLEMAND Monique Bât 404 Tél 81 54

Les responsables soulignés sont également responsables généraux

*** LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

- 13 -

Sommaire

Introduction générale ........................................................................................................... 23

Chapitre 1 La problématique de l'acoustique environnementale........................................ 27

1.1 Les principaux phénomènes intervenant dans la propagation acoustique en milieu

extérieur ........................................................................................................................ 27

1.2 Conclusion .............................................................................................................. 37

Chapitre 2 La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène..................... 39

2.1 Introduction............................................................................................................. 39

2.2 La formulation directe ............................................................................................ 41

2.3 La formulation indirecte ......................................................................................... 44

2.4 La formulation variationnelle ................................................................................. 47

2.5 La fonction de Green, clef de voûte de la méthode d'éléments finis de frontière... 48

2.6 La résolution des équations intégrales de frontière. Avantages et inconvénients des

méthodes d'éléments finis de frontière.......................................................................... 50

2.6.1 Les méthodes de résolution des équations intégrales de frontière................ 50

2.6.2 Les problèmes d'existence et unicité............................................................. 50

2.6.3 La discrétisation de la géométrie et l'approximation de la solution

recherchée ............................................................................................................. 54

2.6.4 Le calcul des intégrales régulières et singulières.......................................... 56

2.6.5 La résolution du système linéaire ................................................................. 60

2.6.6 Le coût numérique à haute fréquence et pour les configurations 3D ........... 62

2.7 Applications de la méthode des éléments finis de frontière ................................... 67

2.8 Conclusion .............................................................................................................. 71

- 14 -

Chapitre 3 La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques............... 73

3.1 Introduction............................................................................................................. 73

3.2 L'équation de propagation en milieu inhomogène.................................................. 75

3.3 Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu inhomogène .......... 78

3.3.1 Les méthodes de rayon ................................................................................. 78

3.3.2 L'Equation Parabolique................................................................................. 85

3.3.3 Le Fast Field Program .................................................................................. 91

3.3.4 Les solutions analytiques............................................................................ 100

3.4 Conclusion : évaluation et comparaison des différents modèles .......................... 111

Chapitre 4 La formulation en potentiels de couche adoptée en milieu homogène : le

modèle BEMAS2D............................................................................................................ 115

4.1 Introduction........................................................................................................... 115

4.2 Le cas académique d'un écran droit, mince, rigide, en milieu infini .................... 118

4.3 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan parfaitement réfléchissant .................... 123

4.4 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan absorbant .............................................. 128

4.5 Conclusion ............................................................................................................ 137

Chapitre 5 La formulation retenue en milieu inhomogène : les modèles DOWNMOD,

UPGEOM et UPRES ......................................................................................................... 139

5.1 Introduction........................................................................................................... 139

5.2 Réfraction vers le bas : le modèle DOWNMOD .................................................. 140

5.3 Réfraction vers le haut : les modèles UPGEOM et UPRES................................. 149

5.3.1 La solution géométrique en zone éclairée : le modèle UPGEOM.............. 149

5.3.2 La série des résidus en zone d'ombre : le modèle UPRES ......................... 155

5.3.3 Les critères de transition entre les modèles UPGEOM et UPRES............. 161

5.4 La linéarisation des profils de vitesse du son ....................................................... 166

5.5 L’analogie propagation au-dessus d’un sol plan en milieu inhomogène –

propagation au-dessus d’une surface courbe en milieu homogène ........................................ 171

5.6 Conclusion ............................................................................................................ 174

Chapitre 6 Le modèle Météo-BEM .................................................................................. 175

6.1 Introduction........................................................................................................... 175

- 15 -

6.2 Revue bibliographique sur le problème de la propagation acoustique en milieu

inhomogène en présence d'un écran............................................................................ 177

6.3 Réfraction vers le bas............................................................................................ 179

6.3.1 Ecran mince rigide sur sol rigide ................................................................ 179

6.3.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant.......................................................... 181

6.4 Réfraction vers le haut .......................................................................................... 182

6.4.1 Ecran mince rigide sur sol rigide ................................................................ 182

6.4.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant.......................................................... 184

6.5 Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats issus de la littérature......... 185

6.6 Conclusion ............................................................................................................ 197

Chapitre 7 Confrontation du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux........... 199

7.1 Introduction........................................................................................................... 199

7.2 Présentation des mesures sur maquettes ............................................................... 200

7.3 Mesures avec les sources à jet d'air comprimé ..................................................... 201

7.3.1 Mesures sur sol plan ................................................................................... 203

7.3.2 Mesures sur surface concave ...................................................................... 208

7.3.3 Mesures sur surface convexe...................................................................... 213

7.4 Mesures avec la T.D.S .......................................................................................... 217

7.4.1 Mesures sur sol plan ................................................................................... 219

7.4.2 Mesures sur surface concave ...................................................................... 223

7.4.3 Mesures sur surface convexe...................................................................... 226

7.5 Conclusion ............................................................................................................ 232

Conclusion générale........................................................................................................... 235

Références Bibliographiques ............................................................................................. 239

Annexe I Les différentes équations paraboliques........................................................... 259

Annexe II Les variantes du Fast Field Program............................................................... 263

Annexe III Calcul de la partie finie de Hadamard............................................................. 265

Annexe IV Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant ...................................... 271

Annexe V Fichiers de mesures......................................................................................... 277

- 16 -

Table des figures

figure 1. 1 : Effet de l'absorption des matériaux .............................................................. 28

figure 1. 2 : Effet de la discontinuité d'impédance........................................................... 29

figure 1. 3 : Effet du relief ............................................................................................... 30

figure 1. 4 : Effet de l'absorption atmosphérique............................................................. 31

figure 1. 5: Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le bas en présence

d'un gradient positif de vitesse du son ................................................................................. 31

figure 1. 6 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le haut en

présence d'un gradient négatif de vitesse du son ................................................................. 32

figure 1. 7 : Profils de température typiques en été et à différentes heures de la journée33

figure 1. 8 : Effet d'une inversion typique de température............................................... 33

figure 1. 9 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction en présence d'un

gradient de vitesse du vent................................................................................................... 34

figure 1. 10 : Profils du vent en fonction de l'heure du jour .............................................. 34

figure 1. 11 : Effet du vent ................................................................................................. 35

figure 1. 12 : Vitesse du vent et température en fonction du temps................................... 36

figure 1. 13 : Effet de la turbulence ................................................................................... 36

figure 1. 14 : Les principaux phénomènes physiques intervenant dans la propagation

acoustique en milieu extérieur ............................................................................................. 38

figure 2. 1 : Schéma général pour l'établissement de la représentation de Green............ 42

figure 2. 2 : Les grandes étapes de la méthode des équations intégrales de frontière ..... 66

figure 3. 1 : Stratification horizontale de l'atmosphère.................................................... 93

figure 3. 2 : Propagation acoustique au-dessus d'un sol plan absorbant en milieu

homogène........................................................................................................................... 101

figure 3. 3 : Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu extérieur ... 112

- 17 -

figure 4. 1 : Le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur..... 116

figure 4. 2 : Schéma pour la configuration de l'écran droit mince en milieu infini ....... 118

figure 4. 3 : Schéma de la configuration étudiée par Filippi et Dumery........................ 122

figure 4. 4 : Densité du potentiel de double couche pour le problème étudié par

Filippi et Dumery............................................................................................................... 122

figure 4. 5 : Ecran acoustique droit, mince, sur sol plan................................................ 123

figure 4. 6 : Schéma de la configuration étudiée par Daumas ....................................... 125

figure 4. 7 : Courbes de variation de l'efficacité sur D1, D2 et D3................................ 126

figure 4. 8 : Courbes de variation de l'efficacité verticalement sur D4.......................... 127

figure 4. 9 : Schéma de la configuration de Hothersall.................................................. 127

figure 4. 10 : Perte par insertion pour des écrans verticaux rigides sur un sol plan

réfléchissant ....................................................................................................................... 127

figure 4. 11 : Spectres d'atténuation pour différents paramètres de résistance au passage

de l'air................................................................................................................................. 130

figure 4. 12 : Schéma de la configuration étudiée par Isei et Duhamel ........................... 134

figure 4. 13 : Effet de la variation du paramètre de résistance au passage de l'air sur les

niveaux de pression calculés, pour une même configuration d'écran acoustique.............. 135

figure 4. 14 : Atténuation par rapport au champ libre pour la configuration étudiée par

Isei et Duhamel .................................................................................................................. 135

figure 4. 15 : Schéma de la configuration de Chandler-Wilde ........................................ 136

figure 4. 16 : Spectres d'atténuation en présence d'un écran au-dessus d'un sol rigide puis

absorbant ............................................................................................................................ 136

figure 4. 17 : Les étapes du code de calcul BEMAS2D................................................... 138

figure 5. 1 : Perte par transmission calculée par DOWNMOD en fonction de la portée141

figure 5. 2 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par

DOWNMOD (3D) ............................................................................................................. 143

figure 5. 3 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou

l'Equation Parabolique ....................................................................................................... 144

figure 5. 4 : Atténuation comparée de DOWNMOD (2D), DOWNMOD (3) et de la FFP,

en fonction de la distance................................................................................................... 145

figure 5. 5 : Comparaison de DOWNMOD (2D) à des résultats de Rasmussen ........... 146

figure 5. 6 : Comparaison de la dérivée du champ de pression calculée par DOWNMOD

(3D) et de résultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal sur une surface

- 18 -

concave .............................................................................................................................. 148

figure 5. 7 : Schéma pour la propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre

convexe .............................................................................................................................. 150

figure 5. 8 : Déformation du tube de rayons lors de la réflexion sur la surface courbée151

figure 5. 9 : Comparaison du modèle UPGEOM (2D) en zone éclairée à des résultats

expérimentaux de Wang au-dessus de surfaces courbées.................................................. 154

figure 5. 10 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par UPRES (3D)157

figure 5. 11 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou

l'Equation Parabolique ....................................................................................................... 158

figure 5. 12 : Comparaison de UPRES (2D) à des résultats de Rasmussen..................... 159

figure 5. 13 : Comparaison du modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux de

Wang dans la zone d'ombre obtenus au-dessus d'une surface convexe............................. 160

figure 5. 14 : Comparaison entre les résultats des modèles UPGEOM (2D) et UPRES

(2D) et des résultats expérimentaux de Wang sur surface convexe................................... 162

figure 5. 15 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte

UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang.................................................. 163


UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang.................................................. 163


UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal au-

dessus d'une surface convexe rigide .................................................................................. 164


UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang au-dessus d'une surface convexe

absorbante .......................................................................................................................... 165

figure 5. 19 : Linéarisation du profil de vitesse du son grâce au concept du volume de

Fresnel................................................................................................................................ 167

figure 5. 20 : Comparaison du modèle UPRES (2D), calcul effectué à partir du gradient

équivalent à 500 Hz (Rc = 400 m), à des mesures de Gabillet sur modèle réduit en

soufflerie ............................................................................................................................ 168

figure 6. 1 : schéma de l'écran mince rigide sur sol plan en présence de réfraction...... 179

figure 6. 2 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les

résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide ........................... 186

- 19 -

figure 6. 3 : Comparaison du modèle BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle

de la TGD, en milieu homogène sur sol rigide, avec écran ............................................... 188

figure 6. 4 : Comparaison du modèle DOWNMOD (2D) à des résultats expérimentaux

de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide, sans écran ........................................ 189


résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide ........................... 191


résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave absorbante ................... 193


résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave absorbante ................... 194

figure 6. 8 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de

Rasmussen et un résultat de calcul de Li pour un écran sur sol absorbant en situation de

vent portant ........................................................................................................................ 196

figure 6. 9 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de

Rasmussen et un résultat de calcul de Li pour un écran sur sol absorbant en situation de

vent contraire ..................................................................................................................... 196

figure 6. 10 : Organigramme représentant la construction du modèle Météo-BEM ....... 198

figure 7. 1 : Schéma des configurations étudiées dans les mesures avec les sources à jet

d'air comprimé ................................................................................................................... 201

figure 7. 2 : Mesure avec les sources de jet d'air comprimé pour la configuration de

l'écran droit mince rigide sur sol plan rigide...................................................................... 202

figure 7. 3: Mesure avec les sources de jet d'air comprimé pour les configurations de la

surface convexe rigide et de la surface concave rigide...................................................... 202

figure 7. 4 : source de jet d'air comprimé utilisée.......................................................... 202

figure 7. 5 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle

réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide....................................... 204







- 20 -

figure 7. 9 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle

réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide ................................ 209







figure 7. 13 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre la source et

l'écran acoustique............................................................................................................... 214

figure 7. 14 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre l'écran et le

récepteur............................................................................................................................. 214


réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol convexe rigide ................................ 216

figure 7. 16 : Dispositif expérimental pour la mesure avec la TDS au-dessus de la surface

plane rigide......................................................................................................................... 218

figure 7. 17 : Mesure avec la TDS au-dessus de la surface convexe recouverte de

feutrine ............................................................................................................................... 218

figure 7. 18 : Mesure avec la TDS au-dessus de la surface concave recouverte de

feutrine ............................................................................................................................... 218

figure 7. 19 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide

(2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide................................ 220







figure 7. 23 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol

absorbant (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant......... 222

figure 7. 24 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol

absorbant (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant......... 222

figure 7. 25 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D)

aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface concave rigide ....................... 224

- 21 -

figure 7. 26 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D)

aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface concave absorbante ............... 224


réduit avec la TDS, sur la surface concave rigide en présence d'un écran acoustique

rigide .................................................................................................................................. 225


réduit avec la TDS, sur la surface concave absorbante en présence d'un écran acoustique

rigide .................................................................................................................................. 225

figure 7. 29 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte

UPRES+UPGEOM (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface

convexe rigide sans écran acoustique ................................................................................ 227



convexe rigide sans écran acoustique ................................................................................ 227



convexe absorbante sans écran acoustique ........................................................................ 228



convexe absorbante sans écran acoustique ........................................................................ 228

figure 7. 33 : Comparaison entre les mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface

convexe absorbante sans écran acoustique et le calcul par le modèle mixte

UPRES+UPGEOM (2D) pour différentes valeurs de σ .................................................... 229


réduit avec la TDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique

rigide .................................................................................................................................. 231


réduit avec la TDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique

rigide .................................................................................................................................. 231

figure AIV. 1 : Notations pour le calcul de la fonction de Green pour un sol absorbant .276

figure AIV. 2 : Déformation dans le plan complexe du chemin L en chemin de plus grande

pente Γ ............................................................................................................................... 273

- 22 -

Liste des Tableaux

Tableau 4. 1 : Les différentes fonctions de Green intervenant dans la BEM en milieu

homogène........................................................................................................................... 137

Tableau 5. 1 : Les différentes fonctions de Green disponibles pour la BEM............... 174

Tableau AI. 1 : Equations paraboliques obtenues selon différents développements de

l'opérateur Q....................................................................................................................... 260

Tableau AIII. 1: Coefficients du développement de J1(z)/z ............................................ 266

Tableau AIII. 2: Coefficients du développement de Y1(z)/z ........................................... 267

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A Yannick,

A Catherine,

A ma famille, et surtout mes parents qui m'ont donné la curiosité.

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Remerciements

Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire des Sciences de l'Habitat (LASH) duDépartement Génie Civil et Bâtiment (DGCB) URA CNRS 1652. Je tiens doncnaturellement à remercier Gérard Guarracino, Directeur du LASH, Jacques Beaumont,Directeur de Recherche à l'Institut National de Recherche sur l'Environnement, lesTransports et leur Sécurité (INRETS), ancien Responsable du groupe acoustique du LASH,et Marc Fontoynont, Responsable actuel du groupe acoustique, pour la confiance qu'ilsm'ont accordée et le soutien constant qu'il m'ont apporté au cours de ces travaux, enmettant notamment à ma disposition les moyens nécessaires au bon déroulement de cettethèse. Je leur suis reconnaissant également de m'avoir ouvert les portes de la communautéscientifique en me permettant de prendre part à des conférences internationales, lieux parexcellence où l'échange et la discussion favorisent l'éclosion des idées. Je leur suisredevable aussi de m'avoir fait participer à l'activité contractuelle du laboratoire, m'offrantainsi une ouverture d'esprit plus large et une prise de conscience de l'importance de laproblématique de l'acoustique environnementale à l'heure actuelle. Je n'oublierai pas nonplus qu'au travers de ma participation à l'équipe d'enseignement, ils m'ont permis d'exercerune activité enrichissante et motivante.

Enfin une pensée toute particulière va à Annick Tekatlian, qui a guidé et accompagnémes premiers pas en acoustique à l'époque où elle était Chargée de Recherche au LASH.Grâce à Annick, mon intérêt pour cette discipline s'est fortifié au travers de mon Travail deFin d'Études et de mon Diplôme d'Études Approfondies, puis de mon service national entant que Scientifique du Contingent au Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique deMarseille.

Un grand merci également à tous ceux qui m'ont entouré au LASH pendant ces annéesau moins aussi riches sur le plan humain que scientifique, et qui ont contribué à la créationde cette ambiance inimitable qu'offre le laboratoire. Je m'excuse ici de ne pouvoir tous lesnommer, mais je remercierai tout particulièrement Pascale Avouac-Bastie, pour son aideefficace et sa grande compétence des outils de mise en page et de présentation, etCatherine, bien sûr, pour son soutien affectif mais aussi effectif notamment pourl'acquisition des données. J'associe à ces remerciements Jérôme Defrance, Ingénieur audépartement Acoustique de l'Environnement du CSTB, et Nicolas Barrière, Ingénieur à laSNECMA. Leurs compétences m'ont été d'un précieux concours lors des campagnes demesures expérimentales.

Je tiens à remercier MM. les Professeurs Denis Duhamel, de l'Ecole Nationale des Pontset Chaussées, et Karsten Bo Rasmussen, de la Technical University of Denmark, d'avoirbien voulu accepter d'être mes rapporteurs. Je remercie aussi Michel Bérengier, Chargé deRecherche du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Daniel Juvé, Professeur del'Ecole Centrale de Lyon et Directeur du Centre Acoustique, Jacques Roland, Directeur duCentre Scientifique et Technique du Bâtiment de Grenoble, et Jean-Louis Guyader,Professeur de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, Responsable de laformation doctorale Acoustique et Directeur du Laboratoire de Vibrations-Acoustique, dem'avoir fait l'honneur de participer à mon jury.

Enfin je ne saurais oublier mon directeur de thèse Yannick Gabillet, Chef de la DivisionOndes Acoustiques et Electromagnétisme du CSTB, qui nous a quittés au début de cetteannée. J'aurais beaucoup aimé qu'il puisse voir l'aboutissement du travail que nous avionsentrepris, et mon plus profond souhait serait d'avoir été à la hauteur de ses attentes. Sondépart a laissé un grand vide, autant sur le plan humain que sur le plan scientifique. Je luidédie ce travail.

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- 11 -

Résumé

Dans le cadre de la lutte contre le bruit, il est important aujourd'hui de mieux connaître

le comportement du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier

des axes routiers et ferroviaires. Les effets météorologiques sur la propagation deviennent

alors non négligeables. Dans ce contexte, un nouveau modèle a été développé : Météo-

BEM, s'appuyant d'une part sur la méthode des éléments finis de frontière, qui permet la

prise en compte de propriétés quelconques de la géométrie et de l'absorption des frontières

du domaine de propagation, d'autre part sur des modèles récents de propagation en milieu

inhomogène. La formulation adoptée repose sur la théorie des potentiels de couche et

recourt à une fonction de Green basée sur la solution des modes normaux pour la réfraction

vers le bas, et dans le cas de la réfraction vers le haut sur la solution de la série des résidus

en zone d'ombre et le modèle géométrique en région éclairée. Cette nouvelle approche est

illustrée sur le cas de l'écran acoustique mince, rigide, sur sol réfléchissant ou absorbant,

pour diverses conditions de réfraction. Le modèle est confronté pour validation à des

résultats numériques et expérimentaux issus de la littérature, complétés par une campagne

de mesures réalisées en milieu contrôlé sur modèle réduit. L'accord obtenu entre les

résultats de calcul et la mesure, dans le cas de la réfraction vers le bas, prouve qu'il est

possible d'inclure des effets météorologiques dans une formulation aux éléments finis de

frontière.

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Abstract

In environmental acoustics there is today a need for models to predict sound

propagation at long ranges. Meteorological effects become then important. This work

aimed to develop a model for complex atmospheric sound propagation above uneven

absorbing grounds. We have derived a new model : Meteo-BEM, based on one hand on the

boundary element method, that allows the assessment of any kind of shape and absorption

of the propagation-domain, and on the other hand on recent propagation models in

inhomogeneous media. The formulation relies on the layer potentials theory. The Green's

function used is based on the normal modes solution for downward refraction, and in the

case of upward refraction, on the residue series solution in the shadow zone and on the

geometrical model in the illuminated region. In order to illustrate this new approach, the

case of a thin rigid screen, on a reflecting and on an absorbing ground, is studied, under

various refracting conditions. The model is first compared for validation to numerical and

experimental results coming from the literature. Then measurements undertaken in

laboratory above curved surfaces are presented. The good agreement between calculated

and measured datas for downward refraction shows that meteorological effects can be

included in a boundary element method.

- 23 -

Introduction générale

En septembre 1998, près de 250 experts se sont rassemblés à Copenhague pour la

conférence de lancement de la nouvelle politique européenne en matière de bruit. Les

enquêtes européennes montrent en effet que le bruit arrive au 5ième rang des préoccupations

environnementales au niveau local, après la pollution de l'air et les problèmes de

circulation, auxquels le bruit est très souvent associé. Environ 80 millions d'habitants de

l'Union Européenne sont ainsi exposés à des niveaux de bruit inacceptables (Leq(jour)>65

dB(A)) et 170 millions subissent des niveaux provoquant une gêne incontestable. 50% de

la population de l'OCDE (soit 400 Mhab) est exposée à des niveaux sonores jugés

inconfortables et insatisfaisants (Leq(jour)>55dB(A)).

En France, un citoyen sur deux classe le bruit au premier rang des nuisances. 33% des

ménages se déclarent gênés par le bruit de la circulation qui représente la principale source

de nuisances acoustiques (INSEE IFEN, 1998) suivie de près par les bruits de

voisinage (30%). C'est dire si le problème des nuisances sonores est d'actualité. Les effets

du bruit sur l'homme sont nombreux et variés (cf [Premat et Aujard, 1998], [Marquis-Favre

et Premat, 2000], [Premat et Marquis-Favre, 2000]), aussi les autorités ont-elles cherché à

se doter d'un arsenal législatif, depuis la loi-cadre Bruit en 1992 qui constitue une sorte de

droit commun du bruit, jusqu'à la Nouvelle Réglementation Acoustique en 1996, en

passant par les décrets n°95-21 et 945-22 du 9 janvier 1995 relatifs au classement des

infrastructures de transports terrestres et à la limitation du bruit des aménagements et des

infrastructures de transports terrestres, et les arrêtés du 5 mai 1995 relatif au bruit des

infrastructures routières et du 30 mai 1996 concernant les modalités de classement des

infrastructures de transports terrestres et l'isolement acoustique des bâtiments habités dans

les secteurs affectés par le bruit. Récemment paraissait un rapport, remis au Ministre de

l'Aménagement du Territoire et de l'Environnement, sur les points noirs de bruit dus aux

transports terrestres (rapport de Claude Lamure, 16 décembre 1998), qui évalue à 200 000

Introduction

- 24 -

le nombre de logements concernés par les nuisances sonores provoquées par les

infrastructures routière et ferroviaire du seul réseau national. Ce problème de nuisances

sonores constitue donc une des préoccupations majeures du ministère de l'Aménagement

du Territoire et de l'Environnement ainsi que du ministère de l'Equipement, du Logement

et des Transports.

Dans le cadre de cette lutte contre le bruit, les exigences en termes de limitation des

niveaux sonores se sont renforcées, ce qui implique aujourd'hui de devoir améliorer la

connaissance du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier des

axes routiers ou ferroviaires (typiquement quelques centaines de mètres). Dès lors viennent

se greffer des effets météorologiques qui deviennent non négligeables, entraînant des écarts

parfois supérieurs à 10 dB(A) entre la situation standard (en conditions homogènes) et la

situation réelle. La prise en compte, récente, de ces paramètres météorologiques a déjà été

ébauchée dans la norme internationale ISO 9613 qui fait intervenir un facteur de correction

météorologique pour prendre en compte l'incidence du vent et de la température. Puis en

1996, une nouvelle méthode (fondée sur les bases de la norme ISO 9613, formulations

théoriques "classiques", et de formulations issues de l'acoustique géométrique) est publiée

sous le nom de Nouvelle Méthode de Prévision du Bruit (N.M.P.B.). Cette dernière

approche permet de prendre en compte les conditions météorologiques dans la propagation

du son conformément notamment à l'arrêté du 5 mai 1995. Ainsi la NMPB permet

d'évaluer des niveaux sonores de long terme en tenant compte de la répartition énergétique

des niveaux en conditions homogènes et des niveaux en situation dite "favorable" (où les

effets météorologiques viennent renforcer l'énergie sonore). Ces formulations sont

destinées à l'ingénierie et apportent, par rapport à l'ouvrage du Guide du Bruit (édité en

1980 par le Centre d'Etudes des Transports Urbains), la possibilité de calculer de façon

globale et de manière approchée les effets météorologiques. Cependant, ces outils ne

permettent pas d'améliorer la connaissance de l'influence des paramètres météorologiques

sur la propagation acoustique. Ce travail s'insère dans ce contexte, en se proposant de

développer un nouveau modèle, complémentaire aux outils d'ingénierie : Météo-BEM,

capable de décrire les phénomènes physiques variés intervenant dans la propagation

acoustique en milieu extérieur. Ce modèle repose sur l'utilisation d'un outil puissant : la

méthode des éléments finis de frontière, qui décrit les phénomènes physiques en milieu

homogène. L'objectif du travail est alors de montrer que cet outil peut être adapté à la

modélisation de la propagation acoustique en milieu inhomogène.

Introduction

- 25 -

Dans cette étude, on se propose donc de prouver qu'il est possible d'inclure des effets

météorologiques dans une formulation aux éléments finis de frontière.

Le chapitre 1 expose brièvement la problématique générale de l'acoustique

environnementale en soulignant les principaux phénomènes physiques intervenant dans la

propagation acoustique en milieu extérieur.

Puis le chapitre 2 est dédié à une revue bibliographique approfondie sur la méthode des

éléments finis de frontière en milieu homogène. Les différentes formulations possibles sont

présentées et l'accent est mis sur la fonction de Green dont découle la résolution de

l'équation intégrale de frontière obtenue. Cette résolution est exposée dans ses grandes

lignes, chaque étape est décrite et les problèmes pouvant apparaître sont traités, en donnant

des pistes pour les surmonter. Un paragraphe s'attache particulièrement à une discussion

sur le coût numérique inhérent aux méthodes d'éléments finis de frontière ainsi qu'à la

problématique cruciale concernant la modélisation 2D ou 3D dans ces méthodes. Enfin,

dans le dernier paragraphe, on présente les grandes applications de la BEM dans le

domaine de la propagation acoustique en milieu extérieur, en vue d'offrir autant de

perspectives à ce travail en reprenant les cas étudiés et en incluant des effets

météorologiques.

Le chapitre 3 présente un examen critique approfondi sur les grands modèles de

propagation en milieu inhomogène existant à l'heure actuelle, avec leurs avantages et

inconvénients, notamment en vue de servir de fonction de Green à une approche

d'éléments finis de frontière. Chaque modèle est discuté et la possibilité de l'utiliser en tant

que fonction de Green est examinée. De plus, chacun de ces modèles, ayant été élaboré à

l'origine pour une source ponctuelle, est adapté au cas de la propagation d'une onde

cylindrique issue d'une source linéaire, cas qui nous intéresse pour la BEM 2D. Lorsqu'il

est possible de le faire, les formules pour la fonction de Green et ses dérivées successives

sont développées, aussi bien dans le cas 3D (source ponctuelle) que 2D (source linéique).

A l'issue de la discussion, après évaluation et comparaison critique entre les différents

modèles, des solutions sont retenues qui seront présentées plus précisément dans le

chapitre 5.

Le chapitre 4 découle du chapitre 2. Le modèle d'éléments finis de frontière en milieu

homogène adopté est exposé en détail. La formulation retenue est basée sur l'utilisation de

la théorie des potentiels de couche et aboutit à l'élaboration du code de calcul BEMAS2D.

En guise d'illustration, le cas académique d'un écran droit, mince, rigide est étudié

Introduction

- 26 -

successivement en milieu infini, puis au-dessus d'un sol plan rigide et enfin au-dessus d'un

sol plan absorbant.

Le chapitre 5 expose plus en détail les solutions retenues à l'issue du chapitre 3 : la

solution des modes normaux retenue dans le cas de la réfraction vers le bas (qui aboutit au

code de calcul DOWNMOD); la solution de la série des résidus en zone d'ombre et de

transition (code de calcul UPRES), complétée par la solution géométrique (code de calcul

UPGEOM) en région éclairée, adoptée pour la réfraction vers le haut. Un paragraphe

considère tout particulièrement le problème de la linéarisation des profils de vitesse du son,

puisque les modèles présentés sont développés sous l'hypothèse d'un gradient de célérité

constant. Enfin, l'analogie propagation au-dessus d'un sol plan en milieu inhomogène –

propagation au-dessus d'une surface courbe en milieu homogène fait aussi l'objet d'un

paragraphe, cette propriété étant utilisée pour construire le modèle géométrique ainsi que

pour l'approche expérimentale exposée au chapitre 7.

Dans le chapitre 6, le nouveau modèle Météo-BEM est développé, à partir des résultats

de la théorie des méthodes d'éléments finis de frontière, présentée aux chapitres 2 et 4, et

de la théorie des modèles propagatifs des chapitres 3 et 5. Un paragraphe effectue une

revue bibliographique sur le problème particulier de la propagation acoustique en milieu

inhomogène en présence d'un écran acoustique. Puis le nouveau modèle est exposé dans le

cas d'un écran mince, rigide, sur sol rigide puis absorbant, d'abord en situation de réfraction

vers le bas puis en situation de réfraction vers le haut. Les résultats de calcul de Météo-

BEM sont alors confrontés pour validation à des résultats numériques et expérimentaux

issus de la littérature, en milieu homogène et inhomogène pour les deux cas de réfraction

vers le haut et vers le bas.

Pour compléter ces résultats, une campagne de mesures sur maquettes réalisée au

C.S.T.B. est présentée au chapitre 7. Une première série de mesures, effectuée en utilisant

les sources de jet d'air comprimé et les installations automatisées de la salle des maquettes

du C.S.T.B., est décrite. Une seconde série expérimentale, recourant à la méthode Time

Delay Spectrometry (TDS) complète la première série et les résultats obtenus sont

comparés à ceux fournis par le code de calcul Météo-BEM.

Une dernière partie clôt finalement ce rapport : on conclut en résumant les principaux

résultats de ce travail, et en soulignant les perspectives offertes par cette nouvelle

approche.

- 27 -

Chapitre 1

La problématique de l'acoustique environnementale

Le second [principe est] de diviser chacune desdifficultés que j'examinerais en autant de parcellesqu'il se pourrait et qu'il serait requis pour lesmieux résoudre.

René Descartes

Discours de la méthode, deuxième partie.

1.1 Les principaux phénomènes intervenant dans la propagation

acoustique en milieu extérieur

L'étude de la propagation sonore en milieu extérieur a été très largement abordée au

cours des dernières décades et a fait l'objet de nombreux travaux de recherche. On peut en

trouver une bonne synthèse dans les articles de référence de Delany [Delany, 1977], Piercy

[Piercy, et al., 1977], Embleton [Embleton, 1996] ou encore Attenborough [Attenborough,

1988]. Dans ce chapitre, on se propose de résumer brièvement les phénomènes physiques

intervenant dans l'acoustique environnementale, en soulignant les principaux paramètres

régissant le problème complexe de la propagation acoustique en milieu extérieur.

Le premier phénomène intervenant dans la propagation acoustique est dû à la dispersion

géométrique des ondes acoustiques dans l'espace : on parle alors de divergence

géométrique. Ceci signifie que pour une source ponctuelle, les niveaux de pression

décroissent de 6 dB par doublement de la distance, tandis que le taux de diminution est de

3 dB par doublement lorsque la source est linéique.

L'absorption des matériaux est également un paramètre important. Les matériaux

situés sur les surfaces qui bornent le domaine de propagation ont pour effet d'absorber une

partie de l'énergie incidente. On peut ainsi mettre en évidence les effets de l'impédance du

Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale

- 28 -

sol : des différences jusqu'à une dizaine de dB peuvent apparaître entre une configuration

où le sol est très absorbant et une configuration de sol plus rigide. La figure 1. 1 illustre ce

phénomène. Ainsi l'on peut remarquer par exemple autour de 300 Hz un écart d'environ 15

dB entre les niveaux relatifs de pression au-dessus d'un sol recouvert de neige fraîche

(paramètre σeff = 10 cgs) et au-dessus d'une surface en béton ou en bitume vieilli (σeff =

32000 cgs), dans la configuration présentée. En outre, lorsque interviennent des

changements brutaux des propriétés d'absorption des surfaces, la discontinuité

d'impédance a pour effet de créer un champ diffracté (cf [Premat, 1994]) qui vient

modifier la structure du champ acoustique. Un exemple de diffraction par une discontinuité

d'impédance est donné par la figure 1. 2, qui montre la différence induite par ce

phénomène, par rapport aux résultats que l'on obtiendrait pour un sol homogène. On

constate qu'entre 2000 et 3000 Hz, l'atténuation par rapport au champ libre au-dessus d'un

sol inhomogène est supérieure d'environ 20 dB à l'atténuation au-dessus d'un sol homogène

parfaitement réfléchissant, mais inférieure d'environ 10 dB à l'atténuation au-dessus d'un

sol homogène parfaitement absorbant.

figure 1. 1 : Effet de l'absorption des matériaux. Niveau de pression relatif au champ libre en fonction de lafréquence et du paramètre σeff de résistance effective au passage de l'air, d'après [Embleton, et al., 1983]. Lasource et le récepteur sont respectivement à une hauteur zS = 0.31 m et zR = 1.22 m. La distance de propagationsource-récepteur est d(S,R) = 15.2 m. σ varie de 10 cgs (correspondant à l'absorption de neige fraichementtombée) à 32000 cgs (correspondant au cas du béton ou du bitume vieilli).


- 29 -

figure 1. 2 : Effet de la discontinuité d'impédance. Niveau de pression relatif au champ libre au-dessus d'unsol plan présentant une discontinuité d'impédance. La courbe (Z1,Z2) réels donne le résultat du calcul par unmodèle adapté de la théorie des dièdres [Premat, 1994], les résultats expérimentaux proviennent de [Bérengier, etal., 1989]. Les impédances Z1 et Z2 sont calculées à partir des résistances au passage de l'air σ1 = 100000 cgs etσ2 = 50 cgs. Les courbes Z2 = 0 et Z1 = inf montrent les résultats du calcul pour un sol homogène respectivementd'impédance nulle et infinie. La source et le récepteur sont à une hauteur zS = 0.4 m et zR = 0.2 m. La source est àla distance dS = 1.70 m de la ligne de discontinuité d'impédance et la distance totale de propagation source-récepteur est d(S,R) = 2.4 m.

Le relief (ou encore la topographie au sens large) influence de façon prépondérante la

propagation de l'onde sonore. Le phénomène physique qui intervient est la diffraction par

les obstacles. Lorsqu'une onde incidente rencontre ainsi un obstacle, celui-ci agit alors

comme un ensemble de sources secondaires qui ont pour effet de diffuser l'énergie sonore

autour de l'obstacle. Le relief a pour conséquence d'engendrer une diminution des niveaux

de pression rencontrés dans la zone d'ombre géométrique, sans toutefois que le niveau ne

soit nul. C'est ainsi que l'on peut enregistrer jusqu'à une dizaine de dB de différence entre

une situation de champ libre où le son se propage directement entre une source et un

récepteur et la même configuration pour laquelle un écran acoustique a été implanté. Dans

le cas d'une butte, la figure 1. 3 montre que l'écart entre la situation avec et sans butte peut

même être beaucoup plus important, jusqu'à plusieurs dizaines de dB derrière la butte.


- 30 -

figure 1. 3 : Effet du relief. Perte par transmission au-dessus d'une butte de 30 m, d'après [Di et Gilbert,1994]. La fréquence est 500 Hz, l'impédance normalisée du sol vaut (7.2, 8.2) et les hauteurs de la source etdu récepteur sont respectivement zS = 5 m et zR = 0.5 m. La ligne continue épaisse représente la perte partransmission moyenne calculée avec le modèle GF-PE pour 50 réalisations ; les traits pointillés montrentl'écart type et la ligne continue fine donne le résultat du calcul sans turbulence.

L'absorption atmosphérique est aussi un facteur influençant de façon notable la

propagation du son. Ce terme englobe en fait les effets de viscosité du fluide ainsi que les

échanges d'énergie entre les molécules et la diffusion thermique. En première

approximation, l'absorption atmosphérique est proportionnelle à la distance parcourue et à

un coefficient dépendant de la fréquence, de la température et de l'humidité de l'air (voir la

figure 1. 4). Dans le cadre de cette étude, ce phénomène d'absorption atmosphérique ne

sera pas pris en compte. Lorsque les distances de propagation ne sont que de quelques

centaines de mètres et les fréquences comprises entre une dizaine et quelques centaines de

Hertz, ce phénomène peut en effet être négligé. En outre, les résultats seront exprimés

souvent en termes d'atténuation relative au champ libre ou de perte par insertion. Dans ce

cas, l'absorption atmosphérique est négligeable. Notons cependant qu'il serait facile de

l'intégrer en utilisant par exemple le modèle de Kneser et Knudsen [Piercy, et al., 1977].


- 31 -

figure 1. 4 : Effet de l'absorption atmosphérique. Coefficient d'absorption du son par unité d'atmosphère, enunités SI, pour l'air à 20°C, en fonction du rapport fréquence/pression et du paramètre humidité/pression, c'est-à-dire la perte d'énergie sonore en fonction de la fréquence pour de l'air à une pression atmosphérique de 1 atm(extrait de [Bass, et al., 1995]).

En ce qui concerne les paramètres purement météorologiques, les gradients de

température jouent un rôle non négligeable dans la propagation acoustique. En effet, la

vitesse du son est approximativement proportionnelle à la racine carrée de la température

absolue. Par conséquent, dans le cas d'un gradient positif de température, la trajectoire des

rayons est incurvée vers le bas (cf figure 1. 5) tandis qu'un gradient négatif a pour effet de

courber cette trajectoire vers le haut (figure 1. 6).

figure 1. 5 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le bas en présence d'un gradientpositif de vitesse du son.


- 32 -

figure 1. 6 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le haut en présence d'un gradientnégatif de vitesse du son. La zone grisée représente la zone d'ombre.

En règle générale, on observe un gradient de température négatif durant une journée

ensoleillée d'été, les couches de l'atmosphère proches du sol étant réchauffées par le soleil,

et l'on assiste alors au phénomène de réfraction vers le haut. La nuit, les profils de

température s'inversent très souvent, le sol étant plus froid que l'air en altitude et c'est le

phénomène de réfraction vers le bas qui se produit. Cette allure générale des profils de

température est bien sûr fonction de la saison et de la couverture nuageuse : pour un ciel

dégagé en été, les températures augmentent plus rapidement au sol et les gradients sont

plus forts tandis qu'en hiver une couverture nuageuse identique conduit à un

refroidissement. Si le ciel est couvert, en été la température reste modérée et plus uniforme.

En hiver, la couche nuageuse permet de conserver une chaleur relative au niveau du sol et

les gradients sont alors quasi nuls. En guise d'illustration, la figure 1. 7 présente deux

profils typiques de température en été, l'après-midi et le soir. La figure 1. 8 montre quant à

elle, les effets d'une inversion de température comme celle survenant la nuit dans la figure

1. 7, sur les niveaux de pression relatifs aux niveaux de pression prenant en compte

divergence géométrique et absorption atmosphérique, calculés à une distance de 4 km de la

source pour une situation de propagation au-dessus d'un sol herbeux. Dans le cas d'une

inversion forte de température (3,6°C/100m), on peut constater ainsi qu'aux environs de

300-400 Hz un écart de 10 dB apparaît entre les résultats pour la situation de réfraction

vers le bas et ceux en conditions neutres.


- 33 -

figure 1. 7 : Profils de température typiques en été et à différentes heures de la journée (tiré de [Piercy, et

al., 1977]).

figure 1. 8 : Effet d'une inversion typique de température, faible, modérée puis forte, sur les niveaux depression relatifs au champ libre calculés à 4 km de la source, pour une situation de propagation au-dessus d'unsol herbeux (extrait de [Embleton, et al., 1976]).

Les gradients de vent ont eux aussi une influence sur la propagation du son. Le vent

portant provoque en effet une courbure des rayons vers le sol, donc le niveau de pression

acoustique augmente surtout aux faibles altitudes. Le vent contraire engendre, quant à lui,

une courbure des rayons vers le ciel, d'où une diminution du niveau près du sol avec

création d'une zone d'ombre acoustique (voir le schéma de la figure 1. 9).


- 34 -

figure 1. 9 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction en présence d'un gradient de vitesse duvent. La zone grisée représente la zone d'ombre.

Du fait de sa grande instabilité au cours du temps et de sa dépendance vis-à-vis de la

nature du sol et de la végétation, il est difficile de décrire le profil de vitesse du vent.

Cependant, de manière générale, la vitesse du vent est plus importante au milieu de la

journée que la nuit, et à partir d'une certaine hauteur elle reste la même quelle que soit

l'heure du jour. Les gradients sont donc plus importants la nuit que le jour, sauf très près du

sol. La figure 1. 10 montre quelques profils typiques de vitesse du vent en fonction de

l'altitude et de l'heure du jour. La figure 1. 11 illustre l'effet du vent sur la propagation. On

peut ainsi observer qu'à une distance de 615 m et pour un vent de 5 m/s dans la direction de

propagation, l'atténuation par rapport au champ libre mesurée est supérieure, entre 400 et

800 Hz, de 10 dB à l'atténuation en conditions homogènes, cette dernière étant elle-même

supérieure d'environ 3 dB par rapport à la situation en vent contraire (vitesse du vent –5

m/s).

figure 1. 10 : Profils du vent en fonction de l'heure du jour (d'après [Geiger, 1966]).


- 35 -

figure 1. 11 : Effet du vent. Atténuation mesurée du bruit d'un avion au sol à 110 m et 615 m sous différentesconditions météorologiques. L'absorption atmosphérique et la divergence géométrique ont été soustraites desrésultats. Les nombres sur les courbes indiquent la composante du vecteur vitesse du vent dans la direction depropagation en m/s. Toutes les courbes sont données pour des conditions neutres de température sauf la courbe L(lapse) en réfraction vers le haut [Parkin et Scholes, 1965].

La turbulence est un phénomène indissociable des deux paramètres précédents. Elle a

pour effet de diffuser les ondes acoustiques dans l'espace et engendre des fluctuations du

niveau acoustique. On distingue en fait deux types de turbulence. La turbulence thermique,

tout d'abord, est créée par les différences de température aux différentes altitudes. Les

variations de masse volumique engendrent des phénomènes de convection de l'air appelées

ascendances thermiques. Les échelles caractéristiques de cette turbulence sont une

longueur de l'ordre de 200 à 1500 mètres et une durée de 30 secondes à 15 minutes. Le

second type de turbulence est désigné sous le terme de turbulence cinématique. Cette

turbulence est due aux perturbations causées par la rugosité du terrain sur le vent. Les

différences de vitesse entre deux couches horizontales induisent en effet des contraintes de

cisaillement qui engendrent des mouvements perpendiculaires à la direction du vent. Des

tourbillons sont ainsi formés qui perturbent sensiblement les écoulements d'air près du sol.

Les échelles caractéristiques de la turbulence cinématique sont une longueur de l'ordre du

mètre à 1 mètre d'altitude et une durée de l'ordre de la seconde. La turbulence est donc un

phénomène complexe étroitement lié au vent et à la température. La figure 1. 12 montre un

résultat de mesure de la vitesse du vent et de la température en fonction du temps. La

figure 1. 13 illustre quant à elle l'effet de la turbulence dans une situation de réfraction vers

le haut : à partir d'une distance de la source d'environ 150 m, le niveau relatif de pression

se stabilise entre -20 et -30 dB dans la zone d'ombre due à la réfraction, alors que dans une


- 36 -

situation où la turbulence ne serait pas prise en compte, les niveaux de pression

continueraient à décroître en fonction de la distance.

figure 1. 12 : Vitesse du vent et température en fonction du temps (tirée de [Daigle, et al., 1978]).

figure 1. 13 : Effet de la turbulence. Calcul par le modèle GF-PE pour un signal à 500 Hz en condition deréfraction vers le haut. La source est à zS = 0.3 m au-dessus du sol, de résistance au passage de l'air σ = 200cgs/cm. Le récepteur est posé sur le sol zR = 0 m (extrait de [Stinson, et al., 1996]).


- 37 -

1.2 Conclusion

Ce chapitre était dédié à la présentation des principaux phénomènes physiques

intervenant dans la propagation acoustique en milieu extérieur, récapitulés par la figure 1.

14. Ces phénomènes venant se superposer et interagissant entre eux, on comprend aisément

combien complexe est le problème. C'est pourquoi la plupart des travaux réalisés ont

cherché, autant que faire se peut, à les découpler et les étudier séparément. On connaît

mieux, aujourd'hui, chaque phénomène de façon indépendante, mais l'interaction entre

différents phénomènes reste de manière générale encore peu ou mal connue.

Ainsi un grand nombre d'études (modèles empiriques ou semi-empiriques, approches

intégrales, modèles issus de la théorie géométrique, modèles d'éléments finis de frontière)

ont porté sur la propagation sonore en milieu homogène en cherchant à prendre en compte

principalement les phénomènes de divergence géométrique, d'absorption des matériaux, les

effets du relief ainsi que l'absorption atmosphérique. Parmi les modèles cités, la méthode

des éléments finis de frontière offre l'avantage de permettre la prise en compte de n'importe

quelle forme et propriété d'absorption des frontières du domaine de propagation. Cette

approche permet en particulier de modéliser les terrains accidentés, les obstacles comme

les écrans ou les buttes, les discontinuités d'impédance.

Le principal inconvénient des modèles cités ci-dessus, valables en atmosphère

homogène, réside bien sûr dans le fait qu'ils ne peuvent être appliqués directement de façon

réaliste à un environnement extérieur non neutre où apparaissent les phénomènes de

réfraction et de turbulence dus aux paramètres de température et de vent. C'est pourquoi un

certain nombre d'auteurs se sont penchés sur ce problème, aboutissant au développement

de nouveaux modèles propagatifs en milieu inhomogène (méthodes de rayons, Equation

Parabolique, Fast Field Program, solution des modes normaux, solution de la série des

résidus). La contrepartie de ces modèles est en revanche que la prise en compte de

conditions complexes aux frontières du domaine de propagation (topographies accidentées,

obstacles...) demeure délicate et très limitée. L'idée de ce travail est alors apparue de façon

naturelle : il s'agit de montrer que l'on peut utiliser la puissance des méthodes d'éléments

finis de frontière, "classiques" en milieu homogène, et inclure dans ces formulations des

effets météorologiques en s'appuyant sur les modèles récents de propagation acoustique en


- 38 -

milieu inhomogène. Il importe de souligner que par la suite, seuls les effets de la réfraction

seront considérés, le phénomène complexe de la turbulence n'étant pas pris en compte,

dans une première approche, par souci de simplification, tout en ne négligeant pas la

possibilité d'inclure ultérieurement ce dernier phénomène. De même, rappelons qu'on ne

tiendra pas non plus compte de l'absorption atmosphérique dans ce travail, ce phénomène

pouvant aisément être décrit à l'aide d'une formulation classique.

figure 1. 14 : Les principaux phénomènes physiques intervenant dans la propagation acoustique en milieuextérieur.

- 39 -

Chapitre 2

La méthode des éléments finis de frontière en milieu

homogène

2.1 Introduction

La méthode des éléments finis de frontière connue sous l'acronyme anglo-saxon

B.E.M. : Boundary Element Method, est une technique numérique développée depuis le

début des années soixante et fondée sur la théorie plus ancienne des équations intégrales de

frontière désignée par B.I.E. pour Boundary Integral Equation. Cette théorie remonte aux

débuts du XIXème siècle avec entre autres les travaux de Poisson (1820), Betti (1872),

Kirchhoff (1882), Fredholm (1896), Kellog (1929), Kupradze (1935)... Ce n'est ensuite

qu'autour de 1960, que Jaswon, Hess, Symm, Shaw, Rizzo, Cruse et d'autres vont

développer la méthode des éléments finis de frontière, l'appellation B.E.M. n'apparaissant

pour la première fois dans la littérature qu'en 1977. Cette méthode a fait depuis l'objet de

nombreuses publications et représente toujours un secteur de recherche important,

notamment grâce à la puissance croissante des calculateurs à disposition. On pourra se

reporter pour plus de précisions aux ouvrages de référence, entre autres, de Ciskowski et

Brebbia [Ciskowski et Brebbia, 1991], de Do Rêgo Silva [Rêgo Silva, 1994]] ou encore de

Bonnet [Bonnet, 1995].

Il importe de souligner que cette méthode s'est posée en alternative à l'autre grande

méthode numérique : la méthode des éléments finis communément désignée par son

acronyme anglais F.E.M., Finite Element Method, en particulier lorsque le domaine de

propagation devient infini. En effet, la méthode d'éléments finis de frontière apparaît plus

appropriée en espace infini que la méthode des éléments finis puisque seule la surface de la

Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène

- 40 -

frontière du domaine doit être discrétisée. Contrairement à cette dernière méthode, on n'a

pas besoin de mailler tout le domaine de propagation et les éléments finis de frontière

permettent de réduire la dimension du problème de un, le champ acoustique en tout point

de l'espace étant dû au rayonnement de ses frontières. En outre la condition de Sommerfeld

de rayonnement à l'infini est satisfaite automatiquement dans les méthodes d'éléments finis

de frontière via le noyau des formulations intégrales qui répond exactement aux conditions

aux limites pour des domaines infinis, contrairement aux méthodes d'éléments finis. La

B.E.M. apparaît ainsi plus appropriée au traitement des problèmes de propagation en

espaces infinis bien que certaines approches, comme la méthode des éléments infinis

[Cremers et Fyfe, 1995] aient été développées pour adapter la F.E.M. à ces domaines

infinis.

Dans ce chapitre, quelques points essentiels sur la méthode des éléments finis de

frontière seront d'abord rappelés. Les deux grandes formulations -directe et indirecte-

seront présentées, ainsi que la variante de la formulation variationnelle. Un accent

particulier sera mis sur le rôle essentiel joué par la fonction de Green de cette formulation,

fonction qui sera la pierre angulaire de l'introduction des effets météorologiques dans ces

méthodes d'éléments finis de frontière. Puis les avantages et inconvénients des B.E.M.

seront soulignés ainsi que les solutions existant pour surmonter les problèmes inhérents à

ces méthodes. Les grandes étapes de la résolution numérique seront rappelées. Quelques

applications seront présentées, qui offrent autant de perspectives à ce travail puisque les

phénomènes physiques décrits ne prennent pas en compte l'interaction avec les effets

météorologiques et que par conséquent le champ d'investigation reste ouvert quant à

l'influence d'un milieu de propagation inhomogène sur les cas étudiés, notamment dans le

domaine de la propagation sonore en milieu extérieur.


- 41 -

2.2 La formulation directe

La première et sans doute la plus utilisée des deux grandes familles de méthodes

d'éléments finis de frontière est la formulation directe. Elle repose sur l'utilisation de

l'équation intégrale de Helmholtz, dans laquelle les fonctions inconnues sont la pression et

la vitesse acoustiques. Rappelons succinctement les grandes lignes de l'établissement de

cette formulation intégrale directe. Le champ de pression acoustique vérifie l'équation de

Helmholtz :

M ,)M(fp(M)2kû ∈∀=

+ eq. 2- 1

où f (M) représente la distribution des sources, k le nombre d'onde, Ω l'espace entourant un

volume D de surface σ dont la normale est orientée vers l'extérieur (cf figure 2. 1).

La fonction de Green pour une source ponctuelle en espace infini vérifie :

M,)(M/M)G(S,2kû S ∈∀=

+ où δ est la mesure de Dirac eq. 2- 2

et la condition de Sommerfeld de rayonnement à l'infini sous la forme de l'une ou l'autre

des deux relations suivantes (cf [Filippi, 1994]) :

( )( )

=−∂

=−

∞→

−

∞→n)/2(1

rr

n)/2(1

r

roikG)G(lim

rOGlimeq. 2- 3

où r est la distance du point à l'origine et n est la dimension de l'espace. Remarquons

que l'on peut remplacer la condition eq. 2- 3 par l'une ou l'autre des deux conditions

équivalentes données par le principe d'amplitude limite ou le principe d'absorption limite

[Filippi, 1977].


- 42 -

figure 2. 1 : Schéma général pour l'établissement de la représentation de Green.

En multipliant l'équation eq. 2- 1 par G(S,M) et l'équation eq. 2- 2 par p(M), puis en

retranchant l'une de l'autre, on obtient :

M M),G(S,p(M)p(M)M)G(S,(M)p(M)/-M)f(M)G(S, S ∈∀∆−∆= eq. 2- 4

En intégrant alors cette équation sur un volume V englobant le volume D et la source S,

il s'ensuit :

[ ]dVM)G(S,p(M)p(M)M)G(S,dV (M)p(M)/-dV M)f(M)G(S,VV SV ∫∫∫ ∆−∆= eq. 2- 5

La première intégrale dans l'expression ci-dessus représente le champ incident c'est-à-

dire le champ rayonné si l'ensemble de sources f(M) était seul en milieu infini. La

deuxième intégrale est le champ de pression en un point M de l'espace pour une source

ponctuelle S (ce facteur serait nul si la source S n'était pas située dans le volume V). Le

membre de droite peut être transformé en une intégrale de surface en appliquant le

théorème de Green. Lorsque l'on fait tendre le volume V vers l'infini, en utilisant la

condition de Sommerfeld eq. 2- 3, on aboutit à une intégrale sur la surface σ du domaine

D. On obtient alors :

M dS,M)(S,n

Gp(M)(M)

n

pM)G(S,(M)pp(M)

1

SS0 ∈

∂∂−

∂∂−= ∫ eq. 2- 6

Cette formule est valable rigoureusement en tout point M de l'espace Ω non situé sur la

frontière σ du domaine D. Elle peut être généralisée de la manière suivante ([Ciskowski et

Brebbia, 1991]) :


- 43 -

M dS,(M)n

pM)G(S,-M)(S,

n

Gp(M)(M)pc(M)p(M)

1

SS0 ∈

∂∂

∂∂+= ∫ eq. 2- 7

avec le coefficient c fonction de la position du récepteur :

c(M) = 1 pour M dans le milieu de propagation Ω privé de ses frontières.

c(M) = 1/2 pour M sur une surface plane (plan tangent continu).

c(M) = 1-θ/4π pour M en un point anguleux i.e. en un point où il existe deux plans

tangents. θ est l'angle solide sous lequel on voit la surface depuis le point M dans ℜ3. Dans

ℜ2, c(M)= 1-θ/2π où θ se réduit à l'angle géométrique en 2D.

Notons que l'on peut également écrire le coefficient c(M) sous la forme :

dS)r

1(

n4

11c(M)

1∫ ∂

∂−= eq. 2- 8

Dans le cas où le point M est situé sur la surface, du fait de la singularité de la fonction

de Green, l'intégrale de surface est à considérer au sens de sa valeur principale de Cauchy

(voir [Bonnet, 1995] par exemple).

La formulation eq. 2- 7 est appelée communément équation intégrale de Helmholtz ou

de Helmholtz-Kirchhoff, ou encore représentation de Green du problème extérieur.

Ajoutons que l'on peut aboutir à ce résultat en utilisant une formulation de type résidus

pondérés (cf [Ciskowski et Brebbia, 1991]).

A la formule eq. 2- 7 valable pour le problème extérieur (dans l'espace Ω) correspond

l'expression suivante pour le problème intérieur, avec les mêmes notations, p0 représentant

cette fois le champ incident dans le volume intérieur D :

DM dS,(M)n

pM)G(S,-M)(S,

n

Gp(M)(M)pc(M)p(M)

1

SS0 ∈

∂∂

∂∂−= ∫ eq. 2- 9

Les équations intégrales de surface obtenues à partir des équations eq. 2- 7 et eq. 2- 9 en

faisant tendre un point M de l'espace vers la surface-frontière sont du type de Fredholm de

seconde espèce et font intervenir la pression acoustique et la vitesse normale sur la surface

ainsi que la fonction de Green régissant la propagation dans le milieu considéré. Les

inconnues intermédiaires à déterminer, avant de pouvoir calculer en tout point de l'espace

le champ acoustique via les formules intégrales eq. 2- 7 ou eq. 2- 9, sont donc la pression

et la vitesse normale sur la surface.


- 44 -

2.3 La formulation indirecte

La formulation indirecte est basée, elle, sur une forme intégrale du principe de Huygens

qui stipule que le champ acoustique diffusé par une surface-frontière peut être représenté

par une distribution de monopôles et de dipôles. Cette représentation recourt à l'utilisation

de potentiels de couches qui découlent de la théorie des potentiels en électro-magnétisme

[Kupradze, 1965]. Filipi montre en effet [Filippi, 1977] que la solution de n'importe quel

problème aux valeurs limites de l'équation scalaire de Helmholtz peut s'écrire sous la forme

d'un potentiel de couche, qu'il soit de simple couche, de double couche ou encore la

combinaison linéaire d'une simple et d'une double couche.

Ainsi l'on peut toujours écrire, avec α et β coefficients complexes :

)M(p)M(p)M(p)M(p ds0 β+α+= eq. 2- 10

où les potentiels de simple et double couche ps et pd sont :

( ) ( ) ( ) ( )∫σΓν= PdM,PGPMps eq. 2- 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫σΓ∂µ−= PdM,PGPMp Pnd eq. 2- 12

Le potentiel de simple couche est dû à une couche de sources monopôlaires et

représente le saut de vitesse normale à la traversée de la surface tandis que le potentiel de

double couche, dû quant à lui à une couche de sources dipôlaires, représente le saut de

pression entre le côté intérieur et extérieur de la frontière.

En s'appuyant sur la théorie des distributions, on peut trouver le comportement des

potentiels de simple et double couche à la traversée de la surface σ [Filippi, 1983]. Le

potentiel de simple couche est continu à la traversée de la surface σ tandis que le potentiel

de double couche subit une discontinuité égale à la densité de la couche.

On a ainsi :

( ) ( )Mplim Mplim s1DM

s1M −→∈+→Ω∈

= eq. 2- 13

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂−=+→Ω∈ 1

Pnd1M

Pd+PM,GP2

0Mplim eq. 2- 14

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂−−=−→Ω∈ 1

Pnd1M

Pd+PM,GP2

0Mplim eq. 2- 15


- 45 -

Le signe +, respectivement -, indique que le point M tend vers un point Q de la surface

σ du même côté que la normale, respectivement du côté opposé.

De même, la dérivée normale du potentiel de simple couche subit une discontinuité

égale à la densité de la couche, contrairement à la dérivée normale du potentiel de double

couche qui est continue :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂++=∂+→Ω∈ 1

Mnsn1M

Pd+PM,GP2

0Mplim eq. 2- 16

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂+−=∂−→Ω∈ 1

Mnsn1M

Pd+PM,GP2

0Mplim eq. 2- 17

( ) ( )Mplim Mplim dn1DM

dn1M

∂=∂−→∈+→Ω∈

eq. 2- 18

Il est important de mentionner que la dérivée normale du potentiel de double couche fait

intervenir une intégrale non convergente au sens classique [Filippi, 1977], mais qu'elle doit

être comprise au sens de la partie finie de Hadamard [Hadamard, 1923] :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫

∫∂∂−=

∂∂−=∂

→

→

1Pnn(Q)

MQ

1Pnn(M)dn(Q)

MQ

Pd+PQ,GPlim

Pd+PM,GPPFQplimeq. 2- 19

Dans le cas où σ est une surface (ou une courbe fermée), on peut obtenir en 2D une

expression à l'aide d'intégrales convergentes [Filippi, 1994], (la démarche à suivre est la

même en 3D) :

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )∫

∫−∂∂+

−∂∂=∂→

1Pnn(M),

1Pnn(M)dn(Q)

MQ

Pd+P)(M,G~

PM,GP

Pd+03PM,G~

Qplimeq. 2- 20

avec2

P)r(M,lnP)(M,G

~ = eq. 2- 21

La première intégrale s'exprime par une valeur principale de Cauchy. En 3D, l'équation

eq. 2- 20 reste valable avec :

P)r(M,4

1P)(M,G

~

π−= eq. 2- 22

Ecrivons la forme générale de l'équation intégrale pour le problème extérieur en

utilisant la combinaison linéaire de potentiels de couche (eq. 2- 10), dans le cas d'une

condition aux limites mixte de Robin où a et b sont deux coefficients réels, du type :

1M 0,bTrp(M)p(M)Tr a n ∈∀=+∂ eq. 2- 23


- 46 -

La notation Trp(M) signifie la trace de p en M sur la frontière c'est-à-dire la limite de la

pression acoustique lorsque le point M de l'espace tend vers la frontière σ.

En suivant les règles qui régissent le comportement des potentiels de couche lorsqu'un

point M de l'espace tend vers la surface-frontière, on a, de manière générale :

σ∈∀=

Γ∂µ−µβ−

Γ∂∂µβΓνα+

Γ∂ν+να++∂

∫∫ ∫

∫

σ

σ σ

σ

M ,0)P(d)P,M(G)P(2

)M(b

)P(d)P,M(G(P)a-(P)P)d(M,G(P)b

)P(d)P,M(G)P(2

)M(a(M)bp(M)p a

)P(n

)P(nn(M)

)M(n00n(M)

eq. 2- 24

On retrouve les cas particuliers des conditions de Neumann et Dirichlet en prenant

respectivement (a, b)=(1,0) et (a,b)=(0,1) dans la formule ci-dessus (eq. 2- 24).

L'équation intégrale eq. 2- 24 obtenue en écrivant la pression acoustique sous la forme

eq. 2- 10 et en lui imposant de satisfaire aux conditions aux limites sur la surface eq. 2- 23

fait donc intervenir deux fonctions inconnues : les densités ν et µ des potentiels de simple

et double couche. Ces inconnues intermédiaires doivent alors être déterminées en résolvant

l'équation intégrale obtenue avant de pouvoir calculer le champ acoustique en tout point de

l'espace via la formulation de départ eq. 2- 10, d'où l'appellation de formulation indirecte.

De même que pour la formulation directe, on peut aussi écrire la solution du problème

intérieur en utilisant également une représentation de la pression acoustique sous la forme

d'une combinaison linéaire de potentiels de couche.

Cette approche repose sur des fondements physiques contrairement à la formulation

directe qui découle d'une expression mathématique. Cependant, l'équivalence entre les

deux méthodes a été montrée par plusieurs auteurs (voir [Brebbia et Butterfield, 1978]).

Notons pour finir que dans le cas de conditions aux limites simples de type Dirichlet ou

Neumann, la formulation indirecte offre l'avantage sur la formulation directe de pouvoir

représenter le champ acoustique avec uniquement un potentiel de simple ou de double

couche. En outre, cette approche permet également de prendre en compte la diffraction par

des objets infiniment minces (voir [Filippi, 1994]). C'est ainsi que cette formulation sera la

base de la modélisation d'un écran mince adoptée dans le chapitre 3.


- 47 -

2.4 La formulation variationnelle

Cette formulation n'est pas en fait une approche alternative aux deux grandes

formulations directe et indirecte présentées ci-dessus, mais plutôt une méthode de

résolution du problème s'appuyant sur une description directe ou indirecte au départ.

Permettant de surmonter les problèmes de singularité des intégrales et de matrices non

symétriques (voir le paragraphe 2.6) au prix d'un ordre d'intégration plus élevé, elle mérite

en soi d'être également présentée à ce stade. On pourra consulter l'ouvrage de Bonnet, par

exemple, pour plus de précisions [Bonnet, 1995].

La formulation variationnelle se construit en fait en multipliant l'équation intégrale de

Helmholtz ou l'équation intégrale indirecte en potentiels de couche, par une fonction test

admissible et en intégrant le résultat sur la surface de la structure étudiée. On construit

alors une fonctionnelle et l'on trouve la solution du problème en exprimant qu'elle rend

stationnaire cette fonctionnelle. Cette approche a été utilisée par plusieurs auteurs,

s'appuyant soit sur une formulation directe comme Seznec [Seznec, 1980], soit sur une

formulation indirecte comme Hamdi [Hamdi, 1982].


- 48 -

2.5 La fonction de Green, clef de voûte de la méthode d'éléments finis de

frontière

Dans tous les cas, les deux formulations, directe et indirecte, reposent sur une fonction

puissante : la fonction de Green du problème. Rappelons quelques notions essentielles sur

la fonction de Green en invitant le lecteur à se reporter pour plus de précisions à l'ouvrage

de Filippi par exemple [Filippi, 1994].

On appelle tout d'abord solution élémentaire de l'équation de Helmholtz toute solution

de :

/%2kû =

+ eq. 2- 25

De même, on appelle noyau élémentaire de l'équation de Helmholtz toute solution de :

S/%2kû =

+ eq. 2- 26

Et l'on appelle fonction de Green de l'équation de Helmholtz pour l'espace indéfini, la

solution G(S,M) de eq. 2- 26 qui vérifie la condition de Sommerfeld (eq. 2- 3).

Avec une dépendance temporelle en exp(-iωt), on montre que l'on a, pour la fonction de

Green G(S,M) en espace indéfini :

ℜ= dans2ik

M))exp(ikr(S,M)G(S, eq. 2- 27

20 dansM)(kr(S,H

4

iM)G(S, ℜ−= eq. 2- 28

3 dansM)r(S,4

M))exp(ikr(S,M)G(S, ℜ

π−= eq. 2- 29

Ici H0 est la fonction de Hankel d'ordre zéro et de première espèce.

Soulignons que la fonction de Green satisfaisant à l'équation eq. 2- 26 et la condition de

Sommerfeld eq. 2- 3 est unique. De plus, la fonction de Green est symétrique, ce qui

traduit le principe physique de réciprocité, et présente une singularité lorsque le point

récepteur M est confondu avec la source S :

2 dans 0,M)r(S,lorsque2

M)r(S,ln~M)G(S, ℜ→ eq. 2- 30

3 dans 0,M)r(S,lorsqueM)r(S,4

1-~M)G(S, ℜ→

π eq. 2- 31


- 49 -

Le champ rayonné par une distribution de sources f(M) s'écrit alors comme étant la

convoluée de G et de f (sous l'hypothèse que f est une fonction intégrable, hypothèse

généralement vérifiée) :

∫ℜ

=∗=n

P)dV(P)f(P)G(M,f(M)G(M)p0 eq. 2- 32

C'est-à-dire que dans la formule ci-dessus, le champ incident p0 peut être interprété

comme la réponse en un point M de la distribution de sources P d'amplitude f(P). De

même, le potentiel de simple couche peut s'interpréter comme le rayonnement en un point

M dû à un ensemble de monopôles d'amplitude égale à la densité ν du potentiel, le

potentiel de double couche représentant, quant à lui, la réponse en un point M d'un

ensemble de dipôles d'amplitude égale à la densité µ de la double couche.

Outre la fonction de Green en espace indéfini, de manière générale la fonction de Green

d'un problème est la solution élémentaire de l'équation de Helmholtz satisfaisant aux

conditions de Sommerfeld et à un certain nombre de conditions aux limites. Plus cette

fonction de Green prend en compte d'informations, plus le domaine d'intégration de

l'équation intégrale correspondante est petit. C'est pourquoi, après la fonction de Green en

espace indéfini, les chercheurs se sont attachés à trouver la fonction de Green pour la

propagation au-dessus d'un sol plan rigide [Daumas, 1978], puis à inclure les effets de sol

[Habault, 1985], [Chandler-Wilde, 1985]. Filippi [Filippi, 1983] donne une expression de

la fonction de Green pour différents types de milieux : demi-espace limité par une surface

à réaction localisée, couche finie de milieu poreux, milieu poreux à porosité variable avec

la profondeur, plaque élastique mince... On peut aussi trouver une expression pour la

réflexion d'une onde sphérique sur une interface plane entre un fluide parfait et un milieu

poreux dans [Filippi et Habault, 1978]. Dans de nombreux domaines de l'acoustique, des

travaux sont toujours effectués pour trouver des expressions judicieuses de ces fonctions de

Green, susceptibles d'être utilisées numériquement dans des méthodes d'éléments finis de

frontière. Le but de ce travail est d'exploiter la puissance de la fonction de Green pour

inclure dans les méthodes d'équations intégrales de frontière les effets météorologiques, en

s'appuyant sur des solutions analytiques ou approchées mais qui restent utilisables sur le

plan numérique, du problème de propagation acoustique en milieu inhomogène.


- 50 -

2.6 La résolution des équations intégrales de frontière. Avantages et

inconvénients des méthodes d'éléments finis de frontière

2.6.1 Les méthodes de résolut ion des équations intégrales de frontière

Les équations intégrales de frontière obtenues en imposant aux formulations intégrales

de départ eq. 2- 7 ou eq. 2- 10 de satisfaire aux conditions aux limites du problème,

peuvent être résolues de différentes manières (voir par exemple [Filippi, 1994] ou

[Ciskowski et Brebbia, 1991]) : développements en séries de modes propres,

développements en séries de Neumann, méthodes itératives, méthodes asymptotiques...

La méthode des éléments finis de frontière, qui est la plus utilisée, peut reposer soit sur

la méthode de collocation, soit sur la méthode de Galerkin, ou encore sur une méthode

hybride collocation-Galerkin. La méthode de collocation, la plus courante, consiste à

choisir un ensemble de points sur la frontière et à écrire qu'en ces points l'équation

intégrale de frontière est satisfaite. Le nombre fini de points de collocation doit être choisi

de manière à fournir au moins autant d'équations que le problème discret compte

d'inconnues. La méthode de Galerkin consiste, elle, à chercher une approximation de la

solution sur une base d'un espace d'approximation choisi. On applique donc un produit

scalaire, généralement sous la forme d'une intégrale, à l'équation intégrale de frontière. Par

conséquent, le traitement numérique de la méthode de collocation s'avère plus simple,

puisque dans la méthode de Galerkin, on augmente de un la dimension des intégrales en

jeu. En revanche, il a été prouvé que pour obtenir un même taux de convergence, il est

nécessaire d'utiliser des fonctions splines d'ordre 2m+1 pour la méthode de collocation

contre des fonctions splines d'ordre m pour la méthode de Galerkin. La méthode hybride

consiste quant à elle à décomposer le noyau de l'équation intégrale en une partie singulière,

que l'on traitera par une méthode de Galerkin, et un reste régulier traité par une méthode de

collocation.

2.6.2 Les problèmes d'existence et unicité

Les formulations directes et indirectes posent toutes les deux quelques grands

problèmes : tout d'abord, des problèmes de non-unicité peuvent apparaître pour la solution

du problème extérieur à un nombre infini de fréquences discrètes particulières appelées


- 51 -

fréquences caractéristiques, correspondant aux fréquences propres du problème interne

associé. Ce problème n'est pas physique mais purement d'origine numérique et se traduit

par des instabilités numériques (mauvais conditionnement des matrices) au voisinage de

chaque fréquence singulière. La grosse difficulté résulte du fait que l'on ne connaît pas la

valeur de ces fréquences irrégulières à moins de résoudre le problème intérieur

correspondant.

On peut trouver une discussion détaillée concernant le problème d'existence et unicité

dans [Schenck, 1967], [Burton et Miller, 1971] ou [Kleinman et Roach, 1974]. Filippi

donne dans son ouvrage deux importants théorèmes pour le problème intérieur et le

problème extérieur [Filippi, 1994]. Ainsi les équations intégrales liées à la représentation

de Green des problèmes extérieurs possèdent toujours une solution et :

a) les opérateurs intégraux mis en jeu dans les équations intégrales de frontière

possèdent une suite dénombrable de nombres d'onde propres qui sont réels si le rapport a/b

est réel où a et b sont donnés par la condition aux limites sur la frontière σ i.e. l'expression

eq. 2- 23.

b) si k n'est pas nombre d'onde propre de l'opérateur intégral considéré, l'équation

intégrale liée à la représentation de Green de la pression possède une solution unique

c) si k est l'un des nombres d'ondes propres de l'opérateur intégral, l'équation intégrale

possède une solution déterminée à une combinaison linéaire près des fonctions propres

correspondantes.

Pour éviter le problème des nombres propres réels lorsque a/b est réel, Filippi

recommande d'utiliser une formulation en potentiel hybride du type :

M (P),dP)G(M, iP)(M,n

G3(M)pp(M)

1

P0 ∈∀Γ

+

∂∂−= ∫ eq. 2- 33

En effet, la solution du problème aux limites extérieur peut toujours être représentée à

l'aide d'un potentiel hybride si le nombre d'onde k est réel. La condition aux limites conduit

alors à une équation intégrale qui détermine de façon unique la densité de couche µ (le

problème intérieur associé possède des nombres d'onde propres complexes).

Le problème d'unicité de la solution aux fréquences caractéristiques qui se traduit par la

sous-détermination du système d'équations algébriques à résoudre, a été traité dans la

littérature par de nombreux auteurs depuis les années soixante, en proposant des

modifications de la formulation directe visant à apporter des équations supplémentaires.


- 52 -

La première grande approche suivie pour surmonter ce problème est celle de Schenck

[Schenck, 1967] connue sous le nom de CHIEF pour Combined Helmholtz Integral

equation Formulation. Elle consiste à surdéterminer le système d'équations algébriques

déduit de l'équation intégrale de Helmholtz en ajoutant un ou plusieurs points intérieurs

appelés CHIEF points. L'inconvénient de cette condition supplémentaire est que le nombre

de points intérieurs ainsi que leur position ont une grande influence sur la performance des

résultats. En effet la position de certains points intérieurs sur des surfaces nodales du

problème intérieur conduit à des équations non linéairement indépendantes. En outre, plus

les fréquences caractéristiques sont grandes, plus les surfaces nodales du problème

intérieur sont rapprochées spatialement, ce qui renforce le problème. Le principal

désavantage de la méthode de Schenck est qu'il n'existe aucun critère pour le choix du

nombre et de la position de ces points intérieurs, toutefois Seybert [Seybert et Rengarajan,

1987] a montré qu'il suffisait d'avoir un seul point placé en dehors des surfaces nodales

pour obtenir des résultats satisfaisants. Juhl [Juhl, 1994] a amélioré la méthode de Schenck

en utilisant la méthode de décomposition en valeurs singulières SVD pour Singular Value

Decomposition [Press, et al., 1992], qui permet d'accéder aux valeurs singulières de la

matrice du système à résoudre. En effet, au voisinage des fréquences caractéristiques, la

déficience du rang de cette matrice se traduit par une ou plusieurs valeurs singulières de la

matrice beaucoup plus petites que les autres, dont le nombre donne la valeur de la

déficience du rang matriciel et donc le nombre de points intérieurs à ajouter. Le but est

donc de prendre en surnombre des points intérieurs pour augmenter le rang de la matrice,

en cherchant à ce qu'ils ne se trouvent pas sur ou près de surfaces nodales du problème

intérieur. Une variante aux méthodes apparentées à celle de Schenck a été développée par

Piaszy [Piaszczyk et Klosner, 1984] et consiste à surdéterminer le système algébrique en

utilisant des points non plus intérieurs mais extérieurs à la surface. Cependant comme la

valeur de la pression est inconnue à l'extérieur, des méthodes itératives doivent être

utilisées, dont la précision dépend beaucoup du choix de l'approximation initiale.

Une deuxième grande approche suivie pour surmonter ce problème des fréquences

singulières a été développée par Burton [Burton et Miller, 1971] et consiste en une

combinaison linéaire de l'équation intégrale de Helmholtz et de sa dérivée par rapport à la

normale à la surface. Dans cette méthode appelée HGF pour Helmholtz Gradient

Formulation, l'unicité de la solution aux fréquences caractéristiques est assurée par le

choix judicieux d'une constante multiplicative de l'équation dérivée, dite coefficient de


- 53 -

couplage. Ce coefficient de couplage doit être de partie imaginaire non nulle et certains

auteurs préconisent de le fixer égal à i/k (i est la racine complexe de –1 et k le nombre

d'onde) pour pouvoir assurer l'unicité de la solution à toutes les fréquences irrégulières

[Meyer, et al., 1979], [Amini et Harris, 1990]. Angélini [Angelini et Hutin, 1983], quant à

lui, résout au sens des moindres carrés le système composé de l'équation intégrale de

surface de Helmholtz et de sa dérivée normale, et trouve que le système n'est plus singulier

mais reste très mal conditionné.

Des comparaisons entre les formulations CHIEF et HGF ont montré que la méthode

développée par Schenck est moins coûteuse en calcul (notamment l'évaluation des

intégrales hypersingulières) mais pose tout de même le problème du choix des points

intérieurs pour assurer l'unicité de la solution [Amini et Harris, 1990], [Seybert et

Rengarajan, 1987].

Des approches alternatives aux deux grandes méthodes CHIEF et HGF ont également

été développées, notamment en recourant à des formulations en potentiels de couche :

Ursell [Ursell, 1973], par exemple, a ajouté à la fonction de Green une autre solution

élémentaire sous la forme d'une série infinie de termes, pour garantir l'unicité à toutes les

fréquences. Cependant la convergence de cette série est lente à haute fréquence. Jones

[Jones, 1974] a modifié la méthode de Ursell en tronquant la série infinie en une série finie,

ce qui limite les fréquences pour lesquelles l'unicité de la solution est garantie. Stupfel

[Stupfel, et al., 1988] choisit un nombre fini de termes variable selon le nombre d'onde

considéré.

De même que Filippi (voir équation eq. 2- 33 ci-dessus), on peut aussi recourir à un

potentiel mixte de la forme générale suivante :

M (P),dP)(M,n

G3P)G(M, .13(M)pp(M)

1

P0 ∈∀Γ

∂∂++= ∫ eq. 2- 34

L'unicité de la solution est alors assurée pour tout nombre d'onde réel, dès lors que le

rapport α/β est de partie imaginaire non nulle (voir par exemple la formulation de

Kussmaul présentée par Kirkup dans [Kirkup et Henwood, 1992] ou encore [Sayhi et

Ousset, 1981]). Panich [Panich, 1965] utilise également cette approche, en prenant la

constante α égale à un, et par conséquent le paramètre complexe β de partie imaginaire non

nulle afin d'assurer l'unicité de la solution pour tout nombre d'onde réel (voir également

[Rêgo Silva, et al., 1994]).


- 54 -

On constate donc au travers de ce tour d'horizon bibliographique non exhaustif le

nombre et la variété des travaux effectués pour surmonter le problème des fréquences

caractéristiques. Des études apparaissent toujours régulièrement dans la littérature sur ce

thème et prouvent que le sujet est loin d'être clos.

2.6.3 La discrétisation de la géométrie et l'approximation de la solution recherchée

On peut représenter formellement une équation intégrale de surface de la manière

suivante :

1M f(M),Kp(M) ∈∀= eq. 2- 35

où p est la fonction inconnue et f est une fonction connue, définie sur la frontière σ.

La première tâche dans la méthode des éléments finis de frontière consiste à subdiviser

la surface σ en N petites surfaces élémentaires σi telles que :

∅==≠=

iji

i

N

1i1et 11

La géométrie de la surface est alors approchée en utilisant des fonctions d'interpolation

appelées fonctions de formes Nj, de la même manière que pour la méthode des éléments

finis :

( ) ( )∑=

=l

1jijji XNX eq. 2- 36

Ici les coordonnées cartésiennes globales Xi (i=1,3) de n'importe quel point sur un

élément de surface σi sont reliées aux coordonnées des l noeuds géométriques Xij (i=1,3 ;

j=1,l) situés sur le même élément par l'intermédiaire des coordonnées locales (ξ )=( ξ1, ξ2,

ξ3). L'équation eq. 2- 36 définit une transformation implicite qui relie l'élément σi à

l'élément parent qui peut être un carré ou un triangle équilatéral plan. De manière générale,

on utilise principalement des courbes linéaires ou quadratiques [Juhl, 1997].

Une fois que la géométrie est discrétisée, on cherche à approcher les fonctions

inconnues en utilisant également des fonctions de forme, c'est-à-dire que l'on va écrire :

( )∑=

=l

1jjj pN)p(ξ eq. 2- 37

où les pi sont les valeurs nodales de p en des points appelés noeuds d'interpolation.

Si les mêmes fonctions d'interpolation sont utilisées à la fois pour l'approximation de la

géométrie et des variables acoustiques recherchées, et que les noeuds géométriques et


- 55 -

d'interpolation coïncident, on nomme les éléments de frontière éléments isoparamétriques.

Dans le cas où, par exemple, une interpolation quadratique est utilisée pour la géométrie

tandis que les variables acoustiques sont décrites à l'aide d'une interpolation linéaire, les

éléments sont qualifiés de superparamétriques. Juhl trouve par une analyse de convergence

intuitive [Juhl, 1998] que l'ordre de convergence des formulations linéaires

isoparamétrique et superparamétrique est de deux, c'est-à-dire que l'erreur est

proportionnelle au carré de l'inverse du nombre de noeuds, tandis que l'ordre de la

formulation quadratique isoparamétrique est de quatre. Ce résultat est en accord avec ceux

obtenus par d'autres auteurs comme Wendland dans [Filippi, 1983] ou Amini [Amini et

Kirkup, 1995]. Notons que plus la fréquence est élevée plus l'erreur est grande, à maillage

constant, cependant le taux de convergence n'est pas dépendant de la fréquence [Juhl,

1998].

De nombreux auteurs se sont intéressés à l'étude de la convergence des méthodes

d'éléments finis de frontière [Juhl, 1998], [Grannell, et al., 1994], Wendland dans [Filippi,

1983], [Sayhi et Ousset, 1981]. Trois grandes versions de BEM existent quant à

l'approximation géométrique des surfaces et l'interpolation des fonctions inconnues [Postell

et Stephan, 1990] : la version des éléments finis de frontière qualifiée de –h pour laquelle

la précision de la solution est recherchée en diminuant la taille du maillage (c'est-à-dire en

augmentant le nombre N de subdivisions de la surface, ainsi que le nombre de noeuds), la

version dite –p qui améliore la précision à maillage constant en augmentant le degré des

polynômes d'interpolation utilisés pour représenter les fonctions inconnues, et la version

mixte –hp qui s'appuie sur l'approche –h avec un maillage progressif avec des éléments

d'ordre peu élevé près des singularités, puis sur la version –p avec des éléments d'ordre

plus élevé lorsque l'on s'éloigne des singularités.

Concernant le nombre d'éléments à choisir par longueur d'onde, il ressort d'un certain

nombre de travaux que pour obtenir une précision des résultats correcte, il doit être au

moins de cinq ou six selon les auteurs, pour les applications courantes [Ciskowski et

Brebbia, 1991], [Seznec, 1980].

Un point délicat de la discrétisation de la géométrie et de l'approximation des fonctions

inconnues dans les méthodes d'éléments finis de frontière est le problème de la définition

de la normale, notamment au voisinage des singularités géométriques comme les angles,

les coins... Au voisinage de ces singularités géométriques, on observe ainsi une

dégradation du taux de convergence des B.E.M. [Juhl, 1998]. Seznec [Seznec, 1980]

recommande de traiter les points au bord comme des noeuds plutôt que de les oublier


- 56 -

complètement : puisque les points de Gauss sont situés à l'intérieur des éléments, on n'a pas

besoin d'affecter une valeur à la dérivée normale de la fonction de Green en un point où

elle n'est pas définie. Le traitement particulier de ces points anguleux est présenté par

exemple dans [Ciskowski et Brebbia, 1991] ou [Filippi, 1994]. En particulier, le

comportement asymptotique de la pression au bord d'un écran mince pose problème, et

c'est ainsi que plusieurs auteurs recommandent d'utiliser des fonctions d'interpolation

singulières au voisinage de ces points "épineux" pour mieux prendre en compte le

comportement singulier de la solution et améliorer le taux de convergence [Juhl, 1998],

[Filippi, 1994], [Seybert, et al., 1992]. Wu [Wu et Wan, 1992] adopte une technique dite de

quart de point provenant des éléments finis pour modéliser la singularité apparaissant au

bord d'un écran mince, idée reprise par Juhl [Juhl, 1998] qui choisit de positionner au quart

de la longueur de l'élément, le noeud situé normalement au milieu d'un élément

quadratique isoparamétrique.

Si l'erreur dans une formulation d'éléments finis de frontière peut provenir de

l'approximation de la géométrie de la surface d'une part, de l'approximation des variables

acoustiques d'autre part, deux autres étapes dans la méthode peuvent également apporter

des erreurs dans le résultat : l'intégration numérique sur chaque élément et en particulier le

cas des intégrales singulières présenté ci-après, et pour finir la résolution du système

linéaire d'équations.

2.6.4 Le calcul des intégrales régulières et singulières

Dans la méthode des éléments finis de frontière apparaissent tout d'abord des intégrales

régulières qui sont généralement calculées par des schémas classiques de type quadratures

de Gauss (voir [Press, et al., 1992] par exemple). On peut trouver dans l'ouvrage de Bonnet

[Bonnet, 1995] une discussion sur le choix du nombre de points à adopter, fonction de la

surface et de sa représentation ainsi que du type d'approximation des inconnues.

Généralement, cet auteur constate que dans les cas courants un nombre modéré de points

de Gauss est suffisant (2*2 ou 3*3 sur un carré). D'autres auteurs recourent à des schémas

numériques plus avancés comme Grannell [Grannell, et al., 1994] qui utilise une

quadrature de Curtis-Clenshaw dont le gros avantage sur les quadratures classiques de

Gauss réside en son aspect hiérarchique : toutes les évaluations de fonctions à une étape

sont réutilisées à l'étape qui suit durant le processus itératif de calcul de l'intégrale jusqu'à

convergence. Yang [Yang, 1997] adopte quant à lui la méthode de quadrature de Filon


- 57 -

[Frazer et Gettrust, 1984] qui permet de traiter des intégrandes à fortes oscillations, là où

les schémas de quadratures classiques sont mis en défaut, notamment à haute fréquence.

Lorsque les points en jeu dans les intégrales sont très proches mais toujours distincts, on

parle dans la littérature d'intégrales quasi-singulières, et l'on peut alors recourir à la

transformation de Telles [Telles, 1987] pour améliorer la précision des schémas de

quadrature de Gauss dans ce cas.

Lorsque ces points peuvent être confondus, du fait de la singularité de la fonction de

Green (voir le paragraphe 2.5), les intégrales comportant la fonction de Green ou sa

dérivée, ainsi que la dérivée de ces intégrales, deviennent singulières. Le calcul de ces

intégrales singulières pose des problèmes plus épineux. Ces intégrales élémentaires

singulières tendent en effet à rendre dominants les termes proches de la diagonale dans la

matrice du système linéaire à résoudre, et influencent donc fortement le bon

conditionnement de ce système linéaire. Si ce calcul est effectué avec précision, cela

présente un avantage, en revanche une mauvaise évaluation des intégrales singulières est

source d'erreurs importantes.

Il existe en fait trois types de singularités qui peuvent intervenir dans les méthodes

d'éléments finis de frontière : les intégrales faiblement singulières, les intégrales

singulières au sens de la valeur principale de Cauchy et les intégrales dites

hypersingulières. Mathématiquement parlant, à cause de la singularité de l'intégrande, une

petite région au voisinage de la singularité doit être exclue du domaine de l'intégration, et

l'on cherche alors la limite lorsque le volume de la petite région tend vers zéro. Si cette

limite existe et est indépendante de la forme du voisinage, l'intégrale singulière est dite

faiblement singulière, si cette limite existe uniquement si la forme du voisinage exclu est

une hypersphère alors on parle d'intégrale singulière en valeur principale de Cauchy, et

dans le cas d'une singularité d'ordre supérieur, on parle d'intégrale hypersingulière.

Huang [Huang et Cruse, 1993] résume les techniques d'intégration pour ces intégrales

singulières en quatre grandes catégories. La première repose sur l'utilisation d'une solution

simple de l'équation aux dérivées partielles de départ pour calculer indirectement l'intégrale

singulière. La seconde approche utilise des coordonnées polaires locales et calcule

l'intégrale le long de la direction radiale par une quadrature de Gauss adaptée à la partie

finie. La troisième catégorie consiste à séparer la partie singulière et la calculer

analytiquement. Enfin la dernière grande famille de techniques numériques est basée sur la


- 58 -

modification de l'équation intégrale de frontière originelle pour diminuer d'une unité l'ordre

de dérivation du noyau singulier en le reportant vers la fonction de densité.

Quoi qu'il en soit, le problème des intégrales faiblement singulières ou singulières au

sens de la valeur principale de Cauchy est surmonté, soit en convertissant les intégrales en

intégrales régulières grâce à des coordonnées polaires locales [Gray, et al., 1990], soit en

ajoutant et retranchant les termes singuliers [Guiggiani, 1991, Guiggiani et Casalini, 1987],

soit en utilisant d'autres méthodes comme une transformation conforme dégénérée et la

technique dite du mouvement du corps rigide [Lachat et Watson, 1976], soit encore en

recourant à des schémas de Gauss spécifiques [Lean et Wexler, 1985], [Pina et Fernandes,

1981], ou en modifiant l'équation intégrale de départ grâce à une intégration par parties qui

permet d'abaisser de un l'ordre de singularité (voir [Huang et Cruse, 1993] et les références

de cet article). Souvent l'on peut chercher à réduire la singularité de ces intégrales pour ne

plus devoir évaluer que des intégrales faiblement singulières [Bonnet, 1995], [Rêgo Silva,

1994]. Ce calcul demande toutefois une méthode adaptée qui nécessite le recours à un

système de coordonnées polaires avant de pouvoir utiliser des quadratures de type Gauss.

Un certain nombre d'auteurs se sont penchés plus précisément sur le calcul plus délicat

des intégrales hypersingulières. Ces intégrales sont du type :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∂∂=∂∂→ 1

Pnn(M)1

Pnn(Q)MQ

Pd+PM,GPPFPd+PQ,GPlim eq. 2- 38

Le noyau en jeu dans ces intégrales jouit de la propriété suivante, lorsque la distance r

entre les deux points tend vers zéro (cf [Burton et Miller, 1971]) :

ℜℜ=

∂∂∂

−

−

33

22

n(P)n(M)

2

dans)O(rdans)O(rG

eq. 2- 39

On doit effectuer un traitement spécial avant de prendre l'opérateur différentiel à

l'intérieur de l'intégrale. On utilise alors des techniques de régularisation de cette intégrale

qui nécessitent de nombreux points de collocation autour du point singulier, ce qui

complique la mise en oeuvre numérique et le coût du calcul en termes de temps et de

mémoire d'ordinateur.

Maue [Maue, 1949] et plus tard Mitzner [Mitzner, 1966] utilisent une transformation

qui ramène la dérivée normale par rapport au point de calcul à des dérivées tangentielles de

la variable et la fonction de Green (la partie finie est sous-entendue pour l'intégrale

hypersingulière du membre de gauche) :


- 59 -

( ) ( ) ( ) ( )( )∫

∫∫Γ•−

Γ

∧•

∧=∂∂

→→

1

2

1PM

1Pnn(M)

(P)P)d3*0(M)n(P)nk

(P)d3grad(P)nP)G(M,grad(M)nPd+PM,GP

&&

&&

eq. 2-40

Cette transformation réduit la singularité en une singularité en 1/r2 qui peut être

interprétée au sens de la valeur principale de Cauchy. La formule ci-dessus est valable dans

ℜ3 et se réduit dans ℜ2 à :

( ) ( ) ( ) ( )

( )∫∫∫

Γ•−

Γ∂

∂∂

µ∂=∂∂

1

2

11Pnn(M)

(P)P)d3*0(M)n(P)nk

(P)d)M(t

G

)P(tPd+PM,GP

&&

eq. 2- 41

t(P) et t(M) sont les directions positives des tangentes en P et M. ∂G/∂t(M) présente une

singularité de Cauchy et G(M,P) une singularité logarithmique pour M en P, cependant il

est possible de construire des approximations numériques des opérateurs.

Burton [Burton et Miller, 1971] a proposé une méthode de régularisation complexe

basée sur des intégrales doubles de surface. Il forme ainsi un potentiel de simple couche

dont la densité est égale à l'intégrale hypersingulière. En utilisant le noyau de l'équation de

Laplace, il parvient à obtenir une expression faisant intervenir une intégrale faiblement

singulière (en O(r-1)) qui est plus appropriée pour un calcul numérique précis. Cette

méthode reste toutefois coûteuse sur le plan numérique.

Dans la méthode adoptée par Meyer [Meyer, et al., 1978], l'intégrale hypersingulière est

transformée en une intégrale régulière en faisant appel à des opérateurs de dérivées

tangentielles et l'on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( )∫∫∫

Γ•+

Γ∂∂

∂−=∂∂

1

2

1

n(P)n(M)

2

1Pnn(M)

(P)P)dG(M,kn(P)n(M)0

(P)dP)G(M,

03Pd+PM,GPPFeq. 2- 42

G représente la solution fondamentale en espace libre mais Meyer donne une formule

générale valable pour d'autres noyaux fondamentaux. La première intégrale du membre de

droite de l'équation eq. 2- 42 présente cette fois une singularité en O(r-2) dans ℜ3 et peut

être calculée numériquement moyennant quelques précautions [Amini et Harris, 1990],

[Meyer, et al., 1978].

Terai [Terai, 1980] transforme l'intégrale hypersingulière en une intégrale de contour, il

écrit ainsi :


- 60 -

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] (P)dP)G(Q,

43lim

(P)dP)G(Q,

4limPd+PM,GPPF

1

n(P)n(Q)

2

MQ

1

n(P)n(Q)

2

MQ1Pnn(M)

Γ∂∂

∂−+

Γ∂∂

∂=∂∂

∫

∫∫

→

→

eq. 2- 43

La seconde intégrale est évaluée numériquement en utilisant notamment un

développement en série de Taylor au voisinage de la singularité et une quadrature de

Gauss, tandis que la première intégrale est transformée en une intégrale de contour. On

obtient pour le cas tridimensionnel :

−θπρ

θρµ=Γ∂∂

∂∫∫→ 2

ikd

)(4

)(exp(-ik(M)(P)d

P)G(Q,4lim

1

n(P)n(Q)

2

MQeq. 2- 44

On peut trouver le résultat équivalent pour le cas bidimensionnel dans l'article de Kawai

[Kawai et Terai, 1990] :

+

π−µ=Γ

∂∂∂

∫∫ σ→dx

x

)kx(H

2

ik

a

1(M)-(P)d

P)G(Q,4lim 1

1

n(P)n(Q)

2

MQeq. 2- 45

Pour finir, une autre alternative pour traiter l'hypersingularité est de l'interpréter au sens

de sa définition en tant que partie finie. C'est l'approche suivie par quelques auteurs [Kutt,

1975], [Martin et Rizzo, 1989], [Krishnasamy, et al., 1990]. Dans la formulation en

potentiels de couche adoptée au chapitre 3, l'approche de Filippi [Filippi et Dumery, 1969]

et Daumas [Daumas, 1978] sera suivie et présentée plus en détail.

On constate donc que de nombreuses études ont porté sur le calcul des intégrales

intervenant dans les formulations aux éléments finis de frontière. Ce calcul, notamment en

ce qui concerne les intégrales singulières, concourt à augmenter considérablement les

temps de calcul, qui plus est lorsque l'investigation est menée sur une bande de fréquences

et non à une seule fréquence fixée. Ce problème est abordé dans le paragraphe 2.6.6.

2.6.5 La résolution du système linéaire

Une fois le calcul des intégrales achevé sur chaque élément, on assemble la matrice du

système linéaire à résoudre pour obtenir les inconnues (la pression et la vitesse normale sur

la surface dans les formulations directes, la densité des potentiels de couche dans les

formulations indirectes).

Les schéma utilisés sont alors ceux de l'analyse numérique classique (voir [Ciarlet,

1982]) comme les stratégies de pivot de Gauss-Jordan avec pivot partiel ou total [Meyer, et

al., 1979], ou encore d'élimination de Gauss [Bonnet, 1995], [Rêgo Silva, 1994], [Meyer,


- 61 -

et al., 1978], [Seznec, 1980]. Quelques auteurs utilisent plus rarement des méthodes

itératives [Kane, et al., 1991], [Mullen et Rencis, 1987]. Dans les cas où les matrices sont

de taille importantes, ce qui est le cas à haute fréquence pour des configurations

géométriques complexes, des algorithmes puissants récents ont été mis au point pour

converger de manière itérative vers la solution : la méthode GMRes [1983] par exemple

peut permettre de passer outre aux problèmes de stockage en mémoire vive des matrices de

grosse taille et calculer précisément la solution là où des schémas classiques seraient mis

en défaut.

Si l'on s'intéresse à différents types de source, une décomposition de type LU [Press, et

al., 1992] peut s'avérer intéressante puisque dans ce cas, seul le second membre qui prend

en compte l'excitation change et la décomposition reste valable. Grannell utilise dans sa

version –p hiérarchique d'éléments finis de frontière cette décomposition LU [Grannell, et

al., 1994] ainsi que Yang pour sa BEM bidimensionnelle [Yang, 1997].

Pour finir, les méthodes puissantes qui s'appliquent aux matrices symétriques peuvent

être utilisées dans les formulations variationnelles qui aboutissent à l'élaboration de

matrices symétriques ou même de matrices symétriques creuses [Zeng, et al., 1992] bien

conditionnées. Ainsi Jean [Jean, 1998] par exemple recourt à une décomposition de

Cholevski pour résoudre le système linéaire symétrique issu de son approche

variationnelle.

Dans le cas où les matrices en jeu sont mal conditionnées (notamment au voisinage des

fréquences caractéristiques, voir le paragraphe §6.2), on peut recourir à des méthodes

classiques de régularisation [Press, et al., 1992] comme la méthode Singular Value

Decomposition.

Il ressort de l'analyse bibliographique effectuée que peu d'auteurs précisent le schéma

numérique utilisé pour résoudre le système linéaire obtenu, ceci étant dû au fait que cette

étape dans la méthode des éléments finis de frontière pose en définitive peu de problèmes

dans les cas courants, hormis pour le cas des fréquences au voisinage des fréquences

caractéristiques. Cependant lorsque la fréquence augmente, le problème se complique à

cause de limitations en taille de mémoire et temps de calcul, problème qui est abordé dans

la section suivante.


- 62 -

2.6.6 Le coût numérique à hau te fréquence et pour les configurations 3D

Une partie du temps de calcul correspond à l'évaluation de chaque élément de la

matrice, l'autre majeure partie étant due à la résolution du système linéaire. Les auteurs

s'accordent pour dire que si la taille de la matrice est N, alors le coût de la première phase

est de l'ordre de aN2 opérations élémentaires tandis que celui de la deuxième étape est en

bN3 pour les méthodes directes avec a>>b [Rosen, et al., 1995], [Amini, et al., 1990]. C'est

ainsi que pour les systèmes de petite taille, l'étape de calcul des éléments de la matrice est

plus coûteuse numériquement que la résolution du système linéaire, cependant lorsque la

fréquence augmente, le coût de cette dernière phase devient prohibitif (voir [Tekatlian et

Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]).

Pour réduire le temps de calcul, Jean [Jean, 1998] préconise de stocker la valeur de la

fonction de Hankel intervenant en 2D pour des arguments compris entre 0.001 et 200 et

d'interpoler les valeurs entre ces points. Un facteur vingt sur le temps de calcul a ainsi été

obtenu dans le cas d'un sol rigide, sans perte de précision. Concernant la phase de

résolution du système linéaire, selon Tobocman [Tobocman, 1986], le temps de calcul

pourrait être fortement diminué en utilisant une méthode d'approximants de Padé pour

résoudre l'équation intégrale au lieu de l'inversion de matrice par élimination de Gauss-

Jordan. Il constate par ailleurs qu'à haute fréquence la perte de précision au voisinage des

fréquences caractéristiques dans l'équation intégrale de Helmholtz est moins importante.

De plus, même si la formulation variationnelle offre l'avantage de conduire à des

matrices symétriques, dans tous les cas les formulations directes et indirectes,

variationnelles ou non, mènent à des matrices dépendant de la fréquence, et ce, de deux

manières. D'une part, il est bien connu que la taille des éléments pour obtenir une précision

correcte doit être inférieure approximativement au sixième de la longueur d'onde, et par

conséquent, à haute fréquence, le nombre d'éléments nécessaires pour décrire un problème

donné devient important, ce qui vient poser des problèmes de taille mémoire nécessaires

pour stocker la matrice ; d'autre part, les éléments de la matrice dépendent de la fréquence

par l'intermédiaire de la fonction de Green. Il s'ensuit que le calcul de la matrice doit être

répété à chaque fréquence, d'où un coût en temps de calcul important pour des études sur

des plages de fréquences étendues.

Pour pallier ces défauts, quelques auteurs recourent à des méthodes d'interpolation

fréquentielle. L'idée est d'éliminer les oscillations des coefficients de la matrice en mettant


- 63 -

en facteur le terme de grande amplitude en exp(kd(S,M)) pour le cas tridimensionnel par

exemple. Le terme restant présente alors des variations beaucoup plus lentes en fonction de

la fréquence et l'on peut utiliser une interpolation fréquentielle linéaire à une fréquence

comprise entre deux bornes. On remonte alors au coefficient d'origine en multipliant le

coefficient par le facteur de grandes oscillations ci-dessus (voir [Vanhille et Lavie, 1998]).

Le temps de calcul est diminué de façon significative mais le coût en mémoire disque

nécessaire pour stocker les coefficients aux deux fréquences bornes est élevé, aussi Wu

[Wu et Wan, 1993] a-t-il proposé d'effectuer plutôt une interpolation de la fonction de

Green dans le domaine spatial en utilisant des fonctions de forme de même que pour

l'approximation des variables (pression et vitesse normale). Ceci permet également de

sortir des intégrales le facteur dépendant de la fréquence et, bien que plus coûteuse en

temps de calcul, cette méthode présente l'avantage de nécessiter beaucoup moins d'espace

disque. Lecomte [Lecomte, 1998] utilise quant à lui des approximants de Padé pour

calculer les dérivées successives de la densité du potentiel de double couche de sa

formulation indirecte. Il peut ainsi calculer la solution sur un intervalle de fréquences

donné à partir de la densité et ses dérivées successives par rapport à la fréquence en une

fréquence donnée f0.

Un développement en multipoles [Morse et Feshbach, 1953] de la fonction de Green en

champ libre a aussi été parfois exploité (voir par exemple [Atalla, et al., 1999]) et a mené à

des résultats rapides et précis notamment à haute fréquence. Concernant les problèmes de

diffraction à haute fréquence, un certain nombre d'auteurs ont utilisé des méthodes

d'éléments finis de frontière avec convergence rapide [Postell et Stephan, 1990], [Grannell,

et al., 1994] ; d'autres s'appuient sur un choix judicieux de fonctions de base qui

fournissent une matrice creuse bien conditionnée en plus d'un taux de convergence

contrôlable [Canning, 1993] ; Rockhlin [Rockhlin, 1990], ainsi que Brandt [Brandt, 1991]

ou encore Amini [Amini, et al., 1990] utilisent des techniques de solutions itératives

fondées sur des multiplications uniquement matrice-vecteur et le développement

d'algorithmes rapides pour de telles opérations ; quelques auteurs [James, 1990], [de La

Bourdonnaye, 1994], [Nédélec et Abboud, 1994] exploitent l'"essentiel" du comportement

haute fréquence du champ sur la surface diffractante pour conduire à un petit système

d'équations ; Wang [Wang, 1995] recourt à une méthode hybride qui allie les avantages des

éléments finis de frontière (description précise de surfaces courbes) à ceux des ondelettes

(systèmes de matrices creuses) ; en utilisant une approximation haute fréquence pour la

densité du potentiel de double couche par exemple et une technique de moindres carrés, il


- 64 -

est aussi possible de réduire le nombre de points nécessaires à la résolution d'une équation

intégrale de frontière [Premat, 1995].

Ces problèmes de limitations numériques des méthodes d'éléments finis de frontière en

temps de calcul et taille mémoire se rencontrent donc à haute fréquence et deviennent

également gênants pour le traitement des configurations tridimensionnelles (voir [Tekatlian

et Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]). En théorie, les B.E.M. permettent bien sûr

d'aborder des problèmes tridimensionnels mais en pratique le temps de calcul et la taille de

mémoire nécessaire limitent l'application de ces méthodes à des cas bidimensionnels ou

alors à des cas tridimensionnels dans une gamme basse fréquence raisonnable (la taille du

maillage dépend de la fréquence). Quelques tentatives ont cependant été effectuées pour

étendre ces formulations à des cas 3-D (voir [Ciskowski et Brebbia, 1991], [Tekatlian et

Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]).

Pour pallier les problèmes évoqués ci-dessus, la pression acoustique au-dessus d'un

écran anti-bruit infini de section constante, due à une source linéaire cohérente, peut être

déterminée par une B.E.M. 2D [Chandler-Wilde, 1988], [Habault, 1984]. Selon Habault, le

problème bidimensionnel représente une bonne modélisation du problème concret de

l'étude du champ sonore émis par une file de voitures circulant sur un axe routier bordé de

terrains herbeux : le choix de la source cylindrique permet de modéliser l'émission sonore

d'une file de voitures, et de plus les courbes obtenues pour les maxima des niveaux sonores

excédentaires dans un site donné sont comparables à 1 ou 2 dB près à celles obtenues pour

une ou N sources réelles [Habault, 1984]. Jean [Jean, 1998] utilise également une approche

bidimensionnelle pour étudier le bruit dû à un train. La communauté scientifique s'accorde

par ailleurs pour dire que les résultats en termes de niveaux sonores relatifs au champ libre

ou encore en termes de perte par insertion (différence entre les niveaux de pression dans

une configuration donnée avec et sans écran acoustique) sont équivalents en 2D et en 3D

(voir par exemple [Daumas, 1978], ce que corrobore l'article de Duhamel [Duhamel,

1996]). Cet auteur souligne cependant que ce résultat suppose que les comparaisons sont

effectuées pour des situations où le récepteur et la source sont situés dans le même plan

perpendiculaire à l'écran acoustique. En utilisant les résultats 2D pour une source linéaire

cohérente pour des nombres d'onde réels et imaginaires, on peut aussi calculer la solution

3D dans le cas d'une géométrie toujours infinie mais pour une source ponctuelle ou une

source linéaire incohérente via une transformation de Fourier [Duhamel, 1996, Duhamel et

Sergent, 1998]. C'est ainsi qu'en suivant cette approche, à partir d'une BEM

bidimensionnelle, Jean a étudié l'importance du type de source - ponctuelle, linéaire


- 65 -

cohérente ou linéaire incohérente - pour évaluer les performances des écrans acoustiques

en bordure de voies routières [Jean, 1999]. D'autres études ont cherché à s'appuyer sur des

symétries de la géométrie (voir [Bonnet, 1995]). Pour des surfaces axisymétriques, le

problème peut ainsi être ramené à un problème à une dimension mettant en jeu des

intégrales simples le long de la courbe de génération de la surface de révolution [Meyer, et

al., 1979], [Grannell, et al., 1994], [Seybert, et al., 1986], [Amini et Wilton, 1986].

Quoi qu'il en soit, ce problème de limitations à haute fréquence ou pour des géométries

trop étendues comme les surfaces tridimensionnelles est entièrement tributaire de la

puissance des calculateurs à disposition. On constate cependant que les recherches pour

réduire le coût numérique en temps de calcul et taille mémoire nécessaires pour les

méthodes d'éléments finis de frontière sont toujours d'actualité.

Cette partie a donc présenté dans ses grandes lignes la résolution des équations

intégrales de frontière, récapitulée par la figure 2. 2 : on représente tout d'abord un

problème physique donné en adoptant une formulation intégrale (directe ou indirecte).

Cette formulation intégrale fait intervenir une fonction de Green qui prend en compte un

certain nombre de conditions aux limites et permet, plus l'information prise en compte est

importante, de diminuer d'autant le domaine d'intégration en jeu. En imposant alors à la

variable acoustique utilisée de satisfaire aux conditions aux limites non prises en compte

par la fonction de Green, on aboutit à une équation intégrale de frontière. On peut résoudre

cette équation intégrale de frontière par une méthode d'éléments finis de frontière pour

obtenir les variables acoustiques recherchées. On est alors capable ainsi, via la formulation

intégrale de départ, de connaître le champ acoustique en tout point de l'espace.


- 66 -

figure 2. 2 : Les grandes étapes de la méthode des équations intégrales de frontière.


- 67 -

2.7 Applications de la méthode des éléments finis de frontière

Ce paragraphe vise à présenter rapidement quelques applications importantes des

B.E.M. notamment dans le domaine de la propagation extérieure, en gardant présent à

l'esprit la possibilité d'étendre ces résultats, valables en milieu homogène, à des milieux

inhomogènes grâce à la nouvelle approche développée ultérieurement dans Météo-BEM.

Mentionnons tout d'abord que l'on peut distinguer de manière générale deux grandes

classes de problèmes : les problèmes directs et les problèmes indirects. Les problèmes

directs consistent à calculer le champ de pression acoustique quand tous les paramètres

(milieu de propagation, caractéristiques de la source et du récepteur) sont connus, tandis

que dans les problèmes inverses on cherche à déterminer des caractéristiques du milieu de

propagation (propriétés géométriques ou acoustiques, position ou distribution spatiale de

l'énergie de la source) à partir de mesures de pression sonore sur une antenne. Dans les

deux cas, les méthodes d'éléments finis de frontière ont été largement utilisées (voir

[Habault, 1995], [Filippi, 1995] pour une liste de références).

Les domaines de l'acoustique –sans parler de l'électromagnétisme- couverts par les

B.E.M. sont très vastes : depuis les études de rayonnement et diffraction des structures

menées en vibro-acoustique (études de couplages fluide-structure, applications au contrôle

du bruit en milieu industriel, applications dans le secteur des modes de transport -

automobile, avions, trains -...), jusqu'aux modélisations de la propagation acoustique en

milieu extérieur et aux applications à l'acoustique sous-marine, en passant par les

applications biomédicales (modélisation du fonctionnement de l'oreille), et les utilisations

en acoustique architecturale (détermination du champ sonore au-dessus des sièges

d'audience par exemple). Bien que la majorité des études ait été effectuée dans le domaine

fréquentiel, on peut trouver également quelques études dans le domaine temporel, en

particulier sur les régimes transitoires. On peut se reporter à l'ouvrage de Ciskowski

[Ciskowski et Brebbia, 1991] ou aux deux articles cités ci-dessus pour une liste de

références étendue.

Dans le domaine de la propagation extérieure, les méthodes d'éléments finis de frontière

ont été essentiellement appliquées à l'étude du champ de pression en présence d'écrans

acoustiques. Filippi [Filippi et Dumery, 1969] étudie la diffraction d'une onde plane sur un


- 68 -

écran mince parfaitement absorbant (condition de Dirichlet) puis parfaitement réfléchissant

(condition de Neumann) en milieu infini. Il montre qu'il est commode d'exprimer le champ

acoustique sous la forme d'un potentiel de simple couche pour la condition de Dirichlet et

d'un potentiel de double couche pour la condition de Neumann.

Dans un article postérieur, Filippi [Filippi, 1972] montre que l'on peut toujours

représenter la solution d'un problème de diffraction à l'aide d'un potentiel de couche d'ordre

quelconque. Il donne l'exemple d'un problème de Dirichlet intérieur pour le cercle, d'un

problème de Neumann intérieur pour un ellipsoïde de révolution allongé ainsi que de la

diffraction par un cylindre infini calculée avec un potentiel mixte.

Filippi donne également des résultats sur le problème intérieur de Neumann pour un

cercle excité par une onde cylindrique et sur le problème extérieur de la diffraction d'une

onde incidente plane sur un cylindre parfaitement absorbant. Il résout aussi le problème de

la diffraction d'une onde sphérique par un écran plan rectangulaire parfaitement

réfléchissant [Filippi, 1977].

En 1978, Daumas [Daumas, 1978] étudie la diffraction par un écran mince rigide

disposé sur un sol plan rigide à l'aide d'un potentiel de double couche et compare avec

succès les résultats à des mesures expérimentales.

La méthode des éléments finis de frontière est ensuite utilisée par Habault pour traiter

les discontinuités d'impédance [Habault, 1985]. Les cas de la propagation acoustique de

l'onde émise par une source cylindrique au-dessus d'une bande infinie parfaitement

réfléchissante dans un plan absorbant, puis d'une onde sphérique au-dessus d'un carré

parfaitement rigide dans un plan absorbant sont étudiés, et les résultats sont comparés à des

mesures.

Cette approche numérique est également appliquée à la modélisation bidimensionnelle

de la propagation d'ondes dans un sol stratifié avec obstacle et notamment une tranchée

[Habault, 1990].

Parallèlement à ces travaux issus du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique de

Marseille, citons l'étude de Seznec en 1980 [Ciskowski et Brebbia, 1991]. Cet auteur s'est

intéressé à la diffraction du son autour d'écrans de différentes formes sur sol plan, en

utilisant une méthode variationnelle à partir d'une formulation directe. Bien que son

approche puisse être étendue à des écrans et des sols absorbants, et également à des

configurations géométriques tridimensionnelles, il ne donne des résultats que pour des

surfaces rigides et des configurations infinies dans une dimension.


- 69 -

A l'aide d'une approche directe bidimensionnelle, Hothersall et Chandler-Wilde

[Hothersall, et al., 1991a], [Chandler-Wilde, et al., 1991], [Hothersall, et al., 1991b]

évaluent aussi l'efficacité d'écrans antibruit de différentes section, hauteur et absorption,

au-dessus de sols plans absorbants. Crombie s'attache également à décrire le cas d'écrans

parallèles [Crombie, et al., 1991]. Chandler-Wilde étudie aussi le phénomène de

discontinuité d'impédance en 2D et 3D à partir d'une formulation intégrale directe de Green

et confronte le résultat de ses calculs à des données expérimentales [Chandler-Wilde,

1985], [Chandler-Wilde, 1988].

Concernant les applications tridimensionnelles de la méthode des éléments finis de

frontière, Kawai [Kawai et Terai, 1990] et Antes (in [Ciskowski et Brebbia, 1991]) ont

calculé le champ de pression acoustique autour d'un écran de longueur finie pour une

source ponctuelle mais leurs résultats se limitent aux basses fréquences, jusqu'à environ

100 Hz. Une autre tentative d'application au cas tridimensionnel est effectuée par Tekatlian

sur la base d'une formulation en potentiels de couche et reste également limitée à basse

fréquence [Tekatlian et Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b].

Puis Duhamel [Duhamel, 1996] montre comment l'on peut s'appuyer sur la solution

bidimensionnelle pour calculer le champ de pression tridimensionnel via une

transformation de Fourier, pour une source sphérique ou une source linéaire incohérente,

autour d'écrans acoustiques. Il étudie l'influence de différents types de source : source

ponctuelle, source linéaire cohérente puis incohérente, et applique son approche au cas de

sources en mouvement. Ce modèle est développé pour la propagation au-dessus de

surfaces rigides et est étendu au cas de sols absorbants dans un article postérieur [Duhamel

et Sergent, 1998] où l'auteur confronte les résultats du calcul à des résultats expérimentaux.

Jean recourt quant à lui à une méthode variationnelle à partir d'une formulation intégrale

directe, pour résoudre le problème bidimensionnel des écrans acoustiques absorbants ou

non, de profils quelconques, au-dessus d'un sol plan absorbant et en bordure de voies

ferroviaires [Jean et Gabillet, 1995]. En utilisant la méthode de Duhamel présentée ci-

dessus, il étudie également le cas de sources ponctuelles et de sources linéaires cohérentes

ou non [Jean, 1998], [Jean, 1999].

Anfosso-Lédée s'attache elle aussi au problème bidimensionnel de la propagation

acoustique autour d'un écran antibruit à partir d'une formulation directe [Anfosso-Lédée, et

al., 1995], [Anfosso-Lédée et Dangla, 1996]. Elle traite plus particulièrement l'interaction

écran-chaussée avec deux types de surfaces : un matériau à réaction localisée et un


- 70 -

matériau poreux. Watts [Watts, et al., 1991] étudie également les effets combinés de

surfaces poreuses et d'écrans acoustiques dans le cas du bruit routier.

Récemment De Lacerda [De Lacerda, et al., 1997] s'est penché à nouveau sur le

problème de la propagation acoustique bidimensionnelle au-dessus de sols plans

absorbants, autour de murs antibruit minces qui peuvent avoir des impédances différentes

sur les deux surfaces, en utilisant une méthode d'éléments finis de frontière duale. Il étend

son modèle au cas tridimensionnel dans un article qui suit [De Lacerda, et al., 1998].

Granat utilise une représentation intégrale indirecte à laquelle il associe une formulation

variationnelle pour résoudre le même problème en 2D [Granat, et al., 1999].

Pour finir, quelques applications originales des méthodes d'éléments finis de frontière

ont été réalisées dans le domaine de la propagation en milieu extérieur. Hothersall

[Hothersall et Tomlinson, 1997] s'est attaché à étudier les effets de la hauteur des

véhicules, de la répartition du matériau absorbant sur le côté de l'écran acoustique faisant

face à la circulation, et de l'inclinaison de cette façade du mur antibruit, en utilisant

toujours la même formulation directe résolue par collocation [Hothersall, et al., 1991a]. Par

le même modèle, cet auteur a également étudié la propagation acoustique près de grands

bâtiments avec des balcons en bordure d'une route [Hothersall, et al., 1996]. Enfin, un

certain nombre d'auteurs comme Schuhmacher [Schuhmacher, et al., 1998] ont abordé le

problème du bruit dû au contact pneumatique-chaussée à partir de méthodes d'éléments

finis de frontière. Ce dernier applique une formulation en potentiels de double couche pour

localiser les sources de bruit sur le pneumatique par une méthode inverse.


- 71 -

2.8 Conclusion

Ce chapitre a donc présenté en détail la théorie des méthodes d'éléments finis de

frontière. On constate en outre, au travers du paragraphe 2.7, le nombre et la variété des

applications de la méthode des éléments finis de frontière, en particulier dans le domaine

de la propagation acoustique en milieu extérieur. Cependant toutes les applications citées

offrent le désavantage de décrire un milieu de propagation homogène. Tous les auteurs de

ces travaux sont conscients, à l'instar de Seznec [Seznec, 1980] que : "One of the main

limitations to the method proposed here is that no account is taken of the influence of

outdoor parameters such as ambiant wind, temperature gradients and so on." Il ressort

donc qu'une approche permettant de prendre en compte la propagation dans des milieux

inhomogènes serait très utile, afin de pouvoir étudier l'interaction des phénomènes déjà mis

en évidence avec les effets météorologiques, ce qui motive notre travail et sera l'objectif du

nouveau modèle Météo-BEM développé dans les chapitres qui suivent.

La méthode des éléments finis de frontière adoptée pour prendre en compte la

propagation acoustique en milieu homogène et donnant naissance au code de calcul

BEMAS2D (pour Boundary Element Method for Acoustic Scattering in 2D) sera présentée

en détail au chapitre 4, en utilisant les résultats du chapitre présent.

Dans la prochaine partie, les principaux modèles propagatifs prenant en compte les

effets météorologiques vont être décrits et analysés de façon critique de façon à pouvoir

retenir un candidat susceptible de fournir une fonction de Green intéressante sur le plan

numérique, en vue d'inclure ces effets météorologiques dans les méthodes d'éléments finis

de frontière.


- 72 -

- 73 -

Chapitre 3

La fonction de Green prenant en compte les effets

météorologiques

3.1 Introduction

La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène a été présentée en détail

dans les paragraphes qui précèdent. Comme on l'a souligné, les méthodes BEM mettent en

jeu une fonction capitale, la fonction de Green, ainsi que ses dérivées première et seconde

par rapport à la normale. L'utilisation d'une fonction de Green judicieuse permet en effet de

prendre en compte un certain nombre de conditions aux limites et de restreindre ainsi le

domaine d'intégration des formules intégrales qui interviennent.

Cette approche des éléments finis de frontière n'a été jusqu'à ce jour appliquée qu'en

milieu homogène, or les effets météorologiques (gradients de vitesse du son et de vent,

turbulence) sont importants en propagation acoustique en milieu extérieur, en particulier à

longue distance. Dans ce chapitre, on va donc s'attacher à chercher des solutions de

l'équation d'onde en milieu inhomogène susceptibles de fournir des fonctions de Green

intéressantes sur le plan numérique, en vue de les utiliser dans le nouveau modèle Météo-

BEM, intégrant les effets météorologiques, qui sera développé au chapitre 6. Un point

important doit être souligné à cet égard : les solutions recherchées pour la pression

acoustique doivent prendre en compte le rayonnement cylindrique de sources linéiques,

dans le but d'être incorporées dans des méthodes d'éléments finis de frontière 2D, comme

Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques

- 74 -

c'est le cas pour BEMAS2D. Dans le cas d'une BEM 3D, la fonction de Green recherchée

doit décrire le cas du rayonnement sphérique d'une source ponctuelle.

Notons que l'on n'abordera pas dans ce travail le phénomène de la turbulence, qui joue

également un rôle non négligeable notamment dans la propagation acoustique dans les

zones d'ombre. On se concentrera ici sur les phénomènes de réfraction. L'idée de ce

chapitre est de s'appuyer sur des modèles récents de propagation en milieu inhomogène

prenant en compte les effets météorologiques aussi bien que les effets de sol. Ces modèles

récents pouvant décrire des gradients de vitesse du son proviennent d'autres domaines de la

physique : optique, sismique, acoustique sous-marine (voir par exemple [Jensen, et al.,

1994]) et ont été développés à l'origine pour des milieux au repos. Ce sont principalement,

outre les méthodes de rayons, la méthode de l'équation parabolique (P.E. pour Parabolic

Equation) et le Fast Field Program (F.F.P.) dans les deux cas de réfraction, la solution des

modes normaux pour la réfraction vers le bas, la série des résidus pour la réfraction vers le

haut. On peut trouver une bonne synthèse des principaux modèles pour la propagation

acoustique en milieu extérieur dans l'article de référence [Attenborough, et al., 1995]. On

pourra également se reporter aux ouvrages de Brekhovskikh [Brekhovskikh et Godin,

1992, Brekhovskikh et Godin, 1992], dont découlent bon nombre de développements

ultérieurs.

Dans un premier temps quelques rappels sont effectués dans ce chapitre sur la

formalisation mathématique du problème propagatif en milieu inhomogène, puis les

principaux modèles vont être rappelés et commentés, notamment en vue de leur application

dans une méthode d'éléments finis de frontière.


- 75 -

3.2 L'équation de propagation en milieu inhomogène

Rappelons tout d'abord l'équation de propagation qui décrit les phénomènes en milieu

inhomogène au repos. En partant des équations de conservation de la masse et de la

quantité de mouvement, et de l'équation d'état pour un fluide parfait, on obtient, pour

l'équation en dehors des sources, en se plaçant sous les hypothèses de l'acoustique linéaire

(cf [Filippi, 1994]) :

0)pgrad1

(divt

p

c

12

2

20

=ρ

ρ+∂∂− eq. 3-1

ou encore :

0pgradgrad

t

p

c

1p

2

2

20

=ρ

ρ−∂∂−∆ eq. 3- 2

c0 désigne une valeur moyenne de la célérité locale. En régime sinusoïdal, l'équation eq.

3- 2 devient (la dépendance temporelle en exp(-iωt) est sous-entendue ainsi que dans toute

la suite du chapitre) :

0pgradgrad1

pnkp 220 =ρ

ρ−+∆ eq. 3- 3

L'indice variable de réfraction n et le nombre d'onde k0 sont donnés par :

c

ket c

cn

00

0 ω== eq. 3- 4

Dans la grande majorité des calculs de propagation atmosphérique, l'équation utilisée au

départ est l'équation de Helmholtz à indice variable qui est en fait une approximation haute

fréquence de l'équation eq. 3- 3, obtenue en négligeant l'effet des gradients de masse

volumique :

0pnkp 220 =+∆ eq. 3- 5

Notons que rigoureusement cette dernière équation est valable dans deux cas (cf

[Filippi, 1994]) : celui des milieux "lentement" variables (i.e dont les caractéristiques sont


- 76 -

pratiquement constantes sur une longueur d'onde) et celui des milieux "faiblement"

variables (i.e dont les caractéristiques ont des fluctuations faibles autour d'une valeur

moyenne).

D'autre part, lorsque le milieu n'est plus au repos, à cause du vent, d'autres effets

complexes se manifestent, comme le phénomène de convection de l'onde par la vitesse

locale de l'écoulement. Dans ce cas, en se limitant au premier ordre par rapport au nombre

de Mach M et en négligeant l'effet des gradients, on a, toujours pour l'équation en dehors

des sources :

00

20 c

VM avec 0

r

pMik2pkp ==

∂∂++∆ eq. 3- 6

V est la vitesse de l'écoulement supposée horizontale (suivant la coordonnée r qui

représente la portée horizontale). Généralement, le dernier terme mettant en jeu la dérivée

de p par rapport à la portée n'est pas correctement pris en compte, sauf dans la théorie

géométrique. On se ramène en fait au cas de la propagation en milieu inhomogène au

repos, en introduisant un indice équivalent neff donné par :

θ+== cosVccest effective vitesselaoù c

cn 0eff

eff

0eff eq. 3- 7

θ désigne l'angle formé par la direction du vent et la direction initiale de propagation. Il

faut souligner dans ce cas que la présence d'un gradient de vent rend le milieu de

propagation non seulement inhomogène, à l'instar du cas de la réfraction due à un gradient

de température, mais aussi anisotrope (voir par exemple [Pridmore-Brown, 1961]). Ainsi le

champ de pression n'est plus symétrique, selon que l'on se trouve sous le vent, ou dans une

configuration où le trajet source-récepteur est opposé à la direction du vent. Le cas de la

propagation acoustique en présence de vent doit donc être considéré avec précaution – la

direction source-récepteur est en particulier importante - si l'on veut utiliser une fonction

de Green dans le but de décrire ces effets dans une méthode d'éléments finis de frontière.

De plus la présence d'obstacles dans l'écoulement perturbe celui-ci, aussi la fonction de

Green de ce problème n'est-elle pas simple, de manière générale, et nécessite-t-elle une

description approfondie sous la forme d'un problème complexe de mécanique des fluides.


- 77 -

Concernant la turbulence, qui sera laissée de côté par la suite, ajoutons tout de même

que la prise en compte des fluctuations du milieu se fait classiquement en considérant que

l'indice de réfraction n est une variable aléatoire dans l'équation eq. 3- 5 et en effectuant

une moyenne d'ensemble pour calculer les moments successifs du champ de pression :

partie cohérente de l'onde, corrélation, fluctuations d'intensité. Le système n'étant pas

"fermé", il est nécessaire d'introduire une hypothèse a priori, sur la corrélation

microscopique selon la direction moyenne de propagation, entre la fluctuation d'indice et

l'onde acoustique (cf [Juvé, 1992]). Cependant cette hypothèse, bien que donnant de bons

résultats pour les premiers moments, reste discutable pour le calcul des fluctuations

d'intensité. C'est pourquoi une approche nouvelle a été suivie récemment pour s'affranchir

de l'hypothèse de corrélation microscopique, consistant à résoudre une équation d'onde non

moyennée (déterministe) pour chaque réalisation du champ turbulent et à n'effectuer les

moyennes statistiques que sur le résultat de ces calculs sur un ensemble de réalisations.

Cette nouvelle approche, bien que coûteuse en temps de calcul permet de s'accommoder

assez facilement de conditions moyennes inhomogènes comme les gradients thermiques, la

présence d'un sol... Quoi qu'il en soit, le phénomène complexe de la turbulence fait

toujours l'objet de nombreux travaux de recherche ainsi qu'en attestent les recueils de

conférence des symposiums sur le thème "Long Range Sound Propagation", auxquels le

lecteur est invité à se référer pour plus de précision sur l'état d'avancement des études en ce

domaine.

Après ce bref paragraphe dédié à la formulation mathématique du problème physique de

la propagation acoustique en milieu inhomogène, la partie suivante passe en revue les

principaux modèles existant à l'heure actuelle, en soulignant leurs avantages et

inconvénients respectifs en vue de les utiliser comme fonction de Green de la méthode des

éléments finis de frontière.


- 78 -

3.3 Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu

inhomogène

3.3.1 Les méthodes de rayon

La méthode des rayons est une description lagrangienne de la propagation acoustique

qui consiste à suivre au cours du temps les déplacements d'une surface d'onde. On appelle

alors rayon acoustique la trajectoire complète d'un point donné issu de la source.

Mathématiquement, il s'agit de chercher une solution de l'équation de Helmholtz de la

forme (voir [Jensen, et al., 1994] par exemple) :

inconnues fonctions dessont )r(Aet )r(où )i(

)r(Ae)r(p

1jjj

j)r(i &&

&

&&

∑∞

=

ωτ τω

= eq. 3- 8

r est le vecteur position. En substituant cette expression de la pression acoustique dans

l'équation de Helmholtz et en égalant les termes du développement en ω, l'on obtient les

équations suivantes :

)r(c

1)r(grad

2

2

&

&

=τ eq. 3- 9

( )( )

=∆−=τ∆+τ=τ∆+τ

− 1,2,...jpour AA)r(Agrad).r(grad2

0A)r(Agrad).r(grad2

1jjj

00&&

&&

eq. 3- 10

La première équation eq. 3- 9 aux dérivées partielles non linéaire est connue sous le

nom d'équation eikonale et permet de déterminer la trajectoire des rayons ainsi que la

phase du champ de pression associée à chaque rayon. Les équations eq. 3- 10 aux dérivées

partielles linéaire sont appelées équations de transport et permettent de déterminer quant à

elles l'amplitude associée à chaque rayon. A ce stade, il peut apparaître abscons d'avoir

transformé le problème originel de l'équation de Helmholtz, qui est une équation aux

dérivées partielles linéaire, en une équation aux dérivées partielles non-linéaire et une série

infinie d'équations aux dérivées partielles linéaires. Cependant les modèles de rayon


- 79 -

reposent sur la simplification suivante : seul le premier terme de la série eq. 3- 8 est

conservé, ce qui constitue en fait une approximation haute fréquence. Le concept physique

de front d'onde est associé aux courbes de niveau de τ(r) où τ est une constante, et les

rayons sont les courbes perpendiculaires aux fronts d'ondes. Ainsi :

)r(grad cds

rd &

&

τ= eq. 3- 11

Le facteur c est introduit pour normaliser le vecteur tangent, le paramètre s représente

l'abscisse curviligne le long du rayon. Moyennant quelques manipulations mathématiques,

l'on peut réécrire cette équation sous la forme suivante :

c grad c

1

ds

rd

c

1

ds

d2

−=

&

eq. 3- 12

L'équation eq. 3- 12 représente l'équation vectorielle pour la trajectoire des rayons qui

est résolue par des techniques numériques classiques. Il est nécessaire, pour ce faire, de

définir les conditions initiales comme les angles sous-lesquels les rayons sont lancés ainsi

que la position de la source.

De façon pratique, il existe deux méthodes classiques de calcul des trajectoires des

rayons acoustiques : la loi de Snell et la méthode des caractéristiques. Dans les deux cas,

on fait l'hypothèse que le milieu propagatif est faiblement inhomogène et que les effets de

diffraction sont négligeables.

La loi de Snell provient de l'optique géométrique. On suppose que le milieu de

propagation est composé de couches horizontales caractérisées par une célérité du son c(z)

et une composante horizontale du vent V(z) dans une direction donnée. On exprime alors

que la propagation à la traversée de chaque plan horizontal se fait suivant un invariant égal

à :

tec)z(V)z(sin

)z(c =+θ eq. 3- 13

θ est l'angle d'incidence du rayon. A l'aide de eq. 3- 13, on peut suivre la trajectoire d'un

rayon acoustique pas à pas : en se fixant un incrément horizontal dx, on peut déterminer la

nouvelle incidence et l'incrément vertical dz. Attenborough et al. citent le modèle

ASOPRAT [Attenborough, et al., 1995], [Anonymous, 1991] basé sur cette méthode de


- 80 -

Snell, pour un profil de vitesse du son qui varie linéairement avec la hauteur dans chaque

couche horizontale de l'atmosphère.

La méthode des caractéristiques peut se déduire directement des équations de

conservation en milieu lentement variable. On peut montrer que l'on aboutit, après

linéarisation et quelques opérations algébriques au système vectoriel suivant :

−−=

+=

∑=

3

1iii V gradkc gradk

dt

kd

Vk

kc

dt

rd

&

&

&

&

&

&

eq. 3- 14

k est le vecteur d'onde local, orthogonal aux surfaces équiphases. On résout ce système

simplement, en fixant un incrément de temps dt, le vecteur d'onde initial et la position

initiale de la source. La trajectoire complète du rayon est ainsi obtenue de proche en proche

par incrémentation du pas de temps dt. Notons que le système eq. 3- 14 peut également

s'écrire sous la forme :

−−=

+=

∑=

3

1iii V gradk

c

1c grad

c

1k

ds

kd

c

V

k

k

ds

rd

&

&

&

&

&

&

eq. 3- 15

Au système eq. 3- 15 ou eq. 3- 14, il faut ajouter une information supplémentaire pour

calculer l'amplitude du champ de pression associé à chaque rayon. Ceci se fait en

considérant la section droite d'un tube de rayons infinitésimal et en écrivant que l'énergie

transportée par ce tube est constante. Ainsi si p0, ∆l0, sont respectivement la pression

acoustique, la distance entre les deux rayons très proches limitant le tube à l'abscisse

curviligne s0, et p1, ∆l1 les valeurs correspondantes en s1 alors on peut écrire la relation

suivante, exprimant la conservation de l'énergie dans le tube :

11

0001 ls

lspp

∆∆= eq. 3- 16

L'équation eq. 3- 16 signifie que la variation d'amplitude le long d'un tube de rayons est

inversement proportionnelle à la section droite de ce tube. Pour finir le calcul de la

pression acoustique en un point récepteur, tous les rayons atteignant ce point sont

déterminés et leurs contributions en amplitude et phase sont sommées en ce point.


- 81 -

La méthode des rayons offre l'avantage de donner lieu à des calculs relativement

simples et permet également de prendre en compte des profils quelconques de célérité et de

vitesse du vent, une topographie complexe et des effets tridimensionnels. En revanche, elle

souffre de deux limitations importantes, d'une part, en conditions de réfraction vers le haut,

la création de caustiques et de zones d'ombre pose problème, et d'autre part lors de la

réfraction vers le bas sur de grandes distances la présence de multiples chemins de

propagation n'est pas prise en compte. En ce qui concerne les caustiques qui apparaissent

lorsque des rayons adjacents se croisent, situation qui peut intervenir dans un milieu

homogène mais aussi surtout lors de la réfraction vers le haut et vers le bas, la section du

tube de rayons tend alors vers zéro et l'énergie acoustique devient infinie. Cette limitation

intervient dans la pratique également au voisinage de ces caustiques où la pression

acoustique devient très grande. De plus, survient également un changement de phase (π/2

selon Pierce [Pierce, 1991]) à la traversée d'une caustique, qui n'est pas, en général pris en

compte dans les modèles de rayon. Dans les cas de réfraction vers le haut, apparaît en outre

une zone d'ombre qui n'est pas prise en compte par la théorie des rayons puisqu'en-dessous

d'un rayon limite tangent au sol, aucun rayon ne pénètre dans cette zone où la pression

acoustique vaudrait alors zéro. La théorie des rayons prévoit donc une transition abrupte

lors du passage de la zone éclairée à la zone d'ombre, ce qui se traduit par une discontinuité

du champ de pression lors de cette transition. Le même problème se produit lorsqu’un

rayon à réflexions multiples apparaît.

Dans le cas de forts gradients positifs de vitesse du son, lorsque source et récepteur sont

près du sol et pour des distances de propagation importantes, certains rayons sont réfléchis

plusieurs fois par le sol. L'onde sonore suit ainsi différents trajets sous différentes

conditions atmosphériques et il est alors difficile de sommer toutes les contributions en un

point récepteur, qui plus est en ajoutant que des questions de cohérence et d'incohérence

des différentes ondes acoustiques doivent être prises en considération dans la somme

énergétique. C'est ainsi que le modèle ASOPRAT [Anonymous, 1991] ne prend en compte

dans ce cas que le rayon dont le chemin réfléchi est le plus court et qui normalement

représente l'amplitude la plus forte, dans le cas où le sol est absorbant.

Pour pallier ces limitations inhérentes aux modèles de rayons, deux nouvelles approches

ont été suivies. Tout d'abord, L'Espérance et al. [L'Espérance, et al., 1992] ont développé

un modèle de rayons heuristique qui prend en compte les effets combinés de la réfraction,


- 82 -

la turbulence, de la surface du sol d'impédance finie et de l'absorption atmosphérique. Ce

modèle part de l'hypothèse que la plupart des profils réels de vitesse du son peuvent être

approchés par un profil linéaire et utilise la différence de temps de parcours plutôt que de

chemin parcouru pour déterminer les interférences entre les rayons directs et réfléchis. De

plus, un indice de réfraction fluctuant permet de prendre en compte la cohérence partielle

des rayons causée par la turbulence atmosphérique. Dans des conditions de forte réfraction

vers le bas, le modèle heuristique décrit aussi la propagation des rayons subissant de

multiples réflexions. Lorsque l'on est en situation de réfraction vers le haut cependant, il

est nécessaire de recourir à une solution analytique dans la zone d'ombre : la série des

résidus [Pierce, 1991], [Berry et Daigle, 1988], qui sera décrite ultérieurement.

Toujours pour remédier aux limitations de la théorie des rayons, quelques auteurs ont

utilisé la méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], issue du domaine de la

géophysique [Cerveny, et al., 1982], et reprise en acoustique sous-marine [Porter et

Bucker, 1987]. Cette méthode cherche en fait à cumuler les avantages de la théorie

géométrique et de l'approximation parabolique (voir le paragraphe concernant l'équation

parabolique). On donne une épaisseur aux rayons sous la forme d'une répartition

d'amplitude gaussienne selon la normale et on effectue une approximation paraxiale dans

un système local lié à chaque rayon. En pratique, on résout d'abord le système classique

eq. 3- 15 pour obtenir le rayon central du faisceau, puis deux autres équations permettent

de déterminer la largeur du faisceau et la courbure du front de phase. Ainsi le faisceau

gaussien obtenu s'écrit sous la forme suivante, en reprenant les notations de [Gabillet, et

al., 1993] :

[ ] 2n))s(q/)s(p(5.0)s(iexp)s(rq/)s(cA)n,s(u +τω−= eq. 3- 17

où u est la pression acoustique, A une constante arbitraire, s l'abscisse curviligne, n

l'abscisse curviligne selon la normale au rayon soit la distance par rapport au rayon, et τ(s)

le temps de parcours donné par :

∫=τs

0ds

)s(c

1)s( eq. 3- 18

Les fonctions p et q sont données par le système d'équations qui suit :


- 83 -

∂∂−=

=

)s(c

)s(q

n

)s(c

ds

dp

)s(p)s(cds

dq

22

2 eq. 3- 19

Le champ total est alors reconstitué par sommation des contributions des différents

faisceaux résultant de la décomposition de la source et passant au voisinage du récepteur.

Le gros avantage de cette méthode est qu'elle permet de lisser les singularités du champ

acoustique et que notamment le calcul de la pression est possible au voisinage des

caustiques et dans les zones d'ombre dans le cas de la réfraction vers le haut. En revanche,

cette méthode convient mal aux cas où le récepteur est situé près du sol, cas de propagation

acoustique rasante.

On constate donc que les méthodes de rayons offrent l'avantage de conduire à des

calculs relativement simples et rapides, et peuvent permettre de prendre en compte des

profils de vitesse du son qui varient à la fois avec la distance et la hauteur. Cependant les

techniques de rayons souffrent en revanche de limitations au voisinage des caustiques,

dans les zones d'ombre, lors de multiples réflexions... Ces méthodes ont donné naissance à

de nombreuses applications ou extensions et sont toujours à l'ordre du jour. Notons que

bien que la plupart des travaux publiés portent sur des cas de propagation à partir de

sources ponctuelles, les mêmes concepts sont aisément adaptables au cas de sources

linéiques, en prenant garde de prendre en compte la déformation du tube d'énergie dans le

plan (cf eq. 3- 16), qui régit l'amplitude du signal, et en décrivant dans les conditions

initiales que la source émet des ondes cylindriques.

Dans le contexte de cette étude, il s'agit de s'appuyer sur un modèle susceptible de servir

de base à la fonction de Green utilisée dans la méthode d'éléments finis de frontière. La

pression acoustique calculée par ce modèle doit donc être une fonction bien définie en tout

point de l'espace ainsi que ses dérivées première et seconde par rapport à la normale. En

effet si l'on prend l'exemple d'un écran acoustique plongé dans un milieu inhomogène, elle

intervient trois fois dans la pratique, dans la BEM : d'une part elle fournit le champ

incident en l'absence de l'écran i.e le terme p0 dans eq. 4-6 et 4-9, d'autre part sa dérivée

seconde par rapport à la normale entre en jeu dans le calcul des éléments de la matrice (cf

eq. 4-9), et la dérivée première par rapport à la normale intervient dans le calcul final de la

pression en tout point de l'espace de l'équation eq. 4-24. Par conséquent, la méthode des

rayons apparaît limitée pour servir de noyau de Green à la formulation aux éléments finis


- 84 -

de frontière utilisée, puisque l'on assiste à des discontinuités brutales du champ de pression

dans certaines régions particulières mises en évidence ci-dessus, ce qui pose des problèmes

insurmontables pour la dérivation. En outre, les dérivées par rapport à la normales qui

interviennent ne peuvent être calculées que de façon numérique par l'emploi de méthodes

classiques de type différences finies (cf [Press, et al., 1992] par exemple). Or d'une part ces

méthodes peuvent être coûteuses sur le plan du calcul, d'autre part la dérivation numérique

reste une opération délicate sur le plan de la précision pouvant aboutir à des résultats

complètement erronés. Une solution pourrait toutefois consister à utiliser la théorie des

dipôles pour tenter de modéliser ces dérivées normales du champ de pression, qui sont en

fait similaires à la pression acoustique due au rayonnement d'un dipôle. Quoi qu'il en soit,

la théorie des rayons ne semble donc pas susceptible de fournir une fonction de Green

intéressante sur le plan de son utilisation numérique dans une méthode d'éléments finis de

frontière.


- 85 -

3.3.2 L'Equation Parabolique

La méthode de l'équation parabolique a été utilisée pour résoudre des problèmes de

propagation d'ondes dans de nombreux domaines, depuis le domaine de l'optique et de

l'électromagnétisme [Dockery, 1988] jusqu'à celui de la propagation acoustique dans

l'atmosphère [Gilbert et Di, 1992, Gilbert et White, 1989, Myers et McAninch, 1978,

White et Gilbert, 1991], en passant par les disciplines de la sismique [Claerbout, 1976] et

de l'acoustique sous-marine [Tappert, 1977]. Cette méthode repose sur l'hypothèse qu'il

existe un système de coordonnées dans lequel la pression acoustique est une fonction de

variables séparables, et une direction de propagation privilégiée. De plus on suppose que

l’onde émise par une source se propage toujours en s’éloignant de la source et que

l’énergie rétrodiffusée est négligeable. Cette hypothèse constitue déjà en soi une limitation

puisque dans le cas d’une source très proche d’un écran vertical par exemple, la

contribution du champ réfléchi par l’écran dans le champ diffracté ne peut être négligée.

En revanche, la méthode de l’équation parabolique permet de résoudre un certain

nombre de problèmes de propagation en présence de conditions météorologiques variées :

propagation au-dessus de sols d’impédance variable [Craddock et White, 1992],

d’obstacles de type colline, propagation à travers des zones de turbulence de grande échelle

[Noble, et al., 1990], ou encore à travers des milieux aléatoirement hétérogènes [Gilbert, et

al., 1990].

En termes mathématiques, il s’agit de transformer l’équation de Helmholtz qui est une

équation aux dérivées partielles elliptique, en une équation aux dérivées partielles

parabolique : l’équation d’onde parabolique. On a donc transformé un problème aux

conditions limites en un problème aux conditions initiales, ce qui est intéressant dans le cas

de la propagation d’ondes à travers des environnements complexes où il n’est que rarement

possible d’obtenir des solutions analytiques du problème aux conditions limites. A partir

de la connaissance d’un champ de pression initial, un algorithme de marche est suivi pour

propager de proche en proche le champ de la source au récepteur.

Décrivons les grandes étapes de la méthode de l’équation parabolique. Généralement on

suppose qu’il y a symétrie cylindrique du champ de pression c’est-à-dire que l’on néglige


- 86 -

les effets tridimensionnels représentés par les termes dépendant de la coordonnée

azimuthale θ dans un repère cylindrique dont l'origine est la source ponctuelle. Cela

signifie physiquement que la diffusion du champ d'un plan θ=cte à un autre est négligée. Il

faut cependant noter que quelques études ont été effectuées pour inclure ces termes

dépendant de θ (voir [Delrieux, 1991] par exemple). De plus, l'équation dépend tout de

même toujours de la direction du plan de propagation (r,z) par l'intermédiaire de l'indice n

fonction de r, θ et z de manière générale. On part donc de l'équation de Helmholtz à indice

variable (eq. 3- 5) que l'on réécrit en coordonnées cylindriques en tenant compte de la

symétrie azimuthale :

0pnkz

p

r

p

r

1

r

p 2202

2

2

2

=+∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 20

où r représente la portée horizontale et z la hauteur. En faisant l'hypothèse que la

propagation se fait suivant une direction privilégiée autour de l'axe r, on cherche la

pression sous la forme d'une onde cylindrique divergente, représentée par une fonction de

Hankel, et une fonction enveloppe ϕ(r,z) que l'on suppose faiblement variable avec la

distance :

)z,r()rk(H)z,r(p 010 ϕ= eq. 3- 21

En utilisant l'approximation, en champ lointain, de la fonction de Hankel :

)4/rk(i

00

10

0erk

2)rk(H π−

π≈ eq. 3- 22

On obtient l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit, valable pour k0r << 1 :

0)1n(kzr

ik2r

2202

2

02

2

=ϕ−+∂

ϕ∂+∂ϕ∂+

∂ϕ∂

eq. 3- 23

Notons qu'en prenant en compte les effets tridimensionnels, l'équation de Helmholtz

(eq. 3- 20) s'écrirait :

0pnkz

pp

r

1

r

p

r

1

r

p 2202

2

2

2

22

2

=+∂∂+

θ∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 24

Et l'on aboutirait alors, au lieu de eq. 3- 23 à :


- 87 -

0)1n(kr

ik2zr

1 22002

2

2

2

2=ϕ−+

∂ϕ∂+

∂ϕ∂+

θ∂ϕ∂

eq. 3- 25

Dans l'équation eq. 3- 23, on peut écrire que la dérivée seconde du champ de pression

par rapport à la portée est négligeable devant le produit du nombre d'onde et de la dérivée

par rapport à la portée de la pression, ce qui revient à supprimer les ondes rétrodiffusées (cf

[Delrieux, 1991]). Cette approximation est connue sous le nom d'approximation paraxiale

et permet d'aboutir de manière simple à l'équation parabolique standard de Tappert (cf

[Tappert, 1977]) valable pour des petits angles d'ouverture (voir annexe 3).

Il faut mentionner également que quelques auteurs [Gilbert et White, 1989], [Craddock

et White, 1992], [West, et al., 1992] ont récemment introduit une factorisation plus simple

du champ de pression que l'expression eq. 3- 21, basée sur les mêmes considérations

physiques :

)z,r(r

e)z,r(p

rik 0

ϕ= eq. 3- 26

A l'aide de cette expression, on aboutit à la même équation d'onde elliptique simplifiée

que eq. 3- 23.

En définissant deux opérateurs P et Q de la manière suivante :

2

2

20

2

zk

1nQet

rP

∂∂+≡

∂∂≡ eq. 3- 27

On réécrit l'équation eq. 3- 23 :

( ) 0)1Q(kPik2P 2200

2 =−++ eq. 3- 28

qui peut se mettre sous la forme :

[ ][ ] [ ] 0Q,PikQikikPQikikP 00000 =ϕ−ϕ++−+ eq. 3- 29

Le premier terme entre crochets représente l'onde divergente, le second l'onde

convergente et [P,Q] est le commutateur des opérateurs P et Q :

[ ] ϕ−ϕ=ϕ QPPQQ,P eq. 3- 30


- 88 -

Pour des milieux de propagation où l'indice de réfraction n'est fonction que de la

hauteur, les deux opérateurs P et Q commutent et le terme eq. 3- 30 est nul. Généralement

on fait l'hypothèse que la dépendance de l'indice de réfraction selon la portée r est faible,

de telle sorte que l'on peut négliger le terme du commutateur. En ne retenant que l'onde

progressive, l'on obtient alors l'équation aux dérivées partielles parabolique suivante :

ϕ

−

∂∂+=

∂ϕ∂

1zk

1nik

r 2

2

20

20 eq. 3- 31

On peut trouver dans [Galindo Arranz, 1996] une discussion sur l'erreur réalisée en se

plaçant sous les trois hypothèses classiques énoncées ci-dessus pour effectuer la

transformation de l'équation de Helmholtz en l'équation d'ondes parabolique :

l'approximation champ lointain de la fonction de Hankel, l'hypothèse que le commutateur

est négligeable et le fait de ne retenir que l'onde progressive. Dans le cas de la propagation

acoustique en milieu extérieur à longue distance, la première approximation est pertinente ;

la deuxième hypothèse est exacte pour les milieux de propagation stratifiés verticalement,

et de second ordre en ∆r et dépendant de la valeur du gradient de vitesse du son dans le cas

général ; quant à la dernière hypothèse, elle est correctement vérifiée dans les cas de

propagation à longue distance. On peut d'ailleurs trouver dans le domaine de l'acoustique

sous-marine des travaux incluant la rétrodiffusion en s'appuyant sur une équation

parabolique dans les deux sens [Collins et Evans, 1992].

Les différents modèles d'équation parabolique qui découlent de l’écriture de l’opérateur

du membre de droite de l’équation eq. 3- 31, présentés dans l’annexe I, décrivent la

propagation acoustique pour une source ponctuelle, ce qui présente un intérêt dans le but

d'insérer l'un de ces modèles dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. Dans le

cas d'une BEM bidimensionnelle comme BEMAS2D, il convient tout d'abord d'examiner

la possibilité d'adapter la théorie qui précède au cas d'une source linéique. Dans ce cas, il

est plus commode d'écrire l'équation de Helmholtz de départ en coordonnées cartésiennes.

On suppose que la source linéique est positionnée selon l'axe (Oy), ce qui signifie que le

problème a lieu dans le plan (x,z). On peut alors écrire l'équation de Helmholtz à indice

variable eq. 3- 5, en dehors des sources, dans le système de coordonnées cartésiennes, de la

manière suivante :

0pnkz

p

x

p 2202

2

2

2

=+∂∂+

∂∂

eq. 3- 32


- 89 -

De la même manière que pour eq. 3- 21, on peut alors chercher cette fois-ci à

représenter la pression sous la forme du produit d'une exponentielle et d'une fonction

enveloppe faiblement variable avec la distance :

)z,x(e)z,x(p xik 0 ϕ= eq. 3- 33

En reportant cette expression dans l'équation eq. 3- 32, on peut montrer très facilement

que la fonction enveloppe ϕ est solution de l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit :

0)1n(kzx

ik2x

2202

2

02

2

=ϕ−+∂

ϕ∂+∂ϕ∂+

∂ϕ∂

eq. 3- 34

On constate que cette équation est la même que eq. 3- 23, la variable x prenant la place

de la portée r. Par conséquent en suivant la même méthodologie que ci-dessus pour le cas

de la source ponctuelle, on peut aisément construire la solution pour une source linéique.

Ce résultat important permet de conclure que les codes de calcul basés sur la méthode de

l'équation parabolique pour une source ponctuelle sont très facilement adaptables au cas du

rayonnement cylindrique d'une source linéique, moyennant un changement dans le calcul

final de la pression, la formule eq. 3- 33 venant remplacer eq. 3- 21.

Au travers de ce paragraphe et de l’annexe I, on constate donc la variété d'équations

paraboliques existant ainsi que la puissance de cette approche pour résoudre les problèmes

de propagation acoustique en milieu extérieur, qu'il soit homogène ou inhomogène. Cette

méthode permet de plus de pouvoir décrire la propagation acoustique dans le cas plus

réaliste d'un milieu dont les propriétés varient avec la distance (c'est-à-dire que l'indice

variable n n'est plus fonction seulement de la hauteur mais aussi de la portée r – ou x dans

le cas d’une source cylindrique). Le lecteur est invité à se reporter aux références citées

pour plus de détails. Cependant dans l'optique d'une utilisation en tant que fonction de

Green d'une méthode d'éléments finis de frontière, cette formulation pose, de même que la

méthode des rayons, le problème des dérivées première et seconde par rapport à la

normale. En effet, ces dérivées ne peuvent, dans ce cas, qu'être numériques, avec les

inconvénients soulevés dans le paragraphe précédent. De plus, pour pouvoir utiliser des

méthodes basées sur des différences finies pour calculer la valeur des dérivées en jeu, on

doit nécessairement connaître les valeurs du champ de pression en des points très proches,

ce qui peut soit être très coûteux en temps de calcul, tout en étant très imprécis, soit

impossible à réaliser à cause de l'échantillonnage imposé par la transformée de Fourier


- 90 -

rapide dans le cas de la GFPE par exemple. En revanche, il semblerait qu'un couplage

judicieux entre une équation parabolique et une méthode d'éléments finis de frontière

pourrait permettre d'allier les avantages des deux méthodes : en effet, l'utilisation d'une

BEM permettrait de décrire n'importe quel type de topographie accidentée et de propriété

d'absorption de la frontière du domaine de propagation, par exemple un obstacle ou objet

diffractant de type écran acoustique de forme complexe, et la valeur du champ de pression

calculée par cette BEM pourrait servir de champ initial à l'équation parabolique utilisée,

grâce à laquelle la solution pourrait être "propagée" de pas en pas, très rapidement, via la

GFPE par exemple.


- 91 -

3.3.3 Le Fast Field Program

Le Fast Field Program, communément appelé FFP, est une technique numérique

développée à l'origine en acoustique sous-marine (cf [Di Napoli et Deavenport, 1980]) et

adaptée ensuite aux problèmes de propagation acoustique dans l'atmosphère (voir [Raspet,

et al., 1985]). L'idée repose sur des techniques de transformations intégrales mettant à

profit le fait que les coefficients de l'équation de Helmholtz et les conditions aux limites

sont indépendants d'une ou plusieurs coordonnées spatiales. L'utilisation d'une

transformation intégrale permet alors de diminuer de un la dimension de l'équation d'onde

et des conditions aux limites. Dans le cas de milieux stratifiés horizontalement, cette

méthode est désignée sous le nom général de technique d'intégration du nombre d'onde

(wavenumber integration technique), on peut également rencontrer le terme de méthode du

nombre d'onde discret (discrete wavenumber method) en sismique. Le champ acoustique se

présente sous la forme d'une intégrale dans le domaine spectral des solutions de l'équation

d'onde séparée dépendant de la hauteur (depth-separated wave equation). En acoustique

sous-marine, les approches basées sur l'intégration dans le domaine du nombre d'onde sont

appelées FFP à cause de l'utilisation de transformées de Fourier rapides (Fast Fourier

Transforms en anglais) pour le calcul numérique des intégrales spectrales en jeu.

La FFP permet en fait de calculer la pression acoustique au-dessus d'un sol plan

d'impédance finie, due à une source ponctuelle, en n'importe quel point récepteur, dans une

atmosphère stratifiée horizontalement. Grâce à cette dernière hypothèse de stratification de

l'atmosphère, la vitesse du son et la composante horizontale de la vitesse du vent peuvent

être prises en compte arbitrairement en fonction de la hauteur. On suppose toutefois que le

vent est invariant avec la coordonnée azimuthale θ et radial à partir de la source sonore.

Ceci signifie qu'il n'y a pas de variation d'aucune grandeur avec l'azimuth, et aucune

variation non plus de la vitesse du son et du vent, ni de l'absorption du sol radialement à

partir de la source. Ces hypothèses permettent de réduire de un la dimension géométrique

du problème. On effectue en effet une transformation de Bessel de l'équation de Helmholtz

à indice variable (eq. 3- 20), exprimée en coordonnées cylindriques et en négligeant la


- 92 -

dépendance azimuthale. On obtient alors l'équation d'onde transformée dépendant de la

hauteur, que l'on peut résoudre dans chaque couche atmosphérique horizontale.

Détaillons la méthode de la FFP. On part de l'équation de Helmholtz en coordonnées

cylindriques avec terme source dans le cas d'une source ponctuelle :

)zz()r(r

2pnk

z

p

r

p

r

1

r

pS

2202

2

2

2

−δδ−=+∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 35

qui correspond à l'équation de départ suivante :

)zz,r(4)z,r(pnkp S22

0 −πδ−=+∆ eq. 3- 36

En effectuant la transformation de Bessel d'ordre zéro de l'équation eq. 3- 35, il est

possible de supprimer la dépendance en r. La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :

∫∞

=0 0 rdr)Kr(J)z,r(p)z,K(P eq. 3- 37

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :

∫∞

=0 0 KdK)Kr(J)z,K(P)z,r(p eq. 3- 38

Après application de la transformation de Bessel, l'équation eq. 3- 35 devient :

[ ] )zz(2PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ−=−+ eq. 3- 39

où K est le nombre d'onde horizontal. L'équation eq. 3- 39 est connue sous le nom

d'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur. Elle permet de réduire le problème

à un problème monodimensionnel et forme en fait le point de départ de la FFP.

La solution de l'équation eq. 3- 39 est la somme d'une solution particulière )z,K(Pˆ et de

n'importe quelle combinaison linéaire des deux solutions indépendantes P-(K,z) et P+(K,z)

de l'équation homogène correspondant (i.e dont le membre de droite vaut zéro). On peut

donc écrire :

)z,K(P)K(A)z,K(P)K(A)z,K(P)z,K(P ++−− ++= eq. 3- 40

où A-(K) et A+(K) sont des coefficients à déterminer grâce aux conditions aux limites, à

savoir continuité de la pression et de la composante verticale de la vitesse particulaire à


- 93 -

l'interface entre chaque couche horizontale. Pour la solution particulière, il est commode de

choisir le champ de pression produit par la ou les sources en l'absence de frontières. Une

fois que les coefficients inconnus ont été calculés, le champ total à fréquence donnée peut

être reconstruit par la transformation de Bessel inverse eq. 3- 38. La figure 3. 1 illustre la

stratification de l'atmosphère en couches à l'intérieur desquelles il faut chercher la solution

de eq. 3- 39 sous la forme de eq. 3- 40.

figure 3. 1 : Stratification horizontale de l'atmosphère.

Les différentes variantes de la méthode FFP se distinguent selon la manière dont la

vitesse du son est prise en compte dans chaque strate horizontale de l'atmosphère, ce qui

conditionne l'écriture de la solution analytique exacte pour le champ de pression (eq. 3- 40)

dans chacune de ces strates. Ces différentes variantes sont présentées plus précisément

dans l’annexe II.

La dernière étape commune à toutes les méthodes FFP consiste, après détermination des

coefficients inconnus de eq. 3- 40, à évaluer les intégrales des transformées de Bessel eq.


- 94 -

3- 38. Pour ce faire, la fonction de Bessel est remplacée par la somme de deux fonctions de

Hankel :

[ ])Kr(H)Kr(H2

1)Kr(J 2

0100 += eq. 3- 41

où H01 et H0

2, fonctions de Hankel d'ordre zéro de première et de deuxième espèce,

représentent respectivement, avec la convention temporelle en e-iωt, les ondes progressives

s'éloignant de la source et se dirigeant vers la source. On ne conserve que le premier terme,

pour l'onde quittant la source, et on le remplace par son développement asymptotique :

1Krpour r

e

K

2)Kr(H

)4/Kr(i10 >>

π≈

π−

eq. 3- 42

On obtient donc à la place de eq. 3- 38, l'intégrale suivante :

∫∞π−

π≈

0

iKr4/i dKKe)z,K(Per2

1)z,r(p eq. 3- 43

Notons que Li [Li et White, 1994] a récemment critiqué cette approximation. Cet auteur

considère que le terme représentant l'onde arrivant vers la source et faisant intervenir la

fonction de Hankel d'ordre zéro et de deuxième espèce ne doit pas être négligé, en

particulier pour le calcul à basse fréquence de la pression acoustique au-dessus d'une

surface d'impédance nulle. Bien que cette dernière condition ne corresponde pas à des cas

rencontrés dans la réalité, le calcul supplémentaire du second terme n'augmente de toutes

façons que de très peu le coût numérique.

Après avoir écrit la pression sous la forme eq. 3- 43, on remplace l'intégrale indéfinie

par une somme discrète en utilisant la théorie des transformées discrètes de Fourier. Si la

valeur maximale du nombre d'onde est Kmax et que N valeurs discrètes de K sont utilisées

alors les intervalles de nombre d'onde sont donnés par :

)1N/(KK max −=∆ eq. 3- 44

et correspondent aux intervalles suivant la portée :

KN/2r ∆π=∆ eq. 3- 45

Ainsi l'on a :


- 95 -

∑−

=

π∆π

−=1N

0n

N/mni2nn

m

m eK)K(PKr

1

2

)i1()z,r(p eq. 3- 46

avec Kn=n∆K et rm=m∆r (ou r0+ m∆r). L'expression eq. 3- 46 peut être calculée par un

algorithme de type transformée de Fourier rapide (FFT).

Généralement il n'est pas très facile de tronquer l'intégrale eq. 3- 43 en une somme finie

selon le comportement de l'intégrande (voir à ce sujet les discussions dans [Güdesen, 1990]

et [Richards et Attenborough, 1986]). De plus dans les modèles CERL-FFP, SAFARI ou

FFLAGS (cf annexe II), il n'est pas possible de spécifier le nombre de points désirés

indépendamment de la taille du pas utilisé pour les nombres d'onde horizontaux K à cause

de la relation ∆K∆r=2π/N. En revanche, le modèle CFFP utilise les intervalles suivant

selon la portée : ∆r=2nπ/Kmax où n peut être n'importe quel nombre réel. Ce modèle, qui

calcule la somme eq. 3- 46 par le biais d'une transformation appelée chirp-z transform [Li,

et al., 1991], permet ainsi de choisir à la fois les distances voulues et de faire décroître

l'intervalle ∆K de façon adaptative, pour évaluer avec précision les intégrales des

transformations de Hankel sans pour autant changer les valeurs des distances en sortie du

code de calcul.

L'expression eq. 3- 38 montre en outre, dans le cas d'une source ponctuelle, que les

variables de portée, selon r, et les variables de hauteur, selon z, sont découplées dans la

représentation de la pression. L'allure de la solution sous cette forme est donc

particulièrement intéressante, puisque la fonction de Green intervient dans la BEM, outre

dans l'expression du champ incident, à travers ses dérivées première et seconde par rapport

à la normale (voir les chapitres 2 et 4). Or la dérivée d'une fonction par rapport à la

normale est en fait le produit scalaire du gradient de cette fonction et de la normale, et le

gradient met en jeu les dérivées par rapport à la portée et la hauteur (cf eq. 4- 44 et eq. 4-

45). On constate donc que l'expression eq. 3- 38 permet de calculer les dérivées normales

de la fonction de Green nécessaires au déroulement de la méthode des éléments finis de

frontière. On a ainsi, pour la dérivée du champ de pression par rapport à la portée :

dKK)Kr(J)z,K(Pr

p 210∫

∞−=

∂∂

eq. 3- 47

Les propriétés de la fonction J1, fonction de Bessel d'ordre 1 (cf [Abramowitz et Stegun,

1972]) et le fait que la pression dépendant de la hauteur P reste bornée physiquement,


- 96 -

assurent la convergence de l'intégrale ci-dessus. Pour la dérivée selon la variable z, on a, de

la même manière :

KdK)Kr(J)z,K(z

P

z

p00∫

∞

∂∂=

∂∂

eq. 3- 48

Là encore, le comportement des fonctions J0 et P assure que l'intégrale est bien définie

de même que pour l'expression de eq. 3- 38.

Les dérivées secondes suivantes interviennent aussi dans le calcul des éléments de la

matrice impliquée dans la BEM (cf eq. 4- 54 à 4- 57) :

dKK)Kr('J)z,K(Pr

p 3102

2

∫∞

−=∂∂

eq. 3- 49

KdK)Kr(J)z,K(z

P

z

p00 2

2

2

2

∫∞

∂∂=

∂∂

eq. 3- 50

dKK)Kr(J)z,K(z

P

zr

p 210

2

∫∞

∂∂−=

∂∂∂

eq. 3- 51

Pour le calcul de l'expression eq. 3- 49, on peut se rapporter au calcul d'intégrales déjà

effectuées en utilisant une propriété de la dérivée des fonctions de Bessel [Abramowitz et

Stegun, 1972] :

)z(Jz

1)z(J)z('J 101 −= eq. 3- 52

On peut également vérifier aisément que toutes les expressions (eq. 3- 49, eq. 3- 50 et

eq. 3- 51) sont bien définies et permettent donc de calculer les dérivées premières et

secondes par rapport à la normale en tout point en revenant à la définition basée sur le

produit scalaire du gradient et de la normale.

Pour calculer ces dérivées première et seconde par rapport à la normale (eq. 3- 47, à eq.

3- 51) on peut alors adopter la même démarche que la méthodologie suivie dans la FFP

pour calculer le champ de pression p(r,z). En effet, en utilisant dans chaque strate

horizontale de l'atmosphère, la solution P(K,z) ou sa dérivée première ou seconde par

rapport à la hauteur z, et en remplaçant toujours les fonctions de Bessel J0 et J1 par une

somme de fonctions de Hankel puis par le développement asymptotique du terme

correspondant à l'onde s'éloignant de la source, on peut se rapporter aussi à l'écriture d'une

transformée de Fourier discrète calculée efficacement par un algorithme FFT.


- 97 -

En gardant présent à l'esprit le but de cet examen des modèles propagatifs existants, à

savoir que l'on cherche à s'appuyer sur une solution suffisamment efficace sur le plan

numérique pour l'introduire en tant que fonction de Green dans une méthode d'éléments

finis de frontière, une première remarque importante s'impose : la théorie des modèles FFP

présentée ci-dessus considère, comme pour le modèle de l'équation parabolique, le

rayonnement de sources ponctuelles. Ceci est intéressant pour des méthodes d'éléments

finis de frontière tridimensionnelles, cependant en vue d'utiliser la FFP dans une BEM 2D,

il faut d'abord chercher la solution du problème à géométrie plane pour une source

cylindrique. Ainsi dans le cas d'une ligne source parallèle à la stratification de

l'atmosphère, comme pour la théorie de l'équation parabolique exposée au paragraphe

précédent, il est plus naturel de choisir un système de coordonnées cartésiennes (x,y,z),

dans lequel la source linéique est parallèle à l'axe (0,y). Le champ de pression étant alors

indépendant de la coordonnée y, la dimension de l'équation de Helmholtz est réduite à

deux (variables x et z), et l'on peut réécrire l'équation eq. 3- 36, pour une ligne source en

(x,z)=(0,zS) :

)zz()x(4pnkz

p

x

pS

2202

2

2

2

−δπδ−=+∂∂+

∂∂

eq. 3- 53

En effectuant la transformation de Fourier de l'équation eq. 3- 53, il est possible de

s'affranchir de la dépendance en x. La transformée P(K,z) de la fonction p(x,z) se présente

sous la forme :

∫∞

∞−

−

π= dxe)z,x(p

2

1)z,K(P iKx

eq. 3- 54

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−= dKe)z,K(P)z,x(p iKx

eq. 3- 55

Après application de la transformation de Fourier, l'équation eq. 3- 53 devient :

[ ] )zz(2PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ−=−+ eq. 3- 56

Cette dernière équation, similaire à l'équation eq. 3- 39 obtenue pour une source

ponctuelle en échangeant les variables r et x, montre que la solution du problème pour une

source linéique s'obtient facilement à partir des résultats précédents dans le cas d'une

source ponctuelle. En effet, les transformées des conditions aux limites sont également


- 98 -

semblables, aussi la solution de l'équation eq. 3- 39 peut-elle être utilisée comme noyau

pour la transformée inverse eq. 3- 55, ce qui permet de calculer aisément le champ de

pression rayonnée par une ligne source. L'utilisation d'une solution de type FFP comme

noyau de Green d'une BEM 2D ne pose donc, à ce stade, pas de problème a priori.

Les formules eq. 3- 38, eq. 3- 47 à eq. 3- 52 concernent le cas d'une source ponctuelle

et sont susceptibles de servir de base au calcul de la fonction de Green d'une méthode

d'éléments finis de frontière tridimensionnelle. Dans le but d'utiliser une BEM 2D, on peut

écrire ainsi, pour une source linéique, à la place de l’équation eq. 3- 38 la formule eq. 3-

55, et les expressions eq. 3- 47 à eq. 3- 51 deviennent :

dKe)z,K(iKPx

p iKx∫∞

∞−=

∂∂

eq. 3- 57

dKe)z,K(z

P

z

p iKx∫∞

∞− ∂∂=

∂∂

eq. 3- 58

dKKe)z,K(Px

p 2iKx2

2

∫∞

∞−−=

∂∂

eq. 3- 59

dKe)z,K(z

P

z

p iKx2

2

2

2

∫∞

∞− ∂∂=

∂∂

eq. 3- 60

dKe)z,K(z

PiK

zx

p iKx2

∫∞

∞− ∂∂=

∂∂∂

eq. 3- 61

On constate que le calcul des dérivées normales première et seconde ne pose pas non

plus de problème dans le cas d'une source linéique. De la même manière que ci-dessus

pour une source ponctuelle, on peut alors adopter aussi la même démarche que la

méthodologie suivie dans la FFP pour calculer le champ de pression p(x,z). Ainsi il semble

que les codes de calcul FFP peuvent être adaptés au calcul de la fonction de Green et de ses

dérivées par rapport à la normale entrant en jeu dans une BEM.

Cependant plusieurs problèmes peuvent se poser. Considérons le cas simple d'un écran

droit rigide sur un sol plan, cas résolu en milieu homogène dans le chapitre 4, présentant la

méthode d'éléments finis de frontière utilisée dans ce travail. D'une part la valeur de la

dérivée par rapport à la normale de la fonction de Green doit être connue en plusieurs

points situés sur l'écran (cf eq. 4- 10), à cause du terme impliquant la source dans la

formulation intégrale de départ eq. 4- 6, et également du terme calculé au récepteur dans

l'expression intégrale finale de la pression eq. 4- 24 ; d'autre part les coefficients de la


- 99 -

matrice mettent en jeu les dérivées secondes par rapport à la normale de la fonction de

Green entre deux points courants situés sur l'écran (voir eq. 4- 11 et 4- 12). Dans le cas où

deux points sont très proches, le calcul par la FFP doit alors être remplacé par des

expressions approchées valables en champ proche. On verra comment une approximation

correcte peut être effectuée pour s'affranchir du problème de la dérivée seconde de la

fonction de Green sur l'écran dans le chapitre 6 qui présentera le modèle Météo-BEM. En

revanche un problème épineux se posera concernant la possibilité ou non, évoquée ci-

dessus, de choisir la position des points à cause de la relation imposée entre les pas ∆K et

∆r (eq. 3- 45), or on veut pouvoir choisir des distances arbitraires entre les points, ce qui

exclut les approches CERL-FFP, SAFARI et FFLAGS, seule la méthode CFFP pouvant

conduire à un tel degré de liberté sur la position des points. De plus, même si grâce à la

technique de la matrice globale, présentée dans l'annexe II, il est possible de calculer

simultanément le champ total à des hauteurs différentes, ce qui est particulièrement

attractif pour évaluer les termes incluant des dérivées par rapport à la normale sur un

certain nombre de points situés sur l'écran, le temps de calcul global pour la méthode

d'éléments finis de frontière en milieu inhomogène risque de devenir prohibitif et les

erreurs numériques se cumulant peuvent conduire à des incertitudes importantes dans le

résultat. Une tentative a été effectuée pour essayer d'incorporer une solution de type FFP

dans une formulation BEM [Taherzadeh, et al., 1998] mais n'a pas, semble-t-il, donné

entièrement satisfaction, et n'a pas donné suite à d'autres développements. Par conséquent,

à ce stade de l'étude, la solution FFP du problème en milieu inhomogène n'est pas non plus

retenue parmi les candidats à la fonction de Green recherchée pour l'introduction des effets

météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière.


- 100 -

3.3.4 Les solutions analytiques

Les solutions analytiques sont présentées rapidement dans ce paragraphe (voir l'article

de référence [Attenborough, et al., 1995], elles seront exposées en détail dans une partie

ultérieure. L'obtention de ces solutions est rappelée brièvement ainsi que leurs limitations

et avantages. Cette partie présente tout d'abord une solution analytique classique pour

l'effet de sol en milieu homogène, qui servira de base à un modèle géométrique valable en

situation de réfraction vers le haut. Puis les deux grandes solutions analytiques des modes

normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la réfraction vers le

haut seront passées en revue.

3.3.4.1 La solution analytique de l'effet de sol en milieu homogène

La propagation d'ondes sphériques au-dessus d'un sol d'impédance finie a fait l'objet de

nombreuses recherches, depuis les premiers résultats théoriques obtenus au début du siècle

par Sommerfeld [Sommerfeld, 1909] et Weyl [Weyl, 1919]. De nombreux développements

théoriques ont ensuite été effectués [Rudnik, 1947], [Ingard, 1951], suivis par des travaux

débouchant sur des solutions approchées [Thomasson, 1976], [Chien et Soroka, 1975],

[Thomasson, 1976], [Donato, 1976], [Chien et Soroka, 1980], [Kawai, et al., 1982],

[Rasmussen, 1982], [Di et Gilbert, 1993] et [Delany et Bazley, 1970], qui se sont avérées

très précises dans le cadre de la propagation acoustique en milieu extérieur. C'est ainsi que

les chercheurs ont abouti à différents modèles caractérisant les propriétés acoustiques du

sol [Delany et Bazley, 1970], [Chessell, 1977], [Thomasson, 1977], [Attenborough, 1985],

[Attenborough, 1992], permettant de bien connaître aujourd'hui les mécanismes de la

propagation en milieu homogène au-dessus d'un sol absorbant.

Considérons le problème de la propagation d'une onde sphérique issue d'une source

ponctuelle S en milieu homogène. Dans ce cas, les trajectoires des rayons sont rectilignes.

Le son se propage vers le récepteur R le long d'un rayon direct de longueur R1 et d'un

rayon réfléchi par le sol, de longueur R2, avec un angle d'incidence θ (voir figure 3. 2).


- 101 -

figure 3. 2 : Propagation acoustique au-dessus d'un sol plan absorbant en milieu homogène.

En utilisant une formulation de Weyl-Van der Pol, la pression acoustique peut alors se

mettre sous la forme [Chien et Soroka, 1980] :

21 ikR

2

2ikR

1

1 eR

)R(AQe

R

)R(A)z,r(p += eq. 3- 62

L'amplitude A(R) prend en compte l'absorption atmosphérique et Q est le coefficient de

réflexion modifié pour décrire la réflexion d'une onde sphérique sur un sol plan absorbant.

Une bonne approximation de Q dans le cas d'une surface à réaction localisée est donnée

par :

( ) )w(F)(R1)(RQ pp θ−+θ=eq. 3- 63

avec Rp(θ) le coefficient de réflexion pour une onde plane et la fonction F faisant

intervenir la distance numérique w et la fonction erreur complémentaire. On a :

1cosZ

1cosZ)(Rp +θ

−θ=θ eq. 3- 64

22

2 )Z/1(cosikR2

1w +θ= eq. 3- 65

)iw(erfcwei1)w(F w −π+= −eq. 3- 66

Z représente l'impédance acoustique normalisée du sol. On peut trouver dans

[Attenborough, et al., 1980] des expressions appropriées correspondant à eq. 3- 64 et eq. 3-

65 pour le cas d'un sol à réaction étendue.

Dans le cadre de ce travail, il faut tout d'abord adapter la solution au cas d'une source

cylindrique. Ceci peut être fait aisément en considérant que le rayonnement se fait non plus

selon une loi en eikR/R, mais selon une loi en H0(kR). Il faut cependant prendre garde au


- 102 -

fait que la formule eq. 3- 63 du coefficient de réflexion est, de manière rigoureuse, valable

pour une onde sphérique. On pourra, en première approximation, considérer que ce

coefficient pour une onde cylindrique est proche de celui de l'onde sphérique, en

s'appuyant sur les travaux de Chandler-Wilde [Chandler-Wilde, 1988]. En outre, la

solution eq. 3- 62 peut poser des problèmes en incidence rasante, ce qui est gênant pour le

calcul de la fonction de Green et de ses dérivées en deux points proches, au voisinage du

sol. De plus, il faut également évidemment modifier cette solution pour pouvoir prendre en

compte des effets météorologiques. Ceci peut se réaliser, notamment dans le cas de la

réfraction vers le haut, en utilisant l'idée astucieuse (voir [Berry et Daigle, 1988] par

exemple) selon laquelle il existe une analogie entre la propagation dans un milieu

inhomogène au-dessus d'un sol plan et la propagation en milieu homogène au-dessus d'une

surface courbée, qui simule de fait la courbure des rayons occasionnée par la réfraction.

Cette analogie sera présentée plus en détail au chapitre 5. Il faut alors, dans ce cas de

réfraction vers le haut, prendre en compte en outre la déformation du tube de rayons (cf eq.

3- 16) due à la courbure de la surface. On constate donc que la solution adaptée à partir de

eq. 3- 62 n'est plus purement analytique et fait intervenir des approximations. En outre, le

calcul des dérivées normales ne semble pas réalisable sous une forme "analytique"

intéressante pour la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière. Par

conséquent, il semble qu'il faille dans ce cas recourir à une dérivation numérique de type

différences finies avec les problèmes que cela implique en précision et temps de calcul,

problèmes déjà évoqués dans les paragraphes précédents.

3.3.4.2 Les solutions analytiques de type techniques spectrales

Ces solutions font en fait partie avec la FFP de méthodes appelées techniques

spectrales, puisqu'elles s'appuient au départ sur une formulation semblable du champ de

pression, faisant intervenir, pour une source ponctuelle, une transformation de Hankel.

Dans le cas de la réfraction vers le bas, la solution analytique correspondant est connue

sous le nom de solution des modes normaux tandis que pour le cas de la réfraction vers le

haut, on parle de série des résidus.

En supposant que le milieu est à symétrie cylindrique i.e qu'il n'y a aucune variation

avec l'angle azimuthal θ, on part ainsi de l'équation de Helmholtz à indice variable écrite


- 103 -

en coordonnées cylindriques eq. 3- 35, et l'on applique une transformation intégrale de

Hankel pour réduire de un la dimensionalité du problème.

La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :

∫∞

∞−−= rdr)Kr(H)z,r(p)z,K(P 1

0 eq. 3- 67

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−−= KdK)Kr(H)z,K(P)z,r(p 1

0 eq. 3- 68

Après application de la transformation de Hankel, l'équation eq. 3- 35 devient :

[ ] )zz(PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ=−+ eq. 3- 69

La fonction P(K,z) doit satisfaire une condition aux limites d'impédance sur le sol, elle

doit être continue à la source, avoir une discontinuité de sa dérivée avec la hauteur à la

hauteur de la source, et doit également remplir la condition de rayonnement de

Sommerfeld à des grandes hauteurs.

Si l'on peut représenter la variation de la vitesse du son avec la hauteur sous la forme

suivante, dans le cas de la réfraction vers le bas :

)az1)(0(caz21

)0(c)z(c +≈

−= eq. 3- 70

ou, en situation de réfraction vers le haut :

)az1)(0(caz21

)0(c)z(c −≈

+= eq. 3- 71

on peut trouver des solutions analytiques pour P(K,z) faisant intervenir des fonctions de

Airy. Cette écriture est intéressante puisque ces fonctions de Airy ne présentent pas de

coupures dans le plan complexe, ce qui simplifie l'analyse et la recherche des pôles. On

reporte alors la solution en termes de fonctions de Airy dans l'intégrale spectrale de départ

eq. 3- 68, que l'on peut calculer de différentes manières. Ainsi Rasmussen [Rasmussen,

1986] obtient-il la solution de l'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur eq. 3-

69 sous la forme de fonctions de Fock, reliées directement aux fonctions de Airy, et cet

auteur calcule alors l'intégrale par des techniques numériques. Pierce [Pierce, 1991] évalue

cette intégrale dans le cas de la réfraction vers le haut en recourant à une intégration de


- 104 -

contour dans le plan complexe et en calculant l'intégrale sous la forme de la somme des

résidus en chaque pôle. Puis d'autres auteurs [Berry et Daigle, 1988] ont amélioré la

précision des calculs en éliminant quelques approximations effectuées par Pierce.

La série des résidus obtenue est considérée comme une solution analytique exacte (cf

[Attenborough, et al., 1995]), bien que rigoureusement elle constitue une approximation,

très bonne, de l'intégrale de départ eq. 3- 68. A cette série des résidus dans le cas de la

réfraction vers le haut, correspond, de la même manière, une solution approchée de

l'équation d'onde dépendant de la hauteur et basée sur la théorie des modes normaux,

valable en situation de réfraction vers le bas.

Ce qui précède est valable pour une source ponctuelle. Dans le cas du rayonnement

cylindrique d'une source linéique, on part de l'équation eq. 3- 53. Pour réduire la

dimensionalité du problème, on utilise cette fois une transformation de type Fourier définie

par les deux expressions suivantes :

∫∞

∞−

−

π−= dxe)z,x(p

4

1)z,K(P iKx

eq. 3- 72

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−−= dKe)z,K(P2)z,x(p iKx

eq. 3- 73

Après application de cette transformation à l'équation eq. 3- 53, on trouve que la

fonction z)(K,P est solution de eq. 3- 69, ce qui signifie que les résultats pour une source

ponctuelle sont aisément transposables au cas d'une source cylindrique, en utilisant la

même fonction de Green dépendant de la hauteur et la formule eq. 3- 73.

3.3.4.3 La solution des modes no rmaux pour la réfraction vers le bas

Cette méthode a été utilisée depuis de nombreuses années en acoustique sous-marine (cf

[Buckingham, 1992], [Jensen, et al., 1994]) puis dans le domaine de la sismique [Aki et

Richards, 1980]. L'idée en est que le problème possède un ensemble de modes de vibration

semblables aux modes d'une corde vibrante. Le champ acoustique total est alors construit

en sommant tous les modes pondérés selon la position de la source. La théorie sous-jacente

est en fait le problème aux valeurs propres classique de Sturm-Liouville, dont les

propriétés sont bien connues (cf [Jensen, et al., 1994]) : l'équation modale possède un


- 105 -

nombre infini de solutions appelées modes, ces modes sont caractérisés par une fonction

définissant la forme du mode et une constante horizontale de propagation. Dans le cas de

conditions aux limites impliquant une surface parfaitement rigide z=0 (sol) et une surface

parfaitement absorbante à la hauteur z=D donnée, on peut montrer que les modes sont

orthogonaux et forment une base complète. On peut alors représenter n'importe quelle

fonction sous la forme d'une somme de modes normaux. Dans le cas général, les modes

normaux ne forment pas une base complète, et l'on obtient un spectre "mixte" composé

d'une partie discrète et d'une partie continue, et une intégrale de branche vient s'ajouter,

dans la représentation du champ de pression, à la somme des modes discrets.

Dans le cas de la réfraction vers le bas, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 70, la

fonction de Green dépendant de la hauteur P(z,k), solution de eq. 3- 69, peut s'exprimer en

termes de fonctions de Airy et de leurs dérivées de la manière suivante :

( )[

+τ

τ+ττ+τ−

+τ+τπ−=

<

ππ

π<>

π

)y(Ai)(qAi)('Ai

)e(qAi)e('Ai

e)y(Ai)y(lAie2)z,K(P3/i23/i2

3/i26/i

eq. 3- 74

où( ) ( )

)z,zmin(z),z,zmax(z,l/zy,l/zy,l)kk()dz/dc/(cR,k2/Rl,Z/clikq),0(c/f2k

rsrs22

02

c

3/120c00

====−=τ==ρ=π=

<><<>>

eq. 3-

75

Rc est le rayon de courbure des rayons acoustiques (dont les trajectoires sont des arcs de

cercle dans le cas d'un profil linéaire de célérité), zs et zr les hauteurs de la source et du

récepteur.

En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière

grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Raspet, et al., 1992]) :

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ=

n2

n'2

nn

nsnn10

AiAi

l/zAil/zAirkH

l

iz,rp eq. 3- 76

avec ( ) 220

2nn lkk −=τ eq. 3- 77

les zéros de ( ) ( ) 0qAi'Ai nn =τ+τ eq. 3- 78

kn représente le nombre d'onde horizontal du nième mode. L'expression eq. 3- 76 néglige

en fait la contribution du premier terme de eq. 3- 74 représentant le champ direct, ce qui

selon Raspet [Raspet, et al., 1992] conduit à une erreur minime à grande distance. En effet,


- 106 -

à cette distance les contributions les plus importantes de l’intégrale eq. 3- 68 résultent des

pôles de P(K,z) qui proviennent du terme réfléchi par le sol. Le terme dû à l’onde directe

est alors négligeable en regard de la somme des résidus de l’intégrale et l’on considère que

l’expression eq. 3- 76 donne une valeur précise du champ de pression.

La série des résidus eq. 3- 76 dans le cas de la réfraction vers le bas, ne converge pas

rapidement du fait que la plupart des pôles sont situés près de l'axe des réels. Le nombre de

modes nécessaires pour évaluer le champ de pression avec une précision correcte peut être

approché par :

=

0max dz

dc/f

3

2n eq. 3- 79

où f représente la fréquence. Cette valeur est en fait déterminée en imposant à la

composante horizontale du nombre d’onde d’être imaginaire pour une surface d’impédance

infinie. Ainsi le nombre de termes est directement proportionnel à la fréquence et à

l’inverse du gradient de vitesse du son.

Notons que le profil de vitesse du son eq. 3- 70 n’est pas physique puisqu’à la hauteur

z=1/2a la célérité devient infinie. Par conséquent le profil de vitesse du son doit être

tronqué à une certaine hauteur. En général, la hauteur du nième rayon peut être approchée

par :

l)2/n3(h 3/1n π= eq. 3- 80

L'expression eq. 3- 76 du champ acoustique est particulièrement attractive puisqu'elle

offre l'avantage de présenter une formulation analytique où les variables de portée r et de

hauteur z sont découplées et par conséquent sous cette forme le champ de pression est

aisément dérivable par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc très

intéressante en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. On

obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ−=

∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11n

AiAi

l/zAil/zAirkHk

l

i

r

peq. 3- 81

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nn

nsnn10

2AiAi

l/z'Ail/zAirkH

l

i

z

peq. 3- 82


- 107 -

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11

2n

2

2

AiAi

l/zAil/zAirk'Hk

l

i

r

peq. 3- 83

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nn

nnsnn10

32

2

AiAi

l/zAil/zl/zAirkH

l

i

z

peq. 3- 84

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11n

2

2

AiAi

l/z'Ail/zAirkHk

l

i

zr

peq. 3- 85

Pour le calcul de eq. 3- 83, on peut utiliser la relation suivante pour la dérivée de la

fonction de Hankel d'ordre un [Abramowitz et Stegun, 1972] :

)z(Hz

1)z(H)z('H 101 −= eq. 3- 86

Notons qu'on a utilisé dans eq. 3- 84 la relation qui suit, pour la dérivée seconde de la

fonction de Airy [Abramowitz et Stegun, 1972] :

)z(zAi)z(''Ai = eq. 3- 87

Dans le cas du rayonnement d'une source cylindrique, en reportant l'expression eq. 3-

74 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale eq. 3- 73, et en

calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient, avec les mêmes

notations que pour eq. 3- 76, eq. 3- 77 et eq. 3- 78 :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τπ=

n2

n'2

nnn

nsnxik

AiAik

l/zAil/zAie

l

i2z,xp

n

eq. 3- 88

Les formules eq. 3- 81 à eq. 3- 85 deviennent :

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

AiAi

l/zAil/zAie

l

2

x

p n

eq. 3- 89

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nnn

nsnxik

2AiAik

l/z'Ail/zAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 90

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

n2

2

AiAi

l/zAil/zAiek

l

i2

x

p n

eq. 3- 91

( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nnn

nnsnxik

32

2

AiAik

l/zAil/zl/zAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 92


- 108 -

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

2

2

AiAi

l/z'Ail/zAie

l

2

zx

p n

eq. 3- 93

Les équations ci-dessus prouvent que la solution des modes normaux peut donc être

adaptée simplement pour servir de fonction de Green pour l'introduction des effets

météorologiques dans une BEM bidimensionnelle, dans le cas de la réfraction vers le bas.

3.3.4.4 La série des résidus pour la réfraction vers le haut

De la même manière que pour la réfraction vers le bas, dans le cas de la réfraction vers

le haut, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 71, la fonction de Green dépendant de

la hauteur P(K,z), solution de eq. 3- 69, peut également s'exprimer en termes de fonctions

de Airy et de leurs dérivées (voir [Raspet, et al., 1991]). On peut alors écrire en conservant

les notations eq. 3- 75 :

( ) ( )[( )

−τ

τ−ττ−τ−

−τ−τπ−=

π<ππ

<π

>π

3/i23/i23/i2

3/i26/i

e)y(Ai)e(qAi)e('Ai

)(qAi)('Ai

yAie)y(Aile2)z,K(P

eq. 3- 94

En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière

grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Berry et Daigle, 1988]) :

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

10

6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirkH

l

ez,rp eq. 3- 95

avec ( ) 3/i2220

2nn elkkb π−= eq. 3- 96

les zéros de ( ) ( ) 0bAiqeb'Ai n3/i2

n =+ πeq. 3- 97

L'expression eq. 3- 95, négligeant en fait la contribution du champ direct, est une

excellente approximation du champ acoustique à grande distance (voir [Raspet, et al.,

1991]). Dans le cas de la réfraction vers le haut, la convergence de la série est rapide

puisque l'absorption croît très rapidement pour les pôles d'ordre élevé. Cette solution

apparaît très puissante en situation de réfraction vers le haut, pour la prévision des niveaux

de bruit dans la zone d'ombre, car la propagation est alors presque entièrement régie par le

gradient de vitesse du son dans un intervalle de quelques mètres au-dessus du sol et n'est

que peu affectée par les effets météorologiques à des hauteurs plus élevées.


- 109 -

L'expression eq. 3- 95, à l'instar de eq. 3- 76, offre l'avantage de présenter une

formulation analytique du champ de pression où les variables de portée r et de hauteur z

sont découplées. Elle permet par conséquent, sous cette forme, de dériver aisément le

champ de pression par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc également

très intéressante pour servir de fonction de Green à une méthode d'éléments finis de

frontière 3D. On obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de

Green :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11n

6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirkHk

l

e

r

peq. 3- 98

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

10

2

6/i5

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkH

l

e

z

peq. 3- 99

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11

2n

6/i

2

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirk'Hk

l

e

r

peq. 3- 100

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2n

3/i2snn

10

32

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAirkH

l

i

z

peq. 3- 101

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=∂∂

∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11n

2

6/i52

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkHk

l

e

zr

peq. 3- 102

Ces formules peuvent être adaptées au cas du rayonnement d'une source cylindrique en

recourant à la même méthode que pour la réfraction vers le bas. En reportant ainsi

l'expression eq. 3- 94 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale

eq. 3- 73, et en calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient,

avec les mêmes notations que pour eq. 3- 95, eq. 3- 96 et eq. 3- 97 :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−π=πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2sn

xik6/i

bAibb'Aik

e)l/z(bAie)l/z(bAie

l

e2z,xp

n

eq. 3- 103

Les formules eq. 3- 98 à eq. 3- 102 deviennent :

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAie

l

ei2

x

p n

eq. 3- 104

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2sn

xik

2

6/i5

bAibb'Aik

e)l/z(b'Aie)l/z(bAie

l

e2

z

p n

eq. 3- 105


- 110 -

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik2n

6/i

2

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAiek

l

e2

x

p n

eq. 3- 106

( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−−π=∂∂ πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2n

3/i2sn

xik

32

2

bAibb'Aik

e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 107

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂

∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik

2

6/i52

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAie

l

ei2

zx

p n

eq. 3- 108

De même que pour la réfraction vers le bas, on constate donc que la solution de la série

des résidus peut être modifiée simplement pour pouvoir être insérée dans une BEM

bidimensionnelle dans le but d'introduire des effets météorologiques.


- 111 -

3.4 Conclusion : évaluation et comparaison des différents modèles

Ce paragraphe vise à résumer les limites et avantages des modèles présentés dans ce

chapitre. De manière générale, les modèles de prévision de la propagation acoustique en

milieu extérieur sont basés sur différentes approximations mathématiques qui induisent

chacune des hypothèses avec les limitations qui s'ensuivent. Le schéma de la figure 3. 3

montre la hiérarchie des principaux modèles existants. Les modèles souffrant de limitations

plus draconiennes en ce qui concerne le traitement de profils de vitesse du son, sont situés

en haut de la figure, les modèles capables de prendre en compte progressivement des

conditions de propagation de plus en plus complexes étant situés vers le bas.

Au premier niveau de cet échelle (en haut de la figure 3. 3), on retrouve les modèles

classiques qui considèrent l'atmosphère comme étant homogène (modèles de rayon et

apparentés comme la TGD, modèles dits d'effet de sol, BEM ...). Dans un ordre croissant

de complexité, on trouve alors les solutions basées sur les techniques spectrales comme le

Fast Field Program, la solution des modes normaux et de la série des résidus, reposant sur

l'hypothèse de milieux de propagation dont les propriétés ne varient pas avec la portée.

Parmi ceux-ci, la FFP offre l'avantage de pouvoir prendre en compte de profils de vitesse

du son plus compliqués, en fonction de l'altitude. Enfin, arrivent les méthodes capables de

prendre en compte des profils de vitesse du son quelconques : les méthodes de rayons et la

théorie de l'équation parabolique. Cependant, les méthodes de rayon sont limitées à haute

fréquence, c'est-à-dire pour des fréquences telles que la vitesse du son et l'amplitude de

l'onde ne varient pas de façon significative sur une distance de l'ordre de grandeur de la

longueur d'onde. Soulignons toutefois que l'efficacité de ces méthodes, lorsqu'il est

possible de les utiliser, n'est plus à démontrer.

Pour rendre l'exposé plus complet, bien que ce phénomène ne sera pas étudié par la

suite, il convient de garder présent à l'esprit que de nombreux modèles ont tenté de décrire

la turbulence (les modèles d'effet de sol cf [Daigle, 1979, Daigle, et al., 1978], la FFP

[Raspet et Wu, 1995], le modèle heuristique [L'Espérance, et al., 1992]), en introduisant


- 112 -

figure 3. 3 : Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu extérieur.


- 113 -

des facteurs dans le calcul du niveau de pression moyen, qui prennent en compte la

décorrélation en phase et amplitude entre les rayons directs et réfléchis par le sol.

Seule l'approche de l'équation parabolique [Gilbert, et al., 1990] repose sur un modèle

de turbulence bidimensionnel où l'indice de réfraction est divisé en une partie déterministe

et une partie stochastique. Le son se propage à travers une réalisation "gelée" de

l'atmosphère turbulente. Pour obtenir des effets moyens de turbulence, il faut effectuer

plusieurs calculs pour différentes réalisations aléatoires de l'atmosphère. Dans la figure 3.

3, l’astérisque représente les solutions pouvant prendre en compte ce phénomène physique

de la turbulence.

En ce qui concerne la modélisation des phénomènes intervenant dans la propagation

acoustique en milieu extérieur, Galindo [Galindo Arranz, 1996] souligne par ailleurs que :

"The noise control researches point in the direction of new hybrid methods, where different

techniques are coupled to avoid limitations of the particular methods". C'est le cas de la

méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], qui est une approche hybride entre

les modèles de rayon et l'équation parabolique ; le modèle heuristique [L'Espérance, et al.,

1992] est un autre exemple de méthode hybride, qui repose quant à lui à la fois sur la

théorie des rayons et la solution de la série des résidus. La nouvelle approche Météo-BEM

présentée au chapitre 6, procède de cette même idée.

Un certain nombre d'études ont été réalisées pour comparer les résultats de différentes

méthodes entre eux [White et Raspet, 1989] [Raspet, et al., 1995] [Attenborough, et al.,

1995] et aussi à des résultats de mesures expérimentales [Rasmussen, 1994], [Berry et

Daigle, 1988]. On peut globalement résumer les conclusions de ces travaux en soulignant

que généralement les algorithmes de type Fast Field Program et équation parabolique

donnent des résultats très voisins sous de nombreuses conditions différentes, et qu'ils sont

en accord avec les solutions analytiques, lorsque celles-ci existent.

En gardant le fil directeur de cette analyse critique des modèles existants, à savoir que

l'on cherche une solution susceptible de fournir une fonction de Green suffisamment

efficace sur le plan numérique en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de

frontière, il faut rappeler que parmi toutes les approches présentées, le modèle analytique

d'effet de sol, qui ne prend pas en compte à l'origine une vitesse du son qui varie avec la

position doit donc être modifié pour inclure la courbure des rayons due à la réfraction. On


- 114 -

est également contraint dans ce cas de recourir à des techniques de dérivation numérique

pour calculer les dérivées première et seconde de la fonction de Green. Les méthodes de

rayon ainsi que la théorie de l'équation parabolique ne semblent pas non plus offrir une

solution intéressante en vue de l'inclure dans une BEM, du fait du recours nécessaire, là

encore, à des techniques de dérivation numérique. Les modèles basés sur des techniques

spectrales paraissent quant à eux jouir de propriétés attractives : les variables de portée et

de hauteur sont découplées, permettant d'accéder de manière relativement aisée à la valeur

des dérivées normales première et seconde. La formulation analytique de la solution, i.e la

solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la

réfraction vers le haut, semble toutefois plus avantageuse que le modèle de la FFP qui

implique un calcul numérique pour évaluer les dérivées en jeu, bien que cette dernière

approche permette de prendre en compte des profils quelconques de vitesse du son en

fonction de la hauteur, contrairement aux deux premières solutions, valables pour des

profils linéaires de célérité. On verra cependant au chapitre 5 que d'une part il est possible

de linéariser des profils de vitesse du son réels, et d'autre part, certains travaux ont été

effectués pour surmonter cette hypothèse de profils linéaires de vitesse du son sous

laquelle ont été initialement développées les solutions analytiques, en étendant la théorie à

des profils quelconques. Par conséquent, à ce stade de l'étude, on retiendra, parmi tous les

candidats admissibles à la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière,

les deux solutions analytiques que sont les modes normaux dans le cas de la réfraction vers

le bas, et la série des résidus pour la réfraction vers le haut. La figure 3. 3 fait apparaître en

gras les modèles utilisés dans ce travail : éléments finis de frontière en milieu homogène ;

modèle d’effet de sol avec courbure de rayons, série des résidus et modes normaux en

milieu inhomogène. Rappelons que le but de ce travail est de montrer qu'il est possible de

manière générale d'inclure des effets météorologiques dans une formulation de type BEM

et que par conséquent les résultats sont généraux et ne dépendent pas du choix de la

fonction de Green retenue en milieu inhomogène. A ce titre, d'autres modèles discutés

précédemment pourraient également servir de base à la fonction de Green de la BEM, en

intégrant les remarques de la partie 3.3. Pour finir, notons que le cas de la pression

acoustique en un point récepteur très proche de la source devra être traité avec précaution,

seule la FFP donnant exactement le champ proche alors que la solution des modes

normaux ou de la série des résidus est dans ce cas une approximation, le terme continu dû à

l'intégrale de branche ne pouvant plus, comme en champ lointain, être systématiquement

négligé.

- 115 -

Chapitre 4

La formulation en potentiels de couche adoptée en milieu

homogène : le modèle BEMAS2D

4.1 Introduction

En s'appuyant sur les éléments de théorie présentés au chapitre 2, cette partie expose les

principales étapes de l'élaboration du modèle d'éléments finis de frontière développé en

milieu homogène et basé sur une formulation en potentiels de couche : BEMAS2D (pour

Boundary Element Method for Acoustic Scattering in 2D). Pour des raisons de limitations

en taille mémoire, notamment à haute fréquence, et de coût numérique en temps de calcul

évoquées au paragraphe 2.6.6, on se restreindra au cas bidimensionnel, en gardant à l'esprit

que la démarche est adaptable et généralisable au cas 3D. Le but de ce travail étant de

prouver que l'on peut inclure de manière générale des effets météorologiques dans une

méthode d'éléments finis de frontière, il est également important de souligner que le succès

de cette approche ne sera pas, bien sûr, dépendant du choix de la formulation adoptée et

pourra donc être adapté à n'importe quel type de BEM en suivant le même schéma

méthodologique.

En guise d'illustration, et sans restriction de généralité, ce chapitre s'appuie sur le cas

d'un écran droit mince parfaitement réfléchissant (condition de Neumann). Ainsi les

différentes étapes de la méthode d’éléments finis de frontière sont explicitées précisément

sur un cas académique, mais les résultats sont généraux et applicables à des configurations

géométriques quelconques ainsi qu’à des matériaux d’absorption quelconque.

En outre, remarquons que dans de nombreux cas pratiques, l'objet diffractant est

relativement mince : c'est-à-dire que l'une de ses dimensions est faible à la fois devant ses

autres dimensions, et devant la longueur d'onde. Dans ces conditions on peut le modéliser

par un obstacle d'épaisseur nulle : l'effet de diffraction est alors pris en compte en

Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène

- 116 -

représentant la pression par une fonction discontinue à la traversée de l'obstacle. Filippi

donne un exposé de la théorie des écrans minces dans [Filippi, 1994] et ajoute que pour

que le problème aux limites ait un sens, il faut adjoindre une condition dite condition aux

arêtes, qui stipule que le comportement de la pression acoustique à chaque extrémité de

l'écran s'annule suivant la loi :

p(M)=r lnr + fonction régulière eq. 4- 1

Il est commode d'exprimer la solution sous la forme d'un potentiel de double couche

dont la densité doit s'annuler aux extrémités de l'obstacle selon la loi ci-dessus. L'existence

et l'unicité de la solution sont alors assurées en précisant son comportement au voisinage

du bord de l'obstacle. Mentionnons, de plus, que quelques auteurs (voir [De Lacerda, et al.,

1997]) ont montré que les résultats de calcul pour un écran infiniment mince sont très

proche des résultats pour un écran épais d'épaisseur fine, de 5 cm par exemple, ce qui

justifie l'emploi de cette modélisation dans BEMAS2D. De même, l'écran acoustique

académique étudié sera rigide pour la démonstration, mais les résultats seront, bien sûr,

généralisables à des écrans absorbants. Certains auteurs ont par ailleurs montré que

l'influence du caractère absorbant de la surface d'un écran acoustique simple isolé était

minime devant les caractéristiques d'absorption du sol, ce qui n'est toutefois pas le cas pour

des configurations plus complexes d'écrans parallèles ou d'écrans interagissant avec des

bâtiments [Hothersall, et al., 1991], [Watts, 1996].

Posons le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur

homogène : on considère une source harmonique ponctuelle S dans un domaine semi-infini

Ω dont la frontière σ est le sol et un écran acoustique (cf figure 4. 1).

figure 4. 1 : Le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur.


- 117 -

En se plaçant sous les hypothèses de l'acoustique linéaire, avec une dépendance

temporelle en exp(-iωt), le problème en atmosphère homogène peut être décrit par le

système suivant :

( )

=

−∂

∈→∈

∈=

+

ppourSommerfelddeconditions

0p(M)n

Z

!FikMp

Mn1P Mlim

M ,s/p2kû eq. 4- 2

eq. 4- 3

eq. 4- 4

p représente ici la pression acoustique totale, k le nombre d'onde, δs le rayonnement de

la source ponctuelle, ρ la densité de l'air, c la vitesse du son et Zn est l'impédance

acoustique normale de la surface σ, supposée à réaction localisée.

En adoptant une formulation en potentiels de couche (voir le chapitre 2), la pression

acoustique totale peut s'exprimer comme la somme de la pression incidente (la pression

rayonnée par la source en l'absence de la frontière σ) et une combinaison linéaire de

potentiels de simple et double couche (la pression diffusée par la frontière du domaine).

Afin d'illustrer le discours, la théorie est appliquée dans les paragraphes qui suivent au cas

d'un écran droit mince parfaitement réfléchissant, successivement en milieu infini, puis sur

un sol plan d'abord parfaitement réfléchissant et enfin sur un sol plan absorbant.


- 118 -

4.2 Le cas académique d 'un écran droit, mince, rigide, en milieu infini

Dans le cas d'un écran acoustique rigide en milieu infini, la surface-frontière σ se

restreint à l'écran Γ (voir figure 4. 2), et la condition aux limites eq. 4- 3 devient une

condition de Neumann :

( ) ( ) 0MpMnPMlim =∂

Γ∈→Ω∈ eq. 4- 5

figure 4. 2 : Schéma pour la configuration de l'écran droit mince en milieu infini.

Il est alors commode d'écrire la solution sous la forme d'un potentiel de double couche :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈∀Γ∂µ+= ∫ΓM PdM,PGPMpMp Pn0 eq. 4- 6

La fonction de Green G dans eq. 4- 6 est donnée ci-après :

))M,P(dk(H4

i)M,P(G 0−= eq. 4- 7

où H0 est la fonction de Hankel de première espèce et d'ordre zéro, d(P,M) la distance

entre P et M.

La pression incidente p0 due à la source S d'amplitude unitaire est donnée par :

)S,M(G(M)p0 = eq. 4- 8

En exprimant la condition de Neumann sur l'écran, l'équation intégrale suivante de

Fredholm de première espèce, qui représente la contribution de l'interaction entre la source

et l'écran, est obtenue :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMn0Mn eq. 4- 9


- 119 -

L'intégrale est à prendre au sens de la partie finie de Hadamard. La définition utilisée

est, d'après Filippi [Filippi et Dumery, 1969], la limite de la composante normale du

gradient du potentiel de double couche lorsque le point M approche de l'écran.

Pour résoudre cette équation intégrale, on subdivise l'écran Γ en N intervalles Γi, de

longueur égale au sixième de la longueur d'onde. On approche alors la densité µ du

potentiel de double couche par une fonction constante par morceaux sur chacun de ces

intervalles. On a donc N inconnues : µi, pour i variant de 1 à N. La méthode de collocation

consiste alors à choisir N points sur Γ. On prendra par commodité le milieu des intervalles

de discrétisation Γi. On aboutit alors au système linéaire suivant, de N équations à N

inconnues :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ..N1jPd,PMGPF

Pd,PMG Mp

ijPnMni

ji ijPnMnij0Mn

=Γ∂∂µ+

Γ∂∂µ=∂−

∫

∑ ∫

Γ

≠ Γeq. 4- 10

On peut écrire sous forme matricielle :

[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 11

avec

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

Γ∂∂==

µ=µ

∂−==

∫ ΓijPnMnji

i

j0nj

Pd,PMGF.PAA

)M(pBB

eq. 4- 12

En adoptant un repère (O,y,z) tel que l'axe vertical des z est confondu avec l'écran Γ, de

hauteur H, explicitons les notations :

Γj=[zj-h/2, zj+h/2] où h=H/N eq. 4- 13

Les points P sont de coordonnées (0,z), les points de collocation Mj, milieux des Γj, de

coordonnées (0,zj) pour j de 1 à N. La source est située en (yS, zS). On a :

2PM

2PM )zz()yy()M,P(d −+−= eq. 4- 14

Le membre de droite de l'équation eq. 4- 11 s'écrit alors :

2SM

2S

2SM

2S1S

0M

j0)M(n)zz(y

))zz(yk(H

4

iky

jMM

))M,S(dk(H4

i

y)M(p

j

j

−+

−+=

=

−

∂∂−=∂−

eq. 4- 15


- 120 -

Les éléments de la matrice ne posent pas de problème lorsque le point Mj n'appartient

pas à l'intervalle Γi, c'est-à-dire que les termes hors diagonale sont réguliers. De la même

manière que pour eq. 4- 15, on a :

2MP

2M

2MP

2M1M

0p

)P(n)zz(y

))zz(yk(H

4

iky))P,M(dk(H

4

i

yP)P,M(G

−+

−+−=

−

∂∂=Γ∈∂ eq. 4- 16

Par conséquent :

MP

MP12)P(n)M(n zz

)zzk(H

4

ik)M,P(

)P,M(G−

−−=Γ∈∂∂ eq. 4- 17

Et :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ΓΓΓ

−

−−=Γ∂∂

ijMP

jMP1

ijPnMn Pd

zz

)zzk(HPF

4

ikPd,PMGPF eq. 4- 18

Sur les éléments non diagonaux, on a bien sûr, Mi≠Mj donc P≠Mj. Les intégrales ont été

d'abord calculées selon un schéma de Gauss-Legendre adaptatif. Cependant des essais ont

montré que l'approximation simple suivante donnait des résultats très corrects, l'élément de

surface Γi étant suffisamment petit :

( ) ( ) ( ) ( )jMiM

jMiM1

ijPnMn

zz

)zzk(H

4

ikhPd,PMG

−

−−≈Γ∂∂∫Γ

pour i≠j eq. 4- 19

Lorsque les deux points P et Mj peuvent coïncider, c'est-à-dire que l'on a i=j, on

subdivise l'intervalle Γi pour isoler la singularité et l'on a donc, avec izzr −= :

( ) ( ) ( ) ( )

+

+−≈Γ∂∂

∫

∫ ∫∫ε+

ε−

ε−

−

+

ε+Γ

i

i

i

i

z

z

1

iz

2/hiz

2/hz

z

11

iiPnMn

dzr

)kr(HPF

dzr

)kr(Hdz

r

)kr(H

4

ikPd,PMGPF

eq. 4- 20

Les deux premiers termes du membre de droite eq. 4- 20 sont intégrés de la même

manière que les intégrales régulières ci-avant.

Quant au dernier terme, il est plus commode de revenir à sa définition en tant que partie

finie au sens de Hadamard. On doit alors comprendre la partie finie comme la limite de la

composante normale du gradient lorsque l'on fait tendre un point M de l'espace vers

l'écran :

∫∫ε+

ε−→

ε+

ε−−

∂∂

∂∂=− i

ii

i

i

z

z P0MM

z

z

1 dz))P,M(kd(H4

i(

)P(n)M(nlimdz

r

)kr(HPF

4

ikeq. 4- 21

Soit :


- 121 -

∫∫ε+

ε−→

ε+

ε−−

∂∂

∂∂=− i

iM

i

i

z

z P0PM

0y

z

z

1 dz))P,M(kd(H4

i(

yylimdz

r

)kr(HPF

4

ikeq. 4- 22

Le détail du calcul est exposé dans l’annexe III. On peut montrer finalement que :

−

ε+ε

+ε

−

+−ε

+ε

π+

−ε

πε+

+

ε+ε−=−

∑

∑

∑∫

=

−−

=

+

=

+ε+

ε−

6

2n

1n2

n2

)1n(2n1

20

6

1n

1n2

n2

n2n

6

1n

1n2

n2

n2n

z

z

1

1n23

kB2

9

B2

k

B2

1n2

1)

2

kln(

1n2

2

3

kA21)

2

kln(

2ik

1n23

kA2k

4

ikdz

r

)kr(HPF

4

ik i

i

eq. 4- 23

Ayant calculé les éléments Aij de la matrice, on peut alors résoudre le système linéaire

eq. 4- 11 par une méthode de Gauss-Jordan avec pivot total (cf [Press, et al., 1992]) pour

obtenir la valeur de la densité µ du potentiel de double couche.

La pression acoustique peut ensuite être déterminée en tout point de l'espace de

propagation par la formule intégrale discrétisée comme suit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Ω∈∀∂µ+≈

Ω∈∀Γ∂µ+≈

Ω∈∀Γ∂µ+=

∑

∫∑∫

=

Γ=

Γ

M M,MGhMp

M PdM,PGMp

M PdM,PGPMpMp

iPn

n

1ii0

Pn

n

1ii0

Pn0

eq. 4- 24

En guise d'illustration, la figure 4. 4 présente un résultat du code de calcul BEMAS2D,

auquel cette approche a donné naissance, pour le problème de la diffraction d'une onde

incidente plane par un écran droit mince rigide en milieu infini (voir schéma de la figure 4.

3) traité par Filippi et Dumery (figs. 4 et 5, [Filippi et Dumery, 1969]). La figure 4. 4

montre un très bon accord entre les résultats de BEMAS2D et ceux de Filippi et Dumery.

Ce paragraphe présentait la formulation du modèle BEMAS2D pour le cas académique,

et bien sûr non réaliste, d'un écran plongé dans un milieu de propagation infini. Dans la

partie suivante, le modèle va être étendu pour prendre en compte, cette fois, le cas d'un

écran sur sol plan rigide, en s'appuyant de façon simple sur les résultats précédents.


- 122 -

figure 4. 3 : Schéma de la configuration étudiée par Filippi et Dumery.

k=2

k=3

Calcul BEMAS2D

Calcul de Filippi et Dumery

figure 4. 4 : Densité µ du potentiel de double couche pour le problème de Neumann de la diffraction d'uneonde incidente plane par un écran rigide (voir figure 4. 3), pour k=2 et k=3.

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Par

tie r

éelle

Distance sur l'écran (m)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Par

tie im

agin

aire


0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Par

tie r

éelle


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Par

tie im

agin

aire



- 123 -

4.3 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan parfaitement réfléchissant

Considérons maintenant le cas d'un écran acoustique mince rigide sur un sol plan rigide

avec les notations de la figure 4. 5.

figure 4. 5 : Ecran acoustique droit, mince, sur sol plan.

La formulation du problème est la même qu'au paragraphe précédent et toutes les

équations (eq. 4- 5 à eq. 4- 12) restent valables à condition que la fonction de Green

prenne en compte les effets du sol rigide. Dans ce cas, on peut en effet réduire le domaine

d'intégration à l'écran anti-bruit Γ. En utilisant la théorie des sources images, cette fonction

de Green s'exprime de la manière suivante :

))M,'P(dk(H4

i))M,P(dk(H

4

i)M,P(G 00 −−= eq. 4- 25

où P'(yP,-zP) est la source image correspondant à P(yP,zP) par rapport au sol plan.

En exprimant la condition de Neumann sur l'écran, l'équation intégrale de Fredholm de

première espèce eq. 4- 9 est obtenue avec le nouveau noyau de Green et résolue de la

même manière qu'au paragraphe précédent, en prenant en compte le terme dû à la source

image. Cette équation représente en fait l'interaction entre la source en présence du sol et

l'écran.

On aboutit au système linéaire suivant, à résoudre :

[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 26


- 124 -

avec

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

Γ∂∂==

µ=µ

∂−==

∫ ΓijPnMnji

i

j0nj

Pd,PMGF.PAA

)M(pBBeq. 4- 27

Le champ incident p0 est donné par la formule eq. 4- 8 en utilisant la nouvelle fonction

de Green. Les coefficients de la matrice A sont calculés comme suit pour i≠j :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ΓΓΓ

+

++

−

−−=Γ∂∂

ijMP

jMP1

jMP

jMP1

ijPnMn Pd

zz

)zzk(H

zz

)zzk(H

4

ikPd,PMG eq. 4- 28

On constate que les nouveaux éléments se déduisent aisément des éléments de la

matrice calculée au paragraphe précédent en ajoutant un terme dû à la source image. Ce

dernier terme ne présente pas de singularité puisque le point courant P(0,zP) appartenant à

l'intervalle Γi et la source image M'j(0,-zj) ne peuvent être confondus. Par conséquent, pour

les termes sur la diagonale, la singularité provient du terme développé dans le paragraphe

précédent et la théorie de la partie finie doit être seulement appliquée au terme dû à la

source et l'on a, pour i=j :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Γ

+

++Γ

−

−−=

Γ∂∂

∫∫

∫

ΓΓ

Γ

iiMP

iMP1

iiMP

iMP1

iiPnMn

Pdzz

)zzk(HPd

zz

)zzk(HPF

4

ik

Pd,PMGPF

eq. 4- 29

Tous les éléments Aij sont donc calculés de la même manière que dans la partie qui

précède en ajoutant le terme suivant, dû à la source image, et qui ne pose pas de problème :

( ) [ ]2

jMiM

jMiM1

ijMP

jMP1N1,j)(i,

zz

)zzk(H

4

ikhPd

zz

)zzk(H

4

ik ∈∀+

+−≈Γ

+

+− ∫Γ

eq. 4- 30

Le système linéaire est ensuite résolu toujours grâce à une stratégie de pivot total de

Gauss. Une fois que la densité du potentiel de double couche est connue, la pression

acoustique peut être calculée en tout point récepteur via la formulation intégrale de départ

(cf eq. 4- 24).

Les figure 4. 7 et figure 4. 8 comparent des résultats de Daumas (figs 7 et 8 [Daumas,

1978]) à des résultats du code de calcul BEMAS2D pour la configuration géométrique d'un

écran droit mince rigide sur sol plan parfaitement réfléchissant, représentée sur la figure 4.

6.


- 125 -

figure 4. 6 : Schéma de la configuration étudiée par Daumas.

Les résultats sont présentés en termes d'efficacité définie comme suit :

Mpoint au libre champ 2

Mpoint au total champlog20Eff

×=

L'accord entre les résultats de mesure et de calcul de Daumas et les résultats de

BEMAS2D est très bon.

Un autre résultat de BEMAS2D (voir figure 4. 10), correspondant à la figure 5 de

l'article de Hothersall [Hothersall, et al., 1991] et étudiant l'influence de la hauteur d'un

écran rigide sur un sol plan réfléchissant, prouve que les résultats de calcul par la théorie

des potentiels de couche sont très proches de ceux donnés par une BEM basée sur une

formulation directe. Ces résultats sont donnés en termes de perte par insertion :

Mpoint au écran sans totalchamp

Mpoint au écran l' de présenceen total champlog20insertion par Perte =

Il faut noter que la pente de la perte par insertion en fonction de la fréquence est

légèrement plus forte dans le calcul de BEMAS2D que pour les résultats de la formulation

directe, un écart moyen de 2 dB apparaissant ainsi à 4000 Hz entre les résultats respectifs

des deux modèles pour une même configuration.


- 126 -

Variation de l'efficacité sur D1



(a) Source au sol : x0= 0 m (b) Source élevée : x0= 1,47 λ (1m)

Résultats expérimentaux de Daumas pour une source ponctuelle

Calcul de Daumas

BEMAS2D

figure 4. 7 : Courbes de variation de l'efficacité sur D1, D2 et D3 (cf schéma figure 4. 6). .

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)

Distance rapportée à la longueur d'onde

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)


-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)


-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)


-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Effi

caci

té (

dB)



- 127 -

(a) Source au sol : x0= 0 m (b) Source élevée : x0= 1,47 λ (1m)

Calcul de DaumasBEMAS2D

figure 4. 8 : Courbes de variation de l'efficacité verticalement sur D4 (cf schéma figure 4. 6).

figure 4. 9 : Schéma de la configuration de Hothersall.

Résultats de BEMAS2D Résultats de Hothersall

H= 2 m

H= 3 m

H= 4 m

H= 5 m

figure 4. 10 : Perte par insertion pour des écrans verticaux rigides sur sol plan réfléchissant (cf figure 4. 9).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-40 -30 -20 -10 0 10

Dis

tanc

e ra

ppor

tée

à

la lo

ng

ue

ur

d'o

nd

e

Efficacité (dB)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-40 -30 -20 -10 0 10

Dis

tanc

e ra

ppor

tée

à

la lo

ng

ue

ur

d'o

nd

e

Efficacité (dB)

-30

-20

-10

0

100 1000

Pe

rte

pa

r in

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

100 1000

Pe

rte

pa

r in

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 128 -

4.4 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan absorbant

On utilise toujours une formulation en potentiel de double couche comme aux deux

paragraphes précédents. Les notations (voir figure 4. 5) restent les mêmes. La condition

aux limites sur l'écran acoustique est toujours de Neumann mais le sol absorbant est décrit

maintenant comme une surface d'impédance supposée à réaction localisée. Pour un point

M situé sur le sol, en appelant β l'admittance normalisée, on a :

( ) 0p(M)ikMpMn

=β+∂

eq. 4- 31

Les équations eq. 4- 6 à eq. 4- 12 restent valables à condition que la fonction de Green

prenne en compte les effets du sol absorbant cette fois-ci. Dans ce cas, on peut alors

également réduire le domaine d'intégration à l'écran anti-bruit Γ. En utilisant les résultats

de la fonction de Green pour un sol plan rigide donnée ci-dessus (cf eq. 4- 25) que l'on

appellera G0, on peut calculer la nouvelle fonction de Green G pour un sol impédant (voir

[Chandler-Wilde et Hothersall, 1995]) :

20 P)(M, )M,P(P)M,P(G)M,P(G Ω∈∀+= β eq. 4- 32

Le calcul de la fonction Pβ est exposé en détail dans l’annexe IV. On peut écrire :

sPPP βΓ

ββ += eq. 4- 33

où le terme suivant représente l'onde de surface (on peut montrer que ce terme décroît

exponentiellement avec la hauteur au-dessus de la surface) :

=<ββ−

β

<<ββ−

β

= +−ρ

+−ρ

β+

+

sinon 0

0aRe0,Im si e12

0aRe0,Im si e1

P )a1(i

2

)a1(i

2

seq. 4- 34

avec :

0

222

cos01Re ,111a

θ=γ≥β−γ−β−βγ+=± #

eq. 4- 35

et :


- 129 -

∫

∫∞ ρ−−

ρ

∞

∞−

ρ−ρ

Γβ

πβ=

πβ=

0

t2/1i

s2i

dt)t(fete

dse)s(fe

P2

eq. 4- 36

où :

02i)-tRe( avec ))(t)1(i2t(i2t

)it1()t(f

22>

γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. 4- 37

L'expression eq. 4- 36 s'intègre aisément en utilisant un schéma de type quadrature de

Gauss :

∑=

ρΓβ ρ

ρπβ=

n

1jn,jn,j

i

)/x(fwe

P eq. 4- 38

où les wi,j pour i, j allant de 1 à n, sont les poids et xi,j les abscisses de la quadrature de

Gauss-Laguerre utilisée (voir [Press, et al., 1992]). Chandler-Wilde donne des détails

calculatoires et des approximations dans son article de référence [Chandler-Wilde et

Hothersall, 1995]. La formule ci-dessus (eq. 4- 36) donne lieu à des résultats précis si β est

proche de 1. Dans le cas contraire, Chandler-Wilde régularise l'intégrande par soustraction

du pôle et aboutit à une formulation plus performante faisant intervenir la fonction erreur

complémentaire erfc :

1pour )ae(erfc12

edt)t(get

eP 4/i

2

)a1(i

0

t2/1i

≠βρβ−

β+π

β= +π−

−ρ∞ ρ−−ρ

Γβ

+

∫ eq. 4- 39

avec :

0)a(Re),-1Re( avec )iat(12

ae)t(f)t(g 2

2

4/i

≥β−β−

−= +

+

+π−

eq. 4- 40

On peut utiliser le même type de quadrature de Gauss que ci-dessus (cf eq. 4- 38) pour

intégrer la fonction g. On adoptera le critère suivant donné par Chandler-Wilde pour

évaluer si β est proche de 1 ou non :

1.011

1.011

≥β−⇔≠β<β−⇔≈β

eq. 4- 41

La fonction de Green G décrivant la propagation acoustique au-dessus d'un sol plan

homogène d'admittance normalisée β est donc connue et évaluable numériquement.

Pour illustrer le propos, la figure 4. 11 compare les résultats donnés par la fonction de

Green 2D présentée dans cette partie à ceux d'une formulation classique basée sur

l'approche de Chien et Soroka [Chien et Soroka, 1980]. Les résultats, qui correspondent à


- 130 -

la figure 4.4 de la thèse de Defrance [Defrance, 1996] sont donnés en atténuation par

rapport au champ libre et montrent l'influence de la variation du paramètre de résistance au

passage de l'air σ, paramètre utilisé pour calculer l'impédance du sol via la formulation de

Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970].

Fonction de Green 2D pour un sol absorbant Résultats de Defrance

sigma = 2000 cgs sigma = 600 cgs sigma = 100 cgs

figure 4. 11 : Spectres d'atténuation pour différents paramètres de résistance au passage de l'air σ.

En exprimant la condition de Neumann sur l'écran eq. 4- 5, l'équation intégrale suivante,

de Fredholm de première espèce est obtenue avec le nouveau noyau de Green pour sol plan

absorbant :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMn0Mn eq. 4- 42

Cette équation représente en fait l'interaction entre la source en présence du sol

absorbant et l'écran. En utilisant toujours une méthode de collocation comme aux

paragraphes précédents, on exprime que cette équation est satisfaite en N points situés sur

l'écran acoustique. Cette fois, l'on a, pour le terme dû au champ incident, membre de

gauche de l'équation eq. 4- 9 obtenue :

( )j

MM)M,S(P)M,S(G

)M(n)M(p 0j0)M(n

=+

∂∂−=∂− β eq. 4- 43

La première dérivée normale a déjà été évaluée au paragraphe précédent. Reste à

déterminer la dérivée normale de la fonction de perturbation Pβ.

On a, en fait :

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Atté

nuat

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000A

tténu

atio

n (d

B)

Fréquence (Hz)


- 131 -

)M,S(Pgrad)M(n)M,S()M(n

PM β

β •=∂

∂&

eq. 4- 44

Et les composantes du gradient ci-dessus sont :

∂∂∂∂

β

β

β

)M,S(z

P

)M,S(y

P

)M,S(Pgrad

M

MM eq. 4- 45

Dans le cas de l'écran droit de la figure 4. 5 n'intervient que la composante en y pour la

dérivée normale. En dérivant l'expression par rapport à yM et en suivant la même démarche

que pour le calcul de Pβ (voir l’annexe IV) on peut montrer de la même manière que :

s

M

'P'Py

Pβ

Γβ

β +=∂∂

eq. 4- 46

avec :

=<β−β−

<<β−β−

= +−ρ

+−ρ

β+

+

sinon 0

0aRe0,Im si e)yy(signik2

10aRe0,Im si e)yy(signik

)M,S('P )a1(iSM

)a1(iSM

seq. 4- 47

et :

∫∞ ρ−−

ρΓβ −γ−

πβ=

0

t2/1SM

2i

dt)t(fet)yy(sign1eik

'P eq. 4- 48

où :


))it1(()t(f

22>

γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. 4- 49

En fait, de même que pour la formule eq. 4- 36, l'expression eq. 4- 49 donne des

résultats précis lorsque β est proche de 1. Dans le cas contraire, une démarche similaire à

celle suivie pour obtenir eq. 4- 39 permet d'obtenir l'expression suivante :

1-1lorsque

)ae(erfce2

1dt)t(get

1)yy(signeik'P 4/iai

0

t2/1SM

i

≥β

ρ+

π−β= +

π−ρ−∞ ρ−−ρΓβ

+∫ eq. 4- 50

avec :

0)a(Re avec )iat(2

ae)t(f1)t(g

4/i2 ≥

−−γ−= +

+

+π−

eq. 4- 51

Là encore, selon la valeur de β, l'une ou l'autre des deux expressions eq. 4- 48 et eq. 4-

50 peut être employée et calculée en utilisant une quadrature de Gauss.


- 132 -

L'équation eq. 4- 42 fait intervenir également la dérivée normale seconde de la fonction

de Green :

( ))P,M(P)P,M(G)P(n)M(n

)P,M(G 0)P(n)M(n β+∂∂

∂=∂∂ eq. 4- 52

Dans le cas de l'écran droit de la figure 4. 5 :

PM yy)P(n)M(n ∂∂≡∂∂

Le terme mettant en jeu la fonction de Green pour un sol rigide G0 est déjà connu (cf les

paragraphes précédents). Pour la dérivée normale seconde de Pβ, on trouve, en suivant

toujours la même méthode que précédemment :

)P,M(P)1(k)'kr(H'r

zz

2

k)'kr(H

2

ik)P,M(

yy

P 221

PM22

0

22

PM

2

ββ β−+

+β+β=∂∂

∂eq. 4- 53

où :

22P

2M

22P

2M

22P

2M

22P

2M

)zz()yy()P,'M(d'r

)zz()yy()P,M(dr

++−==

−+−==

Dans le cas où l'écran n'est pas droit, ni confondu avec l'axe vertical comme c'est le cas

de la figure 4. 5, on a besoin de connaître la valeur des dérivées normales obliques. Ce cas

ne sera pas traité dans cette étude, donnons cependant la valeur de dérivée par rapport à la

variable z et des dérivées secondes pour offrir la possibilité de développements ultérieurs.

En dérivant l'expression par rapport à zM et en suivant la même démarche que pour le

calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :

)M,S(Pik)(H2

k)M,S(

z

P0

Mβ

β β−ρβ−=∂∂

eq. 4- 54

Quant aux dérivées secondes :

)P,M(Pk)'kr(H'r

zz

2

k)'kr(H

2

ik)P,M(

zz

P 221

PM22

0

22

PM

2

ββ β−

+β+β=∂∂

∂eq. 4- 55

)P,M(y

Pik)'kr(H

'r

)yy(

2

k)P,M(

zy

P

P1

MP2

PM

2

∂∂

β+−β−=

∂∂∂ ββ

eq. 4- 56

)P,M(zy

P)P,M(

yz

P

PM

2

PM

2

∂∂∂

−=∂∂

∂ ββ eq. 4- 57

Connaissant la valeur des dérivées successives de Pβ, on peut alors résoudre l'équation

intégrale de frontière eq. 4- 9 suivant la méthodologie exposée aux deux paragraphes

précédents.

On aboutit au système linéaire suivant, à résoudre :


- 133 -

[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 58

avec

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

Γ∂∂==

µ=µ

∂−==

∫ ΓijPnMnji

i

j0nj

Pd,PMGF.PAA

)M(pBBeq. 4- 59

Le champ incident p0 est donné par la formule eq. 4- 8 en utilisant la nouvelle fonction

de Green. Les coefficients de la matrice A font intervenir le terme eq. 4- 52, dont la

première partie a déjà été calculée. Quant à l'intégrale de la seconde partie de l'expression,

impliquant la fonction Pβ, elle ne pose pas de problème pour les termes hors diagonale.

Lorsque le point courant P peut coïncider avec le point de collocation i.e sur la diagonale

(i=j), les deux premiers termes de l'équation eq. 4- 53 ne posent pas de problème de

singularité puisqu'ils mettent en jeu la distance r' à la source image qui ne peut s'annuler.

On peut alors vérifier aisément que le dernier terme, fonction directe de Pβ, n'est pas

singulier sur le petit intervalle d'intégration Γi. En effet, les formules eq. 4- 33 à eq. 4- 40

montrent que l'on a sur l'écran yM=yP=0 donc θ0=0, γ=1 et la fonction f de l'équation eq. 4-

37 se simplifie pour devenir :

02i)-tRe( avec )it1(i2t

1)t(f >

+β+−= eq. 4- 60

La formule ci-dessus est valable dans le cas où β est proche de 1. Dans le cas contraire,

il faut bien sûr utiliser eq. 4- 39 et eq. 4- 40, et la fonction g se simplifie :

0)1(Re),-1Re( avec ))1(it(12

1e)t(f)t(g 2

2

4/i

≥β+ββ+−β−

β+−=

π−

eq. 4- 61

L'intégrale eq. 4- 36 (ou eq. 4- 39 selon la valeur de β) se calcule facilement et pour

finir l'intégration du terme en Pβ ne pose pas non plus de problème. Les coefficients Aij de

la matrice sont donc bien tous définis. En s'appuyant sur les résultats du paragraphe pour le

sol rigide, on les calcule par la formule qui suit, valable pour tout couple (i,j) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫

Γ β

ΓΓ

Γ∂∂+

Γ∂∂=Γ∂∂

ijPnMn

ij0PnMn

ijPnMn

Pd,PMP

Pd,PMGPFPd,PMGPFeq. 4- 62

Le système linéaire est ensuite résolu toujours grâce à une stratégie de pivot total de

Gauss afin de déterminer la densité µ du potentiel de double couche. Cette dernière étant

connue, la pression acoustique peut alors être calculée en tout point récepteur via la

formulation intégrale de départ (eq. 4- 24).


- 134 -

La figure 4. 13 montre les résultats du code de calcul BEMAS2D ainsi obtenu sur une

configuration de Isei (fig. 6 [Isei, et al., 1980], représentée par le schéma de la figure 4.

12). Les niveaux de pression sont rapportés au champ libre. L'accord entre les résultats de

BEMAS2D et ceux du calcul par le programme SCREEN utilisé par Isei, basé sur la

théorie de la diffraction de Mac Donald, est très bon. La figure 4. 14 donne plus

précisément les résultats pour une résistance au passage de l'air σ = 300 cgs et les compare

à des résultats expérimentaux donnés par Isei et à un résultat de calcul de Duhamel

[Duhamel et Sergent, 1998] par une méthode directe d'éléments finis de frontière. Sur cette

figure, on peut constater que les résultats donnés par les deux BEM sont confondus et

voisins des résultats de mesure. La figure 4. 16 compare pour finir des résultats du code de

calcul BEMAS2D à des résultats de la BEM de Chandler-Wilde (cf fig. 6 [Hothersall, et

al., 1991]) pour une configuration d'écran rigide au-dessus d'un sol plan parfaitement

réfléchissant puis absorbant (σ = 300 cgs) schématisée par la figure 4. 15. Les résultats des

deux BEM sont proches. Il faut toutefois souligner qu'un écart jusqu'à environ 2 dB

apparaît pour le sol rigide entre les deux méthodes, l'accord étant meilleur pour le cas du

sol absorbant sauf à haute fréquence où la différence entre les deux résultats avoisine là-

aussi les 2 dB. Mentionnons que pour la figure 4. 13, la figure 4. 14 et la figure 4. 16,

l'impédance du sol a été calculée, à partir de la résistance au passage de l'air σ, par le

modèle classique de Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970].

figure 4. 12 : Schéma de la configuration étudiée par Isei et Duhamel.


- 135 -

Résultats de BEMAS2D Résultats de Isei

sigma = 20000 cgs

sigma = 2000 cgs

sigma = 1000 cgs

sigma = 500 cgs

sigma = 300 cgs

figure 4. 13 : Effet de la variation du paramètre de résistance au passage de l'air σ sur les niveaux depression calculés, pour une même configuration d'écran acoustique (figure 4. 12).

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000 104

Atté

nuat

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

Mesures de Isei

Calcul BEM de Duhamel

Calcul BEMAS2D

figure 4. 14 : Atténuation par rapport au champ libre pour la configuration de la figure 4. 12, σ = 300 cgs.

-30

-20

-10

0

10

100 1000 104

Niv

eau

de p

ress

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

100 1000 104

Niv

eau

de p

ress

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 136 -

figure 4. 15 : Schéma de la configuration de Chandler-Wilde.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

100 1000

Atté

nuat

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

Ecran sur sol rigide (BEMAS2D)Ecran sur sol absorbant (BEMAS2D)Ecran sur sol rigide (Chandler-Wilde)Ecran sur sol absorbant (Chandler-Wilde)

figure 4. 16 : Spectres d'atténuation en présence d'un écran au-dessus d'un sol rigide puis absorbant(σ = 300 cgs) pour la configuration géométrique décrite par la figure 4. 15.


- 137 -

4.5 Conclusion

L'élaboration du code de calcul BEMAS2D a été présentée en détail dans les

paragraphes précédents pour un écran droit mince rigide en milieu infini tout d'abord puis

sur sol plan rigide et finalement sur sol plan absorbant. La figure 4. 17 résume les grandes

étapes de cette formulation aux éléments finis de frontière basée sur la théorie des

potentiels de couche.

Comme on l’a souligné au chapitre 2, la pierre angulaire de la méthode des éléments

finis de frontière est la fonction de Green du problème considéré qui permet, par la prise en

compte d'un certain nombre de conditions aux limites, de diminuer le domaine

d'intégration en jeu dans la formulation intégrale. Le tableau suivant récapitule les trois

fonctions de Green en milieu homogène apparaissant successivement dans ce chapitre aux

paragraphes 4.2, 4.3 et 4.4. Ces fonctions de Green permettent de ne mailler que l'écran

acoustique Γ en prenant notamment en compte les effets de sol dans le cas de la

propagation acoustique au-dessus d'un sol plan rigide, puis absorbant.

Problème physique Fonction de Green correspondante

propagation en milieu infini ))M,P(dk(H4

i)M,P(G 0−=

propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide

))M,'P(dk(H4

i))M,P(dk(H

4

i)M,P(G)M,P(G 000 −−==

propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant

)M,P(P)M,P(G)M,P(G 0 β+=

∫∞+

∞ +−−

−−−+=

-22

PM2

PM

ds)s1(s1

)s)y(ys1)zik((ze

2

i

P

Tableau 4. 1 : Les différentes fonctions de Green intervenant dans la BEM en milieu homogène.

Le chapitre suivant présente la méthode suivie pour obtenir la fonction de Green en

atmosphère inhomogène.


- 138 -

figure 4. 17 : Les étapes du code de calcul BEMAS2D.

- 139 -

Chapitre 5

La formulation retenue en milieu inhomogène : les

modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES

5.1 Introduction

Dans cette partie, on expose en détail la solution retenue pour prendre en compte les

effets météorologiques dans la méthode d'éléments finis de frontière développée au

chapitre 4. L'introduction de ces effets météorologiques dans la BEM se fait via la fonction

de Green qui repose sur les modèles retenus à l'issue de l'étude des grands modèles de

propagation existant à l'heure actuelle, étude présentée dans le chapitre 3. Chacun de ces

modèles donne naissance à un code de calcul qui sera utilisé dans le nouveau modèle

Météo-BEM, présenté au chapitre 6.

Ainsi les modèles propagatifs retenus sont (le nom des codes de calcul correspondants

est donné entre parenthèses) : la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas

(code de calcul DOWNMOD), la solution géométrique (UPGEOM) et la série des résidus

(UPRES) dans le cas de la réfraction vers le haut, respectivement en région éclairée et en

zone d'ombre.

Le but de ce chapitre 5 est non seulement de présenter plus en détail les théories sous-

jacentes à ces solutions, mais aussi d'en étudier le comportement ainsi que le domaine de

validité. La dérivée du champ de pression sera notamment examinée.

Enfin, le paragraphe 5.4 précise la notion de profil linéaire de vitesse du son, hypothèse

sous laquelle ont été construits les modèles de ce chapitre, et le paragraphe 5.5 expose plus

précisément le concept de l'analogie propagation au-dessus d'un sol plan en milieu

inhomogène – propagation au-dessus d'une surface courbe en milieu homogène, concept

important pour le développement de la solution géométrique en milieu inhomogène et pour

la théorie des mesures sur modèles réduits au-dessus de surfaces courbées.

Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène

- 140 -

5.2 Réfraction vers le bas : le modèle DOWNMOD

Dans le cas de la réfraction vers le bas, l'examen des avantages et inconvénients relatifs

à chaque modèle existant a mis en évidence l'intérêt de la solution des modes normaux en

vue de servir de fonction de Green à la formulation d'éléments finis de frontière.

Dans le cas d'un profil linéaire donné par l'expression eq. 3- 70, la solution des modes

normaux est donnée pour une source ponctuelle par la formule eq. 3- 76, et pour une

source linéique par eq. 3- 88. Cette dernière formule, qui servira de base pour fournir la

fonction de Green introduite dans le modèle bidimensionnel BEMAS2D détaillé dans le

chapitre 4, est rappelée ci-après :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τπ=

n2

n'2

nnn

nsnxik

AiAik

l/zAil/zAie

l

i2z,xp

n

eq. 5- 1

Le point délicat de la méthode des modes normaux consiste en la recherche des zéros τn

de l'équation eq. 3- 78 qui donnent, grâce à eq. 3- 77, les nombres d'onde horizontaux kn.

Ces zéros de eq. 3- 78 sont capturés dans le plan complexe à l'aide d'une méthode hybride

de Powell adaptée pour les solutions de système non-linéaires [Moré, et al., ], [Powell,

1970]. La méthodologie suivie est exposée en détail dans [Raspet, et al., 1992]. On part de

la solution pour le paramètre q égal à zéro, qui est en fait la valeur du zéro de la dérivée de

la fonction de Airy, et l'on incrémente le paramètre q de ∆q en l'utilisant comme solution

de départ. On cherche alors de nouveau la solution de eq. 3- 78 toujours grâce au schéma

de Powell adapté, puis ce processus est répété de manière itérative jusqu'à ce que l'on

atteigne la valeur réelle du paramètre q. On peut trouver dans [Raspet, et al., 1992] une

expression pour estimer la valeur du pôle τn en fonction de la valeur du paramètre q et de la

position du mode par rapport au mode d'impédance du sol. Cette expression permet

d'accélérer le processus de convergence vers la solution de eq. 3- 78.

En ce qui concerne l'implémentation numérique, une instabilité numérique significative

donne naissance à de petites oscillations rapides dans le champ acoustique dues au

comportement oscillatoire des fonctions de Airy pour les grands arguments. Ceci risque

d'être gênant pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green qui intervient

dans la BEM. Ce problème est surmonté en supposant que près de la verticale les gradients


- 141 -

de vitesse du son n'affectent que très peu la propagation. Ainsi pour des petits nombres

d'onde horizontaux kn (propagation quasi-verticale) tout se passe comme si la propagation

se faisait en milieu homogène i.e. selon des trajectoires rectilignes (voir à ce sujet

[Rasmussen, 1990], [Taherzadeh, et al., 1998]). Le modèle obtenu a donné naissance à un

code de calcul baptisé DOWNMOD.

Les résultats obtenus avec la solution des modes normaux 3D (pour une source

ponctuelle), modifiée de manière à supprimer les oscillations, ont été comparés avec succès

à ceux donnés dans l'article de synthèse [Attenborough, et al., 1995], en termes de perte par

transmission. La perte par transmission est définie de la manière suivante :

m 1 à libre champ

Mpoint au total champlog20nransmissioTpar Perte =

La figure 5. 1 montre les résultats dans le cas 2 à 100 Hz de la publication (cf fig.6

[Attenborough, et al., 1995]) ; les hauteurs de source et de récepteur sont de 5 m et 1 m, la

portée varie de 0.1 à 10000 m, l'impédance spécifique de surface du sol vaut

Zc=(12.81,11.62) et le gradient vertical de vitesse du son 0.1 s-1. Les instabilités présentes

dans le résultat de la figure 6 [Attenborough, et al., 1995] avec la solution des modes

normaux à courte distance (jusqu'à environ 1000 m) ne sont pas visibles dans le résultat de

la figure 5. 1, obtenu par DOWNMOD. Ce meilleur résultat est obtenu à l'aide du

traitement des modes verticaux de la série eq. 3- 76 (source ponctuelle) ou eq. 3- 88

(source linéique) présenté ci-dessus.

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

0 2 103 4 103 6 103 8 103 1 104

Per

te p

ar tr

ansm

issi

on (

dB)

Portée (m)

figure 5. 1 : Perte par transmission calculée par DOWNMOD en fonction de la portée (cf fig. 6

[Attenborough, et al., 1995]).


- 142 -

Le modèle des modes normaux ainsi "amélioré", DOWNMOD, est confronté dans la

figure 5. 2 aux résultats de la FFP et de l'Equation Parabolique de la figure 12 du

"benchmark" [Attenborough, et al., 1995], rappelés figure 5. 3. On constate que les

résultats de ces deux modèles coïncident quasiment avec ceux du code de calcul

DOWNMOD en 3D. A 1000 Hz toutefois, le nombre de modes normaux nécessaires pour

que la série converge est de 6667 et l'on peut alors remarquer quelques différences entre les

résultats à grande distance.

Pour valider le modèle adapté au cas d'une source linéique (2D), les résultats en termes

d'atténuation par rapport au champ libre eq. 3- 76 ont été comparés à ceux obtenus par le

modèle classique valable pour une source ponctuelle eq. 3- 88 et à des résultats

numériques donnés par la FFP, l'Equation Parabolique ainsi qu'à des résultats

expérimentaux pour un grand nombre de cas. Les résultats du code de calcul DOWNMOD

en 3D se superposent rigoureusement dans tous les cas étudiés aux résultats du même code

adapté au 2D. La figure 5. 4 montre sur un exemple correspondant à la figure 7 de l'article

de Raspet [Raspet, et al., 1992] que le modèle pour la source cylindrique est robuste

puisqu'il fournit les mêmes résultats, en atténuation par rapport au champ libre, que le

modèle pour la source sphérique et que l'accord est très bon avec un résultat de calcul de la

FFP.


- 143 -

10 Hz

100 Hz

1000 Hz

figure 5. 2 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par DOWNMOD (3D). Hauteurs de lasource et du récepteur : zS = 5 m, zR = 1 m. Le gradient de vitesse du son est donné par : dc/dz = 0.1 s-1.L'impédance spécifique normalisée du sol Zc vaut (38.79, 38.41) à 10 Hz, (12.81, 1162) à 100 Hz, (5.96, 2.46) à1000 Hz.

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200

Per

te p

ar tr

ansm

issi

on (

dB)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104


- 144 -

figure 5. 3 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou l'EquationParabolique, correspondant à la figure 5. 2 (cf fig. 12 [Attenborough, et al., 1995]).


- 145 -

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000

Atté

nuat

ion

(dB

)

Portée (m)

DOWNMOD (2D)

DOWNMOD (3D)

FFP

figure 5. 4 : Atténuation comparée de DOWNMOD (2D), DOWNMOD (3) et de la FFP, en fonction de ladistance (cf exemple 2, fig. 7 [Raspet, et al., 1992]).

Le modèle DOWNMOD (2D) pour une source cylindrique est également comparé à des

résultats de mesure et de calcul selon une approche intégrale de Rasmussen pour des cas de

propagation acoustique au-dessus d'un sol herbeux en situation de vent portant

[Rasmussen, 1986]. Les résultats sont basés selon le modèle d'impédance de sol de Delany-

Bazley [Delany et Bazley, 1970] sur une résistance au passage de l'air σ = 200000 Nsm-4.

Le gradient de vent est pris en compte par l'intermédiaire d'un gradient équivalent de

vitesse du son donné par le paramètre a de l'expression eq. 3- 70, suivant la formule :

dz

dV

)0(c

1a =

La figure 5. 5 montre que les résultats du modèle DOWNMOD (2D) sont très proches

du modèle de Rasmussen et se comparent favorablement aux résultats expérimentaux, bien

qu'ayant été calculés sous l'hypothèse de gradients linéaires. Le modèle DOWNMOD (2D)

peut donc permettre de décrire des situations de vent portant.


- 146 -

Distance de propagation d(S,R) = 40 m.


Hauteur de récepteur zR = 1,5 m Hauteur de récepteur zR = 0,5 m

Niveaux mesurés par Rasmussen

Calcul de Rasmussen

DOWNMOD (2D)

figure 5. 5 : Comparaison de DOWNMOD (2D) à des résultats de Rasmussen [Rasmussen, 1986]. Niveauxde pression relatif au champ libre en situation de vent portant au-dessus d'un sol herbeux (σ = 200000 Nsm-4),hauteur de source zS = 1,45 m, vitesse du vent 2,5 m/s à 10 m.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)


- 147 -

Le modèle DOWNMOD étant cohérent dans ses résultats pour une source ponctuelle et

une source cylindrique en termes de niveau relatif, et se comparant favorablement à

d'autres résultats de mesure ou de calcul, on alors cherché à vérifier le comportement de la

dérivée du champ de pression calculée par ce modèle. Pour ce faire, on a confronté des

résultats du calcul de la dérivée horizontale par DOWNMOD (cf eq. 3- 89) à des résultats

expérimentaux réalisés par Wang [Wang, 1997] pour un dipôle horizontal au-dessus d'une

surface concave. En effet, la dérivée horizontale du champ de pression est égale à un

facteur multiplicatif près au champ de pression rayonné par un dipôle horizontal (voir

[Wang, 1997]). Les résultats de la figure 5. 6 sont présentés en termes de perte par

transmission suivant la définition donnée précédemment. Soulignons que le modèle

DOWNMOD (3D) pour une source ponctuelle a été utilisé. Cependant les résultats obtenus

en calculant la perte par transmission à partir du modèle DOWNMOD (2D) pour une

source cylindrique, selon la relation exposée ci-dessous (basée sur la propriété que les

atténuations relatives au champ libre sont identiques pour une source ponctuelle et une

source cylindrique) étaient rigoureusement superposables dans tous les cas de figure

étudiés. Etablissons la relation qui lie les pertes par transmission pour une source sphérique

et une source cylindrique. En appelant p3D et p2D le champ total de pression acoustique,

respectivement en 3D (source ponctuelle) et en 2D (source linéique), on a :

( ))M,S(dlog20A.E.1

e)M,S(d

e

)M,S(d

e

(M)plog20

m 1 à libre champ

Mpoint au total champlog20nransmissioTpar Perte

D3

1i

)M,S(ikd

)M,S(ikdD3

D3D3

−=

=

=

Ici E.A (pour Excess Attenuation) représente l'atténuation relative au champ libre.

Or, en considérant que l'on a : D2D3 A.EA.E ≡ , on peut écrire la relation suivante :

( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) )M,S(d)M,S(kdH

kH log 20nransmissioTpar Perte

)M,S(dlog20)M,S(kdH4/i

.1 kH4/i

.1 kH4/i

(M)plog20

)M,S(dlog20A.EnransmissioTpar Perte

0

0D2

0

0

0

D2

D2D3

+=

−−

−−

=

−=


- 148 -

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)

Distance de la source (m)

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)


Les résultats du calcul de la dérivée du champ de pression par DOWNMOD (2D),

exprimés via la formule qui précède, sont confondus avec ceux issus du calcul par

DOWNMOD (3D) montrés dans la figure 5. 6.

(a) sol rigide (b) sol absorbant

Mesures de WangDOWNMOD (3D)

figure 5. 6 : Comparaison de la dérivée du champ de pression calculée par DOWNMOD (3D) et derésultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal sur une surface concave de rayon de courbureRc = 2.5m, f = 2915 Hz. (a) surface rigide : zS = 0.02 m, zR = 0. m. (b) surface absorbante (modèle deporosité variable à deux paramètres) : σe = 38000 Pa s m-2, αe = 15 m-1, zS = zR = 0.10 m. Résultats donnés entermes de Perte par Transmission.

On constate que ces résultats sont proches des résultats de mesure de Wang, bien qu'un

écart d'environ 2 à 3 dB apparaisse pour le cas de la surface absorbante, lorsque l'on

s'éloigne de la source, à partir de 1.50 m environ du point-source. Cet écart peut s'expliquer

par le fait que rigoureusement, selon Wang, le profil de vitesse du son "équivalent" dans

l'analogie propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée – propagation

en milieu inhomogène au-dessus d'une surface plane, est plutôt exponentiel que bilinéaire,

profil sur lequel repose la solution des modes normaux.

En résumé, dans ce paragraphe la solution retenue pour la réfraction vers le bas, à savoir

la solution des modes normaux, a été validée par rapport à des résultats expérimentaux et

numériques. On a également vérifié la cohérence des résultats pour une source linéique par

rapport à une source ponctuelle en termes d'atténuation par rapport au champ libre. Le

comportement de la dérivée du champ de pression, nécessaire au calcul de la dérivée des

fonctions de Green de la méthode des éléments finis de frontière, a aussi été examiné.


- 149 -

5.3 Réfraction vers le haut : les modèles UPGEOM et UPRES

La solution retenue dans le cas de la réfraction vers le haut est examinée avec plus de

précision dans ce paragraphe. Le paragraphe 3.3.4.4 a montré que l'on pouvait retenir dans

le cas d'un profil de vitesse du son linéaire à gradient négatif la solution de la série des

résidus dans la zone d'ombre. Cette solution, bien que convergeant plus lentement dans la

zone de pénombre acoustique, reste valable à la transition de la zone d'ombre vers la zone

éclairée. Puis, lorsque le récepteur est situé profondément à l'intérieur de la zone éclairée,

la série des résidus diverge. Il faut alors adjoindre à cette solution une autre formulation,

approchée, que l'on construit en utilisant les résultats du modèle analytique de l'effet de sol

présentés dans le paragraphe 3.3.4.1. Cette formulation, bien qu'approchée, a le mérite

d'être simple et de donner des résultats corrects. Elle conduit cependant à des dérivations

numériques pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green nécessaires à la

méthode des éléments finis de frontière.

5.3.1 La solution géométrique en zone éclairée : le modèle UPGEOM

A l'intérieur de la zone éclairée, la solution de la série des résidus exposée dans le

paragraphe 3.3.4.4 divergeant, il convient d'exprimer le champ de pression sous une autre

forme. Pour ce faire, on s'appuie sur le modèle géométrique présenté dans [Berry et Daigle,

1988], reposant sur l'équivalence propagation en situation de réfraction vers le haut au-

dessus d'un sol plan – propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre convexe.

Cette analogie est présentée plus en détail au paragraphe 5.5.

La figure 5. 7 définit les différentes notations utilisées pour construire le modèle

géométrique, qui sont les mêmes que dans [Berry et Daigle, 1988].


- 150 -

figure 5. 7 : Schéma pour la propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre convexe.

Dans le cas d'une source ponctuelle au-dessus d'un cylindre rigide de rayon de courbure

Rc, la pression acoustique peut se décomposer de la manière suivante (dépendance en e-iωt

comme toujours sous-entendue) :

( ) )M(p)M(pMp ri += eq. 5- 2

où pi est le champ incident, et pr, le champ réfléchi.

pi est donné, au facteur 1/4π près, par :

d

e)M(p

ikd

i = eq. 5- 3

Quant au champ réfléchi pr, il faut prendre en compte, outre la perte d'énergie par

divergence géométrique, la déformation du tube d'énergie par la surface cylindrique,

schématisée par la figure 5. 8.


- 151 -

figure 5. 8 : Déformation du tube de rayons lors de la réflexion sur la surface courbée.

On peut écrire dans ce cas, d'après [Pierce, 1991] :

)c/lt,M(p)l(A

)0(A)t,M(p)M(p i

2/1

rr −

== eq. 5- 4

où A(l) représente l'aire de la section du tube de rayons après avoir parcouru une

distance l le long du rayon après le point de réflexion où cette aire vaut A(0). On peut

montrer que pour une onde sphérique rencontrant une surface cylindrique avec un angle

d'incidence θ, dans un plan normal à la génératrice du cylindre, on a :

θ

+++=cosR

l2

R

l1)

R

l1(

)0(A

)l(A

cii

eq. 5- 5

Ri est le rayon de courbure de l'onde incidente au point de réflexion sur la surface.

Par conséquent, avec les notations de notre problème Ri = d1 et l = d2 (voir figure 5. 7),

le champ de pression réfléchi se présente sous la forme suivante :

2

1ikd

1

ikd2/1

c

2

1

2

1

2r e

d

e

cosR

d2

d

d1)

d

d1()M(p

−

θ

+++= eq. 5- 6

On peut réécrire cette expression de la manière suivante :

2

1ikd

1

ikd2/1

21c

12

21

1r e

d

e

cos)dd(R

dd21

dd

d)M(p

−

θ+

++

= eq. 5- 7

On voit alors apparaître dans le premier terme de cette formule le rapport des distances

d1/(d1+d2) qui représente la perte d'énergie de l'onde sphérique par divergence

géométrique. Le deuxième terme entre crochets représente quant à lui la perte d'énergie

due à la déformation du tube d'énergie pour une onde sphérique rencontrant une surface

cylindrique (i.e la déformation d'un tube parallèle d'énergie incidente qui se réfléchit en un

faisceau divergent sur la surface courbée), le dernier terme en eikd2 étant dû au déphasage

de l'onde après avoir parcouru la distance d2 après le point de réflexion.


- 152 -

Les paramètres géométriques dans eq. 5- 3 et eq. 5- 6 sont déterminés de la manière

suivante (voir la figure 5. 7 pour les notations) :

β+α=θ eq. 5- 8

1

c

d

sinRarcsin

β=α eq. 5- 9

( ) ( ) β+−++= coshRR2RhRd Scc2c

22Sc

21

eq. 5- 10

( ) ( ) ( )β−+−++= ccc2c

22c

22 R/rcoshRR2RhRd eq. 5- 11

( ) ( ) ( )( ) ( )cScc2

c2

Sc2 R/rcoshRhR2hRhRd ++−+++= eq. 5- 12

Et β est la solution de :

( )hR

hR

d

d

sin

R/rsin

c

Sc

1

2c

++=

ββ−

eq. 5- 13

La valeur de β est trouvée en utilisant la technique de Brent (voir [Press, et al., 1992])

pour déterminer les zéros d'une fonction. Dans le cas où le sol n'est plus parfaitement

réfléchissant, on peut adopter la solution géométrique heuristique de [Berry et Daigle,

1988] qui reprend la forme de la solution analytique de l'effet de sol en milieu homogène

présentée dans le paragraphe 3.3.4.1 et l'on peut ainsi écrire :

( ) )M(Qp)M(pMp ri += eq. 5- 14

où Q est le coefficient de réflexion pour une onde sphérique donné par eq. 3- 63.

La solution donnée par eq. 5- 2, eq. 5- 3, eq. 5- 6 et eq. 5- 14 est valable pour une

source ponctuelle. Dans le cas du rayonnement cylindrique d'une source linéique, on peut

reprendre la même forme heuristique que eq. 5- 2 et eq. 5- 14 en écrivant cette fois le

champ incident de la manière suivante :

)kd(H4

i)M(p 0i −= eq. 5- 15

Pour le champ réfléchi, la formule eq. 5- 4 reste valable. Et l'on peut montrer, en

utilisant l'approche de Pierce [Pierce, 1991], que dans ce cas :

θ

++=cosR

l2

R

l1

)0(A

)l(A

ci

eq. 5- 16

Par conséquent eq. 5- 4 devient :


- 153 -

( ) 2ikd10

2/1

c

2

1

2r ekdH

4

i

cosR

d2

d

d1)M(p

−

θ

++=−

eq. 5- 17

que l'on peut réécrire sous la forme :

( ) 2ikd10

2/1

21c

12

21

1r ekdH

4

i

cos)dd(R

dd21

dd

d)M(p

−

θ+

++

=−

eq. 5- 18

On reconnaît, comme dans eq. 5- 7, le premier terme de cette formule qui représente la

perte d'énergie de l'onde cylindrique par divergence cylindrique sous la forme de la racine

du rapport des distances. Le deuxième terme entre crochets représente toujours quant à lui

la perte d'énergie due à la déformation du tube d'énergie pour une onde rencontrant une

surface cylindrique, le dernier terme en eikd2 étant, de même que dans eq. 5- 7, dû au

déphasage de l'onde après avoir parcouru la distance d2 après le point de réflexion.

Il faut souligner qu'écrire eq. 5- 14 en utilisant les expressions eq. 5- 15 et eq. 5- 17

revient à faire l'hypothèse que le coefficient de réflexion d'une onde cylindrique

rencontrant une surface plane absorbante est voisin du coefficient de réflexion dans les

mêmes conditions mais pour une onde incidente sphérique (voir [Chandler-Wilde, 1985,

Chandler-Wilde, 1988]). En outre il faut garder présent à l'esprit que ce modèle,

géométrique, est une approximation haute fréquence.

Quoi qu'il en soit, la validité de ce modèle approché, aboutissant au code de calcul

nommé UPGEOM, a été testée sur de nombreux cas en confrontant les résultats en termes

d'atténuation relative au champ libre pour une source sphérique et une source cylindrique.

Dans tous les cas étudiés, les résultats entre modèle 2D (source cylindrique) et modèle 3D

(source ponctuelle) se sont avérés rigoureusement confondus. La figure 5. 9 compare les

résultats donnés par le modèle UPGEOM (2D) pour une source cylindrique – le modèle

UPGEOM (3D) donne des résultats exactement superposables - à des résultats

expérimentaux fournis par Wang (cf fig. 3.23 et 3.22 p93, [Wang, 1997]), mesurés au-

dessus d'une surface convexe parfaitement réfléchissante puis absorbante. On constate que

les résultats du modèle UPGEOM (2D) sont voisins des résultats de mesure pour les deux

types de sol, à moins de 2 dB près.


- 154 -

surface rigide surface absorbante

Mesures de WangUPGEOM (2D)

figure 5. 9 : Comparaison du modèle UPGEOM (2D) en zone éclairée à des résultats expérimentaux deWang [Wang, 1997] au-dessus de surfaces courbées de rayon de courbure Rc = 5 m.

surface rigide : zS= 0.43 m, zR = 0.93 m, d(S,R) = 3.65 msurface absorbante : σ = 60000 kPa s m-2, zS= 0.30 m, zR = 1.46 m, d(S,R) = 3.43 m

Dans le contexte de cette étude, on a besoin de calculer les dérivées normales de la

fonction de Green dans la BEM. Or à cet égard les formules eq. 5- 2 et eq. 5- 14 ne sont

pas aisément dérivables directement de façon analytique et l'introduction dans la méthode

d'éléments finis de frontière des phénomènes de réfraction vers le haut nécessite alors le

recours à une dérivation numérique. Ceci est réalisé en utilisant la méthode de Ridders

[Press, et al., 1992]. Les résultats sont comparés, de la même manière que pour la

réfraction vers le bas, à ceux issus de la théorie des dipôles (voir paragraphe 5.3.3), et

montrent que l'accord est correct entre les différentes valeurs obtenues.

-10

-5

0

5

10

1000 104

Atté

nuat

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

-10

-5

0

5

10

1000 104

Atté

nuat

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 155 -

5.3.2 La série des résidus en zone d'ombre : le modèle UPRES

Dans le cas de la réfraction vers le haut, à la solution des modes normaux pour la

réfraction vers le bas correspond la solution de la série des résidus, avec les mêmes

avantages et inconvénients, en vue de servir de fonction de Green à la formulation

d'éléments finis de frontière.

Dans le cas d'un profil linéaire donné par l'expression eq. 3- 71, la solution de la série

des résidus est donnée pour une source ponctuelle par la formule eq. 3- 95, et pour une

source linéique par eq. 3- 103. Cette dernière formule, qui servira de base pour fournir la

fonction de Green introduite pour la réfraction vers le haut dans le modèle bidimensionnel

BEMAS2D détaillé dans le chapitre 3, est rappelée ci-après :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−π=πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2sn

xik6/i

bAibb'Aik

e)l/z(bAie)l/z(bAie

l

e2z,xp

n

eq. 5- 19

Le point délicat de la série des résidus consiste, de même que pour la solution des

modes normaux, à rechercher les zéros bn de l'équation eq. 3- 97 qui donnent, grâce à eq.

3- 96, les nombres d'onde horizontaux kn. Ces zéros sont également capturés dans le plan

complexe à l'aide d'une méthode hybride de Powell adaptée pour les solutions de système

non-linéaires [Moré, et al., ], [Powell, 1970]. La méthodologie suivie est exposée en détail

dans [Raspet, et al., 1991] et [Berry et Daigle, 1988]. On part toujours de la solution pour

le paramètre q égal à zéro, qui est en fait la valeur du zéro de la dérivée de la fonction de

Airy, et l'on incrémente le paramètre q de ∆q en l'utilisant comme solution de départ. On

cherche alors de nouveau la solution de eq. 3- 97 toujours grâce au schéma de Powell

adapté, puis ce processus est répété de manière itérative jusqu'à ce que l'on atteigne la

valeur réelle du paramètre q. En ce qui concerne l'application à un code de calcul, on

retrouve le problème de l'instabilité numérique significative due au comportement

oscillatoire des fonctions de Airy pour les grands arguments qui donne naissance à de

petites oscillations rapides dans le champ. Pour surmonter ce problème épineux pour le

calcul des dérivées normales de la fonction de Green qui intervient dans la BEM, on suit la

même idée que pour la réfraction vers le bas : on suppose que près de la verticale les

gradients de vitesse du son n'affectent que très peu la propagation. Ainsi pour des petits

nombres d'onde horizontaux kn (propagation quasi-verticale), tout se passe comme si la


- 156 -

propagation se faisait en milieu homogène i.e. selon des trajectoires rectilignes

[Rasmussen, 1990], [Taherzadeh, et al., 1998].

Les résultats obtenus avec la série des résidus ainsi modifiée de manière à supprimer les

oscillations, donnant naissance au code de calcul UPRES, ont été comparés avec succès à

ceux donnés dans l'article de synthèse [Attenborough, et al., 1995]. La figure 5. 10 montre

les résultats dans le cas 3 de la publication (correspondant à la figure 13, p.188). Les

hauteurs de source et de récepteur sont de 5 m et 1 m, la portée varie de 0.1 à 10000 m,

l'impédance spécifique de surface du sol vaut Zc=(12.81,11.62) et le gradient vertical de

vitesse du son -0.1 s-1. Les instabilités présentes dans le résultat de [Attenborough, et al.,

1995] avec la solution de la série des résidus à courte distance ne sont pas visibles dans le

résultat de la figure 5. 10. Ce meilleur résultat est obtenu à l'aide du traitement des modes

verticaux de la série eq. 3- 95 (source ponctuelle) ou eq. 3- 103 (source linéique) présenté

ci-dessus.


- 157 -

10 Hz

100 Hz

1000 Hz

figure 5. 10 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par UPRES (3D). Hauteurs de lasource et du récepteur : zS = 5 m, zR = 1 m. Le gradient de vitesse du son est donné par : dc/dz = -0.1 s-1.L'impédance spécifique normalisée du sol Zc vaut (38.79, 38.41) à 10 Hz, (12.81, 1162) à 100 Hz, (5.96, 2.46) à1000 Hz.

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200

Per

te p

ar tr

ansm

issi

on (

dB)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2000 4000 6000 8000 1 104


- 158 -

figure 5. 11 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou l'EquationParabolique, correspondant à la figure 5. 10 (cf fig. 13 [Attenborough, et al., 1995]).


- 159 -

Pour valider le modèle adapté au cas d'une source linéique, on a recalculé les résultats

de la figure 5. 10 et de la figure 5. 11, en utilisant la relation du paragraphe 5.2, entre la

perte par transmission en 3D et la perte par transmission en 2D. Les courbes obtenues se

superposent à celles de la figure 5. 10. On a également comparé les résultats en termes

d'atténuation par rapport au champ libre, calculés dans le cas d'une source linéique (cf eq.

3- 103), à ceux obtenus par le modèle classique valable pour une source ponctuelle (eq. 3-

95), et à des mesures expérimentales dans de nombreuses configurations. Dans tous les cas

observés, les résultats du modèle UPRES (2D) pour une source cylindrique sont confondus

avec les résultats du même modèle pour une source ponctuelle UPRES (3D).



Hauteur de récepteur zR = 1,5 m Hauteur de récepteur zR = 0,5 m

Mesures de RasmussenCalcul de RasmussenUPRES (2D)

figure 5. 12 : Comparaison de UPRES (2D) à des résultats de Rasmussen [Rasmussen, 1986]. Niveaux depression relatif au champ libre en situation de vent contraire au-dessus d'un sol herbeux (σ = 200000 Nsm-4),hauteur de source zS = 1,45 m, vitesse du vent -2m/s à 10 m.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

100 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)


- 160 -

La figure 5. 12 illustre, sur un exemple donné par Rasmussen [Rasmussen, 1986], le

bon accord obtenu entre les résultats du modèle UPRES (2D) et des résultats

expérimentaux, pour une situation de vent contraire (-2 m/s à 10 m de hauteur), similaire à

la situation de vent portant présentée figure 5. 5.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 20 40 60 80 100 120

Atté

nuat

ion

(dB

)

Distance par rapport au sommet de la surface (cm)

Mesures de WangUPRES (2D) rUPRES (2D) d

figure 5. 13 : Comparaison du modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux dans la zone d'ombre[Wang, 1997]. Atténuation par rapport au champ libre à 4350 Hz le long de la ligne de vue, au-dessus d'unesurface convexe de rayon de courbure Rc = 2.5 m, caractérisée par les paramètres σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15m-1. Hauteur de source zS = 0.24 m. Le modèle UPRES (2D) d est identique au modèle UPRES (2D) r, enremplaçant la distance le long de l'arc de cercle r par la plus courte distance d entre source et récepteur (cf[Berthelot, 1996]).

La figure 5. 13 compare le modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux de Wang

[Wang, 1997] et prouve que l'on retrouve redonne bien le comportement global de

l'atténuation montré par les mesures. Cependant, des écarts jusqu'à 5 dB entre le modèle et

la mesure, peuvent survenir, notamment à 1,20 m de la source. Berry et Daigle [Berry et

Daigle, 1988] ont montré par ailleurs que les résultats comparés de la mesure et du modèle

de la série des résidus sont moins bons dans la zone de transition dite zone de pénombre. Il

est toutefois possible, selon Berthelot [Berthelot, 1996], de les améliorer en utilisant la

valeur de la distance la plus courte entre la source et le récepteur à la place de la longueur

de l'arc le long de la surface courbée entre ces deux points (voir la discussion du

paragraphe 5.5). La figure 5. 13 prouve en effet que les résultats de la série des résidus

sont plus proches des résultats expérimentaux si l'on prend en compte cette modification

empirique.

Concernant la dérivée du champ de pression, les résultats sont toujours comparés, de

même que pour la solution géométrique, à ceux issus de la théorie des dipôles (voir le


- 161 -

paragraphe 5.3.3), et la confrontation entre les différentes valeurs obtenues prouve que le

modèle UPRES donne des résultats d'une précision correcte.

5.3.3 Les critères de transition entre les modèles UPGEOM et UPRES

Il importe à ce stade de mieux cerner les limites d'utilisation des modèles UPGEOM et

UPRES, quant à leur domaine spatial de validité. Le changement de solution pour la

fonction de Green (série des résidus – solution géométrique) est gouverné par la limite

physique de la zone d'ombre. On peut écrire qu'un point M de coordonnées (yM, zM) est

dans la zone d'ombre réfractive pour une onde émise par une source S de coordonnées (yS,

zS) si (voir par exemple [West, et al., 1989]) :

2MMc

2SSco

oSM

zzR2zzR2d avec

dyy

−+−=

>−eq. 6- 1

On constate que la condition pour qu'un point-récepteur M donné soit dans la zone

d'ombre est fonction, outre du rayon de courbure de la trajectoire des rayons, de la hauteur

de la source et du récepteur, et de la distance source-récepteur.

A l'intérieur de la zone d'ombre, on utilisera le modèle UPRES.

En revanche, lorsque l'on s'éloigne de la zone d'ombre, Wang [Wang, 1997] a montré

que le modèle géométrique donne des résultats satisfaisants pour des points situés

suffisamment à l'intérieur de la zone éclairée, selon la relation suivante :

Se

eSM

Rz2d avec

dyy

=<−

eq. 6- 2

Par conséquent, pour ces points situés à l'intérieur de la zone éclairée, on adoptera le

modèle UPGEOM.

Pour la région de transition, dite zone de pénombre, pour laquelle :

2MMc

2SScSMSc zzR2zzR2yyzR2 −+−<−< eq. 6- 3

la série des résidus donne toujours, selon Wang [Wang, 1997], des résultats d'une précision

correcte si l'on augmente le nombre de termes de la série, bien que la solution de la série

des résidus ne soit rigoureusement valable que dans la zone d'ombre. De plus, dans cette

zone de transition, les résultats du modèle géométrique et de la série des résidus sont très

proches.


- 162 -

Les critères retenus pour délimiter la transition du modèle UPGEOM au modèle UPRES

et présentés précédemment ont été vérifiés avec succès sur plusieurs configurations

différentes. La figure 5. 14 compare ainsi, dans la zone de transition, les résultats des

modèles UPGEOM et UPRES à des résultats de mesure de Wang [Wang, 1997]. On

constate bien que les résultats concordent dans cette région. Cependant des écarts non

négligeables entre la mesure et les modèles peuvent être relevés, notamment autour de

5000 – 6000 Hz dans le cas de la surface rigide (entre 2 et 4 dB d'écart avec la mesure,

selon le modèle), ou encore au-dessus de 10000 Hz pour la surface absorbante. Cette

observation laisse augurer de la difficulté de prévoir les niveaux de pression dans cette

région délicate de transition.


Mesures de WangUPGEOM (2D)UPRES (2D)

figure 5. 14 : Comparaison entre les résultats des modèles UPGEOM (2D) et UPRES (2D) et des résultatsexpérimentaux de Wang [Wang, 1997] sur surface convexe de rayon de courbure Rc = 2.5 m. (a) sol rigide :zS = 0.20 m, zR = 0.50 m et d(S,R) = 1.65 m. (b) sol absorbant (modèle de porosité variable à deux paramètres) :σe = 38000 Pa s m-2, αe = 15 m-1, zS = 0.68 m, zR = 0.12 m et d(S,R) = 1.65 m.

-20

-15

-10

-5

0

5

1000 104

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)

Fréquence (Hz)

-20

-15

-10

-5

0

5

1000 104

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 163 -

Afin de récapituler la solution retenue sur tout le domaine spatial, zone d'ombre, région

de transition et zone éclairée, les modèles ont été comparés à des résultats de mesure de

Wang [Wang, 1997].

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)


Mesures de Wang

UPRES

UPGEOM

Solution mixte (UPRES+UPGEOM)

figure 5. 15 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe rigide de rayon de courbureRc = 2.5 m, f = 2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)


légende identique à figure 5. 15.

figure 5. 16 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe absorbante de rayon decourbure Rc = 2.5 m, σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15 m-1 (modèle de porosité variable à deux paramètres), f =2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.

Les résultats de la figure 5. 15 et de la figure 5. 16 ont été calculés, à partir des modèles

en 2D, en termes de perte par transmission, en suivant les mêmes considérations qu'au

paragraphe 5.2. Ils illustrent les domaines de validité des modèles UPRES et UPGEOM.


- 164 -

Ainsi pour cette configuration géométrique, la zone d'ombre commence à la distance

d'environ 1.1 m de la source. Dans les deux cas de surface rigide et absorbante, on peut

constater que la série des résidus du modèle UPRES donne de bons résultats dans cette

région, au-delà de 1.1 m, très proches des résultats de mesure. Ce modèle reste précis dans

la zone de transition et même à l'intérieur de la zone éclairée où la série des résidus diverge

cependant brutalement, à une distance appproximative de 0.4 m. Dans cette région éclairée,

la solution géométrique donne alors de bien meilleurs résultats comparés aux résultats

expérimentaux, tandis qu'elle n'est plus valable au-delà de la limite d'ombre. Le modèle

mixte s'appuie donc sur le modèle UPRES en zones d'ombre et de transition, puis la

solution géométrique du modèle UPGEOM prend le relai. On constate toutefois à l'examen

de la figure 5. 15 et de la figure 5. 16, que des écarts importants - jusqu'à 5 dB - peuvent

survenir dans la région de transition et que par conséquent, lorsque cela est possible, il est

préférable d'utiliser la solution de la série des résidus le plus loin possible dans la zone

éclairée.

A ce stade, après avoir confronté les résultats des modèles UPRES et UPGEOM sur tout

le domaine spatial à des résultats expérimentaux, il importe d'examiner de plus près, de

même qu'au paragraphe 5.2, le comportement de la dérivée du champ de pression. Ceci est

réalisé en comparant, toujours selon la même démarche que pour le modèle DOWNMOD

dans le cas de la réfraction vers le bas, les résultats du calcul de cette dérivée par les

modèles UPRES et UPGEOM, à des résultats expérimentaux de Wang pour le

rayonnement de dipôles situés au-dessus de surfaces convexes [Wang, 1997].

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)


légende identique à figure 5. 15

figure 5. 17 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] pour un dipôle horizontal au-dessus d'une surface convexerigide de rayon de courbure Rc = 2.5 m, f = 2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.


- 165 -

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Per

te p

ar T

rans

mis

sion

(dB

)


légende identique à figure 5. 15

figure 5. 18 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe absorbante de rayon decourbure Rc = 2.5 m, σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15 m-1 (modèle de porosité variable à deux paramètres), f =2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.

Les mêmes remarques que pour les résultats pour un monopôle de la figure 5. 15 et la

figure 5. 16 s'appliquent à la figure 5. 17 et la figure 5. 18, dans le cas du dipôle

horizontal. La solution géométrique du modèle UPGEOM prend le relais, dans la zone

éclairée, du modèle de la série des résidus UPRES qui donne de bons résultats dans les

régions d'ombre et de transition. On constate que, hormis dans la région de transition,

délicate, les résultats de la dérivée par rapport à la portée du champ de pression donné par

le modèle mixte (UPRES+UPGEOM), modèle construit en utilisant les solutions

géométriques et de la série des résidus dans leur domaine de validité, sont proches des

résultats de mesure de Wang pour un dipôle horizontal. Les résultats de la figure 5. 17 et

de la figure 5. 18 rejoignent en outre les constatations de Wang qui souligne que les

résultats pour un dipôle horizontal sont très proches des résultats pour un monopôle, ceci

n'étant toutefois pas le cas pour le dipôle vertical.

Ce paragraphe montre donc que les solutions retenues pour la réfraction vers le haut,

dans la zone d'ombre, à savoir la solution de la série des résidus et la solution géométrique,

ont été validées par rapport à des résultats expérimentaux et numériques. On a également

vérifié la cohérence des résultats pour une source linéique par rapport à ceux obtenus pour

une source ponctuelle en termes d'atténuation par rapport au champ libre. Le

comportement de la dérivée du champ de pression, nécessaire au calcul de la dérivée des

fonctions de Green de la méthode des éléments finis de frontière, a fait aussi l'objet d'un

examen approfondi.


- 166 -

5.4 La linéarisation des profils de vitesse du son

Les modèles présentés dans ce chapitre ont été développés sous l'hypothèse de profils de

célérité linéaires. Ce paragraphe résume brièvement la méthode suivie pour linéariser les

profils de vitesse du son.

En utilisant les résultats des travaux de Panofski et Dutton (voir [Panofski et Dutton,

1984], [L'Espérance, 1992, L'Espérance, et al., 1992], [Defrance, 1996]), on peut

représenter de manière générale les profils théoriques du vent u(z) et de température T(z)

sous une forme logarithmique. Le profil de célérité théorique c(z) s'écrit alors :

)z(T27305,20cos)z(u)z(c u ++α= eq. 5- 20

où αu (0≤ αu ≤π) est l'angle compris entre la direction du vent et la direction source-

récepteur.

Pour linéariser ce profil de célérité, quelques auteurs ont utilisé (voir [Raspet, 1988] par

exemple), dans le cas de la réfraction vers le haut, des procédures de tracé de rayons pour

déterminer la trajectoire du rayon limite (le rayon séparant la zone d'ombre de la zone

éclairée et tangent au sol) et son rayon de courbure associé Rc, et calculer ainsi la valeur au

sol du gradient supposé constant par la relation :

dz

dc/)0(cRc = eq. 5- 21

West [West, et al., 1989] suit le même type d'approche en se basant sur des données

micro-météorologiques et sur la théorie de la similarité de Monin-Obukhov [Dyer, 1974],

et en calculant un rayon de courbure moyen. L'Espérance suggère, quant à lui, de prendre

en première approximation la valeur de la pente du profil logarithmique de vitesse du son à

la hauteur moyenne entre la source et le récepteur [L'Espérance, et al., 1992] :

2/)zz( RSz

ccte

dz

dc

+δδ≈= eq. 5- 22

On peut aussi adopter la méthode proposée plus récemment par Gabillet et L'Espérance

[Gabillet, et al., 1993], [L'Espérance, 1992] et reprise par Defrance [Defrance, 1996], basée

sur le concept de la zone de Fresnel entre la source et le récepteur. Cette méthode est

présentée ici dans ses grandes lignes. Rappelons tout d'abord que dans le cas d'une source


- 167 -

ponctuelle, la première zone de Fresnel est un ellipsoïde de foyers la source S et le

récepteur R, donné par l'équation :

2MRSM

λ=+ eq. 5- 23

Pour obtenir le gradient linéaire équivalent de vitesse du son, on calcule la valeur

minimale et la valeur maximale de la vitesse du son à l'intérieur du volume de Fresnel

associé au trajet source-récepteur (voir figure 5. 19). Ces valeurs sont rencontrées au

milieu du trajet, où le rayon r1max de la première zone de Fresnel est maximale. Les vitesses

correspondantes sont déterminées pour des hauteurs hmin et hmax données par :

max1RS

min r2

zzh −+≈

max1RS

max r2

zzh ++≈

eq. 5- 24

avec :

λ>>λ≈ ppmax1 dpour 2/dr eq. 5- 25

Dans le cas où r1max>(zS+zR)/2, hmin devient négatif ce qui n'est pas acceptable.

L'Espérance [L'Espérance, 1992] propose alors, à partir de résultats expérimentaux de

limiter la valeur de hmin à deux fois la hauteur moyenne des éléments constituant la rugosité

de la surface [Panofski et Dutton, 1984] ce qui a pour effet, conformément à la réalité, de

limiter l'effet des forts gradients proches du sol.

On peut finalement déterminer le gradient de célérité linéaire équivalent, a0, à l'aide de

la formule suivante :

)hh(c

)h(c)h(ca

minmax0

minmax0 −

−= eq. 5- 26

où c0 est la vitesse du son de référence à z=0.

figure 5. 19 : Linéarisation du profil de vitesse du son grâce au concept du volume de Fresnel.


- 168 -

On constate donc qu'il est possible d'obtenir un profil de vitesse du son linéaire

équivalent, hypothèse sous laquelle ont été construits les modèles présentés dans ce

chapitre. La figure 5. 20 illustre cela sur un cas fourni par Gabillet en situation de vent

contraire [Gabillet, et al., 1994] et montre que les résultats du modèle UPRES (2D) pour un

gradient équivalent calculé à 500 Hz, soit un rayon de courbure équivalent de 400 m, sont

proches des résultats de mesure en soufflerie et du calcul par le modèle FFP réalisés par

Gabillet.


figure 5. 20 : Comparaison du modèle UPRES (2D), calcul effectué à partir du gradient équivalent à 500Hz (Rc = 400 m), à des mesures de Gabillet [Gabillet, et al., 1994] sur modèle réduit en soufflerie. Ladistance source-récepteur est d(S,R) = 80 m, les hauteurs de la source et du récepteur sont : zS = zR = 1 m. Le solest absorbant, caractérisé par : σ = 300000 Pa s/m2.

Il importe de remarquer, à ce stade, qu'en ce qui concerne les solutions des modes

normaux pour la réfraction vers le bas, et de la série des résidus pour la réfraction vers le

haut, l'hypothèse communément désignée par le terme "gradient constant de vitesse du

son" est en fait une approximation de l'hypothèse de départ selon laquelle le carré de

l'indice de réfraction du milieu varie linéairement avec la hauteur (voir eq. 3- 70 et eq. 3-

71). Li [Li, et al., 1997] a montré récemment que cette approximation peut induire des

erreurs, notamment à grande distance. En partant directement de la transformée de

l'équation de Helmholtz, cet auteur a prouvé que l'on pouvait aisément, moyennant un

-40

-30

-20

-10

0

10

0 200 400 600 800 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

0 200 400 600 800 1000

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

Mesures de Gabillet

UPRES (2D) grad eq.

Mesures de Gabillet

Calcul FFP

UPRES (2D) grad eq.


- 169 -

surcoût numérique raisonnable, obtenir la solution pour un profil de vitesse du son

"réellement" linéaire à partir de la solution classique présentée dans les paragraphes

précédents, et valable, en fait, pour des profils de célérité tels que le carré de l'indice de

réfraction varie linéairement avec la hauteur. Notons également que dans un autre article

[Li, 1995], Li calcule la pression acoustique dépendant de la hauteur, solution de eq. 3- 69,

dans le cas de la propagation en présence de réfraction au-dessus d'un sol à réaction

étendue. Cette dernière solution pourrait alors être utilisée pour donner une formulation du

champ de pression sous la forme d'une série de résidus valable dans ce cas, par un calcul

semblable à celui effectué pour la série des résidus et la solution des modes normaux (cf

paragraphes 5.2 et 5.3.2).

Une seconde remarque importante s'impose. L'hypothèse émise sur le profil de vitesse

du son, permettant de construire la solution de la série des résidus et des modes normaux,

peut apparaître restrictive, même si l'on a montré précédemment qu'il était possible de se

ramener à un gradient linéaire équivalent. Cependant des auteurs [Li et Wang, 1997] se

sont attachés récemment à calculer de manière générale la solution du problème de

propagation dans l'atmosphère supposée stratifiée verticalement, en présence de profils de

température et de vitesse du vent croissant dans le cas de la réfraction vers le bas, ou

décroissant dans le cas de la réfraction vers le haut, de façon monotone avec la hauteur.

Dans les deux cas de réfraction, ils aboutissent à la solution sous la forme d'une série de

résidus. Ces résultats prouvent que les solutions des paragraphes 5.2 et 5.3.2 peuvent être

étendues à des cas de profils de vitesse du son monotones quelconques. Notons que dans

l'article cité [Li et Wang, 1997], les auteurs étudient la validité de l'approximation d'un

profil de vitesse du son effectif pour prendre en compte les effets du vent, donnée par eq.

3-7. Ils montrent que dans la plupart des cas de réfraction vers le haut, cette approximation

donne des résultats d'une précision correcte, tandis qu'en situation de réfraction vers le bas

cette représentation approchée peut conduire à des erreurs notamment lorsque les distances

de propagation et la fréquence augmentent. On peut trouver également une discussion sur

la validité de l'hypothèse heuristique selon laquelle l'atmosphère en mouvement peut être

remplacée par une atmosphère statique avec une vitesse du son effective dans [Li et Wang,

1998].

Notons pour finir qu'un certain nombres d'approches ont été suivies pour généraliser les

solutions de type modes normaux à des cas de propagation où les propriétés du milieu,

donc le profil de vitesse du son, varient avec la distance : modes normaux couplés, modes

normaux couplés avec approximation adiabatique, modes normaux couplés en négligeant


- 170 -

la rétrodiffusion (voir [Jensen, et al., 1994] et les références incluses dans cet ouvrage).

Pour élaborer ces modèles, on divise l'axe horizontal en segments à l'intérieur desquels les

propriétés du milieu de propagation sont indépendantes de la portée, et en utilisant des

conditions de continuité des pressions et des vitesses normales à l'interface, on recolle les

solutions. Cependant ces solutions sont très coûteuses sur le plan numérique et ne peuvent

donc raisonnablement être utilisées dans notre propos. Outre les développements en modes

normaux du champ de pression, mentionnons aussi les travaux de Jeng [Jeng et Liu, 1987]

qui détermine la fonction de Green d'un milieu de propagation à indice de réfraction

tridimensionnel quadratique.


- 171 -

5.5 L’analogie propagation au-dessus d’un sol plan en milieu inhomogène –

propagation au-dessus d’une surface courbe en milieu homogène

L'analogie entre la propagation acoustique en milieu inhomogène au-dessus d'un sol

plan et la propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée est à l'origine

de l'élaboration du modèle développé dans le paragraphe 5.3.1. Ce concept sera également

repris pour l'approche expérimentale en milieu contrôlé, en laboratoire, présentée au

chapitre 7. Il convient donc d'examiner plus précisément ses fondements.

Pour Berry [Berry et Daigle, 1988], [Berry, 1987], (voir aussi [Embleton, 1985] et

[Pierce, 1991]), le champ de pression au-dessus d'un cylindre de grand rayon de courbure

en atmosphère homogène est analogue au champ de pression au-dessus d'un sol plan

lorsque le gradient de vitesse du son varie selon un profil bilinéaire c'est-à-dire que le carré

de l'indice de réfraction varie linéairement avec la hauteur comme suit (Rc est le rayon de

courbure) :

cR/z1/)0(c)z(c += eq. 5- 27

Dans l'article cité, l'étude concerne le cas de la réfraction vers le haut et de la surface

convexe. Les résultats en termes de série des résidus sont en bon accord avec les mesures

expérimentales dans la zone d'ombre mais s'en éloignent dans la zone de pénombre

acoustique. Pour améliorer ces résultats, Berthelot [Berthelot, 1996] a proposé de manière

heuristique de remplacer la longueur de l'arc le long de la surface courbée par la distance la

plus courte entre la source et le récepteur dans la formule de l'analogie bilinéaire. Almgren

[Almgren, 1987] a suggéré qu'une surface courbée sphériquement devrait être utilisée pour

représenter un gradient de vitesse du son induit par un gradient de température tandis que

l'on devrait employer une surface courbée cylindriquement dans le cas d'une réfraction

causée par un gradient linéaire de vitesse du vent. En utilisant des transformations

conformes, Di montre [Di et Gilbert, 1994] qu'il existe rigoureusement une analogie exacte

entre le cas d'une surface convexe courbée cylindriquement avec un profil de vitesse du

son constant, et le cas d'une surface plane avec un profil de vitesse exponentiel donné ci-

dessous :

cR/ze)0(c)z(c −= eq. 5- 28


- 172 -

Dans le cas d'une surface concave, le profil correspondant, en situation de réfraction

vers le bas, est :

cR/ze)0(c)z(c = eq. 5- 29

On constate que lorsque le rayon de courbure R est grand devant la hauteur, on retrouve

bien, au premier ordre, la forme de profils linéaires de vitesse du son.

Li a étudié récemment [Li, et al., 1998], voir aussi [Wang, 1997] la propagation du son

au-dessus de surfaces absorbantes convexes. Il montre que si l'on désigne respectivement

par ps et pb le champ de pression au-dessus d'une sphère de grand rayon et le champ

acoustique donné par la série des résidus pour le profil bilinéaire eq. 5- 27, on a la relation

suivante :

ΘΘ≈ sin/pp bs eq. 5- 30

où Θ est l'angle formé par la source, le centre de la sphère et le point récepteur. Le facteur

de correction devant pb ne devient important que pour un récepteur situé profondément à

l'intérieur de la zone d'ombre. Par conséquent, le profil bilinéaire de vitesse du son devrait

être utilisé pour l'analogie avec la propagation au-dessus d'une surface sphérique, tandis

que le profil exponentiel correspond rigoureusement au cas de la propagation au-dessus

d'une surface cylindrique. En outre, Li remarque que l'on peut se servir d'une surface

sphérique pour simuler en laboratoire des cas de propagation où le gradient de vitesse du

son est dû à un gradient de température. Cependant contrairement à Almgren, cet auteur

considère qu'il serait erroné de vouloir simuler les effets d'un gradient linéaire de vitesse du

vent par l'emploi d'une surface courbée cylindriquement. Quoi qu'il en soit, des

comparaisons montrent [Li, et al., 1998] que dans la zone d'ombre les résultats donnés par

la théorie pour le profil bilinéaire sont en accord avec les résultats du calcul de la pression

pour un profil exponentiel développé dans l'article, ainsi qu'avec des résultats

expérimentaux au-dessus d'une surface cylindrique. En revanche dans la zone de transition

dite zone de pénombre, les résultats expérimentaux sont plus proches des résultats pour le

cas du profil exponentiel que pour le profil bilinéaire. L'auteur remarque également que la

modification heuristique apportée par Berthelot se compare dans ce cas favorablement aux

mesures.

Dans le cas de la réfraction vers le bas, les conclusions concernant l'analogie étudiée

sont les mêmes, en remplaçant les surfaces convexes par des surfaces concaves et les

profils exponentiels eq. 5- 28 par ceux donnés par la formule eq. 5- 29 (voir [Almgren,


- 173 -

1987], [Gabillet, et al., 1993], et plus récemment [Wang, 1997], [Li et Wang, 1999]). Il

faut souligner que Li trouve que la solution des modes normaux pour un profil exponentiel

présentée dans [Li et Wang, 1999] se compare plus favorablement avec des résultats

expérimentaux que la solution pour un profil bilinéaire [Raspet, et al., 1992].

Ce paragraphe a permis de mieux cerner l'analogie entre la propagation en milieu

inhomogène au-dessus d'une surface plane et la propagation en milieu homogène au-dessus

d'une surface courbée, ainsi que ses limitations, en particulier lorsque les solutions utilisées

pour décrire le champ de pression sont rigoureusement valables dans le cas d'un profil de

vitesse du son bilinéaire.


- 174 -

5.6 Conclusion

Ce chapitre a présenté les modèles de propagation retenus en vue d'inclure des effets

météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Ces modèles ont donné

naissance à des codes de calcul : DOWNMOD pour la solution des modes normaux en

condition de réfraction vers le bas ; dans le cas de la réfraction vers le haut : UPRES pour

la solution de la série des résidus dans la zone d'ombre et la région de transition, et

UPGEOM pour la solution géométrique en zone éclairée. On dispose ainsi d'un panel de

fonctions de Green 2D (sources cylindriques) adapté à chaque type de conditions de

propagation, qui vient compléter les différentes fonctions de Green disponibles en milieu

homogène, présentées dans le tableau 4.1 du chapitre 4. Le Tableau 5. 1 résume l'éventail

de fonctions de Green dont on dispose à ce stade et qui vont pouvoir être utilisées dans le

modèle d'éléments finis de frontière BEMAS2D pour donner naissance à la nouvelle

approche Meteo-BEM exposée au chapitre 6.

Problème physique Fonction de Green correspondante

MILIEU HOMOGENEpropagation en milieu infini champ libre donné par la fonction de Hankel


solution calculée par la méthode des images à partir duchamp libre


solution obtenue à partir de la solution au-dessus d'un solrigide et d'un terme correctif pour l'effet de sol

MILIEU INHOMOGENERéfraction vers le bas



solution des modes normaux

Réfraction vers le hautpropagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide, zones d'ombre et

pénombrepropagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant, zones d'ombre

et pénombre

solution de la série des résidus

propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide, zone éclairée

propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant, zone éclairée

solution géométrique

Tableau 5. 1 : Les différentes fonctions de Green disponibles pour la BEM.

- 175 -

Chapitre 6

Le modèle Météo-BEM

6.1 Introduction

Dans les chapitres 2 et 4, on a souligné la puissance de la méthode des éléments finis de

frontière pour traiter les problèmes de propagation acoustique en milieu extérieur, où

entrent en jeu des propriétés d'absorption ainsi qu'une topographie accidentée quelconques

des frontières du domaine de propagation (obstacles, buttes, écrans acoustiques, matériaux

absorbants ou réfléchissants, discontinuités d'impédance...). La restriction majeure de ces

modèles concernant leur application à des problèmes réels en milieu extérieur réside

cependant dans le fait qu'ils ne prennent pas en compte les effets météorologiques

(gradients de température et de vent ; turbulence). Or il est aujourd'hui admis que ces effets

ne peuvent être négligés, notamment dans la propagation à grande distance. C'est pourquoi

ce travail vise à montrer qu'il est possible d'inclure des effets météorologiques dans une

BEM en s'appuyant sur une fonction de Green appropriée, issue de travaux récents,

discussion présentée dans les chapitres 3 et 5.

Dans le but d'illustrer la démonstration, le code de calcul BEMAS2D, développé au

chapitre 4, va être adapté à des cas de réfraction en utilisant les résultats du chapitre

précédent. Le présent chapitre expose la nouvelle formulation, appelée Météo-BEM,

combinant les avantages des deux approches (BEM et modèles propagatifs).

Le cas d'un écran mince rigide, successivement en situation de réfraction vers le bas et

vers le haut est examiné plus précisément. Rappelons que cette configuration académique,

dont le but est de prouver qu'une méthode d'éléments finis de frontière peut prendre en

compte des effets météorologiques, n'est pas restrictive et que le modèle peut être étendu à

n'importe quelle application présentée en particulier dans la partie 2.7. De plus,

Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM

- 176 -

remarquons que de manière rigoureuse, la réfraction prise en compte via les fonctions de

Green retenues à l'issue de l'étude du chapitre 4 concerne des phénomènes dus à des

gradients de température puisque l'interaction d'un écoulement avec un obstacle conduit à

des fonctions de Green qui ne sont pas aisément calculables, du moins sous une forme

analytique. Par conséquent, le cas d'un écran en présence d'un gradient de vent reste un

problème délicat, ainsi qu'en attestent les travaux exposés au paragraphe suivant, même si

quelques approximations rudimentaires peuvent être effectuées en décrivant par exemple

les phénomènes sous la forme d'un gradient de vitesse du son effectif dans une atmosphère

statique. En outre, rappelons que le phénomène de la turbulence ne sera pas abordé dans ce

travail.

Dans ce chapitre, après un tour d'horizon bibliographique au paragraphe 6.2, l'approche

BEM en potentiels de couche du chapitre 4 (BEMAS2D) est couplée aux modèles de

propagation du chapitre 5, valables pour la réfraction vers le bas (DOWNMOD) et la

réfraction vers le haut (UPGEOM et UPRES). Le paragraphe 6.3 présente le cas de la

réfraction vers le bas. L'écran rigide est placé successivement sur un sol rigide (cette

configuration a fait l'objet de deux communications [Premat et Gabillet, 1998a, Premat et

Gabillet, 1998b], et d'un article accepté pour publication [Premat et Gabillet, 2000], puis

absorbant (voir [Premat et Gabillet, 1999a, Premat et Gabillet, 1999b]). Le paragraphe 6.4

expose ensuite le cas de la réfraction vers le haut pour les deux types de sol, dans la région

éclairée, la région de pénombre acoustique, et dans la zone d'ombre. Enfin, dans le

paragraphe 6.5, le modèle Météo-BEM est confronté, pour validation, à des résultats

expérimentaux et numériques, issus de la littérature.


- 177 -

6.2 Revue bibliographique sur le problème de la propagation acoustique en

milieu inhomogène en présence d'un écran

Les performances d'un écran acoustique sur un sol donné peuvent être modifiées en

présence de gradients de température et de vent à cause de la possibilité que certains

rayons courbés par la réfraction passent au-dessus du sommet de l'écran. Un certain

nombre d'auteurs se sont penchés sur ce problème : De Jong [De Jong et Stusnick, 1976] a

effectué des mesures sur un modèle réduit dans une soufflerie à faible vitesse et a montré

l'importance des phénomènes de turbulence autour de l'écran dans ce cas. Salomons

[Salomons, 1996] a développé un modèle numérique pour décrire la propagation à grande

distance au-dessus d'un écran acoustique en présence de réfraction. Cet auteur utilise la

méthode de l'équation parabolique [Salomons, 1994] en imposant au champ de pression

d'être nul en un certain nombre de points de maillage correspondant à la position de l'écran.

Cette approximation présente cependant selon Salomons le défaut suivant : les propriétés

de réflexion de l'écran ne sont pas bien définies. De plus, du fait de la symétrie axiale du

modèle utilisé, l'écran est en fait circulaire, ce qui, en revanche, ne pose pas de problème

en des points de réception suffisamment éloignés de l'écran. Salomons montre dans un

autre article [Salomons, 1999] que la présence de l'écran a pour effet d'induire des

gradients de vitesse du vent qui affectent considérablement la zone d'ombre derrière

l'écran. Il donne des résultats numériques en utilisant des profils de vitesse du son

dépendant de la portée horizontale dans son modèle d'équation parabolique, et également

des résultats expérimentaux en soufflerie. On peut retrouver le même type d'approche basé

sur différents modèles d'équation parabolique dans les travaux de Delrieux [Delrieux,

1991], Rasmussen [Rasmussen et Galindo Arranz, 1998] Forssen [Forssen, 1998] ou

encore Barriere [Barriere et Gabillet, 1999]. Notons que ces auteurs donnent aussi des

résultats expérimentaux réalisés dans une soufflerie et ajoutent aux phénomènes déjà pris

en compte, les effets de la turbulence, mis en évidence dans un article de référence par

Daigle [Daigle, 1982]. Barrière [Barriere et Gabillet, 1999] prouve, quant à lui, par

comparaison avec les résultats expérimentaux, que des calculs effectués en utilisant un

gradient de vitesse du son équivalent constant donnent des résultats corrects.


- 178 -

Dans un autre article, Gabillet [Gabillet, et al., 1993] a réalisé des mesures en milieu

contrôlé au-dessus d'une surface concave sur laquelle est placée un écran et il a montré que

la réfraction vers le bas ne détruisait pas nécessairement l'efficacité de l'écran. Rasmussen

a également utilisé une soufflerie pour simuler l'effet d'un écran sur un sol absorbant dans

des conditions de réfraction vers le haut et vers le bas [Rasmussen, 1996]. Il compare ses

résultats expérimentaux à ceux donnés par un modèle voisin des modèles FFP combiné à

une méthode de type théorie uniforme de la diffraction [Rasmussen, 1985]. Une étude de

Muradali [Muradali et Fyfe, 1999] doit aussi être soulignée, utilisant un modèle de

diffraction allié à un modèle heuristique de propagation atmosphérique pour modéliser un

écran acoustique en présence d'effets atmosphériques. Enfin récemment, Wang a étudié

expérimentalement la diffraction du son par un écran rigide situé sur une surface convexe

ou concave [Wang, 1997]. Elle compare ses résultats à ceux donnés par une BEM en

milieu homogène en maillant la surface courbée et l'obstacle (voir aussi [Li et Wang,

1998]). Cette dernière approche, basée astucieusement sur l'analogie propagation

acoustique en milieu inhomogène au-dessus d'un sol plan - propagation en milieu

homogène au-dessus d'une surface courbée présentée au paragraphe 5.5, ne permet

cependant pas de prendre en compte la propagation acoustique en milieu inhomogène au-

dessus d'un sol présentant une topographie quelconque, puisque la courbure de la surface

est utilisée dans la BEM pour prendre en compte la réfraction.

Quelques auteurs ont depuis peu tenté de résoudre l'équation intégrale de Helmholtz-

Kirchhoff couplée à des modèles prenant en compte des profils linéaires de vitesse du son,

et ce, dans quelques configurations spécifiques où la surface du sol (ou le fond marin) est

supposée soit parfaitement réfléchissante, soit parfaitement absorbante, et où les obstacles

présentent une forme particulière. Mentionnons les travaux de Li [Li, et al., 1993] qui a

considéré le cas de la diffraction du son par une butte, ou un creux, de forme gaussienne en

atmosphère inhomogène caractérisée par un profil de vitesse du son linéaire. Ses

applications ne considèrent que le cas de surfaces parfaitement réfléchissantes ou

absorbantes. Uscinski et Spivack [Uscinski, 1995], [Spivack et Uscinski, 1993] ont

considéré un problème similaire au-dessus d'une surface rigide de rugosité aléatoire. Pour

finir, une tentative a été effectuée par Taherzadeh [Taherzadeh, et al., 1998], basée sur

l'utilisation de la FFP, pour introduire des effets météorologiques dans une méthode

d'éléments finis de frontière. Les résultats donnés par cette méthode se sont toutefois

avérés décevants.


- 179 -

Après le tour d'horizon bibliographique effectué dans ce paragraphe sur les travaux

concernant la modélisation des écrans acoustiques en milieu inhomogène, les paragraphes

qui suivent exposent le nouveau modèle Météo-BEM dans les deux cas de réfraction vers

le bas et réfraction vers le haut.

6.3 Réfraction vers le bas

6.3.1 Ecran mince rigide sur sol rigide

Dans la suite du chapitre, on adoptera la convention suivante, pour faciliter le propos :

les indices "inhom" et "hom" représenteront respectivement la propagation en milieu

inhomogène et homogène.

Considérons le cas décrit par la figure 6. 1 d'un écran acoustique mince rigide posé sur

un sol plan en présence de réfraction vers le bas.

figure 6. 1 : schéma de l'écran mince rigide sur sol plan en présence de réfraction.

Dans le cas d'une atmosphère inhomogène, l'équation eq. 4- 6 du chapitre 4 est réécrite

en conservant les mêmes notations :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈∀Γ∂µ+= ∫ΓM PdM,PGPMpMp Pnhominhomin0 eq. 6- 1

Cependant la fonction de Green décrit maintenant la propagation acoustique en milieu

inhomogène, donc les résultats de la solution des modes normaux du chapitre 5, eq. 5- 1,

peuvent être utilisés, au facteur 1/4π près. En reprenant les notations définies dans le

chapitre 5, on peut écrire :


- 180 -

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ

+τ+τ−==

n2

n'2

nnn

MnsnSMnS

AiAik

l/zAil/zAi)yyikexp(

l2

i)M(z),M(yp)M,S(G eq. 6- 2

Puisque le sol est rigide, le paramètre q (eq. 4- 75) est égal à zéro. Ainsi l'équation eq.

4- 78 montre que les τn sont les zéros a'n de la dérivée de la fonction de Airy et nous

avons :

( ) ( )( )[ ]∑ ++−

=n

2nnn

MnsnSMn

'aAi'ak

l/z'aAil/z'aAi)yyikexp(

l2

i)M,S(G eq. 6- 3

La nouvelle équation intégrale qui suit, en milieu inhomogène, correspondant à eq. 4- 9,

doit être résolue avec comme fonction de Green la solution des modes normaux eq. 6- 3,

qui est aussi valable pour le champ incident.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMnhominhomin0Mn eq. 6- 4

En utilisant toujours la même méthode de collocation que pour la méthode d'éléments

finis de frontière du chapitre 4, l'écran acoustique Γ est discrétisé en sous-éléments sur

lesquels la densité inconnue du potentiel de double couche est approchée par une fonction

constante par morceaux. Ainsi eq. 4- 10 devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ..N1jPd,PMGPF

Pd,PMG Mp

ijPnMnhomin,i

ji ijPnMnhomin,ijhomin0Mn

=Γ∂∂µ+

Γ∂∂µ=∂−

∫∑ ∫

Γ

≠Γ eq. 6- 5

La dérivée normale de la pression pour le membre de gauche de cette équation est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]∑ ++

−=∂

∂=∂=

Γ n2

nn

MnsnSn

0yMhomin0Mn

'aAi'a

l/z'aAil/z'aAiyikexp

l2

1

y

S,MGMp

M

eq. 6- 6

Pour le membre de droite de l'équation eq. 6- 5, une approximation basée sur l'idée de

Rasmussen ([Rasmussen, 1990], voir aussi [Taherzadeh, et al., 1998]) présentée ci-dessus

dans le chapitre 5 peut être effectuée, en considérant que la propagation verticale n'est que

très faiblement affectée par la réfraction ; ainsi ce terme peut de prime abord être approché

par le terme homogène présenté dans le chapitre 4. De la sorte, on obtient un nouveau

système linéaire recourant à la dérivée de la fonction de Green des modes normaux pour le

membre de droite, et à la même matrice que pour le système d'équations du milieu

homogène eq. 4- 11 et eq. 4- 12 :


- 181 -

[ ][ ] [ ]hominhominhomin BA =µ eq. 6- 7

avec

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

≈

Γ∂∂==

µ=µ∂−==

∫Γ homi

jPnMnhomin,jihomin

homin,ihomin

jhomin0nhomin,jhomin

APd,PMGF.PAA

)M(pBB

eq. 6- 8

La résolution de ce nouveau système linéaire inhomogène fournit la densité µ du

potentiel de double couche pour le milieu inhomogène, en utilisant les mêmes schémas

numériques que ceux décrits dans le chapitre 4. La dernière étape consiste alors à reprendre

la formule eq. 6- 1 avec la solution des modes normaux en tant que champ incident et

également pour la dérivée de la fonction de Green qui apparaît dans l'intégrale, de la même

manière que pour le membre de gauche de l'équation intégrale inhomogène eq. 6- 6. La

pression acoustique est alors calculée en tout point récepteur via l'équation suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∆Γ∂µ+≈∫ Γ∂µ+= Γ

iii)P(nhomin,ihomin0

Pnhominhomin0

)P,M(G)M(p

PdM,PGPMpMpeq. 6- 9

6.3.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant

Dans le cas d'un écran placé sur un sol absorbant décrit par la condition aux limites eq.

4- 31, la démarche est la même que ci-dessus pour le sol parfaitement réfléchissant. La

seule différence réside dans le paramètre q de eq. 3- 75 qui, cette fois, n'est plus nul. Par

conséquent, les zéros τn de l'équation eq. 3- 78 ne coïncident plus avec les zéros de la

dérivée de la fonction de Airy. Ceci implique l'utilisation de la technique de recherche dans

le plan complexe des zéros en question, présentée au paragraphe 5.2, et a pour effet

d'accroître le coût numérique en temps de calcul. Il alors faut employer la formule de

départ eq. 6- 2 et l'équation eq. 6- 6, valable pour le sol rigide, devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ

+τ+τ−=

∂∂=∂

=Γ n

2

n'2

nn

MnsnSn

0yMhomin0Mn

AiAi

l/zAil/zAi)yikexp(

l2

1

y

S,MGMp

M

eq. 6- 10

Le système linéaire eq. 6- 7 et eq. 6- 8 est le même, en prenant comme fonction de

Green la formule eq. 6- 2 et les considérations du paragraphe précédent s'appliquent, le

calcul final du champ de pression étant donné par eq. 6- 9.


- 182 -

6.4 Réfraction vers le haut

Dans le cas de la réfraction vers le haut, la démarche est semblable à celle exposée pour

la réfraction vers le bas. Cependant dans ce cas, deux fonctions de Green doivent être

considérées selon que la propagation acoustique a lieu en région éclairée, ou dans la zone

de pénombre et la zone d'ombre.

6.4.1 Ecran mince rigide sur sol rigide

On écrit toujours la pression acoustique sous la forme eq. 6- 1. La fonction de Green

intervenant alors dans cette formulation repose, en zone d'ombre, sur la série des résidus

eq. 5- 19, au facteur 1/4π près :

( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )∑−

+−−=

=πππ

n2

nn

2

n'

n

3/i2Mn

3/i2snSMn

6/iS

bAibbAik

e)l/z(bAie)l/z(bAi)yyikexp(

l2

e

)M(z),M(yp)M,S(G

eq. 6- 11

Lorsque le sol est rigide, le paramètre q (eq. 3- 75) est égal à zéro. Ainsi l'équation eq.

3- 97 montre que les bn, de même que dans le cas de la réfraction vers le bas, sont les zéros

a'n de la dérivée de la fonction de Airy et nous avons :

( )( ) ( )

( )[ ]∑πππ +−−

−=

=

n2

nnn

3/i2Mn

3/i2snSMn

6/iS

'aAi'ak

e)l/z('aAie)l/z('aAi)yyikexp(

l2

e

)M(z),M(yp)M,S(G

eq. 6- 12

En exprimant toujours que l'écran est rigide, on obtient la même équation intégrale

inhomogène que ci-dessus (eq. 6- 4). Elle doit être résolue avec comme fonction de Green

la solution de la série des résidus eq. 6- 11, qui est aussi valable pour le champ incident.

En suivant toujours la même méthode de résolution de l'équation intégrale de frontière,

on aboutit au même système linéaire que eq. 6- 5, eq. 6- 7 et eq. 6- 8.

La dérivée normale de la pression pour le membre de gauche de l'équation

correspondant à eq. 6- 5 vaut, cette fois :


- 183 -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ]∑

πππ=

Γ

+−−=

∂∂=∂

n2

nn

3/i2Mn

3/i2snSn

6/i

0yMhomin0Mn

'aAi'a

e)l/z('aAie)l/z('aAiyikexp

l2

ie

y

S,MGMp

M

eq. 6- 13

La même approximation pour le membre de droite de l'équation correspondant à eq. 6-

5 peut être faite, en approchant ce terme par le terme homogène présenté dans le chapitre 4.

Après résolution du système linéaire inhomogène obtenu, la densité µ du potentiel de

double couche est déterminée pour le milieu inhomogène à réfraction vers le haut. En

reprenant finalement la formule eq. 6- 9 avec la solution de la série des résidus en tant que

champ incident et également pour la dérivée de la fonction de Green qui apparaît dans

l'intégrale, de la même manière que pour le membre de gauche de l'équation intégrale

inhomogène eq. 6- 6, la pression acoustique est alors calculée en tout point récepteur.

Lorsque le point récepteur pénètre dans la zone d'ombre, la solution de la série des

résidus se dégrade en précision pour finalement diverger. Ainsi, même si elle reste valable

dans la zone de transition, il faut adopter en zone éclairée, à la place de eq. 6- 11, la

solution géométrique présentée au paragraphe 5.3.1 (eq. 5- 2, eq. 5- 15 et eq. 5- 17 pour la

solution géométrique et eq. 5- 23 pour la solution de la diffraction par un cylindre). Ainsi

dans le cas de la surface rigide, la fonction de Green s'appuyant sur la solution géométrique

peut s'écrire, avec les notations du paragraphe 5.3.1 :

( ) 2ikd10

2/1

c

2

1

20S e)kd(H

4

i

cosR

d2

d

d1)kd(H

4

i)M(z),M(yp)M,S(G

−

θ

+++−==−

eq. 6- 14

Les paramètres d, d1, d2 et θ sont calculés en utilisant les formules eq. 5- 8 à eq. 5- 13 et

en prenant : hS=zS, h=zM, r=|yM-yS|. Rc est le rayon de courbure de la trajectoire des rayons

(ou le rayon de courbure de la surface dans l'analogie présentée au paragraphe 5.5) donné

par l'équation eq. 5- 30.

Pour le calcul des dérivées normales du champ incident et de la fonction de Green,

comme les variables d, d1, d2 et θ sont fonctions de la géométrie, on peut recourir à la

technique de dérivation numérique de Ridders [Press, et al., 1992].

Il est important de souligner que le changement de solution pour la fonction de Green

(série des résidus – solution géométrique) est gouverné par la limite physique de la zone

d'ombre, conformément à la discussion du paragraphe 5.3.3. Le système linéaire eq. 6- 7 et

eq. 6- 8 est toujours valable, en prenant comme fonction de Green la formule eq. 6- 12, ou


- 184 -

eq. 6- 14 et les dérivées correspondantes, selon que la propagation s'effectue ou non en

zone d'ombre. Le calcul final du champ de pression, après détermination de la densité du

potentiel de double couche, est, de même que dans les cas précédents, donné par eq. 6- 9.

6.4.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant

Dans le cas d'un écran placé sur un sol absorbant décrit par la condition aux limites eq.

4- 31, la démarche est la même que ci-dessus pour le sol parfaitement réfléchissant. La

seule différence réside dans le paramètre q de eq. 3- 75 qui, cette fois, n'est plus nul. Par

conséquent, les zéros bn de l'équation eq. 3- 97 ne coïncident plus avec les zéros de la

dérivée de la fonction de Airy. Ceci implique, comme dans le cas de la réfraction vers le

bas au-dessus d'un sol absorbant, l'utilisation, plus coûteuse sur le plan numérique, de la

technique de recherche dans le plan complexe des zéros en question, présentée au

paragraphe 5.3.2. Il faut employer la formule de départ eq. 6- 11 et l'équation eq. 6- 13,

valable pour le sol rigide, devient :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

−

+−=

∂∂=∂

πππ=

Γ

n2

nn

2

n'

3/i2Mn

3/i2snSn

6/i

0yMhomin0Mn

bAibbAi

e)l/z('aAie)l/z('aAiyikexp

l2

ie

y

S,MGMp

M

eq. 6- 15

Lorsque l'on est dans la zone d'ombre par rapport à la source, on utilise la fonction de

Green, alternative, de la solution géométrique donnée par les équations eq. 5- 14, eq. 5- 15

et eq. 5- 17 :

( ) 2ikd10

2/1

2

1

20S e)kd(H

4

i

cosR

d2

d

d1Q)kd(H

4

i)M(z),M(yp)M,S(G

−

θ

+++−==−

eq. 6- 16

Q est le coefficient de réflexion donné par l'équation eq. 3- 63.

Pour le calcul des dérivées normales du champ incident et de la fonction de Green, on

doit, comme pour le cas du sol rigide, à cause des mêmes variables fonctions de la

géométrie auxquelles vient s'ajouter le coefficient de réflexion, recourir à la technique de

dérivation numérique de Ridders [Press, et al., 1992].

On finit alors toujours suivant la même méthode en résolvant le système linéaire (eq. 6-

7 et eq. 6- 8) et en calculant le champ de pression par la formulation intégrale de départ

(eq. 6- 9).


- 185 -

6.5 Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats issus de la

littérature

Après avoir présenté la théorie du modèle Météo-BEM, on compare dans ce paragraphe

des résultats de calcul par ce modèle à des résultats issus de la littérature.

Tout d'abord, une campagne de mesures en laboratoire sur modèle réduit à l'échelle

1/20e, réalisée au-dessus d'une surface concave de rayon de courbure Rc=20 m, a été

effectuée par Gabillet et al. (voir [Gabillet, et al., 1993], [Gabillet, et al., 1992], [Schroeder,

1993]) Un écran rigide a été installé à 4 m de la source, située à 0.1 m au-dessus du sol. La

surface était rigide dans un premier temps et la hauteur de l'écran était de 0.15 m.


- 186 -

Meteo-BEM

Niveaux mesurés

figure 6. 2 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet [Gabillet, et al., 1992, Gabillet, et al., 1993] au-dessus d'une surface concave rigide de rayon decourbure Rc = 20 m. Hauteur de l'écran H = 0.15 m, hauteur de la source zS = 0.10 m, distance de la source àl'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.1 m, distance de propagation source –récepteur d(S,R) = 6 m. (b) zR = 0.15 m, d(S,R) = 6 m. (c) zR = 0.10 m, d(S,R) = 7 m.

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

(a)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

(b)

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Fréquence (Hz)

(c)


- 187 -

La figure 6. 2 montre la comparaison entre les résultats de calcul de Météo-BEM et les

résultats expérimentaux de Gabillet. Ces résultats sont exprimés en termes de niveaux de

pression relatifs au champ libre. Le rayon de courbure Rc = 20 m correspond, à l'échelle

réduite, à un profil linéaire de vitesse du son caractérisé par le paramètre a = 0.05 m-1(les

grandeurs à l'échelle 1 sont Rc = 400 m et a = 2.5 10-3 m-1). La figure 6. 2 montre que les

résultats de calcul sont concordants, au dB près sur toute la plage de fréquences, avec les

résultats de mesure sur les trois cas étudiés. Seul un petit écart pour les 3 cas (a), (b) et (c)

apparaît dans le creux de l'interférence autour de 5000 Hz, où celle-ci est légèrement plus

marquée par le modèle que par la mesure. Quoi qu'il en soit, les courbes de la figure 6. 2

montrent que le modèle Météo-BEM donne des résultats d'une très bonne précision.

Afin de mieux cerner l'impact cumulé de l'implantation de l'écran et de la réfraction, et

également de confronter les résultats des modèles BEMAS2D et DOWNMOD sur lesquels

repose Météo-BEM, la figure 6. 3 et la figure 6. 4 étudient les 3 cas correspondant à ceux

de la figure 6. 2, respectivement en milieu homogène avec écran, et en milieu inhomogène

sans écran. La figure 6. 3 compare, en milieu homogène, les résultats du modèle

BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle de la Théorie Géométrique de la

Diffraction désignée par le vocable T.G.D (voir [Keller, 1962]). Ces résultats sont toujours

exprimés en niveaux de pression relatifs au champ libre. On constate que les courbes des

deux modèles sont superposées. La figure 6. 4 confronte, quant à elle, les résultats du

modèle DOWNMOD (2D), en milieu inhomogène sans écran, à des résultats de mesure de

Gabillet [Gabillet, et al., 1992, Gabillet, et al., 1993]. On peut remarquer que les résultats

du calcul sont proches de manière générale des résultats expérimentaux, cependant de

petits écarts apparaissent, notamment pour les cas (b) et (c), où la différence reste toutefois

inférieure à 2dB. Cette observation permet de déduire que si erreurs de précision il y a,

dans les résultats du modèle Météo-BEM, ces erreurs proviennent certainement du modèle

des modes normaux prenant en compte les effets météorologiques. Notons que la

comparaison de la figure 6. 2 et de la figure 6. 4 permet d'estimer la perte par insertion

(différence entre les niveaux de pression sans et avec écran) qui est un indicateur de

l'efficacité de l'écran. On constate que, contrairement à ce à quoi l'on pouvait s'attendre, la

courbure des rayons sonores vers le bas ne détruit pas nécessairement l'efficacité de l'écran.

En effet, les niveaux de pression de la figure 6. 2 en présence de l'écran sont inférieurs aux

niveaux sans écran de la figure 6. 4.


- 188 -

BEMAS2D

TGD

figure 6. 3 : Comparaison du modèle BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle de la TGD, enmilieu homogène sur sol rigide, avec écran. Les cas (a), (b) et (c) sont les mêmes que pour la figure 6. 2.

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

(a)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB) (b)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Fréquence (Hz)

(c)


- 189 -

DOWNMOD (2D)

Niveaux mesurés

figure 6. 4 : Comparaison du modèle DOWNMOD (2D) à des résultats expérimentaux de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide, sans écran. Les cas (a), (b) et (c) sont les mêmes que pour la figure 6. 2.Le rayon de courbure de la surface vaut Rc = 20 m.

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

(a)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

(b)

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Fréquence (Hz)

(c)


- 190 -

Une explication de cette perte par insertion positive peut être avancée : les multiples

réflexions des rayons près du sol renforcent les niveaux sonores sans écran de la figure 6.

4, cependant la présence de l'écran bloque ces rayons dans la figure 6. 2.

Les résultats pour 6 autres points de mesure (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus de la

surface concave rigide, en présence de l'écran, sont donnés dans la figure 6. 5. Ces

résultats sont donnés à l'échelle 1 comme dans [Schroeder, 1993], c'est-à-dire que les

fréquences sont divisées par 20 par rapport à la figure 6. 2 (elles varient donc de 50 à 500

Hz), et les distances multipliées par 20. On peut noter que le modèle Météo-BEM donne

des résultats très proches des résultats expérimentaux, bien que les interférences soient plus

marquées, notamment dans la figure 6. 5 (b). La figure 6. 5 (d) montre cependant un écart

un peu plus important entre les résultats du calcul et de la mesure, jusqu'à 3 dB. Aucune

explication valable n'a pu être avancée pour ce problème, qui est peut-être dû à des

incertitudes de mesure. En effet, Schröeder donne dans sa thèse [Schroeder, 1993] des

résultats par une méthode adaptée de faisceaux gaussiens, résultats qui ne sont pas montrés

ici mais qui suivent la même tendance que les résultats de Méto-BEM dans tous les cas de

figure étudiés.


- 191 -

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Mesures de Gabillet Météo-BEM

figure 6. 5 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave rigide de rayon de courbure Rc = 20 m.Configuration géométrique identique à celle de la figure 6. 2. A l'échelle de la maquette, la hauteur de l'écran estH = 0.15 m, la hauteur de la source : zS = 0.10 m, la distance de la source à l'écran : d(S,Γ) = 4 m pour tous lescas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.15 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 5 m. (b) zR = 0.10m, d(S,R) = 5 m. (c) zR = 0.05 m, d(S,R) = 5 m. (d) zR = 0.05 m, d(S,R) = 6 m. (e) zR = 0.15 m, d(S,R) = 7 m. (f)zR = 0.05 m, d(S,R) = 7 m.

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)


- 192 -

La surface était rigide dans un premier temps, dans les figures figure 6. 2 à figure 6. 5.

Gabillet et al. ont également effectué une série de mesures au-dessus de la même surface

concave recouverte cette fois d'une feutrine absorbante. La configuration géométrique était

la même, excepté pour la hauteur de l'écran qui était cette fois de 0.10 m. La surface

absorbante était caractérisée, au moyen du modèle de Delany-Bazley [Delany et Bazley,

1970], par une résistance au passage de l'air σ = 4000 cgs, à l'échelle 1/20e.

La figure 6. 6 montre la comparaison entre les résultats de calcul de Météo-BEM et les

résultats expérimentaux de Gabillet pour les mêmes points récepteurs que pour la figure 6.

2, toujours en termes de niveaux de pression relatifs au champ libre. Les fréquences en

abscisse sont données en grandeurs réelles et sont comprises entre 50 Hz et 500 Hz (ce qui

correspond à l'échelle maquette à une bande de fréquences comprises entre 1000 et 10000

Hz). L'impédance utilisée dans le code Météo-BEM a été calculée par le modèle simple de

Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970]. Le temps de calcul requis est plus long que dans

le cas du sol rigide. En effet, les fonctions de Green en milieu homogène (modèle de

Chandler-Wilde) et en milieu inhomogène (modes normaux) sont plus coûteuses

numériquement que leurs homologues pour un sol rigide, du fait respectivement du calcul

de la fonction de perturbation de Chandler-Wilde, et de la recherche dans le plan complexe

des pôles pour DOWNMOD (voir les chapitres 4 et 5). Pour diminuer les temps de calcul

en jeu, toutes les intégrales intervenant dans BEMAS2D ont été évaluées par la méthode

simple des rectangles. Les courbes de la figure 6. 6 montrent que les résultats de Météo-

BEM sont proches des résultats de mesure pour le sol absorbant, hormis à basse fréquence

où les résultats sont moins bons. Ceci est sans doute imputable au schéma numérique

d'intégration trop rudimentaire, utilisé sur les intervalles de longueur λ/6 de la méthode

d'éléments finis de frontière, intervalles trop grands sur cette plage de fréquences pour

obtenir une bonne précision avec ce type d'intégration.

La figure 6. 7 confirme ces résultats pour les 6 autres points de mesure correspondant à

la figure 6. 5. L'accord entre les résultats du modèles Météo-BEM et les résultats

expérimentaux est bon, l'écart le plus important étant inférieur à 2 dB, excepté à basse

fréquence où la différence entre les résultats est légèrement plus importante, pour les

mêmes raisons que ci-dessus.


- 193 -

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

(a)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB) (b)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100Fréquence (Hz)

(c)

figure 6. 6 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave absorbante de rayon de courbure Rc = 20 m.A l'échelle de la maquette : sol absorbant caractérisé par σ = 4000 cgs, hauteur de l'écran H = 0.10 m, hauteur dela source zS = 0.10 m, distance de la source à l'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR =0.1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 6 m. (b) zR = 0.15 m, d(S,R) = 6 m. (c) zR = 0.10 m,d(S,R) = 7 m.



- 194 -

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

(a) (b)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

(c) (d)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

rela

tif (

dB)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

0

10

20

50 100

Niv

eau

de p

ress

ion

(dB

)

Fréquence (Hz)

(e) (f)


figure 6. 7 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave absorbante de rayon de courbure Rc = 20 m.Configuration géométrique identique à celle de la figure 6. 6. A l'échelle de la maquette, les grandeurs sont lessuivantes : sol absorbant caractérisé par σ = 4000 cgs, hauteur de l'écran H = 0.10 m, hauteur de la source zS =0.10 m, distance de la source à l'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.15 m,distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 5 m. (b) zR = 0.10 m, d(S,R) = 5 m. (c) zR = 0.05 m, d(S,R)= 5 m. (d) zR = 0.05 m, d(S,R) = 6 m. (e) zR = 0.15 m, d(S,R) = 7 m. (f) zR = 0.05 m, d(S,R) = 7 m.


- 195 -

Le modèle Météo-BEM a aussi été confronté à deux résultats de mesure de Rasmussen

[Rasmussen, 1996], réalisée en soufflerie pour un écran rigide au-dessus d'un sol absorbant en

situation de vent portant et de vent contraire. Li et Wang ont calculé les niveaux de pression

correspondant aux mesures de Rasmussen en utilisant une méthode d'éléments finis de

frontière en milieu homogène et en maillant la surface courbée correspondant à chaque cas de

réfraction étudié [Li et Wang, 1998]. Pour ce faire, ils ont considéré un gradient constant de

vitesse du son caractérisé par le paramètre a = 2.9 10-3 m-1 (cf eq. 3- 70) pour la situation de

réfraction vers le bas, ce gradient étant l'opposé pour la réfraction vers le haut. Ces valeurs ont

été entrées dans le code de calcul Météo-BEM. Les paramètres géométriques sont les suivants

: la source et le récepteur sont respectivement à une hauteur de 2 m et 1 m, la distance de

propagation entre la source et le récepteur est de 60 m, et l'écran mesure 2.5 m et est situé à 20

m de la source pour la situation de vent portant et 40 m pour le cas du vent contraire.

L'impédance du sol est calculée, à l'instar de Li, par un modèle de porosité variable à deux

paramètres : σe = 20000 Pa s-1m-2 et αe = 60 m-1. Les résultats sont présentés en termes

d'atténuation relative au champ libre.

La figure 6. 8 montre que la courbe donnée par Météo-BEM suit les mêmes tendances que les

mesures expérimentales de Rasmussen, l'écart maximal entre les résultats restant inférieur à 3

ou 4 dB, alors que le calcul effectué par Météo-BEM a été réalisé sur les bases d'un gradient

constant de vitesse du son équivalent au profil réel de vitesse du vent. On constate par ailleurs

que les résultats du modèle Météo-BEM sont très proches de ceux fournis par le calcul de la

BEM courbée de Li, basés sur la même hypothèse de gradient constant de vitesse du son.

La figure 6. 9 montre les résultats dans le cas du vent contraire. Même si le modèle Météo-

BEM donne approximativement, hormis la présence inexplicable à ce stade d'un point

complètement erroné entre 1000 et 2000 Hz, la tendance globale suivie par les résultats de

mesure de Rasmussen et de calcul de Li, ces résultats sont nettement moins bons. Ces

mauvais résultats fournis par Météo-BEM proviennent sans doute de problèmes survenant

dans le calcul de la fonction de Green et de sa dérivée pour la réfraction vers le haut,

notamment dans la région de transition, ainsi que cela été souligné au chapitre 5.


- 196 -

-30

-20

-10

0

10

20

600 800 1000

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

Calcul BEM courbée de LiMesures de RasmussenMétéo-BEM

figure 6. 8 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de Rasmussen[Rasmussen, 1996] et un résultat de calcul de Li [Li et Wang, 1998] pour un écran sur sol absorbant ensituation de vent portant. sol absorbant caractérisé par σ = 20000 Pa s-1 m-2 et αe = 60 m-1 (modèle de porositévariable à deux paramètres), hauteur de l'écran H = 2.50 m, hauteur de la source zS = 2 m, distance de la source àl'écran d(S,Γ) = 20 m, hauteur du récepteur zR = 1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 60 m.gradient constant de vitesse du son donné par a = 2.9 10-3 m-1.

-40

-30

-20

-10

0

10

600 800 1000

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

Calcul BEM courbée de LiMesures de RasmussenMétéo-BEM

figure 6. 9 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de Rasmussen[Rasmussen, 1996] et un résultat de calcul de Li [Li et Wang, 1998] pour un écran sur sol absorbant ensituation de vent contraire. sol absorbant caractérisé par σ = 20000 Pa s-1 m-2 et αe = 60 m-1 (modèle deporosité variable à deux paramètres), hauteur de l'écran H = 2.50 m, hauteur de la source zS = 2 m, distance de lasource à l'écran d(S,Γ) = 40 m, hauteur du récepteur zR = 1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R)= 60 m. gradient constant de vitesse du son donné par a = -2.9 10-3 m-1.


- 197 -

6.6 Conclusion

Ce chapitre a présenté en détail comment inclure des effets de réfraction dans une

méthode d'éléments finis de frontière. Le code de calcul BEMAS2D, développé au chapitre

4, a été adapté, en intégrant les modèles du chapitre 5, aux cas de réfraction vers le bas (en

utilisant le code de calcul DOWNMOD) et vers le haut (codes de calcul correspondants :

UPRES et UPGEOM).

La figure 6. 10 illustre la construction du nouveau modèle baptisé Météo-BEM. Les

modèles encerclés en pointillés représentent les modèles utilisés pour construire Météo-

BEM. Cette nouvelle approche repose d'une part sur un modèle de propagation en milieu

homogène au-dessus de frontières complexes : la méthode d'éléments finis de frontière,

d'autre part sur des modèles de propagation en milieu inhomogène. Les descriptions en

milieu inhomogène et homogène sont couplées via la fonction de Green, et donnent le

modèle Météo-BEM.

Après avoir exposé dans ce chapitre la théorie de ce nouveau modèle, on l'a confronté

pour validation à des résultats numériques et expérimentaux issus de la littérature. Pour la

réfraction vers le bas, le modèle Météo-BEM se compare favorablement aux résultats

expérimentaux dans tous les cas étudiés. Toutefois, dans le cas de la réfraction vers le haut,

une comparaison avec un résultat de Rasmussen a montré que Météo-BEM achoppait pour

cette condition de propagation. Afin de mieux cerner les limites de ce nouveau modèle, une

campagne supplémentaire de mesures a été entreprise, qui est présentée au chapitre

suivant.

Pour finir, dans ce travail on n'a pas porté d'attention particulière sur le temps de calcul

puisqu'il s'agit ici avant tout de prouver que l'on peut prendre en compte des effets

météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Notons cependant à titre

d'information que les temps de calcul sont restés raisonnables dans toutes les

configurations étudiées. En guise d'exemple, sur une station HP série 715 tournant à 75

Mégaflops et pour un cas d'écran d'une hauteur de 3 m sur sol rigide, les temps nécessaires

pour calculer l'atténuation relative au champ libre par pas de 100 Hz, sur une bande de

fréquences comprises entre 100 et 1000 Hz, sont de manière générale de l'ordre de

quelques dizaines de secondes tandis que dans les cas où le sol est absorbant ce temps est

plutôt de l'ordre de quelques minutes. En effet, dans ce dernier cas la fonction de Green est


- 198 -

alors beaucoup plus coûteuse sur le plan numérique aussi bien en milieu homogène

(fonction de sol de Chandler-Wilde), qu'en milieu inhomogène (avec la recherche des pôles

pas à pas dans le plan complexe pour le calcul des séries de résidus).

figure 6. 10 : Organigramme représentant la construction du modèle Météo-BEM.

- 199 -

Chapitre 7

Confrontation du modèle Météo-BEM à des résultats

expérimentaux

7.1 Introduction

Les résultats disponibles dans la littérature concernant la propagation acoustique en

milieu inhomogène au-dessus d'un écran sont peu nombreux. C'est pourquoi une campagne

de mesures supplémentaire a été réalisée. Dans ce chapitre, les résultats donnés par le

modèle Météo-BEM, exposé au chapitre précédent, sont donc confrontés à des résultats

expérimentaux de propagation acoustique en milieu inhomogène en présence d'écrans

acoustiques pour différentes situations de réfraction et des configurations géométriques

variées. Notons que dans le cas de conditions de propagation en milieu homogène, ce

modèle redevient, en fait, le modèle BEMAS2D du chapitre 2.

Deux campagnes de mesures effectuées en milieu contrôlé dans la salle des maquettes

du CSTB sont présentées. Ces mesures étudient trois configurations différentes, en utilisant

l'analogie propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée – propagation

en milieu inhomogène au-dessus d'une surface plane (voir le paragraphe 5.5) : sol plan, sol

cylindrique convexe et sol cylindrique concave. Quelques résultats obtenus en utilisant tout

d'abord les sources à jet d'air comprimé de la salle des maquettes sont donnés. Cependant

ces sources souffrent d'une limitation en puissance dans la gamme de fréquences étudiée,

c'est pourquoi une deuxième série de mesures, basée sur la technique de la TDS, est

également décrite.

Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux

- 200 -

7.2 Présentation des mesures sur maquettes

Les résultats de calcul de Météo-BEM ont été confrontés à des résultats expérimentaux

réalisés au Centre des maquettes du C.S.T.B à Grenoble, sur modèles réduits à l'échelle

1/20e. Le Centre des maquettes est en fait une salle semi-anéchoïque d'une taille de 100 m2

possédant un dispositif permettant de diminuer le taux d'humidité de manière à conserver

la similitude à l'échelle 1/20e de l'absorption acoustique de l'air. Un thermomètre permet de

mesurer la température ambiante dans la salle et d'en déduire la célérité moyenne dans la

zone de propagation. Le taux d'humidité est également relevé et contrôlé régulièrement.

Dans le modèle réduit à l'échelle 1/20e, toutes les dimensions sont divisées par 20, les

impédances restent constantes, la fréquence et la résistance au passage de l'air sont

multipliées par 20. On peut trouver une bonne présentation de la technique de la mesure

sur maquettes dans les travaux de Almgreen [Almgren, 1986, Almgren, 1986, Almgren,

1987].

Trois géométries de surfaces ont été utilisées. Une surface plane permet de simuler la

propagation acoustique en milieu homogène, une surface cylindrique convexe modélise la

réfraction vers le haut tandis qu'une surface cylindrique concave permet de représenter la

réfraction vers le bas (voir figure 7. 2 et figure 7. 3). La surface convexe, de rayon de

courbure de 5 m à l'échelle 1/20e équivaut à un gradient de célérité rapporté à la célérité au

niveau du sol (paramètre a) de 10-2 m-1 à l'échelle 1, tandis que pour la surface concave le

rayon de courbure de 10.2 m est équivalent à un gradient de vitesse du son relatif à la

vitesse du son au sol de 4.9 10-3 m-1 à l'échelle 1.

Toutes les mesures ont été effectuées avec et sans écran. L'écran droit rigide utilisé est

en PVC de 5 mm d'épaisseur et d'une hauteur de 15,25 cm. Le sol réfléchissant est

constitué d'une plaque de polystyrène souple reposant sur un socle lui donnant la courbure

recherchée. Pour obtenir un sol absorbant, la plaque de polystyrène souple a été recouverte

d'une couche de feutrine des Ardennes (OZ-30) de 1,7 mm d'épaisseur.


- 201 -

7.3 Mesures avec les sources à jet d'air comprimé

Une première série de mesures a été réalisée en utilisant les sources à jet d'air comprimé

du Centre des Maquettes du C.S.T.B, qui émettent dans les ultrasons. Les sources sont

situées au niveau du sol (cf figure 7. 4). Les mesures ont été effectuées sur 4 lignes

horizontales de 12 récepteurs soit 48 points de réception, plus deux points (le premier et le

dernier) à 20 cm au-dessus de la source. Le schéma de la figure 7. 1 montre la

configuration des mesures sur sol plan. Pour la surface convexe, ainsi que pour la surface

concave, on a suivi le même protocole, les hauteurs étant mesurées normalement à la

surface et les distances étant prises le long de l'arc (ie en coordonnées curvilignes). La

figure 7. 2 et la figure 7. 3 montrent les trois types de surfaces utilisées.

figure 7. 1 : Schéma des configurations étudiées dans les mesures avec les sources à jet d'air comprimé.

Trois positions différentes d'écran ont été étudiées dans tous les cas de réfraction, l'écran

rigide étant successivement placé à 0.25 m, 0.80 m puis 1.20 m de la source. Les mesures

aux 50 points de réception sont automatisées à l'aide d'un logiciel de contrôle spécifique.

Le microphone 1/8e de pouce B&K est positionné grâce à un pont roulant asservi par

l'ordinateur de contrôle (voir figure 7. 2). La fréquence de coupure de ce microphone,

supérieure à 100 kHz, permet une mesure précise jusqu'au 1/3 d'octave 5 kHz. Le signal

provenant du microphone est amplifié puis échantillonné par la carte son de l'ordinateur de

contrôle à 625 kHz. Pour chaque mesure, 10 signaux temporels sont acquis successivement

et leurs spectres en fréquence sont moyennés en énergie puis intégrés en 1/3 d'octave. A

chaque acquisition, une mesure automatique du bruit de fond permet de connaître la

dynamique de la mesure pour chaque 1/3 d'octave.


figure 7. 2 : Mesure avec les sourrigide sur sol plan rigide. La sondeautomatisé relié à un ordinateur de

figure 7. 3: Mesure avec les sourcrigide (réfraction vers le haut) et de

figure 7

ne

Sonde automatiséeportant le microphoneécran

acoustique

sol plan = milieu homogè

ces de jet d'air comprimé pour la configuration de l'écran droit mince qui supporte le microphone 1/8e de pouce est pilotée par un pont roulant contrôle.

aut
surface convexe = réfraction vers le h
as
surface concave = réfraction vers le b
- 202 -

es de jet d'air comprimé pour les configurations de la surface convexe la surface concave rigide (réfraction vers le bas).

. 4 : source de jet d'air comprimé utilisée.

buse de la source

écran acoustique


- 203 -

Pour chaque configuration géométrique (sol plan, surface convexe, surface concave),

deux mesures successives, avec et sans écran, sont effectuées. Les résultats sont ensuite

présentés en termes de perte par insertion c'est-à-dire de différence entre les niveaux de

pression avec et sans écran au même point récepteur, ceci afin de s'affranchir au maximum

de la directivité et de l'amplitude de la source, ainsi que de l'absorption atmosphérique (tout

en utilisant également le dispositif de réduction du taux d'humidité de la salle).

7.3.1 Mesures sur sol plan

Des mesures ont été d'abord effectuées sur sol plan rigide, pour les trois positions

successives d'écran Γ1, Γ2, Γ3 respectivement à 0.25 m, 0.80 m et 1.3 m de la source. Les

calculs ont été effectués par tiers d'octave, en milieu homogène, avec le modèle

BEMAS2D, en prenant 10 points dans chaque tiers d'octave. Les valeurs de la température

et de l'humidité pour toutes les expérimentations réalisées avec les sources à jet d'air

comprimé sont relevées dans l'annexe V.

La figure 7. 5 montre les résultats pour les 4 récepteurs situés juste devant l'écran Γ1.

On constate que celui-ci vient perturber le champ direct, puisque des interférences dues à

la diffraction par l'arête horizontale de l'écran apparaissent, surtout pour les 3 premiers

points les plus près du sol. Pour le point le plus haut, l'écran joue un rôle négligeable. On

peut remarquer un bon accord global entre les résultats de BEMAS2D et ceux de la

mesure, même si les interférences sont moins marquées dans la mesure que dans le calcul.

Ceci peut provenir de deux sources : soit le phénomène de couche limite relevé par

Almgren [Almgren, 1986, Almgren, 1986] et qui n'a pas été pris en compte dans les calculs

entre en jeu, soit les niveaux de pression mesurés dans les creux interférentiels sont trop

faibles et voisins du bruit de fond pour pouvoir être évalués avec précision.


- 204 -

Point 2 Point 3

Point 4 Point 5

Mesures sources de jet BEMAS2D

figure 7. 5 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 0.20 m. Point 2 : hauteur du récepteur zR =0.02 m, Point 3 : zR = 0.05 m, Point 4 : zR = 0.15 m, Point 5 : zR = 0.20 m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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-20

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 205 -

Point 18 Point 19

Point 20 Point 21Légende identique à celle de la figure 7. 5.

figure 7. 6 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 1.20 m. Point 18 : hauteur du récepteur zR

= 0.02 m, Point 19 : zR = 0.05 m, Point 20 : zR = 0.15 m, Point 21 : zR = 0.20 m.

La figure 7. 6 montre quant à elle, les résultats obtenus pour les 4 points récepteurs

situés derrière l'écran, à 1.20 m de la source. On peut noter cette fois l'effet important de

l'écran puisque la perte par insertion est nettement plus marquée que pour les points devant

l'écran. Là encore, les résultats de BEMAS2D se comparent favorablement aux résultats

expérimentaux, avec la même remarque concernant les écarts apparaissant dans les creux

d'interférence.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

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Pe

rte

pa

r In

sert

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

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r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 206 -

Point 14 Point 15




La figure 7. 7 montre les résultats obtenus pour l'écran Γ2 à 0.80 m de la source et pour

les 4 points situés juste derrière l'écran, à la distance de 1.20 m de la source. Les résultats

du modèle BEMAS2D sont proches des mesures, avec cependant les mêmes restrictions

que ci-avant dans les plages de fréquences où les niveaux sont faibles et proches du bruit

de fond, et les interférences plus "creusées" par le calcul que la mesure.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

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B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

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B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 207 -

Point 30 Point 31




La figure 7. 8 donne des résultats pour la troisième position de l'écran, Γ3, à 1.30 m de

la source et pour des points éloignés de l'écran, à 2.80 m de la source. Bien que les niveaux

mesurés soient faibles, ce qui est source d'erreur ainsi que cela a déjà été écrit plus haut, les

résultats du calcul par BEMAS2D ont globalement la même allure que les résultats

expérimentaux. Concernant les creux interférentiels, la même remarque restrictive que ci-

dessus s'applique.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

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0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 208 -

7.3.2 Mesures sur surface concave

Des mesures ont été ensuite effectuées sur sol concave, de rayon de courbure Rc = 10.2

m, pour simuler la réfraction vers le bas, pour les trois positions successives d'écran Γ1, Γ2,

Γ3 respectivement à 0.25 m, 0.80 m et 1.3 m de la source. De même que pour le sol plan,

les calculs ont été effectués par tiers d'octave, en milieu inhomogène, avec le modèle

Météo-BEM, en prenant 10 points dans chaque tiers d'octave. On peut trouver dans

l'annexe V les valeurs de la température et de l'humidité relative pour toutes les

expérimentations.


- 209 -

Point 18 Point 19

Point 20 Point 21

Mesures Météo-BEM

figure 7. 9 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.5 m. Distance source –écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) =1.20 m. Point 18 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 19 : zR = 0.05 m, Point 20 : zR = 0.15 m, Point 21 : zR

= 0.20 m.

La figure 7. 9 compare les résultats de Météo-BEM pour la réfraction vers le bas aux

résultats expérimentaux au-dessus de la surface concave pour la première position d'écran :

Γ1 et 4 points situés à 1.20 m de la source. On constate que l'on retrouve bien par le calcul

les tendances observées par la mesure. De même que pour la surface plane, dans les plages

de fréquences où l'énergie est plus faible et proche du bruit de fond, les interférences sont

moins marquées dans les résultats expérimentaux que dans les résultats de Météo-BEM.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

pa

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

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B)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 210 -

Point 22 Point 23

Point 24 Point 25

Légende identique à celle de la figure 7. 9.


= 0.20 m.

La figure 7. 10 compare des résultats de Météo-BEM à des résultats de mesure pour

l'écran Γ2 et 4 points situés à 1.40 m de la source. Là encore, l'accord entre le modèle et la

mesure est bon, avec toujours les mêmes restrictions quant aux creux des interférences,

moins marqués dans les résultats expérimentaux que par le calcul.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 211 -

Point 38 Point 39



= 0.20 m.

La figure 7. 11 montre les résultats obtenus, toujours derrière l'écran Γ2, mais cette fois-

ci pour 4 points éloignés, à la distance de 3.85 m de la source. Les tendances montrées par

la mesure se retrouvent bien dans le calcul par Météo-BEM, les interférences étant toujours

plus marquées par le modèle que par la mesure. On peut noter que la perte par insertion est

moins importante, notamment pour les 2 points les plus élevés (points 40 et 41), ce qui

montre que la réfraction vers le bas détruit dans ce cas l'efficacité de l'écran pour ces

récepteurs. Il faut souligner que l'accord entre mesure et calcul est meilleur pour ces 2

derniers points, ce qui confirme le fait que les écarts rencontrés dans les creux des

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 212 -

interférences sont bien dus à une énergie mesurée trop faible, puisque pour les points 40 et

41 l'énergie est renforcée par la réfraction vers le bas et par conséquent la comparaison

entre les résultats est meilleure.

Point 30 Point 31



= 0.20 m.

La figure 7. 12 montre des résultats pour l'écran Γ3 et 4 points situés à 2.80 m de la

source. Les mêmes commentaires que pour les résultats présentés ci-avant peuvent

s'appliquer. Les résultats de Météo-BEM sont proches de ceux de la mesure, hormis dans

les creux interférentiels. Remarquons également que pour le point 31 un léger décalage en

fréquence apparaît, pour lequel il n'a pas été trouvé d'explication valable. Pour finir, il faut

souligner que dans toutes les mesures effectuées, les résultats ont été de manière générale

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 213 -

meilleurs pour les 2 points les plus élevés, ce qui laisse penser que la mesure près du sol

est plus délicate et notamment plus sensible au positionnement exact des capteurs. De

même, la source à jet d'air comprimé n'est pas sphérique et il se peut que dans cette

direction rasante l'énergie sonore émise soit plus faible que pour des points plus élevés. En

outre le rayon de courbure des surfaces n'est pas rigoureusement constant, ce qui induit des

erreurs sans doute plus importantes pour des points proches du sol que pour des points plus

éloignés.

7.3.3 Mesures sur surface convexe

Des mesures ont également été réalisées au-dessus d'une surface convexe de rayon de

courbure Rc = 5 m pour modéliser la réfraction vers le haut. Afin d'étudier les résultats

dans la zone d'ombre, la région de transition et la zone éclairée, les trois différentes

positions d'écran Γ1, Γ2 et Γ3 adoptées ci-dessus ont été utilisées. En effet, dans la méthode

d'éléments finis de frontière deux régions de propagation sont à considérer, outre la

propagation du champ incident entre source et récepteur en l'absence d'écran : le domaine

compris entre la source et l'écran (voir figure 7. 13), qui correspond à l'écriture

mathématique de l'équation intégrale à résoudre sur l'écran en prenant en compte

l'excitation de la source dans le second membre (cf eq. 4- 9), et d'autre part le domaine

entre l'écran et le récepteur (voir figure 7. 14) qui correspond à la formulation intégrale du

champ de pression dû à la diffraction par l'écran apparaissant dans eq. 4- 6. L'écran est

alors considéré comme un ensemble de sources secondaires, excitées par le champ incident

rayonné par la source, et qui réémettent à leur tour en direction du récepteur. C'est

pourquoi, du fait de l'expression de la fonction de Green qui change, en réfraction vers le

haut, en fonction de la position spatiale relative des points source et récepteur considérés,

en zone éclairée ou en zone d'ombre, les manipulations ont été conçues de manière à

pouvoir examiner des cas différents de positions relatives source – écran et écran –

récepteur.


- 214 -

figure 7. 13 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre la source et l'écranacoustique. En conditions de réfraction vers le haut, le rayon limite issu de la source délimite une zone d'ombre.

figure 7. 14 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre l'écran et le récepteur. Enconditions de réfraction vers le haut apparaissent 3 zones définies par les 2 rayons limites issus des points situésau sommet et au pied de l'écran. Les 3 points récepteurs illustrent ces zones : R1 est situé dans une régionéclairée vis-à-vis de l'écran entier, R2 est dans une région éclairée pour les points en haut de l'écran mais en zoned'ombre pour les points du bas de l'écran, R3 est en zone d'ombre vis-à-vis de l'écran entier.

La première position, Γ1, représente une situation où quasiment tous les points sur

l'écran sont placés en zone éclairée vis-à-vis de la source (cf figure 7. 13), ce qui met en

jeu la solution géométrique UPGEOM en tant que fonction de Green dans la méthode

d'éléments finis de frontière, hormis pour les points tout en bas de l'écran situés en zone

d'ombre où la série des résidus UPRES doit être utilisée conformément à la discussion des

chapitres 5 et 6. Concernant le domaine de propagation entre l'écran et les récepteurs, à

partir du point 30, tous les points qui suivent sont dans la zone d'ombre réfractive vis-à-vis

de l'écran (cas du point R3 de la figure 7. 14), ce qui implique alors l'utilisation du modèle

UPRES, tandis que lorsque l'on se rapproche de l'écran, celui-ci doit être abandonné au

profit du modèle UPGEOM (cas du point R1 de la figure 7. 14).

La position Γ2 de l'écran permet quant à elle de considérer une situation où

approximativement la moitié supérieure de l'écran est en zone éclairée, les points en bas de

l'écran étant en zone d'ombre vis-à-vis de la source (voir figure 7. 13). Dans cette


- 215 -

configuration, les points récepteurs au-delà du point 38 sont également en zone d'ombre

réfractive vis-à-vis de l'écran.

Enfin la position Γ3 a été utilisée pour décrire une situation où quasiment tous les points

de l'écran sont en zone d'ombre par rapport à la source (cf figure 7. 13). Dans ce cas, seuls

les points 42 à 49 sont en zone d'ombre réfractive par rapport à l'écran.

Les calculs ont été effectués toujours en tiers d'octave par le modèle Météo-BEM. Les

données de température et d'humidité relative sont consignées en annexe V. Les résultats

du calcul par le modèle se sont avérés mauvais, ce qui confirme le résultat de la

comparaison avec les mesures réalisées en soufflerie par Rasmussen en situation de vent

contraire (figure 6. 9 du paragraphe 6.6). En effet, dans le cas de l'écran Γ1, le modèle

diverge, même pour les points récepteurs les plus loin, ce qui laisse à penser que le modèle

prenant en compte les effets météorologiques pose problème pour la propagation entre la

source et l'écran où les points sont principalement situés en zone éclairée. Cela signifie que

dans ce cas, le modèle UPGEOM ne convient pas. Pour les écrans Γ2 et Γ3, les résultats ne

sont pas bons non plus. Par conséquent, le problème de la divergence du modèle Météo-

BEM provient sans doute du changement de solution, de la solution de la série des résidus

en zone d'ombre à la solution géométrique en zone éclairée. Ce changement induit une

discontinuité dans le calcul de la dérivée de la fonction de Green qui intervient deux fois :

la première lors du calcul de l'excitation de l'écran par la source dans le second membre de

l'équation intégrale, et la deuxième fois lors du calcul du champ diffracté par la

formulation intégrale. Pour pallier le premier problème, un calcul a été essayé en

approchant le champ rayonné entre la source et l'écran, lorsque celle-ci est proche de ce

dernier dans la position Γ1, par la solution en milieu homogène. Ce calcul n'a toutefois pas

donné satisfaction. Deux enseignements sont à tirer : d'une part, la solution de l'équation

intégrale est sans doute très sensible à la précision du calcul de la dérivée du champ

incident, c'est-à-dire au calcul du second membre dans eq. 4- 11; d'autre part, le calcul du

champ diffracté qui est représenté par l'intégrale le long de l'écran dans eq. 4- 24, induit

certainement lui aussi des erreurs si la dérivée de la fonction de Green en jeu n'est pas

connue de façon suffisamment précise.

La figure 7. 15 illustre le mauvais comportement de Météo-BEM en conditions de

réfraction vers le haut, dans le cas des points 14 à 17 situés juste derrière l'écran Γ2. Les

niveaux de pression calculés par le modèle sont surestimés. De plus, plus le point récepteur


- 216 -

est élevé, plus la solution du calcul diverge, à haute fréquence. Ceci semblerait indiquer

dans ce cas que la solution géométrique UPGEOM pose problème puisque plus les points

sont élevés, plus ils sont dans la zone éclairée vis-à-vis de la réfraction par rapport aux

sources secondaires situées sur l'écran. Ces résultats se retrouvent de manière générale

dans tous les résultats expérimentaux obtenus au-dessus de la surface convexe. En outre

vient sans doute se greffer le problème de la puissance des sources : en effet, l'énergie

sonore trop faible que l'on a rencontré dans le cas de la surface plane et de la surface

concave est encore diminuée par la réfraction vers le haut, malgré le phénomène des ondes

rampantes qui achemine de l'énergie dans la zone d'ombre le long de la surface courbée.

Par conséquent, les résultats expérimentaux peuvent être eux aussi sujets à caution.

Point 14 Point 15

Point 16 Point 17

Mesures sources de jet Météo-BEM

figure 7. 15 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol convexe rigide de rayon de courbure Rc = 5 m. Distance source – écrand(S,Γ2) = 0.80 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 0.9 m.Point 14 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 15 : zR = 0.05 m, Point 16 : zR = 0.15 m, Point 17 : zR = 0.20m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

10

1000 104

Pe

rte

pa

r In

sert

ion

(d

B)

Fréquence (Hz)


- 217 -

7.4 Mesures avec la T.D.S

Afin de compléter la première série de mesures présentée ci-dessus et notamment

d'utiliser une source qui convienne mieux en directivité et puissance, une seconde série a

été réalisée à l'aide de la méthode de Time Delay Spectrometry [1988, Villot, 1986, Villot,

1988]. Cette méthode repose sur l'hypothèse que la réponse en fréquence d'un système

acoustique est la superposition de plusieurs réponses élémentaires dont chacune est

affectée d'un retard propre correspondant à son chemin acoustique. La TDS permet d'isoler

par filtrage un (ou plusieurs) chemin de propagation particulier et d'obtenir des

caractéristiques relatives à ce dernier tels que la courbe temporelle en énergie, la réponse

impulsionnelle ou le spectre fréquentiel. Ainsi, les autres chemins acoustiques indésirables

(comme ceux provenant des bords des surfaces) peuvent être supprimés, pourvu que ces

bords soient toutefois à une distance suffisante de la manipulation. Mentionnons, de plus,

que la TDS présente une très bonne réjection au bruit de fond, permettant ainsi la mesure

en environnement bruyant.

La source émet un signal dont la fréquence décroît linéairement avec le temps. Le signal

capté au récepteur est filtré par un filtre suiveur passe-bande dont la fréquence et la largeur

centrale sont choisies pour isoler certaines raies de fréquence et en rejeter d'autres.

Le banc de mesures est constitué d'un tweeter AUDAX TWX 102 (diamètre 70 mm) et

d'un microphone ½-pouce Electret Condenser de type MK 224, montés chacun sur une

fixation dont la hauteur est réglable. Le signal en sortie de PC est amplifié avant d'être

transmis au tweeter grâce à un amplificateur de puissance B&K type 2706. L'acquisition

du signal est réalisée avec le microphone relié au convertisseur analogique-numérique 16

bits OROS du PC. Lorsque la source est trop proche du sol, pour des raisons pratiques, les

mesures ont été effectuées en réciprocité, les rôles de la source et du récepteur étant alors

interchangés.

Les mêmes surfaces qu'au paragraphe précédent ont été utilisées, cette fois-ci

successivement réfléchissantes puis absorbantes. Afin de respecter la similitude des

grandeurs physiques à l'échelle 1/20e, la résistance au passage de l'air σ de la feutrine

absorbante est multipliée par 20 sur la plage de fréquences de travail pour le modèle réduit.


Les résultats sont donnés dans ce paragraphe en termes d'atténuation c'est-à-dire de

différences entre les niveaux de pression du champ total et du champ libre.

Les figures 7. 16, 7. 17 et 7. 18 illustrent le dispositif expérimental utilisé pour la

mesure avec la TDS au-dessus de la surface plane parfaitement réfléchissante et des

surfaces convexe et concave recouvertes de feutrine.

figure 7. 16 : Dispositif expérimental pour la mesure avec la TDS au-dessus de la surface plane rigide.

figure 7. 17 : Mesu

figure 7. 18 : Mesu

o r
micr
ue feutrine
écran acoustiq
- 218 -

re avec la TDS au-dessus de la surface co

re avec la TDS au-dessus de la surface co

tweete

nvexe recouverte de feutrine.

ncave recouverte de feutrine.


- 219 -

7.4.1 Mesures sur sol plan

Une première série de mesures a été réalisée au-dessus d'un sol plan d'abord

parfaitement réfléchissant puis absorbant. Ces mesures permettent de recaler les résultats et

de s'assurer du bon comportement du protocole expérimental.

Les cas (a) et (b) de la figure 7. 19 ont été choisis, car dans cette configuration

géométrique, ils font chacun apparaître des interférences très marquées. L'accord entre la

mesure et le calcul est bon, cependant un léger décalage apparaît à haute fréquence. Il peut

être dû soit au fait que la surface ne peut plus être considérée comme parfaitement

absorbante dans cette gamme de fréquences, le phénomène de couche limite déjà évoqué

dans les paragraphes précédents entrant alors en jeu, soit au fait que lorsque les

manipulations ont été effectuées, des problèmes pratiques ont émergé quant au

positionnement de la hauteur de la source et du récepteur, notamment à cause du fait que le

plateau de travail s'est avéré non rigoureusement plan et que la surface, constituée de la

plaque de polystyrène souple, se déformait légèrement lors de l'installation du microphone

et de la source, entraînant ainsi une erreur de positionnement. Notons que cette surface

s'est de plus déplacée quelque peu au fur et à mesure des expérimentations. Par ailleurs,

près du sol il apparaît difficile de trouver le positionnement exact de la source ponctuelle

équivalente utilisée dans les calculs. Cette source ponctuelle équivalente (ou le récepteur

équivalent dans la mesure par réciprocité) ne semble plus se trouver au centre de la

membrane du transducteur. C'est ainsi qu'en corrigeant les hauteurs d'une erreur de 4 ou 5

mm, l'accord obtenu dans la figure 7. 20 est meilleur.

La figure 7. 21 illustre également cette observation, dans le cas d'une source plus près

du sol. La figure 7. 22 montre, de même que la figure 7. 21, que les résultats sont moins

bons pour une source proche de la surface plane. Quoi qu'il en soit, ces résultats mettent en

lumière le fait que les résultats sont très sensibles à la variation de hauteur de la source et

du récepteur, variation qui se répercute sur l'angle d'incidence.


- 220 -

(a) (b)

Mesures TDS

Fonction de Green sol rigide

figure 7. 19 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Distance source-récepteur d(S,R) = 1 m, hauteur de lasource zS = 0.2 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.10 m. (b) zR = 0.05 m.

(a) (b)

légende identique à celle de la figure 7. 19

figure 7. 20 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Mêmes résultats de mesure que ci-dessus mais calcul avecles paramètres géométriques suivants : distance source-récepteur d(S,R) = 1 m. (a) hauteur de la source zS =0.205 m. hauteur du récepteur zR = 0.105 m. (b) zS = 0.204 m, zR = 0.054 m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 221 -

(a) (b)


figure 7. 21 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Distance source-récepteur d(S,R) = 1.5 m, hauteur de lasource zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.10 m. Calcul : (a) zS = 0.04 m. (b) zS = 0.046 m.

(a) (b)


figure 7. 22 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. (a) Distance source-récepteur d(S,R) = 2.5 m, hauteur de lasource zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.20 m. (b) d(S,R) = 1.5 m, hauteur de la source zS = 0.025 m,hauteur du récepteur zR = 0.20 m.

Après ces résultats sur sol plan rigide, on s'est attaché à étudier la même surface, mais

recouverte de la feutrine décrite ci-avant. L'analyse des caractéristiques de la feutrine a été

étudiée pour différentes positions de source et récepteur. Suivant la même approche que

Defrance [Defrance, 1996], le modèle de Delany et Bazley à un paramètre avec une

épaisseur infinie de matériau s'est avéré bien adapté pour décrire les mesures. La valeur

moyenne ainsi déterminée est σ = 2400 kPa s m-2 en échelle maquette, ce qui correspond à

120 kPa s m-2 en échelle fictive c'est-à-dire à un sol absorbant composé d'herbes hautes.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

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)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

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par

rapp

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u ch

amp

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(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 222 -

(a) (b)

Mesures TDSFonction de Green sol absorbant

figure 7. 23 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol absorbant (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant. σ = 2400 cgs. Distance source-récepteurd(S,R) = 1 m, hauteur de la source zS = 0.2 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.10 m. (b) zR = 0.05 m.

(a) (b)


figure 7. 24 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol absorbant (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant. σ = 2400 cgs. (a) Distance source-récepteurd(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 1.5 m, hauteurde la source zS = 0.025 m, hauteur du récepteur zR = 0.20 m.

La figure 7. 23 présente les spectres comparés des mesures et du calcul par la fonction

de Green (2D) sur sol absorbant pour la valeur de σ = 2400 k Pa s m-2, dans la même

configuration géométrique que la figure 7. 19. On constate que la concordance entre

théorie et expérimentation est bonne, les interférences étant toutefois plus creusées dans le

cas de la mesure. Il se peut que cela provienne de la directivité de la source, non prise en

compte dans le calcul. Notons que dans le cas de la surface absorbante, les résultats sont

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

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)

Fréquence (Hz)

-40

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0

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1000 104

Atté

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par

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)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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1000 104

Atté

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par

rapp

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u ch

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)

Fréquence (Hz)

-40

-30

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1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 223 -

moins sensibles à la moindre variation de hauteur de la source et du récepteur que leurs

homologues dans le cas de la surface rigide.

La figure 7. 24 montre les résultats obtenus pour deux positions de source proches du

sol. On peut remarquer que même si la tendance des mesures se retrouve dans le calcul, les

résultats sont cependant moins bons. Il se peut que cela provienne du fait que le modèle

simple d'impédance utilisé correspond moins à la réalité, pour de tels angles d'incidence.

Par ailleurs, lorsque l'on est très près du sol, l'interaction avec celui-ci est très forte et le

tweeter n'est alors peut-être plus équivalent à source ponctuelle. Mentionnons en outre

qu'un pic apparaît dans les mesures autour de 18000 Hz. Cet artefact de mesure n'a pu être

expliqué et réapparaît en fait dans toutes les acquisitions, ce qui limite le domaine de

validité des mesures à la plage de fréquences comprises entre 800 et 18000 Hz.

7.4.2 Mesures sur surface concave

La mesure sur la surface concave, de rayon de courbure Rc = 10.2 m, a été effectuée en

deux points récepteur, d'abord au-dessus de la surface concave parfaitement réfléchissante

puis au-dessus de la surface absorbante, sans écran puis avec écran acoustique.

La figure 7. 25 expose les résultats dans le cas de la surface parfaitement réfléchissante,

tandis que les mesures et le calcul par le modèle DOWNMOD (2D) pour la surface

absorbante sont montrés, pour la même configuration géométrique, dans la figure 7. 26.

Globalement, la concordance entre mesure et calcul est correcte. On peut noter, de même

que pour la surface plane, que les interférences sont nettement plus marquées dans les

résultats expérimentaux que dans les résultats du modèle. Ces derniers résultats subissent

par ailleurs quelques oscillations, notamment à haute fréquence, dues au nombre de modes

normaux entrant alors en jeu. On voit également apparaître le pic autour de 18000 Hz, que

l'on retrouve dans toutes les mesures, ainsi qu'on l'a souligné ci-dessus.


- 224 -

(a) (b)

Mesures TDSDOWNMOD (2D)

figure 7. 25 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D) aux mesures surmodèle réduit avec la TDS sur la surface concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.2 m. Distance source-récepteur d(S,R) = 2 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) zR = 0.10 m.

(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 25

figure 7. 26 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D) aux mesures surmodèle réduit avec la TDS sur la surface concave absorbante, de rayon de courbure Rc = 10.2 m. σ = 2400cgs. Distance source-récepteur d(S,R) = 2 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR =0.007 m. (b) zR = 0.10 m.

Les mêmes mesures que pour figure 7. 25 et figure 7. 26 ont été effectuées, après avoir

installé l'écran acoustique parfaitement réfléchissant. Cet écran, de hauteur 0.1525 m, est le

même que celui qui a été déjà utilisé pour les mesures avec sources à jet d'air comprimé.

La figure 7. 27 compare les résultats de mesure à ceux du calcul par le modèle Météo-

BEM, pour la surface rigide. On constate que l'on retrouve bien les mêmes tendances.

Cependant un léger décalage en fréquence apparaît, qui peut être dû à des erreurs de

positionnement des hauteurs de la source et du récepteur, ainsi que cela a été montré dans

-30

-20

-10

0

10

20

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-30

-20

-10

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20

1000 104

Atté

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par

rapp

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(dB

)

Fréquence (Hz)

-30

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20

1000 104

Atté

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rapp

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)

Fréquence (Hz)

-30

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20

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 225 -

le cas de la surface plane. On peut remarquer également les oscillations apparaissant à

haute fréquence dans les résultats de calcul et qui sont imputables au modèle de modes

normaux DOWNMOD. En ce qui concerne la surface absorbante, on peut tirer les mêmes

conclusions de la figure 7. 28 avec en outre une remarque à propos de la modélisation de

l'absorption de la surface. En effet, là-aussi, le modèle simple d'impédance utilisé dans le

calcul n'est peut-être pas adapté au comportement réel en absorption du système feutrine +

surface, en particulier pour les incidences rasantes.

(a) (b)

Mesures TDSMétéo-BEM

figure 7. 27 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface concave rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 10.2 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 0.5 m, distance source-récepteur d(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) zR = 0.10m.

(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 27.

figure 7. 28 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface concave absorbante en présence d'un écran acoustique rigide.. Rayon de courbure de lasurface Rc = 10.2 m. σ = 2400 cgs. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 0.5 m,distance source-récepteur d(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007m. (b) zR = 0.10 m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Atté

nuat

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par

rapp

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amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

10

1000 104

Atté

nuat

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rapp

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u ch

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libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

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0

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1000 104

Atté

nuat

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par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 226 -

7.4.3 Mesures sur surface convexe

Une série de mesures a aussi été entreprise au-dessus de la surface convexe, de rayon de

courbure Rc = 5m. La figure 7. 29 et la figure 7. 30 comparent les résultats expérimentaux

aux résultats de calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM, pour la surface

parfaitement réfléchissante, sans écran acoustique. L'accord entre la mesure et le calcul est

correct. On voit toujours apparaître le pic parasite autour de 18000 Hz, de même que pour

les surfaces plane et concave. Pour le cas (b) de la figure 7. 30 un autre pic peut être relevé

dans la mesure, qui n'a pas pu être expliqué. Notons que pour les deux figures, le passage

de la zone éclairée à la zone d'ombre se fait respectivement à la distance d(S,R) = 0.764 m

et d(S,R) = 0.896 m, pour les cas (a) et (b). Par conséquent, dans le calcul par le modèle

mixte, c'est la solution géométrique qui intervient pour la figure 7. 29, tandis que pour la

figure 7. 30, c'est la solution des résidus UPRES qui est utilisée.

La figure 7. 31 et la figure 7. 32 montrent les résultats correspondant à la figure 7. 29

et la figure 7. 30 dans le cas de la surface absorbante caractérisée par σ = 2400 k Pa s m-2.

La tendance observée pour la mesure se retrouve dans les calculs, avec toutefois un

décalage en fréquence qui peut provenir soit d'une erreur de positionnement des hauteurs

de la source et du récepteur, soit plus certainement du fait que le modèle simple

d'impédance utilisé dans le calcul n'est peut-être pas adapté au comportement réel en

absorption du système feutrine + surface, ou alors que la résistance au passage de l'air σ

ajustée pour le modèle de Delany-Bazley est sous-évaluée. La figure 7. 33 montre à cet

effet l'influence de ce paramètre sur les résultats de calcul et l'on peut constater que plus σ

est grand, ie plus le matériau est absorbant, plus l'interférence est décalée vers la droite. La

valeur σ = 5000 k Pa s m-2 permet alors d'obtenir dans ce cas de meilleurs résultats.


- 227 -

(a) (b)

Mesures TDSUPRES+UPGEOM (2D)

figure 7. 29 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe rigide sans écran acoustique, de rayon decourbure Rc = 5 m. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 0.70 m, hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur durécepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.

(a) (b)

légende identique à celle de la figure 7. 29.

figure 7. 30 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe rigide sans écran acoustique, de rayon decourbure Rc = 5 m. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.40 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur durécepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) = 3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

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par

rapp

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)

Fréquence (Hz)

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1000 104

Atté

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par

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amp

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)

Fréquence (Hz)

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1000 104

Atté

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libre

(dB

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Fréquence (Hz)

-40

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-20

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1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 228 -

(a) (b)


figure 7. 31 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe absorbante sans écran acoustique, de rayonde courbure Rc = 5 m. σ = 2400 cgs. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 0.70 m, hauteur de la source zS =0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.

(a) (b)


figure 7. 32 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe absorbante sans écran acoustique, de rayonde courbure Rc = 5 m. σ = 2400 cgs. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.40 m, hauteur de la source zS =0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) = 3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.

-50

-40

-30

-20

-10

0

1000 104

Atté

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ion

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rapp

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)

Fréquence (Hz)

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1000 104

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rapp

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)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Atté

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par

rapp

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Fréquence (Hz)

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1000 104

Atté

nuat

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par

rapp

ort a

u ch

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libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 229 -

Mesures TDSUPRES+UPGEOM (2D)

sigma = 2400 cgsidem sigma = 5000 cgsidem sigma = 9000 cgs

figure 7. 33 : Comparaison entre les mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexeabsorbante sans écran acoustique et le calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) pourdifférentes valeurs de σ. Rayon de courbure de la surface Rc = 5 m. Distance source-récepteur d(S,R) = 075 m,hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m.

Pour finir, une série de mesures a été réalisée au-dessus de la surface convexe rigide en

présence d'un écran acoustique parfaitement réfléchissant. Les résultats du calcul par le

modèle Météo-BEM ne sont pas très bons, de même que lors des comparaisons avec les

mesures effectuées à l'aide des sources à jet d'air comprimé.

La figure 7. 34 et la figure 7. 35 donnent les résultats dans le cas où tout l'écran est

situé en zone d'ombre réfractive vis-à-vis de la source, c'est-à-dire que dans ce cas la

fonction de Green intervenant dans la BEM pour le calcul du second membre de l'équation

intégrale est basée sur la série des résidus UPRES, pour le domaine de propagation entre la

source et l'écran. En effet, la limite de la zone d'ombre par rapport à la source pour le point

situé en haut de l'écran se trouve à 1.49 m de la source. En revanche, en ce qui concerne le

domaine de propagation compris entre l'écran et le récepteur, dans les cas (a) et (b) de la

figure 7. 34 le point récepteur se situe en région éclairée vis-à-vis de l'écran tout entier

puisque la limite de la zone d'ombre pour un point situé au pied de l'écran se trouve à 0.499

m de l'écran, ce qui signifie que dans ce cas la fonction de Green repose sur le modèle

UPGEOM pour le calcul de l'intégrale représentant le champ diffracté. On constate que

dans le cas (a) le modèle Météo-BEM diverge, tandis que les résultats du cas (b)

concordent avec la mesure, hormis les problèmes que l'on a déjà rencontrés pour la mesure

au voisinage de 18000 Hz. Ceci peut s'expliquer par le fait que le modèle UPGEOM est

mis en défaut dans la configuration géométrique du cas (a), alors qu'il semblerait donner

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

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par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 230 -

des résultats corrects dans le cas (b). Notons que la figure 7. 29 (b) permet par

comparaison avec la figure 7. 34 (b) de prouver que l'écran acoustique a bien un effet pour

cette configuration géométrique.

Pour la figure 7. 35 (a), le point récepteur est situé en zone d'ombre réfractive vis-à-vis

de tout point situé sur l'écran. En effet, la limite de la zone d'ombre pour un point se

trouvant au sommet de l'écran, se situe alors dans ce cas à 1.72 m de l'écran. Donc pour

cette configuration géométrique, la fonction de Green repose sur le modèle UPRES pour le

calcul de l'intégrale représentant le champ diffracté. Pour la figure 7. 35 (b), la limite de la

zone d'ombre pour un point au sommet de l'écran est à 1.93 m donc au-delà du récepteur,

ce qui signifie que dans ce cas, pour les points situés en bas de l'écran, le récepteur est en

zone d'ombre, tandis que pour les points situés vers le haut de l'écran, le récepteur est alors

en zone éclairée. Par conséquent, le calcul de l'intégrale du champ diffracté nécessite le

recours à la solution mixte composée des modèles UPRES et UPGEOM, selon la position

du point courant sur l'écran. On peut observer que les résultats du modèle Météo-BEM sont

en bon accord avec les résultats expérimentaux. Mentionnons que les cas (a) et (b), avec

écran, de la figure 7. 35 correspondent aux cas (a) et (b), sans écran, de la figure 7. 30. On

constate que dans ce cas l'écran acoustique ne joue pas un rôle important. Ceci signifie que

le champ total (cf eq. 4- 6) est essentiellement dû au champ incident et que le terme

intégral représentant le champ diffracté est négligeable dans cette configuration.


- 231 -

(a) (b)

Mesures TDSMétéo-BEM

figure 7. 34 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 5 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 1.6 m, (a) distance source-récepteur d(S,R) = 1.9 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) =2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.

(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 34.

figure 7. 35 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 5 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 1.6 m, (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.4 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) =3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

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par

rapp

ort a

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(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

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1000 104

Atté

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ion

par

rapp

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amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)

-40

-30

-20

-10

0

10

1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

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)

Fréquence (Hz)

-40

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1000 104

Atté

nuat

ion

par

rapp

ort a

u ch

amp

libre

(dB

)

Fréquence (Hz)


- 232 -

7.5 Conclusion

Le but de ce chapitre était de tester le code de calcul Météo-BEM développé au

chapitre 6, en le confrontant à des résultats expérimentaux. Une campagne de mesures a

donc été menée, en milieu contrôlé, au-dessus de surfaces courbées afin de simuler la

réfraction. Il ressort de ces confrontations que dans le cas de la réfraction vers le bas, les

résultats de Météo-BEM sont proches des résultats de mesure, de même que ceux fournis

par les codes de calcul DOWNMOD et UPRES utilisés dans la fonction de Green de

Météo-BEM. Dans le cas de la réfraction vers le haut, les résultats sont moins bons, ce qui

est dû sans doute au changement de modèle UPGEOM – UPRES, selon que l'on passe de

la région éclairée à la zone d'ombre, changement qui induit une discontinuité de la fonction

de Green et de sa dérivée. Cependant, quelques points de mesure, lors de l'expérimentation

par la TDS, ont permis de montrer que le nouveau modèle donne des résultats corrects, dès

lors que la fonction de Green repose sur la solution de la série des résidus UPRES. Ceci est

cohérent avec le cas de la réfraction vers le bas, puisque la série des résidus est le pendant

de la solution des modes normaux , pour la réfraction vers le haut. En revanche, le modèle

géométrique UPGEOM reste plus délicat, quant à son utilisation en tant que fonction de

Green, ce que les résultats du chapitre 5 pouvaient déjà laisser craindre.

Sur le plan de la campagne de mesures réalisée, plusieurs enseignements sont à tirer.

D'une part, la série de mesures menée grâce aux sources à jet d'air comprimé a donné de

bons résultats. Cependant le manque de puissance de ces sources ne permet pas de bien

mettre en évidence les interférences et les niveaux de pression dans les régions où l'énergie

est faible. De plus les caractéristiques de ces sources sont mal connues, notamment du

point de vue de leur directivité, et peu stables dans le temps, ce qui nécessite de moyenner

sur un grand nombre d'acquisitions les résultats de mesure. D'autre part, de bons résultats

ont été également obtenus en utilisant la méthode de la TDS, bien que dans le cas de points

trop proches du sol, ces résultats soient quelque peu plus "chahutés" que pour des points

plus élevés, où les interférences apparaissent plus nettement. En outre, notons pour finir

que dans les configurations étudiées, la mesure s'est révélée très sensible à la variation de

la hauteur de la source et du récepteur, surtout dans le cas des surfaces parfaitement


- 233 -

réfléchissantes. Pour les surfaces recouvertes de feutrine en revanche, l'absorption a

amoindri cette sensibilité.


- 234 -

- 235 -

Conclusion générale

L'objectif de ce travail était de montrer qu'il est possible d'introduire des effets

météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Cet objectif a été atteint et

a abouti à l'élaboration d'un nouveau modèle : Météo-BEM.

La théorie des éléments finis de frontière a été rappelée dans un premier temps, puis la

formulation en potentiels de couche adoptée a été présentée, donnant naissance au code de

calcul BEMAS2D en milieu homogène. Ce modèle a été validé dans le cas d'un écran

droit, mince, rigide, successivement en milieu infini puis au-dessus d'un sol plan rigide

puis absorbant, en vue d'offrir une base rigoureuse pour pouvoir intégrer des effets

météorologiques.

Une étude critique sur les grands modèles propagatifs existants (méthodes de rayon,

Equation Parabolique, Fast Field Program et solutions analytiques) a été ensuite effectuée.

Chaque modèle, initialement développé pour une source sphérique, a été adapté au cas du

rayonnement cylindrique d'une source linéaire, en vue de pouvoir être utilisé comme

fonction de Green dans une méthode aux éléments finis de frontière 2D. A cet effet, on a

discuté de l'intérêt de chaque solution susceptible d'être adoptée en tant que fonction de

Green. Lorsque cela est possible, les formules donnant cette fonction de Green et ses

dérivées normales, qui interviennent dans une BEM, ont été développées à la fois pour une

source ponctuelle et une source linéique, afin de donner la possibilité de les utiliser dans

une méthode d'éléments finis de frontière 3D ou 2D. Finalement les solutions retenues sont

: la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas ; dans le cas de la réfraction

vers le haut, la solution de la série des résidus en zone d'ombre et de transition, et la

solution géométrique en zone éclairée. Chacun de ces modèles a donné naissance

respectivement à un code de calcul : DOWNMOD pour la réfraction vers le bas, UPRES et

UPGEOM pour la réfraction vers le haut.

Conclusion

- 236 -

Après validation des modèles choisis pour servir de fonction de Green à la BEM, le

nouveau modèle Météo-BEM a été développé. Le cas d'un écran droit mince rigide sur un

sol rigide puis absorbant, en situation de réfraction vers le bas puis vers le haut, a été

étudié. Le nouveau modèle a alors été confronté pour validation à des résultats numériques

et expérimentaux issus de la littérature.

Enfin, ces résultats ont été complétés dans le dernier chapitre par deux séries de mesures

sur modèle réduit, effectuées dans la salle des maquettes du CSTB sur trois types de

surfaces différentes, d'abord rigides puis absorbantes : une surface plane correspondant au

cas de la propagation acoustique en milieu homogène, une surface convexe pour le cas de

la réfraction vers le haut et une surface concave pour le cas de la réfraction vers le bas. La

première série de mesures a utilisé les sources de bruit de jet de compression de la salle des

maquettes. La seconde a été effectuée en recourant à la technique de la TDS.

Les résultats des comparaisons avec le calcul par Météo-BEM sont, de manière

générale, très bons dans le cas de la réfraction vers le bas. Dans le cas de la réfraction vers

le haut, les résultats suggèrent que le modèle peut diverger du fait du changement abrupt de

solution lorsque l'on passe de la région éclairée à la zone d'ombre, c'est-à-dire que la

fonction de Green repose respectivement sur la solution géométrique UPGEOM et sur la

solution de la série des résidus UPRES.

L'objectif que l'on s'était fixé a donc été atteint : on a prouvé qu'il est possible d'inclure

des effets météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Il importe de

souligner que cette conclusion ne dépend pas du choix la formulation indirecte suivie dans

ce travail, mais peut être appliquée à n'importe quel type de BEM présentée au chapitre 2.

De même, les configurations étudiées en guise d'illustration, qu'elles soient bi- ou

tridimensionnelles, ne sont pas une limite et les applications de la méthode des éléments

finis de frontière présentées à la fin du chapitre 2 offrent autant de perspectives à ce travail.

La fonction de Green choisie dans cette étude, dans chaque cas de réfraction, pour prendre

en compte des effets météorologiques ne restreint pas non plus la généralité des résultats

aux seuls cas de profils linéaires, hypothèses sous lesquelles ont été construites les

solutions utilisées pour la fonction de Green dans la BEM. A cet effet, les formules

donnant la fonction de Green et ses dérivées normales basées sur chaque modèle propagatif

dans les cas de sources ponctuelles ou cylindriques, ont été données au chapitre 4, afin de

permettre d'insérer d'autres solutions dans une BEM 3D ou 2D.

Conclusion

- 237 -

De nombreuses perspectives se présentent de manière naturelle, à la suite de ce travail.

Tout d'abord, les modèles développés pourraient être améliorés sur le plan du temps de

calcul nécessaire, en recourant notamment à des techniques récentes de calcul, de stockage

et d'interpolation fréquentielle pour le calcul sur une gamme de fréquences étendue,

techniques présentées dans le chapitre 2. Le modèle d'éléments finis de frontière doit aussi

être généralisé à des cas d'écrans acoustiques de propriétés d'absorption et de géométrie

quelconques. Les cas des écrans épais, des écrans parallèles, des buttes, ou encore de

topographies accidentées restent à étudier en incluant l'influence des paramètres

météorologiques. Les formes diffractantes complexes que l'on peut trouver aujourd'hui au

sommet des écrans doivent également faire l'objet d'investigations plus poussées prenant en

compte les effets météorologiques. Le modèle Météo-BEM doit également être appliqué au

problème de la discontinuité d'impédance. Enfin, toutes les applications présentées au

paragraphe 2.7, de même que les possibilités d'extension à des cas tridimensionnels

évoquées au paragraphe 2.6.6, sont susceptibles d'être étudiées en milieu inhomogène avec

cette nouvelle approche. Pour finir, il serait intéressant de chercher ensuite à intégrer des

effets météorologiques dans le cas où les propriétés du milieu varient avec la portée en

s'appuyant par exemple sur une solution de type équation parabolique pour la fonction de

Green en milieu inhomogène. Les phénomènes de turbulence et de réfraction due à un

gradient de vent restent également délicats à prendre en compte et nécessitent des

développements futurs plus poussés.

Conclusion

- 238 -

- 239 -

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- 259 -

Annexe I

Les différentes équations paraboliques

( )ϕ−=∂ϕ∂

1Qikr 0 eq. AI- 1

L'équation eq. AI- 1 est en fait le point de départ de toutes les différentes équations

paraboliques développées pour la propagation acoustique. Chaque variante provient d'une

troncature différente du développement en série de l'opérateur pseudo-différentiel Q. On

peut ainsi utiliser par exemple un développement en séries de Taylor ou la forme générale

d'une approximation linéaire rationnelle [Tappert, 1977], [Claerbout, 1976], [Greene,

1984] :

qbb

qaaq1Q

10

10

++≈+= eq. AI- 2

avec

1zk

1nq

2

2

20

2 −∂∂+= eq. AI- 3

ou encore recourir à des développements en séries de Padé d'ordre m [Bamberger, et al.,

1988], [Collins, 1989] :

∑= +

≈+=m

1j m,j

m,j

qb1

qaq1Q eq. AI- 4

où

)1m2

j(cosbet )

1m2

j(sin

1m2

2a 2

m,j2

m,j +π=

+π

+= eq. AI- 5

Selon la valeur des coefficients réels (a0, a1, b0, b1) ou (aj,m, bj,m) on obtient différentes

équations paraboliques, jouissant chacune de propriétés particulières d'angles d'ouverture.

Le

Tableau AI. 1 donne les expressions des développements de l'opérateur pseudo-

différentiel Q employés pour les équations paraboliques les plus utilisées, ainsi que les

limitations angulaires associées à ces équations paraboliques d'après l'ouvrage de [Jensen,

1994 #116) dans lequel les auteurs étudient l'ouverture angulaire maximale pour que

l'erreur absolue commise sur la phase reste inférieure à 0.002.

Annexe I : Les différentes équations paraboliques

- 260 -

Développement de Q utilisé Equation parabolique dite de Limitation

angulaire

q5.01q1Q +≈+= Tappert [Tappert, 1977] 20°

q25.01

q75.01q1

++≈+

Claerbout [Claerbout, 1976]

Padé d'ordre 1 [Collins, 1989]

35°

q30102.01

q79624.099987.0q1

++≈+

Greene [Greene, 1984] 45°

q09549.01

q36180.0

q65451.01

q1382.01q1

++

++≈+

Padé d'ordre 2 [Collins, 1989] 55°

1nzk

11Q

2

2

20

−+∂∂+≈

Thomson et Chapman [Thomson et

Chapman, 1983]

__

Tableau AI. 1 : Equations paraboliques obtenues selon différents développements de l'opérateur Q.

Delrieux montre [Delrieux, 1991] que la décomposition de Thomson et Chapman

aboutit à une équation parabolique dite "grands angles" i.e qui réduit les erreurs pour des

angles de propagation supérieurs à 15°. Par ailleurs, il souligne que les améliorations

(Tappert, Thomson...) apportées à l'équation parabolique reposent sur le même principe, à

savoir développer l'opérateur racine carrée de Q de façon à s'approcher au mieux de la

solution exacte de l'équation de Helmholtz. Il existe cependant une autre méthode qui

consiste à établir une meilleure relation entre la solution de l'équation de Helmholtz et la

solution de l'équation parabolique [De Santo, 1977].

En incluant le développement de l'opérateur Q retenu dans l'expression générale de

l'équation d'onde parabolique eq. AI- 1, on obtient une équation aux dérivées partielles qui

peut être résolue de plusieurs manières selon la technique numérique employée.

La technique des différences finies peut ainsi être adoptée via le schéma de différences

finies implicite de Crank-Nicolson par exemple, suivi pour discrétiser l'espace de

propagation suivant la portée; tandis que pour la discrétisation suivant la hauteur, on peut

utiliser des éléments finis linéaires (voir [Galindo Arranz, 1996]). Dans cette méthode

appelée CNPE – pour Crank Nicolson Parabolic Equation - Galindo Arranz étudie

l'influence de quatre paramètres à optimiser : le champ initial basé soit sur une formulation

analytique soit sur des valeurs obtenues numériquement, la condition aux limites sur le sol,


- 261 -

la condition aux limites à l'infini approchée grâce à une couche d'absorption artificielle, et

enfin la taille du maillage dont dépend l'efficacité numérique de la solution.

Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles obtenue après introduction de

l'approximation de l'opérateur Q, on peut également recourir à une méthode de type split-

step Fourier [Tappert et Hardin, 1974], [Juvé et Blanc-Benon, 1988]. Elle consiste à

appliquer à l'équation parabolique une transformation de Fourier selon la direction z pour

pouvoir la résoudre plus facilement, et l'on obtient finalement le champ de pression pas à

pas à partir d'une distribution initiale par transformation de Fourier inverse. On retrouve

dans cette méthode comme pour la technique des différences finies abordée ci-dessus, le

problème de l'initialisation du calcul ainsi que de la prise en compte des conditions aux

limites.

Récemment une autre approche a été suivie pour pallier les inconvénients de temps de

calcul importants pour des grandes distances de propagation : la technique de la fonction

de Green ou GFPE – pour Green's Fast Parabolic Equation - développée par Gilbert et Di

[Gilbert et Di, 1992]. Cette méthode permet d'utiliser un pas qui peut être très grand devant

la longueur d'onde. L'idée de départ est d'exprimer le champ en un point (r1=r0+∆r, z1)

comme une intégrale sur la ligne verticale au point précédent en r=r0, grâce à l'équation

intégrale de Kirchhoff-Helmholtz. En utilisant une transformation de Fourier selon la

portée, on peut alors calculer le champ en r+∆r à partir du champ en r. L'expression du

champ de pression acoustique se présente sous la forme du produit d'un facteur de

réfraction exponentiel et de la somme de trois termes représentant l'onde directe, l'onde

réfléchie par le sol et l'onde de surface. Outre la possibilité d'adopter un maillage beaucoup

plus large suivant la portée pour des cas de propagation où les variations spatiales du

milieu sont suffisamment lentes, la GFPE offre l'avantage d'incorporer directement dans sa

formulation la condition aux limites sur le sol d'impédance finie. Dans la pratique les

transformations de Fourier sont évaluées par un algorithme de transformée de Fourier

rapide.


- 262 -

- 263 -

Annexe II

Les variantes du Fast Field Program

Les différentes variantes de la méthode FFP se distinguent selon la manière dont la

vitesse du son est prise en compte dans chaque strate horizontale de l'atmosphère, ce qui

conditionne l'écriture de la solution analytique exacte pour le champ de pression (eq. 3- 40)

dans chacune de ces strates. Ainsi certains auteurs décrivent cette vitesse comme étant

constante dans chaque couche (modèles CERL-FFP [Lee, et al., 1986, Raspet, et al., 1985],

FFLAGS [Tooms, et al., 1993], d'autres prennent en compte un gradient de célérité

constant par strate (modèles CFFP [Li, et al., 1991], SAFARI [Güdesen, 1990]). Dans le

premier des cas, la solution de l'équation eq. 3- 39 s'écrit sous la forme d'une superposition

d'une onde plane entrante et une onde plane sortante, tandis que pour le dernier cas la

solution à l'intérieur d'une strate horizontale fait intervenir les fonctions de Airy Ai et Bi de

première et seconde espèce respectivement.

Par ailleurs, les modèles CERL-FFP et CFFP décrivent le sol comme une surface

d'impédance finie, tandis que le modèle SAFARI le considère comme étant multicouches

et élastique. Le modèle FFLAGS permet quant à lui de prendre en compte des sols

multicouches, élastiques et poreux.

La FFP développée par Di Napoli [Di Napoli et Deavenport, 1980] applique une

élégante technique récursive pour déterminer simultanément la solution dépendant de la

hauteur pour un grand nombre de couches horizontales de l'atmosphère. On peut trouver

des détails de l'algorithme dans deux articles de références : [Franke et Swenson, 1989] et

[West, et al., 1991]. Pour calculer la solution (voir [Raspet, et al., 1985], [Li, et al., 1991],

[Tooms, et al., 1993]), on part de la couche supérieure pour descendre à la position de la

source (technique dite "top-down"), puis on remonte depuis le sol à cette dernière

("bottom-up"). Les modèles CERL-FFP et CFFP utilisent cette technique appelée méthode

de la ligne de transmission. Sa nature récursive lui confère une grande efficacité mais a

pour contrepartie d'introduire des instabilités numériques et nécessite par voie de

conséquence des traitements numériques appropriés. De plus, le calcul est effectué pour

Annexe II : Les variantes du Fast Field Program

- 264 -

une position spécifique du récepteur, donc lorsque l'on a besoin de connaître le champ de

pression en plusieurs points, la méthode perd de son efficacité.

C'est pourquoi une alternative a été développée, connue sous le nom de méthode de la

matrice globale. Dans cette approche, le champ de pression dans chaque couche est la

superposition du champ généré par un nombre quelconque de sources et un champ inconnu

satisfaisant aux équations homogènes, déterminé par les conditions aux limites à toutes les

interfaces. Les conditions aux limites locales à chaque interface sont exprimées en un

système linéaire d'équations des transformées de Hankel des champs dans les couches

adjacentes. On assemble alors ces systèmes d'équations locales en un système global

d'équations exprimant les conditions aux limites à toutes les interfaces, la solution de ce

système fournissant en même temps le champ acoustique dans chaque strate horizontale de

l'atmosphère. Cette approche a été suivie par Rasmussen [Rasmussen, 1985 #155],

Güdesen [Güdesen, 1990] dans le modèle SAFARI ou encore Tooms et al. [Tooms, et al.,

1993] dans le modèle FFLAGS. Elle est très efficace lorsque le champ total est recherché à

différentes hauteurs, et l'on peut aussi traiter le cas de sources multiples. De plus, par

rapport à la méthode de la ligne de transmission, relativement plus facile à implanter

numériquement, elle offre l'avantage de présenter une stabilité inconditionnelle, au prix

toutefois d'un code de calcul compliqué pour assembler la matrice.

- 265 -

Annexe III

Calcul de la partie finie de Hadamard

Lorsque les deux points P et Mj peuvent coïncider, c'est-à-dire que l'on a i=j, on

subdivise l'intervalle Γi pour isoler la singularité et l'on a donc, avec izzr −= :

( ) ( ) ( ) ( )

+

+−≈Γ∂∂

∫

∫ ∫∫ε+

ε−

ε−

−

+

ε+Γ

i

i

i

i

z

z

1

iz

2/hiz

2/hz

z

11

iiPnMn

dzr

)kr(HPF

dzr

)kr(Hdz

r

)kr(H

4

ikPd,PMGPF

eq. AIIII- 1

Les deux premiers termes du membre de droite eq. AIIII- 1 sont intégrés de la même

manière que les intégrales régulières ci-avant.

Quant au dernier terme, il est plus commode de revenir à sa définition en tant que partie

finie au sens de Hadamard. On doit alors comprendre la partie finie comme la limite de la

composante normale du gradient lorsque l'on fait tendre un point M de l'espace vers

l'écran :

∫∫ε+

ε−→

ε+

ε−−

∂∂

∂∂=− i

ii

i

i

z

z P0MM

z

z

1 dz))P,M(kd(H4

i(

)P(n)M(nlimdz

r

)kr(HPF

4

ikeq. AIII- 2

Soit :

∫∫ε+

ε−→

ε+

ε−−

∂∂

∂∂=− i

iM

i

i

z

z P0PM

0y

z

z

1 dz))P,M(kd(H4

i(

yylimdz

r

)kr(HPF

4

ikeq. AIII- 3

Or en effectuant le changement de variable u=z-zi :

+

+∂

∂−=

+

+−

∂∂=−

∂∂

∂∂

∫

∫∫ε

ε−→

ε

ε−→

ε+

ε−→

duuy

)uyk(Hy

ylim

4

ik

duuy

)uyk(H

4

iky

ylimdz))P,M(kd(H

4

i(

yylim

22M

22M1

MM

0y

22M

22M1M

M0y

z

z P0PM

0y

M

M

i

iM

eq.AIII- 4

Posons 22M uykt += , on peut alors écrire :

+=

+

+∫∫∫

ε

ε−

ε

ε−

ε

ε−du

t

)t(Yidu

t

)t(Jkdu

uy

)uyk(H 11

22M

22M1

eq. AIII- 5

où J1 et Y1 sont respectivement les fonctions de Bessel et de Neumann.

Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard

- 266 -

On peut utiliser le développement de J1(z)/z pour -3≤ z ≤3 (cf [Abramowitz et Stegun,

1972]) :

8-6

1n

n2n

1 10 3.1 avec )3

z(A

2

1

z

)z(J<εε++= ∑

=eq. AIII- 6

Les coefficients An sont donnés dans le tableau ci-dessous :

n An

1 -.56249985

2 .21093573

3 -.03954289

4 .00443319

5 -.00031761

6 .00001109

Tableau AIII. 1: Coefficients du développement de J1(z)/z.

On peut alors écrire :

∑ ∫∫=

ε

ε−

ε

ε−++ε=

6

1n

n22Mn2

n2n1 du)uy(3

kAdu

t

)t(Jeq. AIII- 7

En utilisant le développement du binôme de Newton, l'on aboutit à :

ε

ε−= =

+−ε

ε− ∑ ∑∫

+−

+ε=6

1n

n

0m

1)mn(2m2

Mmnn2

n2n1

1)mn(2

uyC

3

kAdu

t

)t(Jeq. AIII- 8

D'où :

+

ε+ε=

+−

+ε=

∂∂

∑

∑ ∑∫

=

+

ε

ε−= =

+−

→

ε

ε−→

6

1n

1n2

n2

n2n

6

1n

n

0m

1)mn(2m2

Mmnn2

n2n

0y

1M

M0y

1n23

kA2k

1)mn(2

uyC

3

kAklimdu

t

)t(Jky

ylim

MM

eq. AIII- 9

Appliquons la même démarche pour le terme en Y1(z)/z. En effet pour 0< z ≤3, l'on a

(cf [Abramowitz et Stegun, 1972]) :

7-6

0n2

n22n

11 10 1.1 avec

z)

3

z(

z

B)z(J)2/zln(

z

12

z

)z(Y<εε++

π= ∑

=eq. AIII- 10

Les coefficients Bn sont donnés dans le tableau ci-après.


- 267 -

n Bn

0 -.6366198

1 .2212091

2 2.1682709

3 -1.3164827

4 .3123951

5 -0.0400976

6 .0027873

Tableau AIII. 2: Coefficients du développement de Y1(z)/z.

En intégrant :

∑ ∫∫∫=

ε

ε−

ε

ε−

ε

ε− ++

+π

=6

0n22

M2

n22M

n2

n2n11 du

)uy(k

)uy(

3

kBdu

t

)t(J)2/tln(

2du

t

)t(Yeq. AIII- 11

Le deuxième terme se calcule de la manière suivante :

∑ ∫

∫∫∑ ∫

=

ε −−

ε

ε−

ε

ε−=

ε

ε−

++

++

=+

+

6

2n0

1n22Mn2

)1n(2n

2122M

20

6

0n22

M2

n22M

n2

n2n

du)uy(3

kB23

duB

)uy(k

duBdu

)uy(k

)uy(

3

kB

eq. AIII- 12

Il s'ensuit :

∑ ∫∑

∑ ∫

=

ε −−−

=−

−=

ε

ε−

+

ε+ε=

++

6

2n0

)m1n(21n

0m

m2M

m1nn2

)1n(2n

1

MM2

06

0n22

M2

n22M

n2

n2n

duuyC3

kB29

B2)

yarctan(

yk

B2du

)uy(k

)uy(

3

kB

eq. AIII- 13

Quant au premier terme du membre de droite de l'équation eq. AIII- 11, en recourant au

développement eq. AIII- 6 :

+

++

+π

=π

∑ ∫

∫∫

=

ε

ε−

ε

ε−

ε

ε−

6

1n

n22M

22M

n2

n2n

22M1

du)uy)(2

uykln(

3

kA

du)2

uykln(

2

12du

t

)t(J)2/tln(

2

eq. AIII- 14


- 268 -

Et l'on a :

ε

εε

ε−

+−++−

π=

++−

π=

+π ∫∫

0MM

22M

0

22M

22M

)y

uarctan(y2u2)uyln(u

2

1)2lnk(lnu

2

du)uyln(2

12lnkln

2du)

2

uykln(

2

12

eq. AIII- 15

Calculons la deuxième partie de l'expression eq. AIII- 14 :

∑ ∫

∑ ∫

=

ε

=

ε

ε−

+

++−

π=

++

π6

1n0

n22M

22Mn2

n2n

6

1n

n22M

22M

n2

n2n

du)uy()uyln(2

12lnkln

3

kA4

du)uy)(2

uykln(

3

kA2

eq. AIII- 16

Et :

( )

1)mn(2yC)2lnk(ln

duuyC)2lnk(lndu)uy(2lnkln

1)mn(2m2

M

n

0m

mn

0

)mn(2m2M

n

0m

mn0

n22M

+−ε−=

−=+−+−

=

ε −

=

ε

∑

∫∑∫eq. AIII- 17

Evaluons alors l'intégrale suivante :

∑∑ ∫∫=

−=

ε −ε=+=++

n

0mmn

m2M

mn

n

0m0

)mn(222M

m2M

mn0

n22M

22M KyCduu)uyln(yCdu)uy)(uyln( eq.

AIII-18

On peut montrer facilement par intégration par parties que :

1p

1p222

M

0 22M

2p2

0

1p222

M0

p222Mp

I1p2

2

1p2)yln(

duuy

u

1p2

2

1p2

u)uyln(duu)uyln(K

+

+

ε +ε+ε

+−

+εε+=

++−

+

+=+= ∫∫eq. AIII- 19

Calculons l'intégrale Ip+1. En recourant à une intégration par parties, l'on montre :

p2M

1p2

1p Iy1p2

I −+

ε=+

+ eq. AIII- 20

Et par récurrence :

01n2

M

1p2n

0p

pn2M1n I)y(

1p2)y(I +

+

=

−+ −

+ε−= ∑ eq. AIII- 21

Avec :

)y

arctan(y

1du

uy

1I

MM0 22

M0

ε=+

= ∫ε

eq. AIII- 22


- 269 -

En résumé l'on obtient donc :

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑∫

=

−

=

+−−

−

−

+−+−

=

−−

=

+−=

+−

=

ε

ε−

+−−

ε+

ε+ε+

ε+ε−ε+ε+−επ

+

ε−+

ε−+−

−

+−

εε++

+−ε−

π=

6

2n

1n

0m

1)m1n(2m2

Mm

1nn2

)1n(2n

1

MM2

0

MM

22M

MM

1mn2M

1p2mn

0p

pmn2M

n

0m

1)mn(222

Mm2

Mmn

6

1n

1)mn(2m2

M

n

0m

mnn2

n2n1

1)m1n(2yC

3

kB2

9

B2)

yarctan(

yk

B2

)y

arctan(y22)yln(2

1)2lnk(ln

2

)y

arctan(y

1)y(

1p2)y(

1)mn(2

2

1)mn(2)yln(yC

2

1

1)mn(2yC)2lnk(ln

3

kA4du

t

)t(Y

eq. AIII- 23

On peut alors déduire aisément de cette expression la valeur de la dérivée suivante :

[ ]

∑

∑∫

=

+−−

++

=

+ε

ε−→

+−

ε+

ε+

ε−

ε−εε+−ε

π+

+

ε+

−

+

εε+

+ε−

π=

∂∂

6

2n

1)1n(2

n2

)1n(2n

12

0

2

1n21n22

6

1n

1n2

n2

n2n1

MM

0y

1)1n(23

kB29

B2

k

B2

2)ln(2

1)2lnk(ln

2

1n21n2

2

1n2)ln(

2

1

1n2)2lnk(ln

3

kA4du

t

)t(Yy

ylimM

eq. AIII- 24

Soit, en réorganisant les termes de l'expression ci-dessus :

∑

∑∫

=

−−=

+ε

ε−→

−ε+

ε+

ε−

+−ε

+ε

π+

−ε

πε=

∂∂

6

2n

1n2

n2

)1n(2n1

20

6

1n

1n2

n2

n2n1

MM

0y

1n23

kB2

9

B2

k

B21n2

1)

2

kln(

1n2

2

3

kA21)

2

kln(

2du

t

)t(Yy

ylimM

eq. AIII- 25


- 270 -

On peut alors remonter à l'expression de la partie finie :

+

∂∂−=

+

+−

∂∂=

−∂

∂∂

∂=

−∂

∂∂

∂=−

∫∫

∫

∫

∫∫

ε

ε−

ε

ε−→

ε

ε−→

ε+

ε−→

ε+

ε−→

ε+

ε−

dut

)t(Yidu

t

)t(Jky

ylim

4

ik

duuy

)uyk(H

4

iky

ylim

dz))P,M(kd(H4

i(

yylim

dz))P,M(kd(H4

i(

)P(n)M(nlimdz

r

)kr(HPF

4

ik

11M

M0y

22M

22M1M

M0y

z

z P0PM

0y

z

z P0MM

z

z

1

M

M

i

iM

i

ii

i

i

eq. AIII- 26

D'où, en rassemblant les résultats :

−

ε+ε

+ε

−

+−ε

+ε

π+

−ε

πε+

+

ε+ε−=−

∑

∑

∑∫

=

−−

=

+

=

+ε+

ε−

6

2n

1n2

n2

)1n(2n1

20

6

1n

1n2

n2

n2n

6

1n

1n2

n2

n2n

z

z

1

1n23

kB2

9

B2

k

B2

1n2

1)

2

kln(

1n2

2

3

kA21)

2

kln(

2ik

1n23

kA2k

4

ikdz

r

)kr(HPF

4

ik i

i

eq. AIII-27

- 271 -

Annexe IV

Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant

Le sol absorbant est décrit comme une surface d'impédance supposée à réaction

localisée. Pour un point M situé sur le sol, en appelant β l'admittance normalisée, on a :

( ) 0p(M)ikMpMn

=β+∂

eq. AIV- 1

En utilisant les résultats de la fonction de Green pour un sol plan rigide donnée au

paragraphe 4.3, que l'on appellera G0, on peut calculer la nouvelle fonction de Green G

pour un sol impédant (voir [Chandler-Wilde et Hothersall, 1995]) :

20 P)(M, )M,P(P)M,P(G)M,P(G Ω∈∀+= β eq. AIV- 2

En effet en reportant l'expression de G ci-dessus dans l'équation de Helmholtz, on

montre que la fonction Pβ vérifie l'équation suivante :

0M)(P,Pk)M,P(P 2M =+∆ ββ eq. AIV- 3

Elle vérifie également la condition aux limites ci-dessous pour un point M situé sur le

sol absorbant (zM=0) :

))yy(z(k(Hk2

1P)(M,ikG)M,P(Pik)M,P(

z

P 2PM

2P00

M

−+β−=−=β+∂∂

ββ

eq. AIV- 4

En appliquant alors une transformation de Fourier aux équations eq. AIV- 3 et eq. AIV-

4 et en utilisant le résultat suivant (voir [Erdelyi, et al., 1954]) :

22 tkiz

22

iyt2210 e

tk

2dye)yz(k(H −∞

∞− −=+∫ eq. AIV- 5

On obtient les deux équations suivantes, en notant βP~

la tranformée de Fourier de Pβ :

0P~

)tk(z

P~

22

M2

2

=−+∂∂

ββ

eq. AIV- 6

0)tk(Re),tkIm( avec etk

kP~

ikz

P~

2222tkiz

22M

2

222

P ≥−−−

β−=β+∂∂ −

ββ

eq. AIV- 7

La solution de l'équation eq. AIV- 6 satisfaisant aux conditions aux limites eq. AIV- 8

et à une condition de type Sommerfeld s'écrit sous la forme :

Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant

- 272 -

)ktk(tk

eikP~

2222

tk)zz(i 22PM

β+−−

β=−+

β eq. AIV- 8

En appliquant alors la transformation de Fourier inverse :

dt)ktk(tk

eik

2

iP

2222

)t)yy(tk)zz(i PM22

PM

∫∞+

∞−

−−−+

ββ+−−

βπβ= eq. AIV- 9

Et en effectuant le changement de variable t=ks :

0)s1Im(),s1Re( avec ds)s1(s1

eik

2

iP 22

22

)s)yy(s1)zz((ik PM2

PM

≥−−β+−−

βπβ= ∫

∞+

∞−

−−−+

β eq. AIV- 10

Pour aboutir à une formule plus intéressante pour le calcul numérique on pose s=sinθ et

l'on obtient :

∫ =ρθβ+θπ

β=θ−θρ

β L

)cos(i

kR' avec dcos

e

2

iP

0

eq. AIV- 11

(On a R'= 2PM

2PM )yy()z(z −++ , zM+zP=R'cosθ0, |yM-yP|=R'sinθ0, notons que θ0

représente l'angle d'incidence voir figure AIV. 1 )

figure AIV. 1 : Notations pour le calcul de la fonction de Green pour un sol absorbant.

L est le chemin dans le plan complexe reliant -π/2+i∞ à -π/2 puis -π/2 à π/2 puis π/2 à

π/2 -i∞. En déformant alors le chemin d'intégration L en chemin de plus grande pente Γ

défini dans [Chandler-Wilde et Hothersall, 1995] (voir figure AIV. 2 ), on obtient alors en

effectuant le calcul des résidus :

sPPP βΓ

ββ += eq. AIV- 12

où le terme suivant représente l'onde de surface (on peut montrer que ce terme décroît

exponentiellement avec la hauteur au-dessus de la surface) :


- 273 -

=<ββ−

β

<<ββ−

β

= +−ρ

+−ρ

β+

+

sinon 0

0aRe0,Im si e12

0aRe0,Im si e1

P )a1(i

2

)a1(i

2

seq. AIV- 13

avec :

0

222

cos01Re ,111a

θ=γ≥β−γ−β−βγ+=± #

eq. AIV- 14

et :

∫Γ

θ−θρΓ

β θβ+θπ

β= dcos

e

2

iP

)cos(i 0

eq. AIV- 15

On peut réécrire cette dernière équation sous une forme intéressante pour l'intégration

numérique :

∫

∫∞ ρ−−

ρ

∞

∞−

ρ−ρ

Γβ

πβ=

πβ=

0

t2/1i

s2i

dt)t(fete

dse)s(fe

P2

eq. AIV- 16

où :


)it1()t(f

22>

γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. AIV- 17

figure AIV. 2 : Déformation dans le plan complexe du chemin L en chemin de plus grande pente Γ.


- 274 -

L'expression eq. AIV- 16 s'intègre aisément en utilisant un schéma de type quadrature

de Gauss :

∑=

ρΓβ ρ

ρπβ=

n

1jn,jn,j

i

)/x(fwe

P eq. AIV- 18

où les wi,j pour i, j allant de 1 à n, sont les poids et xi,j les abscisses de la quadrature de

Gauss-Laguerre utilisée (voir [Press, et al., 1992]). Chandler-Wilde donne des détails

calculatoires et des approximations dans son article de référence [Chandler-Wilde et

Hothersall, 1995]. La formule ci-dessus (eq. AIV- 16) donne lieu à des résultats précis si β

est proche de 1. Dans le cas contraire, Chandler-Wilde régularise l'intégrande par

soustraction du pôle et aboutit à une formulation plus performante faisant intervenir la

fonction erreur complémentaire erfc :

1pour )ae(erfc12

edt)t(get

eP 4/i

2

)a1(i

0

t2/1i

≠βρβ−

β+π

β= +π−

−ρ∞ ρ−−ρ

Γβ

+

∫ eq. AIV- 19

avec :

0)a(Re),-1Re( avec )iat(12

ae)t(f)t(g 2

2

4/i

≥β−β−

−= +

+

+π−

eq. AIV- 20

On peut utiliser le même type de quadrature de Gauss que ci-dessus (cf eq. AIV- 18)

pour intégrer la fonction g. On adoptera le critère suivant donné par Chandler-Wilde pour

évaluer si β est proche de 1 ou non :

1.011

1.011

≥β−⇔≠β<β−⇔≈β

eq. AIV- 21

La fonction de Green G décrivant la propagation acoustique au-dessus d'un sol plan

homogène d'admittance normalisée β est donc connue et évaluable numériquement.

Reste à déterminer la dérivée normale de la fonction de perturbation Pβ.

On a, en fait :

)M,S(Pgrad)M(n)M,S()M(n

PM β

β •=∂

∂&

eq. AIV- 22


- 275 -

Et les composantes du gradient ci-dessus sont :

∂∂∂∂

β

β

β

)M,S(z

P

)M,S(y

P

)M,S(Pgrad

M

MM eq. AIV- 23

Dans le cas de l'écran droit de la figure 4.5, n'intervient que la composante en y pour la

dérivée normale. En dérivant l'expression par rapport à yM et en suivant la même démarche

que pour le calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :

ds)s((1)s(1

s))yy)s)(1zexp(ik((z s.

2

k)ysign(yM)(S,

y

P1/221/22

SM1/22

SMSM

M

∫∞+

∞− +−−−+−+

−−=∂∂ eq. AIV-

24

Puis que :

s

M

'P'Py

Pβ

Γβ

β +=∂∂

eq. AIV- 25

avec :

=<β−β−

<<β−β−

= +−ρ

+−ρ

β+

+

sinon 0

0aRe0,Im si e)yy(signik2

10aRe0,Im si e)yy(signik

)M,S('P )a1(iSM

)a1(iSM

seq. AIV- 26

et :

∫∞ ρ−−

ρΓβ −γ−

πβ=

0

t2/1SM

2i

dt)t(fet)yy(sign1eik

'P eq. AIV- 27

où :


))it1(()t(f

22>

γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. AIV- 28

En fait, de même que pour la formule eq. AIV- 16 l'expression eq. AIV- 28 donne des

résultats précis lorsque β est proche de 1. Dans le cas contraire, une démarche similaire à

celle suivie pour obtenir l'équation permet d'obtenir l'expression suivante :

1-1lorsque

)ae(erfce2

1dt)t(get

1)yy(signeik'P 4/iai

0

t2/1SM

i

≥β

ρ+

π−β= +

π−ρ−∞ ρ−−ρΓβ

+∫ eq. AIV- 29

avec :

0)a(Re avec )iat(2

ae)t(f1)t(g

4/i2 ≥

−−γ−= +

+

+π−

eq. AIV- 30


- 276 -

Là encore, selon la valeur de β, l'une ou l'autre des deux expressions eq. AIV- 27 et eq.

AIV- 29 peut être employée et calculée en utilisant une quadrature de Gauss.

L'équation eq. 4- 42 fait intervenir également la dérivée normale seconde de la fonction

de Green :

( ))P,M(P)P,M(G)P(n)M(n

)P,M(G 0)P(n)M(n β+∂∂

∂=∂∂ eq. AIV- 31

Dans le cas de l'écran droit de la figure 4.5 :

PM yy)P(n)M(n ∂∂≡∂∂

Le terme mettant en jeu la fonction de Green pour un sol rigide G0 est déjà connu (cf le

paragraphe 4.3). Pour la dérivée normale seconde de Pβ, l'on trouve, en suivant toujours la

même méthode que précédemment :

)P,M(P)1(k)'kr(H'r

zz

2

k)'kr(H

2

ik)P,M(

yy

P 221

PM22

0

22

PM

2

ββ β−+

+β+β=∂∂

∂eq. AIV- 32

où :

22P

2M

22P

2M

22P

2M

22P

2M

)zz()yy()P,'M(d'r

)zz()yy()P,M(dr

++−==

−+−==

Dans le cas où l'écran n'est pas droit, ni confondu avec l'axe vertical comme c'est le cas

de la figure 4.5, on a besoin de connaître la valeur des dérivées normales obliques. Ce cas

ne sera pas traité dans cette étude, donnons cependant la valeur de dérivée par rapport à la

variable z et des dérivées secondes pour offrir la possibilité de développements ultérieurs.

En dérivant l'expression par rapport à zM et en suivant la même démarche que pour le

calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :

)M,S(Pik)(H2

k)M,S(

z

P0

Mβ

β β−ρβ−=∂∂

eq. AIV- 33

Quant aux dérivées secondes :

)P,M(Pk)'kr(H'r

zz

2

k)'kr(H

2

ik)P,M(

zz

P 221

PM22

0

22

PM

2

ββ β−+β+β=

∂∂∂

eq. AIV- 34

)P,M(y

Pik)'kr(H

'r

)yy(

2

k)P,M(

zy

P

P1

MP2

PM

2

∂∂

β+−β−=∂∂

∂ ββeq. AIV- 35

)P,M(zy

P)P,M(

yz

P

PM

2

PM

2

∂∂∂

−=∂∂

∂ ββ eq. AIV- 36

- 277 -

Annexe V

Fichiers de mesures

1/ Mesures avec les sources à jet d'air comprimé

-mesures sur sol plan rigide (mesures 1 à 14)

-mesures sur surface concave rigide (mesures 1 à 10)

-mesures sur surface convexe rigide (mesures 1 à 6)

2/ Mesures utilisant la technique de la TDS

noms de fichiers :

xyzn1sn2rn3

x est "f" (pour free) pour la mesure sans écran ou "e" (pour écran) pour la

mesure avec écran.

y est "p" (pour plan) pour la mesure sur sol plan, "u" (pour up) pour la mesure

sur la surface convexe, ou "d" (pour down) pour la surface concave.

z est "r" (pour rigide) pour la mesure sur surface rigide ou "i" (pour impédant)

pour la mesure sur surface absorbante.

configuration T (°C) HR (%) date heure commentaire

mesure 1 sol seul 25.2 13.4 29-avr 15H07

mesure 2 Γ1 simple 25.6 12.3 29-avr 16H22



mesure 5 Γ1 double 24.5 9.5 30-avr 12H01



mesure 8 Γ2 double 31.6 8.8 18-mai 16H21

mesure 9 sol seul 27 7.1 18-mai 18H19

mesure 10 sol seul 25.7 11.2 19-mai 17H43 saturation 22-49

mesure 11 sol seul 27.2 14.6 02-juin 16H20

mesure 12 Γ1 double 27.1 15.2 02-juin 17H07

mesure 13 Γ2 double 27.1 15.2 02-juin 17H42pt 10 sature

légèrement


configuration T (°C) HR

(%)

date heure commentaire

mesure 1 sol seul 25.6 12.2 19-mai 14H59


mesure 3 Γ2 double 25 12.8 20-mai 11H59



mesure 6 sol seul 26.2 11.7 20-mai 16H28

mesure 7 sol seul 27 14.4 03-juin 11H57



Mesure 10 Γ3 double 29.5 12.5 03-juin 16H27

configuration T

(°C)

HR (%) date heure commentaire

mesure 1 sol seul 26 15.1 28-mai 10H10 R1=0.20m

mesure 2 Γ1 double 26.9 13.7 28-mai 14H17 R'1=0.15m

mesure 3 Γ2 double 26.9 13.6 28-mai 15H36 pt 12 sature, R'1

mesure 4 Γ3 double 26.4 14.4 28-mai 16H44 R'1=0.15m

mesure 6 sol seul 26.6 13.8 28-mai 17H16 R'1=0.15m

Attention pour les distances de la première colonne de

récepteurs :

R1=0.20m tandis que R'1=0.15m à cause de la gêne de l'écran

pour le bras de mesure

Date

(N° mesure)Référence T°(C) H.R. (%) yS (m) zS (m) yM (m) zM (m)

distance S-

M (m)remarques

19/01/2000

mesure 1 res1 20.5 18.7 -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502recalage

sol rigide seul

mesure 2 res2 20.5 18.7 0.00 0.20 2.00 0.29 2.002 idem

mesure 3 calib1 20.5 18.7 -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502 idem

20/01/2000 0.000

mesure 1 calib1a -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502idem avec

échelle

mesure 2 calib1b -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502

idem avec

échelle, en

largeur

mesure 3 calib1c -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502

idem avec

échelle, en

largeur,

nouveau micro

mesure 4 calib1d -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502

idem avec

échelle, en

largeur,

nouveau micro,

nouveau

tweeter

mesure 5 calib1e -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502

idem avec

échelle, en

largeur,

nouveau micro,

nouveau

tweeter,

bouchon niqué

31/01/2000 0.000

17H30

mesure 1fpr1s1r1 22.1 7.4 -0.5 0.04 1.0 0.10 1.501

18H00

mesure 2fpr1s1r2 22.7 7.0 -0.5 0.04 1.0 0.20 1.509

18H15

mesure 4fpr1s1r3 22.7 7.0 -0.5 0.04 2.0 0.10 2.501

18H10

mesure 3fpr1s1r4 22.7 7.0 -0.5 0.04 2.0 0.20 2.505

18H20

mesure 5fpr1s1r5 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701

micro sur la

surface

18H20 fpr2s1r5 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701 micro "décollé"

mesure 5bis

18H25

mesure 6fpr1s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751

micro sur la

surface

18H25

mesure 6bisfpr2s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751 micro "décollé"

18H30

mesure 7fpr1s1r7 22.9 7.0 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000

micro sur la

surface

18H30

mesure 7bisfpr2s1r7 22.9 7.0 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000 micro "décollé"

18H35

mesure 8fpr1s2r1 23.0 7.5 -0.5 0.025 1.00 0.10 1.502

18H40

mesure 9fpr1s2r2 23.0 7.5 -0.5 0.025 1.00 0.20 1.510

18H50

mesure 10fpr1s2r3 23.0 7.5 -0.5 0.025 2.00 0.10 2.501

18H45

mesure 11fpr1s2r4 23.0 7.5 -0.5 0.025 2.00 0.20 2.506

18H50

mesure 12fpr1s3r8 23.0 7.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900

18H50

mesure 13fpr1s3r9 23.0 7.3 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050

18H59

mesure 14fpr1s3r0 23.0 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400

02/02/2000 0.000

mesure 1fpi1s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 1bisfpi2s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.10 2.001

mesure 2fpi3s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000

idem que

fpi1s1r7 avec

laine de verre

sur micro

mesure 3fpi1s2r2 22.6 8.3 -0.5 0.025 1.0 0.20 1.510

mesure 4fpr2s2r2 22.6 8.3 -0.5 0.025 1.0 0.20 1.510

idem sans

feutrine

Date


distance

S-M (m)remarques

01/02/2000

15H30

mesure 1fur1s3r8 22.4 7.3 -0.20 0.007 0.30 0.025 0.500 réciprocité

15H40


15H50


mesure 4fur1s1r5 22.7 7.0 -0.50 0.04 0.20 0.007 0.701

mesure 5fur1s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751

16H15

mesure 6fur1s1r7 22.3 7.4 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 7fur2s3r8 22.9 7.0 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900

mesure 8fur2s3r9 22.9 7.0 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050

mesure 9fur2s3r0 22.9 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400

mesure 10fur3s3r0 22.9 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400

17H10

mesure 11fui2s3r0 22.2 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400

mesure 12fui1s3r0 22.2 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400

mesure 13fui1s3r9 23.1 6.5 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050

mesure 14fui1s3r8 23.1 6.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900

mesure 15fui1s1r5 23.1 6.5 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701

mesure 16fui1s1r6 23.1 6.5 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751

mesure 17fui1s1r7 23.1 6.5 -0.5 0.04 1.5 0.007 2.000

02/02/2000 0.000

mesure 18eui1s1r5 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.2 0.007 0.701

mesure 19eui1s1r6 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751

mesure 20eui1s1r7 22.8 7.8 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 21eui1s3r8 22.8 7.8 -1.60 0.007 0.30 0.025 1.900

mesure 22eui1s3r9 22.8 7.8 -1.60 0.007 0.45 0.025 2.050

mesure 23eui1s3r0 22.8 7.8 -1.60 0.007 1.80 0.025 3.400

mesure 24eui2s3r0 22.8 7.8 -1.60 0.007 1.80 0.05 3.400

mesure 25eur1s1r5 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701

mesure 26eur1s1r6 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751

mesure 27eur1s1r7 22.4 7.5 -0.5 0.04 1.5 0.007 2.000

mesure 28eur1s3r8 22.4 7.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900

mesure 29eur1s3r9 22.4 7.5 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050

eur1s3r0 22.6 7.6 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400

mesure 30

mesure 31eur2s3r0 22.7 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400

Date


distance

S-M (m)remarques

02/02/2000

mesure 1fdr1s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 2fdr2s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000

mesure 3fdi1s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 4fdi2s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000

mesure 5edi1s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000

mesure 6edi2s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000

mesure 6bisedi3s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000

idem gain

plus fort

mesure 7edr1s1r7 22.6 8.2 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000 réciprocité

mesure 8edr2s1r7 22.6 8.6 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000 réciprocité

FOLIO ADMINISTRATIF

THÈSE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE

LYON

NOM : PREMAT DATE DE SOUTENANCE

(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) 23/06/2000

Prénoms : Éric Bernard

TITRE : Prise en compte d'effets météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière

Nature : Doctorat Numéro d’ordre : 2000 ISAL 0039

Formation doctorale : Acoustique

Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE :

RÉSUMÉ :

Dans le cadre de la lutte contre le bruit, il est important aujourd'hui de mieux connaître le comportement

du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier des axes routiers et ferroviaires. Les

effets météorologiques sur la propagation deviennent alors non négligeables. Dans ce contexte, un nouveau

modèle a été développé : Météo-BEM, s'appuyant d'une part sur la méthode des éléments finis de frontière,

qui permet la prise en compte de propriétés quelconques de la géométrie et de l'absorption des frontières du

domaine de propagation, d'autre part sur des modèles récents de propagation en milieu inhomogène. La

formulation adoptée repose sur la théorie des potentiels de couche et recourt à une fonction de Green basée

sur la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas, et dans le cas de la réfraction vers le haut

sur la solution de la série des résidus en zone d'ombre et le modèle géométrique en région éclairée. Cette

nouvelle approche est illustrée sur le cas de l'écran acoustique mince, rigide, sur sol réfléchissant ou

absorbant, pour diverses conditions de réfraction. Le modèle est confronté pour validation à des résultats

numériques et expérimentaux issus de la littérature, complétés par une campagne de mesures réalisées en

milieu contrôlé sur modèle réduit. L'accord obtenu entre les résultats de calcul et la mesure, dans le cas de la

réfraction vers le bas, prouve qu'il est possible d'inclure des effets météorologiques dans une formulation aux

éléments finis de frontière.

MOTS-CLÉS : Acoustique Atmosphérique – Méthode Élément Frontière – Condition Météorologique –

Réfraction Onde Acoustique - Diffraction Onde Acoustique – Effet Sol - Écran anti-bruit – Étude

expérimentale

Laboratoire(s) de recherche : Laboratoire des Sciences de l’Habitat / ENTPE

Directeur de thèse : Yannick GABILLET

Président de jury : J-L GUYADER

Composition du jury : D. DUHAMEL, K.B. RASMUSSEN, Y. GABILLET, M. BERENGIER,

G. GUARRACINO, D. JUVÉ, J. ROLAND, J-L GUYADER

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